DE THI HSG TOAN 8

ĐỀ THI CHỌN LỌC HỌC SINH GIỎI
MƠN: TỐN
Thời gian: 150 phút
Bài 1:( 4 điểm)
Cho biểu thức M =






+
+
−
+
−
2
1
36
6
4
3
2
xxxx
x
:









+
−
+−
2
10
2
2
x
x
x
a) Rút gọn M
b)Tính giá trị của M khi
x
=
2
1
Bài 2:(4 điểm)
Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) x
3
– 5x
2
+ 8x – 4
b)
11 7
1x x
+ +

c )( b
2
+ c
2
- a
2
)
2
- 4b
2
c
2
d )(x
2
+x+1)(x
2
+x + 2 ) –12
Bài 3 : (4điểm )
a)Cho hai số thực x, y thoả mãn
3 2
3 10x xy− =
và
3 2
3 30y x y− =
.
Tính giá trò biểu thức P =
2 2
x y+
.
b) Chứng minh rằng :Nếu

1 1 1
2
a b c
+ + =
và a + b + c = abc thì
2 2 2
1 1 1
2
a b c
+ + =
Bài 5) (6 điểm)
Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng
song song với AM cắt AB và AC lần lượt tại E và F.
a) Chứng minh DE + DF = 2AM
b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt EF tại N. Chứng minh N là trung điểm
của EF
c) Chứng minh S
2
FDC

≥
16 S
AMC
.S
FNA
Bài 6) ( 2 điểm)
Chứng minh
b
c
a

b
c
a
a
c
c
b
b
a
++≥++
2
2
2
2
2
2
với mọi số a, b, c khác 0.
Đáp án và biểu điểm
Bài 1:
a) Rút gọn M
M=






+
+
−

+
−
2
1
36
6
4
3
2
xxxx
x
:








+
−
+−
2
10
2
2
x
x
x

=






+
+
−
−
+−
2
1
)2(3
6
)2)(2(
2
xxxxx
x
:
2
6
+
x
M =
6
2
.
)2)(2(

6
+
+−
−
x
xx
=
x
−
2
1
( 2 điểm)
b)Tớnh giỏ tr ca M khi
x
=
2
1
x
=
2
1

x =
2
1
hoc x = -
2
1

Vi x =

2
1
ta cú : M =
2
1
2
1

=
2
3
1
=
3
2
Vi x = -
2
1
ta cú : M =
2
1
2
1
+
=
2
5
1
=
5

2
( 2 im)
Bi 2:
a) ) x
3
- 5x
2
+ 8x - 4 = x
3
-4x
2
+ 4x x
2
+4x 4
= x( x
2
4x + 4) ( x
2
4x + 4)
= ( x 1 ) ( x 2 )
2
( 1 im)
b)
11 7
1x x+ +
= (x
11
+x
10
+x

9
)+( x
10
-x
9
x
8
)+(x
8
+x
7
+x
6
)+( x
6
x
5
-x
4
) +(x
5
+x4 +x
3
) +(x
3
x
2
x ) +
(x
2

+x+1)
= x
9
(x
2
+x+1) x
8
(x
2
+x+1) +x
6
(x
2
+x+1)-x
4
(x
2
+x+1) +x
3
(x
2
+x+1) +(x
2
+x+1)
=(x
2
+x+1)(x
9
-x
8

+x
6
-x
4
+x
3
+1) (1 im)
c) Ta cú : A = ( b
2
+ c
2
- a
2
)
2
- 4b
2
c
2
= ( b
2
+ c
2
- a
2
)
2
- (2bc)
2
= ( b

2
+ c
2
- a
2
-2bc)( b
2
+ c
2
- a
2
+2bc) = (b+c
-a) (b+c+a) (b-c-a) (b-c+a) (1 im)
d) ủaởt y= x
2
+x +1 suy ra x
2
+ x+ 2= y+1 .
ta ủửụùc :M =y(y+1) 12
=y
2
+y 12 =y
2
-3y +4y 12
=(y-3)(y +4)
Thay y =x
2
+x +1 .Ta ủửụùc :M =(9x
2
+x 2 )(x

2
+x+5)
=(x-1)(x+2)(x
2
+x+5) (1ủim)
Bi 3:
a) Ta coự:
3 2
3 10x xy =
=>
( )
2
3 2
3 100x xy =
=>
6 4 2 2 4
6 9 100x x y x y + =

vaứ
3 2
3 30y x y =
.=>
( )
2
3 2
3 900y x y =
=>
6 2 4 4 2
6 9 900y x y x y + =
Suy ra:

6 4 2 2 4 6
3 3 1000x x y x y y+ + + =
=>
( )
3
2 2 2 2
1000 10x y x y+ = + =
( 2 im )
b) Ta coự :
2
1 1 1
( ) 4
a b c
+ + =

2 2 2
1 1 1 1 1 1
4 2.( )
a b c ab bc ca
+ + = + +

ự
2 2 2
1 1 1
4 2.
a b c
a b c abc
+ +
+ + =

Vỡ a+b+c = abc neõn ta coự :
2 2 2
1 1 1
2
a b c
+ + =
( 2 im)
Bi 5 :
a : Lý lun c :
DF DC
AM MC
=
( Do AM//DF) (1)

DE BD
AM BM
=
( Do AM // DE) (2)
T (1) v (2)


2
DE DF BD DC BC
AM BM BM
+ +
= = =
( MB = MC)

DE +
DF = 2 AM ( 2,25im)

b: AMDN l hỡnh bnh hnh
N
E
D
M C
A
B
F
Ta có
NE AE
ND AB
=

NF FA DM DM AE
ND AC MC BM AB
= = = =


⇒
NE NF
ND ND
=
=> NE = NF ( 2.25 điểm)
c:
∆
AMC và
∆
FDC đồng dạng

⇒

2
AMC
FDC
S
AM
S FD
 
=
 ÷
 

∆
FNA và
∆
FDC đồng dạng

⇒
2
FNA
FDC
S
NA
S FD
 
=
 ÷
 


⇒

2
AMC
FDC
S
ND
S FD
 
=
 ÷
 
và
2
FNA
FDC
S
DM
S DC
 
=
 ÷
 

⇒

.
AMC FNA
FDC FDC
S S
S S

=
2
ND
FD
 
 ÷
 
.
2
DM
DC
 
 ÷
 

4
1
16
ND DM
FD DC
 
≤ +
 ÷
 

⇒
S
2
FDC

≥

16 S
AMC
.S
FNA
( Do
( )
2
0x y− ≥

⇔
( )
2
4x y xy+ ≥

⇔

( )
4
2 2
16x y x y+ ≥

với x
≥
0; y
≥
0) ( 1.5 điểm)
Bài 6:
Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương, ta có:

c
a
c
a
c
b
b
a
c
b
b
a 2
2.2
2
2
2
2
2
2
2
2
≥=≥+
Tương tự:
a
b
a
c
c
b 2
2

2
2
2
≥+
và
b
c
b
a
a
c 2
2
2
2
2
≥+
Cộng theo vế tương ứng của các BĐT trên ta có đpcm