Tải 150 bài tập về bất đẳng thức có đáp án - Tài liệu ôn tập môn Toán lớp 9, lên lớp 10

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (355.35 KB, 28 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

150 Bài tập về bất đẳng thức - Tốn lớp 9

Bài 1: Cho a 3, tìm giá trị nhỏ nhất của

1
S a

a

 

Giải:

1 8a 1 24 1 10

( ) 2 .

9 9 9 9 3

a a

S a

a a a

       

Bài 2: Cho a 2, tìm giá trị nhỏ nhất của 2
1
S a

a

 

Giải:

2 2 2

1 6a 1 12 1 12 3 9

S ( ) 3 . .

8 8 8 8 8 8 8 4 4

a a a a

a

a a a

          

Bài 3: Cho a, b > 0 và a b 1, tìm giá trị nhỏ nhất của

1
S ab

ab

 

Giải:

1 1 15 1 15 17

S ( ) 2

16a 16a 16a 4

16
2

ab ab ab

ab b b b a b

       



 

 

 

Bài 4: Cho a, b, c> 0 và

3
2

a b c  

Tìm giá trị nhỏ nhất của

2 2 2

1 1 1

S a b c

b c a

     

Giải:

Cách 1:

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2

1 1 1

1 1 1 1 4

(1 4 )( ) (1. 4. ) ( )

a b c

b c a

a a a a

b b b b

     

       

Tương tự

2 2

1 1 4 1 1 4

( ); ( )

17 17

b b c c

c c a a

     

Do đó:

1 4 4 4 1 36

( ) ( )

17 17

1 9 135 3 17

( )

4( ) 4( ) 2

S a b c a b c

a b c a b c

a b c

a b c a b c

         

 

 

       

   

 

Bài 5: Cho x, y, z là ba số thực dương và x y z  1. Chứng minh rằng:

2 2 2

1 1 1

x y z

y z x

     

Giải:

2 2 2 2 2

2 2

1 1 1 1 9

(1. 9. ) (1 9 )( ) ( )

1 1 9 1 1 9

: ( ); ( )

82 82

1 9 9 9 1 81

( ) ( )

82 82

1 1 80

( ) 82

x x x x

y y y y

TT y y z z

z z x x

S x y z x y z

x y z x y z

x y z

x y z x y z

       

     

         

 

 

       

   

 

Bài 6: Cho a, b, c > 0 và a2b3c20

Tìm giá trị nhỏ nhất của

3 9 4

S a b c

a b c

     

Giải: Dự đoán a =2, b = 3, c = 4

12 18 16 12 18 16

4 4 4 4 2 3 3a 2

20 3.2.2 2.2.3 2.4 52 13

S a b c a b c b c

a b c a b c

S

     

               

     

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Bài 7: Cho x, y, z > 0 và

1 1 1
4

x yz 

Tìm giá trị lớn nhất của

1 1 1

2x 2 2z

P

y z x y z x y

  

     

Giải:

Ta có

1 1 4 1 1 4 1 1 1 1 4 4 16 1 1 1 2 1

;

2 2 16

1 1 2 1 1 1 1 1 1 2

;

2 16 2 16

1 4 4 4
1
16

x y x y y z y z x y y z x y y z x y z x y z x y z

TT

x y z x y z x y z x y z

S

x y z

 

                

         

   

         

       

 

    

 

Bài 8:

Chứng minh rằng với mọi x R , ta có

12 15 20

3 4 5

5 4 3

x x x

     

    

     

     

Giải:

12 15 12 15 20 15 20 12

2 . 2.3 ; 2.5 ; 2.4

5 4 5 4 3 4 3 5

x x x x x x x x

x x x

               

      

               

               

Cộng các vế tương ứng => đpcm.
Bài 9:

Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 6 . Chứng minh rằng 8x8y8z 4x14y14z1
Giải:

Dự đoán x=y=z = 2 và 38 .8x x 364x 4xnên:

2 2

3 3 2 2 2
8 8 8 3 8 .8 .8 12.4 ;

8 8 8 3 8 .8 .8 12.4 ;
8 8 8 3 8 .8 .8 12.4

8 8 8 3 8 .8 .8 3 8 .8 .8 192

x x x x x

y y y y y

z z z z z

x y z x y z

   

    

Cộng các kết quả trên => đpcm.
Bài 10:

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

3 3 3 3 3 3

1 1 1

3 3

x y y z z x

xy yz zx

     

  

Giải:













3 3 3 3 3

3 3 3 3 3 3

2 2 2

1 3 3x

1 3x 3 1 3 3 1 3 x 3

; ;

x x x

1 1 1 1

3 3 3 3 3

x y xy x y x y xyz xy x y xy x y z xy xyz y

x y y y z yz z x z

xy xy xy yz yz yz z z z

S

xy yz zx x y z

             

     

     

 

     

 

Bài 11:

Cho x, y là hai số thực khơng âm thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

biểu thức



 





 



1 1

x y xy

P

x y

 



 

Giải:



 





 





 





 







2 2 2 2 2

1 1 2 1 1 1

4 4 4

1 1 1 1 1

x y xy

x y xy x y xy

P P

x y x y x y xy

  

 

 

      

      

      

Khi cho x=0 và y= 1 thì P = -1/4
Khi cho x=1 và y = 0 thì P = 1/4
KL: Khi dấu = xảy ra.

