Bài tập cơ học lý thuyết

3


LỜI NÓI ĐẦU
Cuốn “ Bài tập cơ lý thuyết ” in lần này là kết quả của nhiều lần rút kinh
nghiệm qua thực tế giảng dạy của Bộ môn cơ học lý thuyết Trường Đại học Thủy lợi
suốt bốn mươi năm qua.
So với hai tập giáo trình xuất bản năm 1976, chúng tôi đã chọn lọc sửa chữa và
rút bớt lại về số lượng bài, kết cấu lại các chương mục cho phù hợp với đề cương môn
học đã được sửa đổi theo tinh thần cải cách giáo dục và đáp ứng yêu cầu đào tạo các
ngành nghề của Trường Đại học Thủy lợi.
Giáo trình này được dùng cho sinh viên chính quy hệ 5 năm của trường Đại học
Thủy lợi, ngành cơng trình và ngành máy(chương trình A). Tuy nhiên những sinh viên
học theo chương trình B hoặc sinh viên hệ tại chức, khi sử dụng giiaos trình này có sự
hướng dẫn của giáo viên cũng rất thuận lợi. Ngồi ra giáo trình này cịn làm tài liệu ơn
tập cho những học viên ôn tập để thi tuyển vào hệ cao học hay nghiên cứu sinh ngành
cơ học.
Chúng tôi mong có sự góp ý của các thầy giáo cơ giáo và người sử dụng về nội
dung và hình thức để giúp chúng tơi hồn thiện hơn về giáo trình này.
Hà Nội, tháng 10-2003
Tập thể bộ môn Cơ học lý thuyết
GS.TS.Nguyễn Thúc An

PGS.TS.Khổng Dỗn Điền

PGS.TS.Nguyễn Đình Chiều

PGS.TS.Nguyễn Đăng Tộ

PGS.TS.Nguyễn Bá Cự

PGS.TS.Lê Đình Don

TS.Nguyễn Đình Thơng

TS.Nguyễn Thị Thanh Bình

4


PHẦN THỨ NHẤT: TĨNH HỌC
CHƯƠNG I: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN- HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC
Tĩnh học là một phần của Cơ học lý thuyết, trong đó nghiên cứu điều kiện cân
bằng của vật rắn dưới tác dụng của lực. Vật rắn ở trạng thái cân bằng hiểu theo nghĩa
tĩnh học là vật rắn đứng yên.
Với qui ước ngay từ đầu vật rắn đã đứng yên, ta có thể đồng nhất khái niệm cân
bằng của vật rắn với khái niệm cân bằng của hệ lực tác dụng lên nó. Do đó để nghiên
cứu điều kiện cân bằng của vật rắn dưới tác dụng của hệ lực, ta chỉ cần nghiên cứu
điều kiện cân bằng của hệ lực tác dụng lên nó là đủ. Nội dung chủ yếu của các bài
tốn tĩnh học là tìm phản lực để hệ lực tác dụng lên vật khảo sát cân bằng. Cơ sở lý
luận của phần tĩnh học là hệ tiên đề tĩnh học.
HỆ TIÊN ĐỀ:
Tiên đề 1: ( Tiên đề về sự cân bằng)

F

F

Điều kiện cần và đủ để hệ hai lực cùng tác dụng lên một vật rắn
cân bằng là chúng có cùng giá, cùng cường độ và ngược chiều
nhau.

r
r r
r
r
F1 , F2
0 ⇔ F1 = − F2 và cùng giá.

(

)

Tiên đề 2: ( Tiên đề thêm bớt hệ lực cân bằng )
Tác dụng của một hệ lực lên vật rắn không thay đổi nếu ta thêm vào hay bớt đi một hệ
lực cân bằng
r r
r
r r
r r r
r
(F1 , F2 ,..., Fn ; P1 , P2 ,..., Pm )
F1 , F2 ,..., Fn

(

Trong đó:

)

(P , P ,..., P )
r r

1

r

2

m

r
0

Tiên đề 3: ( Tiên đề về hợp lực )

F2

Hệ hai lực cùng đặt tại một điểm có hợp lực đặt tại điểm chung
ấy, véc tơ biểu diễn hợp lực là véc tơ đường chéo của hình bình
hành mà hai cạnh là hai vectơ biểu diễn hai lực đã cho.
r ur ur ur
r r
F1 , F2
R ; R = F1 + F 2

(

)

Tiên đề 4: (Tiên đề về lực tác dụng và phản tác dụng)
Lực tác dụng và phản tác dụng giữa hai vật là hai lực có cùng
giá, cùng cường độ và ngược chiều nhau.

5

F
F1


Chú ý: Khác với tiên đề 1, trong tiên đề 4, lực tác dụng và phản tác dụng không phải
là hai lực cân bằng.
Tiên đề 5: ( Tiên đề hoá rắn )
Khi vật biến dạng đã cân bằng, thì hố rắn lại, nó vẫn cân bằng.
HỆ QUẢ:
Những hệ quả phát biểu dưới đây được trực tiếp rút ra từ hệ tiên đề tĩnh học đã nêu ở
trên:
Hệ quả 1: ( Định lý trượt lực)
Tác dụng của một lực lên vật rắn không thay đổi, nếu ta trượt lực dọc theo giá
của nó.
Do đó lực tác dụng lên vật rắn được biểu diễn bằng véc tơ trượt.
Hệ quả 2:
Nếu một hệ lực cân bằng thì một lực bất kỳ thuộc hệ lấy theo chiều ngược lại, sẽ là
hợp lực của hệ lực cịn lại.
Hệ quả 3:
Có thể phân tích một lực thành 2 lực theo qui tắc hình bình hành lực.
Hệ quả 4:
Vật rắn chịu tác dụng của một lực khác không, sẽ không ở trạng thái cân bằng.
Hệ quả 5: (Định lý về 3 lực cân bằng )
Nếu ba lực không song song, cùng nằm trong một mặt phẳng mà cân bằng thì giá của
chúng đồng quy tại một điểm.
Liên kết và phản lực liên kết
Nắm vững các loại liên kết và phản lực liên kết là một trong những yếu tố quan trọng

