GT12 c1 b3 GTLN GTNN 2021

TÀI LIỆU ƠN THI THPT QG 2021

§3_GIÁ TRỊ LỚN NHẤT-NHỎ NHẤT
 DẠNG 1 _ TÌM GTLN-NN KHI BIẾT CHO ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Y = F (X)
PHƯƠNG PHÁP
 Quan sát giá trị điểm cao nhất và giá trị điểm thấp nhất của đồ thị hàm số.
A - VÍ DỤ MINH HỌA:

y = f ( x)

[- 1;3]

Ví dụ 1. Cho hàm số

liên tục trên đoạn
và có đồ thị
m
M
như hình vẽ bên. Gọi
và
lần lượt là giá trị lớn nhất và

[- 1;3]
nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn
M- m
bằng
A. 1.
B. 4.
C. 5.
D. 0

. Giá trị của

Lời giải
Chọn C
Dựa vào đồ thị ta thấy:
M = max f ( x ) = f ( 3) = 3
[ −1;3]

Vậy

m = min f ( x ) = f ( 2 ) = −2
[ −1;3]

và

M −m =5

Ví dụ 2. Cho hàm số

.
y = f ( x)

[ −1;1]

liên tục trên đoạn
và có đồ thị
m
M
như hình vẽ. Gọi
và

lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ
nhất của hàm số đã cho trên đoạn
bằng
0
1
A. .
B. .
3
2
C. .
D. .

[ −1;1]

. Giá trị của

M −m

Lời giải
Chọn B
Từ đồ thị ta thấy

M = 1, m = 0

nên

M − m =1

Biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công!

.

1


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QG 2021

Ví dụ 3. Cho hàm số

[ −1;3]

y = f ( x)

liên tục trên đoạn
và có đồ thị
m
M
như hình vẽ bên dưới. Gọi
và lần lượt là giá trị lớn
nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn
M +m
2

trị của
15
A. .
4
C. .

[ −1;3]

. Giá

2

bằng
B.

11

.
13
D. .
Lời giải

Chọn D
Từ đồ thị ta thấy

M = 2, m = −3

nên

M 2 + n 2 = 13

B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Câu 1.

Cho hàm số

[ −1; 2]

y = f ( x)

liên tục trên đoạn
và có đồ thị
M m
như hình vẽ bên. Gọi
,
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá
trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn
2M + m
bằng
0
4
A. .
B. .
3
5
C. .
D. .

Câu 2.

. Ta có

Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [-1;3]
và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn
nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [-1;3]. Giá trị của
2M + m bằng
A. 1.

C. 5.

Câu 3.

[ −1; 2]

Cho hàm số
hình
vẽ bên. Gọi

B. 4.
D. 0.
y = f ( x)

M

và

m

liên tục trên đoạn

[ −2; 4]

và có đồ thị như

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

[ −2; 4]

của hàm số đã cho trên đoạn
8
20
A. .
B.
.
53
65
C.
.
D.
.

. Giá trị của

Biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công!

M 2 + m2

bằng

2


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021

y = f ( x)

[ − 1; 2]

Câu 4.

Cho hàm số

liên tục trên đoạn
và có đồ thị như
M,m
hình vẽ bên. Gọi
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
[ − 1; 2]
M +m
nhất của hàm số đã cho trên đoạn
. Ta có
bằng
1
4
A. .
B. .
0
2
C. .
D. .

Câu 5.

y = f ( x ) x ∈ [ −2;3]
Cho hàm số
,
có đồ thị như hình vẽ. Gọi
M m

,
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
hàm số
6
A. .
5
C. .

Câu 6.

trên đoạn

[ −2;3]

. Giá trị

M +m

C.

1
B. .
3
D. .

5
7

y = f ( x)

8

.

B.

.

1
D. .

Cho hàm số

.

[ −2;3]

y = f ( x)

liên tục trên đoạn
và có đồ thị
m
M
như hình vẽ bên dưới. Gọi
và
lần lượt là giá trị lớn nhất
và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn
M −m
bằng
0

1
A. .
B. .
5
4
C. .
D. .

Câu 8.

là

[ − 3; 4]
liên tục trên đoạn
và có đồ thị
m
M
như hình vẽ bên. Gọi
và
lần lượt là các giá trị lớn nhất
[ − 3; 4]
và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn
. Tính
M + m.

Cho hàm số

A.

Câu 7.

f ( x)

Cho hàm số

y = f ( x)

liên tục trên đoạn

[ −2;3]

[ −3;1]

. Giá trị của

y

2

và có đồ thị như

1

x
-3

-2

-1

1

-1

-2

Biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công!

-3

3


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QG 2021

hình vẽ bên dưới. Gọi

[ −3;1]

đoạn
0
A. .
4
C. .
Câu 9.

M

. Giá trị của

Cho hàm số

và

m

lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên

2M − m

bằng

1
B. .
5
D. .

y = f ( x)

có đồ thị trên đoạn

[ −2; 4]

như hình

max f ( x )
vẽ bên. Tìm
A.
C.

2

3

[ −2; 4]

.
f ( 0)

.

