Bài giảng giải tích một biến

Bài giảng Toán 1 cho SV K54

Ths Lê Thị Minh Hải

Bài số 1
Giới hạn và tính liên tục của hàm số
1.1. Hàm số một biến số
1. Định nghĩa hàm số
Cho 2 tập hợp D và E là các tập con của R . Tương ứng f : D → E cho tương ứng
mỗi phần tử x ∈ D với duy nhất một phần tử y ∈ E được gọi là hàm số một biến số
thực.
+ Tập D được gọi là miền xác của f.
+ Tập f(X) được gọi là miền giá trị của f.
+ x ∈ D được gọi là biến số độc lập ( hay đối số ).
+ f ( x ), x ∈ D được gọi là biến số phụ thuộc ( hay hàm số ).

2. Đồ thị của hàm số:

G f = {( x, f ( x) ) | x ∈ A}

+ Cách nhận biết đồ thị theo phương pháp kiểm tra đường thẳng đứng: Một đường
cong trong mặt phẳng xy là đồ thị của một hàm của x nếu và chỉ nếu đường thẳng
song song với Oy cắt đương cong đó tại nhiều nhất một điểm.

Đồ thị hàm số

Không là đồ thị hàm số

1.2 Giới hạn hàm số:
1. Ví dụ 1: Xét hàm số y = f ( x ) = x 2 − x + 2 . Ta lập bảng các giá trị của hàm số tại
những điểm x gần x0 = 2 .

Bài giảng Toán 1 cho SV K54

Ths Lê Thị Minh Hải

Nhận thấy khi x tiến gần đến x0 = 2 thì các giá trị các hàm số f ( x ) tiến gần đến 4.
Ta nói rằng hàm số có giới hạn bằng 4 khi x → x0 = 2 .
2. Định nghĩa giới hạn hàm số
Định nghĩa 1: Ta nói hàm số f ( x ) có giới hạn L (hữu hạn) khi x → x0 và viết

lim f ( x ) = L nếu với bất kỳ dãy { xn } mà xn → x0 thì lim f ( xn ) = L .
n →∞

x → x0

Định nghĩa 2: theo ngôn ngữ δ − ε .
lim f ( x ) = L ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 : x − x0 < δ ⇒ f ( x ) − L < ε
x → x0

Chú ý
+ Nếu hàm f ( x ) không thoả mãn định nghĩa, ta nói rằng f ( x ) khơng có giới hạn khi
x → x0 , hoặc lim f ( x ) khơng tồn tại.
x → x0

+ Khi tìm giới hạn, ta chỉ quan tâm đến các giá trị “x dần tới x0 ” chứ không phải xét
khi x = x0 . Do đó hàm số f ( x ) có thể không xác định tại x = x0 nhưng phải xác
định tại các điểm thuộc lân cận của điểm đó.
x −1
Ví dụ 2: Hàm số f ( x ) = 2

không xác định tại x = 1. Ta lập bảng tính các giá trị
x −1
của f ( x ) khi x → 1. Từ đó xem f ( x ) dần đến giá trị nào.

Nhận thấy khi x tiến gần đến x0 = 1 thì các giá trị các hàm số f ( x ) tiến gần đến
0,5. Ta nói rằng hàm số có giới hạn bằng 0,5 khi x → x0 = 1 .


Bài giảng Toán 1 cho SV K54

Ths Lê Thị Minh Hải

Cách mô tả này chủ yếu cho ta dáng điệu của f(x) khi x gần a, dự đoán giá trị của
giới hạn, có lợi về trực giác và phù hợp với mục đích thực hành. Tuy nhiên khơng
chặt chẽ.
x −1
1
Sử dụng định nghĩa, chỉ ra rằng lim 2
= .
x →1 x − 1
2
Thật vậy, cho trước
ε > 0 , chọn
δ = ε . Ta có:
x −1 < δ
thì

x −1

1

x −1
=
< x − 1 < ε ( với x trong lân cận của 1).
x +1
x −1 2
1
Ví dụ 3: Tìm giới hạn lim cos
x →0
x
1
Giải: Đặt f ( x ) = cos .
x
1
, n = 1, 2, 3…thì f ( x ) = 1 .
+ Với x =
2nπ
1
1
+ Với x =
, n = 1, 2, 3…thì f ( x ) = 0 . Vậy lim cos không tồn tại.
π
x →0
x
+ 2nπ
2
3. Giới hạn ở vô cực
Định nghĩa:
+ lim f ( x) = L ⇔ ∀ε > 0 , ∃N > 0 đủ lớn, sao cho ∀x > N ⇒ f ( x) − L < ε .
2

−

x →+∞

+ lim f ( x) = L ⇔ ∀ε > 0 , ∃N > 0 đủ lớn, sao cho ∀x < − N ⇒ f ( x) − L < ε .
x →−∞

Ví dụ 4: Chứng minh rằng
+ Từ

lim

x →+∞

1
=0.
x

1
1
−0 <ε ⇔ x > 2 .
ε
x

+ Ta có: ∀ε > 0 , chọn N =

1

ε2

. Khi đó ∀x > N ⇒ f ( x) − 0 < ε .

4. Các tính chất của giới hạn
Định lí 1: Giả sử c là hằng số và lim f ( x) = L,
x→a

lim g ( x) = M . Khi đó
x→a

1. lim [ f ( x) + g ( x) ] = L + M

2. lim [ f ( x) − g ( x)] = L − M

3. lim c. f ( x) = cL

4.

