BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 NHỮNG hđt ĐÁNG NHỚ

NHĨM SOẠN TÀI LIỆU TỐN THCS
/>NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
A. LÝ THUYẾT: Các hằng đẳng thức đáng nhớ:

( a + b)

2

1)

= a2 + 2ab + b2

( a − b)

2

2)

= a2 − 2ab + b2

2
2
3) a − b = ( a − b) ( a + b)

a + b)
4) (

3

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = a3 + b3 + 3ab( a + b)

a − b)
5) (

3

= a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 = a3 − b3 − 3ab( a − b)

(

)

(

)

6)

a3 + b3 = ( a + b) a2 − ab + b2

7)

a3 − b3 = ( a − b) a2 + ab + b2

a + b + c)
8) (

2

= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

a + a + ... + an )
9) ( 1 2

2

= a12 + a22 + .. + a2n + 2a1a2
+2a1a3 + ... + 2a1an + 2a2a3 + ... + 2a2an + ... + 2an−1an

(

)

10)

an − bn = ( a − b) an−1 + an−2b + an−3b2 + ... + a2bn−3 + abn−2 + bn−1

11)

a2k − b2k = ( a + b) a2k−1 − a2k−2b + a2k−3b2 − ... − a2b2k−3 + ab2k−2 − b2k−1

12)

an + bn = ( a + b) an−1 − an−2b + an−3b2 − ... + a2bn−3 − abn−2 + bn−1

*
với n∈ N

(

(

)

với n lẻ

B. BÀI TẬP:
Bài 1. Rút gọn biểu thức:

(a
a)

2

+ b2 + c2 ) − ( a 2 − b 2 − c 2 )
2

a + b + c)
b) (

2

2

− ( a + b) − ( b + c) − ( c + a )
2

2

2

Giải:

(a
a)

2

+ b2 + c2 ) − ( a 2 − b 2 − c 2 )
2

)

2

= ( a 2 + b 2 + c 2 ) − ( a 2 − b 2 − c 2 )  . ( a 2 + b 2 + c 2 ) + ( a 2 − b 2 − c 2 ) 
= ( 2b 2 + 2c 2 ) 2a 2 = 4a 2 ( b 2 + c 2 )

1
THAM GIA NHÓM ĐỂ CÓ THÊM NHIỀU TÀI LIỆU HAY
/>

NHĨM SOẠN TÀI LIỆU TỐN THCS
/>a + b + c)
b) (

2

− ( a + b) − ( b + c) − ( c + a )
2

2

2

= a 2 + b 2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca − ( a 2 + b2 + 2ab ) − ( b 2 + c 2 + 2bc ) − ( c 2 + a 2 + 2ca )
= a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca − a 2 − b 2 − 2ab − b 2 − c 2 − 2bc − c 2 − a 2 − 2ca

= − ( a 2 + b2 + c2 )

Bài 2. Tính giá trị biểu thức:
2
a) A = 123 ( 123 + 154 ) + 77

2
2
2
2
2
2
2
2
b) B = 85 + 75 + 65 + 55 − 45 − 35 − 25 − 15

2
2
2
2
2
2
c) C = 1 − 2 + 3 − 4 + ... + 2015 − 2016

d) D = 324 – (274 + 1)(96 – 1)
1352 + 130.135 + 652
E=
1352 − 652
e)

Giải:
a) Ta có:

A = 123 ( 123 + 154 ) + 77 2 = 1232 + 123.154 + 77 2
= 1232 + 2.123.77 + 77 2 = ( 123 + 77 ) = 40000
2

2
2
2
2
2
2
2
2
b) Ta có: B = 85 + 75 + 65 + 55 − 45 − 35 − 25 − 15

= ( 852 − 152 ) + ( 752 − 252 ) + ( 652 − 352 ) + ( 552 − 452 )

= ( 85 − 15 ) ( 85 + 15 ) + ( 75 − 25 ) ( 75 + 25 ) + ( 65 − 35 ) ( 65 + 35 ) + ( 55 − 45 ) ( 55 + 45 )
= 100 ( 70 + 50 + 30 + 10 ) = 16000

2

2
2
2
2
2
c) C = 1 − 2 + 3 − 4 + ... + 2015 − 2016

= ( 12 − 22 ) + ( 32 − 42 ) + ... + ( 20152 − 20162 )