để giải đúng các bài toán tĩnh học.
• Liên kết tựa:

NC
NB
NA

A

N

C

B

6

N


• Liên kết thanh không trọng lượng:

SC

SA SB

A

• Liên kết ngàm:

C

B

RA

XA
YA

MA
A

MA

• Liên kết dây mềm, thẳng, khơngdãn:
A

T

B
TA

TB

• Liên kết bản lề:
Bản lề trụ:

+

Z

X

Y y

x
y

Y
X

x

+

X

Bản lề cầu

Z

Z
Y

Y

X

+

Bản lề cối

X

Z

Z

Z

Z

R
Z
Y

Y

y

y

X

X
x

x

7

x

y


Ngun lý giải phóng liên kết
Vật khơng tự do có thể coi như tự do nếu thay các liên kết bằng những phản lực liên
kết tương ứng.
B

B

K
D

C
P

O

ND

K

C

D
T

A

Vật không tự do

NA

A

P

Vật tự do

Để lập hệ phương trình cân bằng cho các loại hệ lực, chúng ta phải nắm vững cách
chiếu véc tơ lực lên các trục toạ độ và cách lấy mômen của lực đối
F
với một tâm cũng như đối với trục.
α
X
Chiếu lực:
Lực và trục cùng nằm trên một mặt phẳng:
X= F.cosα
Lực và trục không cùng nằm trên một mặt phẳng:

z
F

X= Fxy.cosϕ= F.cosθcosϕ
Y= Fxy.sinϕ= F.cosθ.sinϕ
O

Z= F.sinθ

r
r
r
r
F = X .i + Y . j + Z .k

x

y

θ
ϕ

F

xy

Mômen của lực:
+

Mômen của lực đối với 1 tâm:
r r
r r
m0 ( F ) = r ∧ F
r r r
i
j k
r r
m0 F = x y z
X Y Z

z

( )

F

h

r
m0 ( F ) = F .h
r
r r r
m0 ( F ) = 0 khi giá của lực F đi qua tâm lấy

mômen 0.

+

B

Mô men của lực lấy đối với một trục:
8

O
x

r A

y

B'
d F

xy

A'


r
mz ( F ) = ± d .Fxy
r
Ta có mz ( F ) = 0 khi lực và trục lấy mômen cùng nằm trên một mặt phẳng nghĩa là
r
r
giá của lực F cắt trục z, hoặc giá của lực F song song với trục z.

9


CHƯƠNG II. HAI BÀI TOÁN CƠ BẢN CỦA TĨNH HỌC

I. Bài toán thu gọn hệ lực
r r

r

( F , F ,..., F )
1

n

2

r r
∼ ( R0 , M 0 )

r ⎛ n
⎞r ⎛ n
⎞r ⎛ n
⎞r
R0 = ⎜ ∑ X K ⎟ i + ⎜ ∑ YK ⎟ j + ⎜ ∑ Z K ⎟ k
⎝ K =1
⎠ ⎝ K =1 ⎠
⎝ K =1 ⎠
r
r ⎤r ⎡ n
r ⎤r ⎡ n
r ⎤r
⎡n
M 0 = ⎢ ∑ m0 x ( FK ) ⎥ i + ⎢ ∑ m0 y ( FK ) ⎥ j + ⎢ ∑ m0 z ( FK ) ⎥ k
⎣ K =1
⎦
⎣ K =1
⎦
⎣ K =1
⎦

Các trường hợp có thể gặp khi thu gọn hệ lực khơng gian về một tâm được tóm tắt ở bảng
dưới đây
r r

R0 . M 0

r r
R0 . M 0

≠ 0
≠ 0

r
R
r r
R0 . M 0 > 0

r r
R0 . M

0

<

r
M 0= 0

= 0
= 0

r
R

r

M0≠0

r
M 0≠ 0

r
M0=0

0
Hệ lực thu Hệ lực thu
về xoắn

về xoắn

thuận

nghịch

Hệ
lực Hệ lực thu
Hệ lực thu về
Hệ
thu
về về hợp lực một ngẫu có lực
r
hợp lực
có
fgiá mơmen là M 0 cân
có giá đi khơng
khơng

phụ
bằng
qua tâm 0 đi qua tâm 0 thuộc tâm 0

1. Thí dụ
r r r r r r
Theo các cạnh của lăng trụ tác dụng các lực F1 , F2 , F3 , F4 , F5 , F6 có chiều như hình vẽ.

Biết

Z
F1 C
F2
K
RK

F1 = F6 = 10N,
F2 = F4 = 5N ,
F3 = F5 = 5 2 N,

R0

F5
0

OA =2.OB = 10m , α= 45 .
x

Thu gọn hệ lực về dạng tối giản.
Bài giải

10

F4
A

MO

0

α

Hình 1

F3
F6

y
B


6

∑X
K =1

K

6

∑Y

K

K =1

6

∑Z
K =1

K

= F1 + F6 = 20N
= ( F5 − F3 )