x→a

x→a

x→a

5. lim
x→a

lim f ( x).g ( x) = L.M
x→a

f ( x) L

=
nếu M ≠ 0 .
g ( x) M

Định lý 2: ( về giới hạn kẹp)
Giả sử các hàm số f ( x), g ( x), h( x) thoả mãn bất đẳng thức f ( x) ≤ g ( x) ≤ h( x) trong
lân cận của điểm a. Khi đó nếu lim f ( x) = lim h( x) = L thì lim g ( x) = L .
x→a

x→a

x →a


Bài giảng Toán 1 cho SV K54

Ths Lê Thị Minh Hải

sin x
= 0.
x →∞
x

Ví dụ 5: Chứng minh rằng lim
Ta có: 0 ≤

1
sin x 1
sin x
≤ . Mà lim = 0 nên lim

= 0 , hay ta có đpcm.
x
→∞
x
→∞
x
x
x
x

5. Một số phương pháp khử dạng vô định:

0 ∞
,
, ∞ − ∞, 1∞.
0 ∞

+ Phân tích đa thức thành nhân tử hoặc nhân biểu thức liên hợp để khử dạng vô
định.
+ Sử dụng giới hạn kẹp
+ Sử dụng một số giới hạn cơ bản sau:
sin x
a x −1
= ln a ,
=1,
lim
x →0
x →0
x
x

lim a x = 0, ( 0 < a < 1) , …

x

 a
lim 1 +  = e a ,
x →∞
 x

ln( x + 1)
= 1,
x →0
x

lim

lim

x →+∞

xm − 1
.
xn − 1

Ví dụ 6: Tìm lim
x →1

Giải: + Dạng

0

.
0

x m −1 + x m − 2 + ... + 1) m
( x − 1) ( x m−1 + x m−2 + ... + 1)
(
xm − 1
+ lim n
= lim
= lim
= .
x →1 x − 1
x →1 x − 1 x n −1 + x n − 2 + ... + 1
( )(
) x→1 ( x n−1 + x n−2 + ... + 1) n
3

Ví dụ 7: Tìm lim
x→2

+ Dạng

x −1 − 2x − 3
x−2

0
0

3

x −1 − 2x − 3
+ lim
= lim
x→2
x→2
x−2

(
+ lim
x→2

(
+ lim
x→2

3

)

x −1 −1

dang

=

x−2

)

2x − 3 −1

x−2

+ Vậy lim
x→2

3

(

3

) (

x −1 −1 −

x−2

0
0

dang

0
0

= .

x −1 − 2x − 3 1
4
= +1 = .

x−2
3
3

) = lim (

2x − 3 −1

x→2

3

) − lim (

x −1 −1
x−2

x→2

)

2x − 3 −1
x−2


Bài giảng Tốn 1 cho SV K54
x+ x
x +1

Ví dụ 8: Tìm lim

x →+∞

Giải: Dạng
+ lim

x →+∞

Ths Lê Thị Minh Hải

∞
.
∞

x+ x
=
x +1

+ KQ: 1.
Ví dụ 9: Tìm lim

x →+∞

(

x2 + x − x

)

+ Dạng ∞ − ∞

+ lim

x →+∞

(

)

x2 + x − x = .

+ KQ: ∞ .

 x2 + 1 
lim  2 
x →+∞ x − 1



Ví dụ 10: Tìm

x2 + 2 x

,

+ Dạng 1∞

(

2 x2 + 2 x

 x2 + 1 
+ lim  2 
x →+∞ x − 1



2

x +2 x


2 

= lim 1 + 2 
x →+∞
 x − 1 


Ví dụ 11: Tìm giới hạn sau lim
x →0

+ Dạng
+ lim
x →0

 x 2 −1 
 2 









1 − cos x.cos 2 x
=
1 − cos x

=
+ KQ: 5.
1

Ví dụ 12: Tìm giới hạn sau lim ( cos x ) x2 .
x →0

+ Dạng 1∞
+ Ta có: cos x = 1 − (1 − cos x ) = 1 − 2sin 2
1

x →0

x
2

(

2 x2 + 2 x

=e

1 − cos x.cos 2 x
.
1 − cos x

0
.
0

+ lim ( cos x ) x2 =

)

x 2 −1
lim

x→+∞

x 2 −1

)
= e2 .


Bài giảng Toán 1 cho SV K54
−

Ths Lê Thị Minh Hải

1
2

+ KQ: e
6. Giới hạn một phía
a. Định nghĩa: Giới hạn của f(x) khi x → a, x < a (hoặc x → a, x > a ) nếu tồn tại gọi là
giới hạn trái ( hoặc giới hạn phải ). Ký hiệu lim− f ( x) = f (a − ), lim+ f ( x) = f (a + ) .
x→a

Ký hiệu khác: lim f ( x) = f (a − 0),

x →a

lim f ( x) = f (a + 0) .

x → a −0

x→a +0

∃ lim f ( x)
 x → a−

b. Định lý: Tồn tại lim f ( x) = L khi và chỉ khi ∃ lim+ f ( x)
x →a
 x→a
f ( x) = lim+ f ( x) = L
 xlim
→ a−
x →a
Ví dụ 13: Xét sự tồn tại của lim

x →0

Ta có: lim+
x →0

x
x

= lim+

Ví dụ 14: Nếu

x →0

x
x

.

x
x
x
−x
= 1 , lim− = lim−
= −1 . Vậy lim
không tồn tại.
x
→
0
x

→
0
x
→
0
x
x
x
x

 x − 4, x > 4
f ( x) = 
8 − 2 x, x < 4

, Xác định sự tồn tại của lim f ( x ) .
x →4

GIẢI:
Vì f ( x ) = x − 4

với x > 4 , chúng ta có:
lim f ( x ) = lim+ x − 4 = 4 − 4 = 0

x → 4+

x→4

Vì f ( x ) = 8 − 2 x với x < 4 , chúng ta có :

lim f ( x ) = lim− ( 8 − 2 x ) = 8 − 2.4 = 0

x → 4−

x →4

Giới hạn trái và giới hạn phải bằng nhau. Vì vậy, giới hạn tồn tại và lim f ( x ) = 0
x→4

Đồ thị của f được chỉ ra trong Hình 3.

.


