Đề thi cuối học kỳ I năm học 2017-2018 môn Tín hiệu và hệ thống - ĐH Công nghệ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
Trường Đại học Công nghệ

Ngày TailieuVNU.com
thi: 26/12/2017

ĐỀ THI CUỐI KỲ
Mơn học: Tín hiệu và hệ thống (ELT2035)
Thời gian làm bài: 90 phút
(Đề thi có 4 trang)
Câu 1. Một hệ thống tuyến tính bất biến liên tục nhân quả được mơ tả bởi phương
trình vi phân sau đây:
d 2 y(t)
dy (t)
+4
+5 y (t )= x(t )
2
dt
dt
a) Xác định đáp ứng của hệ thống với các điều kiện đầu y (0 _ )=1 và
dy (t )
| =−2 (khi khơng có tín hiệu vào).
dt t=0
−( 2+ j) t
−(2− j) t
y 0 (t)=c 1 e
+c 2 e
(t≥0)
_
y (0 )=c 1+ c 2=1
dy (t)

| =−(2+ j )c 1−(2− j)c 2 =−2
dt t=0
1
c 1=c 2=
2
1
1
y 0 (t)= e−(2 + j) t u(t)+ e−(2− j)t u(t )=e −2 t cos(t )u(t)
2
2
b) Xác định hàm chuyển (hàm truyền đạt) H(s), đáp ứng tần số H(ω) và đáp
ứng xung h(t) của hệ thống.
1
H ( s)= 2
s +4 s+5
Hệ thống nhân quả ổn định (ROC: ℜ(s)>−2 chứa trục jω) nên:
1
H (ω)=
2
−ω +4 j ω+5
Đáp ứng xung:
1
1
1
1
1
H ( s)= 2
=−
+
2 j s+ 2+ j 2 j s+2− j

s +4 s+5
1
1 −(2− j) t
h(t )=− e −( 2+ j )t u(t )+
e
u(t)=e−2 t sin (t)u(t )
2j
2j
c) Xác định đáp ứng của hệ thống với các tín hiệu vào sau đây (khơng có điều
kiện đầu):
c1) x (t)=u(t )−u(t−1)
1 e−st
X (s)= −
s
s
_

_

Trang 1/4


TailieuVNU.com
1
s(s+2+ j )( s+ 2− j )
11
1
1
1
1

Y ( s)=(1−e−st )[
+
+
]
5 s 4 j−2 s+ 2+ j −4 j −2 s+ 2− j
11
1
1
1
1
Y 1 (s)=
+
+
5 s 4 j−2 s+2+ j −4 j−2 s+2− j
1
1
1
y 1 (t )=[ +
e−( 2+ j)t +
e−( 2− j) t ]u(t)
5 4 j−2
−4 j−2
−st
Y ( s)=(1−e )Y 1 (s)=Y 1 (s)−e− st Y 1 (s)
y (t)= y 1 (t)− y 1 (t −1)
−( 2+ j) t
−( 2− j )t
−(2+ j)(t−1)
−( 2− j )(t−1)
1 e

e
1 e
e
y (t )=[ +
+
]u(t )−[ +
+
]u(t −1)
5 4 j−2 −4 j −2
5
4 j −2
−4 j−2
c2) x (t)=cos(t )u(t)
1
1
x (t)= e jt u(t )+ e− jt u(t )
2
2
1 1
1 1
1
X (s)=
+
=
2 s− j 2 s+ j (s+ j )(s− j )
1
Y ( s)= H (s) X (s)=
( s+ j)(s− j)( s+ 2+ j)(s+2− j)
1
1

1
1
1
1
1
1
Y ( s)=
+
+
+
−8 j−8 s+ j 8 j−8 s− j −8 j +8 s+2+ j 8 j +8 s+2− j
− jt
jt
−(2+ j) t
−( 2− j) t
e
e
e
e
y (t)=[−
+
−
+
]u(t )
8 j+8 8 j −8 8 j−8 8 j+8
c3) x (t)=cos(t )
1
1
x (t)= e jt + e− jt
2

2
1
1
y (t)= H (ω=1)e jt + H (ω=−1)e− jt
2
2
1 1
1
1
y (t)=
e jt +
e− jt
2 4 j +6
2 −4 j +6
jt
− jt
6(e +e ) 3
y (t)=
= cos(t )
2(16+36) 26
Y ( s)= H (s) X (s)=(1−e− st )

Câu 2. Một hệ thống tuyến tính bất biến rời rạc nhân quả T được mơ tả bằng
phương trình sai phân sau đây:
3
y [n]+ y [n−1]− y [n−2]= x [n]
4
a) Hệ thống có ổn định hay khơng? Giải thích.

