CFA level 1 reading 6 giá trị thời gian của tiền

Mục lục

1
Lê Thị Bạch Ngọc – 0974 698 890


Khác biệt ngôn ngữ là một trở ngại lớn khi bạn tự học CFA. Trở ngại ngôn ngữ này khiến bạn mất thêm
nhiều thời gian để dịch.
Đây là tài liệu mình tự dịch khi ơn thi CFA level 1. Bộ tài liệu này sẽ giúp bạn giảm bớt thời gian khi học
CFA level 1.
Bởi vì bài thi CFA sẽ bằng tiếng anh, nên những ví dụ mình để ngun bằng tiếng anh để giúp bạn hiểu
cách hỏi của bài thi.

Reading 6: Giá trị thời gian của tiền
1. Giới thiệu:
Một đồng tiền ngày hơm nay có giá trị hơn một đồng ngày mai
Trong cuộc sống, chúng ta luôn phải đối mặt với các quyết định liên quan đến tiết kiệm tiền để
sử dụng trong tương lai hoặc vay tiền để tiêu dùng hiện tại. Chúng ta cần xác định số tiền chúng
ta cần phải bỏ ra nếu chúng ta đang tiết kiệm và xác định chi phí vay nếu chúng ta vay để mua
sắm.
 Cần phải học giá trị thời gian của tiền để làm những công việc trên
2. Lãi suất
Giá trị thời gian của tiền liên quan đến mối quan hệ tương đương giữa các dòng tiền xảy ra vào
các thời điểm khác nhau
- Ví dụ:
o Nếu bạn trả 10k$ hơm nay và nhận lại 9.5k$ hơm nay, bạn có chấp nhận không?
o Nhưng nếu bạn nhận 9.5k$ hôm nay và sau 1 năm bạn trả 10k$. Hai khoản này có
được cho là tương đương khơng? Có thể vì khoản thanh toán 10k$ 1 năm sau kể từ
bây giờ thấp hơn khoản 10k$ ngày hơm nay. Do vậy nó là công bằng nếu giảm giá
khoản 10k$ nhận được sau 1 năm.
- Lãi suất được ký hiệu là r, là tỷ suất sinh lợi phản ánh mối quan hệ giữa các dịng tiền có ngày

tháng khác nhau
o Nếu 9.5k$ ngày hơm nay tương đương với 10k$ sau một năm, thì 0.5k$ là khoản bồi
thường bắt buộc để nhận được 10k$ sau 1 năm chứ không phải là bây giờ
o  LS: khoản bồi thường bắt buộc hay còn gọi là tỷ suất sinh lời : 0.5/9=0.0526=5.26%
- Lãi suất:
o Tỷ suất sinh lời bắt buộc (hay tối thiểu) nhà đầu tư nhận được để đầu tư
o Lãi suất được coi là lãi suất chiết khấu: là tỷ lệ dùng để chiết khấu số tiền trong
tương lai về giá trị hiện tại của số tiền đó
o Chi phí cơ hội: Chi phí cơ hội là giá trị mà nhà đầu tư bỏ qua bằng cách lựa chọn một
hành động khác ( là sự lựa chọn tốt nhất bị bỏ lỡ)
- Kinh tế học cho chúng ta biết rằng lãi suất được thiết lập trên thị trường bởi lực cung và cầu,
nơi các nhà đầu tư là người cung cấp tiền và người đi vay là người có nhu cầu tiền. Dưới góc
nhìn của các nhà đầu tư trong việc phân tích lãi suất do thị trường xác định, chúng ta có thể
xem lãi suất r là bao gồm lãi suất thực phi rủi ro cộng với một bộ bốn phí bảo hiểm được yêu
cầu để bù đắp khi chịu các loại rủi ro riêng biệt:

2
Lê Thị Bạch Ngọc – 0974 698 890


-

r = Lãi suất phi rủi ro thực tế + Phần bù lạm phát + Phần bù rủi ro mặc định + Phần bù thanh
khoản + Phần bù đến hạn
o

o

o
o

o

Lãi suất phi rủi ro thực tế là lãi suất một kỳ hạn cho một chứng khốn hồn tồn
khơng có rủi ro nếu dự kiến khơng có lạm phát. Về lý thuyết kinh tế, lãi suất phi rủi
ro thực tế phản ánh sự ưu tiên về thời gian của các cá nhân đối với mức tiêu dùng
thực tế hiện tại so với trong tương lai.
Phần bù lạm phát khoản bù thêm cho các nhà đầu tư về mức lạm phát kỳ vọng và
phản ánh tỷ lệ lạm phát trung bình dự kiến trong thời gian đáo hạn của khoản nợ.
Lạm phát làm giảm sức mua của một đơn vị tiền tệ — số lượng hàng hóa và dịch vụ
mà người ta có thể mua bằng nó. Tổng của lãi suất phi rủi ro thực tế và phần bù lạm
phát là lãi suất phi rủi ro danh nghĩa (2). Nhiều quốc gia có nợ ngắn hạn của chính phủ
mà lãi suất có thể được coi là đại diện cho lãi suất phi rủi ro danh nghĩa ở quốc gia
đó. Ví dụ, lãi suất trên tín phiếu kho bạc Hoa Kỳ (T-bill) kỳ hạn 90 ngày thể hiện lãi
suất phi rủi ro danh nghĩa trong khoảng thời gian đó (3).Tín phiếu Hoa Kỳ có thể được
mua và bán với số lượng lớn với chi phí giao dịch tối thiểu và được hỗ trợ hồn tồn
tin cậy của chính phủ Hoa Kỳ.
Phần bù rủi ro vỡ nợ bù đắp cho nhà đầu tư về khả năng người vay khơng thực hiện
thanh tốn như đã hứa vào thời điểm ký hợp đồng và số tiền đã ký hợp đồng.
Phần bù thanh khoản bù đắp cho các nhà đầu tư rủi ro thua lỗ so với giá trị hợp lý
của khoản đầu tư nếu khoản đầu tư cần được chuyển đổi nhanh chóng thành tiền
mặt. Ví dụ, T-bill của Hoa Kỳ khơng chịu phí bảo hiểm thanh khoản vì có thể mua và
bán một lượng lớn mà không ảnh hưởng đến giá thị trường của chúng. Ngược lại,
nhiều trái phiếu của các tổ chức phát hành nhỏ được giao dịch không thường xuyên
sau khi chúng được phát hành; lãi suất của những trái phiếu đó bao gồm phần bù
thanh khoản phản ánh chi phí tương đối cao (bao gồm cả tác động lên giá) để bán
chúng
Phần bù kỳ hạn bù đắp cho các nhà đầu tư về sự tăng lên nhạy cảm của giá trị thị
trường của khoản nợ đối với sự thay đổi của lãi suất thị trường khi thời gian đáo hạn
được kéo dài, nói chung (giữ tất cả các khoản nợ bằng nhau). Chênh lệch lãi suất