B.

.

1
D. .

Câu 10. Cho hàm số

.

[ −2; 4]

f ( x)

liên tục trên đoạn
có đồ thị như
m, M
hình vẽ dưới đây. Gọi

lần lượt là giá trị nhỏ nhất và
giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn
2m − 3M
bằng:
−13
−12
A.
.
B.
−16
−15.
C.
.
D.

[ −2;3]

. Giá trị của

 DẠNG 2 _ TÌM GTLN-NN KHI BIẾT BBT CỦA HÀM SỐ Y = F (X)
PHƯƠNG PHÁP
 Quan sát giá trị điểm cao nhất và giá trị điểm thấp nhất của đồ thị hàm số thơng qua chiều
BBT.
A - VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Cho hàm số

y = f ( x)

liên tục và có bảng biến thiên trong đoạn

là giá trị lớn nhất của hàm số

y = f ( x)

trên đoạn

Biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành cơng!

[ −1;3]

[ −1;3]

như hình bên. Gọi

. Tìm mệnh đề đúng?

4

M


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021

A.

M = f ( 0)

.

B.

M = f ( 3)

.

C.
Lời giải

M = f ( 2)

.

D.

M = f ( −1)

.

Chọn A

y = f ( x)
x=0
Dựa vào bảng biến thiên, hàm số
đạt giá trị lớn nhất bằng 5 khi
.
y = f ( x)
Ví dụ 2. Cho hàm số
có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.

yCD = 5

min y = 4
.

B.

¡

.

C.
Lời giải

yCT = 0

max y = 5

.

D.

¡

.

Chọn A
Dựa vào bảng biến thiên
+ Hàm số đạt cực tiểu tại

+ Hàm số đạt cực đại tại

x = 0 ( yCT = 4 )
x = 1 ( yCD = 5 )

.

.

B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN:

Câu 11. Cho hàm số

y = f ( x)

xác định trên đoạn

 − 3; 5 



và có bảng biến thiên như hình vẽ sau:

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.

min y = 0
)

 − 3; 5


Câu 12. Cho hàm số

.

y = f ( x)

B.

max y = 2 5
)

 − 3; 5


liên tục trên đoạn

.

[ −3; 2]

C.

.

D.

min y = −2

)

 − 3; 5


và có bảng biến thiên như sau. Gọi

luợt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công!

max y = 2
)

 − 3; 5


y = f ( x)

trên đoạn

[ −1; 2]

. Tính

.

M,m

lần

M + m.

5


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021

A.

3

.

B.

Câu 13. Cho hàm số

y = f ( x)

2

1
C. .

.

xác định trên đoạn

 − 3; 5 




D.

4

.

và có bảng biến thiên như hình vẽ

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.

max y = 2 5

max y = 2

min y = 0

 − 3; 5 



.

B.

 − 3; 5 




.

C.

 − 3; 5 



min y = 1

.

D.

 − 3; 5 



.

Câu 14. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau

Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ −1;1] bằng:
3
0
1
−1

A. .
B. .
C. .
D. .
y = f ( x)
[ −3; 2]
Câu 15. Cho hàm số
liên tục trên đoạn
và có bảng biến thiên như sau.

Gọi

M, m

[ −1; 2]

đoạn
A.

3

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
. Tính

M +m

.

Câu 16. Cho hàm số

trên

.

B.

y = f ( x)

y = f ( x)

2

.

1
C. .

D.

4

.

có bảng biến thiên như sau:

Biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công!

6

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021

Khẳng định nào sau đây sai?
max f ( x ) = 4

max f ( x ) = 4
¡

A.

Câu 17. Cho hàm số

.

f ( x)

B.

[ −2;3]

liên tục trên

.

[ −3; 2]

A.

4

.

Câu 18. Cho hàm số

B.
y = f ( x)

5

¡

C.

.

D.

[ 1;3]

và có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Gọi

f ( x)

lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

min f ( x ) = −1

min f ( x ) = −2

.

trên

[ − 3; 2]

C.

6

. Tính

M −m

.

.
M,m

.

D.

7

.

có bảng biến thiên là

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng

B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng

9
20

.

9
20

và giá trị nhỏ nhất bằng
9
[ − 1; 2]
20
C. Hàm số số có giá trị lớn nhất bằng
trên đoạn
.
3
−
5
D. Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng
.
Câu 19. Cho hàm số

y = f ( x)

−

3
5

.

có bảng biến thiên là

Biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công!

7

lần


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
1
A. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng .
B. Hàm số có giá trị nhỏ nhất 3.

x =1
C. Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại điểm
.
D. Tổng của giá trị nhỏ nhất và nhỏ nhất bằng 4.
Câu 20. Cho hàm số

Gọi

A.

M,m

1
2

y = f ( x)

có bảng biến thiên

lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

.

B.

−2

.

f ( x)

trên

R

. Tính

1
C. .

D.

M −m

0

bằng

.

 DẠNG 3 _ TÌM GTLN-NN KHI BIẾT ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Y = F’ (X)
PHƯƠNG PHÁP
 Dựa vào đồ thị của

f ( x)

f ′( x)

để suy ra dấu của đạo hàm, từ đó lập bảng biến thiên của hàm

.

A - VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Cho đồ thị hàm số

y = f ′( x)

như hình vẽ. Hàm số

y = f ( x)

[ 0; 2] x
đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng
tại bằng bao nhiêu?
3
x=
x=0
2
A.
.
B.
.
x =1
x=2
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn C

Biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công!

8


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021

Dựa vào đồ thị của hàm số

y = f ( x)

ta có BBT như sau:

y = f ( x)

Dựa vào BBT suy ra hàm số
đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng
y = f ′( x)
y = f ( x)
Ví dụ 2. Cho đồ thị hàm số
như hình vẽ. Hàm số

[ −1; 4]

đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng
x=3
x=0
A.
.
B.
.
x=4
x = −1
C.
.
D.
.

tại

x

[ 0; 2]

tại

x =1

.

bằng bao nhiêu?

Lời giải
Chọn A
Dựa vào đồ thị của hàm số

BBT suy ra hàm số

y = f '( x)

y = f ( x)

ta có BBT như sau:

đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng

[ −1; 4]

tại

x=3

.

B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Câu 21. Cho đồ thị hàm số

y = f '( x)

đạt giá trị lớn nhất trên đoạn
x − 2 x0 + 2020
2
0

A.
C.

2020
2018

.
.

như hình vẽ. Hàm số

[ 1;3]

tại

x0

y = f ( x)

. Khi đó giá trị của

bằng bao nhiêu?
2022
B.
.
2024
D.
.

Câu 22. Cho đồ thị hàm số

y = f '( x)

như hình vẽ. Hàm số

y = f ( x)

đạt

[ −2; 2] x
giá trị lớn nhất trên đoạn
tại bằng bao nhiêu?
x=2
x=0

A.
.
B.
.
Biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công!

9


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021

C.

x = −2

.

D.

Câu 23. Cho đồ thị hàm số

x =1

y = f '( x)

.

như hình vẽ. Hàm số

[ −2; 2]

đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn
x=3
x=0
A.
.
B.
.
x=2
x =1
C.
.
D.
.

Câu 24. Cho hàm số

y = f '( x)

C.

x=0
x=3

liên tục trên

như hình vẽ sau: Hàm số

 7
 0; 2 

nhất trên

A.

y = f ( x)

tại điểm

.
.

Câu 25. Cho hàm số
của hàm số

y = f ( x)

y = f '( x)

tại

x

y = f ( x)

bằng bao nhiêu?

 7
 0; 2 

có đồ thị hàm số

y = f ( x)

đạt giá trị nhỏ

x0

nào dưới đây?
7
x=
2
B.
.
x =1
D.
.

xác định và liên tục trên

[ −2; 2]

như hình bên. Tìm giá trị

x0

y
, có đồ thị
để hàm số

x
−2 −1 O

1

2

[ −2; 2]
đạt giá trị lớn nhất trên
.
x=2
x = −1
A.
.
B.
.
x = −2
x =1
C.
.
D.
.
y = f ( x)

 DẠNG 4 _ TÌM GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ TRÊN ĐOẠN [A; B]
PHƯƠNG PHÁP: Dùng quy tắc tìm GTLN-GTNN
 Tìm các điểm

x1 , x2 ,..., xm

thuộc khoảng

(a  ; b)

mà tại đó hàm số

f

có đạo hàm bằng 0 hoặc

khơng có đạo hàm.
 Tính

f ( x1 ) ; f ( x2 ) ; f ( x3 ) ;...; f ( xn ) ; f ( a ) ; f ( b )

Biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công!

10


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021

 So sánh các giá trị tìm được ở bước 2. số lớn nhất trong các giá trị đó chinh là GTLN của
trên đoạn

[ a  ; b]

; số nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của

f

trên đoạn

[ a : b]

f

.

• Đặc biệt:
 Nếu
 Nếu

f ( x)
f ( x)

đồng biến trên đoạn

[ a ; b]

nghịch biến trên đoạn

max f ( x ) = f ( b )

thì

[ a ; b]

max f ( x ) = f ( a )

thì

min f ( x ) = f ( a )

;

[ a ;b ]

[ a ;b ]

[ a ;b]

;

min f ( x ) = f ( b )
[ a ;b ]

A – VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Giá trị nhỏ nhất của hàm số
A. 0.

B.

f ( x ) = x3 − 3 x + 2

−16

.

trên đoạn

[−3;3]

C. 20.
Lời giải

bằng
D. 4.

Chọn B
f ' ( x ) = 3x 2 − 3
 x = 1∈ [ −3;3]
f '( x) = 0 ⇔ 
 x = −1∈ [ −3;3]

f ( −3) = −16; f ( −1) = 4; f ( 1) = 0; f ( 3) = 20.
min f ( x) = −16
[ −3;3]

f ( x ) = x3 − 3x

Ví dụ 2. Giá trị lớn nhất của hàm số
- 2
A.
.
B. 18.

trên đoạn

[ -3; 3]

C. 2.
Lời giải

bằng
D.