2
= 0
2

= F4 − F2 + ( F3 − F5 )

r
r
r
r
R0 = 20.i + 0. j + 0.k

2
=0

2

⇒ R0 = 20N

r
2
(
F
=0
0x
K ) = ( F3 − F5 ) 0 B
2

6

∑m
K =1

r
2
(
.0 A − F4 .0 A = ( F1 + F5 2 − 2 F4 )0 B = 50 Nm
m
F
∑
K ) = F1 .0C + F5 .
0y
2
K =1
6

r
2
(
0 A − F6 .0 B = ( F5 2 − F6 ).0 B = 0
m
F
∑
0z
K ) = F5
2
K =1
r
r
r
r
M 0 = 0.i + 50. j + 0.k ⇒ M0 = 50Nm.
r r r r r r
Vậy, khi thu gọn hệ lực ( F1 , F2 , F3 , F4 , F5 , F6 ) về gốc toạ độ 0, ta được véc tơ chính
uur
r
R0 có chiều trùng với chiềucủa trục 0x và có trị số 20N, mơmen chính M 0 có chiều
6

trùng với chiều của trục 0y và có trị số 50Nm.
r
r
r r
R0 ≠ 0 , M 0 ≠ 0 , R0 .M 0 = 0 suy ra hệ lực đã cho thu về hợp lực.
Hợp lực có trị số và phương chiều trùng với trị số và phương chiều của véc tơ

r
M
50
= 2,5m
chính R0 . Ta cần tìm điểm đặt của hợp lực: 0 K = 0 =
R0 20
r
r r r r r r
Điểm K là điểm đặt của hợp lực: ( F1 , F2 , F3 , F4 , F5 , F6 ) ∼ R K
Điểm K phải nằm về phía chiều dương của trục 0z, cách gốc toạ độ 0 một đoạn
r
2,5m mới phù hợp với trị số và phương chiều của véc tơ chính R0 và mơmen chính
r
M0 .
2. Thí dụ
r r r
Hệ ba lực ( F1 , F2 , F3 ) đặt tại các điểm A, B, C và

F2

có chiều như hình vẽ. Biết 0A=0B=0C = a.
a.

Tìm điều kiện để hệ lực thu về một ngẫu lực.

b.

Tìm điều kiện để hệ lực thu về một lực.

11

z
B

O
xC

F1

y
A

F3


Bài giải

Hình 2
r
r
Trước hết ta cần tìm véc tơ chính R0 và mơmen chính M 0 khi thu gọn hệ lực về

gốc toạ độ 0.
⎧3
⎪∑ X K = ( F2 − F3 )
⎪ K =1
⎪⎪ 3
⎨ ∑ YK = ( F3 − F1 )
⎪ K =1
⎪ 3

⎪ ∑ Z K = ( F1 − F2 )
⎪⎩ K =1

2
2
2
2

r
r
r
r
2
⎡( F2 − F3 )i + ( F3 − F1 ) j + ( F1 − F2 )k ⎤
suy ra R0 =
⎦
2 ⎣

2
2

Mômen của một lực lấy đối với một trục bằng không khi giá của lực cắt trục nên ta
r r r
dễ dàng tìm thấy tổng mơmen của các lực F1 , F2 , F3 đối với các trục tọa độ 0xyz.
r
⎧ 3
2
⎪ ∑ m0 x ( FK ) = F1.a.
2
⎪ K =1

r
⎪⎪ 3
r
r
r
r
2
a 2
suy ra
M0 =
F1.i + F2 . j + F3 .k ≠ 0
⎨∑ m0 y ( FK ) = F2 .a.
2
2
⎪ K =1
⎪ 3
r
2
⎪ ∑ m0 z ( FK ) = F3 .a.
2
⎪⎩ K =1
r r
r
R0 .M 0 = 0 ; M 0 ≠ 0
r r r
Kết quả trên luôn luôn đúng đối với hệ lực đã cho ( F1 , F2 , F3 ).

(

a.

Điều kiện để hệ lực thu về một ngẫu lực:

Để hệ lực thu về một ngẫu lực chỉ cần thêm điều kiện :
r
R0 = 0 suy ra F1 = F2 = F3.
r
Ngẫu lực có véc tơ mômen là M 0 .
b.

Điều kiện để hệ lực thu về một lực:
Để hệ lực đã cho thu về một lực chỉ cần thêm điều kiện:
⎧− F1 ≠ F2 ≠ F3 ;
r
⎪
R0 ≠ 0 ⇒ ⎨− F2 ≠ F3 ≠ F1 ;
⎪−F ≠ F ≠ F .
1
2
⎩ 3

12

)


Z
Z

P2

K

P1

P3
O

P5

A

y

P2

P4 P1

y

x

P4 P5
A

B

α

x

C

P3

Hình 3
Hình 5
3. Theo các cạnh của lăng trụ tác dụng các lực có trị số P1=40N, P2=P5=10N; P3=15N; P4
= 5N và có chiều như hình vẽ. Biết 0A=2; 0K=20cm, α = 300. Thu gọn hệ lực về dạng tối
giản.
r
Trả lời: Hệ lực thu về hợp lực RK đặt tại điểm K có chiều trùng với chiều trục y,

có trị số RK= 20 3 N .
r
r
r
4. Cho 3 lực P 1, P 2, P 3 đặt tại các
điểm tương ứng A1(0,2,1) ; A2(1,-1,3);
A3(2,3,1) và chiếu của chúng lên các trục
toạ độ cho trong bảng bên.

