BO DE+DA HSG TOAN 8

Ch ơng trình luyện thi HSG THCS
1
Câu 1: (2 điểm) Phân tích thành nhân tử
a) a(x
2
+ 1) x(a
2
+ 1)
b) x 1 + x
n + 3
x
n
HD:
a). a(x
2
+ 1) x(a
2
+ 1) = ax
2
a
2
x + a x = ax(x a) (x a) = (x
a)(ax 1).
b). x 1 + x
n
(x
3
1) = (x 1)[1 + x
n
(x
2

+ x + 1)] = (x 1)(x
n+2
+ x
n+1
+ 1).
Câu 2: (1,5 điểm) Thực hiện phép tính:
2 2
2 2 2 2
x y x y
:
y xy x xy x y xy



+
ữ
ữ
+


HD:
+ Điều kiện xác định: (
x 0;y 0;x y;x y
).
+
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
x y x y x y xy(x y) x y
A : .
xy(x y) x y

y xy x xy x y xy x y


+ +
= + = =
ữ
ữ

+


Câu 3: (1,5 điểm) Rút gọn biểu thức:
x y
A
x y
+
=
+
HD:
+ Điều kiện xác định: (
x y

).
+ Xét 4 trờng hợp:
x y x y
*Nếu x 0;y 0 B 1; *Nếu x 0;y 0 B 1;
x y x y
x y x y
*Nếu x 0;y 0 B ; *Nếu x 0;y 0 B
x y x y

+
= = = =
+ +
+
= =
+ +
Câu 4: (1,5 điểm)
Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức
2
x 3
M
x 2

=

có giá trị nguyên.
HD:
+ M có nghĩa khi x

2
{ } { }
2 2
x 3 x 4 1 (x 2)(x 2) 1 1
M (x 2)
x 2 x 2 x 2 x 2
x Z,M Z (x 2) Ư(1) 1;1 x 3;1
+ + +
+ = = = = + +

=

Câu 5: (3,5 điểm)
Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E, trên tia đối của tia
CB lấy điểm F sao cho AE = CF.
a)Chứng minh rằng tam giác EDF vuông cân.
b)Gọi O là giao điểm hai đờng chéo AC và BD; I là trung điểm của EF; Chứng
minh rằng ba điểm O, C, I thẳng hàng.
HD:
2
Câu 1:
Cho đa thức : P(x) = 2x
4
7x
3
2x
2
+ 13x + 6
a)Phân tích P(x) thành nhân tử.
b)Chứng minh rằng P(x) chia hết cho 6 với mọi x

Z.
Ch ơng trình luyện thi HSG THCS
HD:
a). P(x) = 2x
4
7x
3
2x
2
+ 13x + 6 = 2x

4
6x
3
x
3
+ 3x
2
5x
2
+ 15x 2x +
6
= (x 3)(2x
3
x
2
5x 2) = (x 3)(2x
3
4x
2
+ 3x
2
6x +x 2)
=(x 3)(x 2)(2x
2
+ 3x + 1) = (x 3)(x 2)(x + 1)(2x + 1).
b). P(x) = (x 3)(x 2)(x + 1)(2x + 1) = (x 3)(x 2)(x + 1)(2x 2 + 3)
= 2(x 3)(x 2)(x + 1)(x 1) + 3(x 3)(x 2)(x + 1)
P(x) 6 M
(Đfcm).
Câu 2:

Cho hình bình hành ABCD (AC > BD). Vẽ CE

AB, CF

AD.
Chứng minh rằng AB.AE + AD.AF = AC
2

Câu 3: Cho phân thức
4 3 2
4 3 2
x x x 2x 2
F(x) (x Z)
x 2x x 4x 2
+
=
+
a)Rút gọn phân thức.
b)Xác định giá trị của x để phân thức có giá trị nhỏ nhất.
Câu 4:
Cho tam giác vuông ABC, cạnh huyền BC = 289 cm và đờng cao AH = 120 cm.
Tính hai cạnh AB và AC.
Câu 5: Cho 3 số dơng a, b, c.
Chứng minh rằng:
1 1 1
(a b c) 9
a b c

+ + + +
ữ

Câu 6: Cho 3 số dơng a, b, c.
Giải phơng trình:
a b x b c x c a x 4x
1
c a b a b c
+ + +
+ + + =
+ +
3
Câu 1: Giải phơng trình: (3x 1)(x + 1) = 2(9x
2
6x + 1)
Câu 2: Giải bất phơng trình:
x 1 x 4
3
2 2
+