- 18

.

Chọn B
f ' ( x ) = 3x2 − 3
 x = 1∈ [ −3;3]
f '( x) = 0 ⇔ 
 x = −1∈ [ −3;3]

f ( −3) = −18; f ( −1) = 2; f ( 1) = −2; f ( 3) = 18.
maxf ( x ) = 18
[ −3;3]

Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất

M

y=

của hàm số

3x − 1

x−3

Biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công!

trên đoạn

[ 0; 2]

.

11


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021

A.

M =5

.

B.

Chọn C

M = −5

M=

.

C.
Lời giải

1
3

M =−

.

D.

1
3

.

[ 0; 2]

Hàm số đã cho xác định trên
.
−8
y′ =
< 0, ∀x ∈ [ 0; 2]
2
( x − 3)
Ta có:
.
1

y ( 0) =
3 y ( 2) = − 5
,
M=

1
3

Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là
.
9
y = x+
[ 2; 4]
x
Ví dụ 4. Giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn
là
13
25
min y = 6
min y =
min y =
2;4
2;4
2;4
[ ]
[ ]
[ ]
2
4

A.
.
B.
.
C.
.
Lời giải
Chọn A
9 x2 − 9
y′ = 1 − 2 =
.
x
x2

min y = −6
D.

[ 2;4]

.

 x2 − 9
 x2 − 9 = 0
 y′ = 0
 2 =0
⇔ x
⇔
⇔ x = 3.

2 ≤ x ≤ 4

2 ≤ x ≤ 4
2 ≤ x ≤ 4

25
f ( 3) = 6 f ( 4 ) = 4
,
,
.
min y = f ( 3) = 6

f ( 2) =

Vậy

13
2

[ 2;4]

.

B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN:

f ( x ) = x 2 − 3x + 2

Câu 26. Giá trị lớn nhất của hàm số
6
0
A. .
B. .

Câu 27. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
max f ( x ) = −7
A.

[ 1;3]

trên đoạn
−2
C.
.

f ( x ) = x3 − 2 x 2 − 4 x + 1

.

C.

B.

Biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công!

D.

D.

[ 1;3]

[ 1;3]

max f ( x ) =

.

là

trên đoạn
max f ( x ) = −4

max f ( x ) = −2
[ 1;3]

[ −1; 2]

[ 1;3]

2

.

.

.
67
27

.
12

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021

y=

Câu 28. Hàm số
tại hai điểm
2
A. .
Câu 29. Cho hàm số

1 3 5 2
x − x + 6x +1
3
2

x1

và

x2

đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn

x1 + x2
. Khi đó
bằng
4
B. .

5

C. .

[ 1;3]

lần lượt

3
D. .

y = 4+ x + 4− x

. Khẳng định nào sau đây là đúng?
x=0
4
A. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng .
B. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại
.
x=4
4
C. Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại
.
D. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng .
y=

Câu 30. Cho hàm số
số trên đoạn

A.

x 2 − 4x + 7

x −1

[ 2; 4]

M + m = 17

. Tính

. Gọi

M +m

M,m

.

M +m =

.

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm

B.

16
3

M +m=

.

C.

y = f ( x) = x 4 − 4 x 2 + 5

Câu 31. Giá trị lớn nhất của hàm số
50
1
A. .
B.
.
y=

Câu 32. Giá trị lớn nhất của hàm số

A.

15

.

B.
y=

Câu 33. Cho hàm số
1
3
A. .

3x + 1

x−2

17
5

2

.
M

x+5
x−7

trên đoạn

[ 8;12]

C.

13

B.

8
3

trên

.

m

[ −2;3]

.

có giá trị lớn nhất trên đoạn
−2
1
3
2
B.
.
C. .
3x + 2
x +1

.

M +m=5

.

bằng
D.

D.

122

.

13
2

.

là

D.

2
3

.

[ 0; 2]

bằng
10
3
C.
.

Câu 35. Gọi
,
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
M +m
đó
bằng

Biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công!

D.

là

[ −1;1]

Câu 34. Giá trị lớn nhất của hàm số

A.

trên đoạn
5
C. .

.

y=

13
3

3
D. .
y=

2x + 9
x+3

trên

[ 0;3]

. Khi

13


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021

A.

7
2

.

B.

9
2

.

C.

11
2

.

D.

15
2

.

 DẠNG 5 _ TÌM GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ TRÊN KHOẢNG (A; B)
PHƯƠNG PHÁP
 Lập bảng biến thiên của hàm số

y = f ( x)

trên khoảng

( a; b )

cho trước

Từ bảng biến thiên, tùy theo sự thay đổi giá trị của hàm số suy ra kết quả cần tìm
A – VÍ DỤ MINH HỌA:
y = −x + 3 −

Ví dụ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

min y = 4
A.

[ −4;2 )

1
x+2

trên nửa khoảng

min y = 7
.

B.

[ −4;2)

[ −4; −2 )

min y = 5
.

C.
Lời giải

[ −4;2 )

.
min y =

.

D.

[ −4;2 )

15
2

.