= ( 1 − 2 ) ( 1 + 2 ) + ( 3 − 4 ) ( 3 + 4 ) + ... + ( 2015 − 2016 ) ( 2015 + 2016 )
= −3 − 7 − ... − 4031 = − ( 3 + 7 + ... + 4031)
=−

( 4031 + 3) ( 4031 − 3) : 4 + 1
2

= −2033136

d) D = 324 – (274 + 1)(96 – 1) = 324 – (312 + 1)(312 – 1) = 324 – (324 – 1) = 1
1352 + 130.135 + 652
( 135 + 65)
20
E=
=
=
2
2
135 − 65
( 135 − 65 ) ( 135 + 65 ) 7
2

e)

2
THAM GIA NHÓM ĐỂ CÓ THÊM NHIỀU TÀI LIỆU HAY
/>

NHĨM SOẠN TÀI LIỆU TỐN THCS
/>Bài 3. Tính giá trị biểu thức:
6
5
4
3
2
a) A = x − 6x + 6x − 6x + 6x − 6x + 6 với x = 5.
6
5
4
3
2
b) B = x − 50x + 50x − 50x + 50x − 50x + 50 với x 49

3
2
c) C = x + 3x + 3x với x = 99

d)

D = 3 ( x 2 + y 2 ) − 2 ( x 3 + y3 )

với x + y =1

e) E = x3 – 3x2 + 3x2y + 3xy2 + y3 – 3y2 – 6xy + 3x + 3y + 2015 với x+y =101
Giải:
a) Ta có: x = 5 ⇒ x + 1 = 6 . Suy ra:
A = x 6 − ( x + 1) x 5 + ( x + 1) x 4 − ( x + 1) x 3 + ( x + 1) x 2 − ( x + 1) x + ( x + 1)
= x6 − x 6 − x5 + x5 + x 4 − x 4 − x3 + x3 + x 2 − x 2 − x + x + 1 = 1
b) Ta có: x = 49 ⇒ x + 1 = 50 . Suy ra:
B = x 6 − 50x 5 + 50x 4 − 50x 3 + 50x 2 − 50x + 50
= x 6 − ( x + 1) x 5 + ( x + 1) x 4 − ( x + 1) x 3 + ( x + 1) x 2 − ( x + 1) x + ( x + 1) = 1

c)

C = x 3 + 3x 2 + 3x = x 3 + 3x 2 + 3x + 1 − 1 = ( x + 1) − 1 = ( 99 + 1) − 1 = 999999

d)

D = 3 ( x 2 + y 2 ) − 2 ( x 3 + y3 ) = 3x 2 + 3y 2 − 2 ( x + y ) ( x 2 − xy + y 2 )

3

3

= 3x 2 + 3y 2 − 2 ( x 2 − xy + y 2 ) = x 2 + 2xy + y 2 = 1

e) E = x3 – 3x2 + 3x2y + 3xy2 + y3 – 3y2 – 6xy + 3x + 3y + 2015
= (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) – (3x2 + 3y2 + 6xy) + (3x + 3y) + 2015
= (x + y)3 – 3(x + y)2 + 3(x + y) – 1 + 2016
= (x + y – 1)3 + 2016 = 1003 + 2016 = 1002016
Bài 4.

a) Cho

D=

4 
2011 
1
2
6033
1
.
−
3 +
÷+
2015 
2013  2015 2013 2013.2015 . Tính D

M=

b) Tính

1  2
1 
2  1974 1946
3

− 1÷−
.
−


1 −
÷−
1975  1945  1945  1975  1975 1945 1975.1945

Giải:
a) Đặt

a=

1
2011
; b=
2015
2013 , ta có:

3
THAM GIA NHĨM ĐỂ CĨ THÊM NHIỀU TÀI LIỆU HAY
/>

NHĨM SOẠN TÀI LIỆU TỐN THCS
/>2
2011
6033
1 2011
= 1−
= 1− b
= 3.
.
= 3ab
2013

2013
2015 2013
và 2013.2015
⇒ D = 4a ( 3 + b ) + a ( 1 − b ) − 3ab = 12a + 4ab + a − ab − 3ab = 13a =
⇒

13
1
=
2015 155

1
= 155
D

b) Đặt

a=

1
1
; b=
1975
1945 , ta có:
M = a ( 2b − 1) − b ( 1 − 2a ) + ( 1 − a ) ( b + 1) − 3ab = 1 − 2a =