Lực
r
P1
r
P2
r
P3

X
3

Y
5

Z
4

-2

2

-6

-1

-7

2

Thu gọn hệ lực trên về gốc toạ độ.
r
r r
R0 =0; M0 = 23,4Nm; cos M 0 , i = 0,679
Trả lời:
r r
cos M 0 , j =0,085 ;

(

)
(

)

r r
cos M 0 , k =-

(

)

0,727
r r r r r
5. Cho hệ lực P 1, P 2, P 3, P 4, P 5 đặt ở các đỉnh của hình hộp chữ nhật có chiều như
hình vẽ. Biết P1=60N, P2=P3=10N, P4=10 5 N, P5=20N, 0A=0B=20cm, 0C=10cm.
Thu gọn hệ lực trên về dạng tối giản.
r
Trả lời: R0 có chiều ngược với chiều trục 0y và R=30N,
r
M 0 nằm trong mặt phẳng 0yz và M0=100 5 Nm. Hệ lực thu về xoắn.
r
r
6. Trên hình hộp chữ nhật có lực P và Q tác dụng. Tìm mơmen của các lực ấy đối
với các trục toạ độ. Biết 0A = 3cm, 0C = 4cm, 0L=5cm, P= Q = 3N.
r
r
r
Trả lời: m0x ( P ) = 60 Nm ; m0y ( P ) = − 45 Nm ; m0z ( P ) = 36 Nm

34
34
34

13


r
r
r
m0x (Q) = −6 2 Nm ; m0y (Q) = 4,5 2 Nm ; m0z (Q) = 0 Nm
Z

Z
F

P6

K

P5 P1

Q

D

E
y
O

A

x

P2

C

P

x

B

y
O

P4

P3

Hình 6

Hình 7

7. Tại các đỉnh của một lập phương có cạnh bằng a đặt 6 lực cùng có trị số P, có chiều
như hình vẽ. Rút gọn hệ lực về dạng tối giản.

Trả lời: Hệ lực thu về một ngẫu lực với M0 = 20 3 P đơn vị mômen lực
D

A
P2

x

P3

P1

z

z

O

E
B

P1

O

y
x

C

P3

y

P2

Hình 8

Hình 9
r
r
8. Trên một tứ diện đều ABCD đặt các lực P1 hướng theo AB, P2 hướng theo CD và
r
r r
r
P3 có điểm đặt tại trung điểm E của BD. Giá trị của P1 , P2 tuỳ ý. Chiếu của P3 lên 3

trục toạ độ là X3 = 5 3 P2 ; Y3 = − 1 P2; Z3 = − 2 P2. Thu gọn hệ lực trên.
2
6
3
r r
R0 .M 0 = 0 . Hệ lực thu về hợp lực.
Trả lời:
r r r
9. Ba lực P1 , P2 , P3 đặt tại các điểm A, B, C cách gốc toạ độ 0 tương ứng a, b, c nằm
trong các mặt phẳng toạ độ và song song với các trục toạ độ. Hệ lực đã cho phải thoả
mãn điều kiện gì để hệ lực có hợp lực, điều kiện nào để hệ lực đưa về một xoắn có trục
đi qua gốc toạ độ.
Trả lời:
a.

a b c

+ + =0
P1 P2 P3

14


P
P1
P
= 2 = 3
bP3 cP1 aP2

b.

a
c

P

P

b

F4

F6
F5

P

H

E

P2

A P1

P4

F2

D

F3 F1

Hình 10
Hình 12

F
G

P3

B
C

Hình

11

10. Theo 3 cạnh không cắt nhau và không song song với nhau của một hình hộp tác
r
dụng 3 lực P có trị số bằng nhau. Tìm quan hệ giữa a, b và c để hệ lực đó thu về một
lực.

Trả lời:

b = a+ c

11. Tại các đỉnh của một hình lập phương ta đặt các lực theo phương của cạnh như
r r r r r r
hình vẽ. Tìm điều kiện để hệ lực ( F 1, F 2, F 3, F 4, F 5, F 6) cân bằng.

Trả lời:

F1 = F 2 = F 3 = F 4 = F 5 = F 6

12. Tại 4 đỉnh A, B, D, H của hình lập phương đặt 4 lực có trị số bằng nhau P1 = P2
r
r
r
= P3 = P4 = P, trong đó P1 hướng theo AC, P2 hướng theo HF, P3 hướng theo BE
r
và P4 theo hướng DG. Hãy thu gọn hệ lực về điểm D. Tìm dạng tối giản của hệ lực.
r
r
r r
Trả lời:
R = P 2( j + k ) ; M D = 0 .

Hệ lực thu về một lực.
A

II. Bài toán cân bằng của hệ lực
13. Thí dụ

Vật nặng Q= 9 3 N được treo vào bản lề C. Thanh BC
nằm ngang. Thanh AC và BC bỏ qua trọng lượng được nối
với nhau bằng bản lề C và gắn vào tường thẳng đứng bằng
r r
bản lề A, B. Biết β= 600. Xác định ứng lực S ′A , S B′ trong thanh
AC, BC.
Bài giải

15

b
B

SA

y
SB x
C
Q

Hình 13

a) Khảo sát cân bằng bản lề C.
b) Các vật liên kết: Thanh AC và thanh BC. (Hình 13)
c) Hệ lực tác dụng lên vật khảo sát bao gồm : Các lực tác dụng tích cực và phản
lực liên kết:
•

r
Lực tác dụng tích cực là Q

•
Liên kết là hai thanh thẳng bỏ qua trọng lượng hai đầu gắn bản lề nên hai
r r
phản lực có phương dọc theo thanh, ký hiệu là S A , S B và giả sử có chiều như hình vẽ.
r r r
•
Hệ lực cân bằng tác dụng lên vật khảo sát là: (Q, S A , S B ) ∼ 0.

d) Hệ lực trên là hệ ba lực đồng qui phẳng. Ta có thể giải bằng phương pháp hình
học hoặc phương pháp giải tích.
Phương pháp hình học: Dựng tam giác lực khép kín.
r
Lực Q đã biết trước cả trị số và phương chiều nên trước hết ta
dựng
SA
uur r
Q
ab = Q . Từ a và b dựng hai nửa đường thẳng song song với hai
β
r r
giá của S A , S B . Chúng cắt nhau tại C. Để được tam giác lực khép b

c
r r
SB
kín ta chọn chiều của S A , S B sao cho phù hợp với chiều (quay)
r r
r
của Q . Vậy ta đã xác định được chiều của S A , S B dựa vào tam giác lực khép kín.
r r
Chiều giả sử của S A , S B ở trên là đúng. Do các cạnh tương ứng song song nên tam giác

lực abc đồng dạng với tam giác hình học ABC. Từ đó trị số SA, SB được xác định theo
định lý hàm số sin trong tam giác lượng:
SA
SB
SC
=
=
0
0
sin 90
sin 30
sin 600

