Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN - SỬ DỤNG SƠ ĐỒ PHÂN TÍCH ĐI LÊN TRONG CHỨNG MINH HÌNH HỌC 8 VÀ 9

1. Phần mở đầu
1.1. Lý do chọn đề tài:
Trong giai đoạn hiện nay thì đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài trên mọi lĩnh
vực khoa học là chiến lược cơ bản của nền giáo dục đất nước. Sự phát triển của
khoa học tự nhiên đặt nền móng cho tốn học phát triển ngày càng vững chắc. Vì
vậy dạy tốn ở trường THCS ngoài việc cung cấp kiến thức cho học sinh, chúng ta
phải chú trọng dạy cho học sinh phương pháp nghiên cứu, tìm tịi phát triển tri thức
một cách sáng tạo và dạy cho học sinh cách tự học là cơ bản. Chính vì lẽ đó mà các
nhà khoa học, giáo dục đã và đang nghiên cứu đổi mới, cải tiến phương pháp dạy
nhằm nâng cao chất lượng dạy học.
Để dạy toán theo phương pháp đổi mới hiện nay, quá trình dạy và học phải lấy
học sinh làm trung tâm. Người Thầy cần phải thực hiện phương pháp dạy chủ động
với phương châm: “ Đến cái gì học sinh nói được, viết được, làm được thì giáo
viên khơng nói, khơng viết, khơng làm thay tiến tới dạy cho học sinh biết tích cực
chủ động sáng tạo phát triển năng lực học tự học tự rèn luyện”. Người Thầy có một
kiến thức sâu rộng chưa đủ mà phải thường xuyên đổi mới phương pháp dạy, tìm
ra những cách hướng dẫn cho học sinh tự học có hiệu quả qua từng bài giảng của
mình trên lớp. Để đạt hiệu quả cao trong dạy học người thầy phải biết kết hợp
nhiều phương pháp dạy học phối hợp với nhau.
Trong chương trình tốn học bậc THCS, phân mơn hình học chiếm một vị trí vơ
cùng quan trọng. Ở phân mơn này, các hoạt động trí tuệ của học sinh khi lĩnh hội
và sử dụng kiến thức thường diễn ra rất nhanh. Vì vậy người thầy cần dạy cho học
sinh nhận thức được các thao tác cấu thành hành động phát hiện và lĩnh hội kiến
thức. Cùng với sự tích lũy thường xuyên theo thời gian, khi các kiến thức hình học
đã trở thành “trực quan” và “hiển nhiên” trong tư duy của học sinh thì các thao tác
trí tuệ sử dụng các kiến thức ấy có những bước “nhảy vọt” và “thu gọn”. Tình hình
đó thể hiện khi học sinh đi tìm tịi lời giải cho các bài tốn hình học, nhất là dạng
tốn chứng minh. Do đó việc hình thành cho học sinh các kĩ năng phân tích, lập
luận có căn cứ để xác định đúng phương pháp giải, tìm ra nhanh nhất con đường
cần đi đến đích có vai trị rất quan trọng.
Trong thực tế giảng dạy bậc THCS, tôi nhận thấy nhiều học sinh khá, giỏi toán

nhưng vẫn chưa thực sự hứng thú với phân mơn hình học. Bởi đây là một mơn học
địi hỏi trí tưởng tượng cao, khả năng tư duy logic chặt chẽ và sự sáng tạo lớn. Một
thực tế đặt ra là dù học sinh thuộc lí thuyết nhưng các em vẫn rất lúng túng và mất
nhiều thời gian khi giải bài toán. Bởi các em cịn thiếu các kĩ năng phân tích đề bài,
xác định hướng đi, cách chọn lọc những kiến thức liên quan cần vận dụng. Nhiều
thầy cô giáo cũng mới chỉ cung cấp cho các em những cơng cụ giải tốn hình học
như dạng bài tốn, phương pháp giải, kiến thức cần vận dụng…mà không rèn cho
các em cách sử dụng các cơng cụ đó như thế nào cho đủ, đúng và nhanh nhất,
không mắc sai lầm đi vào ngõ cụt trong quá trình tư duy.
Qua nhiều năm trực tiếp giảng dạy, tơi nhận thấy phương pháp “phân tích đi
lên” là một phương pháp rất hay giúp học sinh có kĩ thuật tìm được lời giải bài
1


tốn hình nhanh chóng, chặt chẽ và có hiệu quả. Nhờ phương pháp này mà học
sinh sẽ xác định được thao tác tư duy cần bắt đầu từ đâu, kết thúc ở đơn vị kiến
thức nào, cách trình bày lời giải cũng rõ ràng, chặt chẽ hơn, mức độ thành công
cũng cao hơn. Người thầy, với việc sử dụng phương pháp này cũng sẽ tạo ra một
tác phong sư phạm mẫu mực, một cách truyền đạt lôi cuốn học sinh làm cho giờ
dạy sinh động và hấp dẫn.
Trong đó dạy học theo sơ đồ phân tích đi lên thực sự có hiệu quả trong việc giúp
học sinh tự học, tự nghiên cứu, nó là cơng cụ sắc bén cho việc tìm tịi lời giải bài
tốn, nó giúp học sinh tìm ra con đường đi tới đích của vấn đề đặt ra.
Dựa vào sơ đồ phân tích đi lên trong chứng minh hình học khơng chỉ giúp học
sinh tiếp thu kiến thức dễ dàng sâu sắc mà còn giúp học sinh chủ động tự tìm ra
con đường để giải một bài tốn hình học chính xác.
Sơ đồ phân tích đi lên là phương tiện hỗ trợ đắc lực cho việc phát triển tư duy
sáng tạo trong toán học của học sinh.
Là một giáo viên dạy tốn tơi đã trăn trở làm thế nào để có thể giúp học sinh tự
học tốn có hiệu quả tơi đã đưa ra một số phương pháp khác nhau trong việc