1973
1975

* Nhận xét: Khi tính giá trị một biểu thức, tùy từng trường hợp có thể thay số

bằng chữ hoặc thay chữ bằng số cho phù hợp để bài toán đơn giản, thuận lợi hơn
Bài 5.
a) Rút gọn biểu thức:
b) So sánh

A = 24 ( 52 + 1) ( 54 + 1) ( 58 + 1) ( 516 + 1)

A = 10 ( 92 + 1) ( 9 4 + 1) ( 98 + 1) ( 916 + 1)

32
và B = 9 − 1

Giải:
a) Ta có:
A = 24 ( 52 + 1) ( 54 + 1) ( 58 + 1) ( 516 + 1) = ( 5 − 1) ( 5 + 1) ( 52 + 1) ( 54 + 1) ( 58 + 1) ( 516 + 1)
= ( 52 − 1) ( 52 + 1) ( 54 + 1) ( 58 + 1) ( 516 + 1) = ( 54 − 1) ( 54 + 1) ( 58 + 1) ( 516 + 1)
= ( 58 − 1) ( 58 + 1) ( 516 + 1) = ( 516 − 1) ( 516 + 1) = 532 − 1

b) Ta có:
A = 10 ( 92 + 1) ( 94 + 1) ( 98 + 1) ( 916 + 1) = ( 9 + 1) ( 9 2 + 1) ( 9 4 + 1) ( 98 + 1) ( 916 + 1)
⇒ 8A = ( 9 − 1) ( 9 + 1) ( 92 + 1) ( 9 4 + 1) ( 98 + 1) ( 916 + 1) = 932 − 1 = B

Vậy B = 8A
Bài 6. So sánh:
a) 2011.2013 + 2012.2014 và 20122 + 20132 – 2
x 2 − y2
x−y
2
2
b) x + y và x + xy + y với x > y >0

Giải:
4
THAM GIA NHÓM ĐỂ CÓ THÊM NHIỀU TÀI LIỆU HAY
/>

NHĨM SOẠN TÀI LIỆU TỐN THCS
/>a) Ta có:
* Cách 1: 2011.2013 + 2012.2014 = (2012-1)(2012+1) + (2013-1)(2013+1)
= 20122 – 1 + 20132 – 1 = 20122 + 20132 – 2
* Cách 2: 20122 + 20132 – 2= = 20122 – 1 + 20132 – 1
= (2012-1)(2012+1) + (2013-1)(2013+1) = 2011.2013 + 2012.2014
b) Với x > y > 0, ta có:

x − y ( x − y) ( x + y)
x 2 − y2
x 2 − y2
=
=
<
x + y ( x + y ) ( x + y ) x 2 + 2xy + y 2 x 2 + xy + y 2

Bài 7. Tìm x, y, z biết:
a)

5x ( x − 3) ( x + 3) − ( 2x − 3) − 5 ( x + 2 ) + 34x ( x + 2 ) = 1

b)

x 2 − 2x + y 2 + 4y + 5 + ( z − 3) = 0

2

3

2

c) 2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = 0
Giải:
5x ( x − 3) ( x + 3) − ( 2x − 3) − 5 ( x + 2 ) + 34x ( x + 2 ) = 1
2

a) Ta có:

3

⇔ 5x ( x 2 − 9 ) − ( 2x 2 − 12x + 9 ) − 5 ( x 3 + 6x 2 + 12x + 8 ) + 34x 2 + 28x = 1
⇔ −25x = 50 ⇔ x = −2
x 2 − 2x + y 2 + 4y + 5 + ( z − 3) = 0
2

b) Ta có:

⇔ ( x 2 − 2x + 1) + ( y 2 + 4y + 4 ) + ( z − 3) = 0
2

⇔ ( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3) = 0
2

2

2

⇔ x −1 = y + 2 = z − 3 = 0
⇔ x = 1; y = −2; z = 3

c) 2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = 0
⇔ (x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz) + (x2 + 10x + 25) + (y2+ 6y + 9) = 0
⇔ (x + y + z)2 + (x + 5)2 + (y + 3)2 = 0
⇔ (x + y + z)2 = 0; ( x + 5)2 = 0; (y + 3)2 = 0
⇔ x = - 5 ; y = -3; z = 8
Bài 8. Chứng minh rằng:

(a
a)
b)