Bài giảng Toán 1 cho SV K54

Ths Lê Thị Minh Hải

HÌNH 3

7. Vơ cùng lớn, vơ cùng bé
Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là vô cùng bé, viết tắt là VCB khi x → x0 nếu

lim f ( x) = 0 . Hàm số f(x) được gọi là vô cùng lớn, viết tắt là VCL khi x → x0 nếu

x → x0

lim f ( x) = +∞ .

x → x0

Chú ý:
+ x0 có thể hữu hạn hoặc vơ hạn.
1
1
= 0 . f ( x) = (1 + x) x
+ lim f ( x) = ∞ ⇔ lim
x → x0
x → x0 f ( x )

f ( x)
= 1 ta nói rằng f(x) tương đương với g(x), kí hiệu f ( x) ∼ g ( x) .
g ( x)
♦ Một số VCB cùng bậc khi x → 0 : sin x ∼ x, ln(1 + x) ∼ x, e x − 1 ∼ x .
ln(1 + x)
=1
ln(1+x) ∼ x khi x→ 0 v× lim
x →0
x

♦ Nếu lim

x → x0

Định lý:

f ( x)
f * ( x)
= lim *
Nếu f(x) ∼ f*(x), g(x) ∼ g*(x) khi x → x0 . Khi đó : lim
.

x → x0 g ( x )
x → x0 g ( x )

Ví dụ 15: Tính

e2 x − 1
lim
.
x → 0 ln(1 + sin 3 x )

Ta có: e 2 x − 1 ∼ 2x khi x → 0;

ln(1+sin3x) ∼ sin3x ∼ 3x khi x → 0

e2 x − 1
2x 2
= lim
= .
Do đó : lim
x →0 ln(1 + sin 3 x )
x→0 3 x
3
1.3. Tính liên tục của hàm số
1. Định nghĩa
Định nghĩa 1: Hàm số f(x) liên tục tại điểm x0 nếu lim f ( x) = f ( x0 ) .
x → x0

Hàm số y = f(x) liên tục trên miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc miền D.
Chú ý: Từ định nghĩa 1, ta thấy để y = f(x) liên tục tại điểm x0 cần đến 3 điều kiện:
1. x0 thuộc tập xác định của hàm số.

Bài giảng Toán 1 cho SV K54

Ths Lê Thị Minh Hải

2. Tồn tại lim f ( x) .
x → x0

3. lim f ( x) = f ( x0 )
x → x0

Nhận xét:
+ Các đa thức, hàm phân thức, hàm hữu tỉ, hàm lượng giác, hàm mũ, hàm logarit là
các hàm số liên tục trên miền xác định của nó.
+ Hàm số y = f(x) liên tục trên (a, b) thì đồ thị của nó là một đường cong trơn trên
khoảng này (tức là không bị gãy, không bị đứt đoạn).

Định nghĩa 2: Hàm số f (x) được gọi là liên tục phải tại x0 nếu lim+ f ( x ) = f ( x0 ) .
x → x0

Hàm số f (x) được gọi là liên tục trái tại x0 nếu lim− f ( x ) = f ( x0 ) .
x → x0

Hàm số y = f (x) liên tục tại x0 khi và chỉ khi nó vừa liên tục trái, vừa liên tục phải tại
x0 .

 x2 − x − 2

Ví dụ 16: Xét tính liên tục của hàm số f ( x ) =  x − 2


1

x≠2
x=2

+ Ta thấy hàm số liên tục tại mọi điểm x ≠ 2 .
+ Xét tại x = 2.

( x − 2 )( x + 1) = lim x + 1 = 3, f (2) = 1
x2 − x − 2
lim f ( x ) = lim
= lim
( )
x→2
x→2
x→2
x→2
x−2
x−2
Nhưng lim f ( x ) ≠ f ( 2 ) . Nên f khơng liên tục tại 2.
x →2

Ví dụ 17: Tìm a để hàm số sau liên tục trên R

 sin 2 x

f ( x) =  x
 aeax + x 2 − 1


x>0
x≤0

+ Hàm số liên tục với mọi x ≠ 0 , để hàm số liên tục trên R thì nó phải liên tục tại
x =0.
+ T ại x = 0

lim+ f ( x ) = lim+

x →0

x →0

sin 2 x
=2
x
,

lim f ( x ) = lim− ( aeax + x 2 − 1) = a − 1 = f (0)

x → 0−

x →0

Để hàm số liên tục tại x = 0 thì f (0+ ) = f (0− ) = f (0) ⇔ a − 1 = 2 ⇔ a = 3 .
Ví dụ 18: Hàm số f(x) không xác định tại x = 0, hãy xác định f(0) để hàm số f(x) liên
tục tại x = 0 với :
1

f ( x ) = (1+ 2 x )x


Bài giảng Toán 1 cho SV K54

Ths Lê Thị Minh Hải
1
x

Giải: Để hàm số liên tục tại x = 0 thì f (0) = lim f ( x) = lim(1 + 2 x) = e2 .
x →0

x →0

2. Điểm gián đoạn của hàm số
Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là gián đoạn tại x = a nếu tại x = a hàm số
không liên tục.
Nếu tồn tại f (a + ), f (a − ) và f (a + ) ≠ f (a − ) thì x = a được gọi là điểm gián đoạn
loại 1.
Điểm gián đoạn khác (khơng phải loại 1) gọi là gián đoạn loại 2.
Ví dụ 19: Tìm và phân loại điểm gián đoạn của các hàm số sau:
x
1
a. f ( x) =
b. f ( x) = x
x
e1− x − 1
Giải: a. Xét tại x = 0
lim+ f ( x ) =
x →0

lim f ( x ) =

x → 0−

nên x = 0 là gián đoạn loại 1.
b. ♦ Tại x = 1.
lim+ f ( x ) =

lim− f ( x ) =

x →1

x →1

nên x = 1 là gián đoạn loại 1.
♦ Tại x = 0.
lim+ f ( x ) =

lim f ( x ) =

x → 0−

x →0

nên x = 0 là gián đoạn loại 2.
Ví dụ 20: Khảo sát sự liên tục của hàm số và tính chất điểm gián đoạn

πx
cos

x ≤1
2
f(x) = 

x >1
 x − 1
(ĐS: x = - 1 là điểm gián đoạn loại 1)

Bài số 2
Đạo hàm của hàm số một biến
2.1 Định nghĩa về đạo hàm
1. Định nghĩa đạo hàm
Cho hàm số y = f ( x) , đạo hàm f '( x) của hàm số f ( x) là một hàm mới có giá trị
tại điểm x được xác định bởi giới hạn sau (khi giới hạn tồn tại):