hướng dẫn học sinh tiếp cận và chứng minh hình học 8 và 9. Trong đó phương
pháp sử dụng sơ đồ phân tích đi lên trong dạy học hình học 8 và 9 là một phương
pháp tơi thường sử dụng trong q trình dạy học.
Vì những lí do trên, bản thân tơi trên cơ sở kinh nghiệm giảng dạy của mình
cũng như một số đồng nghiệp, tôi mạnh dạn nghiên cứu đề tài: “Sử dụng sơ đồ
phân tích đi lên trong chứng minh hình học 8 và 9”.
Điểm mới của đề tài:
Đưa ra một số phương pháp khác nhau trong việc hướng dẫn học sinh tiếp cận và
chứng minh hình học 8 và 9.
Giúp học sinh tiếp thu kiến thức dễ dàng sâu sắc mà còn giúp học sinh chủ động
tự tìm ra con đường để giải một bài tốn hình học chính xác.
Sơ đồ phân tích đi lên là phương tiện hỗ trợ đắc lực cho việc phát triển tư duy sáng
tạo trong toán học của học sinh.
Các giải pháp mà tôi đưa ra cụ thể phù hợp với từng đối tượng học sinh.
1.2. Phạm vi áp dụng đề tài
Đề tài có phạm vi áp dụng rộng rãi trong việc dạy tốn Hình học ở cấp THCS
và đặc biệt là áp dụng vào việc dạy hình học trong mơn Tốn lớp 8 và 9.
2. Phần nội dung
2.1. Thực trạng của nội dung cần nghiên cứu:
Hoạt động dạy và học là hai q trình ln gắn chặt với nhau thống nhất biện
chứng tạo thành một thể thống nhất: Dạy là hoạt động truyền thụ chủ đạo; học là
hoạt động chủ động tiếp thu kiến thức. Học phải chủ động sáng tạo mới có hiệu
quả. Dạy tốt thì học mới tốt, học tốt thì phải có phương pháp dạy tốt đó cũng là
nội dung thầy trị đang ra sức phấn đấu.
Qua việc dự giờ đồng nghiệp và theo dõi q trình học tập của học sinh tơi thấy:
Giáo viên nặng về cung cấp bài giải sẵn cho học sinh tiếp thu, thường chú trọng
yêu cầu của chương trình thực hiện chưa đảm bảo cái cơ bản của bài tập hình học,
ít khi cho học sinh phân tích vì sợ mất thời gian, thường bằng lịng và kết thúc
cơng việc khi đã tìm ra một cách giải nào đó, chưa chú ý hướng dẫn học sinh tìm
2

cách giải khác hay hơn …Kết quả là học sinh biết làm bài nhưng chưa hiểu sâu sắc
về bài mình vừa làm.
Bên cạnh đó khi gặp phải dạng tốn chứng minh là các em rất “sợ” và lúng túng
trước đề bài tốn: khơng biết làm gì, bắt đầu từ đâu, đi theo hướng nào? không
biết liên hệ những kiến thức trong bài với những kiến thức đã học, không phân biệt
được cái gì đã cho, cái gì cần tìm nên khơng biết cách giải .
Hình học là mơn học mang tính trực quan và trìu tượng phần lớn học sinh rất e
ngại trong việc học hình học. Học sinh ngại bởi các em đang yếu trong kĩ năng vẽ
hình, bế tắc trong việc tìm ra con đường để suy luận chứng minh một vấn đề hình
học, các em chưa nắm bắt được để chứng minh vấn đề hình học đó phải xất phát từ
đâu. Để giúp các em vượt qua được những khó khăn trở ngại trong việc học hình
học như đã nêu ở trên thì người thầy phải giúp các em tháo gỡ các khó khăn đó.
Sau đây tơi xin nêu ra cách để học sinh lớp 8 và 9 tháo gỡ vướng mắc trong việc
tìm ra con đường suy luận chứng minh bài toán bằng việc sử dụng sơ đồ phân tích
đi lên. Sử dụng sơ đồ phân tích đi lên giúp học sinh dễ dàng hơn trong việc nắm
bắt bài học đặc biệt giúp các em tìm ra con đường giải quyết vấn đề.
Dạy học tốn thì hoạt động dạy khái niệm, dạy định lí và giải các bài tập là cơ
bản. Sử dụng sơ đồ phân tích đi lên gắn liền với dạy học định lí và giải bài tập.
Dạy học định lí và bài tập dựa theo hai con đường suy diễn và con đường có khâu
suy đốn. Chẳng hạn cần chứng minh một mệnh đề A nào đó người giáo viên phải
giúp học sinh tìm ra là các em cần phải chứng minh mệnh đề B  chứng minh
C  D….  M (mà mệnh đề M đã cho trước hoặc dễ dàng chỉ ra được). Trong dạy
học hình học 8 và 9 sử dụng sơ đồ phân tích đi lên này giúp học sinh tìm ra con
đường suy luận chứng minh đơn giản và giải quyết vấn đề dễ dàng. Điều này giúp
các em sẽ khơng cịn e ngại học phân mơn hình học nữa và các em ngày càng u
thích hình học hơn, giúp các em giải quyết các bài tập hình một cách đơn giản hơn
đồng thời phát huy khả năng tự học tự tìm hiểu cho các em.
Hiện nay đã thực hiện nhiều năm giảng dạy theo phương pháp mới, nhưng vẫn

cịn khơng ít giáo viên dạy học một cách thụ động, truyền đạt kiến thức cho học
sinh còn mang nặng phương pháp cũ dẫn tới khơng ít học sinh lớp 8 và 9 không
biết cách giải quyết một bài tốn hình học. Trong khi mơn hình học lại trìu tượng
khó hiểu vì vậy học sinh khơng hiểu bài và khơng có được một phương pháp giải
quyết bài tốn hình học. Một số giáo viên ngại dạy hình, một số giờ dạy của giáo
viên tôi đi dự giáo viên chưa định hướng được học sinh cách chứng minh được
định lí một cách có hệ thống làm cho học sinh khơng hiểu được chứng minh đinh lí
đó phải bắt đầu từ đâu và đi theo con đường nào.
Việc dạy hình học đã có sự hỗ trợ của cơng nghệ thơng tin vào các tiết dạy nhằm
phát huy tính trực quan. Song để cung cấp đầy đủ kiến thức cho học sinh đặc biệt
là phát triển khả năng tự học, tư duy sáng tạo của các em trong học tập đòi hỏi
người giáo viên phải tìm ra các phương pháp giúp các em tự học tự tìm tịi giải
quyết vấn đề một cách độc lập. Sử dụng sơ đồ phân tích đi lên là phương tiện hỗ
3


trợ hữu hiệu trong quá trình phát triển tư duy sáng tạo và giúp học sinh tự học có
hiệu quả nhất.
Kết quả khảo sát chất lượng mơn hình học khi chưa sử dụng sơ đồ phân tích đi lên
vào dạy học
Lớp

