WWW toancapba net các dạng toán dùng đồ thị để KS ,vẻ đths, tiếp tuyến với tiệm cận, khoảng cách trong hàm số, đối xứng trong đồ thị

Nguyễn Đình Sỹ - ĐKSV
WWW.ToanCapBa.Net

Mt s bi toỏn thng v đồ thị hàm số
A. Tìm giao điểm hai đồ thị
Bài tốn : cho đồ thị C1 có phương trình là y=f(x),và đồ thị C2 có phương trình là :
y=g(x). Tìm giao điểm của C1 với C2.
Phương pháp giải :
Lập phương trình hồnh độ điểm chung : f(x)=g(x) (1)
Số ngiệm của phương trình (1) cho ta số hồnh độ giao điểm .Để tìm tung độ
các giao điểm ,ta thay các ngiệm của (1) vào y=f(x) hoặc y=g(x)
I. Cho C1:y=f(x) và C2 : y=g(x) Tìm giao của C1 với C2
1. Lập phương trình hồnh độ điểm chung :
F(x)=g(x)
2. Giải phương trình (1) ta có các ngiệm :x1,x2..
3. Các giao điểm là :M1(x1,f(x1)),M2(x2,,F(x2))...
Ví dụ :Bài 57-tr55 GT12NC
Cho C: y= 2 x3  3x 2  1 và P: y=g(x)=2x2+1 Tìm giao của C và P .
Giải :
: Phương trình hồnh độ điểm chung
2x3+3x2+1=2x2+1 � 2 x3  x 2  0 � x  0, x  
1
2

Ta có g(0)=1, g(- )=

1
2

3
1 3

Vậy Ccắt P tại 2 điểm M 1 (0,1), M 2 ( , )
2
2 2

II. Cho C : y=f(x) và C' : y=g(x,m) .Tìm m để C giao với C' tại n điểm : (Gỉa sử :
Tại hai điểm A,B . Đồng thời hai điểm đó thoả mẵn một điều kiện cho sẵn )
Phương pháp giải:
 Lập phương trình hồnh độ điểm chung :
F(x)=g(x,m) (1)


Tìm điều kiện của m để (1) có hai ngiệm phân biệt thuộc D (Tập xác định
của hàm số ) (*)

WWW.ToanCapBa.Net


Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net

Nguyễn §×nh

 Nếu A,B thoả mẵn điều kiện cho sẵn :
1. Tìm qũy tích trung điểm I của AB
�
�xI
�
�yI
�

�xI
a. Tìm toạ độ điểm I : �
�yI
�
�xI
�
�yI

 1
 2
 1
 2
 1
 2

 f ( m)
 g ( m)
a
 g ( m)
 f ( m)
b

�
m  h ( xI )  3 
�
�yI  g  h( xI )   4 

b. Bién đổi thành �

c. Kết luận sơ bộ : Khi m thay đổi I chạy trên đường (4)

d. Tìm giới hạn quỹ tích : Thay m từ (3) vào điều kiện (*), ta
được ( giả sử : x<, x>  )
e. Kết luận quỹ tích : Khi m thay đổi ,I chạy trên đường (4) ,bỏ
đi những điểm có hồnh đội �  ,  
2. Tìm độ dài đoạn thẳng AB
a. Với điều kiện (*),sẽ tồn tại A,B . Gọi A(x,y),B(x',y'). Thì
b.

AB 2  f (m)   x ' x    y ' y 
2

2

 5

 Tìm m để AB ngắn nhât,hoạc lớn nhất ,thì ta chỉ cần
khảo sát (5) để tìm GTNN,hoặc GTLN . Từ đó suy ra
m cần tìm
 Tìm m để AB=b .Ta chỉ việc giải phương trình : f(m) =
b ,suy ra m cần tìm
3. Tìm m để d: y=mx+b cắt (H) tại A,B ,nằm trên một nhánh hay
trên hai nhánh khác nhau

WWW.ToanCapBa.Net

2


Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV

WWW.ToanCapBa.Net

Nguyễn §×nh

a. Nếu A(x,y) ,B(x',y') nằm trên 1 nhánh ,thì x0
�
�m
�
af ( )  0
�

b. Nếu A,B nằm trên hai nhánh khác nhau thì : x<đ/k : a.f()<0. Từ đó suy ra m
4. Tìm m để hàm số bậc 3 cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt: Thì điều
�
�y '( x, m)  0
kiện là �
�yCD . yCT  0

 co 2n  . Để tìm CĐ,CT ta có thể làm như sau :
0

Bằng phép chia đa thức ta có : f(x,m) =y'(x,m)+Mx+N. Đường thẳng
đi qua hai điểm CĐ,CT là : y = Mx +N


Ngoai ra còn một số trường hợp khác. Tuỳ theo câu hoi
mà ta có các cách giải khác nhau

Ví dụ : Bài 65-tr58-GT12NC
a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y 

2x2  x  1
x 1

b) với giá trị nào của m đường thẳng y=m-x cắt đồ thị đă cho tại 2 điểm phân
biệt ?
c) Gọi AvàB là hai giao diểm đó .Tìm tập hợp các trung điểm M của đoạn thẳng
AB khi m biến thiên .
Giải :
a).Phương trình hồnh độ điểm chung :

2x2  x  1
 mx
x 1

� 2 x 2  x  1  ( x  1)(m  x)
� 3 x 2  (2  m) x  1  m  0 (có 2 ngiệm phân biệt khác 1)
�
  (2  m) 2  4.3(1  m) f 0
�� 2
�3.(1)  (2  m).1  1  m �0
�
m 2  8m  8 f 0
��
� m p 4  2 2vam f 4  2 2
2 �0
�

WWW.ToanCapBa.Net

3


Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net

Nguyễn §×nh

c). Gọi M là trung điểm của AB thì
�
�
2m
2m
�
x1  x2
xM 
x

�
M
�
�
�xM 
�
�
3

3
��
2 ��
�
�yM  m  xM
�y  m  2  m
�y  2m  2
M
M
�
�
�
3
3
�
Ta có : m=3xM-2 thay vào yM  3 xM  2  xM  2 xM  2 (3)