Chọn B
y′ = −1 +

Ta có:

1

( x + 2)

 x = −1
y′ = 0 ⇔ 
 x = −3

Xét
Bảng biến thiên

2

.

.

min y = 7
Từ bảng biến thiên ta có

[ −4;2)

.

f ( x) =
Ví dụ 2. Giá trị nhỏ nhất của hàm số

min y = 3
A.

( 1;+∞ )

x2 − x + 1
x −1

trên khoảng

min y = −1
.

B.

( 1;+∞ )

( 1; +∞ )

là

min y = 5
.

C.
Lời giải

( 1;+∞ )

min y = −

.

D.

( 1;+∞ )

7
3

.

Chọn A
1
x2 − 2 x
x2 − x + 1
1
′( x) = 1−
⇒
f

=
2
2
f ( x) =
= x+
( x − 1) ( x − 1)
x −1
x −1
.
.

Biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công!

14


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QG 2021

Ta có

x = 0
f ′( x) = 0 ⇔ 
x = 2

Bảng biến thiên của hàm số trên khoảng

( 1; +∞ )

min y = 3
Từ đó

( 1;+∞ )

.
y = x+

Ví dụ 3. Giá trị nhỏ nhất của hàm số
A. Không tồn tại.

B.

−3

(

2
− 1+ 2
x

.

)

2

trên khoảng

C.
Lời giải

Chọn B
Hàm số xác định và liên tục trên khoảng
2 x2 − 2
y′ = 1− 2 =
.
x
x2

−1 + 2

( 0; +∞ )

là

.

D.

0

.

( 0; +∞ ) .

x = 2
y′ = 0 ⇔ 
.
 x = − 2
Bảng biến thiên:

min y = f
Vậy ( 0;+∞)

( 2) = −3.

B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN:

Câu 36. Cho hàm số

1
y = x+ .
x

A. 2.
Câu 37. Trên khoảng

Giá trị nhỏ nhất của hàm sô trên
B.

( 0 ; + ∞)

2

.

C. 0.

( 0; +∞ )

bằng

D. 1.

y = − x3 + 3x + 1

thì hàm số
max y = 1
A. Có giá trị lớn nhất là
.

Biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành cơng!

B. Có giá trị nhỏ nhất là

min y = −1

.
15


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QG 2021

C. Có giá trị lớn nhất là

max y = 3

.

D. Có giá trị nhỏ nhất là

Câu 38. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số

max f ( x ) = 0
A.

D

không tồn tại
max f ( x ) = 0; min f ( x ) = −1
D

C.

Câu 39. Cho hàm số

.

B.
D.

A. Điểm cực đại của hàm số là
.
C. Hàm số khơng có giá trị nhỏ nhất.

x

Câu 40. Tìm để hàm số
x = −2
A.
.

4
x +2

D

không tồn tại
max f ( x ) = 0; min f ( x ) = −1

C.

x2 −1
x−2

x=3

D.

( 1; +∞ )

.

.
D.

trên tập hợp

2

x=3

.

 3
D = ( −∞; −1] ∪ 1; 
 2

.

B.

D

D

.
max f ( x )

min f ( x ) = 0

.

D.

D

không tồn tại
y=

m
và

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
m.M
tích
bằng bao nhiêu?
1
10
3
3
3
1
A. .
B. .
C.
.
D. .

Câu 44. Gọi

.

max f ( x ) = 0; min f ( x ) = − 5

min f ( x )

D

.

.
D.

5
C. .

Câu 43. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số

D

( 0;1)

là

y=

A.

( 1; +∞ )

.

2

đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng
x=0
x=2
B.
.
C.
.

D

D

B. Điểm cực đại của đồ thị hàm số là
D. Hàm số khơng có giá trị lớn nhất.

x2 + x −1
y=
x −1

max f ( x ) = 0

.
max f ( x )

không tồn tại

đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng
x=0
x=2
B.
.
C.
.

Câu 41. Giá trị lớn nhất của hàm số
10
3
A. .

B. .

Câu 42. Tìm để hàm số
x = −2
A.
.

D

x2 + x −1
x −1

y=

x

D

D

. Khẳng định nào sau đây sai?

x=0

y=

 3
D = ( −∞; −1] ∪ 1; 
 2

min f ( x ) = 0

.

y = x4 − 2 x2 + 1

trên tập hợp

.

max f ( x ) = 0; min f ( x ) = − 5

min f ( x )

D

D

x2 −1
y=
x−2

min y = 3

M

Biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công!

D

x2 − x + 1
x2 + x + 1

.

. Khi đó,

16


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021

x
x +1

y=

Câu 45. Cho hàm số

2

P =M +m
2

P=

A.

1
4

có giá trị lớn nhất là M và giá trị nhỏ nhất là m. Tính giá trị biểu thức

2

.
P=

.

B.

1
2

.