giữa nợ có kỳ hạn dài, tín phiếu kho bạc có khả năng thanh tốn cao và tín phiếu kho
bạc ngắn hạn phản ánh phần bù (phí bảo hiểm) đến hạn dương đối với khoản nợ dài
hạn (và có thể cả phí bảo hiểm lạm phát khác).

(2)

Về mặt kỹ thuật, 1 cộng với tỷ giá danh nghĩa bằng tích của 1 cộng với tỷ giá thực và 1 cộng với tỷ lệ
lạm phát. Tuy nhiên, là một phép gần đúng nhanh, tỷ giá danh nghĩa bằng tỷ giá thực cộng với phần bù
lạm phát. Trong phần thảo luận này, chúng tôi tập trung vào các mối quan hệ cộng tính gần đúng để làm
nổi bật các khái niệm cơ bản.
(3)

Các nước phát triển khác phát hành chứng khốn tương tự như tín phiếu Kho bạc Hoa Kỳ. Chính phủ
Pháp phát hành các BTF hoặc tín phiếu kho bạc chiết khấu theo tỷ lệ cố định có thể thương lượng (Bons
du Trésor à taux fixe et à intérêts précomptés) với thời gian đáo hạn lên đến một năm. Chính phủ Nhật
Bản phát hành tín phiếu kho bạc ngắn hạn có kỳ hạn 6 và 12 tháng. Chính phủ Đức phát hành chiết khấu
3
Lê Thị Bạch Ngọc – 0974 698 890


cả giấy tài trợ kho bạc (Finanzierungsschätze des Bundes hay, viết tắt là Schätze) và giấy chiết khấu kho
bạc (Bubills) với thời gian đáo hạn lên đến 24 tháng. Tại Vương quốc Anh, chính phủ Anh phát hành tín
phiếu kho bạc viền mạ vàng với kỳ hạn từ 1 đến 364 ngày. Thị trường trái phiếu chính phủ Canada có
quan hệ mật thiết với thị trường Hoa Kỳ; Tín phiếu kho bạc Canada có kỳ hạn 3, 6 và 12 tháng.
Sử dụng cái nhìn sâu sắc này về ý nghĩa kinh tế của lãi suất, bây giờ chúng ta chuyển sang cuộc thảo luận
về việc giải quyết vấn đề giá trị thời gian của tiền tệ, bắt đầu với giá trị tương lai của dòng tiền đơn.
3. Giá trị tương lai của dịng tiền đơn.
Trong phần này, chúng tơi giới thiệu giá trị thời gian liên quan đến một dòng tiền duy nhất hoặc
đầu tư một lần. Chúng tôi mô tả mối quan hệ giữa khoản đầu tư ban đầu hoặc giá trị hiện tại (PV), tỷ
suất sinh lợi (lãi suất mỗi kỳ) được ký hiệu là r và giá trị tương lai của nó (FV), sẽ nhận được N năm

hoặc khoảng thời gian kể từ hơm nay .
Ví dụ sau minh họa khái niệm này. Giả sử bạn đầu tư 100 đô la (PV = 100 đô la) vào tài khoản
ngân hàng được trả lãi suất là 5% hàng năm. Vào cuối năm đầu tiên, bạn sẽ có 100 đơ la cộng với
tiền lãi kiếm được, 0,05 × 100 đô la = 5 đô la, tổng cộng là 105 đơ la.
Để chính thức hóa ví dụ một kỳ này, chúng tôi xác định các thuật ngữ sau:
PV = giá trị hiện tại của khoản đầu tư
FVN = giá trị tương lai của N kỳ đầu tư kể từ hôm nay
r = tỷ lệ lãi mỗi kỳ
Với N = 1, biểu thức cho giá trị tương lai của lượng PV là: FV 1 = PV (1 + r)
Đối với ví dụ này, chúng tơi tính tốn giá trị tương lai sau một năm kể từ ngày hôm nay là:
FV1 = $ 100 (1,05) = $ 105.
Bây giờ, giả sử bạn quyết định đầu tư 100 đô la ban đầu trong 2 năm với tiền lãi kiếm được công
dồn vào tài khoản của bạn hàng năm (lãi kép hàng năm). Vào cuối năm đầu tiên (đầu năm thứ hai),
tài khoản của bạn sẽ có 105 đơ la, bạn sẽ để lại ngân hàng trong một năm nữa. Như vậy, với số tiền
ban đầu là 105 đô la (PV = 105 đô la), số tiền vào cuối năm thứ hai sẽ là 105 đô la (1,05) = 110,25 đô
la. Lưu ý rằng khoản lãi 5,25 đô la kiếm được trong năm thứ hai là 5 phần trăm số tiền đầu tư vào
đầu năm 2.
Một cách khác để hiểu ví dụ này là lưu ý rằng số tiền đầu tư vào đầu Năm 2 bao gồm 100 đô la
ban đầu mà bạn đã đầu tư cộng với 5 đô la lãi suất kiếm được trong năm đầu tiên. Trong năm thứ
hai, tiền gốc ban đầu một lần nữa kiếm được tiền lãi, tiền lãi từ năm thứ nhất cũng kiếm được. Bạn
có thể thấy khoản đầu tư ban đầu phát triển như thế nào:
4
Lê Thị Bạch Ngọc – 0974 698 890