2

− b 2 ) ( c2 − d 2 ) = ( ac + bd ) − ( ad + bc )
2

( a + b + c)

3

2

= a 3 + b 3 + c3 + 3 ( a + b ) ( b + c ) ( c + a )

5
THAM GIA NHÓM ĐỂ CÓ THÊM NHIỀU TÀI LIỆU HAY
/>

NHĨM SOẠN TÀI LIỆU TỐN THCS
/>Giải:
a) Ta có:

(a −b ) (c −d ) = a c −a d
= ( a c + 2abcd + b d ) − ( a d
2

2

2

2

2 2

2 2

2 2

a + b + c)
b) Ta có: (

3

2

2

2

2

− b 2 c 2 + b 2 d 2 = ( a 2 c 2 + b 2d 2 ) − ( a 2d 2 + b 2 c 2 )

+ 2abcd + b 2c 2 ) = ( ac + bd ) − ( ad + bc )
2

2

= ( a + b ) + c  = ( a + b ) + c3 + 3 ( a + b ) c ( a + b ) + c 
3

3

= a 3 + b3 + 3ab ( a + b ) + c3 + 3 ( a + b ) ( ac + bc ) + c 2 
= a 3 + b3 + c3 + 3 ( a + b ) ( ab + ac + bc + c 2 )
= a 3 + b3 + c3 + 3 ( a + b ) ( b + c ) ( c + a )

Bài 9.
2
2
2
a) Cho a + b + c = ab + bc + ca , chứng minh a = b = c

P = ( x + y) + ( y + z) + ( z + x )

2

b) Cho

2

2

Q = ( x + y) ( y + z) + ( y + z) ( z + x ) + ( z + x ) ( x + y)

Chứng minh rằng: Nếu P = Q thì x = y = z
Giải:
a) Ta có:
a 2 + b 2 + c 2 = ab + bc + ca ⇔ a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca = 0
⇔ 2a 2 + 2b 2 + 2c 2 − 2ab − 2bc − 2ca = 0

⇔ ( a 2 − 2ab + b 2 ) + ( b 2 − 2bc + c 2 ) + ( a 2 − 2ac + c 2 ) = 0
⇔ ( a − b) + ( b − c) + ( a − c)
2

2

2

a − b = o

= 0 ⇔ b − c = 0 ⇔ a = b = c
a − c = 0


2
2
2
b) Đặt x + y = a; y + z =b; z + x = c, ta có: P = a + b + c ; Q = ab + bc + ca

6
THAM GIA NHÓM ĐỂ CÓ THÊM NHIỀU TÀI LIỆU HAY
/>

NHĨM SOẠN TÀI LIỆU TỐN THCS
/>P = Q ⇒ P−Q = 0
⇔ a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca = 0
⇔ 2a 2 + 2b 2 + 2c 2 − 2ab − 2bc − 2ca = 0

⇔ ( a 2 − 2ab + b 2 ) + ( b 2 − 2bc + c 2 ) + ( a 2 − 2ac + c 2 ) = 0
⇔ ( a − b) + ( b − c) + ( a − c) = 0
2

2

2

a − b = 0

⇔ b − c = 0 ⇔ a = b = c ⇔ x + y = y + z = z + x ⇔ x = y = z
a − c = 0


Bài 10. Chứng minh rằng:
3

3
3
a) Nếu a + b + c = 0 thì a + b + c = 3abc
3
3
3
3
b) Nếu a + b + c + d = 0 thì a + b + c + d = 3 ( ab − cd ) ( c + d )

Giải:
a) Ta có:
a + b + c = 0 ⇒ a + b = −c ⇒ c 3 = − ( a + b )

3

⇒ a 3 + b3 + c3 = a 3 + b3 − ( a + b ) = a 3 + b3 − a 3 + b3 + 3ab ( a + b ) 
3

= −3ab ( a + b ) = 3abc
a + b + c + d = 0 ⇒ a + b = −( c + d) ⇒ ( a + b) = −( c + d)
3

b)

3

⇒ a 3 + b3 + 3ab ( a + b ) = −c3 − d 3 − 3cd ( c + d )
⇒ a 3 + b3 + c3 + d 3 = −3ab ( a + b ) − 3cd ( c + d )
⇒ a 3 + b3 + c3 + d 3 = 3ab ( c + d ) − 3cd ( c + d )
⇒ a 3 + b3 + c3 + d3 = 3 ( c + d ) ( ab − cd )