Câu 3: Tính giá trị của biểu thức:
2a b 5b a
A
3a b 3a b

= +
+

Biết 10a
2
3b

2
+ 5ab = 0 và 9a
2
b
2


0.
Câu 4: Cho biểu thức:
4 3
4 3 2
1
P
2 1
+ + +
=
- + - +
x x x
x x x x
a)Tìm điều kiện xác định của P.
b)Rút gọn P.
c)Với giá trị nào của x thì biểu thức P có giá trị bằng 2.
Câu 5: Cho hình bình hành ABCD (BC//AD) có góc ABC = góc ACD.
Biết BC = 12m, AD = 27m, tính độ dài đờng chéo AC.
Câu 6:
Cho tam giác ABC, M là trung điểm cạnh BC. Từ một điểm E trên cạnh BC ta
kẻ đờng thẳng Ex // AM. Ex cắt tia CA ở F và tia BA ở G.
Chứng minh EF + EG = 2AM.
4 Câu 1:Rút gọn biểu thức:
4 12 9

A
2 6
+
=

2
2
a a +
a a
Câu 2: Cho biểu thức
0,5 2 8 2
B :
1 0,5 2 2
+ +
= +
+ +
2 3
a a a
a a a( a)
Ch ơng trình luyện thi HSG THCS
a)Tìm a để B có nghĩa.
b)Rút gọn biểu thức B.
Câu 3:
1) Giải bất phơng trình: (x 2)(x + 1) < 0.
2) Giải phơng trình:
2 2 2 0+ + =
2
x x x + 1
Câu 4: Cho biểu thức: A = x
2

+ 6x + 15
a)Chứng minh rằng A luôn dơng với mọi x.
b)Với giá trị nào của x thì A có giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất, tìm giá trị nhỏ
nhất hay lớn nhất đó.
Câu 5: Cho tứ giác ABCD, gọi M, N là trung điểm hai cạnh đối diện BC và AD.
Cho
AB DC
MN
2
+
=
. Chứng minh rằng ABCD là hình thang.
Câu 6: Cho hình bình hành ABCD, trên đờng chéo AC lấy một điểm I. Tia DI
cắt đờng thẳng AB tại M, cắt đờng thẳng BC tại N.
Chứng minh a)
AM DM CB
AB DN CN
= =
; b) ID
2
= IM.IN.
5
Câu 1: Cho a, b, c là số đo ba cạnh của một tam giác, chứng minh rằng:
a
2
b + b
2
c + c
2
a +ca

2
+ bc
2
+ ab
2
a
3
b
3
c
3
> 0.
Câu 2:
Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức:
2 3
A
2
+ +
=
+
2
2
x x
x
Câu 3: Giải phơng trình:
1 2 3 4 + + = +x x x
Câu 4: Cho hình thoi ABCD có góc B tù. Kẻ BM và BN lần lợt vuông góc với
cạnh AD và CD tại M và N. Tính các góc của hình thoi ABCD biết rằng 2MN =
BD.
6

Câu 1: Cho a b = 7.
Tính giá trị của biểu thức: a
2
(a + 1) b
2
(b 1) + ab 3ab(a b + 1)
Câu 2: Thực hiện phép tính bằng cách nhanh nhất:
2
6 3
7 2
2 1 6
9 3


ữ

x x
Câu 3: Cho biểu thức B =
3
2
2 a 8 2
a :
1 0,5a a 2
2a a


+ +
ữ
+ +

a)Tìm x để B có nghĩa.
b)Rút gọn B.
Câu 4: Giải phơng trình: (x 2)(x + 2)(x
2
10) = 72.
Câu 5: Cho hình thang ABCD có độ dài hai đáy là AB = 5 m, CD = 15 cm, độ
dài hai đờng chéo là AC = 16 cm, BD = 12 cm. Từ A vẽ đờng thẳng song song
với BD cắt CD tại E.
1) Chứng minh ACE là tam giác vuông tại A.
2) Tính diện tích hình thang ABCD.
Câu 6: Cho tam giác ABC, đờng phân giác trong của góc C cắt cạnh AB tại D.
Chứng minh rằng: CD
2
< CA.CB
Câu 1:Cho a, b là hai số nguyên. Chứng minh rằng:
Nếu a chia cho 13 d 2 và b chia cho 13 d 3 thì : a
2
+ b
2
chia hết cho 13.
Ch ơng trình luyện thi HSG THCS
Câu 2: Cho a, b là các số thực tuỳ ý.
Chứng minh rằng: 10a
2
+ 5b
2
+ 12ab + 4a 6b + 13

