Bài giảng và bài tập môn học giải tích một biến số

Bài giảng Giải tích một biến số cho K58

GV Lê Thị Minh Hải

Bài số 1
Giới hạn và tính liên tục của hàm số
I. Giới hạn của hàm số:
1. Ví dụ 1: Xét hàm số y = f ( x) = x 2 − x + 2 . Ta lập bảng các giá trị của hàm số tại những điểm
x gần x0 = 2 .

Ta nói rằng hàm số có giới hạn bằng 4 khi x → x0 = 2 .
2. Định nghĩa giới hạn hàm số
Định nghĩa 1: Ta nói hàm số f ( x) có giới hạn L (hữu hạn) khi x → x0 và viết lim f ( x) = L nếu
x → x0

với bất kỳ dãy { xn } mà xn → x0 thì lim f ( xn ) = L .
n →∞

Định nghĩa 2: theo ngôn ngữ δ − ε .
lim f ( x) = L ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 : x − x0 < δ
x → x0

⇒ f ( x) − L < ε
Chú ý
+ Nếu hàm f ( x) không thoả mãn định nghĩa, ta nói rằng f ( x) khơng có giới hạn khi x → x0 ,
hoặc lim f ( x) khơng tồn tại
x → x0

+ Khi tìm giới hạn, ta chỉ quan tâm đến các giá trị “x dần tới x0 ” chứ không phải xét khi x = x0 .
Do đó f ( x) có thể khơng xác định tại x = x0 nhưng phải xác định tại các điểm thuộc lân cận
của điểm đó.

x −1
khơng xác định tại x = 1 . Ta lập bảng tính các giá trị của f ( x)
x2 − 1
khi x → 1 . Từ đó xem f ( x) dần đến giá trị nào.

Ví dụ 2: Hàm số f ( x) =


Bài giảng Giải tích một biến số cho K58

GV Lê Thị Minh Hải

Hàm số có giới hạn bằng 0,5 khi x → x0 = 1 .
Sử dụng định nghĩa, chỉ ra rằng
lim
x →1

x −1 1
=
x2 −1 2

Thật vậy, cho trước ε > 0 , chọn δ = ε . Ta có: x − 1 < δ thì

x −1 1
x −1
− =
< x − 1 < ε ( với x
2
x −1 2
x +1

trong lân cận của 1).

Ví dụ 3: Tìm giới hạn lim cos
x →0

1
x

1
Giải: Đặt f ( x) = cos .
x
1
+ Với x =
, n = 1, 2, 3… thì f ( x) = 1 .
2nπ
1
+ Với x =
, n = 1, 2, 3… thì f ( x) = 0 .
π
+ 2nπ
2
1
Vậy lim cos không tồn tại.
x →0
x

3. Giới hạn ở vô cực
Định nghĩa:
+ lim f ( x) = L ⇔ ∀ε > 0 , ∃N > 0 đủ lớn, sao cho ∀x > N ⇒ f ( x) − L < ε .

x →+∞

+ lim f ( x) = L ⇔ ∀ε > 0 , ∃N > 0 đủ lớn, sao cho ∀x < − N ⇒ f ( x) − L < ε .
x →−∞


Bài giảng Giải tích một biến số cho K58
Ví dụ 4: Chứng minh rằng

lim

x →+∞

GV Lê Thị Minh Hải

1
=0.
x

Giải:
1
1
−0 <ε ⇔ x > 2 .
ε
x

+ Từ

+ Ta có: ∀ε > 0 , chọn N =

1

ε2

. Khi đó ∀x > N ⇒ f ( x) − 0 < ε .

4. Các tính chất của giới hạn
Định lí 1: Giả sử c là hằng số và lim f ( x) = L,
x→a

lim g ( x) = M . Khi đó
x→a

1. lim [ f ( x) + g ( x) ] = L + M
x→a

2. lim [ f ( x) − g ( x)] = L − M
x→a

3. lim c. f ( x) = cL
x→a

4.

lim f ( x).g ( x) = L.M
x→a

5. lim
x→a

f ( x) L
=
nếu M ≠ 0 .
g ( x) M

Định lý 2: ( về giới hạn kẹp)
Giả sử các hàm số f ( x), g ( x), h( x) thoả mãn bất đẳng thức f ( x) ≤ g ( x) ≤ h( x) trong lân cận
của điểm a. Khi đó nếu lim f ( x) = lim h( x) = L thì lim g ( x) = L .
x→a

Ví dụ 5: Chứng minh rằng lim

x →∞

Ta có: 0 ≤

x→a

x →a

sin x
= 0.
x

1
sin x 1
sin x
≤ . Mà lim = 0 nên lim
= 0 , hay ta có đpcm.
x →∞ x

x →∞
x
x
x

5. Phương pháp tính giới hạn
+ Các giới hạn không vô định thường cho ra ngay kết quả.
+ Khi gặp các dạng vô định ta phải khử.
+ Sử dụng giới hạn kẹp
+ Sử dụng một số giới hạn cơ bản sau:


Bài giảng Giải tích một biến số cho K58

GV Lê Thị Minh Hải

+∞ khi a > 1
♦ lim a u = 
u →+∞
khi 0 < a < 1
0

♦

khi a > 1
0
lim a u = 
u →−∞
+∞ khi 0 < a < 1

khi a > 1
 +∞
♦ lim log a u = 
u →+∞
−∞ khi 0 < a < 1

♦

khi a > 1
−∞
lim+ log a u = 
u →0
+∞ khi 0 < a < 1
a x −1
ex −1
= ln a ⇒ lim
= 1,
x →0
x →0
x
x

sin x
sin x
= 1, lim
=0
x →0
x →∞
x
x

♦ lim

log a ( x + 1)
1
ln( x + 1)
=
⇒ lim
= 1,
x →0
x →0
x
ln a
x

1/ x
 a
♦ lim 1 +  = lim (1 + ax ) = ea ,
x →∞
x →0
 x

♦ lim

x

♦ lim

n
(1 + x) n − 1

1 + x −1 1
= n ⇒ lim
= .
x →0
x
→
0
x
x
n

♦ lim

6. Một số phương pháp khử dạng vô định:
0 ∞
,
, 0.∞, ∞ − ∞, 1∞.
0 ∞

a. Dạng

0
u
: là lim khi u, v cùng tiến đến 0.
0
v

* Phương pháp: + Làm xuất hiện thừa số giống nhau ở tử và mẫu để rút gọn.
+ Dùng những giới hạn đã biết.

Ví dụ 6: Tìm lim
x →1

Giải: + Dạng

x6 − 1
.
x2 − 1

0
.
0

x 2 − 1)( x 4 + x 2 + 1)
(
x6 − 1
+ lim 2
= lim
x →1 x − 1
x →1
( x 2 − 1)
= lim ( x 4 + x 2 + 1) = 3
x →1

Ví dụ 7: Tìm lim
x →0

1 − x −1
x

;

sin 5 x
x →0 e3 x − 1

lim

.


Bài giảng Giải tích một biến số cho K58
Ví dụ 8: Tìm lim
x→2

x −1 − 2x − 3
x−2

+ Dạng

GV Lê Thị Minh Hải
0
0

1 − cos x.cos 2 x
.
x →0
1 − cos x

Ví dụ 9: Tìm giới hạn sau lim
+ Dạng

0
.
0

b. Dạng

∞
u
: là lim khi u, v tiến đến vô cùng.
∞
v

* Phương pháp: Chia cả tử và mẫu cho một lượng vơ cùng lớn thích hợp.
Ví dụ 10: Tính:

3x + 7 x
,
x →+∞ 3x +1 − 7 x

a ) lim

Ví dụ 11: Tìm lim

x →+∞

( x + 1)10 (2 x − 1) 20
x →+∞
(3 x + 2)30

b) lim

x+ x
x +1


Bài giảng Giải tích một biến số cho K58

GV Lê Thị Minh Hải

c. Dạng ∞ − ∞ là lim(u − v) khi u, v tiến đến vô cùng.
* Phương pháp: - Nhân chia với lượng liên hợp để đưa về dạng
- Quy đồng mẫu số để đưa về
Ví dụ 12: Tìm

lim

x →+∞

(

x2 + x − x

)

 cos x

Ví dụ 13: Tìm lim  2 − cot 2 x  .
x → 0 sin x




d. Dạng 0.∞ là lim uv khi u → 0, v → ∞ .
PP: Đưa về dạng

0
∞
hoặc .
0
∞

Ví dụ 14 : Tìm
1

a ) lim x 2 1 − cos  ;
x →∞
x


b) lim (π − x ) tan
x →π

x
2

e. Dạng 1∞ là lim u v khi u → 1, v → ∞ .
x

 1
PP:+ Đưa về dạng lim 1 +  = e .

x →∞
 x

+ Sử dụng công thức lim u v = elim v (u −1) .

0
0

∞
.
∞


Bài giảng Giải tích một biến số cho K58

Ví dụ 15: Tìm

 x2 + 1 
lim  2 
x →+∞ x − 1



GV Lê Thị Minh Hải

x2 + 2 x

,

+ Dạng 1∞

 x2 + 1 
lim  2 
x →+∞ x − 1



x2 + 2 x

=e

 x 2 +1 
lim ( x 2 + 2 x )  2 −1
 x −1 



x→+∞

=e

lim 2.

x2 + 2 x

x→+∞

x 2 −1

= e2

1

Ví dụ 16: Tìm giới hạn sau lim ( cos x ) x2 .
x →0

+ Dạng 1

∞

+ Ta có: cos x = 1 − (1 − cos x ) = 1 − 2 sin 2
1

1
x 2x

+ lim ( cos x ) x2 = lim 1 − 2sin 2  −2sin 2
x →0
x →0
2

−2sin 2
lim

= e x→0

x
2

x2

=e

−

x
2

−2sin 2
.

x
2

x2

1
2

BÀI SỐ 2:
GIỚI HẠN MỘT PHÍA
TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ
I. Giới hạn một phía
1.a. Định nghĩa: Giới hạn của f(x) khi x → a, x < a (hoặc x → a, x > a ) nếu tồn tại gọi là giới
hạn trái (hoặc giới hạn phải).
Ký hiệu: lim− f ( x) = f (a − ), lim+ f ( x) = f (a + ) .
x→a