Bài 11. Chứng minh rằng:
a) Tích của 4 số nguyên liên tiếp cộng với 1 là số chính phương.
2
b) n + n + 1 khơng là số chính phương ( n ∈ N *)

Giải:
a) Xét 4 số nguyên liên tiếp a, a+1, a+2, a+3 ( a ∈ Z ) , ta có:

7
THAM GIA NHĨM ĐỂ CĨ THÊM NHIỀU TÀI LIỆU HAY
/>

NHĨM SOẠN TÀI LIỆU TỐN THCS
/>a ( a + 1) ( a + 2 ) ( a + 3) + 1 = ( a 2 + 3a ) ( a 2 + 3a + 2 ) + 1
= ( a 2 + 3a ) ( a 2 + 3a ) + 2  + 1 = ( a 2 + 3a ) + 2 ( a 2 + 3a ) + 1
2

= ( a 2 + 3a+1)

2

Vậy tích của 4 số nguyên liên tiếp cộng với 1 là số chính phương.
b) Ta có:

n 2 < n 2 + n + 1 < n 2 + 2n + 1 ⇒ n 2 < n 2 + n + 1 < ( n + 1)

2

2

2
Số n + n + 1 nằm giữa 2 số chính phương liên tiếp nên n + n + 1 khơng là số
chính phương.

Bài 12.
a) Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14 . Tính: B = a4 + b4 + c4.
1
b) Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng: a + b + c = 2 (a2 + b2 + c2)2
4

4

4

Giải:
a) Từ a2 + b2 + c2 = 14 => (a2 + b2 + c2)2 = 196
⇒ a4 + b4 + c4 + 2a2b2 + 2b2 c2 + 2a2c2 = 196
⇒ B = a4 + b4 + c4 = 196 – 2 (a2b2 + b2 c2 + a2c2)

Từ a + b + c = 0 => (a + b + c)2 = 0 ⇒ a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac) = 0
−(a2 + b2 + c2 ) −14
=
= −7
⇒ ab + bc + ac =
⇒ (ab + bc + ac)2 = 49
2
2
⇒ a2b2 + b2c2 + a2c2 + 2ab2c + 2a2bc + 2abc2 = 49

⇒ a2b2 + b2c2 + a2c2 = 49 – 2abc(a + b + c) = 49

Vậy B = 196 – 2. 49 = 196 – 98 = 98
b) Từ a + b + c = 0 ⇒ a = – (b + c) ⇒ a2 = (b + c)2
⇒ a2 – b2 – c2 = 2bc ⇒ (a2 – b2 – c2)2 = 4b2c2
⇒ a4 + b4 + c4 – 2a2b2 + 2b2c2 – 2a2c2 = 4b2c2
⇒ a4 + b4 + c4 = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2
⇒ 2(a4 + b4 + c4) = a4 + b4 + c4 + 2a2b2 + 2b2 c2 + 2a2c2
⇒ 2(a4 + b4 + c4) = (a2 + b2 + c2 )2
1
⇒ a + b + c = 2 (a2 + b2 + c2)2
4

4

4

8
THAM GIA NHÓM ĐỂ CÓ THÊM NHIỀU TÀI LIỆU HAY
/>

NHĨM SOẠN TÀI LIỆU TỐN THCS
/>Bài 13. Cho ba số x, y, z thoả mãn x + y + z = 0 và x2 + y2 + z2 = a2. Tính giá trị
của biểu thức x4 + y4 + z4.
Giải:
Từ x + y + z = 0 ⇒ x = – (y + z) ⇒ x2 = (y+ z)2
⇒ x2 = y2 + z2 + 2yz ⇒ x2 – y2 – z2 = 2yz ⇒ (x2 – y2 – z2)2 = 4y2z2
⇒ x4 + y4 + z4 – 2x2y2 – 2x2z2 + 2y2 z2 = 4y2z2
⇒ x4 + y4 + z4 = 2x2y2 + 2x2z2 + 2y2 z2
⇒ 2(x4 + y4 + z4 ) = x4 + y4 + z4 + 2x2y2 + 2x2z2 + 2y2 z2 = (x2 + y2 + z2)2 = a4
a4

⇒ x4 + y4 + z4 = 2

1 1 1
+ + =0
Bài 14. Cho a + b + c = 1 và a b c
. Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 = 1