Bài 12:

Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

3 3 3

a b c

ab bc ca
b  c  a   

Giải:

Cách 1:





3 3 3 4 4 4 ( 2 2 2 2) ab bc ac

a b c a b c a b c

ab bc ac

b c a ab bc ca ab bc ac ab bc ac

 

         

   

Cách 2:

3 3 3

2 2 2

2a ; 2 ; 2a

a b c

ab bc b ca

b   c   a  

3 3 3

2 2 2

2( )

a b c

a b c ab bc ac ab bc ac

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Bài 13:

Cho x,y > 0 và xy4. Tìm giá trị nhỏ nhất của

2 3

2
3x 4 2
A

y
y

 

 

Giải: Dự đoán x = y = 2

2 3

2 2 2

3x 4 2 3x 1 2 1 2 9

4x 4 4 4 4 2 2

y x y y x y

y

y x y x y

 

      

            

     

Bài 14: Cho x, y > 0 và x+y = 1. Chứng minh rằng 3 3

1 1

4 2 3

P

x y xy

   



Giải: Ta có





3 3 3 3 3

3 3 3 3

3 3

3xy(x+y) 3xy=1

3xy 3xy

P= 4 3xy 4 2 3

x y x y x y

x y x y

x y xy x y

x y

y x

      

   

   






Bài 15: Cho x, y, z > 0 và

1 1 1

1x1y1z  . Chứng minh rằng

1
x

yz 

Giải:



 





 





 



1 1 1 1 1

2 1 1 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1

: 2 ; 2

1 1 1 1 1 1

y z yz

x y z y z y z y z

xz xy

TT

y x z z x y

         

        

 

     

Nhân các vế của 3 BĐT => đpcm

Bài 16: Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của 1 1 1

x y z

S

x y z

  

  

Giải:

1 1 1 9 9 3

3 3 3

1 1 1 1 1 1 3 4 4

x y z

S

x y z x y z x y z

 

            

          

Bài 17:

Cho a, b, c > 1. Chứng minh rằng:

2 2 2

4a 5 3

1 1 1

b c

a b c 

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>





















2
2

2 2

4 1 4

4a 4 4

4 1 4 1 8 8 8 16

1 1 1 1

5 5 3 3

5 1 10 20; 3 1 6 12

1 1 1 1

a

a a

a a a a

b c

b c dpcm

b b c c

 

          

   

          

   

Bài 18:

Cho a, b, c > 0, chứng ming rằng:

1 1 1 1 1 1

2 2 2a

a b c a b b c c

 

      

  

 

Giải:

1 1 1 9 1 1 1 9 1 1 1 9

; ;

2 2 2

a b b  a b b c c  b c c a a  c a cộng ba bất đẳng thức =>đpcm

Bài 19:

Với a, b, c > 0 chứng minh rằng:

1 4 9 36

a b c  a b c 

Giải:



1 2 3



1 4 9 36

a b c a b c a b c

 

   

   

Bài 20:

Cho a, b, c, d > 0 chứng minh rằng:

1 1 4 16 64

a b c   d a b c d  

Giải:

1 1 4 16 16 16 64

;

a b c  a b c a b c     d a b c d  

Cần nhớ:





2 2 2 a b c

a b c

x y z x y z

 

  

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Bài 21:

Với a, b, c > 0 chứng minh rằng:

4 5 3 3 2 1

a b c a b b c c a

 

      

  

 

Giải:

1 1 4 3 3 3 1 1 4 2 2 8 1 1 4

; ;

a b a b  a b a b b c  b c  b c b c c a  c a
Bài 22:

Với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác , p là nửa chu vi tam giác đó.

Chứng minh rằng

1 1 1 1 1 1

p a p b p c a b c

 

      

    

Giải:

1 1 1 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1

p a p b p c a b c a b c a b c

a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c

    

         

 

          

               

Bài 23:

Cho x, y, z> 0 và x y x  4. Tìm giá trị nhỏ nhất của

2 2 2

x y z

P

y z z x x y

  

  

Giải:

Cách1:









2 2 2 4

2 2 2

x y z

x y z x y z

P

y z z x x y x y z

   

      

    

Cách 2:

2 2 2

; ;

4 4 4

4
2.

2 2 2

x y z y z x z x y

x y z

y z z x x y

x y z x y z

P x y x

  

     

  

   

       

Bài 24:

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x+2y+3z =18. Chứng minh rằng

2 3z 5 3 5 2 5 51

1 1 2 1 3z 7

y z x x y

x y

     

  

  

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>





2 3z 5 3 5 2 5

1 1 2 1 3z

2 3z 5 3 5 2 5

1 1 1 3

1 1 2 1 3z

1 1 1 9

2 3z 6 3 24. 3

1 1 2 1 3z 2 3z 3

9 51

24. 3

21 7

y z x x y

x y

y z x x y

x y

x y x y

     

 

  

     

      

  

 

         

     

 

  

Bài 25:

Chứng minh bất đẳng thức:
2 2

a b  1 ab a b 

Giải:

Nhân hai vế với 2, đưa về tổng cuuả ba bình phương.
Bài 26:

Chứng minh rằng nếu a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có p là nửa chu vi thì
3

p a  p b  p c  p

Giải:

Bu- nhi -a ta có:

2 2 2

(1 1 1 )( ) 3(3 2 ) 3

p a  p b  p c    p a p b p c      p p  p

Bài 27:

Cho hai số a, b thỏa mãn: a 1; b4. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng

1 1

A a b

a b

   

Giải:

1 1 15 1 15.4 1 17 21

2; 2.

16 16 16 4 4 4

b b

a b A

a b b

 

          

 

Bài 28:

Chứng minh rằng a4b4a b ab3  3

Giải:

   

2 2 2 2 2 2



2 2





2 2

 

2 2





2 2



4 4 3 3

a b (1 1 ) a b a b a b 2ab a b a b a b ab

              

 

 

Bài 29:

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

( 1)

x y xy y x
A

xy y x x y

   

 

    (Với x; y là các số thực dương).
Giải:

Đặt

( 1) 1

; 0

x y

a a A a

xy y x a

 

    

 

Có

1 8 1 8 1 8 2 10 10

( ) .3 2. .

