Bài giảng thiết kế công trình theo lý thuyết ngẫu nhiên và phân tích rủi ro

07/05/2013

THIẾT KẾ CƠNG TRÌNH THEO LÝ THUYẾT ĐỘ TIN
CẬY VÀ PHÂN TÍCH RỦI RO

Chương 4 Cơ sở tốn học trong phân tích độ
tin cậy

1
0.8

JPDF

06
0.6

TS. Mai Văn Cơng



0.4
0.2
0
10
6
5

4
2

Coastal & Marine Engineering

y

0

0

x

Outline

• Tính tốn theo cấp độ III
• Tính tốn theo cấp độ II
• Tính tốn theo cấp độ I
• Mơ hình máy tính hỗ trợ: VAP

Coastal & Marine Engineering

1


07/05/2013

Xác định xác suất xảy ra sự cố
• Mơ hình hóa các cơ chế hư hỏng
• Với mỗi chơ chế, miêu tả hàm giới hạn trạng thái

Z = R  S:

Z  g ( X 1 , X 2 , X 3 ... X n )

với x1, x2, …, xn là các biến ngẫu nhiên
• Xảy ra sự cố khơng mong muốn khi Z < 0
• Cần xác định xác suất xảy ra sự cố: Pf = P(Z<0)
Coastal & Marine Engineering

03 cấp độ

Cấp độ III
Cấp độ II
Cấp độ
I
Coastal & Marine Engineering

2


07/05/2013

4.1 Tính tốn ở cấp độ III (1)
P ( Z  0) 

đường đẳng mật độ tần suất fR,S(r,s)
80

r

 f



dr

(r , s )drds

R

(r ) f S ( s )drds

Z 0

50
R (kN)

R ,S

với R và S là biến độc lập

70

40

 f

Z 0



an tồn Z>0



P(Z<0)
= thể tích

30



sự cố Z<0
hay R
20




f

r

f

s

ds

 R  S  dr
r   
sr






10

 f R r  1  FS r  dr



0
0

20

40
S (kN)

r

80







f S ( s ) FR ( s )ds



Coastal & Marine Engineering

Con lắc treo
Hàm trạng thái giới hạn
Z=R–S
Xá định
Xác
đị h xác
á suất
ất đứt cáp
á Pf ?
với:
Biến

Phân bố

Kỳ vọng

Độ lệch chuẩn

R

Chuẩn

60 kN

5 kN

R

S
S

Chuẩn

50 kN

10 kN

Coastal & Marine Engineering

3


07/05/2013

Phân bố của R và S
P(Rprrobability density (1/N)

0.08
0.07

R

0.06
0.05

S

0.04
0.03
0.02
0.01
0
0

20

40
R,S (N)

60

80

Coastal & Marine Engineering

Phân bố liên hợp R & S
80
70

R (kN)

60
50

an toàn: Z>0

40
30



20



biến cố: Z<0

f R (r ) f S ( s )drds

thể tích = Pf

Z 0

10
0

0

20

40
S (kN)

60

80

Coastal & Marine Engineering

4


07/05/2013

Phương pháp giải tích
Tính tích phân:


P ( Z  0) 





f R (r ) dr
d





f S ( s )ds
d

s r

 1  r   2 
1
R

fR r  
exp  
 
 2  R  
 R 2


 1  r   2 
1
S
 
fS r  
exp  

 S 2
2

 S  


Coastal & Marine Engineering

Phương pháp giải tích
Chỉ có thể xác định P(Z<0) bằng giải tích khi:
 Các biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn

 Z là hàm tuyến tính của các biến
--> Z có phân bố chuẩn
Trường hợp con lắc treo:
 Z  R  S  60  40  20 kN
ì
Trị trung bình:
Độ lệch chuẩn:
 Z2   R2   S2  5 2  10 2  125   Z  11.2 kN
Coastal & Marine Engineering

5


07/05/2013

Mật độ phân bố xác suất của Z
0.04

kansdichtheid (1/kN)

0.035
0.03
0.025
0.02
0.015
0.01
0.005
0
-20

P(Z<0) = ?
0

20
Z (kN)

40

60

Coastal & Marine Engineering

Xác định Pf dùng bảng tra

U

Z  z

z

  