Do đó M chạy trên đường thẳng d : y=2x-2
Vì m p 4  2 2, m f 4  2 2 nên 3 xM  2 p 4  2 2,3xM f 4  2 2
�
62 2
�xM p
�
3
��
�x f 6  2 2
M
�
3
�

Vậy M chạy trên đường thăng d có phương trình là : y=2x-2 bỏ đi đoạn thẳng chứa
các điểm có hồnh độ thoả mãn

62 2
62 2
�x �
3
3

Một số bài tập áp dụng :
Bài 1.Bài 1.67-tr23-BGT12NC
x 2  3x  1
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y 
x

b) Với các giá trị nào của mthì đồ thị C cắt đường thẳng y=m tại 2 điểm phân biệt
AvàB
c) Tìm tập hợp trung điểm M của AB khi m thay đổi
2.(Bài 1.88-tr28-BTGT12NC )
Cho hàm số y 

x2
x 1

a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị H của hàm số đã cho ?
b) Chứng minh rằng với mọi m �0 , đường thẳng d: y=mx-3m cắt H tại 2 điểm
phân biệt ,trong đó ít nhất một giao điểm có hồnh độ lớn hơn2.
3. ( Bài 1.89-tr29-BTGT12NC )
x2  2x  3

a). Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số C : y 
b) Tìm các giá trị m sao cho
x2

đường thẳng y=m-x cắt C tại 2 điểm A,B
c) Tìm tập hợp các trung điểm M của đoạn thẳng AB khi m thay đổi
4. (Bài 191-tr29-BTGT12NC )

WWW.ToanCapBa.Net

4


Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net
Cho hm s y

Nguyễn Đình

2 x 2 3x 3
x 1

a) Khảo sát và vẽ đồ thị C của hàm số đã cho
b) Dựa đồ thị C ,biện luận số giao diểm của đường thẳng d : y=m(x+1)+3 và C,
tuỳ theo các giá trị của m
5(.Bài 11-tr46-GT12CB )
a) Khảo sát và vẽ đồ thị C của hàm số y 

x3

x 1

 C

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m ,đường thẳng y=2x+m luôn cắt C tại 2
điểm phân biệt M,N
c) Xác định m sao cho độ dài MN là nhỏ nhất
d) Tiếp tuyến tại một điểm S bất kỳ của C cắt hai tiệm cận của C tại P,Q. Chứng
minh rằng S là trung diểm của PQ
6. (Bài 1.29-tr22-BTGT12CB )
Cho hàm số y  x 3  (m  4) x 2  4 x  m (1)
a). Tìm các điểm mà đồ thị (1) đi qua với mọi giá trị của m
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đồ thị của hàm số (1) ln có cực trị
c).Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của (1) khi m=0
d) Xác định k để C cắt đường thẳng y=kx tại 3 điểm phân biệt
Bổ sung mọt số bài tập về giao hai đường :
Bài 1. Cho hàm số y 

x2  x 1
x 1

a) Khảo sát và vẽ đồ thị C
b) Tìm trên C những điểm cách đều trục 0x
c) Tìm m để đường thẳng d có phương trình y=m-x cắt C tại 2 điểm phan biệt .
Chứng minh rằng khi đó cả 2 điểm thuộc cùng một nhánh
Bài 2. Cho đồ thị C có phương trình y 

x3
x 1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C
b) Tìm m để đường thẳng d : y=2x+m cắt C tại 2 điểm M,N . Tìm m để MN ngắn
nhất
Bài 3. Cho hàm số y 

mx 2  3mx  2m  1
x2

Tìm m để đường thẳng d :y=m cắt đồ thị của hàm số đă cho tại hai điểm A,B sao
cho AB ngắn nhất

WWW.ToanCapBa.Net

5


Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net
Bi 4. Cho hm s y

Nguyễn Đình

(2m 1) x  m 2
(1)
x 1

a) Khảo sát và vẽ đồ thi hàm số khi m=-1
b) Tìm m để đồ thị (1) tiếp xúc với đường thẳng d : y=x (ĐHKD-2002 )
Bài 5. ( ĐHKA-2003 )

Cho hàm số y 

mx 2  x  m
(1)
x 1

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (1) khi m=-1
b) Tìm m để đồ thị (1) cắt trục 0x tại hai điểm phân biệt có hồnh độ dương
Bài 6. (ĐHKD-2003 )
x2  2x  4
a) Khảo sát và vẽ dồ thi hàm số y 
(1)
x2

b) Tìm m để d : y=mx+2-2m cắt đồ thị (1) tại hai điểm phân biệt
Bài 7. (ĐHKA-2004 )
Cho hàm số y 

 x 2  3x  3
(1)
2( x  1)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị C của (1)
b) Tìm m để đường thẳng d : y=m cắt đồ thị C tại hai điểm A,B sao cho AB=1
Bài 8. (ĐHKD-2004 )
Cho hàm số y  x3  3mx 2  9 x  1 (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ dồ thị hàm số khi m=2
b) Tìm m để điểm uốn của (1) thuộc đường thẳng d :y=x+1
Bài 9. (CĐCNHN-2005 )
x3

(1)
x2
1
b) Chứng minh đường thẳng d : y  x  m luôn cắt C tại hai điểm A,B. Tìm m để
2

a) Khảo sát và vẽ đồ thị C y 

AB nhỏ nhất
Bài 10.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y 

x2  2x  9
(C)
x2

b)Tìm m để đường thẳng d : y=m(x-5)+10 cắt C tại hai điểm phân biệt nhận điểm
A(5,10) làm trung điểm
Bài 11.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y  x3  6 x 2  9 x (C)