⇒

SA =

Q
= 18 N ;
3

2

SB =

Q 1
= 9N .
32
2

Phương pháp giải tích: Hệ trục toạ độ Cxy được chọn như hình vẽ. Nên chọn gốc toạ
độ trùng với điểm đồng qui của hệ lực và các trục toạ độ hướng sao cho việc lập hệ
phương trình cân bằng đơn giản và dễ giải nhất.

Áp dụng hệ phương trình cân bằng đối với hệ lực phẳng đồng qui ta có:
3

∑X
K =1

K

3

∑Y
K =1

K

= S B − S A cos β = 0

(1)

= S B sin β − Q = 0

(2)

16


Q
2 3
Q = 18 N
=
sin β
3

Từ (2) ta tìm được

SA =

Từ (1) ta có:

1
S B cos β = 18. = 9 N
2

e) Nhận xét:
Nếu giải bằng phương pháp hình học thì dựa vào chiều của tam giác lực khép
kín ta xác định được phương chiều của các phản lực trước sau đó tìm mơđuyn của
các phản lực sau. Nếu giải bằng phương pháp giải tích thì dựa vào hệ phương trình

cân bằng của hệ lực ta tìm được mơđuyn của các phản lực trứơc. Dựa vào kết quả
tìm được, mơđuyn của phản lực nào dương thì phương chiều của phản lực đó đúng
như chiều giả thiết, mơđuyn của phản lực nào âm thì phản lực đó có phương chiều
ngược lại với phương chiều giả thiết.
r r
Trong bài toán này SA= 18N > 0; SB = 9N > 0 nên hai phản lực S A , S B có chiều như
giả thiết trên hình vẽ.
r
Ứng lực của thanh AC có mơđuyn bằng môduyn của phản lực S A .
r
r
S A′ = S A = 18 N ;
S A′ = − S A
r
Ứng lực của thanh BC có mơđuyn bằng mơduyn của phản lực S B .
r
r
S B′ = S B = 9 N ;
S B′ = − S B

Áp dụng tiên đề 4 và tiên đề 1 tĩnh học ta thấy thanh AC bị
kéo với cường độ 18N, còn thanh BC bị nén với cường độ 9N. A
14. Thí dụ.

Một sợi dây không dãn hai đầu buộc vào trần nằm ngang
tại hai điểm A, B. Tại điểm C treo tải trọng trọng lượng P.
Các nhánh dây AC, BC lập với đoạn AB các góc α, β. Hãy xác
r
định sức căng T của các nhánh dây AC, BC theo P, α và β.

b

a
TA
C

TB x
P3

Hình 14

Bài giải

a) Vật khảo sát : Nút C
b) Vật liên kết: hai nhánh dây AC, BC (Hình 14)
r r r
c) Hệ lực tác dụng lên nút C: P, TA , TB

TB

r r r

d) Lập điều kiện cân bằng của hệ lực trên: ( P, TA , TB ) ∼ 0
+

90-b
a+b
TA

Phương pháp hình học:

90-a
17

P3

B


Ta dễ dàng dựng được tam giác lực abc như hình vẽ và có:
TA
T
P
= B =
cos β cos α sin(α + β )

+

cos β
P ;
sin(α + β )

TA =

Suy ra :

TB =

cos α
P

sin(α + β )

Phương pháp giải tích:
3

∑X
K =1

K

3

∑Y
K =1

K

= TB cos β − TA cos α = 0

(1)

= TB sin β + TA sin α − P = 0

(2)

Nhân hai vế phương trình (1) với sinα , phương trình (2) với cosα rồi cộng từng vế
với nhau ta được:
TB (sin α cos β + sin β cos α ) − P cos α = 0

Suy ra:

TB =

cos α
P
sin(α + β )

Thay giá trị TB vào (1) thu được: TA =

cos β
P
sin(α + β )

e) Nhận xét
Các góc α, β nhọn ; 0 < α+β < π nên TA >0 ; TB > 0
r r
Chiều của các phản lực TA , TB chọn như hình vẽ là đúng ( phản lực của dây cũng
như phản lực tựa là loại phản lực đã biết chiều).
Sức căng của dây: Một sợi dây mềm căng thẳng sẽ tách thành hai phần (I) và (II)
ur
nếu ta cắt dây tại một điểm K. Nếu ký hiệu t0 là véc tơ đơn vị định hướng từ (I) đến
(II), thì sức căng T của dây tại điểm K là đại lượng vô hướng xác định bởi hệ thức :
uur
ur
uur
ur
T12 = −T .t0 hay T21 = T .t0
Sợi dây xét luôn căng, và sức căng T là dương. Vậy,
sức căng TA′ của nhánh dây AC, TB′ của nhánh dây BC
có mơđuyn bằng mơđuyn TA, TB tương ứng: TA′ = TA ;

O
D

TB′ = TB .