0  20
 1.786
11.2

P(Z<0) = 1  (-U) =1  0.963
=0.037
hoặc dùng bảng Pf = ()

Coastal & Marine Engineering

6


07/05/2013

Bảng tra Pf = (-) ~ 
β
0.0
0.1
0.2
03
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9

(-β)
β
0.50
2.0
0.46
2.1
0.42
2.2
0 38
0.38
23
2.3
0.34
2.4
0.31
2.5
0.27
2.6
0.24
2.7
0.21
2.8
0.18
2.9
0.16
3.0
0.14
3.1
0.13

3.2
0.10
3.3
0.81 × 10 -1
3.4
0.67 × 10 -1
3.5
0.55 × 10 -1
3.6
0.45 × 10 -1
3.7
Coastal
Marine
0.36 ×& 10
-1 Engineering
3.8
0.29 × 10 -1
3.9

(-β)
0.23 × 10 -1
0.18
0.14
0 11
0.11
0.82 × 10 -2
0.62
0.47
0.35
0.26

0.19
0.13
0.97 × 10 -3
0.67
0.48
0.33
0.23
0.16
0.11
0.72 × 10 -4
0.48

β
4.0
4.1
4.2
43
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5

5.6
5.7
5.8
5.9

(-β)
0.32 × 10 -4
0.21
0.13
0 79 × 10 -55
0.79
0.48
0.34
0.21
0.13
0.79 × 10 -6
0.48
0.29
0.17
0.10
0.58 × 10 -7
0.33
0.19
0.11
0.60 × 10 -8
0.33
0.18

Tổng quát: khi Z là hàm nhiều
biế phi

biến,
hi ttuyến,
ế các
á biế
biến không
khô
phải là phân bố chuẩn
P(Z < 0) = ??? không đơn giản

Coastal & Marine Engineering

7


07/05/2013

Phương án giải quyết
P(Z < 0) = ???
 Tích phân số
ố Riemann
 Phương pháp Monte Carlo
 Xấp xỉ ở cấp độ II

Coastal & Marine Engineering

1. Tích phân số Riemann
thể tích = Pf

80



70
60
R (kN)

 f

Z>0

Z 0

30
20

(r ) f S ( s )drds

R ,S

(ri , si )r s

failure: Z<0

10
0
0

R

rời rạc hóa vùng hư hỏng

thành nhiều ô nhỏ

50
40

 f

Z 0

mật độ XS ô thứ i
20

40
S (kN)

50

80

bước lưới tích phân i

Coastal & Marine Engineering

8


07/05/2013

Coastal & Marine Engineering

Tổng quát Z là hàm Z = f(X1, X2, X3...Xn)
Pf
m1



... f



Z < 0

m2

mn

X1, X2, ..., Xn

 (Z)f

Pf 

i1  0 i2  0

...

in  0

(X1, X2, ..., Xn) d X1 dX2 ... dXn

(X  i1 ) X1

 0
X



i2 ) X2



...



in )X n) ) X1 ) X2 ... ) Xn

Số biến

Số ơ tính tốn

1

100

2

100*100 = 104

3

106

4

108

 Hiệu quả thấp, không dùng cho trường hợp nhiều biến
Coastal & Marine Engineering

9


07/05/2013

2. Phân tích Monte Carlo

3 bước:
1. Lấy mẫu ngẫu nhiên các cặp R và S từ hàm
phân bố xác suất của chúng R, S = F-1(u)
2. Thay cặp R và S vào hàm Z
3. Áp dụng phân tích thống kê đối với các giá trị Z
vừa tìm được
Lưu ý: độ chính xác phụ thuộc vào PP lấy mẫu
Coastal & Marine Engineering

2. Phân tích Monte Carlo
Tạo số ngẫu nhiên random (0,1)
1

pi

0 .8

S

F (s)

0 .6

si  FS1 pi 

0 .4
0 .2

0

1

0

0

20

40
s (kN )

si

60

80

Coastal & Marine Engineering

10


07/05/2013

Q trình phân tích
b1: n = 0;
b2: Lấy ngẫu nhiên R và S dùng MCS
b3: Tính Z= R - S
b4: Nếu Z<0 -> thì n = n+1 (countif (Z<0))
b5: Lặp lại bước 2, 3, 4
b6: tính xác suất p= n / N
N là số cặp mẫu R và S
0 .1
0 .0 8
0 .0 6

