Khao sat ham da thuc

1. Các bứơc khảo sát hàm số y=f(x)
i) Tập xác định: (nhận định thêm về hàm số chẳn, hàm
số lẻ,hàm số tuần hoàn)
ii) Sự biến thiên:
1) Tìm giới hạn ,tiệm cận ( nếu có )
3) Lập BBT xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến
5) Tính lồi lõm , điểm uốn:
( Tính y’’, lập bảng xét dấu y’’ )
iii) Đồ thị:
•
Tìm giao điểm (nếu có) của đồ thị với trục tung và trục
hoành các điểm phụ và vẽ đồ thị đi qua các điểm đã tìm.
2) Chiều biến thiên : ( Tính y’, kháo sát dấu y’ )
4) Cực trị ( nếu có )

Ví dụ 1: Khảo sát hàm số: y= 2x
3
-3x
2
+1
Giải:
1)TXĐ: D=R
c) Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x=0; y
CĐ
=1, cực tiểu tại
x=1;y
CT
=0.

lim , lim
x x
y y
→+ ∞ →− ∞
= +∞ = −∞
•
Đồ thị không có tiệm cận
2. Hàm số bậc 3: y=ax
3
+bx
2
+cx+d (a≠0)
a) Giới hạn:
b) Chiều biến thiên
2) Sự biến thiên:
y’ = 6x
2
-6x, y’=0 ⇔ x=0 hoặc x=1.
y’ >0 trên (-∞;0) và (1; +∞), y’ <0 trên (0;1)
Ví dụ 2: Khảo sát hàm số y = -x
3
+3x
2
-3x+2

x -∞ 0 1 +∞
y’ + 0 - 0 +
y -∞ 1 0 +∞
d)Bảng biến thiên
•

y’’=12x-6 ,y’’=0 ⇔ x= 1/2
e) Tính lồi lõm, điểm uốn
x -∞ 1/2 +∞
y’’ - 0 +
ĐT lồi Đ.uốn lõm
(1/2;1/2)
3) Đồ thị: y=0 ⇔(x-1)
2
(2x+1)=0 ⇔ x=1 , x=-1/2.
x=0 ,y = 1. (1;0) và(-1/2;0) là giao điểm của đồ thị với
trục hoành và.(0;1) giao điểm của đồ thị với trục tung.

6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-6 -4 -2 2 4 6
1/2
1/2
I
-1/2
1

Chú ý 1: Đồ thị hàm số nhận điểm uốn làm tâm

đối xứng. Thật vậy:
OI
uur
1
x X
2
1
y Y
2

= +




= +


•
y =2x
3
-3x
2
+1⇔
Chú ý 2: Tiếp tuyến tại điểm uốn có phương trình:
Tịnh tiến hệ trục toa độ theo véctơ: , với
⇔ là hàm số lẻ trên R nên đò thị hàm số
này nhận điểm I làm tâm đối xứng.
3 2
1 1 1

Y 2 X 3 X 1
2 2 2
   
+ = + − + +
 ÷  ÷
   
3 2
3
Y 2X X
2
= −
1 1
I ;
2 2
 
 ÷
 
3 1 1
y x
2 2 2
 
= − − +
 ÷
 
3 5
y x
2 4
⇔ = − +

Ví dụ2: Khảo sát hàm số y = -x

3
+3x
2
-3x+2
Giải:
2)Sự biến thiên:
lim , lim
x x
y y
→+ ∞ →−∞
= −∞ = +∞
x -∞ 1 +∞
y’ - 0 -
y
+∞
-∞
d)Bảng biến thiên
c) Giới hạn:
Đồ thị hàm số không có tiệm cận
a) Chiều biến thiên: y’ = -3(x
2
-2x+1) = -3(x-1)
2
⇒ y’ ≤ 0
b) Cực trị: Hàm số không có cực trị
dấu ‘= ‘ xảy ra khi x=1 ⇒ hàm số nghịch biến trên R.
1)TXĐ :R

y’’=-6(x-1) ,y’’=0⇔ x=1
x -∞ 1 +∞

y’’ + 0 -
ĐT lõm Đ.uốn lồi
(1;1)
e)Tính lồi lõm, điểm uốn
3)Đồ thị: Giao điểm với trục Ox: (2;0)
Giao điểm với trục Oy: (0;2)
Tiềp tuyến tại điểm uốn(1;1) là : y=1
Chú ý:

8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10 -5 5 10
21
y
x

Tóm tắt: y =ax
3
+bx
2
+cx+d (a ≠0)
•
Tập xác định R.
•

Đồ thị luôn có 1 điểm uốn và nhận điểm uốn làm tâm
đối xứng. (Chứng minh xem như bài tập)
•
y’= 3ax
2
+2bx+c .
•
Nếu y’=0 có hai nghiệm phân biệt thì hàm số có cực đại
và cực tiểu và đồ thị có hai dạng sau:
12
10
8
6
4
2
-2
-4
-10 -5 5 10
10
8
6
4
2
-2
-4
-6
-10 -5 5 10
a>0
a<0

•
Nếu y’ =0 có nghiệm kép, hàm số đơn điệu, tiếp tuyến
tại điểm uốn cùng phương với trục hoành. Đồ thị có dạng
sau:
Nếu y’ =0 vô nghiệm, hàm số đơn điệu. Đồ thị có dạng sau:
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10 -5 5 10
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10 -5 5 10
8
6
4
2
-2
-4
-6

-8
-10 -5 5 10
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10 -5 5 10

•
Đơn điệu
•
y
CĐ
.y
CT
> 0
Nhận Xét: y=ax
3
+bx
2
+cx+d (a≠0)
1)Nếu hàm số có cực đại và cực tiểu: A(x
CT
,y
CT
),

B(x
CĐ
,y
CĐ
) thì chia y cho y’ ta có :
2) Số giao điểm của đồ thị và trục hoành: (bằng số
nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm y =0).
Số nghiệm Hàm số
1
2
y
CĐ
.y
CT
=0
3
y
CĐ
.y
CT
< 0
Do đó, y = αx+β là đường thẳng đi qua hai điểm cực
đại và cực tiểu của đồ thị.
y = y’(ux+v) + αx+β⇒ y
CT
= αx
CT
+β và y
CĐ
= αx

CĐ
+β.

2) Hàm số y =ax
4
+bx
2
+c (a≠0)
Ví dụ1: Khảo sát hàm số: y= x
4
-2x
2
-3
1) Tập xác định: D=R, hàm số chẳn
2) Sự biến thiên:
a) Chiều biến thiên: y’=4x
3
-4x , y’ = 0 ⇔x=-1,x=0,x=1
•
y’ > 0 trên (-1;0)và (1;+∞) , y’ < 0 trên (0;1) và (-∞;-1)
b) Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x= ± 1,y
CT
= -4 và
đạt cực đai tại x = 0 ,y
CĐ
= -3.
c) Giới hạn:
4
2 4
2 3

lim lim (1 )
x x
x
x x
→± ∞ →± ∞
= − − = +∞
•
Đồ thị không có tiệm cận:
hambac4.gsp

x -∞ -1 0 1 +∞
y’ - 0 + 0 - 0 +
y +∞ -3 +∞
-4 -4
e) Tính lồi lõm , điểm uốn:
y’’=12x
2
-4 , y’’ = 0 ⇔
3
3
3
3
x = ±
3
3
−
3
3
3
3

−
x -∞ +∞
y’’ + 0 - 0 +
ĐT lõm Đ.uốn lồi Đ.uốn lõm
( ;-32/9) ( ;-32/9)
d) Bảng Biến Thiên:

3) Đồ thị : Đồ thị nhận Oy là trục đối xứng và cắt oy tại
(0;-3) . ĐT cắt Ox tai hai điểm
( 3;0) ( 3;0)and−
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10 -5 5 10
y=ax
4
+bx
2
+c