0. Đẳng thức xảy ra khi

nào?
Câu 3: ở bên ngoài của hình bình hành ABCD, vẽ hai hình vuông ABEF và
ADGH.
Chứng minh:
1) AC = FH và AC vuông góc với FH.
2) Tam giác CEG vuông cân.
Câu 4: Cho đa thức: P(x) = x
4
+ 2x
3
13x
2
14x + 24 (Với x nguyên)
1)Phân tích đa thức P(x) thành nhân tử.
2)Chứng minh rằng P(x) chia hết cho 6.
Câu 5: Cho tam giác ABC, BD và CE là hai đờng cao của tam giác ABC. DF và
EG là hai đờng cao của tam giác ADE. Chứng minh rằng:
1)Hai tam giác ADE và ABC đồng dạng.
2)Chứng minh: FG//BC.
Câu 6:
1)Chứng minh rằng phơng trình x
4
x
3
x 1 = 0 chỉ có hai nghiệm.
2)Giải và biện luận phơng trình: m
2
x + 1 = x + m (m là tham số)
8
Câu 1: Cho phân thức:

4 2
3
x 2x 1
A
x 3x 2
+
=

1) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa.
2) Rút gọn A.
3) Tính x để A < 1.
Câu 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức:
2
3
E
x 2x 4
=
+
Câu 3: Giải phơng trình:
1 1
x(x 1) 2
=

Câu 4: Cho hình bình hành ABCD với đờng chéo AC > BD. Gọi E, F lần lợt là
chân đờng vuông góc kẻ từ C đến các đờng thẳng AB và AD; Gọi G là chân đ-
ờng vuông góc kẻ từ B đến AC,
1) Chứng minh tam giác CBG đồng dạng với tam giác ACF.
2) Chứng minh AB.AE + AD.AF = AC
2
.

Bài tập t ơng tự :
1)Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, hai đờng cao BD và CE cắt nhau tại
H. Chứng minh rằng BH.BD = CH.CE = BC
2
.
2)Cho tam giác ABC vẽ phân giác AD.
Chứng minh : AD
2
= AB.AC + BD.DC.
3)Cho tam giác ABC có: BC = a, AC = b, AB = c.
Chứng minh rằng
à
à
2 2
A 2B a b bc.= = +
4)Cho tam giác ABC. Biết đờng phân giác ngoài của góc A cắt cạnh BC
kéo dài tại E. Chứng minh rằng: AE
2
= EB.EC + AB.AC.
9 Câu 1: Cho đa thức: P(x) = x
4
3x
3
+ 5x
2
9x + 6.
1)Trong trờng hợp x là số nguyên dơng. Chứng minh rằng P(x) chia hết cho 6.
2)Giải phơng trình P(x) = 0.
9 Câu 2:Cho tứ giác ABCD có chu vi là 2p và M là một điểm ở trong tứ giác.
Ch ơng trình luyện thi HSG THCS

Chứng minh: 1) p < AC + BD < 2p;
2) p < MA + MB + MC + MD < 3p.
9 Câu 3: Cho a + b + c = 1, và a
2
+ b
2
+ c
2
= 1.
1) Nếu
x y z
a b c
= =
. Chứng minh rằng: xy + yz + xz = 0.
2) Nếu a
3
+ b
3
+ c
3
= 1. Tìm giá trị của a, b, c.
9 Câu 4: Cho tam giác ABC (AB < AC). Hai đờng cao BD và CE cắt nhau tại H.
1) So sánh hai góc BAH và CAH.
2) So sánh hai đoạn thẳng BD và CE.
3) Chứng minh rằng hai tam giác ADE và ABC đồng dạng.
9
Câu 5: Giải phơng trình:
x 1 2 x 1 x+ =
9
Câu 6: Giải phơng trình:

x a x b x c 1 1 1
2
bc ac ab a b c


+ + = + +
ữ

(Trong đó x là
ẩn)
10 Câu 1: Giải phơng trình: x
4
+ 2x
3
4x
2
5x 6 = 0
10
Câu 2: Rút gọn biểu thức:
2 2 3 3
2 2 2 2
x y xy x y
A :
x y x y 2xy
+ +
=
+
10 Câu 3:
Chứng tỏ rằng bất phơng trình sau nghiệm đúng với mọi x:
2

4
5 0
x 2x 2

<
+

10
Câu 4: Tìm gái trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
2
x 4x 1
A
x
+
=
10 Câu 5: Cho tam giác ABC vuông tai A (AC > AB), đờng cao AH. Trong nửa
mặt phẳng bờ AH có chứa điểm C vẽ hình vuông AHKE.
1)Chứng minh rằng
à
0
B 45>
.
2)Gọi P là giao điểm của AC và KE. Chứng minh rằng tam giác ABP vuông
cân.
3)Gọi Q là đỉnh thứ t của hình bình hành APQB và I là giao điểm của BP và
AQ. Chứng minh ba điểm H, I, E thẳng hàng.
4)Chứng minh rằng HE // QK.
11 Câu 1: (3đ)
Chứng minh biểu thức P =