R

0 .0 4
0 .0 2
0

0

20

40

60

0 .0 8

Hàm trạng thái
giới hạn Z

80

0 .0 8
0 .0 7
0 .0 6

S

0 .0 5
0 .0 4
0 .0 3

0 .0 7
0 .0 6

Z

0 .0 5

0 .0 4
0 .0 3
0 .0 2
0 .0 1
0
-2 0

0

20

40

60

80

0 .0 2
0 .0 1
0

20

40

60

80

Coastal & Marine Engineering

N = 200 mẫu
80
70
60
50
R (kN)

0

40

Z>0

30

falen: Z<0

20
10
0
0

20

40
S (kN)

60

80

P (Z<0)= 3/200 =0.015

Coastal & Marine Engineering

11


07/05/2013

N cần phải đủ lớn

Số lượng mẫu yêu cầu N không phụ thuộc vào số biến
của hàm Z (khác với PP tích phân số)
Coastal & Marine Engineering

03 cấp độ

Cấp độ III
Cấp độ II
Cấp độ
I
Coastal & Marine Engineering

12


07/05/2013

3. Tính tốn ở cấp độ II
First Order Reliability Method: phương pháp FORM
(Phương pháp độ tin cậy bậc nhất)
Các phương pháp giải tích:
• Khi hàm trạng thái giới hạn Z là tuyến tính
• Giá trị hàm Z tn theo luật phân phối chuẩn
Tính tốn theo cấp độ II (FORM) được dựa trên các tính
chất
hất ttrên;
ê thự
thực tế cần
ầ xử
ử lý gần
ầ đù
đùng:
• Tuyến tính hóa hàm Z
• Biến đổi các tham số thống kê của Z theo dạng phân
phối chuẩn
Coastal & Marine Engineering

3.1 Khi Z là hàm tuyến tính
Z  a 0  a1X1  a 2 X 2  ...  a n X n

Xi là các biến độc lập

 Z  a 0  a11  a 2  2  ...  a n  n
 Z2  a12  12  a 22  22  ...  a 2n  n2
Chỉ số tin cậy :



Z
Z

 0  z 
Pf  P( Z  0)   
  (  )
 z 
 là khoảng cách từ gốc tọa độ đến biên hư hỏng khi Z
là hàm tuyến tính
Coastal & Marine Engineering

13


07/05/2013

Hệ số ảnh hưởng 
Sai số quân phương của Z:

 Z2  a12  12  a 22  22  ...  a 2n  n2
a i2  i2 là phần góp của biến Xi đến mức độ bất định

 Z2

(phương sai) của Z

Tổng quát:

a2  2

 i2  i i
 Z2

i  

ai  i

Z

n


i 1

2
i

 1.0

i gọi là hệ số ảnh hưởng của biến Xi

Coastal & Marine Engineering

Hệ số ảnh hưởng  - Ví dụ
Với hàm trạng thái giới hạn Z = R  S:

 Z2   R2   S2
vì vậy:

 R2  1.

 R2

 R  R
2
Z
Z

và

 S2  1.

 S2

 S   S
2
Z
Z

Hệ số
ốả
h hưở
ủ một
ột biế
ố là thướ
hầ
ảnh
hưởng của
biến số
thước đ

đo phần
đóng góp của biến số đó đến sự bất định của Z
(tức là đến xác suất sự cố Pf)
Coastal & Marine Engineering

14


07/05/2013

Ý nghĩa của chỉ số độ tin cậy 

 càng lớn thì Pf càng nhỏ,

độ tin cậy (1Pf) càng lớn !