9 9 9 9 3 3 3 3

a a a

A a A

a a a

           

Bài 30:

Cho ba số thực a b c, , đôi một phân biệt.

Chứng minh

2 2 2

2 2 2 2

( ) ( ) ( )

a b c

b c  c a  a b 

Giải:

. . . 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

a b b c c a

b c c a c a a b a b b c

a b c

VT

b c c a a b

  

     

 

    

  

 

(Không cần chỉ ra dấu = xảy ra hoặ nếu cần cho a= 1,b=0 => c=-1 thì xảy ra dấu =)
Bài 31:

Cho các số dương a; b; c thoả mãn a + b + c 3. Chứng ming rằng

2 2 2

1 2009

670

a b c ab bc ca  

Giải:









2 2 2

2 2

2 2 2

1 2009

1 1 1 2007 9 2007

670

a b c ab bc ca

a b c ab bc ca ab bc ca ab bc ca a b c a b c



   

      

           

Bài 32:

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

2 2 2

P

a

b

c

ab bc ca

a b b c c a







Giải:

3(a2 + b2 + c2) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2) = a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2

Mà a3 + ab2  2a2b ;b3 + bc2  2b2c;c3 + ca2  2c2a Suy ra 3(a2 + b2 + c2)  3(a2b + b2c + c2a) > 0

Suy ra

2 2 2

P

a

b

c

ab bc ca

a

b

c







2 2 2

9 (

)

P

2(

)

a

b

c

a

b

c

a

b

c











t = a2 + b2 + c2, với t  3.

Suy ra

9

1 3 1

3

4

2 2 2

t

P t

t



 

 





 





 P  4 a = b = c = 1

Bài 33:

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của

P =

1 1 1

16x4y z

Giải:





1 1 1 1 1 1 21

16x 4 16x 4 16 4 16 4 16

y x z x z y

x y z

y z y z x y x z y z

       

              

 

     

16 4 4

y x

x y có =khi y=2x;

16 2

z x

x z  khi z=4x;4 1

z y

y z  khi z=2y =>P  49/16

Min P = 49/16 với x = 1/7; y = 2/7; z = 4/7

Bài 34:

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn:

4

5

23 x



y



Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

6

7 B 8x

18y

x

y

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Giải:

6

7

2

4

5 B 8x

18y

8x

18y

8 12 23 43

x

y

x

y

x

y









































 

















Dấu bằng xảy ra khi



x; y



1 1

;

2 3













.Vậy Min B là 43 khi





1 1

x; y

;

2 3













Bài 35

Cho x, y. z là ba số thực thuộc đoạn [1;2] và có tổng khơng vượt q 5. Chứng minh rằng
x2 + y2 + z2  9

Giải:

0
1
x
2
x

1     và x 20 (x 1)(x 2)0

 x2 3x 2

Tương tự y2 3y 2 và z2 3z 2

 x2 + y2 + z23( x + y +z) – 6  3. 5 – 6 = 9

Bài 36:

Cho a, b, c là các số thuộc



1; 2



thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 6. Chứng minh rằng

a  b c 0.

Giải:



 



2 2 2

1 2 0 2 0; 2 0; 2 0

6 0

a a a a b b c c

a b c a b c

            

       

Bài 37:

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a  b c 2. Chứng minh rằng:

2 2 2

1 1 1 97

a b c

b c a

     

Giải:

2 2 2

2 2

9 1 81 1 1 4 9

1. . 1 ;

4 16 97 4

1 4 9 1 4 9

;

4 4

97 97

a a a a

b b b b

b b c c

c c a a

       

       

       

       

   

         

    cộng các vế lại

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Cho tam giác có ba cạnh lần lượt là a,b,c và chu vi là 2p. Chứng minh rằng
9

p p p

p a  p b p c 

Giải:

p p p

p a  p b  p c  hay

1 1 1 9 9

p a p b p c p a p b p c     p

Bài 39:

Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 6. Chứng minh rằng:
2 2 2

3(a b c ) 2a bc52

Giải:



 



















2 2 2

( )( )( ) (6 2a) 6 2 6 2 24

16 36 ( ) 8

2a 48 ( ) 2 48 (1)

3 2 3

2 2 2 0 4 (2) (1) d(2)

abc a b c a b c a b c b c abc ab bc ac

a b c

bc a b c abc

a b c

a b c an dpcm

                

    

         

 

 

        

Có chứng minh được 3(a2b2c2) 2a bc18 hay không?

Bài 40:

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P4(a3b3c3) 15 abc.

Giải:

Có a2 a2 (b c )2 (a b c a b c  )(   ) (1) , b2 b2 (c a )2 (b c a b c a  )(   ) (2)

c2 c2 (a b )2 (c a b c a b  )(   ) (3) . Dấu ‘=’ xảy ra  a b c 

Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên các vế của (1), (2), (3) đều dương. Nhân vế với vế của (1),
(2), (3) ta có: abc(a b c b c a c a b  )(   )(   ) (*)

Từ a b c  2 nên (*)  abc(2 2 )(2 2 )(2 2 ) a  b  c 8 8( a b c  ) 8( ab bc ca  ) 9 abc0
8 9abc 8(ab bc ca) 0 9abc 8(ab bc ca) 8

           (*)

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Từ đó 4(a3b3c3) 15 abc27abc 24(ab bc ca  ) 32 3 9 



abc 8(ab bc ca  )



32 (**)
Áp dụng (*) vào (**) cho ta 4(a3b3c3) 15 abc3.( 8) 32 8  

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

2
3

a b c  
.