Đầu tư ban đầu $ 100,00
100$
Tiền lãi năm đầu tiên ($ 100 × 0,05)
5$
Tiền lãi cho năm thứ hai dựa trên khoản đầu tư ban đầu ($ 100 × 0,05)

5$
Tiền lãi cho năm thứ hai dựa trên tiền lãi kiếm được trong năm đầu tiên
(0,05 × 5 đơ la tiền lãi trên tiền lãi)
0.25$
Tổng
110,25$
Khoản lãi 5 đô la mà bạn kiếm được mỗi kỳ trên khoản đầu tư ban đầu 100 đô la được gọi là lãi đơn
(lãi suất nhân với tiền gốc). Tiền gốc là số tiền được đầu tư ban đầu. Trong thời gian hai năm, bạn kiếm
được 10 đô la tiền lãi đơn giản. 0,25 đô la thêm mà bạn có vào cuối Năm 2 là tiền lãi mà bạn kiếm được
trên khoản lãi 5 đô la của Năm 1 mà bạn đã tái đầu tư.
Tiền lãi thu được từ tiền lãi gọi là lãi kép. Mặc dù lãi suất thu được từ khoản đầu tư ban đầu là quan
trọng, nhưng đối với một mức lãi suất nhất định, nó là cố định trong từng thời kỳ. Lãi kép thu được từ lãi
tái đầu tư là một lực lượng mạnh mẽ hơn nhiều vì: đối với một mức lãi suất nhất định, nó sẽ phát triển
về quy mô mỗi thời kỳ. Tầm quan trọng của lãi kép tăng lên theo độ lớn của lãi suất.
Ví dụ: 100 đơ la đầu tư ngày hơm nay sẽ có giá trị khoảng 13.150 đô la sau 100 năm nếu lãi suất
ở mức 5 phần trăm, nhưng trị giá hơn 20 triệu đô la nếu được gộp hàng năm trong cùng một khoảng
thời gian với tỷ lệ 13 phần trăm.
Để xác minh con số 20 triệu đô la, chúng tôi cần một công thức chung để xử lý lãi kép cho bất kỳ
số kỳ nào. Công thức tổng quát sau đây liên hệ giá trị hiện tại của khoản đầu tư ban đầu với giá trị
tương lai của nó sau N kỳ:

(Cơng thức 2)
Trong đó: r là lãi suất mỗi kỳ và N là số kỳ tính lãi kép.
Trong ví dụ trên: FV2 = $ 100 (1 + 0,05) 2 = $ 110,25.
Trong ví dụ đầu tư 13% trong 100 năm, FV100 = $ 100 (1,13) 100 = $ 20.316.287,42.
Điểm quan trọng nhất cần nhớ khi sử dụng phương trình giá trị tương lai là lãi suất r và số kỳ
tính lãi kép N phải tương thích với nhau. Cả hai biến phải được xác định trong cùng một đơn vị thời
gian.
Ví dụ, nếu N được nêu trong tháng, thì r phải là lãi suất một tháng. Đường thời gian giúp chúng
tơi theo dõi sự tương thích của các đơn vị thời gian và lãi suất trên mỗi khoảng thời gian. Trong

đường thời gian, chúng tôi sử dụng chỉ số thời gian t để biểu thị một thời điểm trong một số khoảng
thời gian đã nêu kể từ ngày hôm nay.

5
Lê Thị Bạch Ngọc – 0974 698 890


Do đó, giá trị hiện tại là số tiền có sẵn để đầu tư ngày hôm nay, được lập chỉ mục là t = 0. Bây giờ
chúng ta có thể coi N khoảng thời gian kể từ hôm nay là t = N. Đường thời gian trong Hình 1 cho thấy
mối quan hệ này.