Coastal & Marine Engineering

Ý nghĩa của chỉ số độ tin cậy 
6
4

Điểm thiết kế (uS*, uR*):

uR

2

S

0

• trên đường Z=0 với mật độ
xác suất sự cố lớn nhất
• là điểm có khoảng cách đến
gốc gần nhất
• (uS**, uR*) = (S
, R)

R

-2
-4

Z<0: vùng sự cố

-6
-6

Z=0

-4

-2

0

uS

2

4

6

hệ số ảnh hưởng

Coastal & Marine Engineering

15


07/05/2013

Ý nghĩa của chỉ số độ tin cậy 
Hasofer & Lind: “Chỉ số độ tin cậy không phụ thuộc
hàm tin cậy là tuyến tính hay khơng”
Khoảng cách từ biên sự cố đến gốc tọa độ chuyển đổi

Tính lặp để tìm A

Điểm TK A

Coastal & Marine Engineering

Phương pháp giải tích
Chỉ có thể xác định P(Z<0) bằng giải tích khi:
 Các biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn
 Z là hàm tuyến tính của các biến
--> Z có phân bố chuẩn

Coastal & Marine Engineering

16


07/05/2013

Con lắc treo
Hàm trạng thái giới hạn
Z=R–S
Xá định
Xác
đị h xác
á suất
ất đứt cáp
á Pf ?
với:
Biến

Phân bố

Kỳ vọng

Độ lệch chuẩn

R

Chuẩn

60 kN

5 kN

R

S
S

Chuẩn

50 kN

10 kN

Coastal & Marine Engineering

Phương pháp giải tích
Trường hợp con lắc treo:
Trị trung bình:
Độ lệch chuẩn:

 Z  R  S  60  40  20 kN
 Z2   R2   S2  5 2  10 2  125   Z  11.2 kN
Coastal & Marine Engineering

17


07/05/2013

Mật độ phân bố xác suất của Z
0.04

kansdichtheid (1/kN)

0.035
0.03
0.025
0.02
0.015
0.01
0.005
0
-20

P(Z<0) = ?
0

20
Z (kN)

40

60

Coastal & Marine Engineering

Xác định Pf dùng bảng tra

U

Z  z

z

  

0  20
 1.786
11.2

P(Z<0) = 1  (-U) =1  0.963
=0.037
hoặc dùng bảng Pf = ()

Coastal & Marine Engineering

18


07/05/2013

Bảng tra Pf = (-) ~ 
β
0.0
0.1
0.2
03
0.3

0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9

(-β)
β
0.50
2.0
0.46
2.1
0.42
2.2
0 38
0.38
23
2.3
0.34

2.4
0.31
2.5
0.27
2.6
0.24
2.7
0.21
2.8
0.18
2.9
0.16
3.0
0.14
3.1
0.13
3.2
0.10
3.3
0.81 × 10 -1
3.4
0.67 × 10 -1
3.5
0.55 × 10 -1
3.6
0.45 × 10 -1
3.7
Coastal
Marine
0.36 ×& 10

-1 Engineering
3.8
0.29 × 10 -1
3.9

(-β)
0.23 × 10 -1
0.18
0.14
0 11
0.11
0.82 × 10 -2
0.62
0.47
0.35
0.26
0.19
0.13
0.97 × 10 -3
0.67
0.48
0.33
0.23
0.16
0.11
0.72 × 10 -4
0.48

β
4.0

4.1
4.2
43
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9

(-β)
0.32 × 10 -4
0.21
0.13
0 79 × 10 -55
0.79
0.48
0.34
0.21

0.13
0.79 × 10 -6
0.48
0.29
0.17
0.10
0.58 × 10 -7
0.33
0.19
0.11
0.60 × 10 -8
0.33
0.18

3.2 Khi Z là hàm phi tuyến (1)
Dùng khai triển Taylor để tuyến tính
 hóa hàm Z
tại một điểm tính tốn bất kỳ X 0 :

X 0  ( X 1 , X 2 , X 3 ,... X n )

Xi có phân bố chuẩn


Z  g ( X )  g ( X 1 , X 2 , X 3 ,... X n )
n


g 
Z  g( X )  g( X 0 )  