WWW.ToanCapBa.Net

6


Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net

Nguyễn §×nh

b) Tìm các đường thẳng đi qua M(4,4) và cắt C tại 3 điểm phan biệt
Bài 12. Cho hàm số y  x 2 (m  x)  m (1)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=0 ,đồ thị là C
b) Tìm m để đồ thị (1) cắt (P): y  x 2 tại 3 điểm phân biệt
II). Ưng dụng bài toán giao hai đồ thị để biện luận ngiệm của một phương trình
Bài tốn :
Cho đồ thị C có phương trình : y=f(x) .Dựa vào đồ thị C hẵy biện luận theo m số
ngiệm của phương trình : F(x,m)=0
Giải :
Ta biến đổi (1) thành một trong các trường hợp sau :
1. f(x)=m , hoặc f(x)=g(m)=k
2. f(x)=kx+m ( trong đó k là hằng số đẵ biết ,m là tham số
3. f(x)=f(m)
A) Trường hợp f(x)=m
- Kẻ một đường thẳng y=m song song với trục 0x vào đồ thị hàm số C
- Căn cứ vào vị trí tương đối của C và d : y=m ta biết đựơc số giao điểm
của C và d . Từ đó suy ra số ngiệm của phương trình
Ví dụ : (Bài 5.-tr44-GT12CB)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y   x 3  3x  1 (C)
b) Dựa vào đồ thị C ,biện luận theo m số ngiệm của phương trình
x3  3x  m  0

Giải :
Từ phương trình ta có :  x3  3x  1  1  m  k
.............................................................................
Hướng dẫn học sinh giải trên bảng
Một số bài tập tương tự :
Bài 1. (Bài 7-tr45-GT12CB)

a) Vẽ đồ thị C : y  x3  3x 2  1
b) Dựa vào đồ thị C ,biện luận số ngiệm của phương trình

WWW.ToanCapBa.Net

7


Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net
x3 3x 2 1

Nguyễn Đình

m
2

c) Vit phng trỡnh đường thẳng đi quađiểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị
C
Bài 2. (Bài 1.61-tr22-BTGT12NC)
Với giá trị nào của m phương trình 4 x3  3x  2m  3  0 có một ngiệm duy nhất
Bài 3. (Bài 1.68 -tr24-BTGT12NC)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số
f ( x) 

x2  x  1
x 1

b) Từ đồ thị C suy ra cách vẽ đồ thị hàm số

y

x2  x  1
x 1

c). Vứi giá trị nào của m thì phương trình
x2  x  1
 m có 4 ngiệm phân biệt
x 1

Bài 4. (Bài 1.26-tr21-BTGT12CB)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C y   x 3  3x  1
b) Chỉ ra phép biến hình biến C thành C" của hàm số
y  ( x  1)3  3 x  4

c) Dựa vào C',biện luận theo m số ngiệm của phương trình
( x  1)3  3x  m

d) Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị C', biết tiếp tuyến đó vng góc
x
9

với đường thẳng y    1
Bài 5.
a) Vẽ đồ thị C y 

x2  x  1
x 1

x2  x  1

b) Dựa vào đồ thị C nêu cách vẽ đồ thị C' y 
x 1

c) Dựa vào đồ thị C ,biện luận theo m số ngiệm của phương trình
x 2  (m  1) x  m  1  0

Bài 6.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

WWW.ToanCapBa.Net

8


Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net

Nguyễn §×nh

y  x3  6 x 2  9 x

b) Từ đồ thị C nêu cách vẽ đồ thị hàm số
3

y  x  6x2  9 x

c) Biện luận theo m số ngiệm của phương trình
3

x  6 x2  9 x  3  m  0

Bài 7.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
x2  x  1
y
(C)
x

b) Dựa vào đồ thị C .Biện luận theo m số ngiệm của phương trình
t 4  (m  1)t 3  3t 2  ( m  1)t  1  0

Bài 8(Bài 1.84tr27-BTGT12NC )
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C : y  x 4  4 x 2  3
b) Từ đồ thị C suy ra cách vẽ đồ thị C': y  x  4 x  3
c) Tìm các giá trị của m sao cho phương trình
x 4  4 x 2  3  2m  1  0 có 8 ngiệm
4

2

Chữa cho học sinh bài 1.91-tr29-BTGT12NC (Nêu cho học sinh thấy ,còn một
dạng nữa là f ( x)  m( x  x0 )  y0 với ( x0 , y0 ) là điểm cố định đã biết )
Cho hàm số y 

2 x 2  3x  3
(C)
x 1

a) Khảo sát và vẽ đồ thị C

b) Dựa vào đồ thị C,hẵy biện luận theo m số giao điểm của đường thẳng
y=m(x+1)+3 và đồ thị C
B) Trường hợp f(x)=kx+m với k là hằng số ,mlà tham số
-Viết phương trình các tiếp tuyến của C có hệ số góc là k (các tiếp tuyến này
song song với đường thẳng d : y=kx+m ) .Giả sử d': y=kx+n và d": y=kx+p
- Tìm giao của d' vàd" với trục 0y : E(0,n) và F(0,p)
- Kẻ một đường thẳng bất kỳ y=kx+q (q tuỳ ý ) nó cắt 0y tại H(0,q)
- Dựa vào vị trí tương đối của H so với 2 điểm E,F ta suy ra được số giao
diểm của d và đồ thị C .Từ đó suy ra số ngiệm của phương trình
Chữa cho học sinh bài : ( Ví dụ 2.tr21-GT12CB)

WWW.ToanCapBa.Net

9


Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net

Nguyễn §×nh

Biện luận theo m số ngiệm của phương trình
2x2  2 x  3
 xm
x 3

Ap dụng :( Bài 1.28-tr22-BTGT12CB)
Biện luận theo k số ngiệm của phương trình
2

a) ( x  1)  2 x  k
b) ( x  1) 2 (2  x)  k
Bài 2.
a)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
y

x 2  3x
(C)
x 1

b) Dựa vào đồ thị C ,biện luận theo m số ngiệm của phương trình
x 2  (1  m) x  m  0 �

x 2  3x
 2x  m
x 1

Bài 3.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y  x 

1
x2

b) Dựa vào đồ thị C ,biện luận theo m số ngiệm của phương trình :
4tg 2 x  (8  m)tgx  1  2m  0 � x 