Giải:
Từ a + b + c = 1 ⇒ (a + b + c)2 = 1 ⇒ a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac = 1
⇒ a2 + b2 + c2 + 2(ab+ bc+ ac) = 1 (*)
1 1 1 bc + ac + ab
+ + =
=0
⇒ bc + ac + ab = 0 (**)
abc
Từ a b c

Từ (*) và (**) suy ra a2 + b2 + c2 = 1
1 1 1
1 1 1
+ +
+ 2+ 2 =2
2
a
b
c
a
b c
Bài 15. Chứng minh nếu
= 2 và a + b + c = abc thì

Giải:
2

 1 1 1
1 1 1
+ +
 a + b + c÷

 =4
⇒
Từ a b c = 2
1 1 1 2 2 2
1 1 1
c + a+ b
+ 2+ 2
+ +
+ 2+ 2
2
2
⇒ a b c + ab bc ac = 4 ⇒ a b c + 2 abc
= 4
c + a+ b
1 1 1
+ 2+ 2
2
⇒
⇒
abc
a

b c =4–2=2
Vì a + b + c = abc
=1

Bài 16. Cho a, b, c là các số hữu tỉ, đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:
1
1
1
+
+
2
2
2
N = (a − b) (b − c) (c − a) là bình phương của một số hữu tỉ .

Giải:
9
THAM GIA NHÓM ĐỂ CÓ THÊM NHIỀU TÀI LIỆU HAY
/>

NHĨM SOẠN TÀI LIỆU TỐN THCS
/>2

1
1 
 1
+
+

÷

Xét  a − b b − c c − a 

1
1
1
2
2
2
+
+
+
+
2
2
2
= (a − b) (b − c) (c − a) + (a − b)(b − c) (b − c)(c − a) (a − b)(c − a)

=N+

2(c − a) + 2(a − b) + 2(b − c)
( a− b) (b − c)(c − a)

=N+0=N

2

1
1 
 1
+

+

÷
⇒ N =  a− b b − c c − a 

Vậy N là bình phương của một số hữu tỉ.
x y z
= =
Bài 17. Cho a + b + c = 1; a2 + b2 + c2 = 1; a b c . Tính giá trị của biểu thức:

P = xy + yz + zx.
Giải:
x y z
= =
Đặt a b c = k => x = ak ; y = bk ; z = ck
⇒ P = xy + yz + zx = k2ab + k2bc + k2ac = k2(ab + bc + ac)

Từ a + b + c = 1 ⇒ (a + b + c)2 = 1 ⇒ a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac = 1
⇒ 1 + 2(ab + bc + ac) = 1 ⇒ ab + bc + ac = 0
⇒ P = k2.0 = 0
a b c
x y z
x2 y2 z2
+ +
+ +
+ 2+ 2
2
Bài 18: Cho a b c = 1 và x y z = 0 . Tính A = a b c .

Giải:

x y z
x y z
xy yz zx
x2 y2 z2
+ +
+ +
+ 2+ 2
+ +
2
Từ a b c = 1 ⇒ ( a b c )2 = 1 ⇒ a b c + 2 ab bc ac = 1
xyc + yza+ xzb
xy yz zx
+ +
⇒ A = 1 – 2( ab bc ac ) = 1 – 2
abc

a b c
xyc + yza + xzb
+ +
abc
Từ x y z = 0 ⇒
= 0 ⇒ yza + xzb + xyc = 0
0
⇒ A = 1 – 2 abc = 1

10
THAM GIA NHÓM ĐỂ CÓ THÊM NHIỀU TÀI LIỆU HAY
/>

NHĨM SOẠN TÀI LIỆU TỐN THCS

/>Bài 19. Cho a, b, c thoả mãn (a + b – 2c) 2 + (b + c – 2a)2 + (c + a – 2b)2 = (a –
b)2 + (b – c)2 + (c – a)2. Chứng minh rằng a = b = c.
Giải:
Ta có:
(a + b – 2c)2 = a2 + b2 + 4c2 + 2ab – 4bc – 4ac
(b + c – 2a)2 = b2 + c2 + 4a2 + 2bc – 4ac – 4ab
(c + a – 2b)2 = a2 + c2 + 4b2 + 2ac – 4ab – 4bc
⇒ (a + b – 2c)2 + (b + c – 2a )2 + (c + a – 2b)2 = 3(a – b)2 + 3(b – c)2 + 3(c – a)2
⇒ 3(a – b)2 + 3(b – c)2 + 3(c – a)2 = (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2
2
2
2
⇒ 2é
=0 ⇒ a =b =c
(ëa - b) +( b - c) +( c - a ) ù
ê
ú
û