Sĩ
số

Giỏi

Tỉ lệ

Khá

Tỉ lệ

TB

Tỉ lệ

Yếu

Tỉ lệ

Kém

Tỉ lệ

8A

27

0

0%

3

11,1%

10

37,0%

9

33,3%

5

18,5%

8B

29

0

0%

4

13,8%

11

38,0%

10

35,5%

4

13,8%

8C

29

3

10,3%

5

17,2%

11

38,0%

7

24,1%

3

10,3%

Tổng 85

3

3,5%

12

14,1%

32

37,6%

26

30,6%

12

14,1%

Lớp

Sĩ
số

Giỏi

Tỉ lệ

Khá

Tỉ lệ

TB

Tỉ lệ

Yếu

Tỉ lệ

Kém

Tỉ lệ

9A

32

0

0%

2

6,3%

14

43,8%

12

37,5%

4

12,5%

9B

31

0

0%

2

6,5%

14

45,2%

11

35,5%

4

12,9%

9C

34

4

11,8%

10

29,4%

14

41,2%

5

14,7%

1

2,9%

Tổng 97

4

13,8%

14

14,4%

42

43,3%

28

28,8%

9

9,2%

Để thay đổi hiện trạng trên tôi đưa ra đề tài “Sử dụng sơ đồ phân tích đi lên
trong chứng minh hình học 8 và 9” nhằm hướng dẫn học sinh để học sinh có thể
hiểu sâu hơn trong chứng minh hình học cũng như trình bày bài tốn chặc chẽ hơn.
2.2. Các giải pháp
Phân tích đi lên là phương pháp dùng lập luận để đi từ vấn đề cần chứng minh
dẫn tới vấn đề đã cho trong một bài tốn. Cách lập luận đó khơng có gì xa lạ mà
chính là các định nghĩa, định lý, các tính chất, các dấu hiệu nhận biết đã được dạy
và học. Nói cách khác, đây là phương pháp dùng lập luận phân tích theo kiểu
“thăng tiến”, biết cái này là do đã biết cái kia, biết vấn đề A từ cơ sở của vấn đề
B… Hiểu đơn giản hơn, trong quá trình thực hiện phương pháp này, HS phải trả
lời cho được các câu hỏi theo dạng: “để chứng minh(…) ta cần chứng minh (cần
có) gì? Như vậy, muốn chứng minh A khơng có nghĩa là ta đi chứng minh trực tiếp

A mà thơng qua việc chứng minh B thì ta đã chứng minh được A một cách gián
tiếp theo kiểu đi lên. Nếu ta đi theo thứ tự ngược lại của q trình phân tích thì ta
được bài tốn chứng minh đã đặt ra.
2.2.1. Rèn luyện kĩ năng phân tích đề bài, vẽ hình và ghi giả thiết- kết luận
- Vai trò, tác dụng:

4


Việc phân tích đề bài vơ cùng quan trọng. Phải hiểu rõ đề bài thì học sinh mới có
thể xác định được các kiến thức có liên quan, dạng tốn cần vận dụng.
Vẽ hình chính xác giúp các em nhận biết trực quan cụ thể bài tốn, phân tích đề bài
nhanh chóng, thuận tiện.
Viết giả thiết- kết luận ngắn gọn, chính xác đủ ý sẽ giúp học sinh có cái nhìn tổng
thể về bài tốn, xác định được cái đã cho, cái phải tìm, từ đó định hình được sơ
lược con đường cần phải đi đến đích.
Cơng việc đã thực hiện:
Việc rèn luyện kĩ năng phân tích đề bài và viết giả thiết- kết luận cho học sinh là
thực sự cần thiết. Các nội dung mà tôi yêu cầu học sinh phải tìm hiểu là:
+ Bài tốn cho ta biết điều gì? Giả thiết là gì? Kết luận là gì?
+ Kiến thức cơ bản cần có là gì? Cụm từ nào trong đề bài là quan trọng, đã nhắc
đến các khái niệm, định lí, điều kiện nào? Đơn vị kiến thức nào liên quan?
+ Hình vẽ minh họa ra sao? Sử dụng các kí hiệu nào?
- Hiệu quả:
Sau khi phân tích kĩ đề bài, vẽ hình chính xác và ghi giả thiết- kết luận ngắn
gọn, đủ ý thì học sinh đã tạo được cho mình một tâm thế nhập cuộc thuận lợi để từ
đây tiến hành xây dựng sơ đồ phân tích đi lên cho bài tốn chứng minh hình học cụ
thể và sẽ thành công.
2.2.2. Rèn luyện các thao tác tư duy
- Vai trò, tác dụng:

Các thao tác tư duy như so sánh, phán đốn, khái qt hóa, tương tự hóa, đặc
biệt hóa… được dùng trong q trình xây dựng sơ đồ phân tích đi lên. Do đó học
sinh phải hiểu và biết sử dụng các thao tác này thì mới có thể suy từ kết luận, xác
định được các bước lập luận trung gian lên giả thiết.
- Các công việc đã thực hiện:
+ Học sinh phải được rèn luyện cách so sánh để nhận ra sự giống và khác giữa giả
thiết- kết luận của bài toán này với giả thiết - kết luận của bài toán kia. So sánh để
tìm ra mối liên hệ giữa kiến thức đã có (định nghĩa, định lí, tiên đề… ) với giả
thiết- kết luận của bài toán đang cần giải.
+ Học sinh cần được rèn luyện khả năng phán đoán, dự kiến được các bước lập
luận trung gian, để có cái này thì ta phải cần đến cái kia…trong quá trình xây dựng
sơ đồ phân tích đi lên.
+ Cần tạo cho học sinh thói quen xem xét bài tốn đang làm trong mối liên hệ với
các bài toán khác đã giải. Các em cần nhận ra bài tốn này có gì tương tự, giống
như bài tốn nào? Nó đặc biệt hơn ở điểm nào? Bài toán đang phải giải quyết là
trường hợp riêng của bài toán nào đã làm ? Bài toán này có thể phát
triển thành bài tốn mới phức tạp hơn, tổng quát hơn hay không?
- Hiệu quả:

5


Các thao tác tư duy trên là sự chuẩn bị tâm thế của học sinh trước khi bắt đầu
suy nghĩ xây dựng sơ đồ phân tích đi lên để tìm tịi lời giải của bài tốn. Khi đã
được rèn luyện thường xun, ln có ý thức đặt các câu hỏi thực hiện các thao tác
tư duy này, học sinh sẽ chủ động được các bước đi đúng hướng, tìm ra con đường
cần phải suy luận ngắn gọn và chính xác, giúp các em giải quyết thành công vấn đề
mà bài toán đặt ra.
2.2.3. Chuẩn bị hệ thống câu hỏi hợp lí
- Vai trị, tác dụng:

Xây dựng sơ đồ phân tích từ kết luận lên giả thiết là công việc trọng tâm của q
trình giải bài tốn hình học. Học sinh sẽ từng bước thực hiện được cơng việc khó
khăn này dưới sự trợ giúp của giáo viên thông qua hệ thống câu hỏi dẫn dắt hợp lí
của mình.
- Các cơng việc đã thực hiện:
Để giúp học sinh xây dựng được sơ đồ phân tích đi lên, tơi đã chuẩn bị một hệ
thống câu hỏi dẫn dắt hợp lí. Trong quá trình xây dựng sơ đồ lập luận từ
A (Mệnh đề cần chứng minh)


B


C





M (Mệnh đề đúng đã được chứng minh hoặc dễ dàng có từ giả thiết)
Hệ thống câu hỏi hướng dẫn thường dùng là::
Muốn có mệnh đề A ta phải có điều gì ?
Muốn có mệnh đề B ta phải có điều gì ?
Muốn có mệnh đề C ta phải có điều gì ?
Muốn có mệnh đề … ta phải có điều gì ?
Mệnh M đề đã có sẵn ở đâu ?
Tùy theo từng bài toán khác nhau mà câu hỏi sẽ phải cụ thể hơn, có tính chất gợi
mở, phát huy tính tích cực độc lập tư duy của học sinh, giúp học sinh chủ động
tham gia xây dựng bài học.
- Hiệu quả:

6


Hệ thống câu hỏi dẫn dắt hợp lí sẽ giúp học sinh từng bước hồn thiện được sơ
đồ phân tích đi lên, tạo được các bước suy luận trung gian kết nối giữa giả
thiết và kết luận.
2.3.4. Rèn luyện kĩ năng vận
- Vai trò, tác dụng:
Căn cứ vào sơ đồ phân tích đi lên, học sinh sẽ trình bày lời giải theo phương
pháp tổng hợp để có một lời giải chi tiết và hồn chỉnh
- Các cơng việc đã thực hiện:
+ Xác định các bước giải của bài toán căn cứ theo các bước lập luận trung gian
trong sơ đồ phân tích đã có
+ Trình bày rõ ràng, đầy đủ các bước giải kèm theo các căn cứ xác thực: căn cứ
vào đâu, theo định lí, tiên đề nào, theo trường hợp nào? Vì sao?
+ Sử dụng các từ nối như ta có, ta thấy, từ đó, suy ra….đúng vị trí, khơng bị lặp ý.
- Hiệu quả:
Sơ đồ phân tích đi lên càng cụ thể, chi tiết thì việc trình bày lời giải càng chặt
chẽ, dễ dàng hơn
2.2.5. Rèn luyện cho học sinh sử dụng phương pháp “Phân tích đi lên” từng
bước từ dễ đến khó, thường xuyên, liên tục theo mức độ riêng phù hợp với khả
năng mỗi đối tượng học sinh
- Vai trị, tác dụng:
Phương pháp phân tích đi lên có tác dụng phát huy rất cao khả năng tư duy độc
lập sáng tạo của học sinh. Song khi sử dụng, yêu cầu học sinh phải nắm chắc kiến
thức cơ bản nên không phải mọi học sinh đều có thể hiểu và vận dụng phương
pháp này thành thạo như nhau. Do đó việc rèn luyện cho học sinh sử dụng phương
pháp “Phân tích đi lên” từng bước từ dễ đến khó theo mức độ riêng sẽ giúp các em
dễ tiếp nhận phương pháp này mà không cảm thấy mình đuối sức. Ngồi ra việc sử

dụng thường xun, liên tục phương pháp phân tích đi lên sẽ giúp học sinh hiểu
sâu sắc và có kĩ năng xây dựng sơ đồ phân tích thành thạo hơn để vận dụng vào
giải dạng tốn chứng minh hình học.
- Các cơng việc đã thực hiện:
Tùy theo đối tượng học sinh mà tôi đưa ra các mức độ cần đạt khác nhau. Đối
với học sinh khá, giỏi thì có thể u cầu các em tự mình xây dựng tồn bộ sơ đồ
phân tích. Đối với học sinh trung bình chỉ cần các em cùng tham gia xây dựng sơ
đồ ở một số bước trung gian nhất định và hiểu rõ sơ đồ, tập trình bày lời giải theo
sơ đồ.
Hầu hết các bài toán dạng chứng minh hình học, tơi đều hướng dẫn học sinh vận
dụng phương pháp phân tích đi lên. Nhưng khơng phải bài nào cũng bắt buộc phải
xây dựng sơ đồ phân tích.
Đối với các bài tốn đơn giản, tơi chỉ u cầu học sinh trả lời câu hỏi gợi mở xác
định các bước giải bài tốn như: để có kết luận, ta cần làm như thế nào? Vận dụng
kiến thức nào? Giữa kết luận và giả thiết có quan hệ ra sao?....
Đối với các bài tốn phức tạp thì mức độ xây dựng sơ đồ phân tích cần nâng cao
dần.
7


Mức độ 1: Giáo viên xây dựng sơ đồ, học sinh theo dõi và nghe, hiểu sơ đồ.
Mức độ 2: Học sinh từng bước xây dựng sơ đồ phân tích theo câu hỏi gợi mở của
giáo viên; học sinh trình bày lời giải theo sơ đồ phân tích đã có.
Mức độ 3: Học sinh hoàn thiện sơ đồ và tự lập luận trình bày lời giải hồn
chỉnh, giáo viên chỉ nhận xét và chữa bài của học sinh.
- Hiệu quả:
Biện pháp trên đã giúp cho mọi đối tượng học sinh đều được tham gia vào quá
trình học tập, nhất là đối tượng học sinh trung bình và yếu khơng có cảm giác mình
bị bỏ quên.Học sinh sẽ hiểu rõ phương pháp và khả năng vận dụng ngày càng được
nâng cao. Việc tìm ra lời giải sẽ nhanh chóng và chính xác hơn.

2.2.6. Triển khai chuyên đề “vận dụng phương pháp phân tích đi lên” trong sinh
hoạt chun mơn
- Vai trị, tác dụng:
Triển khai đến tồn thể giáo viên để có thể hiểu phương pháp phân tích đi lên và
một số kĩ thuật vận dụng phương pháp đó vào thực tế giảng dạy.
- Các nội dung chính của chuyên đề:
+ Báo cáo chuyên đề: Tóm tắt sơ lược khái niệm phương pháp phân tích đi lên,
nêu một số kĩ thuật áp dụng phương pháp này trong dạy giải toán chứng minh hình
học. Tồn tổ sẽ tập trung bàn bạc, trao đổi và thảo luận chuyên đề
+Vận dụng chuyên đề vào thực tế giảng dạy: Dạy bài giảng đã được xây dựng
+ Toàn tổ thảo luận, trao đổi, rút kinh nghiệm giờ dạy theo định hướng chuyên đề.
- Hiệu quả:
Đối với giáo viên thông qua thảo luận, dự giờ sẽ rút ra được những bài học kinh
nghiệm về việc vận dụng phương pháp phân tích đi lên. Đối với bản thân tơi là
người triển khai chuyên đề cũng sẽ rút ra được những bài học bổ ích để từ đó điều
chỉnh các biện pháp thực hiện đề tài thành công hơn.
2.2.7. Các ví dụ minh họa:
Đối với lớp 8:
Ví dụ 1.
Bài 13- sgk trang 74 -Tiết 3. HÌNH THANG CÂN
Bài tốn: Cho hình thang cân ABCD (AB//CD). E là giao điểm của hai đường
chéo. Chứng minh EA= EB; EC= ED
Bước 1: Học sinh phân tích đề bài
Hoạt động của thầy
Hoạt động của trị
- Hãy xác định kiến thức trọng tâm có - Hình thang cân
liên quan?
- Các cụm từ quan trọng?
- Hình thang cân; AB//CD; Hai đường
chéo

8


- Dạng loại toán nào?