Từ đó giá trị nhỏ nhất của P là 8 đạt được khi và chỉ khi

2
3

a b c  

Bài 41:

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng

3 3 3

2 1

9a b c  abc4.

Giải:





3 3 3

3 3 3 2 2 2

* 3

ó 3 ( )( )

3 ( ) (1)

ó ( )( )( ) (1 2a)(1 2 )(1 2 )

2 8

1 4( ) 8a 6a (2)

3 3

(1) d(2)

P a b c abc

Ta c a b c abc a b c a b c ab bc ac

a b c abc a b c ab bc ac

c abc a b c a b c a b c b c

ab bc ca bc bc ab bc ca

an a

   

          

         

            



         















3 3 2 2 2

2 2 2

2 5
3

3 3

1 1 1

2 6 6

1 1 1 1 1 1 1 2

0 .

3 3 3 3 6 3 6 9

b c abc a b c ab bc ca

a b c

m ab bc ca P a b c

a b c a b c P

         

  

       

     

             

     

     









3 3 3

3 3 3 2 2 2

2 2 2

* 3

( )( )( ) (1 2a)(1 2 )(1 2 ) 1 4( ) 8a 0

) 2a (3)

3 ( )( ) 6a

6a 3 6a

P a b c abc

abc a b c a b c a b c b c ab bc ca bc

ab bc ca bc

P a b c abc a b c a b c ab bc ac bc

a b c ab bc ac bc a b c ab bc ca bc

   

                 

    

            

             

  3





1 3.1 1

4 4

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Bài 42:

Cho ba số dưỡng,y,z thỏa mãn x+y+z =6 . Chứng minh rằng:

2 2 2

x



y



z



xy yz z



x



xyz



8

Giải:

Chứng minh được



 







2 2 2 2

2 2 2

(6 2 )(6 2 )(6 2 ) 216 72( ) 24( x) 8x

24 ( x) (1)

mà 9 2x 2 2xz 9

x xz 36 3x 3 3xz (2)

ê x xz 24 (

xyz x y z x y z x y z

x y z x y z xy yz z yz

xyz xy yz z

x y z x y z y yz

x y z y yz y yz

N n xyz x y z y yz

       

           

    

         

         

        









2
2 2 2

x)+ 36 3x 3 3xz
1

x xz 12 ( x) mà 3( x)

1 36

x xz 12 . 12 8

3 3 9

xy yz z y yz

xyz x y z y yz xy yz z x y z xy yz z

x y z

xyz x y z y yz

    

                

 

            

Bài 43:

Cho a 1342; b1342. Chứng minh rằng





2 2

2013 .
a b ab a b

Dấu đẳng thức xảy
ra khi nào?

Giải:

Ta sẽ sử dụng ba kết quả sau:



a1342



2



b1342



2 0;



a 1342

 

b1342



0;a1342 b 1342 0
Thật vậy:















 























2 2 2 2 2

2 2 2 2

1342 1342 0 2.1342. 2.1342 0 (1)

1342 1342 0 1342a 1342 1342 0 (2)

2.1342. 2.1342 1342a 1342 1342 0

3.1342. 3.1342 2.2013. 3.1342

2013. 2013.

a b a b a b

a b ab b

a b a b ab b

a b ab a b a b

a b a b

         

       

         

        

     2.2013.1342 2013.



a b



2013.



a b 1342 1342



2013.



a b



Bài 44:

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Giải:

Cách 1:

Cách 2:











 













 











4 4 2 2

2 2 2 2

2
2

2 2

2
2

2 2

4 2 4 2

1 3 6 1 3

1 3 4 1 3

2x 8x 10 4 x 4x 3

2( 2) 2 4 ( 2) 1

4( 2) 8( 2) 4 4( 2) 8( 2) 4

8( 2) 8 8

A x x x x

A

A x x

A x x x x

A x

      

 

      

 

 

      

 

      

         

   

Bài 45:

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng:
1

1 1 1 4

ab bc ca

c a b 

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Bài 46

Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz = 1. Chứng minh rằng:

3 3 3 3 3 3

1 1 1

1
1x y 1y z 1z x 

Giải:

























2 2 2 2 3 3

3 3

3 3 3 3 3 3

x 2x 2x x x

1 1

1 x

1 1 1

; ;

1 x 1 y 1 z

y y x y x y y x y y y x y

y xy x y z

z x y

dpcm

y x y z z x y z x x y z

          

       

   

    

           

Bài 47

Cho a,b là các số thực dương. Chứng minh rằng:





2 2a 2

a b

a b    b b a

Giải:













1 1 2





2a 2

2 2 4 4

a b

a b    a b a b     a b a    b  ab a b  b b a

     

Bài 48

Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện:

3 3 3

1 1 1

1
1 8a  1 8b  1 8c 

Giải:









2 2 2

3 2

2 2

3 3

2 2 2 2 2 2

1 1 1 2 1

2a 1 4a 2a 1 4a 2 2 1

1 8a 2a 1 4a 2a 1

1 1 1 1

; ;

2 1 2 1

1 8b 1 8c

1 1 1 9

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

a

b c

VT

a b c a b c

   

     

   

 

 

     

       

Bài 49

Với a,b,c là ba số thực dương . Chứng minh rằng:

3 3 3

2 2 2

a b c

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Cách 1:



2 2 2





2 2 2

 