C. 2.

D. 1.

 DẠNG 6 _ TÌM THAM SỐ M ĐỂ HÀM SỐ ĐẠT GTLN-GTNN BẰNG K
PHƯƠNG PHÁP: Dùng quy tắc tìm GTLN-GTNN
x1 , x2 ,..., xm

 Tìm các điểm

thuộc khoảng

(a  ; b)

f

mà tại đó hàm số

có đạo hàm bằng 0 hoặc

khơng có đạo hàm.

f ( x1 ) ; f ( x2 ) ; f ( x3 ) ;...; f ( xn ) ; f ( a ) ; f ( b )

 Tính

 So sánh các giá trị tìm được ở bước 2. số lớn nhất trong các giá trị đó chinh là GTLN của
trên đoạn

[ a  ; b]

; số nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của

f

trên đoạn

[ a : b]

f

.

• Đặc biệt:
 Nếu
 Nếu

f ( x)
f ( x)

đồng biến trên đoạn

[ a ; b]

nghịch biến trên đoạn

max f ( x ) = f ( b )

thì

[ a ; b]

[ a ;b ]

min f ( x ) = f ( a )

;

[ a ;b]

max f ( x ) = f ( a )

thì

;

[ a ;b ]

min f ( x ) = f ( b )
[ a ;b ]

A – VÍ DỤ MINH HỌA:

[ −1; 2]
y = x2 + a a
Ví dụ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
( là tham số) trên đoạn
.
min y = 1 + a
min y = a
min y = 4 + a
min y = 0
A.

[ −1;2]

.

B.

[ −1;2]

Chọn B

Hàm số liên tục và xác định trên
y′ = 2 x ⇒ y′ = 0 ⇔ x = 0.
Ta có
y ( −1) = 1 + a.

.

[ −1; 2]

C.
Lời giải

[ −1;2]

.

D.

[ −1;2]

.

.

y ( 0 ) = a.

y ( 2 ) = 4 + a.
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng

a

đạt được khi

Biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công!

x = 0.

17


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QG 2021

Ví dụ 2. Tìm tất cả giá trị của
[ 1; 2]
bằng 1
m =1
A.
.

m

f ( x) =

để giá trị nhỏ nhất của hàm số

B.

m = −2

.

C.
Lời giải

m=2

2x + m −1
x +1

.

trên đoạn

D. Khơng có giá trị

m

.

Chọn A
f ′( x) =

Ta có

3− m

( x + 1)

m < 3 : f ′( x) =
Nếu

2

3− m
>0
( x + 1) 2

( 1; 2 )

⇒ min f ( x) = f (1) = 1.

nên hàm số đồng biến trên
m +1
min f ( x ) = 1 ⇔ f (1) = 1 ⇔
=1 ⇔ m =1
[1;2]
2
Vậy
(nhân).
3− m
m > 3 : f ′( x) =
<0
( 1; 2 )
( x + 1) 2
Nếu
nên hàm số nghịch biến trên
⇒ min f ( x) = f (2) = 1.

[1;2]

[1;2]

min f ( x) = 1 ⇔ f (2) = 1 ⇔
[1;2]

Vậy

3+ m
=1 ⇔ m = 0
3

(loại).

B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Câu 46. Có một giá trị

5

m0

của tham số

m

để hàm số

y = x 3 + ( m 2 + 1) x + m + 1

đạt giá trị nhỏ nhất bằng

[ 0;1]

trên đoạn
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
2
2018m0 − m0 ≥ 0
2m0 − 1 < 0
A.
.
B.
.
2
6m0 − m0 < 0
2m0 + 1 < 0
C.
.
D.
.
x + m2 + m
y=
[ 2;3]
x −1
A B
Câu 47. Gọi ,
là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số
trên đoạn
. Tìm

m
tất cả các giá trị thực của tham số

để
m = 1 m = −2
m = −2
A.
;
.
B.
.

A+ B =

y = x 3 − 3x 2 − 9 x + m

13
2

C.

.
m = ±2

.

Câu 48. Cho hàm số
có giá trị lớn nhất trên đoạn
số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
m = −3
m=4
m=2
A.

.
B.
.
C.
.
Biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công!

D.

[ −2;0]

m = −1 m = 2
;
.

bằng
D.

2

, với

m=3

m

là tham

.
18

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021

y=

Câu 49. Cho hàm số
đúng?
m>4
A.
.

x+m
x

min y + max y = 8
[ 1;2]

thỏa
B.

[ 1;2]

0
, với

.

C.

y = 2 x3 − 3 x 2 + m

Câu 50. Giá trị nhỏ nhất của hàm số
6
10
A. .
B. .
f ( x) =
Câu 51. Cho hàm số
m=5
A.
.
Câu 52. Cho hàm số
m = −6
A.
.

x − m2
,
x+8
B.

là tham số thực. Mệnh đề nào dưới đây

2
trên đoạn
7
C. .

.

[ 0;5]

D.
bằng

với
m=6

là tham số. Giá trị lớn nhất của
m=4
.
C.
.

. Trên
m = −3
B.
.
f ( x) =

[ −1;1]

5

khi

m≤0

m

.

là

5
D. .

m

y = 2 x3 − 3x 2 − m

Câu 53. Giá trị lớn nhất của hàm số

m

m

min f ( x ) = −2

để
D.