1
 2 x  m
x2

Bài 4.
a).Khảo sát và vẽ đồ thị C y 

x2  2x  2
x 1

b) Dựa vào đồ thị C ,biện luận theo m số ngiệm của phương trình :
x2  2 x  2 3
 xm
x 1
4

Bài 5.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C y  9  x 2
b) Dựa vào C ,biện luận theo m số ngiệm của phương trình
9  x 2  mx  4m  3  0

C. Trường hợp f(x)=f(m)
Cách 1
f ( x )  f ( m) � f ( x )  f ( m )  0 � ( x  m ) g ( x , m )  0

WWW.ToanCapBa.Net

10


Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net

Nguyễn §×nh

Trong đó g(x,m)=0 là một hàm số bậc hai . Vì vậy việc biện luận số
ngiệm của phương trình khơng có gì khó
Cách 2:
-Giả sử đồ thị C có điểm cực đại M(x 1 ,y1 ) và điểm cực tiểu N ( x2 , y2 )
- Đặt k=f(m) và giải các phươnh trình f(m)= y1 , f (m)  y2 � m1 , m2 ...
- Dựa vào đồ thị C và vị trí của d :y=m (song song với trục 0x) ta có các
bất phương trình :
F(m)>m1 ,f(m)<m1 hoặc f(m)>m2,f(m)- Từ đó suy ra kết quả cần tìm
Ví dụ (ĐHKA-2002)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số C
y   x3  3 x 2

b) Biện luận theo k số ngiệm của phương trình
 x 3  3 x  k 3  3k 2  0 (1)
2

Giải :
Cách 1: Từ (1) ta có
xk  0
�
(k  x) �
x 2  (k  3) x  k 2  3k �
�
� 0 � �x 2  (k  3) x  k 2  3k  0(2)
�
2
2

(2) có   (k  3)  4( k  3k )  3( k  3)( k  1)
 �0 � 1 �k �3
Do đó :
 f 0 � k p 1, k f 3

Vậy :- phương trình có 2 ngiệm
�k  0
�g (k )  k 2  (k  3)k  k 2  3k  0
� 3k (2  k )  0
�
��
��
��
k  1
(k  2)( k  1)  0
�
�   3(k  3)(k  1)  0
�k  2
�

- Phương trình có 3ngiệm
�
g (k ) 0
k 0, k 2
�
��
�
�1  k  3
�  0
- Phương trình có 1 ngiệm : �   0 � k  1, k  3

Cách 2 :
Khi khảo sát vẽ đồ thị hàm số ta có điểm cực tiểu M(0,0) và điểm cực đại N(2,4)
Do đó ta có các phương trình
�k 3  3k 2  0
�k  0, k  3
��
� 3
2
k  1, k  2
3k  3k  4
�
�

Nếu tráo đổi vai trị y=m , và x=k . Ta có bảng biến thiên
k

-1

0

2

WWW.ToanCapBa.Net

3

11

Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net

m

4

0

4

Nguyễn §×nh

0

Căn cứ vào bảng ta có kết quả như trên
Một số bài tập tương tự :
Bài 1 .
a) Khảo sát vẽ đồ thị C y  4 x 3  3 x
b) Biện luận theo m số ngiệm của phương trình
4 x3  3x  4m3  3m

Bài 2
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số : y  ( x  1)2 (2  x)
b) Biện luận theo m số ngiệm phương trình :
( x  1) 2 (2  x)  (m  1) 2 (2  m)

Bài 3
a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số

y  x

9
x2

b) Biện luận theo m ngiệm của phương trình
x

9
9
 m2  2
x2
m 2

B. BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN (HAY BÀI TOÁN TIẾP XÚC )

 Định nghĩa : Giả sử hai hàm số f và g có đạo hàm tại điểm x0. Ta nói rằng
hai đường cong y=f(x) và g(x) tiếp xúc nhau tại điểm M(x0,y0),nếu M là
điểm chung của chúng và hai đường cong có tiếp tuyến chung tại M. Điểm
M được gọi là tiếp điểm của hai đường cong đã cho

WWW.ToanCapBa.Net

12


Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net

Nguyễn §×nh

 Nghĩa là :Nếu hai đường cong tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ sau có
�f ( x)  g ( x)
và ngiệm của hệ là hoành độ tiếp điểm của hai
�f '( x)  g '( x)

nghiệm �

đường cong đó

Một số dạng thường gặp

Dạng 1:
a) Bài tốn : Cho đồ thị C có phương trình y=f(x) và một điểm M ( x0 , y0 ) . Viết
phương trình tiếp tuyến của C tại điểm M
b) Phương pháp giải :
1. Tính f'(x) � f '( x0 )
2. Phương trình tiếp tuyến là : y  y0  f '( x0 )( x  x0 )
Trong đó x0 , y0 là toạ độ của diểm M
Ví dụ : (Bài 1.62-tr22-BTGT12NC)
1
4

Cho hai hàm số f(x)=  x 2  x 

1
và g(x)= x 2  x  1
4

a) Chứng minh đồ thị f(x) và đồ thị g(x) tiếp xúc nhau tại điểm A có hồnh
độ bằng 1
b) Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị tại điểm A(d)
c) Chứng minh rằng đồ thị của f nằm phía dưới d cịn đồ thị g nằm phía trên
d
Bài giải :
Xét hệ

1
�1 2
� 2
(2 x  1)
2
�2
2

x

x


x

x

1
x

4
x


1

4
 0(1)

x

4
x

1

4
x

x

1
�
�
�
4
�4
�
�
2 x
��
� 1
2x 1 � �

2
2x 1
�  x 1 
� x  x 1 
� x 2  x  1  2 x  1 (2)
2 x
�
�
2 x
�
2 x2  x  1
� 2
Từ (1) x3  6 x 2  x  6  0 � ( x  6)( x 2  1)  0 � x  1, x  1, x  6