2 2 2
2 2 2
(x a)(1 a) a x 1
(x a)(1 a) a x 1
+ + + +
+ +
không phụ thuộc vào biến
x
11 Câu 2: (2đ) Giải phơng trình: x
3
+ 12 = 3x
2
+ 4x
11
Câu 3: (2đ) Giải phơng trình:
2
2
1 8x 4x 32x
0
4 8x 12x 6
3(4 16x )
+
+ =
+

11 Câu 4: (5đ) Cho ba phân thức:
2 2 2
2 2 2
4xy z 4yz x 4xz y
A ; B ; C

xy 2z yz 2x xz 2y

= = =
+ + +
Ch ơng trình luyện thi HSG THCS
Trong đó x, y, z đôi một khác nhau.
Chứng minh rằng nếu: x + y + z = 0 thì: A.B.C = 1.
11 Câu 5: (4đ)
Cho hình thang ABCD có đáy lớn là CD. Qua A kẻ đờng thẳng song song với
BC cắt đờng chéo BD tại M và cắt CD tại I. Qua B kẻ đờng thẳng song song với
AD cắt cạnh CD ở K. Qua K kẻ đờng thẳng song song với BD cắt BC ở P.
Chứng minh rằng: MP//CD.
11 Câu 6: (4đ)
Cho tam giác ABC. Gọi O là một điểm nằm trong tam giác. Gọi M, N, P, Q lần
lợt là trung điểm của các đoạn thẳng: OB, OC, AC, AB.
1)Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.
2)Để tứ giác MNPQ là hình chữ nhật thì điểm O nằm trên đờng đặc biệt nào của
tam giác ABC? Giải thích vì sao?
12 Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: P(x) = 6x
3
+ 13x
2
+ 4x 3.
12 Câu 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6).
12 Câu 3: Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng: a
3
+ b
3
+ c
3

= 3abc.
12 Câu 4: Giải phơng trình: (4x + 3)
3
+ (5 7x)
3
+ (3x 8)
3
= 0.
12 Câu 5: Cho a, b, c, là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
ab + bc + ac

a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + ac + bc)
12 Câu 6: Cho a, b, c, là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Chứng minh rằng nếu ( a + b + c)
2
= 3(ab + ac + bc) thì tam giác đó là tam giác
đều
12 Câu 7: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy một điểm M tuỳ ý. Đờng
thẳng vuông góc với AM tại M cắt CD tại E và AB tạ F. Chứng minh AM = FE.
12 Câu 8: Trong tam giác ABC kẻ trung tuyến AM, K là một điểm trên AM sao
cho AM = 3AK. Gọi N là giao điểm của BK và AC.
1)Tính diện tích tam giác AKN. Biết diện tích tam giác ABC là S.
2)Một đờng thẳng qua K cắt các cạnh AB và AC lần lợt tại I và J.
Chứng minh rằng:

AB AC
6
AI AJ
+ =
.
13 Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: (x
2
+ x)
2
2(x
2
+ x) 15
13 Câu 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: (a + b + c)
3
a
3
b
3
c
3
.
13
Câu 3: Giải phơng trình:
2 3
2 1 2x 1
x 1
x x 1 x 1

= +
+

+ +
13 Câu 4:
Cho a, b, c, d là các số thực thoả mãn a

b, c

d. Chứng minh: ac + bd

bc +
ad.
13 Câu 5:
Cho hình vuông ABCD; Điểm E thuộc cạnh CD, điểm F thuộc cạnh BC. Biết
góc FAE = 45
0
. Chứng minh chu vi tam giác CFE bằng nửa chu vi hình vuông
ABCD.
13 Câu 6: Cho tam giác ABC, lấy một điểm O nằm trong tam giác. Các tia AO,
BO, CO cắt BC, AC, AB lần lợt tại P, Q, R. Chứng minh rằng
OA OB OC
2
AP BQ CR
+ + =
.
Ch ơng trình luyện thi HSG THCS
14
Câu 1: Cho ba số khác 0 thoả mãn
( )
1 1 1
a b c 1
a b c

+ + + + =
ữ

Tính giá trị của biểu thức: (a
23
+ b
23
)(b
5
+ c
5
)(a
1995
+ c
1995
)
14 Câu 2:Xác định đa thức bậc ba sao cho khi chia đa thức ấy cho các nhị thức lần
lợt là: (x 1); (x 2); (x 3) đều có số d là 6 và tại x = 1 thì đa thức
nhận giá trị là ( 18).
14 Câu 3: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 1. Trên các cạnh AB, AD
lần lợt lấy các điểm M, N sao cho chu vi của tam giác AMN bằng 2. Tính số đo
của góc MCN?
15
Câu 1: Cho biểu thức:
2a 1 5 a
A
3a 1 3a 1