RA

15. Thí dụ

A

Xà AB bỏ qua trọng lượng nằm ngang, đầu A gắn vào
bản lề A, đầu B là gối tựa con lăn đặt lên mặt phẳng
18

NB

C
P

Hình 15

B


nghiêng so với phương nằm ngang một góc α= 450. Tại điểm C của xà treo vật nặng P
1
= 20N. Biết AC = BC = 2m. Xác định phản lực tại A, B.
3

Bài giải

a) Vật khảo sát: Xà AB cân bằng.
b) Liên kết: Bản lề A, gối tựa con lăn B. (Hình 15)
r r

r

c) Hệ lực tác dụng lên xà: ( P, N B , RA ) ∼ 0
r

d) Trong hệ ba lực cân bằng trên ta đã biết được phương chiều của hai lực P

r
và N B , giá của chúng giao nhau tại điểm O, còn phương chiều của phản lực
r
r
RA chưa biết. Theo hệ quả 5 ta có giá của RA cũng phải đi qua 0. Do đó ta có

thể giải bài tốn này bằng phương pháp hình học hoặc giải tích như hai thí dụ
trên. Tuy nhiên trong trường hợp này ( khi đã đưa về dạng hệ ba lực đồng qui)
nên dùng phương pháp hình học để giải thì nhanh gọn hơn, cịn
o
uuur
muốn sử dụng phương pháp giải tích khơng nhất thiết phải tìm
NB
tâm đồng qui.
a
Phương pháp hình học
r

Từ điểm 01 tùy ý dựng véc tơ 0C = P . Từ gốc 0 và mút C dựng các nửa
r r
đường thẳng song song với các giá của lực N B , RA , hai nửa đường
r
r
thẳng này cắt nhau tại điểm d. Dựa vào chiều của lực P và phản lực N B

d

b

ur
P

uur

q RA
c

ta có tam giác lực ocd. Tam giác giác lực ocd đồng dạng với tam giác hình học 0CD.
Dựa vào các điều kiện hình học ta dễ dàng tính được các cạnh:
0C = 6m; 0D=2 2 m ; CD= 2 5 m.
Do đó ta có:

RA
N
P
= B =
2 5 2 2 6
NB =

suy ra RA =

5
20 5
P=
(N);
3
3

2
20 2
P=
(N).
3
3

r
Từ tam giác lực khép kín ocd ta có chiều của phản lực RA .

B
α

16. Thí dụ:

Thanh đồng chất AB nặng P=2N treo vào tường thẳng đứng
r
nhờ bản lề A và dây BC. Biết α= 300. Xác định phản lực RA
của bản lề A, sức căng của dây BC.

RA

A

O
α

T

P

Bài giải

Hình 16

a) Vật khảo sát: Thanh AB cân bằng
19

C


c

b) Liên kết: Bản lề A, dây BC. (Hình 16)
r r r

c) Hệ lực tác dụng lên thanh AB: ( P, T , RA ) ∼ 0, trong đó giá của

r
r

P
trọng lực P và giá của phản lực T cắt nhau tại 0 nên giá của
r
phản lực RA cũng phải qua 0.

d) Ta sử dụng phương pháp hình học để giải.

T

o
a

RA

Dựng tam giác lực o1ac. Tam giác lực o1ac đồng dạng với tam giác hình học
0AC nên các góc tương ứng bằng nhau do đó ta có:
RA
T
P
=
=
0
0
sin 30
sin 60
sin 900

Suy ra: RA = P.sin300 = 2.
T= P.sin600= 2.

1
= 1N
2

3
= 3N
2

e) Sức căng của dây BC có cường độ T ′ = T = 3 N và có chiều ngược với chiều

r
của phản lực T :
r
r
T'=- T

Bài toán này cũng như các bài tốn tĩnh học khác có thể được giải bằng phương
pháp giải tích:
Do điều kiện hình học đã cho, ta chọn gốc toạ độ trùng với tâm đồng qui còn hai
r
r
trục toạ độ trùng với giá của RA , T :
3

∑X
K =1

K

3

∑Y
K =1

K

= −T + P cos300 = 0

(1)

= RA − P cos 600 = 0

T = P cos300 = 2.

(2)

3
1
= 3 N ; RA = P cos 600 = 2. = 1 N.
2
2

17. Thanh AC nằm ngang được nối với thanh BC bởi bản lề C và
cùng gắn vào tường thẳng đứng bởi bản lề A, B. Tại bản lề C treo tải
trọng Q = 30N. Biết AC=1,2m; BC=1,5m. Bỏ qua trọng lượng hai
thanh. Xác định ứng lực trong các thanh AC, BC.

Trả lời:

Thanh AC bị kéo với cường độ S ′A = SA = 40N

20

A

C
Q

B
Hình 17


Thanh BC bị nén với cường độ S B′ = SB = 50N.
18. Dây AB được buộc chặt tại A đầu B treo vật nặng P. Dây BCD luồn qua ròng
rọc C và đầu D treo vật nặng Q=10N. Bỏ qua ma sát ở ròng rọc C. Biết dây AB và BC
lập với phương thẳng đứng các góc tương ứng α=450; β=600. Tìm lực căng của dây
AB và trọng lượng P.
.A
Trả lời: T= 12,2N ; P= 13,7N
C
α β
D
Q
B
P

Hình 18
19. Thanh AC và BC được nối với nhau và gắn vào tường thẳng đứng nhờ các bản lề
A, B, C. Tại C treo tải trọng Q=1000N.Bỏ qua trọng lượng hai thanh. Xác định ứng
lực trong các thanh AC, BC cho các trường hợp:

a.

α=600; β=300

b.

α=300; β=600

b) S1= 577N ; S2= - 1154N.

c.

α=600; β=300

c) S1= 1154N ; S2= -577N

Trả lời:

a) S1=866N ;

S2= - 500N.

A

A
A
β

1
C

2

B

C

β
α

α

1

Q

Q
2

β
α

C
Q

B

Hình 19a
Hình 19c

1

2

B

Hình 19b

20. Thanh AC và BC khơng trọng lượng được nối với nhau và gắn vào trần nằm ngang
bởi các bản lề A, B, C. Tại C treo tải trọng Q=1000N. Xác định phản lực của hai thanh
AC, BC.