WWW.ToanCapBa.Net

13


Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net

Nguyễn §×nh

Ta có g(-1)= 3 ,g'(-1)=  3 . g(1)=1, g'(1)=1. g(6)=6 , g'(6)=

11
6

Vậy : Tiếp tuyến tại M(-1, 3 ) có phương trình là
y- 3 =- 3( x  1) � y   3 x
 Tiếp tuyến tại N(1,1) có phương trình
y-1=(x-1) � y  x
 Tiép tuyến tại E(6,6) có phương trình
y6 

11
11
( x  6) � y  x  5
6
6

Chú ý : chữa cho học sinh bài 79-tr63-GT12NC
Cho hàm số : y  x 

1
có đồ thị C
x

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C
b) Tiếp tuyến của đường cong C tại điểm M( x0 , f ( x0 ) ) cắt tiệm cận đứng và tiệm
cận ngang tại A,B. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn thẳng AB và tam
giác OABcó diện tích khơng phụ thuộc vào vị trí của điểm Mtrên đường cong C
Một số bài tập áp dụng :
Bài 1. (ĐHKB-2004 )
1
3

a) Vẽ đồ thị C có phương trình : y  x 3  2 x 2  3x

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C tại điểm uốn,chứng minh rằng hệ số
góc của tiếp tuyến tại điểm uốn là nhỏ nhất .
Bài 2.
2 x 2  mx  m
Cho đồ thị Cm : y 
(1)
x 1

Tìm m để đồ thị (1) cắt trục 0x tại A,B sao cho tiếp tuyến tại A và B vng góc
nhau .
Bài 3.
Cho đồ thị C có phương trình y 

x 2  2 x  15
(1)
x3

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C .
b) Viết phương trình tiếp tuyến của C tại các giao điểm của C với trục 0x (A vàB)
Dạng 2 .

WWW.ToanCapBa.Net

14


Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net

Nguyễn §×nh

Bài tốn : Cho đồ thị C có phương trình y=f(x) và đường thẳng cố định d :
y=kx +m (trong đók,m là các hằng số đã biết ). Viết phương trình tiếp tuyến
của C biết tiếp tuyến này
 Song song với đường thẳng d
 Vng góc với đường thẳng d
Phương pháp giải :
1. Tính đạo hàm f'(x)
�f '( x )  k � d '// d
�
2. Giải phương trình �
(nếu gọi d' là tiếp của C )
1
f '( x)  � d '  d
�
k
�
3. Tính giá trị : y1  f '( x1 ), y2  f '( x2 )... (với x1 , x2 là các ngiệm của

phương trình trên )
Viết phương trình d' : d '1; y  y1  f '( x1 )( x  x1 )...
Ví dụ : (CĐNL-2003 )
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C : y  x 3  3x
b) Viết phương trình các tiếp tuyến của C biết rằng các tiếp tuyến này song song
với đường thẳng d : y=3x+2
( Chữa cho học sinh trên bảng . Đáp số y  3x  4 2, y  3 x  4 2 )
MỘT SỐ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1 (ĐHKD-2005 )
1

3

Cho hàm số y  x 3 

m 2 1
x  (Cm )
2
3

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C khi m=2.
b) Gọi M là điểm thuộc đồ thị Cm có xm  1 . Tìm m để tiếp tuyến của Cm tại M //
với đường thẳng d :5x-y=0
Bài 2

Cho hàm số y 

x 2  3x  3
(C)
x2

a) Khảo sát ặ biến thiên và vẽ đồ thị C
b) Viết phương trình các tiếp tuyến của C biết rằng các tiwps tuyến nằy vng góc
với đường thẳng d' :3y-x+6=0

WWW.ToanCapBa.Net

15


Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số

Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net

Nguyễn §×nh

Bài 3
Cho đồ thị Cm ; y 

4  mx  3 x 2
(1)
4x  m

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C khi m=0
b) Tìm m để tiếp tuyến của Cm tại điểm có x=0 vng góc với tiệm cận
Bài 4
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C y  x 3  3 x 2  2
b) Viết phương trình các tiếp tuyến của C ,biết rằng các tiếp tuyến này vuông góc
với d :5y- 3x +2 =0
Bài 5
Cho hàm số y 

2 x 2  mx  m
(Cm ) (1)
x 1

Tìm m để đồ thị (1) cắt 0x tại hai điểm A,B sao cho tiếp tuyến tại A và B vng
góc nhau
Bài 6 (KTQD-2001 )
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C : y 

x 1
x3

b) Viết phương trình các tiếp tuyến của C biết rằng các tiếp tuyến này vng góc
với đường thẳng d : y= x+2001
Bài 7
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C : y 

2x2  7 x  7
x2

b) Viết phương trình các tiếp tuyến của C biết rằng các tiếp tuyến nằy// với đường
thẳng d :y=x+4
Bài 8
a) Vẽ đồ thị C: y 

x2  2x  3
x 1

b) Viết phương trình các tiếp tuyến của C, biết các tiếp tuyến này // với đường
thẳng d: y=-x
Dạng 3

WWW.ToanCapBa.Net

16


Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV

WWW.ToanCapBa.Net

Nguyễn §×nh

Bài tốn : Cho đồ thị C có phương trình : y=f(x) và một điểm M ( x0 , y0 ) (M là bất
kỳ , dù nằm trên C hay khơng nằm trên C cũng được ) .Có một số cách hỏi như sau
:
 Viết phương trình các đường thẳng đi qua M và tiếp xúc với C
 Từ M kẻ đựơc bao nhiêu tiếp tuyến tới đồ thị C
 Viết phương trình các tiếp tuyến của C biết các tiếp tuyến này đi qua M
 Có bao nhiêu tiếp tuyến của C kẻ từ M
 ............(có một số cách nói khác nữa ...)
Phương pháp giải :
a. Gọi d là đường thẳng đi qua M có hệ số góc k (chưa biết ) thì d có
phương trình là : y  k ( x  x0 )  y0
�f ( x)  k ( x  x0 )  y0 (1)
f '( x )  k (2)
�
c. Thay (2) vào (1) ta có : f ( x)  f '( x)( x  x0 )  y0 (3) (ẩn là x ) và giải
(3) ta thu đựơc các ngiệm : x1 , x2 ...xi

b. Để d tiếp xúc C thì hệ sau có ngiệm �

d. Thay

các

ngiệm

của

(3)

vào

(2)

ta

có

k1  f '( x1 ), k2  f '( x2 )...ki  f '( xi )
e. Thay k1 , k 2 ,....ki vào phương trình của d ta có : di : y  ki ( x  x0 )  y0