Ký hiệu khác:
lim f ( x) = f (a − 0),
x → a −0

x →a

lim f ( x) = f (a + 0) .

x→a +0


Bài giảng Giải tích một biến số cho K58

GV Lê Thị Minh Hải

b. Định lý: Tồn tại lim f ( x) = L khi và chỉ khi
x →a

∃ lim f ( x)
 x → a−

f ( x)
∃ xlim
+
 →a
f ( x) = lim+ f ( x) = L
 xlim
→ a−
x →a
Ví dụ 1: Xét sự tồn tại của lim
x →0

Ta có: lim+

x →0

x
x

= lim+

Ví dụ 2: Nếu

x →0

lim− f

x→ 4

.

 x − 4, x ≥ 4
f ( x) = 
8 − 2 x, x < 4

GIẢI: + l i m + f
+

x
x

x
x
−x

= 1 , lim− = lim−
= −1 . Vậy lim
không tồn tại.
x →0 x
x →0 x
x→0
x
x

Xác định sự tồn tại của

x → 4

x

lim

(x ) =

(x ) =

x→ 4

(x ).

f

x − 4 =

lim+

x → 4

lim−

x→ 4

,

(8

− 2 x

4 − 4 = 0

)=

8 − 2 .4 = 0

Giới hạn trái và giới hạn phải bằng nhau. Vì vậy, giới hạn tồn tại và li m f
x→ 4

(x ) =

0

.

2. Vô cùng lớn, vô cùng bé
Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là vô cùng bé, viết tắt là VCB khi x → x0 nếu lim f ( x) = 0 .

x → x0

Hàm số f(x) được gọi là vô cùng lớn, viết tắt là VCL khi x → x0 nếu lim f ( x) = +∞ .
x → x0

Chú ý:
+ x0 có thể hữu hạn hoặc vơ hạn.


Bài giảng Giải tích một biến số cho K58
+ lim f ( x) = ∞ ⇔ lim
x → x0

x → x0

♦ Nếu lim

x → x0

GV Lê Thị Minh Hải

1
=0.
f ( x)

f ( x)
= 1 ta nói rằng f(x) tương đương với g(x), kí hiệu f ( x) ∼ g ( x) khi x → x0 .
g ( x)

Ta có:

sin x ∼ x, ln(1 + x) ∼ x, e x − 1 ∼ x khi x → 0

Định lý: Nếu f(x) ∼ f*(x), g(x) ∼ g*(x) khi x → x0 . Khi đó : lim

x → x0

Ví dụ 3: Tính

f ( x)
f * ( x)
= lim *
.
g ( x) x→ x0 g ( x)

e2 x − 1
lim
.
x → 0 ln(1 + sin 3 x )

1
x
Ví dụ 4: Tính: lim
x →0
1 

ln 1 + 2 
 x 
tan 2

II. Tính liên tục của hàm số

1. Định nghĩa
Định nghĩa 1: Hàm số f(x) liên tục tại điểm x0 nếu lim f ( x) = f ( x0 ) .
x → x0

Hàm số y = f(x) liên tục trên miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc miền D.
Chú ý: Từ định nghĩa 1, ta thấy để y = f(x) liên tục tại điểm x0 cần đến 3 điều kiện:
1. x0 thuộc tập xác định của hàm số.
2. Tồn tại lim f ( x) .
x → x0

3. lim f ( x) = f ( x0 )
x → x0

Nhận xét:
+ Các đa thức, hàm phân thức, hàm hữu tỉ, hàm lượng giác, hàm mũ, hàm logarit là các hàm
số liên tục trên miền xác định của nó.
+ Hàm số y = f(x) liên tục trên (a, b) thì đồ thị của nó là một đường cong trơn trên khoảng này
(tức là không bị gãy, khơng bị đứt đoạn).
Ví dụ 5: Xét tính liên tục của hàm số
 x2 − x − 2

f ( x) =  x − 2
1


x≠2
x=2


Bài giảng Giải tích một biến số cho K58

GV Lê Thị Minh Hải

+ Ta thấy hàm số liên tục tại mọi điểm x ≠ 2 .
+ Xét tại x = 2.

( x − 2 )( x + 1)
x2 − x − 2
= lim
x →2
x→2
x−2
x−2
= lim ( x + 1) = 3, f (2) = 1

+ lim f ( x ) = lim
x→2

x →2

Nhưng lim f ( x ) ≠ f ( 2 ) . Nên f không liên tục tại 2.
x→2

Định nghĩa 2:
♦ Hàm số f (x) được gọi là liên tục phải tại x0 nếu lim+ f ( x ) = f ( x0 ) .
x → x0

♦ Hàm số f (x) được gọi là liên tục trái tại x0 nếu lim− f ( x ) = f ( x0 ) .
x → x0

♦ Hàm số y = f (x) liên tục tại x0 khi và chỉ khi nó vừa liên tục trái, vừa liên tục phải tại x0
Ví dụ 6: Tìm a để hàm số sau liên tục trên R
 sin 2 x

f ( x) =  x
 aeax + x 2 − 1


x>0
x≤0

+ Hàm số liên tục với mọi x ≠ 0 , để hàm số liên tục trên R thì nó phải liên tục tại x = 0 .
+ Tại x = 0 :

lim+ f ( x ) = lim+

x →0

x→0

sin 2 x
=2
x
,

lim− f ( x ) = lim− ( ae ax + x 2 − 1) = a − 1 = f (0)

x →0

x →0

+ Để hàm số liên tục tại x = 0 thì
f (0+ ) = f (0− ) = f (0) ⇔ a − 1 = 2 ⇔ a = 3 .