Bài giảng Toán 1 cho SV K54

Ths Lê Thị Minh Hải

f ( x + ∆x) − f ( x)
.
∆x → 0
∆x
+ Nếu giới hạn tồn tại với x = a, thì hàm số y = f(x) được gọi là khả vi tại a.
+ Hàm khả vi là hàm số khả vi tại mọi điểm trong tập xác định của nó.
f '( x) = lim

y = f(x)
y

Q

f(x0 +∆x) - f(x 0)
P
∆x

x0

x0 + ∆x

x

● Chú ý :
+ f’(x) là độ dốc của tiếp tuyến của đường cong y = f(x) tại P.
+ Có nhiều cách ký hiệu khác nhau của đạo hàm hàm số y = f ( x) :
dy
df ( x) d
f '( x) , y’ ,
,
,
f ( x) .
dx
dx
dx
dy
+ Nếu y = f ( x) thì
cịn được gọi là suất biến đổi của y theo x .
dx
+ Nếu ta muốn viết giá trị số của đạo hàm tại một điểm cụ thể x = 3, ta viết :
 dy 

dy
 
hoặc
, hoặc f’(3) .
 dx x =3
dx x =3
+ ∆x = x − x0 nên f '( x) = lim

∆x → 0

f ( x) − f ( x0 )
f ( x + ∆x) − f ( x)
= lim
.
x → x0
∆x
x − x0

2. Quy tắc tìm đạo hàm tại một điểm theo định nghĩa:
● B
c 1. Tìm số gia f(x + ∆x) - f(x) và tiến hành rút gọn
f ( x 0 + ∆x) − f ( x0 )
● B
c 2. Thiết lập tỷ số:
∆x
● B
c 3. Tính giới hạn của tỷ số trên khi ∆x→0. Nếu giới hạn đó tồn tại thì đó
chính là đạo hàm của hàm số tại điểm cần tìm :
f ( x + ∆x) − f ( x)
f '( x) = lim
.
∆x → 0
∆x

Ví dụ 1. Tìm f’(x) nếu f(x) =

1
x

Bước 1:

f ( x + ∆x) − f ( x) =
Bước 2.

1
1 x − ( x + ∆x)
−∆x
− =
=
x + ∆x x
x( x + ∆x)
x( x + ∆x)


Bài giảng Toán 1 cho SV K54

Ths Lê Thị Minh Hải

f ( x 0 + ∆x) − f ( x0 )
−1
=
∆x
x( x + ∆x)
−1

1
=− 2
x( x + ∆x)
x
Ví dụ 2 : Vẽ đồ thị hàm số y = f ( x) = x x và cho biết nó khơng khả vi tại điểm nào

Bước 3. Kết luận

f ' ( x) = lim

∆x →0

 x 2 , x ≥ 0
 2 x, x > 0
Giải : y = f ( x) = x x =  2
nên f '( x) = 
− x , x < 0
 −2 x, x < 0
∆x ∆x
f (0 + ∆x) − f (0)
Tại x = 0, ta có lim
= lim
= lim ∆x = 0 , hàm số khả vi tại x = 0.
∆x → 0
∆x → 0
∆x → 0
∆x
∆x
Vậy hàm số khả vi với mọi x.
x >1

(x -1)ln(x − 1) + 1
Ví dụ 3: Hàm số f ( x) = 
có khả vi tại x = 1 không.
x ≤1
2 x − 1
f ( x) − f (1)
Giải: + lim+
=
x →1
x −1

f ( x) − f (1)
=
x →1
x −1
Vậy hàm số không khả vi tại x = 1.
Ví dụ 4: Chứng minh rằng nếu hàm f(x) có tính chất f ( x) ≤ x 2 với mọi x thì f(x) khả
+

lim−

vi tại x = 0.
Giải:
Từ f ( x) ≤ x 2 , ∀x nên f (0) ≤ 0 ⇔ f (0) = 0 .

f (0 + ∆x) − f (0)
f (∆x)
=
≤ ∆x , mà lim ∆x = 0
∆x → 0

∆x
∆x
f (0 + ∆x) − f (0)
Nên f '(0) = lim
= 0 . Vậy hs khả vi tại x = 0.
∆x → 0
∆x

Ta có 0 ≤

Chú ý: + Nếu hàm số y = f ( x) liên tục tại điểm x thì :
lim ∆y = 0
∆x →0

+ Một hàm kh vi t i m t đi m thì liên t c t i đi m đó vì:
∆y
∆y  
dy

lim ∆y = lim
⋅ ∆x =  lim
lim ∆x  = ⋅ 0 = 0 .
∆x → 0
∆x → 0 ∆x
∆x → 0 ∆x   ∆x → 0

dx


+ Một hàm có thể liên tục tại một điểm mà khơng khả vi tại điểm đó.

+ Một hàm số khơng liên t c tại x0 thì sẽ khơng khả vi tại điểm đó.

2. MỘT SỐ CƠNG THỨC VÀ QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM ĐÃ HỌC
1.

d
c=0
dx

2.

d α
du
u = α u α −1
dx
dx

3.

d u
du
a = a u ln a
dx
dx


Bài giảng Toán 1 cho SV K54

Ths Lê Thị Minh Hải

4.

d
1 du
ln u = .
dx
u dx

5.

d
du
sin u = cos u.
dx
dx

6.

d
1
du
tan u =
.
2
dx
cos u dx

7.

d

du
cos u = − sin u.
dx
dx

8.

d
du dv
(u + v) =
+
dx
dx dx

9.

d
du
dv
(uv) = v
+u
dx
dx
dx

10.

d u u 'v − v 'u
=
dx v

v2

11.

dy dy du
=
.
(Quy tắc dây chuyền hay đạo hàm hàm hợp).
dx du dx

Ví dụ 5. Tính y’ của hàm số
a.

y = 1 + 1 + x2 .

b.

y = ln sin ( ln x ) 

Giải:
a. y ' =

x

+ KQ:
2

2 1+ x . 1+ 1+ x

.

2

b. y ' =

+ KQ:

cot ( ln x )
x

2.2. Hàm ẩn và đạo hàm hàm ẩn
a. Hàm ẩn Hầu hết các hàm ta gặp có dạng y = f ( x) , trong đó y biểu diễn trực
tiếp (hoặc tường minh) theo x. Ngoài ra y thường định nghĩa là hàm của x bằng
phương trình F ( x, y ) = 0 (1), khơng giải được đối với y, nhưng trong đó x và y có
liên quan với nhau. Khi đó, ta nói phương trình (1) xác định y như là một (hoặc
nhiều) hàm ẩn của x.
Ví dụ 6.