= +

+
1)Tính giá trị của A khi
1
a
2

=
.
2)Tính giá trị của A khi 10a
2
+ 5a = 3.
15 Câu 2: Giải phơng trình : x
4
+ 2x
3
+ 5x
2
+ 4x 12 = 0.
15 Câu 3:
Cho đoạn thẳng AB, gọi O là trung điểm của AB. Vẽ về một phía của AB các tia
Ax, By vuông góc với AB. Lấy C trên tia Ax, D trên tia By sao cho góc COD =
90
0
.
1) Chứng minh tam giác ACO và tam giác BDO đồng dạng.
2) Chứng minh : CD = AC + BD.
3) Kẻ OM vuông góc với CD tại M, gọi N là giao điểm của AD và BC.
Chứng minh rằng MN//AC.
16
Câu 1: Xác định số tự nhiên n để giá trị của biểu thức:

5n 11
A
4n 13

=

là số tự
nhiên.
16 Câu 2:
Cho n là số tự nhiên. Chứng minh rằng B = n
3
+ 6n
2
19n 24 chia hết cho
6.
16
Câu 3: Tính tổng
1 1 1
S(n) ... (n N)
2.5 5.8 (3n 1)(3n 2)
= + + +
+
16 Câu 4: Cho hình bình hành ABCD có đờng chéo lớn AC. Tia Dx cắt AC, AB,
CB lần lợt tại I, M, N. Vẽ CE vuông góc với AB, CF vuông góc với AD, BG
vuông góc với AC. Gọi K là điểm đối xứng của D qua I. Chứng minh:
1) IM.IN = ID
2
.
2)
KM DM

KN DN
=
.
3) AB.AE + AD.AF = AC
2
.
16
Câu 5:Giải phơng trình :
x 1 x 2 x 3 14 + + + =
16 Câu 6: Tìm giá trị nguyên của x, y trong đẳng thức: 2x
3
+ xy = 7.
16 Câu 7: Cho 4 số dơng a, b, c, d. Chứng minh:
a b c d
1 2
a b c b c d c d a d a b
< + + + <
+ + + + + + + +
16 Câu 8: Cho tam giác ABC có BC = a và đờng cao AH = h. Từ một điểm M trên
đờng cao AH vẽ đờng thẳng song song với BC cắt hai cạnh AB, AC lần lợt tại P
Ch ơng trình luyện thi HSG THCS
và Q. Vẽ PS và QR vuông góc với BC.
1)Tính diện tích của tứ giác PQRS theo a, h, x (trong đó AM = x).
2)Xác định vị trí của điểm M trên AH để diện tích này lớn nhất.
17 Câu 1: (2đ) Phân tích đa thức thành nhân tử: x
3
7x 6
17 Câu 2: (6đ)
Một trờng tổ chức lần lợt cho các lớp trồng cây: Lớp thứ nhất trồng đợc 18 cây
và thêm 1/11 số cây còn lại. Rồi đến lớp thứ hai trồng 36 cây và thêm 1/11 số

cây còn lại. Tiếp theo lớp thứ ba trồng 54 cây và thêm 1/11 số cây còn lại. Cứ
nh thế các lớp trồng hết số cây và số cây trồng đợc của mỗi lớp bằng nhau. Hỏi
trờng đó đã tồng đợc bao nhiêu cây?
17 Câu 3: (4đ)
Cho biểu thức:
3
3
x 1 x 1
x 1 x 1
A
x
1
1 x
+

+
=
+


Hãy viết A dới dạng tổng của một biểu thức nguyên và một phân thức với bậc
của tử thấp hơn bậc của mẫu.
17 Câu 4: (4đ) Chứng minh rằng Tổng độ dài ba trung tuyến của một tam giác thì
lớn hơn
3
4
chu vi và nhỏ hơn chu vi của chính tam giác ấy.
17 Câu 5: (4đ)
Gọi O là một điểm nằm trong tứ giác lồi MNPQ. Giả sử bốn tam giác MON,
NOP, POQ, QOM có diện tích bằng nhau.

1) MP cắt NO ở A. Chứng minh A là trung điểm của NP.
2) Chứng minh O nằm trên đờng chepos NQ hoặc đờng chéo MP của tứ giác
MNPQ.
18 Câu 1: (4đ)
Rút gọn biểu thức: A = 75(4
1993
+ + 4
2
+ 5) + 25.
18 Câu 2: (3đ)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2
1
B
1
=
+ +x x
18 Câu 3: (3đ)
Chứng minh rằng nếu: abc = a + b + c và
1 1 1
2
a b c
+ + =
thì
2 2 2
1 1 1
2
a b c
+ + =
18 Câu 4: (3đ) Tìm các số nguyên dơng n để: n