2 2 2



3 3 3 4 4 4

2 2 2

a b c a b c a b c

a b c a b c

a b c

b c a ab bc ca ab bc ca ab bc ca

     

         

   

Cách 2





3 3 3

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2a ; 2 ; 2 2 ( )

a b c

ab bc b ca c VT a b c ab bc ca a b c

b   c   a            

Bài 50

Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng:

2 2 2

1 1 1 2

x y z

y z x 

Giải:





2 1 2 1 2 1 3 3 3 3 3

; ; .3

1 4 1 4 1 4 4 4 4 4 2

x y y z z x

x y z VT x y z

y z x

  

             

  

Bài tập về bất đẳng thức và cực trị đại số

Bài 1: (CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2009 –

2010)

a) Cho x, y, z, a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:

3abc + xyz3 3 (a + x)(b + y)(c + z).

b) Từ đó suy ra: 3333 33 33 2 33

Bài 2: (CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2010 –

2011)

a) Cho 2 số dương a và b. Chứng minh rằng :

1 1 1 1

( )

a b  a b

b) Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn

1 1 1

2010.
x y z 

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

1 1 1

2 2 2

P

x y z x y z x y z

  

     

Bài 3: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2011 –

2012)

a) Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 : 2 2

2 1

x 2y 3xy y 1  .

b) Cho 3 số dương a,b,c với abc = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2 2 2 2 2 2

1 1 1

2 3 2 3 2 3

M

a b b c c a

  

      .

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 1 xy, trong đó x, y là các số thực thoả mãn
điều kiện: x2013y2013 2x1006 1006y .

Bài 5: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2013 – 2014)

Cho 3 số dương a, b, c. Chứng minh rằng:

3
2

a b c

b c c a a b     

Bài 6: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2015 –

2016)

Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x y 3.
a) Chứng minh rằngxy y 4.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 6

3 4

P

xy y

 

 .

Bài 7: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2015 – 2016)

Cho ba số không âm x, y, z thỏa mãn

1 1 1

2
1 2 x1 2 y1 2 z  .

Chứng minh rằng

1
64

xyz 

Bài 8: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2016 – 2017)

Cho m, n là các số thực thay đổi sao cho m2n2 5. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức:Q m n mn   1.

Bài 9: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2017 –

2018)

a) Với

4
0

x

< <

, chứng minh rằng 2

(

)

4 3 x

x - x ³ .

b) Cho a, b, c là ba số dương nhỏ hơn

3 sao cho a + b + c = 3. Chứng minh

rằng:

(

)

(

)

(

)

2 2 2

1 1 1

3 3 5 3 3 5 3 3 5

a b+ -c +b c+ a- +c a+ -b ³ .

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

a) 2

a a

a b a b ;

b) 2 2 2 1

a b c

a b  b c  c a  .

Bài 11: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2018 –

2019)

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = 2.

Chứng minh rằng





1 1 1

2 9xyz 21

x y z

 

    

 

 

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Bài 12: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2018 – 2019)

Với a, b, c là 3 số dương thỏa mãn điều kiện a  b c ab bc ca   6abc0.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2

1 1 1

P

a b c

  

Bài 13: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2019 –

2020)

Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca  1. Chứng minh rằng

2 1 2 1 2 1 2

a b  b c  c a   .

Dấu “=” xảy ra khi nào?

Bài 14: ( HSG TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU NĂM HỌC 2008 – 2009)

Tìm x, y để biểu thức F đạt giá trị nhỏ nhất: F 5x2 2y2 2xy 4x2y3

Bài 15: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2008 – 2009)

a)Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y= x +1
x2+x +1 .
b) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 6. 
Chứng minh rằng: 3(a2 + b2 + c2) + 2abc  52.

Bài 16: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2009 – 2010)

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:

4
1
1
1

1    

 b

ca
a

bc
c

ab

Bài 17: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2012 – 2013)
Cho ba số dương a b, và c thoả mãn abc 1. Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1

2 3 2 3 2 3 2

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Bài 18: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2016 – 2017)
Cho a, b, c>0 thỏa mãn abc=1 . Chứng minh

1 1 1 3

2 2 2

ab a   bc b   ca c  

Bài 19: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2017 – 2018)
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x y z xyz   .

Chứng minh rằng:

2 1 1 2

1 1   1 1

 y  

x z

xyz

x y z

Bài 20: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2018 – 2019)

Cho ba số không âm a, b, c thay đổi thỏa mãn điều kiện a b c  4. Tìm giá trị

lớn nhất của biểu thức P a b b c c a abc3  3  3  2  ab3bc3ca3bca2.

Bài 21: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2009 – 2010)

a)Tìm x. y để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất: P = 3x2 + 11y2 – 2xy – 2x + 6y – 1 .
b)Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn hệ thức a + b + c = 6abc. Chứng minh
rằng:













2

2 bc

ca

ab

a c



b



b a



c



c b



a



c)Cho ba số thực

  

, , 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

x

y

z

M

y z z x x y











. Với mọi x, y, z > 0.

Bài 22: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2011 – 2012)
Cho x, y là các số thực dương thõa mãn xy = 1 .