Bài giảng Toán 1 cho SV K54

Ths Lê Thị Minh Hải

+ P/trình xy = 1 xác định một hàm ẩn của x mà ta có thể viết một cách tường minh
1
là y = .
x
+ P/trình 2x2 - 2xy = 5 - y2 xác định hai hàm ẩn: y = x + 5 − x 2

và

y = x − 5 − x2 .

b. Đạo hàm của hàm ẩn :
Ví dụ 7 (i) Xét p/trình xy = 1 . Lấy đạo hàm hai vế theo x :

x

dy
+y=0
dx

hoặc

dy
y
=−
dx
x

+ Từ phương trình ta có y =

dy
y
1
1 1
1
1
nên:
=− =− y=− ⋅ =− 2 .
x

dx
x
x
x x
x

+ Nếu đạo hàm trực tiếp y =

1
dy
1
, cũng có
=− 2 .
dx
x
x

(ii) Từ phương trình x2 + y2 = 25 đạo hàm 2 vế ta có : 2 xdx + 2 y

dy
dy
x
=0⇔
=− .
dx
dx
y

2.3. Hàm ngược và đạo hàm hàm ngược
1. Đ nh nghĩa : Cho hàm số :

f :X → Y
x
→ y = f ( x)
Nếu tương ứng ngược : Y → X sao cho y → x | y = f ( x) cũng là một hàm số thì
ta nói rằng hàm số y = f ( x) có hàm số ngược
f −1 : Y → X
y

→

x = f −1 ( y )

Có hàm số ngược f −1 ( x)
2. Công th c hàm s ng
c : Xét hàm số : f
Xét phương trình ẩn x : f ( x) = y (*)
Nếu với mỗi y ∈ Y phương trình (*) có duy
y = f ( x) có hàm số ngược:
f −1 : Y →
y

→

Khơng có hàm số ngược
: X → Y , x → y = f ( x)
nhất một nghiệm x ∈ X thì hàm số
X
x = f −1 ( y )

trong đó x = f −1 ( y ) chính là cơng thức nghiệm duy nhất của phương trình (*).

Bài giảng Toán 1 cho SV K54

Ths Lê Thị Minh Hải

3 Điều kiện tồn tại hàm số ngược
a. Khái niệm : Hàm số y = f ( x) được gọi là hàm một – một nếu với x1 ≠ x2 thì ta có
f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) .

Không là hàm 1-1
b. Điều kiện : Nếu y = f ( x) là hàm một - một có TXĐ là X và MGT là Y . Khi đó tồn
tại hàm ngược f −1 với TXĐ là Y và MGT là X , hơn nữa y = f ( x) ⇔ x = f −1 ( y ) .

Chú ý : : + Nếu

y = f ( x) có hàm ngược f −1 thì

+ f −1 ( f ( x) ) = x, ∀x ∈ X .

+ f ( f −1 ( y ) ) = y, ∀y ∈ Y
c. Đồ thị : Nếu y = f ( x) có hàm số
ngược y = f −1 ( x) thì đồ thị của hai hàm số đó sẽ đối xứng
nhau qua đường phân giác thứ nhất y = x .
4. Hàm ngược của một số hàm sơ cấp
a) Hàm số:

f : »+ → »+
x

y = f ( x) = x

có hàm số ngược là y = x 2 .

b) Hàm số ngược của hàm y = sin x :


Bài giảng Toán 1 cho SV K54

Ths Lê Thị Minh Hải

Nếu xét hàm số :
sin : [ −π / 2, π / 2] →
→

x

Khi đó tồn tại hàm số ngược :
sin −1 : [ −1,1] →

[ −1,1]
y = sin x

[ −π / 2,π / 2]
→

y

x = sin −1 y

Ký hiệu khác : sin −1 x = arcsin x .

Chú ý : a = sin −1 b = arcsin b chính là số đo góc mà sin a = b .
π 1
π
1
1
Ví dụ 8: sin = ⇔ = sin −1 = arcsin .
6 2
6
2
2

c) Hàm ngược của hàm cosine : Tương tự, nếu xét
cos : [ 0, π ] →
x →

[ −1,1]
y = cos x

Khi đó sẽ tồn tại hàm ngược : y = cos −1 x .

d. Hàm ngược của hàm tang
Xét hàm số :
 π π
tan :  − ,  → ( −∞, ∞)
 2 2
x
→ y = tan x
khi đó tồn tại hàm số ngược
 π π
tan −1 : ( −∞, + ∞ ) →  − , 

 2 2
−1
Chú ý : a = tan b chính là số đo của góc mà tan a = b .
Đồ thị của hàm y = tg – 1x là đường đậm nét ở hình
9.19.

Hình 9.19

e. Hàm ngược của hàm cotang :
Khi xét
cotan : ( 0, π ) → (−∞, ∞ )
x

→

y = cot x

−1

Tương tự: Hàm y = arccot x = ( cot ) ( x)

5. Đạo hàm hàm ngược
a. Định lý : Cho hàm y = f ( x) là hàm liên tục, một – một trên khoảng (a, b) . Khi đó
tồn tại hàm ngược x = f −1 ( y ) xác định trong lân cận của y0 với y0 = f ( x0 ) . Giả sử


Bài giảng Toán 1 cho SV K54

Ths Lê Thị Minh Hải

y = f ( x) có đạo hàm tại x0 và f ( x0 ) ≠ 0 , thì hàm ngược x = f −1 ( y ) sẽ có đạo hàm
'
1
tại y0 và  f −1  ( y0 ) =
.
f ' ( x0 )

Ví dụ 9: Hàm số y = f ( x) = x có hàm ngược x = f −1 ( y ) = y 2
Ta có : f '( x) =

1
2 x

, ∀x > 0 ;

'

 f −1  ( y ) = 2 y = 2 x =

1
1

=

1
, ∀x > 0 .
f '( x)

2 x

b. Đạo hàm hàm lượng giác ngược
Cho u là hàm khả vi của x, ta có :
d
1 du
(sin −1 u ) =
dx
1 − u 2 dx
d
1 du
(tan −1 u ) =
dx
1 + u 2 dx

d
1 du
(cos −1 u ) = −
dx
1 − u 2 dx
d
1 du
(cot −1 u ) = −
dx
1 + u 2 dx

Ví dụ 10: Tính dy/dx của hàm số y = x tan −1 x − ln 1 + x 2 .
1
dy
Giải : y = x tan −1 x − ln(1 + x 2 ) nên
=
2

dx

= tan −1 x .