- Dạng toán chứng minh hai đoạn
thẳng bằng nhau
-Phương pháp giải thường sử dụng?
- Đưa về hai tam giác bằng nhau, cộng
trừ các đoạn thẳng...
Bước 2. Học sinh vẽ hình, ghi giả thiết- kết luận
GT

KL

A

Hình thang cân ABCD
AB//CD
AC  BD=E
EA= EB; EC= ED

B

1

1

E

D

C

Bước 3. Học sinh xây dựng sơ đồ phân tích đi lên theo sự hướng dẫn của giáo viên
Hệ thống câu hỏi của thầy
Sơ đồ phân tích đi lên
*)C/m EA= EB
*)Sơ đồ phân tích đi lên c/m EA= EB
GV nêu câu hỏi và gọi HS đứng tại
EA = EB
chỗ trả lời để hoàn thiện sơ đồ

?1. Để chứng minh EA= EC ta đưa
 EAB cân tại E
vào xét tam giác nào?

?2. Muốn c/m  EAB cân tại E, ta cần
A1  B1
có điều kiện nào?

?3. Để chỉ ra hai góc A1  B1 ta cần
 ABC =  BAD (c.g.c)
đưa về xét hai tam giác nào bằng

nhau?




?4. Hãy dự đoán chọn trường hợp
bằng nhau nào của hai tam giác để
c/m? Nêu các điều kiện của trường
hợp bằng nhau đó?
?5. Vì sao em có thể khẳng định

BAD  ABC và AD = BC?
*) C/m EC=ED
Nội dung c/m này không phức tạp nên
GV chỉ cần nêu câu hỏi gợi ý cho HS
tìm ra cách giải, khơng cần thiết phải
xây dựng sơ đồ phân tích chi tiết
?6. Em có thể kết luận được EC= ED
dựa theo mối liên hệ của cặp đoạn
thẳng EA= EB đã c/m ở trên khơng?
Vì sao?

BA chung

BAD  ABC AD=BC



ABCD là hình thang cân

*) C/m EC=ED

HS trả lời:
Có vì EA+ EC= AC;
EB+ ED =BD

Mà AC= BD

9


?7. Vì sao hai đường chéo AC và BD - Vì là hai đường chéo của hình thang
bằng nhau
cân ABCD theo giả thiết
Bước 4. Học sinh trình bày lời giải theo sơ đồ phân tích đi lên
Sơ đồ phân tích đi lên
Lời giải chi tiết
*)Sơ đồ phân tích đi lên c/m EA= EB
EA = EB
Ta có ABCD là hình thang cân,
AB//CD

 EAB cân tại E
 BAD  ABC (hai góc đáy)
và AD= BC (hai cạnh bên)

AC= BD (hai đường chéo)
A1  B1
Xét  ABC và  BAD có

BA chung
 ABC =  BAD (c.g.c)
BAD  ABC (theo cmt)

AD= BC (theo cmt)




Suy ra  ABC =  BAD (c.g.c)
BA chung
BAD  ABC AD=BC
Do đó A1  B1


  EAB cân tại E

Vì vậy EA = EB (đpcm)
ABCD là hình thang cân
Mặt khác
EA+ EC= AC; EB+ ED =BD
Mà AC = BD (theo cmt)
Suy ra EC= ED (đpcm)
Bước 5. Kiểm tra lại lời giải và rút ra bài học kinh nghiệm
Gọi học sinh nhận xét tồn bộ lời giải cách trình bày giải thích. GV chốt lời giải
đúng.
Có thể để học sinh nêu cách chứng minh EC= ED tương tự như cách chứng
minh EA= EB thơng qua c/m  ECD cân tại E.
Ví dụ 2:
Bài 16- sgk tập 1, trang 75 - Tiết 4. Luyện tập về hình thang cân
Bài tốn: Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BD, CE (D  AC;
E  AB). Chứng minh rằng BEDC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên
*)Bước 1: Học sinh phân tích đề bài
Hoạt động của thầy
Hoạt động của trò
- Hãy xác định kiến thức trọng tâm có - Tam giác cân, đường phân giác, hình
liên quan?

thang cân
- Các cụm từ quan trọng?
- Tam giác ABC cân tại A, đường phân
giác BD, CE

10


- Dạng loại tốn nào?

- Nhận biết hình thang cân và chứng
minh hai đoạn thẳng bằng nhau
*)Bước 2: HS vẽ hình, ghi giả thiết- kết luận
A

GT

 ABC: AB=AC

KL

BD, CE là các đường phân giác
BEDC là hình thang cân
ED=EB

E

D

B

C

*)Bước 3. Học sinh xây dựng sơ đồ phân tích đi lên theo sự hướng dẫn của giáo
viên
Sơ đồ phân tích đi lên
*) BEDC là hình thang cân



ED//BC


ABC  ACB


AED  ABC


 ABC cân tại A

1800  A
AED 
2


AED  ADE

AED cân


AE=AD

AEC  ADB(c.g.c)

Hệ thống câu hỏi của thầy
-Để BEDC là hình thang cân thì cần
phải có điều kiện gì?
-Để ED//BC ta chứng minh theo dấu
hiệu nhận biết nào?
- Để c/m AED  ABC ta chọn  là góc
trung gian để so sánh như thế nào?

- Vì sao AED cân?

- Để có điều kiện AE=AD ta cần quy
về các cạnh của hai tam giác nào bằng
nhau?
- Hãy dự đoán hai tam giác AEC và
ADB bằng nhau theo trường hợp nào?

Do các thao tác chứng minh
AEC  ADB(c.g.c) và c/m ED= EB
không quá phức tạp nên không nhất
11


thiết cần xây dựng tiếp sơ đồ phân tích
đi lên mà có thể để học sinh suy luận
trực tiếp từ các giả thiết đã cho.
*)Bước 4. Học sinh trình bày lời giải dựa theo sơ đồ phân tích đi lên

Sơ đồ phân tích đi lên
Lời giải chi tiết
Bài 16 (SGK-Trang 75)
A

E

BDEC là hình thang cân


ED//BC

AED  ABC


D

B

C

GT

 ABC: AB=AC

BD, CE là các đường phân giác
KL
BEDC là hình thang cân
ED=EB
*)Chứng minh DEBC là hình thang cân

Ta có  ABC cân (theo giả thiết)

nên ABC  ACB (hai góc đáy)
Mà
ABC  ACB
1
ABD  ABC (vì BD là tia phân giác

2
 ABC cân tại A của B )

1800  A
AED 
2


AED  ADE

AED cân

AE=AD

AEC  ADB(c.g.c)



ACE 

1
ACB (vì CE là tia phân giác

2

của C )
Suy ra ABD  ACE
Xét  AEC và  ADB có

A chung.
AB=AC (vì

 ABC cân)

ABD  ACE (theo cmt)
=>  AEC =  ABD (g.c.g)
=> AE = AD (2 cạnh tương ứng)
Do đó  AED cân tại A.