[ 0;3]

m=3

là
.

m
−1
hàm số có giá trị nhỏ nhất là
. Tính .
m = −4
m = −5
C.
.
D.
.

mx − 1
2x + m

trên đoạn

[ 3; 5]

bằng 2 khi và chỉ khi:

m ∈ { 7;13} .
m ∈∅
m = 13
B.
C.
.
D.
.
[ 0;3]

y = −2 x 3 + 3 x 2 + m
m
Câu 54. Tìm
để hàm số
có giá trị lớn nhất trên đoạn
bằng 2021.
m = 2022
m = 2020
m = 2018
m = 2017
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
A.

m=7

.

Câu 55. Tìm tất cả các giá trị của tham số
2
bằng .
m=0
m = −2
A.

.
B.
.

m

y=
để giá trị lớn nhất của hàm số

C.

m=2

.

D.

x + m2
x −1

m = −4

trên

[ 2; 4]

.

 DẠNG 7 _ ỨNG DỤNG GTLN-GTNN VÀO PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PT CHỨA THAM SỐ
PHƯƠNG PHÁP

1. Tìm đk của tham số để phương trình

f ( x, m ) = 0

có nghiệm

x∈K

?

g ( x ) = h(m ) x ∈ I
 Chuyển trạng thái tương giao:
,
.
g ( x)
I
 Lập bảng biến thiên của
trên .
g ( x)
⇔ x∈E
I
 Ycbt
(Miền giá trị của
trên ).

Biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công!

19

TÀI LIỆU ƠN THI THPT QG 2021

Đặc biệt: Phương trình

g ( x ) = h( m )

x ∈ [a; b] ⇔ min f ( x) ≤ h(m) ≤ max f ( x)
[a; b]

có nghiệm

2. Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình
mọi )

x∈K

[a; b ]

f ( x, m) ≥ 0

có nghiệm (nghiệm đúng với

?

g ( x) ≥ h( m) (1) ( g ( x) ≤ h(m), g ( x) > h(m), g ( x) < h( m)) x ∈ I
 Biến đổi bpt về dạng:
,
,
.
⇔ Max f ( x) ≥ h( m)

x∈I
I
 Bất pt (1) có nghiệm
.
⇔ Min f ( x) ≥ h(m)
x∈I
I
 Bất pt (1) nghiệm đúng với mọi
.

A – VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
biệt
m ∈ { 4;0}
m
A. Khơng có .
B.
.

m

để phương trình

C.
Lời giải

x 3 − 3x 2 − m = 0

m ∈ { −4;0}

.

D.

có

2

m=0

nghiệm phân

.

Chọn C
x3 − 3x 2 − m = 0 ⇔ x 3 − 3x 2 = m
Ta có
.
3
2
y = x − 3x
Xét hàm số
:
2
x=2
D = ¡ y′ = 3 x − 6 x = 0 ⇔ x = 0
TXĐ:
,
hoặc
.

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên suy ra
m ∈ { −4; 0}
Vậy
.

m=0

Ví dụ 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số
thực trong

[ −3; 4]

m

hoặc

m = −4

.

để phương trình

x 3 − 3 x + 4m − 1 = 0

có ít nhất một nghiệm

?

Biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công!

20


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021

A.

−51
19
≤m≤
4
4

.

B.

−51
19
4
4

.

C.
Lời giải

−51 < m < 19

.

D.

Chọn B
x 3 − 3 x + 4m − 1 = 0 ⇔ − x 3 + 3 x + 1 = 4m
Ta có
.
3
f ( x ) = − x + 3x + 1
Đặt
.
f ( x)
[ −3; 4]
Ta có
liên tục trên
.
x =1
f ' ( x ) = −3 x 2 + 3, f ' ( x ) = 0 ⇔ 
 x = −1
.
f ( −3) = 19, f ( 4 ) = −51, f ( −1) = −1, f ( 1) = 3
.
max f ( x ) = 19
min f ( x ) = −51
[ −3;4]
x = −3 [ −3;4]
x=4

Suy ra
khi
.
khi
.
Phương trình

x 3 − 3 x + 4m − 1 = 0

có ít nhất một nghiệm thực trong
−51
19
min f ( x ) ≤ 4m ≤ max f ( x ) ⇔
≤m≤
[ −3;4]
[ −3;4]
4
4
.

[ −3; 4]

−51 ≤ m ≤ 19

khi

x + 4 − x2 =

m
là tập tất cả các giá trị nguyên âm của tham số

để phương trình
S
nghiệm. Tập có bao nhiêu phần tử?
10
6
4
2
A. .
B. .
C. .
D. .
Lời giải
Chọn C
m
x + 4 − x2 =
−2 ≤ x ≤ 2
2 (*)
Ta có:
điều kiện xác định:
.

Ví dụ 3. Gọi

S

Xét hàm số

f ( x ) = x + 4 − x2

f '( x) = 1−

Có

.

,

x ∈ [ −2; 2 ]

m
2

.

x
4 − x2

.

x ≥ 0

x
f '( x) = 0 ⇔ 1−
= 0 ⇔ 4 − x2 = x ⇔  x = 2
2
4− x

  x = − 2

⇔ x = 2 ∈ [ −2; 2]

Hàm số

f ( x ) = x + 4 − x2

liên tục trên

[ −2; 2]

Biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công!