Ví dụ 11: Tính dy/dx của hàm số y = sin −1 x + x 1 − x 2 .
Giải :

dy
=
dx

= 2 1 − x2 .

2.4 .VI PHÂN
a. Định nghĩa : Cho hàm số y = f ( x) , tích số f '( x).∆x gọi là vi phân của f(x) tại
điểm x, kí hiệu dy = f '( x).∆x .
Khi y = f ( x) = x thì f '( x) = 1 nên dy = dx = ∆x , do đó : dy = df = f '( x)dx .
Nếu hàm số f(x) khả vi tại x thì ∆y = f ( x + ∆x) − f ( x) = f '( x).∆x + o ( ∆x )
b. Cơng thức vi phân. Quy tắc tính đạo hàm dẫn đến các công thức vi phân
tương ứng.
d
c=0
dx

d(c) = 0

d n
du
u = nu n −1
dx

dx

d(xn) = nxn-1dx

d
du
(cu ) = c
dx
dx

d(cu) = cdu


Bài giảng Toán 1 cho SV K54

Ths Lê Thị Minh Hải

d
du dv
(u + v) =
+
dx
dx dx

d(u + v) = du + dv

d
dv
du
(uv) = u

+v
dx
dx
dx

d(uv) = vdu + udv

d u
( )=
dx v

v

du
dv
−u
dx
dx
2
v

u
vdu − udv
d( ) =
v
v2

d n
du
u = nu n −1

dx
dx

d(un) = nun-1du

Ví dụ 12. Giả sử y = x4 + 3x2 + 7 tìm dy
Giải :+ Cách 1 : Tìm đạo hàm
dy
= 4 x3 + 6 x
dx
và nhân với dx, ta được dy = (4 x3 + 6 x)dx
+ Cách 2: Chúng ta cũng có thể dùng các cơng thức vi phân ở trên
dy = d(x4 + 3x2 + 7) = dx4 +3 d(x2) + d(7)
= 4x3dx + 3.2xdx+0
= (4x3 + 6x) dx
x2
Ví dụ 13. Tính d (
)
x2 + 1
Giải: + Dùng công thức vi phân của một thương:
x2

d(

x2 + 1

)=

x 2 + 1.d ( x 2 ) − x 2 d ( 1 + x 2 )
x2 + 1

2 x x 2 + 1dx −

x 3 dx

3
 x2 
x 2 + 1 = x + 2 x dx .
d
=

2
x2 + 1
( x 2 + 1)3/ 2
 x +1 
Ví dụ 14: Giả thiết rằng y là một hàm khả vi đối với x và thỏa mãn phương trình:
x2y3 - 2xy + 5 = 0.
dy
.
Hãy sử dụng vi phân để tìm
dx
Giải: + Lấy vi phân 2 vế phương trình ta có:
2xy3dx + 3x2y2dy - 2ydx - 2xdy = 0.
hay là

( 3x

2

y 2 − 2 x ) dy = ( 2 y − 2 xy 3 ) dx ,

+ Kết quả :
dy
dx

f(x)
x

f(x + dx)
f(x) + dy

x + dx

Hình 5.3


Bài giảng Toán 1 cho SV K54

Ths Lê Thị Minh Hải

dy 2 y − 2 xy 3
= 2 2
với đ/k 3 x 2 y 2 − 2 x ≠ 0 .
dx 3 x y − 2 x
Chú ý: Để ý rằng tiếp tuyến với đường cong ôm sát đường cong ở gần tiếp điểm.
Điều này có nghĩa rằng khi dx đủ nhỏ, thì đường cong thực sự gần với tiếp tuyến
của nó, và vì thế vi phân dy dễ dàng được tính tốn, nó cho xấp xỉ tốt đối với số gia
∆y .
c. Ứng dụng của vi phân trong tính gần đúng
Xét hàm số y = f ( x) khả vi trong lân cận của x0 ∈ ( a, b) . Theo công thức số gia của
hàm khả vi ta có

f ( x0 + ∆x) ≈ f ( x0 ) + f '( x0 ).∆x

Ví dụ 15: Tính xấp xỉ ln11 .
Giải: + Xét f ( x) = ln x, x0 = 10, ∆x = 1
+ Áp dụng
f ( x0 + ∆x) ≈ f ( x0 ) + f '( x0 ).∆x

ta có
1
ln11 = ln(10 + 1) ≈ ln10 +
.1 ≈ 1, 043 .
10.ln10
2.5 Đạo hàm và vi phân cấp cao
1. Định nghĩa:
Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng (a, b). Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm
y’ = f’(x) và f’(x) có đạo hàm thì ta gọi đạo hàm của f’(x) là đạo hàm cấp hai của hàm
f(x). Kí hiệu y” = f”(x) = [f’(x)]’.
Tương tự ta có đạo hàm cấp n của hàm y = f(x): y ( n ) ( x ) =  y ( n −1) ( x ) ′
2
Ví dụ 16: Cho hàm số y = e − x . Tính y′′′ .
Ta có:
y' =
y′′ = ( y ' ) ' =
2

y′′′ = ( y " ) '

= 4e − x (3 x − 2 x 3 ).

2. Các quy tắc lấy đạo hàm cấp cao:

a. Với f, g là các hàm số có đạo hàm cấp n và λ , µ ∈ R , ta có:

(λ f ( x ) + µ g ( x ))( n ) = λ f ( n ) ( x ) + µ g ( n ) ( x )
b. Quy tắc Leibniz: Với f, g là các hàm số có đạo hàm cấp n, ta có:
n

( fg )( n ) = ∑ Cnk f ( n − k ) g ( k )
k =0

Ví dụ 17: Tìm cơng thức tính đạo hàm cấp n của:
1
a. y =
,
b. y = x k , với k ∈ R
x −1
Giải:


Bài giảng Toán 1 cho SV K54
a. y =

Ths Lê Thị Minh Hải

1
= ( x − 1)−1 , nên y ' =
x −1

, …,

, y" =

Nên y ( n ) =

= (−1)n n !.