;

Ví dụ : (TN-2003-2004)
1
3

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y  x3  x 2 (C)
b) Viết phương trình các tiếp tuyến của C đi qua A(3,0)
Giải :
Đường thẳng đi qua A có hệ số góc là k. d có phương trình là
Y=k(x-3) (1)
Để d là tiếp tuyến của C thì hệ phương trình sau có ngiệm
�1 3
2
� x  x  k ( x  3)(2)
�3

2
�
� x  2 x  k (3)
�x  0
�x  3

3
2
2
2
Thay (3) vào (2) ta có : x  3x  3( x  2 x)( x  3) � 2( x  3) x  0 � �

Với x=0 thay vào (3) ta được k=0 do đó d : y=0 (Từ (1) )
Với x=3 thay vào (2) ta có k=3 .Do đó d : y=3(x-3)=3x-3
Vậy ,từ A có 2 tiếp tuyến kẻ đến C
Một số bài tập tương tự :

WWW.ToanCapBa.Net

17


Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net

Nguyễn §×nh

Bài 1.
1

2

a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y  x 4  3 x 2 

3
(C)
2

b) Viết phương trình các tiếp tuyến của C tại điểm uốn
c) Viét phương trình các tiếp tuyến của C đi qua A(0,3/2)
Bài 2 (Đề 96-BĐTTS )
x2  2x  2
(C)
x 1
x2  2 x  2
b) Từ C nêu cách vẽ đồ thị C' : y 
(1)
x 1

a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số : y 

c) Viêt phương trình các tiếp tuyến của C' kẻ từ điểm A(3,0)
Bài 3 (ĐHTN-KA-2001 )
x 2  3x  6
a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y 
(C)
x 1
x 2  3x  6
y


b) Từ C nêu cách vẽ đồ thị C':
x 1

c) Qua O kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến C. Tìm toạ độ tiếp điểm nếu
có
Bài 4 (ĐH An Giang K.A+B-2001 )
a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số : Y  x 4  x 2  1 (C)
b) Tìm các điểm trên trục 0y từ đó kẻ được đúng 3 tiếp tuyến đến C
Chú ý :
Chữa đề thi của Đại Học Cần Thơ Khối A+B -2001 cho học sinh
x 2  3x  2
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y 
(C)
x

b) Tìm trên đường thẳng x=1 những điểm mà từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến đến đồ thị
C
Giải : b)
Gọi M là điểm thuộc đường thẳng x=1, d là đường thẳng đi qua M có hệ số góc là
k. d có phương trình là : y= k(x-1)+m ( với M(1,m) )
Để d là tiếp tuyến của C thì hệ sau có ngiệm.

WWW.ToanCapBa.Net

18


Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net

Nguyễn §×nh

�x 2  3 x  2
 k ( x  1)  m(1)
�
� x
�
x2  2
�
 k (2)
�
x
�
x 2  3x  2 �x 2  2 �
� 2 �
( x  1)  m
Thay (2) vào (1) ta có
x
x
�
�
� x ( x 2  3 x  2)  ( x 2  2)( x  1)  mx 2
� g ( x, m)  (2  m) x 2  4 x  2  0 (3)

Để từ M kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến C thì phương trình (3) có đúng 2 ngiệm
phân biệt
 '  4  2(2  m)  0
�
��

(2  m) g ( x, m)  (2  m)(2) �0
�
�2m  0
�m  0
��
Do đó � �
(*)
2  m �0
m �2
�
�

Vậy trên đường thẳng x=1 .Tập hợp các điểm có tung độ nhỏ hơn 0 (m<0) bỏ đi
điểm (1,-2) thì từ đó kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến C
Bài tập tương tự :(Học sinh về nhà tự làm )(ĐHSP -Hải Phòng KA-2001)
a) Vẽ dồ thị C : y   x3  3 x 2  2
b) Tìm trên đường x=2 những điểm mà từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến
đến C
Bài tập về nhà :
Bài 1.(ĐHXD-2001)
Có bao nhiêu tiếp tuyến của C : y  x ln x đi qua điểm M(2,1)
Bài 2.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị C : y  x 3  3x 2  3
�23
�9

�
�

b) Viết phương trình các tiếp tuyến của C đi qua M � , 2 �

Bài 3(ĐHNNI-2001)
a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số : y 

x2  2x  1
(C)
x 1

b) Tìm trên trục 0y những điểm mà từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến đến C

C.Sự tiếp xúc của hai đường cong

WWW.ToanCapBa.Net

19


Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net

Nguyễn §×nh

Bài tốn 1:
Cho 2 đường cong có phương trình C :y=f(x) và C' :y=g(x) .Chứng minh rằng C
và C' tiếp xúc nhau tại M.Tìm toạ độ điểm M. Viết phương trình tiếp tuyến chung
của C và C' tại M
Phương pháp giải :
 Hoành độ tiếp điểm của 2 đường cong là ngiệm của hệ :
�f ( x)  g ( x)
�

�f '( x)  g '( x)

 Giải hệ ta có M( x0 , y0 )
 Hệ số góc của tiếp tuyến chung tại M là k= f '( x0 )
 Tiếp tuyến chung tại M có phương trình :y=f'( x0 )( x  x0 )  y0
Ví dụ :(Bài 59-tr56-GT12NC)
Chứng minh rằng các đồ thị của 3 hàm số : f ( x)   x 2  3x  6, g ( x)  x 3  x 2  4 và
h( x)  x 2  7 x  8 tiếp xúc nhau tại điểm A(-1,2) (tức là chúng có tiếp tuyến chung
tại A)
Giải :
�
 x 2  3x  6  x 2  7 x  8
Xét hệ : �
� 2 x  3  2 x  7
�
2( x  1) 2  0
��
� x  1
�4( x  1)  0