( X 0 )( X i  X 0i )
i 1 X i

Z phân
hâ bố chuẩn
h ẩ

Coastal & Marine Engineering

19


07/05/2013

3.2 Khi Z là hàm phi tuyến (2)
 g 

 z  
( X 0 ) Xi 
1  X i

n



z

z

2

i  

g   Xi
(X 0)
X i
z

n

g 
g(X 0 )  
( X 0 )(  Xi  X 0i )
i 1 X i

 g 

1  X ( X 0 ) Xi 
 i

n

2

Coastal & Marine Engineering

3.3 Khi Z là hàm phi tuyến (3)

 phụ thuộc vào vị trí khai triển tuyến tính !!!
Coastal & Marine Engineering

20


07/05/2013

Khai triển tại điểm trung bình


Chọn: X 0  (  X 1 ,  X 2 ,  X 3 ,... Xn )
-->
> Phương pháp xấp xỉ giá trị trung bình


g (  X 1 ,  X 2 ,  X 3 ,... Xn )

z

z

 g

1  X ( X 1,  X 2 ,  X 3 ,... Xn ) Xi 
 i

n

2

Coastal & Marine Engineering

Phương pháp xấp xỉ giá trị trung bình
Hàm Z = 0 được tuyến tính hóa
400
350

điểm lấy tuyến tính
(d,f)

f (N/mm2)

300
250

Pf

200

Sai số của
phương pháp

150
100
50
0
10

Z=0

Z < 0: sự cố

15

20

25

30

d (mm)

35

40

45

50

Ztuyến tính = 0

Coastal & Marine Engineering

21


07/05/2013

Phương pháp xấp xỉ giá trị trung bình
Nhược điểm:
• Độ chính xác thấp

Ưu điểm:
• Đơn giản có thể tính bằng tay
• Giúp
p hiểu bản chất của phương
p
g pháp
p p tính
tốn theo cấp độ II ?

Coastal & Marine Engineering

Tuyến tính hóa Z = 0 tại điểm thiết kế
400
350

C (N/mm2)

300

Điểm thiết kế
DP (d*,C*)

250
200
150
100
50
0
10

Z=0

Z<0: vùng sự cố
15

20

25

30

d (mm)

35

40

45

50

Ztuyến tính = 0
Coastal & Marine Engineering

22


07/05/2013

Chuyển sang các biến tiêu chuẩn Ui

4

ĐTK (u1*,u2*)
là điể
điểm gần
ầ nhất
hất trên
tê
Z=0 đến gốc tọa độ

2

0

u2*


-2

Các đường đẳng
mật độ xác suất

-4
Z<0
Z<0:
failure area
-6
-6
-4

-2

u1*

0

2

4

6

u1  d   d  /  d

Z=0

u2  C   C  /  C

Coastal & Marine Engineering

Phương pháp xấp xỉ tại điểm thiết kế
Nhược điểm:
• Cần phải tính lặp để xác định Điểm thiết kế
• Có thể khơng hội tụ nếu Z có bậc phi tuyến cao
Ưu điểm:
• Cho kết quả Pf chính xác hơn

Coastal & Marine Engineering

23

07/05/2013

Các bước tính tốn cấp độ II với
ĐTK
• b1: lựa chọn sơ bộ ĐTK tại ĐTB
X0* = (x1, x2, x3,... xn)
• b2: Tính Z , Z, và  theo bảng sau:

• b3: Tính lại X0* = Xi+iXi
• b4: Quay lại bước 2 cho đến khi  ổn định
• b5: Kiểm tra Z0*  0
• b5: Xác định Pf = ()
Coastal & Marine Engineering

Tính tốn FORM: ví dụ (1)
Tìm Pf = P(z<0) với hàm trạng thái giới hạn:

z  g (a , b , c )  a .b  c
a, b, c có phân bố chuẩn

a  8,  a  2
b  3
3,  b  1
c  4,  c  2
Coastal & Marine Engineering

24

07/05/2013

g  
Tính tốn FORM: ví dụ(1)

(X )

Tính cg/cXi ?

 g 

 z  
( X 0 ) Xi 
1  X i

n

X i

i

0

Xi

z

10
  1.0

2



n

z  g ( X 0 )  
i 1

g 
( X 0 )(  Xi  X 0i )
X i

Coastal & Marine Engineering

Nhắc lại cơng thức
Dùng khai triển Taylor để tuyến tính
 hóa hàm Z
tại một điểm tính tốn bất kỳ X 0 :

X 0  ( X 1 , X 2 , X 3 ,... X n )

Xi có phân bố chuẩn


Z  g ( X )  g ( X 1 , X 2 , X 3 ,... X n )
n



g 
Z  g( X )  g( X 0 )  
( X 0 )( X i  X 0i )
i 1 X i

Z phân
hâ bố chuẩn
h ẩ

Coastal & Marine Engineering

25