b. Nếu k ∉ N thì y ' =

1
.
( x − 1)n +1

,…,

, y" =

y(n) =

Nếu k ∈ N thì y

(n)

k (k − 1)...(k − n + 1) x k − n

= k !
0


k>n
k=n
k

Ví dụ 18: Dùng đạo hàm hàm ẩn, tính y” của hàm y = f(x) cho bởi x n + y n = a n .

x n −1
Giải: Đạo hàm 2 vế nx + ny . y ' = 0 ⇔ y ' = − n −1 (2).
y
+ Đạo hàm lần nữa 2 vế của (2), chú ý rằng y và y’ là hàm của x, ta có:
n −1

y '' = −

n −1

(n − 1) x n − 2 y n −1 − (n − 1) y n − 2 . y '.x n −1
(n − 1) x n − 2 y n −1 + (n − 1) y −1.x 2 n − 2
=
−
y 2 n− 2
y 2 n−2

(n − 1) x n − 2 y −1 ( x n + y n )
(n − 1)a n x n − 2
=
−
y 2n−2
y 2 n −1
3. Vi phân cấp cao:
Vi phân cấp 2 của hàm số f(x) tại một điểm nào đó (nếu có) là vi phân của vi phân
cấp một df. Kí hiệu d 2 f = d (df ) .
=−

Quy nạp ta có: Vi phân cấp n, kí hiệu là d n f là vi phân cấp một của vi phân cấp (n1):
d n f = d (d n −1 f ) .
Chú ý: Khi tìm vi phân cấp cao của hàm số, ta luôn coi dx như là hằng số.
d 2 y = d (dy ) = d ( y ' dx) = y "(dx)2 = y " dx 2

....................
d n y = d (d n −1 y ) = y ( n ) dx n
Ví dụ 19: Cho hàm số y = ln x . Tìm d 5 y
Ta có: d 5 y = y (5) dx 5 =

4! 5 24 5
dx = 5 dx .
x5
x


Bài giảng Toán 1 cho SV K54

Ths Lê Thị Minh Hải

Bài giảng số 3
CÁC ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
3.1. BÀI TOÁN GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT
a) Định nghĩa: Hàm số y=f(x) xác định trên đoạn [a,b], ta nói :
 f ( x) ≤ M , ∀x ∈ [a,b]
i. Hàm số đạt GTLN nếu : 
∃c ∈ [a,b]: f(c)=M
 f ( x) ≥ m, ∀x ∈ [a,b]
ii. Hàm số đạt GTNN nếu : 

∃c ∈ [a,b]: f(c)=m
b) Cách tìm : + Tìm các điểm tới hạn của f(x) trong đoạn [a,b ]: chẳng hạn là c
+ Khi đó: max f ( x) = max {f(a), f(b), f(c)} hoặc min f ( x) = min {f(a), f(b), f(c)} .
[a,b]

[a,b]

Chú ý : 1) Nếu hàm số y = f ( x) liên t c trên D, và trên đó nó có duy nh t m t
c c tr
+ Nếu cực trị đó là c c ti u thì đó cũng là GTNN của hàm số trên miền đó.
+ Nếu cực trị đó là c c đ i thì đó cũng là GTLN của hàm số trên miền đó.
2) Nếu hàm số y = f ( x) đồng biến trên [ a, b] thì max f ( x) = f (b), min f ( x) = f (a ) .
[ a ,b ]

[ a ,b ]

Nếu hàm số y = f ( x) nghịch biến trên [ a, b] thì max f ( x) = f (a ), min f ( x) = f (b) .
[ a ,b ]

[ a ,b ]

3) Hàm số y = f ( x) liên tục trên [ a, b] thì ln tồn tại GTLN và GTNN trên miền đó.
Ví dụ 1: Tìm hai số dương mà tổng của chúng bằng 16 và tích của chúng đạt giá
trị lớn nhất.
Gi i: + Giả sử x và y là hai số dương mà tổng của chúng bằng 16
+ Vì vậy:
x + y = 16
+ Tích của chúng : P = xy
+ Ta có : y = 16 – x , khi đó :
P = xy = x(16 - x) = 16x - x2 , với 0

+ Tìm các điểm tới hạn :

dP
= 16 − 2 x;
dx

dP
= 0 ⇔ x =8.
dx


Bài giảng Toán 1 cho SV K54

Ths Lê Thị Minh Hải

+ Lập bảng biến thiên, suy ra GTLN của P: max P=64, tại x = 8. Vậy x = y =8.
Ví dụ 2: Một mảnh vườn hình chữ nhật 450m2 được rào lại.
Nếu một cạnh của mảnh vườn được bảo vệ bởi bức tường của
một kho thóc, thì kích thước chiều dài của tường rào ngắn nhất
là bao nhiêu?
Gi i: + Gọi x là chiều rộng của vườn, y là chiều dài của mảnh
vườn, L là chiều dài tổng cộng của hàng rào, với x, y, L > 0 .
+ Chúng ta cần tìm GTNN của :
L=

Barn
x

y

450ft

2

với ràng buộc

+ L có thể được viết như là hàm của một biến x :

+ Vì vậy mảnh vườn có hàng rào ngắn nhất là 15 và 30.
Ví dụ 3: Tìm kích thước của hình chữ nhật có diện tích lớn nhất mà nó có thể nội
tiếp trong nửa đường trịn bán kính là a.
Gi i :
+ Xét nửa trên của đường tròn : x2 + y2 = a2.
+ Chúng ta phải tìm GTLN của: A =
với điều kiện :
+ Đưa A về hàm một biến số x:
(9)


Bài giảng Toán 1 cho SV K54

Ths Lê Thị Minh Hải

+ Vì vậy kích thước của hình chữ nhật nội tiếp lớn nhất là 2 x = a 2 và y =

a 2
,
2

và GTLN đó là : A = a 2 .

