Tải Bất đẳng thức Bunhiacopxki - Chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (111.7 KB, 3 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Bất đẳng thức Bunhiacopxki

Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.
I. Một số kiến thức cần nhớ về bất đẳng thức Bunhiacopxki

1. Phát biểu

+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản:



a2 b2

 

c2 d2





ac bd



   

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

a

b

c



d

+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số:

Với hai bộ số



a a

, ,...,

a

n



và



b b

, ,...,

b

n



ta có:



2 2 2

 

2 2 2







1 1 ... n 1 2 ... n 1 1 2 2 ... n n

a a  a b b  b  a b a b  a b

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

1 2

...

n

a

b



b

 

b

Với quy ước nếu một số nào đó (i = 1, 2, 3, …, n) bằng 0 thì tương ứng bằng 0
2. Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản

+ Có



 







2 2 2 2

a b c d  ac bd



 















 

















 





 

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

2

0 a

b

c

d

ac bd

ac

ad

bc

bd

ac

abcd

bd

ad

bc

abcd

ad

abcd

bc

































ad bc



0 





(luôn đúng)

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>



a

b

 

c

d



4

abcd





II. Bài tập về bất đẳng thức Bunhiacopxki lớp 9

Bài 1: Cho a, b, c là các số thực dương bất kỳ. Chứng minh rằng:

6 a b

b c

c a

a b c





 

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:



2 2 2



1. a b

1. b c

1. c a

1 a b

b c

c a

a b c





















 



 



3.2

6 a b

b c

c a

a b c











 

(đpcm)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A x 2  4 x
Lời giải:

2 4

A x   x

Điều kiện:

2  

x

4

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki có:









2 2 2 2

1. x

2 1. 4

x

1 x

2 4

x

2

4 















 







4

2 A





   

A max = 2 khi

1 2 4

3

2

4 x







x





 





(thỏa mãn)

Vậy max A = 2 khi và chỉ khi x = 3

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki có:



2 2 2







1. p a 1. p b 1. p c  1 1 1 p a p b p c    





3 3 2 3

p a p b p c p p p

        

(điều phải chứng minh)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

1 a b c

p a





p b





p c





 

hay tam giác là tam

giác đều

III. Bài tập bất đẳng thức Bunhiacopxki

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

a, A 6 x  x2

b, B x  2 x

Bài 2: Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2

3

2 a

b

c

a



b



b



c



c



a



(gợi ý: biến đổi vế trái thành

2 2 2

2 2 2 2 2 2

a

b

c

a



b



b



c



c



a

rồi áp dung bất đẳng
thức Bunhiacopxki)

Bài 3: Cho a, b, c là các số thực dương, a b c , , 1. Chứng minh rằng:

Tải Bất đẳng thức Bunhiacopxki - Chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10

<b>Bất đẳng thức Bunhiacopxki</b>



 







<i>a</i>

<i>b</i>

<i>c</i>



<i>d</i>



<i>a a</i>

, ,...,

<i>a</i>





<i>b b</i>

, ,...,

<i>b</i>





 







...

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>b</i>



<i>b</i>

 

<i>b</i>



 









 















 

















 





 

2

2

2

0

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>c</i>

<i>d</i>

<i>ac bd</i>

<i>ac</i>

<i>ad</i>

<i>bc</i>

<i>bd</i>

<i>ac</i>

<i>abcd</i>

<i>bd</i>

<i>ad</i>