12


1800  A
Suy ra: AED 
2
1800  A
Mặt khác ABC 
2
=> AED  ABC .
=> BC//ED (vì có hai góc ở vị trí đồng vị
bằng nhau)
Do đó BEDC là hình thang
Mặt khác ABC  ACB (theo cmt)

Do đó hình thang BEDC có hai góc kề
đáy lớn bằng nhau nên là hình thang cân.
*Chứng minh ED=EB.
Ta có ABD  DBC (vì BD là tia phân

ED=EB

 EBD cân tại E


giác của ABC )
Mà BDE  DBC (hai góc so le trong)
Suy ra BDE  ABD
=>  EBD cân tại E
=> ED = EB (đpcm).

BDE  ABD



BDE  DBC

hai góc slt


ABD  DBC

BD là tia phân giác

*)Bước 5. Kiểm tra lại lời giải và rút ra bài học kinh nghiệm

Đặt vấn đề lật ngược lại bài tốn: Trong hình thang cân, hai đường chéo có
là hai đường phân giác của hai góc ở đáy hay khơng?
Học sinh cần tìm ra điều nhận xét trên không đúng trong mọi trường hợp cạnh
bên khác đáy nhỏ.
Ví dụ 3
Bài 49- sgk tập 1, trang 93 – Tiết 11. Hình bình hành
Bài tốn :Cho hình bình hành ABCD. Gọi I và K theo thứ tự là trung điểm của
CD và AB . Đường chéo BD cắt AI, CK lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng
a) AI// CK
b) DM= MN = NB
*)Bước 1: GV hướng dẫn HS phân tích đề bài
Hoạt động của thầy
Hoạt động của trò
13


- Hãy xác định kiến thức trọng tâm
có liên quan?
- Các cụm từ quan trọng?
- Dạng loại tốn nào?

- Hình bình hành
- Hình bình hành; trung điểm; đường
chéo
- Chứng minh hai đường thẳng song
song; các đoạn thẳng bằng nhau

*)Bước 2: HS vẽ hình, ghi giả thiết- kết luận
K

A

GT

KL

ABCD là hình bình hành
ID = IC; (I DC)
AK = KB (K  AB)
a) AI // CK
b) DM = MN = NB

B
N

M
D

C

I

*)Bước 3. Học sinh tự xây dựng sơ đồ phân tích đi lên bằng cách thảo luận nhóm
theo phiếu học tập dạng điền khuyết do giáo viên chuẩn bị trước
Sơ đồ phân tích đi lên
Phiếu học tập
*) Sơ đồ c/m AI // CK
*) Sơ đồ c/m AI // CK
AI//CK

AI//CK





AKCI là hình bình hành

AKCI là .............











IC // AK

IC = AK

…// ….

…. = …..









AB=DC

…….

………







AB//DC





ABCD là hình bình hành

*) Sơ đồ c/m DM= MN= NB
DM= MN= NB

ABCD là hình bình hành

*) Sơ đồ c/m DM= MN= NB
DM= MN= NB




DM=MN






MN= NB



DM=MN



MN= NB
14











MI//CN DI=IC





AK= KB



AKCI giả thiết AKCI
là hbh
là hbh





KN//AI

....//....







giả thiết






....=.... ....= ....

AKCI
là hbh

...//...







........

AKCI
là hbh

.....

*)Bước 4. Học sinh trình bày lời giải dựa theo sơ đồ phân tích đi lên

Sơ đồ phân tích đi lên
Lời giải chi tiết
K

A

N

M
D

B

C

I

GT

*) Sơ đồ c/m AI // CK
AI//CK


AKCI là hình bình hành






IC // AK

IC = AK





AB//DC

AB=DC






ABCD là hình bình hành
*) Sơ đồ c/m DM= MN= NB
DM= MN= NB



DM=MN



MN= NB

ABCD là hình bình hành

ID = IC; (I DC)
AK = KB (K  AB)
KL
a) AI // CK
b) DM = MN = NB
Chứng minh
a) Ta có ABCD là hình bình hành nên
AB//DC và AB =DC
Xét tứ giác AKIC có
IC//AK (vì AB//DC)
1

DC ( gt ) 
2

1
AK  KB  AB( gt )   IC  AK
2

mà AB  DC

IC  ID 




Do đó AKIC là hình bình hành
Suy ra AI//KC
b) Vì AI//KC (theo câu a) nên IM//CN
và KN//AM

xét DNC có DI=IC (gt) và IM//CN
 DM=MN (theo định lí 1 bài 4- trang
76-sgk) (1)
15








MI//CN DI=IC






AK= KB





Chứng minh tương tự MN= NB (2)
Từ (1), (2) ta được DM = MN = NB

KN//AI


AKCI giả thiết AKCI
là hbh
là hbh

giả thiết

*)Bước 5. Kiểm tra lại lời giải và rút ra bài học kinh nghiệm
Giáo viên gọi học sinh nhận xét bài toán và rút ra phương pháp chứng minh mới
đối với đoạn thẳng bằng nhau theo các định lí về đường trung bình của tam giác,
đường thẳng song song theo tính chất cạnh đối của hình bình hành.
Ví dụ 4.
Chứng minh định lí của Tiết 45- Trường hợp đồng dạng thứ hai
Định lí: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai
góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đồng dạng.
Hoạt động của thầy
Hoạt động của trò
*)Bước 1: GV hướng dẫn HS phân tích
đề bài
- Hãy xác định kiến thức trọng tâm có -Khái niệm và định lí về tam giác đồng
liên quan?
dạng
- Các cụm từ quan trọng?
-Hai cạnh ... tỉ lệ, hai góc...bằng nhau
- Dạng loại tốn nào?
-Chứng minh hai tam giác đồng dạng
- So sánh bài toán với trường hợp đồng - Dự đoán cách c/m sẽ tương tự
dạng thứ nhất
*)Bước 2: HS vẽ hình, ghi giả thiếtkết luận
Hướng dẫn học sinh vẽ đường phụ tia Cần xác định được tác dụng của việc

AM= A’B’ và MN//BC để tạo ra
vẽ đường phụ tia AM= A’B’ và
MN//BC
AMN
A

*)Bước 3. GV nêu sơ đồ phân tích đi
lên tổng quát để học sinh định hướng
chứng minh
A'B'C' ABC

N

M

B

C
A'


B'



C'



16

AMNABC AMN= A’B’C’

ABC và A'B'C'
GT

*)Bước 4. Học sinh trình bày lời giải
dựa theo sơ đồ phân tích đi lên và sự
gợi mở của giáo viên

KL

Â=Â’;

A' B ' A'C '
(1)

AB
AC

A'B'C' ABC

Từ việc kẻ đường phụ MN// BC ta có
hai tam giác nào đồng dạng? Vì sao?