Ví dụ 4: Một cái dây dài L được cắt thành hai đoạn. Một đoạn bị nối thành dạng hình
vng và đoạn kia thành hình trịn. Cái dây sẽ bị cắt như thế nào sao cho tổng diện
tích bao gồm bởi 2 đoạn dây:
a) Là lớn nhất
b) Là nhỏ nhất
Gi i:

+ Giả sử x là cạnh của hình vng và r là bán kính của hình trịn ( x > 0 ) , khi đó tổng
diện tích của hai hình được tạo thành là:
A=

2

+ Vậy Amin

L
 L   π
=
;
 1 +  khi x =
4+π
 4+π   4 

Amax =

L2
khi x = 0.
4π

Bài giảng Toán 1 cho SV K54

Ths Lê Thị Minh Hải

Ví dụ 5: Một người bán hàng dự định bán 500kg khoai tây bóc vỏ với giá 1,5
USD/kg (giá gốc là 70 cent /kg). Tuy nhiên nếu cứ hạ giá một cent thì sẽ bán thêm
được 25 kg. Hỏi người bán hàng nên bán với giá nào để đạt lợi nhuận lớn nhất?
Gi i: + Gọi x là số cent mà người bán hàng đã hạ giá,
+ Lợi nhuận của mỗi một kg khoai tây gọt vỏ là (80 - x) cent
+ Số lượng bán được là 500 + 25x.
+ Vì vậy tồn bộ lợi nhuận sẽ là (bằng cent)
P=
+

+ Giá bán thuận lợi nhất là 1,2 đơ la/kg.
Ví dụ 6: Một nhà máy sản xuất các hộp đựng xà phịng hình trụ nhận a đơn đặt
hàng đối với các hộp có thể tích được chỉ rõ V0. Với kích thước nào thì diện tích
tồn phần của một cái hộp như vậy sẽ đạt GTNN và số lượng kim loại cần đến cho
nhà máy là bao nhiêu?

Gi i:
+ Giả sử r là bán kính của đáy và h là chiều cao của hộp hình trụ
+ Khi đó thể tích là: V0 = π r 2 h.
và diện tích mặt tồn phần là: A = 2 π r 2 + 2 π r h
+ Đưa A về hàm 1 biến số r, ta có :
A=

(1)
(2)

Bài giảng Toán 1 cho SV K54

Ths Lê Thị Minh Hải

+ Kết quả : h = 2r .
3.2 . ĐỊNH LÝ VỀ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH
Nhận xét hình học : Giữa hai điểm bất kỳ P
và Q trên đồ thị của hàm số khả vi, tồn tại ít nhất một
điểm mà tại đó có đường tiếp tuyến song song với
dây cung nối hai điểm P và Q, nói cách khác : Tồn
tại ít nhất một điểm c nằm giữa a và b (a < c < b)
thoả mãn điều kiện:
f / (c ) =

f (b) − f (a )
.
b−a

a) Đ nh lý 1 (Đ nh lý Rolle). Nếu hàm số f(x) liên t c trên đo n [a,b] và khả vi
trong khoảng mở (a,b) và nếu f(a) = f(b) = 0 thì khi đó tồn tại ít nhất một số c nằm
giữa a và b thoả mãn f’(c) = 0.
Ý nghĩa hình h c: Định lý này phát biểu rằng nếu một đường cong trơn cắt
trục Ox tại 2 điểm, thì khi đó sẽ có ít nhất một điểm của đường cong này nằm giữa 2
điểm trên mà tại đó tiếp tuyến có phương nằm ngang.
x
Ví dụ 7. Hàm số : f ( x) = 
2 − x

0 ≤ x ≤1

y

1≤ x ≤ 2

Hàm số này có giá trị bằng 0 tại x = 0 và x = 2, và
liên tục trên khoảng đóng 0 ≤ x ≤ 2. Hàm số khả vi trong
khoảng mở 0 < x < 2, trừ điểm x = 1 vì khi đó đạo hàm
của nó khơng tồn tại. Đạo hàm f’(x) rõ ràng là khơng
bằng 0 tại bất kỳ điểm nào trên khoảng đó. Đây là một
thất bại trong kết luận của Định lý Rolle vì thực tế là
hàm số khơng khả vi tại điểm x = 1.

0

1

2

x

Ví dụ 8. Hàm số:
x
f =
0

0 ≤ x <1
x =1

Hàm số bằng 0 tại x = 0 và x = 1, và khả vi trong khoảng 0

< x < 1. Hàm số liên tục trên 0 ≤ x < 1, không liên tục tại x =
1. Đạo hàm f’(x) không bằng 0 tại bất kỳ điểm nào trên
khoảng này, và trong trường hợp này kết luận của Định lý

0

1

x


Bài giảng Toán 1 cho SV K54

Ths Lê Thị Minh Hải

Rolle khơng cịn đúng.

Ví dụ 9. Giả sử

a b
+ + c = 0 . Chứng minh rằng phương trình
3 2
ax 2 + bx + c = 0

Giải: Xét hàm số f ( x) =

có nghiệm trong ( 0,1) .

a 3 b 2
x + x + cx :

3
2

+ Xác định liên tục trên [ 0,1] , khả vi trên ( 0,1)
+ Ta có f (0) = f (1) = 0
+ Do đó tồn tại x0 ∈ (1, 0) sao cho f '( x0 ) = 0 , tức là ax02 + bx0 + c = 0 .
Vậy ta được cần chứng minh.

b) Định lý 2 (Định lý giá trị trung bình). Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a,b] và khả
vi trên (a,b), khi đó tồn tại ít nhất một số c nằm giữa a và b thoả mãn:
f / (c ) =

Ví dụ 10. CRM nếu 0 < b < a thì ta có

f (b) − f (a )
b−a
a −b
a a −b
< ln <
.
a
b
b

Giải: Xét hàm số f ( x) = ln x :
+ Xác định liên tục trên [b, a ] , khả vi trên ( b, a ) , hơn nữa f '( x) =
+ Khi đó tồn tại x0 ∈ (b, a ) : f ' ( x0 ) =

1
x

f (a ) − f (b) ln a − ln b
=
a −b
a −b

+ Ta có f ( x) = ln x là hàm đồng biến nên :

0 < b < x0 < a ⇔
+ Tức là

1 1 1
1
1
< < ⇔ < f '( x0 ) <
a x0 b
a
b

1 ln a − ln b 1
a −b
a −b
a−b
a a −b
<
< ⇔
< ln a − ln b <
⇔
< ln <
.

a
a −b
b
a
b
a
b
b

3.3. QUY TẮC L’HOSPITAL
Quy t c L’Hospital cho gi i h n d ng

0
:
0

Nếu f(x) và g(x) đều bằng 0 tại x = a và khả vi thì : lim
x →a

f ( x)
f ′( x)
= lim
.
g ( x) x →a g ′( x)