Chứng minh rằng : (x + y + 1)(x2 + y2) +

x y  8

Bài 23: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2014 – 2015)
Cho 3 số x , y , z >0 thỏa điều kiện x+ y+ z=1 .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P= x
x+1+

y
y+1+

z
z+1

Bài 24: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2016 – 2017)
Cho x, y, z là ba số dương. Chứng minh rằng:

2 2 2

1 1 1 1 1 1 1

x yz y xz z xy xy yz zx

 

      

    

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

a)Cho a, b, c là ba số không âm thỏa mãn điều kiện





2 2 2

a + b + c 2 ab + bc + ca và p, q, r

là ba số thỏa mãn p + q + r = 0. Chứng minh rằng: apq + bqr + crp  0.
b)Cho các số dương a, b thỏa mãn điều kiện a.b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:

M =









2 2 4

a + b + 1 a + b +
a + b

Bài 26: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2018– 2019)
Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 3

Chứng minh rằng a b31 b c31 c a315

Bài 27: ( HSG TỈNH BÌNH PHƯỚC NĂM HỌC 2018– 2019)

Cho x, y là các số thực thỏa mãn x y 1  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:









4 3 3 4

P 2x x 2y 1 y 2x 1 2y

Bài 28: (HSG TĨNH GIA – THANH HÓA NĂM HỌC 2013– 2014)
Cho các số x,y,z thoả mÃn x+y+z =1

Tìm giá trị bÐ nhÊt cđa biĨu thøc : M =

2 2 2 2 2 2

x xy y  y yz z  z zx x

Bài 29: ( HSG TỈNH DAKLAK NĂM HỌC 2012– 2013)
Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn:a b c  3.

Chứng minh rằng: 2 2 2

1 1 1

a b c

b c a

  

  

  

Bài 30: ( HSG TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2016– 2017)
a) Cho a, b là hai số thực , x, y là hai số thực dương.

Chứng minh rằng:





2 2 a b

a b

x y x y



 

 .

b) Cho x, y là hai số thực dương sao cho x + y = 1.

Chứng minh rằng: 2 2

1 1 3

x y

x  y 

  .

Bài 31: ( HSG TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2018– 2019)
Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh:

3 4

a b

c

a

b

c

b

c

a

a b b c c a







 









</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Bài 32: ( HSG TỈNH GIA LAI NĂM HỌC 2009– 2010)

Cho 3 số dương a b c, , . Chứng minh bất đẳng thức:

2 2 2 a b b c c a

a b c ab bc ca

  

    

.
Bài 33: ( HSG TỈNH HÀ NAM NĂM HỌC 2012– 2013)

Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn:a b c  3. Chứng minh rằng:

2 2 2

1 1 1

a b c

b c a

  

  

  

Bài 34: ( HSG TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2008– 2009)

C¸c sè thùc x,y,z tho¶ m·n: x4 + y4 + z4 = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thøc :

P = x2(y + z) + y2(x + z) + z2(y + x) .

Bài 35: ( HSG TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2010– 2011)
Cho a, b, c > 0 vµ abc = 1.

Chøng minh r»ng



 



  

     

3 3 3

a b c 3

1 b 1 c 1 c 1 a 1 a 1 b 4

Bài 36: ( HSG TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2012– 2013)

Các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: x+ y+ z=1 .Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức:

F= x

(

x2+y2

)

( x+ y )+

y4

(

y2+z2

)

( y + z )+

z4

(

z2+x2

)

( z + x ) .

Bài 37: ( HSG TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2014– 2015)

Cho a,b   thỏa mãn:

9
(2 )(1 )

a b

  

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 16a4 4 1b4
Bài 38: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2009– 2010)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
2

( 1)

x y xy y x
A

xy y x x y

   

 

    (Với x; y là các số thực dương).

Bài 39: (HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2013– 2014)

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn

2 ab



6 bc



2 ac



7 abc

. Tìm giá trị

nhỏ nhất của biểu thức

4

9

4

2

4 ab

ac

bc

C

a

b a

c b c





</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Bài 40: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2014– 2015)

Cho các số dương x, y, z thay đổi thỏa mãn: xy yz zx xyz   . Tìm giá trị lớn nhất

của biểu thức:

1 1 1

4 3 4 3 3 4

M

x y z x y z x y z

  

      .

Bài 41: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2016– 2017)

Cho a, b, c là ba số thực dương thoả mãn a2b2c2 3.

Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2

a 3ab b b 3bc c c 3ca a

6a 8ab 11b 6b 8bc 11c 6c 8ca 11a

     

  

      .

Bài 42: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2018– 2019)
Cho các số thực dương x y z, , thỏa mãn xy yz xz  3.

Chứng minh bất đẳng thức

2 2 2

3 8 3 8 3 8 1

x y z

x   y   z   .

Bài 43: ( HSG TỈNH HẢI PHÒNG NĂM HỌC 2016– 2017)

Cho ba số thực a, b, c dương. Chứng minh rằng:













3 3 3

a b c

a  b c  b  c a  c  a b 

Bài 44: (HSG TỈNH HỊA BÌNH NĂM HỌC 2009– 2010)

Cho hai sè a, b tho¶ m·n a1; b4, tìm giá trị nhỏ nhất của tổng:

1 1

A a b

a b

   

Bài 45: ( HSG TỈNH HỊA BÌNH NĂM HỌC 2013– 2014)

Cho m là số cố định, x và y là các số thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

2 2

( 3 1) (2 4)

P x y  x my 

Bài 46: ( HSG TỈNH NGHỆ AN- BẢNG A NĂM HỌC 2010– 2011)

a) Cho x > 0, y > 0, z > 0 và

1

4 x



y



z



.

Chứng minh rằng:







 

1 2x + y + z

x

2y

z

x

y

2z

b) Cho x > 0, y > 0, z > 0 thỏa mãn

x

2011



y

2011



z

2011



3

.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

M



x



y



z

Bài 47: ( HSG TỈNH NGHỆ AN- BẢNG B NĂM HỌC 2010– 2011)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2

4x+3

A

x

1

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Bài 48: ( HSG HUYỆN NGHĨA ĐÀN TỈNH NGHỆ AN- BẢNG B NĂM HỌC

2011– 2012)

Cho a > 0, b > 0 và a + b 1 . Tìm GTNN của biểu thức A = a2+b2+ 1

a2+
1

b2 .
Bài 49: ( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2015– 2016)

Cho

a b c 

, ,

0 thỏa mãn

a b c

  

3 . Chứng minh rằng:

2 2 2

1 1 1

a b c

b c a

  

  

  

Bài 50: ( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2016– 2017)

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn

ab bc ca 1.





Tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức

2 2 2

2a

b

c

P

1 a

1 b

1 c





.

Bài 51: ( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2018– 2019)

Cho

a b c

, ,

là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

4 4 4

a b c

P

a b b c c a

     

     

  

     

Bài 52: ( HSG TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2013– 2014)

Cho

{

a ,b ,c >0

a+2 b+3 c ≥10 , chứng minh rằng : a+b +c +

3
4 a+

9
8 b+

c≥

13
2

Bài 53: ( HSG TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2014– 2015)

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn

ab ac bc





3

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức 2 2 2

19 3 19

3

1 a

b

c

T

b

c

a







Bài 54: ( THI VÀO LỚP 10 TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2016– 2017)

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức P 2a2ab2b2  2b2bc2c2  2c2ca2a2
Bài 55: ( HSG TỈNH KOMTUM NĂM HỌC 2012– 2013)

Cho a b c, , là các độ dài ba cạnh của một tam giác và thỏa hệ thức a b c  1.

Chứng minh rằng

2 2 2 1

a b c 

Bài 56: ( HSG TỈNH LAI CHÂU NĂM HỌC 2014– 2015)

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng

1 1 1 1

a b c b c a c a b

 



 



 

 

a b c



Bài 57: ( HSG TỈNH LẠNG SƠN NĂM HỌC 2014– 2015)

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

6

8 P 3x 2y

x

y





Bài 58: ( HSG TỈNH LẠNG SƠN NĂM HỌC 2015– 2016)

Cho a, b, c là 3 số thực dương thỏa mãn: 2 2 2 2 2 2

1

2 a



b



4 c



b



4 a



c



4 3



Chứng minh rằng:

3 ab bc ca

4 



Bài 59: ( HSG TỈNH LONG AN NĂM HỌC 2018– 2019)

Cho ba số dương x, y,zthỏa mãn điều kiện: xy yz zx  673.

Chứng minh rằng: 2 2 2

2019 2019 2019

x x x

x  yz  y  zx  z  xy x y z 

Bài 60: ( HSG TỈNH NINH BÌNH NĂM HỌC 2011 – 2012)

Tìm GTLN của

y



x 9 x



.

Bài 61: ( HSG TỈNH NINH BÌNH NĂM HỌC 2014 – 2015)

Cho ba số thực không âm x,y,z thỏa mãn x+y+z=3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức

√

2 x2+3 xy +2 y2+

√

2 y2+3 yz+2 z2+

√

2 z2+3 zx+2 x2

Bài 62: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2008 – 2009)

a) Chøng minh r»ng nÕu c¸c sè x, y, z có tổng là một số không âm th×
3 3 3

x y z 3xyz.

b) Cho m, n là các số thỏa mÃn điều kiện

1
mn

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thøc
2 2 2 2

2 2 2 2

m n m n

P .

m n m n



 



Bài 63: (HSG TỈNH PHÚ THỌ NM HC 2009 2010)

Cho các số dơng x, y, z thoả mÃn điều kiện: xy + yz + zx = 670. Chøng minh r»ng

2 2 2

2010 2010 2010

x y z

x  yz  y  zx  z  xy x y z 

Bài 64: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2012 – 2013)
Cho a,b,c là các số thực dương. CMR:

3 2 3 2a 3 2 6

ab bc ca a b c

a b c b c c a b

 

  

     

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Cho các số thực dương x y z, , thỏa mãn x y z  3.

Chứng minh rằng

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

4 .

4 4 4

x y z y z x z x y

xyz

yz zx xy

     

  

  

Bài 66: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2014 – 2015)

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x2

+y2+z2=3

Chứng minh rằng 3x

√

yz+

y

√

xz+

z

√

xy≥ xy+yz+xz

Bài 67: (HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2015 – 2016)

Cho các số thực phân biệt

a , b , c

. Chứng minh rằng

a −b¿2
¿
b − c¿2

¿
c −a¿2

(¿¿)≥9
2

¿
¿

(

a2

+b2+c2

)

.

Bài 68: (HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2017 – 2018)

Chứng minh rằng





2 2 2

3 3 3

a b b c c a

a b c

a ab b bc c ca

  

 

      

  

  với a b c, , là độ dài ba

cạnh của một tam giác.

Bài 69: ( HSG TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2013 – 2014)

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn

1 1 1

1 a



b



c



.

Chứng minh rằng:



 





 



1

8 a



b



c





a



b



c



.

Bài 70: ( HSG TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2015 – 2016)

Cho

a b

,



0

thỏa mãn

a

 

b

2

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:





1 M

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Bài 71: ( HSG TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2018 – 2019)

Cho ba số thực dương thỏa mãn x y z 2 xyz    .

Chứng minh rằng: x y z 6 2 xy   



 yz zx



Bài 72: ( HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2012 – 2013)

Cho ba số thực dương a, b, c.Chứng minh rằng:

a3
b+

b3

c +
c3

a ≥ ab+bc+ca

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Bài 73: ( HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2013 – 2014)

Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1.

Chứng minh rằng abc + 2(1 + a + b + c + ab + ac + bc) ≥ 0.