Trả lời:

SA= SB= 707N

21


21. Một vật nặng 15N treo tại trung điểm B của dây ABC dài 20m. Biết A,C,D nằm
ngang, BD = 0,1m. Tìm lực căng của đoạn dây AB, BC.

Trả lời:

TA= TC= 750N
O

A

45

O

45

D

A

B

C

β

C

α

A

B
C

B
Q

Q

Hình 20

Hình 21

Hình 22

l

22. Một đèn nặng 2N treo tại điểm B của dây ABC. Xác
định lực căng của các đoạn dây AB, BC. Biết α=600 , A
β=1350.

Trả lời:

C

TA= 1,46N ; TC= 1,04N.

B
x
E
P

Q

D
Q

Hình 23

23. Đoạn dây CAEBD vắt qua hai ròng rọc nhỏ nằm ngang A, B, AB = l. Tại mút C và
D treo hai tải trọng cùng trọng lượng Q, tại E treo tải trọng P. Bỏ qua ma sát ở hai rịng

rọc. Tìm khoảng cách x từ E đến AB khi hệ ở vị trí cân bằng.

Trả lời:

x=

Pl
2 4Q 2 − P 2
C

24. Thanh AB bỏ qua trọng lượng được gắn bản lề ở A, đầu B
được treo tải trọng P và buộc dây vắt qua rịng rọc nhỏ khơng ma
sát C có treo vật nặng Q. A, C cùng trên đường thẳng đứng,
AC=AB. Xác định ứng lực trong thanh AB và góc α khi hệ cân
bằng.

Trả lời:

S =-P, sin

α
2

=

B
α
P

A

Hình 24

Q
2P

25. Vật P=20KN treo trên cần trục ABC nhờ xích vắt qua hai
rịng rọc bỏ qua ma sát A và D. Các góc cho trên hình vẽ. Trọng
lượng các thanh và xích khơng đáng kể. Tìm ứng lực trong thanh
AB và AC.

Trả lời:

Q

B
D

60
o

30
30
o

S1=0 ; S2=-34,6KN

r
26. Tìm trị số tối thiểu của lực ngang P để nâng con lăn nặng
40KN, bán kính 50cm lên khỏi nền gạch cao 10cm.

o

C
Hình 25

22

A
Q


Trả lời:

P=30KN

27. Trên hai mặt phẳng nhẵn vng góc với nhau AB và BC đặt quả cầu D đồng chất

nặng 60N. Xác định áp lực của quả cầu lên mỗi mặt phẳng nghiêng nếu BC tạo với
phương ngang góc 600.
Trả lời: RD = 52N ; RE = 30N
28. Trên tường nhẵn, thẳng đứng AB treo một quả cầu đồng chất D nặng P nhờ dây

AC tạo với tường một góc α. Xác định lực căng của dây và áp lực của quả cầu lên
tường.
T=

Trả lời:

P

; R=Ptgα.
cos α

A

C
P

O

O

A
r

D

α

C

E
60

O

B

O

B

Hình 26

Hình 27

29. Xà AB được giữ ở vị trí nằm ngang nhờ thanh CD và
các bản lề A, C, D. Xác định phản lực ở bản lề A, D nếu
tại B tác dụng lực thẳng đứng xuống dưới F=5KN. Bỏ qua
trọng luợng xà và thanh, AC=2m, BC=1m.

Trả lời:

Hình 28
D
A

C
2

RA=7,9KN
RD=10,6KN

45 B
0
1

F

Hình 29

30. Thanh đồng chất AB nặng 2N được treo vào tường nhờ bản lề A và dây BC. Xác
định phản lực tại A.
r
Trả lời:
RA= 1N, ( RA , AC ) = 600

23


31. Thanh đồng chất AB=2m, nặng 5N đầu A tựa vào tường thẳng đứng, đầu B buộc
vào sợi dây BC, biết góc ∠ (DAB) =450. Xác định khoảng cách AC cần thiết để buộc
dây vào tường, phản lực ở A và lực căng của dây khi thanh cân bằng.

Trả lời:

AC=AD=1,41m
T=5,6 N ; NA=2,5N
l

C

C

A

A

A

30O

O

45

O

60

P

h
B

Hình 30

B

B

Hình 31

Hình 32

32. Một cần trục được giữ bởi bản lề A, và bản lề cối B mang tải trọng P. Các kích
thước cho trên hình vẽ. Bỏ qua trọng lượng cần trục. Xác định phản lực các bản lề.

Trả lời:

l
l2
RA = P ; R B = 1 + 2 P
h
h

r

33. Thanh đồng chất nặng P dài 2a tựa lên nửa hình cầu
lõm nhẵn bán kính r như hình vẽ. Xác định phản lực ở
A, B và góc α giữa thanh và phương ngang khi thanh
cân bằng.

Trả lời: cos α =

α

O
B

A

Hình 33

cos 2α
a + a 2 + 32r 2
; RA= Ptgα ; RB= P
cos α
8r

34. Tại điểm giữa của xà AB=4m bắt bản lề ở đầu A còn đầu B đặt trên con lăn tác
dụng lực P=20KN tạo với xà góc 450. Xác định phản lực ở A, B trong hai trường hợp
(a) và (b). Bỏ qua trọng lượng xà.

Trả lời:
a.

RA= 15,8KN ; RB = 7,1KN

b.

RA= 22,4KN; RB = 10KN
P

P
O

45

A

B

O

45

A

B

45 O

2m

2m

2m

Hình34

2m

Hình35

24


r
35. Lực P tác dụng vào khung ABCD bỏ qua trọng lượng tại B theo phương nằm
ngang. Xác định phản lực tại bản lề A, con lăn D.