; có đạo hàm trên

( −2; 2 )

.
21

có


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QG 2021

f ( −2 ) = −2; f ( 2 ) = 2; f

Vậy phương trình
Mặt khác

m

(*)

( 2) = 2

có nghiệm

ngun âm nên

min f ( x ) = −2; max f ( x ) = 2 2

2

[ −2;2]

[ −2;2]

. Suy ra
m
⇔ −2 ≤ ≤ 2 2 ⇔ −4 ≤ m ≤ 4 2
2

.

.

S = { −4; −3; −2; −1}

B - BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
x3 − 3x − m = 0

m

Câu 56. Tìm
để phương trình
m ∈ ( −∞; −2]
[ −2; 2]
.
B.
.
A.
Câu 57. Tìm

có nghiệm
C.

để phương trình
1
1
m≥−
m≤
2
2
A.
.
B.
.

Câu 58. Biết
1
A. .

Câu 59. Tìm

A.

m

m

thì phương trình
8
B. .

để bất phương trình

m ≤1

Câu 60. Tìm

A.

m ∈ [ a; b ]

.

B.

để bất phương trình

m≤2

.

B.

Câu 61. Tìm tất cả các giá trị thực của

x ∈ [ −5;0]
A.

m≥7

.

.

D. Đáp án khác

m ≤1

x ∈ [ 1; + ∞ )

.

cónghiệm
9
C. .

1
2

6
5

m

.

.

.

C.

x ∈ [ 1;9]

m≥2

để bất phương trình

m ≥ −1

x ∈ [ −2;0]

. Tính
10
D. .

nghiệm đúng với mọi
2
m≥

3
C.
.

có nghiệm

?

D.

x4 − 2 x 2 + 2 − m = 0

x 2 − 5mx + 9 ≥ 0

m≤

có nghiệm

C.

2 x − 1 ≥ m( x − 1)

m≤

[ 2; + ∞ )

?

.

−2 x 3 + 3 x 2 + 2m = 0

m

x ∈ [ 0; 2 ]

x ∈ [ −1; 0]

.

T =b−a

?

?

m≥

D.

3
2

.

?
m≥

.

D.

x3 + 5 x + 7 ≤ m

6
5

.

nghiệm đúng với mọi

?
B.

m ≥ −143

Câu 62. Tìm tất cả các giá trị thực của

.

m

C.

m ≤ −143

.

2x +1
≥m

x −1

để bất phương trình
5
m≤
m ≥ −1
3
B.
.
C.
.

D.

.

[−2;0]

?
5
m≥−
m ≤1
3
A.
.
D.
.
4
2
x ∈ [ 1; + ∞ )

m
x + 2 x − 1 = 2m
Câu 63. Tìm tất cả các giá trị thực của
để phương trình
có nghiệm
?
Biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành cơng!

có nghiệm

m≤7

22


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QG 2021

A.

m ≥1

.

B.

m≥0
m

Câu 64. Tìm tất cả các giá trị thực của

x ∈ ( −∞; − 1]
A.

m ≤ −12

m≥5

.

B.

.

A.

m≥4

m≤2

để bất phương trình

m ≤ 12

B.

m

.

C.

để phương trình

m≤5

Câu 66. Tìm tất cả các giá trị thực của
x ∈ [ −1;1]

C.

.

D. Đáp án khác.

2 x 4 − 4 x 2 − 10 ≥ m

nghiệm đúng với mọi

?

Câu 65. Tìm tất cả các giá trị thực của
A.

.

.

m

C.

m ≤ −8

.

D.

x2 − 2x + 5 + 3 = m
m ≤ 3+ 5

.

có nghiệm?

.

D.

5 − 4x +1 ≤ m

để bất phương trình

m ∈∅

m≥0

.

nghiệm đúng với mọi

?

.

B.

m≥2

.

C.

m≤3

.

D.

m ≥ 1+ 5

.

4 − x 2 + 2018 < m

m

Câu 67. Tìm tất cả các giá trị thực của
để bất phương trình
m > 2018
m > 2020

m < 2021
A.
.
B.
.
C.
.

có nghiệm?
m < 2022
D.
.

BẢNG ĐÁP ÁN
1.A
11.D
21.A
31.B
41.D
51.C
61.A

2.B
12.A
22.A
32.C
42.C
52.C
62.A

3.D
13.C
23.D
33.D
43.B
53.A
63.A

4.A
14.D
24.C
34.B
44.D
54.B
64.A

5.B
15.A
25.D
35.C
45.B
55.A
65.A

Biên soạn và sưu tầm - Chúc các em học tốt và thành công!

6.A
16.A
26.A
36.B

46.A
56.B
66.A

7.C
17.C
27.C
37.C
47.A
57.A
67.A

8.D
18.C
28.D
38.B
48.A
58.C

9.C
19.C
29.A
39.C
49.C
59.D

10.B
20.C
30.D
40.C

50.A
60.C

23