Thay x=-1 vào f(-1)= (1)3  (1) 2  4  2 = toạ độ điểm A
Chứng tỏ 3 đường cong tiếp xúc nhau tại A
Ta có tiếp tuyến chung tại A là d thì hệ số góc của d là f'(-1)=-2(-1)+3=6 . Do đó d
có phương trình là :y=6(x+1)+2 =6x+8
Bài tập tưng tự
Bài 1 (Bài 60-tr56-GT12NC )
Chứng minh rằng các đồ thị của 2 hàm số f ( x) 

x2 3
3x

 x, g ( x) 
tiếp
2 2
x2

xúc với nhau .Xác định tiếp điểm của 2 đừng cong trên và viết phương trình
tiếp tuyến chung của chúng tại điểm đó
Bài 2. (Bài 78-tr63-GT12NC )
a) Vẽ đồ thị P : y  x 2  x  1 và đồ thị H của hàm số y 

WWW.ToanCapBa.Net

1
x 1

20


Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net

Nguyễn §×nh

b) Tìm giao của 2 đường cong .Chứng minh rằng hai đường cong đó có tiếp
tuyến chung tại giao điểm của chúng
c) Xác định các khoảng trên đó P nằm phía trên hoặc phía dưới H
Bài 3 (Bài 1.64-tr23-GT12CB)
Chứng minh C có phương trình y  x 2  3x  1 tiếp xúc với C' :
 x2  2x  3

y
x 1

Viết phương trình tiếp tuýen chung của 2 đương cong tại tiếp điểm của
chúng
Bài 4. (Bài 1.87-tr28-BTGT12CB)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y 

x4
(H)
x2

b) Chứng minh rằng P có phương trình y  x 2  2 tiếp xúc với H. Xác định
tiếp điểm và viết phương trình tiếp tuyến chung của H và P tại điểm đó
c) Xét vị trí tương đối của P và H (Tức là xác định mỗi khoảng trên đó P
nằm phía trên hoặc phía dưới H )
Bài tốn 2
Cho đồ thị C có phương trình y=f(x). Lập phương trình P đi qua các điểm cực trị
của hàm số f(x) và tiếp xúc với đương thẳng d : y=Ax+B (đường thẳng này cho
sẵn )
Phương pháp giải :
Gọi điểm cực đại của C là M  x0 , y0  và điểm cực tiểu là N  x1 , y1  . (P) cần
lập có phương trình là :y=ax2+bx+c
1. (P) qua M � y0  ax0 2  bx0  c (1)' và (P) qua N � y1  ax12  bx1  c (2)'
2. (P) tiếp xúc d thì hệ sau có ngiệm
�
ax 2  bx  c  Ax  B (1)
�f ( x)  Ax  B
��
�

� f '( x)  A
� 2ax  b  A(2)
Ab
3. Từ (2) ta có x 
thay vào (1)
2a
Ab 2
�A  b �
�A  b �
)  b�
a(
� c  A �
� B (3)
2a
� 2a �
� 2a �

Thay : c= y0  ax0 2  bx0 và b= y1  ax12  c / x1 từ (1)' và (2)' vào (3) ta được
h(a)=0 gỉai ta suy ra a sau đó thay ngược lại vào (1)' và (2)' ta tìm được b và c
Ví dụ ( Ví dụ 1 -tr20-BTGT12CB )

WWW.ToanCapBa.Net

21


Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net

Nguyễn §×nh

a) Viết phương trình (P) dạng y  ax 2  bx  c đi qua các điểm cực đại ,cực tiểu của
đồ thị C : y  x 3  3 x 2  4 và tiếp xúc với đường thẳng d : y=-2x+2
5
3

b) Viết phương trình tiếp tuyến của C song song với đường thẳng d' : y   x  1
Giải :
b) Từ a) ta tìm được điểm cực đại và điểm cực tiểu là M(0,4 ),N(2,0)
-(P) qua M(0,4) : c=4 (1)
-(P) qua N(2,0) :4a+2b+c=0 (2)
- Từ (1) và (2) ta suy ra b=-2a-2 (3) .Thay vào (P) : y  ax 2  2(a  1) x  4 (a
�0 )
- Để (P) tiếp xúc d thì hệ sau có ngiệm
�
ax 2  2(a  1) x  4  2 x  2(4)
Thay (5) : x  1 vào (4) ta có a=2 từ (3) có
�
� 2ax  2(a  1)  2(5)

b=-6
Vậy (P) có phương trình là : y  2 x 2  6 x  4
Học sinh áp dụng giải đề thi ĐHSP I HN-KD-99
Cho hàm số y  x 3  3mx 2  (m 2  2m  3) x  4 (1)
a) Khảo sát vẽ đồ thị C khi m=1
b) Viết phương trình (P) đi qua 2 điểm cực trị của C .
c) Tìm m để (1) có cực đại ,cực tiểu đồng thời 2 điểm cqcj trị này nằm về 2
phía của 0y
Bài tập tương tự :

Bài 1 (ĐH An Ninh -99)
Cho hàm số : y 

x 2  mx  m  8
(1)
x 1

a) Khảo sát vẽ đồ thị C khi m=-1
b) Viết phương trình (P) đi qua 2 điểm cực đại ,cực tiểu của đồ thị C và tiếp
xúc với đường thẳng d :y=2x-10
c) Tìm m để (1) có cực đại ,cực tiểu nằm về 2 phía của d' : 9x-7y-10=0
Bài 2 (ĐHAN-KD-98 )
a) Khảp sát vẽ đồ thị C : y 

x2
x 1

b) Viết phương trình (P) đi qua 2 điểm cực đại ,cực tiểu của đồ thị C và tiếp
xúc với đường thẳng d : y= 