Chứng minh
Đặt trên tia AB đoạn AM sao cho
AM =A’B’
Qua M kẻ MN//BC (N  AC)

Để c/m AMN =A'B'C' ta chọn

Ta có AMN ABC (*)

trường hợp nào và cần có những điều
kiện gì?
*)Bước 5. Kiểm tra lại lời giải và rút ra
bài học kinh nghiệm
Qua bài toán, học sinh phát biểu
trường hợp đồng dạng thứ hai của tam
giác



AM AN

AB AC

Vì AM= A’B’ nên

A ' B ' AN
(2)

AB
AC

Từ (1) và (2) suy ra AN =A'C'
Xét AMN và A'B'C' có:
AM =A'B' (theo cách dựng)

Â=Â’ (theo GT)
AN=A’C’ (theo c/m trên)
 AMN =A'B'C' (cgc) (**)

Kết hợp (*) và (**) ta được
A'B'C' ABC (đpcm)
Ví dụ 5
Xây dựng sơ đồ phân tích đi lên tổng quát cho một số dạng toán
Sơ đồ phân tích tổng quát
Bài giải chi tiết
1. Dạng tính độ dài
Bài 5a- sgk trang 59- tiết 37 : Định lí Ta-Let
trong tam giác
Hướng dẫn học sinh phân
Biết MN//BC, tìm x trong hình vẽ
tích đề bài, hình vẽ và xây
A
dựng phương pháp giải theo
8,5
sơ đồ tổng quát
4
5

M

B

Sơ đồ 1

N

x
C

Bài giải
Vì MN //BC (giả thiết), theo định lí Ta-Let,
17


Tính độ dài


Lập tỉ lệ thức


Định lí Ta-Lét ( hoặc hệ quả)

ta có
AM AN
4
5

 
MB NC
x 8,5  5

4
5
4.3,5


x
 2,8
x 3,5
5
Bài tập 18 (trang 68-SGK tập 2)
Tam giác ABC có AB =5 cm, AC =6 cm và
BC = 7cm. tia phân giác của góc BAC cắt
cạnh BC tại E. tính các đoạn EB, EC
A
hay

5

6

C

B
GT

Sơ đồ 2
Tính độ dài


Lập tỉ lệ thức


Tỉ số đồng dạng

KL

E 7
 ABC, AB = 5 cm, AC = 6 cm

AE là tia phân giác của BAC
EB = ?; EC =?
Giải

Xét  ABC có AE là tia phân giác của BAC
 Theo tính chất đường phân giác trong tam
giác ta có:

BE EC BE + EC
BC
7
=
=
=
=
Hai tam giác đồng dạng AB AC AB + AC AB + AC 13
BE
7


 BE  2,69cm

5
13
Một trong các trường hợp
EC  BC  BE



đồng dạng của tam giác

EC  7  2,69  4,31cm

Bài 44 sgk- trang 80- tập 2
Cho tam giác ABC có các cạnh AB =24 cm,
AC =28 cm. Tia phân giác của góc A cắt
cạnh BC tại D. Gọi M và N theo thứ tự là
hình chiếu của B và C trên đường thẳng AD
Sơ đồ 3

a) Tính tỉ số
Tính độ dài

BM
CN

b) Chứng minh rằng

AM DM

AN
DN

18




Lập tỉ lệ thức

A



1 2

Tính chất đường phân giác
của tam giác

M



Tia phân giác của góc

D
C

B
N

2.Dạng tính tỉ số (Bài 44 a)

ABC,
GT

KL

A1  A2 ; BM  AD; CN  AD

AB= 24 cm; AC=28cm
BM
?
CN
AM DM
b)

AN
DN

a)

Giải
a) Tính tỉ số

BM
CN

Xét MAB và NAC có:
A1  A2 ( gt )

Sơ đồ phân tích tổng quát

AMB  ANC  900
 MAB

Tỉ số cần tính



Tỉ lệ thức


Hai tam giác đồng dạng


Một trong các trường hợp đồng
dạng của tam giác

NAC

AB BM AM


AC CN
AN
BM 24 6



CN 28 7
AM DM
b)C/m tỉ số

AN
DN


Xét MBD và NCD có
BDM  CDN (Hai góc đối đỉnh)
BMD  CND  900

Suy ra MBD  NCD
3.Dạng chứng minh hệ thức
(Bài 44 b)

Do đó

BM DM

CN
DN

19


Sơ đồ phân tích tổng quát
Hệ thức cần c/m


Tỉ số đồng dạng

BM AM
(theo câu a)

CN
AN
AM DM

Vậy
(đpcm)

AN
DN

Mà



Hai tam giác đồng dạng


Một trong các trường hợp đồng
dạng của tam giác
Ví dụ 6.
Dạy thực nghiệm chuyên đề tại buổi sinh hoạt tổ chuyên môn
a) Giáo án (Phụ lục)
b) Bài giảng Powerpoint (Phụ lục)
c) Nội dung trao đổi rút kinh nghiệm giờ dạy theo định hướng chuyên đề
1. Ưu điểm
- Nội dung đủ, chính xác, khoa học, đúng trọng tâm.
- Phương pháp giảng dạy phù hợp với đặc trưng bộ môn. Hệ thống câu hỏi phụ
hợp có tác dụng dẫn dắt học sinh tham gia xây dựng bài học. Giáo viên đã sử dụng
phương pháp phân tích đi lên trong q trình dạy giải bài tốn.
- Thời gian bố trí cân đối, trình bày bảng khoa học, lời nói tác phong chuẩn mực.
- Học sinh biết xây dựng sơ đồ phân tích đi lên để tìm ra lời giải cho bài tốn một
cách nhanh và chính xác; thảo luận nhóm sơi nổi, có kĩ năng lập luận chặt chẽ,
trình bày bài giải logic, rõ ràng.
- Đa số học sinh hiểu bài, biết vận dụng các thao tác tư duy như so sánh, khái

quát, phán đoán....
2. Tồn tại
- Cần chú ý nhiều hơn đến một số học sinh yếu, tạo điều kiện cho các em tham gia
xây dựng sơ đồ phân tích ở những bước lập luận dễ.
- Trình bày bảng cịn chưa sạch sẽ.
- Có lúc lời giảng và nội dung trình chiếu chưa thống nhất.
Xếp loại: Tống số điểm: 18/20; xếp loại: giỏi.
Đối với lớp 9:
Ví dụ 1: Chứng minh định lí 2 trang 65 SGK tốn 9 tập 1.
Định lí: Trong một tam giác vng, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền
bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vng trên cạnh huyền.
Bước 1: Dùng phương pháp nêu vấn đề để nêu ra nội dung định lí.
Bước 2: Giải quyết vấn đề (chứng minh định lí).

20


Chứng minh hệ thức: h2 = b’.c’
h

Sơ đồ phân tích

Hệ thống câu hỏi hướng dẫn
Theo định lí ta cần chứng minh hệ thức
nào ?