Ví dụ 7: Hàm số f(x) không xác định tại x = 0, hãy xác định f(0) để hàm số f(x) liên tục tại x = 0
1

với :

f ( x) = (1 + 2 x ) x

Giải: Để hàm số liên tục tại x = 0 thì
1

f (0) = lim f ( x) = lim(1 + 2 x) x = e2 .
x →0

x →0

2. Điểm gián đoạn của hàm số
Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là gián đoạn tại x = a nếu tại x = a hàm số không liên tục.
♦ Nếu tồn tại f (a + ), f (a − ) và f (a + ) ≠ f (a − ) thì x = a được gọi là điểm gián đoạn loại 1.
♦ Điểm gián đoạn khác (không phải loại 1) gọi là gián đoạn loại 2.


Bài giảng Giải tích một biến số cho K58

GV Lê Thị Minh Hải

Ví dụ 9: Tìm và phân loại điểm gián đoạn của các hàm số sau:

x
1
a. f ( x) =
b. f ( x) = x
x
e1− x − 1
Giải: a. Xét tại x = 0, lim+ f ( x ) = 1, lim− f ( x ) = −1 nên x = 0 là gián đoạn loại 1.
x →0

x →0

b. Tại x = 1. lim+ f ( x ) = −1, lim− f ( x ) = 0 nên x = 1 là gián đoạn loại 1.
x →1

x →1

Tại x = 0. lim+ f ( x ) = +∞, lim− f ( x ) = −∞ nên x = 0 là gián đoạn loại 2.
x →0

x →0

Ví dụ 10: Khảo sát sự liên tục của hàm số và tính chất điểm gián đoạn:
 πx
x ≤1
cos
f ( x) = 
2
 x −1
x >1


Giải:
▪ Với x > 1; x < −1 hàm số liên tục.
▪ Tại x = 1: lim+ f ( x ) = lim+ ( x − 1) =0; lim− f ( x ) = lim− cos
x →1

x →1

x →1

x →1

Nên hàm số liên tục tại x = 1.
▪ Tại x = -1:
lim− f ( x ) = lim− ( x − 1) = − 2; lim+ f ( x ) = lim+ cos

πx
2

=0

πx

=0
2
Nên hàm số gián đoạn tại x = -1, và là điểm gián đoạn loại 1.

x →−1

x →−1

x →−1

x →−1

Bài số 3
Đạo hàm của hàm số một biến
I. Định nghĩa về đạo hàm
1. Định nghĩa đạo hàm
Cho hàm số y = f ( x) , đạo hàm f '( x) của hàm số f ( x) là một hàm mới có giá trị tại điểm x
được xác định bởi (khi giới hạn tồn tại):
f ( x + ∆x ) − f ( x )
f '( x) = lim
.
∆x → 0
∆x
+ Nếu giới hạn tồn tại với x = a, thì hàm số y = f ( x) được gọi là khả vi tại a.


Bài giảng Giải tích một biến số cho K58

GV Lê Thị Minh Hải

+ Hàm khả vi là hàm số khả vi tại mọi điểm trong tập xác định của nó.
dy
df ( x)
d
+ Ký hiệu: f '( x) , y’ ,
,
,
f ( x) .

dx
dx
dx
y = f(x)
y
Q

f(x 0 +∆x) - f(x 0)
P
∆x

x0 + ∆x

x0

x

● Chú ý :
+ f '( x) là độ dốc của tiếp tuyến của đường cong y = f ( x) tại P.
dy
+ Nếu y = f ( x) thì
cịn được gọi là suất biến đổi của y theo x .
dx
+ Nếu ta muốn viết giá trị số của đạo hàm tại một điểm cụ thể x = 3, ta viết :

 dy 
 
 dx  x =3

hoặc

dy
dx

,
x =3

+ ∆x = x − x0 nên
f '( x) = lim

∆x → 0

f ( x) − f ( x0 )
f ( x + ∆x ) − f ( x )
= lim
.
x → x0
∆x
x − x0

Ví dụ 1 : Tính đạo hàm của hàm số y =

1
x

Ví dụ 2 : Xét tính khả vi của hàm số

y = f ( x) = x x .

hoặc f’(3) .

Bài giảng Giải tích một biến số cho K58

GV Lê Thị Minh Hải

Ví dụ 3: Hàm số
(x -1) x − 1 + 1
f ( x) = 
2 x − 1

x >1
x ≤1

có khả vi tại x = 1 khơng.