Trong Hình 1, chúng ta đã định vị khoản đầu tư ban đầu, PV, tại t = 0. Sử dụng Công thức 2, chúng ta
chuyển giá trị hiện tại, PV, sang t = N theo hệ số (1 + r) N - Yếu tố này được gọi là yếu tố giá trị tương lai.
Chúng tôi ký hiệu giá trị tương lai trên dòng thời gian là FV và đặt nó ở vị trí t = N. Giả sử sau 10 kỳ kể từ
ngày hôm nay (N = 10). Giá trị hiện tại, PV và giá trị tương lai, FV, được phân tách theo thời gian thông
qua hệ số (1 + r) 10 .
Việc giá trị hiện tại và giá trị tương lai được tách biệt trong thời gian có hậu quả quan trọng:
■ Chúng tơi chỉ có thể thêm số tiền nếu chúng được chỉ rõ là tại cùng một thời điểm.
■ Đối với một mức lãi suất nhất định, giá trị tương lai sẽ tăng theo số kỳ hạn.
■ Đối với một số kỳ hạn nhất định, giá trị tương lai sẽ tăng theo lãi suất.
Để hiểu rõ hơn các khái niệm này, hãy xem xét ba ví dụ minh họa cách áp dụng cơng thức giá trị tương
lai.
Ví dụ 1: Giá trị tương lai của một khoản tiền đầu tư với lãi suất cố định

6
Lê Thị Bạch Ngọc – 0974 698 890


Trong phần này và hầu hết các ví dụ trong phần đọc này, hãy lưu ý rằng các hệ số được báo cáo ở sáu
chữ số thập phân nhưng các phép tính thực sự có thể phản ánh độ chính xác cao hơn. Đối với bài thi,

1,402552 được báo cáo đã được làm trịn từ 1,40255173 (phép tính thực sự được thực hiện với độ
chính xác hơn tám chữ số thập phân bằng máy tính hoặc bảng tính). Kết quả cuối cùng của chúng tơi
phản ánh số vị trí thập phân được máy tính thực hiện.

7
Lê Thị Bạch Ngọc – 0974 698 890


Ví dụ thứ ba của chúng tơi là một vấn đề phức tạp hơn về giá trị trong tương lai minh họa tầm quan
trọng của việc theo dõi thời gian lịch thực tế.

8
Lê Thị Bạch Ngọc – 0974 698 890


Khác biệt của ví dụ3 với hai ví dụ trên là thời gian. T 0 , PV = 0. T5 = 5 , PV = 10 million và có N =15-5 = 10
năm để gộp lãi

Như Hình 2 cho thấy, chúng ta đã tuân theo quy ước lập mốc ngày hôm nay là t = 0 và lập mốc
các lần tiếp theo bằng cách thêm 1 cho mỗi khoảng thời gian. Khoản đóng góp thêm 10 triệu đơ la sẽ
được nhận trong năm năm, do đó, nó được lập chỉ mục là t = 5 và xuất hiện như vậy trong hình. Giá trị
tương lai của khoản đầu tư trong 10 năm sau đó được lập ở mốc tại t = 15; nghĩa là 10 năm sau khi nhận
được khoản đóng góp 10 triệu đơ la tại t = 5.
9
Lê Thị Bạch Ngọc – 0974 698 890


Các đường thời gian như thế này có thể cực kỳ hữu ích khi giải quyết các vấn đề phức tạp hơn,
đặc biệt là những vấn đề liên quan đến nhiều dòng tiền.
Trong phần sau của bài đọc này, chúng ta sẽ thảo luận về cách tính giá trị ngày hôm nay của 10

triệu đô la sẽ nhận được sau 5 năm kể từ bây giờ. Hiện tại, chúng ta có thể sử dụng Cơng thức 2. Giả sử
nhà quản lý quỹ hưu trí trong Ví dụ 3 ở trên nhận được 6.499.313,86 đô la ngày hôm nay từ nhà tài trợ
doanh nghiệp. Số tiền đó sẽ trị giá bao nhiêu vào cuối năm năm? Nó sẽ có giá trị bao nhiêu vào cuối 15
năm?

3.1: Tần suất lãi kép
Trong phần này, chúng tôi xem xét các khoản đầu tư trả lãi nhiều hơn một lần một năm.
Ví dụ, nhiều ngân hàng đưa ra mức lãi suất hàng tháng cộng lại 12 lần một năm. Trong trường
hợp này, hàng tháng họ phải trả lãi theo lãi suất. Thay vì báo giá lãi suất hàng tháng định kỳ, các
tổ chức tài chính thường báo giá lãi suất hàng năm mà chúng tôi gọi là lãi suất niêm yết ( stated
annual interest rate or quoted interest rate). Chúng tôi biểu thị lãi suất niêm yết bằng r s.
Ví dụ: ngân hàng của bạn có thể tuyên bố rằng chứng chỉ tiền gửi (CD) 8%, và trả lãi hàng
tháng. Lãi suất niêm yết hàng năm bằng lãi suất hàng tháng nhân với 12.
Trong ví dụ này, lãi suất hàng tháng là 0,08 / 12 = 0,0067 hoặc 0,67%.
10
Lê Thị Bạch Ngọc – 0974 698 890


Tỷ lệ này hồn tồn là một quy ước trích dẫn vì (1 + 0,0067) 12 = 1,083, khơng phải 1,08; thuật
ngữ (1 + rs) khơng có nghĩa là một yếu tố giá trị trong tương lai khi kỳ gộp lãi thường xuyên hơn
năm (nhỏ hơn năm).
Với kỳ tính lãi nhỏ hơn 1 năm, công thức giá trị tương lai có thể được biểu thị bằng

Trong đó rs là lãi suất niêm yết hàng năm, m là số kỳ tính lãi kép mỗi năm và N là số năm.
Lưu ý sự tương thích ở đây giữa lãi suất được sử dụng, rs / m và số kỳ hạn gộp, mN. Lãi
suất định kỳ, rs / m, là lãi suất niêm yết hàng năm chia cho số kỳ tính lãi kép mỗi năm. Số kỳ tính
lãi kép, mN, là số kỳ tính lãi kép trong một năm nhân với số năm. Lãi suất định kỳ, rs / m và số
chu kỳ lãi kép, mN, phải tương thích với nhau.
Ví dụ 4: Giá trị tương lai của khoản tiền với kỳ tính lãi theo quý

Dịch: Giả sử Ngân hàng đưa ra chứng chỉ tiền gửi kỳ hạn 2 năm, lãi suất niêm yết hàng năm là 8%, gộp lãi
theo quý. Cho phép tái đầu tư tiền lãi với tỷ lệ như cũ. Bạn quyết định đầu tư 10.000$. Vậy khoản CD của
bạn sẽ trị giá bao nhiêu khi đến kỳ đáo hạn?