AH2  HB.HC


Muốn có hệ thức đó ta cần chứng minh

AH CH

BH AH

tỉ lệ thức nào?
Muốn có tỉ lệ thưc đó ta cần chứng minh
hai tam giác nào đồng dạng với nhau?


AHB ∽ CHA


Muốn có hai tam giác đó đồng dạng ta
cần chỉ ra điều gì ?

AHB  CHA  900
ABH  CAH (cùng phụ với HAB )

Ví dụ 2: Chứng minh định lí 2 trang 103 SGK tốn 9 tập 1.
Định lí: Trong một đường trịn, đường kính vng góc với một dây thì đi qua trung
điểm của dây ấy.
Bước 1: Dùng phương pháp nêu vấn đề đưa ra nội dung định lí.
Bước 2: Giải quyết vấn đề (chứng minh định lí).

A

O
C

I
B

D

Hệ thống câu hỏi hướng dẫn

Sơ đồ phân tích

Muốn chứng minh I là trung điểm của CD ta
phải chứng minh OCD là tam giác gì ?

IC  ID


21


Mà OI  CD
OCD cân tại O



Muốn chứng minh OCD cân ta cần chỉ ra
điều gì ?

OC  OD



Vì sao có OC = OD ?

OC  OD  R

Ví dụ 3: Chứng minh định lí trang 114 SGK tốn 9 tập 1.
Định lí: Nếu hai tiếp tuyến của một đường trịn cắt nhau tại một điểm thì:
- Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
- Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
- Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua
các tiếp điểm.
Bước 1: Dùng phương pháp nêu vấn đề đưa ra định lí
Bước 2: Giải quyết vấn đề (chứng minh định lí)
B

A

O

C

Hệ thống câu hỏi hướng dẫn

Sơ đồ phân tích

Để chứng minh các đoạn thẳng đó bằng
nhau và các góc đó bằng nhau ta cần chứng
minh hai tam giác nào bằng nhau?

OB = OC
AB = AC

AOB  AOC ; BAO  CAO


BAO  CAO


Muốn có hai tam giác đó bằng nhau ta cần
chỉ ra điều gì?

OBA  OCA  900
OA cạnh chung
OB  OC ( R)

Ví dụ 4: Bài tập 21 trang 111 SGK toán 9 tập 1.
22


Đề bài: Cho tam giác ABC có AB = 3, AC =4, BC = 5. Vẽ đường tròn (B; BA).
Chứng minh rằng AC là tiếp tuyến của đường tròn.
GV yêu cầu HS đọc kĩ đề ra và vẽ hình, giáo viên hướng dẫn học sinh chứng minh
bài toán bằng hệ thống câu hỏi và sơ đồ.
A
4

3
5

C

B

Hệ thống câu hỏi hướng dẫn

Sơ đồ phân tích

Để chứng minh AC là tiếp tuyến của
đường trịn (B; BA) ta cần chứng minh
điều gì?

AC là tiếp tuyến (B; BA)


AC  BA

Muốn chứng minh AC  BA ta cần chứng
minh BAC bằng bao nhiêu?



BAC  900

Để chứng minh BAC  900 ta cần chứng
minh tam giác ABC là tam giác gì?


 ABC vng tại A



BC2 = AB2 + AC2

Muốn chứng minh tam giác ABC vuông
tại A ta cần chứng minh hệ thức nào?

(định lí pytago đảo)
Có: 52 = 32 + 42

Ví dụ 5: Bài tập 26 (a, b) trang 115 SGK toán 9 tập 1.
Đề bài: Cho đường trịn (O), điểm A nằm bên ngồi đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến
AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm).
a) Chứng minh rằng OA vuông góc với BC.
b) Vẽ đường kính CD. Chứng minh rằng BD song song với AO.
Giải:
GV yêu cầu đọc đề

D

B
A

H

vẽ hình bài toán

O

C
23


Hệ thống câu hỏi hướng dẫn

Sơ đồ phân tích
OA  BC

a) Cách 1:
Để chứng minh OA vng góc với BC
ta có thể chứng minh OA là đường gì
của đoạn thẳng ?



OA là đường trung trực của BC


AB = AC

Muốn chứng minh OA là đường trung
trực của BC ta cần chỉ ra điều gì ?

OB = OC
OA  BC

Cách 2:
Để chứng minh OA  BC ta cần chứng
minh  ABC cần và điều gì nữa ?


 ABC cân tại A và OA là phân giác của
BAC



Tam giác ABC cân vì sao ?
OA là phân giác của BAC theo tính chất
nào ?

Vì AB = AC (T/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)
và OA phân giác của BAC .
(T/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)

b) Cách 1:

BD//AO

Ta có OA  BC vậy muốn chứng minh
BD//AO ta cần chứng minh thêm điều
gì ?



OA  BC (c/m trên)
BD  BC


 BCD vng tại B

Muốn có BD  BC thì ta cần chứng
minh tam giác BCD là tam giác gì ?



BO 

Muốn chứng minh tam giác BCD vng
tại B ta cần chỉ ra điều gì ?

Cách 2:
Để chứng minh BD//AO ta có thể
chứng minh BD song song với đoạn

CD
 OC  OD
2

Cách 2:
BD//AO

24


nào?



Muốn chứng minh BD//OH ta cần
chứng minh OH là đường gì của tam
giác BCD ?

BD//OH


HO là đường trung bình  BCD


Muốn có OH là đường trung bình
 BCD ta cần chỉ ra điều gì ?

OC = OD (bán kính)
HB = HC (c/m câu a)

Ví dụ 6: Bài tập 39 trang 123 SGK toán 9 tập 1.
Đề ra: Cho hai đường trịn (O) và (O’) tiếp xúc ngồi tại A. Kẻ tiếp tuyến chung
ngoài BC, B (O), C  (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung
ngoài BC ở I.
a) Chứng minh rằng BAC  900
b) Tính số đo góc OIO’.

Hệ thống câu hỏi hướng dẫn
a) Chứng minh BAC  900
Để chứng minh BAC  900 ta cần chứng
minh  ABC là tam giác gì ?
Muốn chứng minh  ABC vng tại A
theo tính chất đường trung tuyến của
tam giác vng ta cần có điều gì ?
1
2

Muốn có IB = IC; IA  BC ta cần chỉ ra
điều gì ?
b) Tính OIO '

Em thấy góc OIO ' ’ là góc gì ?
Để chứng minh góc OIO’ là góc vng
ta cần chứng minh hai đoạn thẳng nào
vng góc với nhau ?
Muốn chứng minh OI  IO’ thì chúng ta

Sơ đồ phân tích
BAC  900

 ABC vng tại A



1
2

IB = IC; IA  BC


IA = IB; IA = IC
OIO '  900


OI  IO’


OI và O’I là phân giác của hai góc kề bù
AIB và AIC
25