Ví dụ 4: Chứng minh rằng nếu hàm f(x) có tính chất f ( x) ≤ x 2 với mọi x thì f(x) khả vi tại x = 0.
Giải:
Từ f ( x) ≤ x 2 , ∀x nên f (0) ≤ 0 ⇔ f (0) = 0 .
f (0 + ∆x) − f (0)
f ( ∆x )
=
≤ ∆x , mà lim ∆x = 0
∆x → 0
∆x
∆x
f (0 + ∆x) − f (0)
Nên f '(0) = lim
= 0 . Vậy hs khả vi tại x = 0.
∆x → 0

∆x

Ta có 0 ≤

Chú ý: + Nếu hàm số y = f ( x) liên tục tại điểm x thì :

lim ∆y = 0

∆x → 0

+ Một hàm kh vi t i m t đi m thì liên t c t i đi m đó vì:
∆y
∆y  
dy

lim ∆y = lim
⋅ ∆x =  lim
lim ∆x  = ⋅ 0 = 0

∆x → 0
∆x → 0 ∆x
 ∆x →0 ∆x   ∆x →0  dx
+ Một hàm có thể liên tục tại một điểm mà khơng khả vi tại điểm đó.
+ Một hàm số khơng liên t c tại x0 thì sẽ khơng khả vi tại điểm đó.

2. MỘT SỐ CƠNG THỨC VÀ QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM ĐÃ HỌC
1.

d
c=0

dx

2.

d α
du
u = α u α −1
dx
dx

3.

d u
du
a = a u ln a
dx
dx

4.

d
1 du
ln u = .
dx
u dx


Bài giảng Giải tích một biến số cho K58
5.

d
du
sin u = cos u.
dx
dx

6.

d
1
du
tan u =
.
2
dx
cos u dx

7.

d
du
cos u = − sin u.
dx
dx

8.

d
du dv
(u + v) =

+
dx
dx dx

9.

d
du
dv
(uv) = v
+u
dx
dx
dx

11.

10.

GV Lê Thị Minh Hải

d u u 'v − v 'u
=
dx v
v2

dy dy du
=
.
(Quy tắc dây chuyền hay đạo hàm hàm hợp)

dx du dx

Ví dụ 5. Tính y’ của hàm số:
a.

y = 1 + 1 + x2 .

b.

y = ln sin ( ln x ) 

II. Hàm ẩn và đạo hàm hàm ẩn
1. Hàm ẩn Dạng: F ( x, y ) = 0
(1)
Khi đó, ta nói phương trình (1) xác định y như là một (hoặc nhiều) hàm ẩn của x.
Ví dụ 6.
+ P/trình xy = 1 xác định một hàm ẩn của x mà ta có thể viết một cách tường minh là y =
+ P/trình 2x2 - 2xy = 5 - y2 xác định hai hàm ẩn: y = x + 5 − x 2

và

y = x − 5 − x2 .

2. Đạo hàm của hàm ẩn :
Cách 1: Từ F ( x, y ) = 0 rút y = f ( x) và tính y ' .
Cách 2: Đạo hàm 2 vế F ( x, y ) = 0 theo biến x, với y = y ( x) . Sau đó rút ra y ' .
Ví dụ 7 Tính đạo hàm của các hàm ẩn sau:
a. 4 x 3 − 2 xy 2 + y − 2 = 0
b. x 2 + ln y − x 3e y = 0 .

1
.
x


Bài giảng Giải tích một biến số cho K58

GV Lê Thị Minh Hải

Ví dụ 8: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y 3 + 2 x 2 y − 27 = 0 tại điểm có hồnh độ
x =0.

Ví dụ 9: Tìm đạo hàm hàm ẩn y = y(x) tại (1, 1) với: x ln y − xy 2 + 2 x − 1 = 0 .

III. VI PHÂN
1. Định nghĩa : Cho hàm số y = f ( x) , tích số f '( x).∆x gọi là vi phân của f(x) tại điểm x, kí
hiệu dy = f '( x).∆x .
Khi y = f ( x) = x thì f '( x) = 1 nên :
dy = dx = ∆x , do đó : dy = df = f '( x)dx .
Nếu hàm số f(x) khả vi tại x thì
∆y = f ( x + ∆x) − f ( x) = f '( x).∆x + o ( ∆x )
2. Cơng thức vi phân. Quy tắc tính đạo hàm dẫn đến các công thức vi phân tương ứng.
d
c=0
dx

d(c) = 0

d n
du

u = nu n −1
dx
dx

d(xn) = nxn-1dx

d
du
(cu ) = c
dx
dx

d(cu) = cdu

d
du dv
(u + v) =
+
dx
dx dx
d
dv
du
(uv) = u + v
dx
dx
dx
d u
( )=
dx v

v

du
dv
−u
dx
dx
2
v

d n
du
u = nu n −1
dx
dx

d(u + v) = du + dv
d(uv) = vdu + udv

u
vdu − udv
d( ) =
v
v2

d(un) = nun-1du


Bài giảng Giải tích một biến số cho K58

GV Lê Thị Minh Hải

Ví dụ 10 : Giả sử y = x 4 + 3x 2 + 7 . Tìm dy
Giải:
+ Cách 1 : Tìm đạo hàm
dy
= 4 x 3 + 6 x ⇔ dy = (4 x 3 + 6 x)dx
dx
+ Cách 2: Chúng ta cũng có thể dùng các công thức vi phân ở trên:
dy = d ( x 4 + 3 x 2 + 7 ) = dx 4 + 3 d ( x 2 ) + d ( 7 )
= 4 x3 dx + 3.2 xdx + 0 =