Bài 74: ( HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2017 – 2018)

Cho ba số thực , ,

a b c thỏa

1a b c, , 2.

Chứng minh :

7 a b c

a c b

b



c a



c b a





.

Bài 75: ( HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2008 – 2009)

Cho

x

+

y

= 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

x

+

y

Bài 76: ( HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2013 – 2014)

Cho

a,b,c

là 3 số dương thoả mãn

1 1 1

1 a 1 b 1 c     

. Tìm giá trị lớn nhất

của

Q=abc

Bài 77: ( HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2016 – 2017)

Cho

a b c , , 0

. Chứng minh rằng

a b c

b c  c a  a b 

.

Bài 78: ( HSG TỈNH QUẢNG NINH NĂM HỌC 2005 – 2006)

Chøng minh r»ng: 21.

(

a+1

b

)

+ 3 .

(

b+

a

)

 80 víi a  3, b  3. 
Dấu bằng xảy ra khi nào?

Bi 79: ( HSG TỈNH QUẢNG NINH NĂM HỌC 2012 – 2013)

Cho a , b là hai số dương thỏa mãn a + b = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T =

2 2

1 1 1 1

a b

a b a b

   

      

   

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Bài 81: ( HSG TỈNH THÁI BÌNH NĂM HỌC 2012 – 2013)

Cho đa thức P(x) = ax2 + bx + c . Biết P(x) > 0 với mọi x thuộc R và a > 0.

Chứng minh rằng:

5 3 2

a b c

a b c

 


 

Bài 82: ( HSG TỈNH THÁI NGUYÊN NĂM HỌC 2012 – 2013)

Cho a



R thỏa mãn a

– a

+ a = 2. Chứng minh rằng : 3 < a

< 4

Bài 83: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2010 – 2011)

Cho ba số dương a b c, , thoả mãn: a2 b2  b2c2  c2a2  2011.

Chứng minh rằng:

2 2 2 1 2011

2 2

a b c

b c c a    a b 

Bài 84: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2013 – 2014)

Cho x, y là các số thực dương thoả mãn x + y = 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3

1 1

x y

 

 .

Bài 85: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2014 – 2015)

Cho các số thực dương

a b c

, ,

thỏa mãn 2 2

2 a

b

c

a

b

6. b

a

b

a





























Tìm giá trị

nhỏ nhất của biểu thức

4 .

(2

)

(2

)

(

)

bc

ca

ab

P

a b c

b a c

c a b





Bài 86: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2016 – 2017)

Cho các số thực

a b c, ,

thỏa mãn :

0a b c, , 2

và

a b c  5

. Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức :

A a b c

.

Bài 87: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2017 – 2018)
Cho x y z, , là các số thực dương thỏa mãn x z . Chứng minh rằng

2 5

.
2

xz y x z

y yz xz yz x z



  

  

Bài 88: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2018 – 2019)
Cho x y z, , là các số thực dương thỏa mãn x y z   1 0.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:



 



3 3

2
x y

P

x yz y xz z xy



  

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Cho 2 số thực dương x, y thỏa điều kiện

x 1

1 x 1 y    . Tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức P = xy2

Bài 90: ( HSG TỈNH TRÀ VINH NĂM HỌC 2017 – 2018)

Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của

P =

ab bc ca

cab  abc  bca

Bài 91: ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2007 – 2008)

Cho các số thực dương

a b c

, ,

thoả mãn

abc 

2. Chứng minh rằng

a



b



c



a b c b c a c a b

 



.

Bài 92: ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2008 – 2009)

Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn abc 2. Chứng minh rằng

3 3 3

a b c a b c b c a c a b    

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Bài 93: ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2009 – 2010)

Chứng minh rằng:





1 1 1 1

( )( )( )

a b c abc

a b b c c a abc a b b c c a

  

   

      với mọi a b c , , 0

Bài 94: ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2010 – 2011)

Cho a, b, c là ba số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3

4

8

2

3 a

c

b

c

P

a

b c a b

c a b

c











 

.

Bài 95: ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2011 – 2012)

Cho a b c d, , , là các số thực thỏa mãn điều kiện:
2012

abc bcd cda dab a b c d        . Chứng minh rằng:



 



1 1 1 1 2012

a  b  c  d  
.

Bài 96: ( HSG TP VĨNH YÊN NĂM HỌC 2012 – 2013)

Cho a b c, , là các số dương. Chứng minh rằng

a) 2 2 2 1

a b c

b c c  a a  b .













2 2 2 2 2 2

2 2 2

3 6 3 6 3 6

a b c b c a c a b

a b c

b c c a a b

  

    

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Bài 97: ( HSG TỈNH YÊN BÁI NĂM HỌC 2003 – 2004)

Cho biểu thức M = a2 + b2 biết rằng a và b là nghiệm của phương trình 5a2 + 5b2 + 8ab =

18.

Tìm những giá trị của a và b để :
a) M đạt giá trị lớn nhất
b) M đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 98: ( HSG TỈNH YÊN BÁI NĂM HỌC 2006 – 2007)

Cho 1 ≤ m ≤ 2 và 1 ≤ n ≤ 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2
3 3

(m n)
A

m n





Bài 99: ( HSG TỈNH YÊN BÁI NĂM HỌC 2011 – 2012)

Cho x, y, z là ba số dương thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng + + ≥

</div>

Tải 150 bài tập về bất đẳng thức có đáp án - Tài liệu ôn tập môn Toán lớp 9, lên lớp 10

<b>150 Bài tập về bất đẳng thức - Tốn lớp 9</b>















 





 





 





 





 





 

















 





 





 











































   







 







Đặt

Có









P

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>c</i>

<i>ab bc ca</i>