Trang 2/4

Hàm chuyển

H ( z)=

1
3 −2
−1
1+ z − z
4

=

1

TailieuVNU.com

1 −1
3 −1
(1− z )(1+ z )
2
2

3
khơng chứa đường trịn đơn vị ==> hệ thống không ổn định.
2
(****nếu dùng đề chưa sửa:
1
1

H ( z)=
=
3 −2
−1
1+ 7
1− 7
1+ z − z
(1− √ z−1)(1− √ z −1)
2
2
2
1+ √ 7
ROC: |z|>
khơng chứa đường trịn đơn vị ==> hệ thống không ổn
2
định.
****)
b) Xác định đáp ứng xung h[n] của hệ thống.
1
1
3
1
H ( z)=
+
4
1 −1 4
3 −1
1− z
1+ z
2

2
n
1 1
3 3 n
h[n]= ( ) u[n]+ (− ) u[n]
4 2
4 2
(****nếu dùng đề chưa sửa:
7+ √ 7
1
7−√ 7
1
H ( z)=
+
14
14
1+ √ 7 −1
1− √ 7 −1
1−
z
1−
z
2
2
n
n
7+ √ 7 1+ √ 7
7−√ 7 1−√ 7
h[n]=
(

) u [n]+
(
) u[n]
14
2
14
2
****)
c) Xác định đáp ứng của hệ thống với tín hiệu vào x [n]=u [n] .
1
X (z)=
−1
1− z
1
Y ( z)= X ( z) H ( z)=
1 −1
3 −1
−1
(1− z )(1− z )(1+ z )
2
2
4 1
1
1
9
1
Y ( z)=
−
+
−1

5 1−z
4
1 −1 20
3 −1
1− z
1+ z
2
2
n
n
4
1 1
9
3
y [n]= u[n]− ( ) u[n]+ (− ) u[n]
5
4 2
20 2
(****nếu dùng đề chưa sửa:
1
Y ( z)=
1+ 7
1− 7
(1− z −1 )(1− √ z−1)(1− √ z −1)
2
2

ROC: |z|>

Trang 3/4

TailieuVNU.com
1
4−√ 7
1
+
1+ √ 7 −1 7+ √ 7
1− √ 7 −1
1−
z
1−
z
2
2
n
n
4+ √ 7 1+ √ 7
4− √ 7 1− √ 7
y [n]=2 u[n]+
(
) u [n]+
(
) u[n]
2
2
7− √ 7
7+ √ 7
****)
Y ( z)=2

1
4+ √ 7
+
−1
7−√ 7
1−z

+∞

d) Xác định đáp ứng của hệ thống với tín hiệu vào x [n]=∑ δ[ n−2 k ] .
k =0

n

n

+∞

1 1
3 3
y [n]=h[n]∗x [n]=[ ( ) u[n]+ (− ) u[n]]∗∑ δ [n−2 k ]
4 2
4 2
k =0
n
n
+∞
+∞
1

1
3
3
y [n]= ∑ [( ) u[n]]∗δ[n−2 k ]+ ∑ [(− ) u[n]]∗δ[n−2 k ]
4 k=0 2
4 k=0
2
n−2 k
n−2 k
+∞
+∞
1
1
3
3
y [n]= ∑ ( )
u[n−2 k ]+ ∑ (− )
u[n−2 k ]
4 k= 0 2
4 k=0 2
⌊n /2⌋
⌊n /2 ⌋
⌊n/ 2⌋
⌊n/ 2⌋
1 1 n
1 −2 k 3 3 n
3 −2 k 1 1 n
3 n
4 k
k 3

y [n]= ( ) ∑ ( ) + (− ) ∑ (− ) = ( ) ∑ 4 + (− ) ∑ ( )
4 2 k =0 2
4 2 k=0 2
4 2 k =0
4 2 k =0 9
⌊n /2⌋+1
4
n
⌊n /2⌋+1
n 1−( )
1 1 1−4
3 3
9
y [n]= ( )
+ (− )
4 2
1−4
4 2
4
1−
9
z
e) Vẽ sơ đồ một hệ thống có hàm chuyển (hàm truyền đạt) là
, với
z−1/2
thành phần của hệ thống này bao gồm hệ thống T nói trên, một bộ trễ D (có
H D (z)= z −1 ), một bộ cộng tín hiệu, và một bộ nhân tín hiệu với hằng số
K tùy chọn (xem hình vẽ trang sau).

vào

3/2

D

Trang 4/4

+

T

ra