1
2

WWW.ToanCapBa.Net

22


Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV

WWW.ToanCapBa.Net

Nguyễn §×nh

Bài 3 (ĐH Tây Nguyên KA-99 )
1
3

a) Khảo sát vẽ đồ thị C : y  x3  x 

2
3

b) Viết phương trình (P) đi qua 2 điểm cực đại ,cực tiểu của C và tiếp xúc với
đường thẳng d : y 

4
3

Nhắc nhở học sinh về một dạng bài tập sau :

Bài 1 (ĐHDHN-2001 )
Tìm m để hàm số y  x 2  3x 

m
 3 có 3 điểm cực trị , khi đó CM 3 điểm cực trị
x

đó nằm trên (P) : y  3( x  1)2
Cách giải :

Điều kiện để hàm số có 3 cực trị là :
m
�
y  x 2  3x   3(1)
�
�
3
có 3 ngiệm khác 0
�
�y '  2 x  3  m  0(2)
�
x2
Từ (2) ta có g(x)= 2 x3  3x 2  m (3)
Xét g'(x)= 6 x 2  6  0 � x  �1

Ta có bảng
�
x
-1
1
g'(x)
+
0
0
+
g(x)
-5
-1
Căn cứ vào bảng ta thấy ,để hàm số có 3 cực trị thì -5Khi đó từ (3) thay vào (1)

y  x 2  3x 

�

+

2 x3  3x 2
 3  3( x  1) 2 Đó chính là phương trình (P) . Nghiã là 3 điểm
x

cực trị nằm trên (P)
Bài 2
Chứng minh rằng mọi điểm cực trị của hàm số :
y

4

x
 x 3  3 x 2  8 x nằm trên (P) cố định . Viết phương trình (P) cố định đó
4

WWW.ToanCapBa.Net

23


Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net

Nguyễn §×nh

Bài tốn 3
Cho họ Cm có phương trình y= f(x,m) (1) trong đó m là tham số . Tìm phương
trình đương (L) cố định tiếp xúc với họ Cm
Dạng 1 : tiếp tuyến cố định của họ Cm , t ại một điểm cố định
 Giả sử (1) có điểm có định A( x0 , y0 )
 Hệ số góc của tiếp tuyến tại A: f'(x) không phụ thuộc vào m
 Họ (1) có chung một tiếp tuyến là :y- y0  f '( x0 )( x  x0 )
Ví dụ : (ĐHQG-A-96 )
Cho hàm số y 

2 x 2  (1  m) x  1  m
(m �1) (1)
x  m

CM rằng (1) luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định tại một điểm cố định
Cách giaỉ :
Tìm điểm cố định :
Gọi A( x0 , y0 ) là điểm cố định mà với mọi m đồ thị (1) luôn đi qua .

2 x0 2  (1  m) x0  1  m
m
Ta có : y0 
 x0  m

� (m  x0 ) y0  2 x02  (1  m) x0  1  mm

� ( x0  y0  1)m  2 x0 2  x0  1  x0 y0m
�

�y   x0  1
� x0  y0  1  0
� �0
�� 2
Vậy điểm cố định A(-1,2)
2
(
x

1)

0
2
x

x

1

x
y

0
0
�
� 0
0
0 0
Tính đạo hàm số tại A

 m  2m  1
2 x 2  4mx  m 2  2m  1
� f '(1, m) 
 1 ( Khônh phụ
F'(x,m)=
2
(  x  m)
(1  m)2
2

thuộc vào m ) Do đó đường thẳng d :y=-x+1 là đường thẳng cố định tiếp xúc với
(1) tại A cố định
Cách khác :
Nếu (1) tiếp xúc với d cố định khi và chỉ khi hệ sau có ngiệm với mọi m

WWW.ToanCapBa.Net

24


Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net

Nguyễn §×nh

�
2 x 2  (1  m) x  1  m
y  f ( x, m) 
(1)

�
�
x  m
Khử m từ (1) và (2) ta có pt của d
�
d ( f ( x, m))
�
 0(2)
�
dm

y(m  x)  2 x 2  (1  m) x  1  m
� ( y  x  1)m  2 x 2  x  1  xy Lấy đạo hàm 2 vế theo biến
Từ (1) :

m ,Ta có

Y+x-1=0 . Nghĩa là y=-x+1 Chính là phương trình của d
Dạng 2 : Cho biết dạng của đường cong (L) : y=g(x)
 Nếu (L) là đường thẳng : y=ax+b
 Nếu (L) là parabol : y=ax2+bx+c
�f ( x, m)  g ( x )
có ngiệm
�f '( x, m)  g '( x )

 Vậy nếu f(x,m) tiếp xúc với (L) thì : �
Ví dụ : (ĐHTN-KA+B-2001 )
Cho hàm số y 

2m 2 x 2  (2  m 2 )( mx  4)

(1)
mx  1

a) Khảo sát và vẽ đồ thị C khi m=1
b) CM rằng m �0 , tiệm cạn xiên của đồ thị (1) luôn tiếp xúc với một (P)
cố định
Cách giải :
Bằng phép chia đa thức ta tìm được tiệm cận xiên có phương trình là :
y  2mx  m 2
Gọi (P) có phương trình : y  ax 2  bx  c (a �0)
Tiếp tuyến của (P) tại M( x0 , y0 ) là d : y  (2ax0  b)( x  x0 )  ax0 2  bx0  c
� y  (2ax0  b) x  ax0 2  c (2)

Để tiệm cận xiên tiếp xúc (P) thì ta buộc cho tiệm cận xiên trùng với tiếp tuyến d
�2ax  b  2m(3)
2m  b
� � 20
(a �0) Thay vào (4) ta có :
Từ (3) � x0 
2
 ax0  c  m (4)
2a
�
2

�2m  b �
2
a�
� c  m (m)
� 2a �

� 4(1  a) m2  4mb  b 2  4 ac  0(m)

WWW.ToanCapBa.Net

25