11
Lê Thị Bạch Ngọc – 0974 698 890


Công thức giá trị tương lai trong công thức 3 không khác với công thức trong công thức 2. Chỉ cần ghi
nhớ rằng lãi suất sử dụng là lãi suất mỗi kỳ và số mũ là số kỳ lãi.

Ví dụ 5: Giá trị tương lai của khoản tiền với kỳ tính lãi theo tháng

Dịch: Một ngân hang Úc đề nghị trả bạn 6%, trả theo tháng. Bạn quyết định đâì tư 1 triệu đô trong 1
năm. Giá trị tương lai của khoản đầu tư là bao nhiêu, nếu bạn tái đầu tư với ls 6%

12
Lê Thị Bạch Ngọc – 0974 698 890


3.2 Continuous Compounding (lãi kép lien tục)
Cuộc thảo luận trước đây về thời gian tính lãi kép rời rạc, trong đó có lãi suất sau một khoảng
thời gian rời rạc đã trơi qua. Nếu số kỳ tính lãi kép mỗi năm trở nên vơ hạn, thì lãi suất được cho là lãi
kép liên tục. Nếu chúng ta muốn sử dụng cơng thức giá trị tương lai với tính lãi kép liên tục, chúng ta cần
phải tìm giá trị giới hạn của hệ số giá trị tương lai đối với m → ∞ (vơ số kỳ tính lãi kép mỗi năm) trong
Công thức 3.
Biểu thức cho giá trị tương lai của một tổng trong N năm với hệ số kép liên tục là

Thuật ngữ ersN là số siêu việt e ≈ 2,7182818 được nâng lên lũy thừa rsN. Hầu hết các máy tính tài chính có
chức năng ex.

Ví dụ 6: Dịch: giả sử khoản đầu tư 10.000$ sẽ được lãi suất 8% với kỳ tính lãi lien tục trong 2
năm. Ta có thể tính FV với cơng thức 4 như sau:

13
Lê Thị Bạch Ngọc – 0974 698 890


Bảng 1 cho thấy cách lãi suất niêm yết hàng năm là 8 phần trăm tạo ra các khoản đô la cuối kỳ
khác nhau với kỳ tính lãi hàng năm, nửa năm, hàng quý, hàng tháng, hàng ngày và liên tục cho khoản đầu
tư ban đầu PV = 1 đô la (tính đến sáu chữ số thập phân).
Như Bảng 1 cho thấy, tất cả sáu trường hợp đều có cùng mức lãi suất niêm yết hàng năm là 8%;
Tuy nhiên, chúng có số tiền cuối kỳ khác nhau do sự khác nhau về tần suất tính lãi kép. Với lãi kép hàng
năm, số tiền cuối kỳ là 1,08 đô la. Kỳ tính lãi kép thường xuyên hơn dẫn đến số tiền cuối kỳ lớn hơn. Số
tiền cuối kỳ với lãi kép liên tục là số tiền tối đa có thể kiếm được với mức lãi suất niêm yết hàng năm là
8%.

14
Lê Thị Bạch Ngọc – 0974 698 890


Bảng 1 cũng cho thấy khoản đầu tư $ 1 kiếm được 8,16 phần trăm gộp hàng năm sẽ tăng lên cùng giá trị
tương lai vào cuối một năm với khoản đầu tư $ 1 kiếm được 8 phần trăm mỗi năm với lãi gộp nửa năm.
Kết quả này dẫn chúng ta đến sự phân biệt giữa lãi suất niêm yết ( công bố) hàng năm và lãi suất hiệu
quả hàng năm (EAR - effective annual rate) (6). Đối với lãi suất niêm yết hàng năm 8% kỳ tính lãi nửa năm
(bán kỳ), EAR là 8,16%.
(6)

: Trong số các điều khoản được sử dụng cho lợi tức hàng năm hiệu quả của tiền gửi ngân hàng sinh lãi
là lợi suất phần trăm hàng năm (APY) ở Hoa Kỳ và lãi suất hàng năm tương đương (EAR) ở Vương quốc
Anh. Ngược lại, tỷ lệ phần trăm hàng năm (APR) đo lường chi phí đi vay được biểu thị bằng lãi suất hàng

năm. Tại Hoa Kỳ, APR được tính theo tỷ lệ định kỳ nhân với số kỳ thanh toán mỗi năm và do đó, một số
người viết sử dụng APR như một từ đồng nghĩa chung cho lãi suất niêm yết hàng năm. Tuy nhiên, APR là
một thuật ngữ có ý nghĩa pháp lý; tính tốn của nó tn theo các tiêu chuẩn quy định khác nhau trên
toàn thế giới. Do đó, "lãi suất niêm yết hàng năm" là thuật ngữ chung được ưu tiên cho lãi suất hàng
năm khơng tính đến lãi kép trong năm
3.3 Lãi suất niêm yết (công bố) và lãi suất hiệu quả (ls thực):
Lãi suất công bố hàng năm không trực tiếp đưa ra giá trị tương lai, vì vậy chúng ta cần một cơng
thức cho EAR ( Ls thực). Với lãi suất hàng năm là 8% kỳ tính lãi nửa năm, chúng tơi nhận được lãi suất
định kỳ là 4%. Trong suốt một năm, khoản đầu tư 1 đô la sẽ tăng lên 1 đô la x (1,04) 2 = 1,0816 đô la, như
được minh họa trong Bảng 1. Tiền lãi kiếm được từ khoản đầu tư 1 đô la là 0,0816 đô la và thể hiện tỷ lệ
lãi suất hiệu quả hang (ls thực) năm 8,16%. Lãi suất hiệu quả (ls thực) hàng năm được tính như sau:

Lãi suất định kỳ là lãi suất niêm yết hàng năm chia cho m, trong đó m là số kỳ hạn gộp trong một
năm. Sử dụng ví dụ trước của chúng tơi, chúng tơi có thể tính EAR như sau: (1,04) 2 - 1 = 8,16%.
Khái niệm EAR mở rộng đến lãi kép liên tục.
Giả sử chúng ta có ls 8% được gộp lãi liên tục. Chúng ta có thể tìm EAR theo cách tương tự như
trên bằng cách tìm hệ số giá trị tương lai thích hợp. Trong trường hợp này, khoản đầu tư 1 đô la sẽ tăng
lên 1e0,08(1,0) = 1,0833 đô la. Tiền lãi kiếm được trong một năm thể hiện lãi suất hiệu quả là 8,33 % và lớn
hơn EAR 8,16 % với kỳ lãi kép nửa năm vì tiền lãi được gộp thường xuyên hơn. Với lãi kép liên tục, chúng
ta có thể giải quyết tỷ lệ hiệu quả hàng năm như sau:

Chúng ta có thể đảo ngược các cơng thức của EAR ( cơng thức 5 hoặc 6) để tìm lã suất định kỳ
tương ứng với EAR cụ thể.

15
Lê Thị Bạch Ngọc – 0974 698 890


Giả sử chúng ta muốn tìm lãi suất định kỳ phù hợp với lãi suất hiệu quả hàng năm cụ thể là
8,16% với lãi kép nửa năm một lần. Chúng ta có thể sử dụng Cơng thức 5 để tìm tỷ lệ tuần hồn:

Để tính lãi suất kép liên tục (lãi suất hàng năm đã nêu với lãi suất kép liên tục) tương ứng với lãi
suất hiệu quả hàng năm là 8,33%, chúng tơi tìm lãi suất thỏa mãn Cơng thức 6:

Để giải phương trình này, chúng ta lấy logarit tự nhiên của cả hai vế. (Nhớ lại rằng log tự nhiên
của e là ln e rs = rs =.) Do đó, ln 1,0833 = rs, dẫn đến rs = 8 %.
rs

Chúng tôi thấy rằng lãi suất công bố (niêm yết) năm là 8 % với lãi kép liên tục tương đương với
EAR là 8,33 phần trăm.
4. THE FUTURE VALUE OF A SERIES OF CASH FLOWS – GT thời gian của dòng tiền
Trong phần này, chúng ta xem xét một loạt các dịng tiền, cả dịng đều và khơng đều. Chúng tôi
bắt đầu với danh sách các thuật ngữ thường được sử dụng khi định giá các dòng tiền được phân bổ
trong nhiều khoảng thời gian.
-

-

Annuity: Là dòng tiền bao gồm các khoản bằng nhau phát sinh trong một số thời kỳ nhất
định
Ordinary annuity: dịng tiền đều thơng thường - có dịng tiền đầu tiên sau một kỳ kể từ bây
giờ (được lập tại mốc t = 1). Một dòng các khoản tiền nhận(trả) đều nhau phát sinh vào cuối
mỗi năm trong n năm.
Annuity due: dòng tiền niên kim chi trả đầu kỳ. Niên kim chi trả đầu kì là một niên kim được
thanh tốn ngay vào đầu mỗi kì (được lập tại mốc t = 0).
Perpetuity: dòng tiền đều vơ hạn - là một dịng tiền liên tục có giá trị bằng nhau và khơng có
điểm kết thúc

16
Lê Thị Bạch Ngọc – 0974 698 890

4.1 Equal Cash Flows—Ordinary Annuity (Dòng tiền ngang nhau — dịng ti ền đ ều thơng
thường)
Hãy xem xét một dịng tiền niên kim chi trả thông thường thường trả 5 phần trăm hàng năm. Giả
sử chúng ta có năm khoản tiền gửi riêng lẻ trị giá 1.000 đô la diễn ra trong các khoảng thời gian cách đều
nhau trong một năm, với khoản thanh toán đầu tiên xảy ra tại t = 1. Mục tiêu của chúng tơi là tìm giá trị
tương lai của dịng tiền niên kim thơng thường này sau lần gửi cuối cùng tại t = 5. Đơn vị thời gian là một
năm, do đó, khoản thanh toán cuối cùng xảy ra sau năm năm kể từ bây giờ.
Như dịng thời gian trong Hình 3, chúng tơi tìm thấy giá trị tương lai của mỗi khoản tiền gửi
1.000 đô la tại thời điểm t = 5 với công thức 2, FV N = PV (1 + r) N.
Các mũi tên trong Hình 3 kéo dài từ ngày thanh tốn đến t = 5. Ví dụ: khoản tiền gửi 1.000 đô la
đầu tiên được thực hiện tại t = 1 sẽ kết hợp(tính lãi kép) trong bốn kỳ. Sử dụng công thức 2, chúng ta
thấy rằng giá trị tương lai của khoản tiền gửi đầu tiên tại t = 5 là 1.000 đô la (1,05) 4 = 1.215,51 đơ la.
Chúng tơi tính tốn giá trị tương lai của tất cả các khoản thanh toán khác theo cách tương tự.
(Lưu ý rằng chúng tơi đang tìm giá trị tương lai tại t = 5, vì vậy khoản thanh tốn cuối cùng không thu
được bất kỳ khoản lãi nào.)
Với tất cả các giá trị hiện tại là t = 5, chúng ta có tổng giá trị tương lai của dịng tiền niên kim thường. Số
tiền này là $ 5,525,63.