Ví dụ 11. Tính d (

x2
x2 + 1

( 4x

3

+ 6 x ) dx

)

Ví dụ 12: Giả thiết rằng y là một hàm khả vi đối với x và thỏa mãn: x 2 y 3 − 2 xy + 5 = 0.
dy
Hãy sử dụng vi phân để tìm
.

dx

3. Ứng dụng của vi phân trong tính gần đúng
Xét hàm số y = f ( x) khả vi trong lân cận của x0 ∈ (a, b) . Theo công thức số gia của hàm khả
vi ta có:
f ( x0 + ∆x) ≈ f ( x0 ) + f '( x0 ).∆x

Ví dụ 13: Tính xấp xỉ ln11 .
Giải: + Xét f ( x) = ln x, x0 = 10, ∆x = 1
+ Áp dụng: f ( x0 + ∆x) ≈ f ( x0 ) + f '( x0 ).∆x
Ta có:

ln11 = ln(10 + 1) ≈ ln10 +

1
.1 ≈ 1, 043
10.ln10


Bài giảng Giải tích một biến số cho K58

GV Lê Thị Minh Hải

Bài số 4
Đạo hàm hàm lượng giác ngược. Đạo hàm cấp cao
I. Hàm ngược và đạo hàm hàm ngược
1. Định nghĩa: Cho hs y = f ( x) , nếu phương trình (đối với biến x) y = f ( x) có nghiệm duy
nhất x = ϕ ( y ) thì ta nói y = ϕ ( x) là hàm ngược của hàm số y = f ( x) . Kí hiệu : ϕ = f −1 .
2. Cách tìm hàm ngược.
B1. Từ y = f ( x) giải ra x = ϕ ( y ) .

B2. Hoán đổi vai trò của x và y, ta được hàm ngược y = ϕ ( x) .
Chú ý : đồ thị của hàm y = f ( x) và y = ϕ ( x) đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất y =
x.
Ví dụ : Tìm hàm ngược của hàm số y = 2 x 3 − 1 .
3. Các hàm lượng giác ngược.
a) Hàm số ngược của hàm y = sin x :
Xét hàm số :

sin : [ −π / 2, π / 2] →
x

→

[ −1,1]
y = sin x

Khi đó tồn tại hàm số ngược :
sin −1 : [ −1,1] →
y

[ −π / 2, π / 2]
→ x = sin −1 y

Ký hiệu khác : sin −1 x = arcsin x .
Chú ý : a = sin −1 b = arcsin b chính là số đo góc mà sin a = b .
Ví dụ : Tìm sin −1


1
3

, sin −1  −
 .
2
2




Bài giảng Giải tích một biến số cho K58

GV Lê Thị Minh Hải

b) Hàm ngược của hàm cosine :
Tương tự, nếu xét

cos : [ 0, π ] →
x →

[ −1,1]
y = cos x

Tồn tại hàm ngược : y = cos −1 x = arccos x .

c. Hàm ngược của hàm tang
 π π
tan :  − ,  → (−∞, ∞)
Xét hàm số :
 2 2
x
→ y = tan x

Tồn tại hàm số ngược
 π π
tan −1 : (−∞, + ∞) →  − ,  .
 2 2

d. Hàm ngược của hàm cotang :
Khi xét
cotan : ( 0, π ) → (−∞, ∞)

x
−1

Tương tự: Hàm y = arccot x = ( cot ) ( x)

→

y = cot x


Bài giảng Giải tích một biến số cho K58

GV Lê Thị Minh Hải

4. Đạo hàm hàm ngược
a. Định lý : Giả sử y = f ( x) có đạo hàm tại x0 và f '( x0 ) ≠ 0 , thì hàm ngược (nếu tồn tại)
'
1
x = f −1 ( y ) sẽ có đạo hàm tại y0 và  f −1  ( y0 ) =
.
f ' ( x0 )

Ví dụ 1 : Hàm số y = sin −1 x ⇒ x = sin y . Ta có :
x ' = cos y ⇒ y ' =

1
1
1
1
=
=
=
x ' cos y
1 − sin 2 y
1 − x2

b. Đạo hàm hàm lượng giác ngược
Cho u là hàm khả vi của x, ta có :
d
1 du d
1 du
(sin −1 u ) =
;
(cos −1 u ) = −
dx
1 − u 2 dx dx
1 − u 2 dx
d
1 du
d
1 du
(tan −1 u ) =

;
(co tan −1 u ) = −
2
dx
1 + u dx dx
1 + u 2 dx

Ví dụ 2: Tính dy/dx của hàm số
y = x tan −1 x − ln 1 + x 2 .