1988
+ n
1987
+ 1 là số nguyên tố.
18 Câu 5: (3đ)
Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 6cm, BC = 7cm. Gọi G là trọng tâm tam
giác ABC, O là giao điểm của hai tia phân giác trong của tam giác ABC.
Chứng minh rằng: GO//AC.
18 Câu 6: (5đ)
Cho hình vuông ABCD, trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BC = 3BM, trên tia
đối của tia CD lấy điểm N sao cho AD = 2CN. Gọi I là giao điểm của AM và
BN.
Chứng minh rằng: 5 điểm A, B, I, C, D cùng cách đều một điểm.
19 Câu 1: Chứng minh rằng: 21
30
+ 39
21
chia hết cho 45.
19 Câu 2: Cho a, b, c là ba số dơng.
Ch ơng trình luyện thi HSG THCS
Chứng minh rằng:
2 2 2
a b c a b c
b c a c a b 2
+ +
+ +
+ + +
19 Câu 3: Chứng minh rằng nếu x + y + z = 0 thì: 2(x
5
+ y

5
+ z
5
) = 5xyz(x
2
+ y
2
+
z
2
)
19 Câu 4: Cho tam giác ABC, trung tuyến CM. Qua điểm Q trên AB kẻ đờng thẳng
d song song với DM. Đờng thẳng d cắt BC tại R và cắt AC tại P. Chứng minh
nếu QA.QB = QP.QR thì tam giác ABC vuông tại C.
19 Câu 5: Trên các cạnh AB, BC, AC của tam giác ABC cố định; Ngời ta lần lợt
lấy các điểm M, N, P sao cho
AM BN CP
k (k 0)
MB NC PA
= = = >
Tính diện tích tam giác MNP theo diện tích tam giác ABC và theo k.
Tính k sao cho diện tích tam giác MNP đạt giá trị nhỏ nhất.
20 Câu 1: Biết m + n + p = 0. Tính giá trị của biểu thức:
m n n p p m p m n
S
p m n m n n p p m


= + + + +
ữ ữ

20 Câu 2: Cho tích của hai số tự nhiên bằng 1985
1986
. Hỏi tổng của haio số đó có
phải là bội của 1986 hay không?
20 Câu 3: Một ngời đi xe gắn máy từ A đến B cách nhau 200 km. Cùng lúc đó có
một ngời đi xe gắn máy khác từ B đến A. Sau 5 giờ hai xe gặp nhau. Nếu sau
khi đi đợc 1giờ 15 phút mà ngời đi từ A dừng lại 40 phút rồi mới đi tiếp thì phải
sau 5 giờ 22 phút kể từ lúc khởi hành, hai ngời mới gặp nhau. Tính vận tốc cua
mỗi ngời?
20 Câu 4: Cho tứ giác ABCD có hai đờng chéo cắt nhau tại O. Chứng minh rằng
nếu các tam giác AOB, BOC, COD và DOA có chu vi bằng nhau thì tứ giác
ABCD là hình thoi.
20 Câu 5: Cho tứ giác ABCD có hai dờng chéo cắt nhau tại O. Kí hiệu S là diện
tích. Cho S
AOB
= a
2
(cm
2
) và S
COD
= b
2
(cm
2
) với a, b là hai số cho trớc.
1)Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của S
ABCD

?
2) Giả sử S
ABCD
bé nhất. Hãy tìm trên đờng chéo BD một điểm M sao cho đờng
thẳng qua M song song với AB bị hai cạnh AD, BC và hai đờng chéo AC, BD
chia thành ba phần bằng nhau
21 Câu 1: Chứng minh rằng với x, y nguyên thì:
A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y
4
là một số chính phơng.
21 Câu 2: Phân tích đa thức thanh nhân tử: (a x)y
3
(a y)x
3
+ (x y)a
3
.
21
Câu 3: Giải phơng trình:
2 2
1 1 1
6
x 4x 3 x 8x 15
+ =
+ + + +
21 Câu 4: Giải phơng trình: x
4
+ 2x
3
+ 8x

2
+ 10x + 15 = 0.
21 Câu 5: Cho tam giác ABC cân tại A (góc A nhọn); CD là đờng phân giác của
góc ACB (D thuộc cạnh AB). Qua D kẻ đờng vuông góc với CD; đờng này cắt
đờng thẳng BC tại E. Chứng minh: EC = 2BD.
21 Câu 6: Cho tam giác ABC (AB = AC) có góc ở đỉnh bằng 20
0
; cạnh đáy là a,
cạnh bên là b. Chứng minh: a
3

+ b
3
= 3ab
2
.
22
Câu 1:Giải phơng trình:
2 2x 5 3 7 =
22
Câu 2: Giải phơng trình:
315 x 313 x 311 x
3
105 103 101