RA =

Trả lời:

P 5
P
; RD =
2
2

36. Ở trục ròng rọc C treo tải trọng P=18N có thể trượt dọc theo dây cáp ACB, hai đầu
dây A, B được buộc chặt vào 2 tường có khoảng cách 4m, dây dài 5m. Bỏ qua trọng
lượng dây cáp và ma sát ở ròng rọc. Xác định sức căng của dây cáp khi ròng rọc cân
bằng.

Trả lời:

T=15N và khơng phụ thuộc vào độ cao BF.
B

P

4m

C
2a

A

B
F

A

a
D

C
P

Hình35

Hình 36

37. Thí dụ:
z

Cột 0A thẳng đứng được giữ nhờ hai dây AB và
AC tạo với cột góc α =30 0 , góc giữa hai mặt phẳng
0AB và 0AC là β =60 0 . Tại đầu Acủa cột buộc hai dây
vng góc với nhau và song song với các trục 0x, 0y.
Biết lực kéo mỗi dây F=200N. Tìm áp lực thẳng
đứng của cột lên nền và sức căng của mỗi dây AB,
AC. Bỏ qua trong lượng cột và hai dây.

R

F2

A F1

TB

TC

a

a

Bài giải
y

O

a) Vật khảo sát : Nút A cân bằng
b) Liên kết: Cột AB, hai dây AB, AC.(Hình 37)
ur ur ur ur ur

c) Hệ lực tác dụng lên nút A: ( R, T B , T c , F 1 , F 2 )

x

B

0

d) Dựng hệ trục toạ độ như hình vẽ và áp dụng hệ
phương trình cân bằng đối với hệ lực đồng qui khơng gian ta có:
⎧ 5
X K = TB sin α + TC sin α cos β − F1 = 0
⎪ ∑
K =1
⎪ 5
⎪
⎨ ∑ YK = TC sin α sin β − F2 = 0
⎪ K =1
⎪5
⎪∑ Z K = R − TB cos α − TC cos α = 0
⎩ K =1

25

b
Hình 37

C


Với F1= F2 = F = 200N
Giải hệ phương trình trên ta thu được:
TC =

F
;
sin α sin β

TB =

F
β
(1 − cot g β ) ; R = F ⎛⎜1 + tg ⎞⎟ cot gα
sin α
2⎠
⎝

Để đảm bảo dây luôn căng, thì cần điều kiện β > 450.
TC = 461N ; TB = 172N ; R= 546N
r r r
e) Các phản lực liên kết R, TB , TC có chiều như hình vẽ là đúng vì TC > 0 ; TB > 0;

Thay số vào ta có:
R >0.

Vậy áp lực thẳng đứng của cột, sức căng của các dây AB, AC tương ứng là:
r
r
r
r
r
r
R′ = − R ; TB′ = −TB ; TC′ = −TC .
38. Cột 0A thẳng đứng được giữ nhờ hai dây AB và AD tạo với cột góc α=300 , góc
z
giữa các mặt phẳng 0AB và 0AD là ϕ=600. Tại đầu A của cột
P1 A
P2
buộc hai dây vng góc với nhau và song song với 0x, 0y.
Biết lực kéo mỗi dây P1=P2=P=100N. Bỏ qua trong lượng cột
α
và dây AB, AD. Tìm áp lực thẳng cột và sức căng mỗi dây.
α

Trả lời: ϕ>450 ; TD = 231N ; TB= 85N ; R= 273N

x

O

ϕ

y

B

H
Hình 38
39. Hai dây điện thoại được buộc vào cột AB tại A lập với nhau góc ∠ (DAE)=900. Sức căng
của các dây AD và AE tương ứng bằng 12N và 16N. Cột chống AC lập với phương ngang góc
600. Bỏ qua trọng lượng hai cột. Xác định góc α lập bởi hai mặt phẳng BAC và BAE và ứng
lực cột chống AC.

Trả lời :

α = 36o50', S = -40 N.
D

A

A

α

P
E

B

O

B

60

C

C

O
D

26


Hình 39

Hình

40
40. Tại đỉnh A của giá 3 chân AB, AC, AD treo vật P=100N. Khoảng cách từ A đến đất
0A=3m, độ dài mỗi chân l=10m, 3 đỉnh B, C, D tạo thành tam giác đều. Tìm lực nén lên mỗi
thanh.

Trả lời:

S= - 41,67N

41. Cột AB được giữ ở vị trí thẳng đứng nhờ 4 dây neo sắt đặt đối xứng. Góc giữa hai dây kề nhau
là α=600 Sức căng mỗi dây bằng 1000N, trọng lượng cột là 2000N. Xác định áp lực của cột lên mặt
đất.

Trả lời:

R= 4828N
B
ϕ

B

D

D
a

O

a

E

B

E

C
A

Q

A

A

D

a

P

F

C

Hình 41

Hình 42

Hình 43

42. Vật nặng Q=100N được giữ bởi xà 0A, bỏ qua trọng lượng, bắt bản lề tại A
và nghiêng so với phương thẳng đứng góc α=450 và hai xích nằm ngang 0B, 0C
dài như nhau trọng lượng không đáng kể. Biết ∠ (CBO)= ∠ (BCO)=α=450. Tìm
sức căng của xích và ứng lực của xà.

Trả lời:

T= 71N ; S= 41N
r r
r
43. Tìm ứng lực S1 , S 2 trong các thanh AB, AC và sức căng T của dây AD của

cần trục, nếu CBA=BCA=60 0 , EAD=30 0 , P=300N, mặt phẳng ABC nằm ngang.
Các thanh được bắt bản lề tại A, B, C.
Trả lời:

T = 600N ; S 1 = S 2 = - 300N

27