Ví dụ 3: Tính dy/dx của hàm số
y = sin −1 x + x 1 − x 2 .

II. Đạo hàm và vi phân cấp cao
1. Định nghĩa:
Cho hs f ( x) xác định trong khoảng (a, b). Giả sử y = f ( x) có đạo hàm y ' = f '( x) và f '( x)
có đạo hàm thì ta gọi đạo hàm của f '( x) là đạo hàm cấp hai của hàm f(x).
Kí hiệu

y” = f ” ( x ) = f’ ( x ) ’

Tương tự, đạo hàm cấp n của hàm y = f ( x) :

y ( n ) ( x) =  y ( n −1) ( x) ′


Bài giảng Giải tích một biến số cho K58

GV Lê Thị Minh Hải

2

Ví dụ 4: Cho hàm số y = e − x . Tính y′′′ .
Ta có:
2
y ' = −2 xe − x
2

2

2

y′′ = −2e − x + 4 x 2 e− x = e − x (4 x 2 − 2)
2

2

2

y′′′ = −2 xe− x (4 x 2 − 2) + 8 xe− x = 4e− x (3 x − 2 x3 ).

2. Các quy tắc lấy đạo hàm cấp cao:
a. Với f, g là các hàm số có đạo hàm cấp n và λ , µ ∈ R , ta có:
(λ f ( x) + µ g ( x))( n ) = λ f ( n ) ( x) + µ g ( n ) ( x)
b. Quy tắc Leibniz: Với f, g là các hàm số có đạo hàm cấp n, ta có:
n

( fg )( n ) = ∑ Cnk f ( n − k ) g ( k )
k =0

Ví dụ 5: Tìm cơng thức tính đạo hàm cấp n của:
1
a. y =
,
b. y = x k , với k ∈ ℝ
x −1
Giải:
a.

b. Nếu k ∉ N thì

y ' = kx k −1 , y " = k (k − 1) x k − 2 ,...,
y ( n ) = k (k − 1)...(k − n + 1) x k − n

.

Nếu k ∈ N thì
y

(n)

k (k − 1)...(k − n + 1) x k − n

= k !
0


k >n
k =n
k

Ví dụ 6: Dùng đạo hàm hàm ẩn, tính y” của hàm y = f ( x) cho bởi x n + y n = a n .
Giải: Đạo hàm 2 vế

nx

n −1

x n −1
+ ny . y ' = 0 ⇔ y ' = − n −1 (2).
y
n −1


Bài giảng Giải tích một biến số cho K58

GV Lê Thị Minh Hải

+ Đạo hàm lần nữa 2 vế của (2), chú ý rằng y và y’ là hàm của x, ta có:
(n − 1) x n − 2 y n −1 − (n − 1) y n − 2 . y '.x n −1
y '' = −
y 2n−2
=−

(n − 1) x n − 2 y n −1 + (n − 1) y −1.x 2 n − 2
y 2 n−2

=−

(n − 1) x n − 2 y −1 ( x n + y n )

(n − 1)a n x n − 2
=
−
y 2n−2
y 2 n −1

3. Vi phân cấp cao:
+ Vi phân cấp 2 của hàm số f(x) tại một điểm nào đó (nếu có) là vi phân của vi phân cấp một
df. Kí hiệu d 2 f = d (df ) .
+ Vi phân cấp n, kí hiệu là d n f là vi phân cấp một của vi phân cấp (n-1):
d n f = d (d n −1 f ) .
Chú ý: Khi tìm vi phân cấp cao của hàm số, ta luôn coi dx như là hằng số.
d 2 y = d (dy ) = d ( y ' dx) = y "(dx)2 = y " dx 2
....................
d n y = d (d n −1 y ) = y ( n ) dx n

Ví dụ 7: Cho hàm số y = ln x . Tìm d 5 y


Bài giảng Giải tích một biến số cho K58

GV Lê Thị Minh Hải
BÀI SỐ 5

CÁC ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
I. BÀI TOÁN GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT
1. Định nghĩa: Hàm số y = f ( x) xác định trên đoạn [a,b], ta nói :
i. Hàm số đạt GTLN nếu:
 f ( x) ≤ M , ∀x ∈ [a,b]


∃c ∈ [a, b] : f (c) = M

ii. Hàm số đạt GTNN nếu:
 f ( x) ≥ m, ∀x ∈ [a,b]

∃c ∈ [a, b] : f (c) = m

2. Cách tìm : + Tìm các điểm tới hạn của f(x) trong đoạn [a,b ]: chẳng hạn là c
+ Khi đó: max f ( x) = max {f(a), f(b), f(c)}
[a,b]

hoặc min f ( x) = min {f(a), f(b), f(c)} .
[a,b]

Chú ý : 1) Nếu hàm số y = f ( x) liên t c trên D, và trên đó nó có duy nh t m t c c tr .
+ Nếu cực trị đó là c c ti u thì đó cũng là GTNN của hàm số trên miền đó.
+ Nếu cực trị đó là c c đ i thì đó cũng là GTLN của hàm số trên miền đó.
2) ♦ Nếu hàm số y = f ( x) đồng biến trên [ a, b] thì max f ( x) = f (b), min f ( x) = f (a ) .
[ a ,b ]