Chúng ta có thể đi đến một cơng thức tính FV dịng tiền niên kim thơng thường (dịng tiền
thường) tổng qt nếu chúng ta xác định số tiền mỗi kỳ là A, số khoảng thời gian là N và lãi suất mỗi kỳ là
r. Sau đó, chúng ta có thể xác định giá trị tương lai là:

17
Lê Thị Bạch Ngọc – 0974 698 890


Thuật ngữ trong ngoặc là hệ số giá trị tương lai của niên kim. Hệ số này cho giá trị tương lai của
một dịng tiền niên kim thơng thường với số tiền mỗi niên kim là 1$. Nhân hệ số giá trị tương lai của

niên kim với số tiền một niên kim(A) sẽ cho ra giá trị tương lai của một dịng tiền niên kim thơng thường.
Đối với niên kim thơng thường trong Hình 3, chúng tơi tìm hệ số giá trị tương lai cảu niên kim từ Công
thức 7 là

Với số tiền niên kim A = 1.000 đô la, giá trị tương lai của niên kim là 1.000 đô la (5.525631) =
5.525,63 đô la, một số tiền phù hợp với tính tốn trước đó của chúng tơi.
Ví dụ tiếp theo minh họa cách tìm giá trị tương lai của một dịng tiền niên kim thơng thường
bằng cơng thức trong Cơng thức 7.
Ví dụ 7:

18
Lê Thị Bạch Ngọc – 0974 698 890


4.2 Dịng tiền khơng đều
Trong nhiều trường hợp, các dịng tiền là không bằng nhau, không thể đơn giản sử dụng hệ số
giá trị tương lai của niên kim. Ví dụ, một nhà đầu tư cá nhân có thể có một kế hoạch tiết kiệm bao gồm
các khoản thanh toán tiền mặt không bằng nhau tùy thuộc vào tháng trong năm hoặc tiết kiệm thấp hơn
trong kế hoạch. Người ta ln có thể tìm thấy giá trị tương lai của một loạt các dịng tiền khơng bằng
nhau bằng cách gộp các dòng tiền vào một thời điểm. Giả sử bạn có năm dịng tiền được mơ tả trong
Bảng 2, được lập chỉ mục so với hiện tại (t = 0).

Tất cả các khoản nhận(trả) mỗi kỳ trong Bảng 2 đều khác nhau. Do đó, cách tiếp cận trực tiếp
nhất để tìm giá trị tương lai tại t = 5 là tính tốn giá trị tương lai của mỗi khoản thanh tốn tại thời điểm
t = 5 và sau đó tính tổng các giá trị tương lai riêng lẻ. Tổng giá trị tương lai ở Năm thứ 5 bằng $
19.190,76, được hiển thị trong cột thứ ba.
Phần sau của bài đọc này, bạn sẽ học các lối tắt để sử dụng khi dịng tiền gần bằng; các phím tắt
này sẽ cho phép bạn kết hợp các phép tính niên kim và kỳ.

19

Lê Thị Bạch Ngọc – 0974 698 890


5. Gía trị hiện tại của dịng tiền đơn
5.1 Tìm giá trị hiện tại của một dòng tiền đơn
Cũng giống như hệ số giá trị tương lai liên kết giá trị hiện tại của ngày hôm nay với giá trị tương
lai của ngày mai, hệ số giá trị hiện tại cho phép chúng ta chiết khấu giá trị tương lai về giá trị hiện tại.
Ví dụ: với lãi suất 5% tạo ra khoản hoàn trả trong tương lai là 105 đô la trong một năm, số tiền
hiện tại được đầu tư ở mức 5% trong một năm sẽ tăng lên 105 đô la? Câu trả lời là $ 100; do đó, 100 đơ
la là giá trị hiện tại của 105 đô la sẽ nhận được trong một năm với tỷ lệ chiết khấu là 5%.
Với dòng tiền trong tương lai sẽ nhận được trong N kỳ và lãi suất mỗi kỳ là r, chúng ta có thể sử
dụng cơng thức giá trị tương lai để giải trực tiếp cho giá trị hiện tại như sau:

Từ Công thức 8, chúng ta thấy rằng hệ số giá trị hiện tại, (1 + r) −N, là nghịch đảo của hệ số giá trị
tương lai, (1 + r) N.