+ + =
Ch ơng trình luyện thi HSG THCS
22
Câu 3: Cho biểu thức:
4 3

4 3 2
x x x 1
A
x x 2x x 1
+ + +
=
+ +
1) Rút gọn A.
2) Chứng tỏ rằng A không âm với mọi giá tị của x.
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
22 Câu 4: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là a. Gọi M, N lần lợt là trung
điểm của cạnh AB, BC. Các đờng thẳng DN, CM cắt nhau tại I. Chứng minh:
1) Tam giác CIN vuông.
2) Tính diện tích tam giác CIN theo a.
3) Tam giác AID cân.
23
Câu 1: (3đ) Cho phân thức:
5 4 3 2
2
x 2x 2x 4x 3x 6
M
x 2x 8
+ +
=
+
1). Tìm các giá trị của x để M có nghĩa.
2). Tìm các giá trị của x để M = 0.
3). Rút gọn M.
23
Câu 2: (5đ) Tìm x để A có giá trị nhỏ nhất:

2
2
x 2x 1995
A (x 0)
x
+
= >
23
Câu 3: (5đ) chứng minh rằng:
( ) ( )
n *
10 9n 1 27 n N M
23 Câu 4: (7đ) Cho tứ giác ABCD có: AB//CD, AB < CD, AB = BC = AD, và BD
vuông góc với BC.
1). Tứ giác ABCD là hình gì? Tại sao?
2). Tính các góc trong của tứ giác ABCD.
2). So sánh diện tích của tam giác ABD với diện tích của tứ giác ABCD.
24
Câu 1: Rút gọn rồi tính giá tị của biểu thức:
3 2
2a 12a 17a 2
A
a 2
+
=

Biết rằng a là nghiệm của phơng tình:
2
a 3a 1 1 + =
24 Câu 2:

Tìm giá trị nhỏ nhất của B và giá trị tơng ứng của x với:
( )
2
B 3x 1 4 3x 1 5= +
24
Câu 3: Cho a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
2 2 2
1
a b c
3
+ +
24 Câu 4: Cho 4 điểm A, E, F, B theo thứ tự ấy trên một đờng thẳng. Trên cùng
một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các hình vuông ABCD; EFGH.
1). Gọi O là giao điểm của AG và BH. Chứng minh rằng các tam giác OHE và
OBC đồng dạng.
2). Chứng minh rằng các đờng thẳng CE và DF cùng đi qua O.
24 Câu 5:
Cho các điểm E, F nằm trên các cạnh AB và BC của hình bình hành ABCD sao
cho AF = CE. Gọi I là giao điểm của AF và CE.
Chứng minh rằng ID là phân giác của góc AIC.
25 Câu 1: Tìm một số có hai chữ số mà bình phơng của nó bằng lập phơng của
tổng các chữ số của nó.
25 Câu 2: Cho a, b, c là số đo ba cạnh của một tam giác. Xác định hình dạng của
Ch ơng trình luyện thi HSG THCS
tam giác để biểu thức sau :
a b c
A
b c a a c b a b c
= + +
+ + +

đạt giá trị nhỏ
nhất.
25 Câu 3: Cho ba số , y, z thoả mãn điều kiện x + y + z = 0 và xy + yz + xz = 0.
Hãy tính giá trị của biểu thức: S = (x 1)
1995
+ y
1996
+ (z + 1)
1997
.
25 Câu 4: Cho hihf vuông ABCD cạnh a. Điểm M di động trên cạnh AB; Điểm N
di động trên cạnh AD sao cho chu vi tam giác AMN không đổi và bằng 2a. Xác
định vị trí của MN để diện tích tam giác CMN đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị
lớn nhất đó.
25
Câu 5: Cho tam giác ABC có
à
à
0
3A 2B 180+ =
. Tính số đo các cạnh của tam giác
ABC biết các số đo ấy là ba số tự nhiên liên tiếp.
26
Câu 1:Chứng minh rằng nếu:
1 1 1 1
a b c a b c
+ + =
+ +
thì (a + b)(b + c)(a + c) =
0.

26
Câu 2: a) Giải phơng trình:
3 x 3 2 x 2 x 1 4 + =
.
b) Giải phơng trình: x
4
+ 7x
2
12x + 5 = 0.
26 Câu 3: Hai đội bóng bàn của hai trờng A và B thi đấu giao hữu. Biết rằng mỗi
đối thủ của đội A phải lần lợt gặp các đối thủ cua đội B một lần và số trận đấu
gấp đôi tổng số đấu thủ của hai đội. Tính số đấu thủ của mỗi đội.
26 Câu 4: Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh CD và BC lấy điểm M, N sao cho
BM = DN. Gọi I là giao điểm cua BM và DN. Chứng minh IA là phân giác của
góc DIB.
26 Câu 5: Cho hình bình hành ABCD, với AC > DB. Gọi E và F lần lợt là chân đ-
ờng vuông góc kẻ từ C đến các đờng thẳng AB và AD.
Chứng minh rằng: AB.AE + AD.AF = AC
2
.
27 Câu 1:
Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2a
2
b + 4ab
2
a
2
c + ac
2
4b