[ a ,b ]

♦ Nếu hàm số y = f ( x) nghịch biến trên [ a, b] thì max f ( x) = f (a ), min f ( x) = f (b) .
[ a ,b ]

[ a ,b ]

3) Hàm số y = f ( x) liên tục trên [ a, b] thì ln tồn tại GTLN và GTNN trên miền đó.
Ví dụ 1: Tìm hai số dương mà tổng của số thứ nhất và 2 lần bình phương số thứ 2 bằng 12,
tích của chúng đạt giá trị lớn nhất.

Bài giảng Giải tích một biến số cho K58

GV Lê Thị Minh Hải

Các bước giải bài toán GTLN, NN trong thực tế
B1. Đọc kỹ đề bài, xác định các đại lượng đã biết, chưa biết, điều kiện đã cho. Biểu diễn trên
lược đồ (nếu có thể).
B2. Đặt ký hiệu cho các đại lượng chưa biết và đại lượng LN, NN (giả sử gọi là Q). Biểu diễn
Q qua các đại lượng khác.
B3. Sử dụng mối quan hệ giữa các biến để chuyển Q về hàm 1 biến số.
B4. Dùng các phương pháp đã có để tìm GTLN, NN Q.
Ví dụ 2: Một mảnh vườn hình chữ nhật 450m2 được rào lại. Nếu một cạnh của mảnh vườn
được bảo vệ bởi bức tường của một kho thóc, thì chiều dài tổng của tường rào ngắn nhất là
bao nhiêu?
Barn
x

y

Gi i:

450ft2

Ví dụ 3: Tìm kích thước của hình chữ nhật có diện tích lớn nhất mà nó có thể nội tiếp trong
nửa đường trịn bán kính là a.
Gi i :
+ Xét nửa trên của đường tròn : x 2 + y 2 = a 2 .

Bài giảng Giải tích một biến số cho K58
+ Chúng ta phải tìm GTLN của:

GV Lê Thị Minh Hải

A = 2xy

với điều kiện : x + y = a .
2

2

2

1

+ Từ điều kiện ta có y = a 2 − x 2 = (a 2 − x 2 ) 2 , khi đó thế vào A:
1/ 2

A = 2 x ( a 2 − x 2 ) , với 0 < x < a

)

1
1
−
1
dA
= 2(a 2 − x 2 ) 2 + 2 x. (−2 x)(a 2 − x 2 ) 2

dx
2

=

2a 2 − 4 x 2
2

a −x

2

=0→ x=

a
a 2
=
2
2

dA
a 2
khi đi qua x =
suy ra GT cực đại của A.
dx
2
a 2
.
+ Giá trị tương ứng của y là
2

a 2
+ Vậy kích thước HCN là
và a 2 , GTLN là A = a 2 .
2
Ví dụ 4: Một cái dây dài L được cắt thành hai đoạn. Một đoạn bị nối thành dạng hình vng và
đoạn kia thành hình trịn. Cái dây sẽ bị cắt như thế nào sao cho tổng diện tích bao gồm bởi 2
đoạn dây:
a) Là lớn nhất
b) Là nhỏ nhất

+ Xét dấu của

Gi i:
+ Giả sử x là cạnh của hình vng và r là bán kính của hình trịn ( x > 0 ) ,
+ Khi đó tổng diện tích của hai hình được tạo thành là
A = x2 + π r2
với 4x + 2 π r = L.
có r =

1
( L − 4 x ) . Do đó 0 ≤ x ≤ L / 4
2π

+ A = x2 + π

1
4π

2

( L − 4 x) 2 = x 2 +

1
( L − 4 x) 2
4π


Bài giảng Giải tích một biến số cho K58

GV Lê Thị Minh Hải

dA
2
L
∈ ( 0, L / 4 )
= 2 x − ( L − 4 x) = 0 ⇒ x =
dx
π
4 +π
d2A
8
L
+
= 2 + > 0 , nên hàm số đạt cực tiểu tại x =
. Giá trị cực tiểu cũng là GTNN.
2
dx
π
4+π
L2

L2
L2
, A( L / 4) =
nên Amax =
khi x = 0.
+ Do A(0) =
4π
16
4π

+

Ví dụ 5: Một người bán hàng dự định bán 500kg khoai tây bóc vỏ với giá 150 cent/kg (giá
gốc là 70 cent /kg). Tuy nhiên nếu cứ hạ giá một cent thì sẽ bán thêm được 25 kg. Hỏi người
bán hàng nên bán với giá nào để đạt lợi nhuận lớn nhất?
Gi i:

Ví dụ 6: Một nhà máy sản xuất các hộp đựng xà phịng hình trụ nhận a đơn đặt hàng đối
với các hộp có thể tích được chỉ rõ V0. Với kích thước nào thì diện tích tồn phần của một cái
hộp như vậy sẽ đạt GTNN ?