20
Lê Thị Bạch Ngọc – 0974 698 890


Giá trị hiện tại của khoản tiền sẽ nhận được tại t=6

Ví dụ 9: Giá trị hiện tại dự kiến của một khoản tiền trong tương lai xa hơn

21
Lê Thị Bạch Ngọc – 0974 698 890


Đường thời gian trong Hình 5 cho thấy khoản thanh tốn 100.000 đơ la trong tương lai sẽ được
nhận vào lúc t = 10. Đường thời gian cũng cho thấy các giá trị tại t = 4 và tại t = 0. Liên quan đến khoản

thanh toán tại t = 10, số tiền tại t = 4 là giá trị hiện tại dự kiến, trong khi số tiền tại t = 0 là giá trị hiện tại
(tính đến ngày hơm nay).
Các bài toán về giá trị hiện tại yêu cầu đánh giá hệ số giá trị hiện tại, (1 + r) −N. Giá trị hiện tại liên
quan đến lãi suất chiết khấu và số kỳ theo các cách sau:
■ Đối với một tỷ lệ chiết khấu nhất định, số tiền nhận được càng xa trong tương lai thì giá trị
hiện tại của số tiền đó càng nhỏ.
■ Thời gian nắm giữ khơng đổi, lãi suất chiết khấu càng lớn thì giá trị hiện tại của một khoản tiền
trong tương lai càng nhỏ.
5.2 tần suất của lãi kép
Tiền lãi có thể được trả nửa năm, hàng quý, hàng tháng, hoặc thậm chí hàng ngày. Để xử lý các
khoản thanh tốn lãi suất được thực hiện nhiều hơn một lần mỗi năm, chúng ta có thể sửa đổi cơng
thức giá trị hiện tại (Công thức 8) như sau. Hãy nhớ rằng r s là lãi suất niêm yết và bằng lãi suất định kỳ
nhân với số kỳ hạn trả lãi trong mỗi năm. Nói chung, với nhiều hơn một kỳ tính lãi kép trong một năm,
chúng ta có thể biểu thị cơng thức cho giá trị hiện tại là:

Trong đó:
m: số kỳ tính lãi một năm
Rs : Lãi suất niêm yết (cơng bố) hằng năm
N: số năm
22
Lê Thị Bạch Ngọc – 0974 698 890


Cơng thức trong Phương trình 9 tương tự như trong Phương trình 8. Như chúng ta đã lưu ý, các
hệ số giá trị hiện tại và giá trị tương lai là tương hỗ. Thay đổi tần suất ghép lãi không làm thay đổi kết
quả này. Sự khác biệt duy nhất là việc sử dụng lãi suất định kỳ (r s) và số kỳ hạn kép tương ứng.
Ví dụ sau minh họa công thức 9.

6. Giá trị hiện tại của một dòng tiền
Nhiều ứng dụng trong quản lý đầu tư liên quan đến các tài sản tạo ra một loạt các dịng

tiền theo thời gian. Các dịng tiền có thể khơng đồng đều, tương đối đồng đều hoặc bằng nhau.
Chúng có thể xảy ra trong một khoảng thời gian tương đối ngắn, khoảng thời gian dài hoặc vô
thời hạn. Trong phần này, chúng ta thảo luận về cách tìm giá trị hiện tại của một chuỗi dòng tiền.
6.1 Giá trị hiện tại của dòng tiền đều.

23
Lê Thị Bạch Ngọc – 0974 698 890


Chúng tơi bắt đầu với một dịng tiền niên kim thơng thường. Một niên kim thơng thường có các
khoản thanh toán niên kim(mỗi kỳ) bằng nhau, với khoản thanh toán đầu tiên tại kỳ 1 trong tương lai
(t=1). Dòng tiền niên kim thực hiện N lần thanh toán, với lần thanh toán đầu tiên lúc t = 1 và lần cuối
cùng lúc t = N. Chúng ta có thể biểu thị giá trị hiện tại của một dòng tiền niên kim thông thường bằng
tổng các giá trị hiện tại của mỗi khoản thanh toán riêng lẻ, như sau:

A: số tiền trả 1 kỳ ( một niên kim)
R: lãi suất mỗi kỳ tương ứng với kỳ thanh tốn (ví dụ: hàng năm, hàng quý hoặc hàng tháng)
N: số kỳ
Vì A là như nhau với mỗi kỳ thanh tốn nên ta có cơng thức rút gọn

Cũng giống như cách chúng ta tính giá trị tương lai của một dòng tiền niên kim thơng thường,
chúng ta tìm giá trị hiện tại bằng cách nhân số tiền niên kim với hệ số giá trị hiện tại của niên kim (hệ số
trong ngoặc của Công thức 11).
Ví dụ 11: Giả sử bạn đang cân nhắc mua một tài sản tài chính hứa hẹn sẽ trả € 1,000 mỗi năm
trong 5 năm, với lần thanh toán đầu tiên là 1 năm kể từ bây giờ. Tỷ suất lợi nhuận yêu cầu là 12 % mỗi
năm. Bạn nên trả bao nhiêu cho tài sản này?

24
Lê Thị Bạch Ngọc – 0974 698 890

Đối với dòng tiền đều đầu kỳ (xảy ra vào đầu kỳ ) có khoản thanh tốn đầu tiên xảy ra vào ngày
hôm nay (t = 0). Tổng số niên kim đến hạn thanh tốn N. Hình 6 mơ tả đường thời gian cho một niên kim
đầu kỳ thực hiện bốn lần thanh tốn $ 100.

Hình 6 cho thấy, chúng ta có thể xem niên kim đầu kỳ là tổng của hai phần: một khoản 100 đô la
một lần ngày hơm nay và một dịng tiền niên kim thơng thường là 100 đô la mỗi kỳ trong ba kỳ. Với tỷ lệ
chiết khấu 12%, Giá trị hiện tại của dòng tiền đầu kỳ này sẽ là 340,18,7 đô la. Việc đưa dòng tiền về giá

25
Lê Thị Bạch Ngọc – 0974 698 890