2
c + 2bc
2

4abc.
27 Câu 2: Tìm nghiệm của đa thức: f(x) = x
2
+ x 6.
27 Câu 3: Cho a, b, c là ba số đôi một khác nhau, chứng minh rằng:
b c c a a b 2 2 2
(a b)(a c) (b a)(b c) (c b)(c a) a b b c c a

+ + = + +

27 Câu 4: Giải phơng trình: m
2
x + 2m = 4x + m
2
. (với x là ẩn).
27 Câu 5: Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A. Lấy điểm M tuỳ ý trên cạnh AC.
Kẻ tia Ax vuông góc với BM. Gọi H là giao điểm của Ax với BC và K là điểm
đối xứng với C qua H. Kẻ Ky vuông góc với BM. Gọi I là giao điểm của Ky với
AB. Tính góc AIM?
28 Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) x
4
+ 1997x
2
+ 1996x + 1997.
b) bc(b + c) + ac(a + c) + ab(a + b) + 2abc.

28 Câu 2: Tính giá trị của biểu thức A = xy + xz + yz + 2xyz.
Biết:
a b c
x ; y ; z
b c a c a b
= = =
+ + +
28 Câu 3: Tìm bốn số tự nhiên liên tiếp, biết tích của chúng là: 57120.
28 Câu 4: Cho hình vuông ABCD. Trên các tia đối CB và DC, lấy các điểm M, N
Ch ơng trình luyện thi HSG THCS
sao cho DN = BM. Các đờng thẳng song song kẻ từ M với AN và từ N với AM
cắt nhau tại F. Chứng minh:
1). Tứ giác ANFM là hình vuông.
2). Điểm F nằm trên tia phân giác của góc MCN và góc ACF = 90
0
.
3). Ba diểm B,O,D thẳng hàng và tứ giác BOFC là hình thang(O là trung điểm
FA).
28 Câu 5: Cho đoạn thẳng PQ = a. Dựng một hình vuông PABC sao cho P là đỉnh
và Q là trung điểm của cạnh AB.
29 Câu 1: Cho a, b, c, d là các số nguyên dơng thoả mãn điều kiện: a
2
b
2
= c
2

d
2
.

Chứng minh rằng S = a + b + c + d là hợp số.
29 Câu 2: chứng minh rằng nếu a, b là hai số dơng thoả mãn điều kiện a + b = 1
thì:
3 3 2
a b 2(b a)
b 1 a 1 (ab) 3

=
+
29 Câu 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: x
4
+ 1996x
2
+ 1995x + 1996.
29 Câu 4: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh CD lấy một điểm M bất kỳ. Các tia
phân giác của các góc BAM và DAM lần lợt cắt cạnh BC tại E và cắt cạnh CD
tại F. Chứng minh AM vuông góc với FE.
29 Câu 5: Cho tam giác ABC (AB khác AC). Trên tia đối của tia BA lấy điểm D,
trên tia đối của tia CA lấy điểm E, sao cho BD = CE. Gọi N là trung điểm của
cạnh BC. Vẽ hình bình hành ECNK và hình bình hành BDFN. Gọi M là giao
điểm của DE và FK. Tìm quỹ tích điểm M khi D và E di động.
30 Câu 1: Cho biểu thức:
4 3 2
x 10
B
x 9x 9x 9x 10
+
=
+ +
a). Tìm điều kiện của x để B có nghĩa.

b). Rút gọn biểu thức B.
30 Câu 2: Chứng minh rằng: A = n
8
+ 4n
7
+ 6n
6
+ 4n
5
+ n
4
chia hết cho 16, với mọi
n là số nguyên.
30 Câu 3:
1). Giải phơng trình:
3 3 3
4x 3 1 3x (3 4x)(3x 1)

+ =

2). Giải bất phơng trình:
x 1 4 x
2
2 2
+

30 Câu 4: Giải và biện luận phơng trình sau

x a 1 x b 1 a
x a x b (x a)(x b)

+ +
=

Trong đó a, b là hằng số.
30 Câu 5: Cho hình thang vuông ABCD có đáy CD = 9 cm; đáy AB = 4 cm, cạnh
xiên BC = 13 cm. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM = AB. Đờng thẳng
vuông góc với BC tại M cắt AD tại N.
1). Chứng minh rằng điểm N nằm trên tia phân giác của góc ABM.
2). Chứng minh rằng: BC
2
= BN
2
+ ND
2
+ DC
2
.
3). Tính diện tích hình thang ABCD.