Bài 20. Cho a > b > 0, thỏa mãn:
a) 3a2 + 3b2 = 10ab, tính
b) 2a2 + 2b2 = 5ab, tính

M=

N=

a- b
a +b

a +b
a- b

Giải:
2

ỉa - b ư
a 2 - 2ab + b 2 3a 2 + 3b 2 - 6ab 10ab - 6ab 1
ữ
ỗ
M =ỗ
ữ
ữ = a 2 + 2ab + b 2 = 3a 2 + 3b 2 + 6ab = 10ab + 6ab = 4
ỗ
ố
ứ
a
+
b
a) Ta cú:
2

M=

1
2 (vỡ a > b > 0 nên M > 0)

b) Tương tự
11...15
11...19

123
123
Bài 21. Cho x = n chữsố1; y = n chữsố1. Chứng minh rằng xy + 4 là số chính

phương.
Giải:
11...19
11...15
123
123
n
n
chư
õ
số
1
Ta có: y =
= chữsố1+ 4 = x + 4

Do đó: xy + 4 = x(x + 4) + 4 = x2 + 4x + 4 = ( x + 2 )2
2
11...17
14 2 43
hay xy + 4 = n chữsố1 là số chính phương.

11
THAM GIA NHĨM ĐỂ CĨ THÊM NHIỀU TÀI LIỆU HAY
/>

NHĨM SOẠN TÀI LIỆU TỐN THCS

/>
Bài 22. Cho x ≠ 0 và
A = x2 +

1
x2

x+

1
=a
x
. Tính các biểu thức sau theo a:

B = x3 +

1
x3

C = x6 +

1
x6

D = x7 +

Giải:
Ta chứng minh được, khi n>1, ta có:
xn+1 +

1  n 1 
1   n−1
1 
=
x
+
x
+
−
x
+

÷
÷

xn+1 
xn 
x 
xn−1 ÷

2
Ta tính được A = a − 2

C = a6 − 6a4 + 9a2 − 2

B = a3 − 3a

D = a7 − 7a15 + 14a3 − 7a

Bài 23: Tìm GTNN của các biểu thức:

2
a) A = 4x + 4x + 11

b) B = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)
2
2
c) C = x − 2x + y − 4y + 7

Giải:
A = 4x2 + 4x + 11 = 4x2 + 4x + 1+ 10 = ( 2x + 1) + 10 ≥ 10
2

a)

⇒ Min A = 10 khi

x= −

1
2.

b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) = (x-1)(x+6)(x+2)(x+3)
= (x2 + 5x – 6)(x2 + 5x + 6) = (x2 + 5x)2 – 36 ≥ -36
⇒ Min B = -36 khi x = 0 hoặc x = -5.
2
2
c) C = x − 2x + y − 4y + 7

= (x2 – 2x + 1) + (y2 – 4y + 4) + 2 = (x – 1)2 + (y – 2)2 + 2 ≥ 2
⇒ Min C = 2 khi x = 1; y = 2.

Bài 24: Tìm GTLN của các biểu thức:
a) A = 5 – 8x – x2
b) B = 5 – x2 + 2x – 4y2 – 4y
C = ( 2x − 1) − 32x − 1 + 2 = 2x − 1 − 32x − 1 + 2
2

c)

2

Giải:
12
THAM GIA NHÓM ĐỂ CÓ THÊM NHIỀU TÀI LIỆU HAY
/>
1
x7


NHĨM SOẠN TÀI LIỆU TỐN THCS
/>a) A = 5 – 8x – x2 = -(x2 + 8x + 16) + 21 = -(x + 4)2 + 21 ≤ 21
⇒ Max A = 21 khi x = -4.

b) B = 5 – x2 + 2x – 4y2 – 4y = -(x2 – 2x + 1) – (4y2 + 4y + 1) + 7
= -(x – 1)2 – (2y + 1)2 + 7 ≤ 7
⇒ Max B = 7 khi x = 1,

y= −

1

2.

C = ( 2x − 1) − 32x − 1 + 2 = 2x − 1 − 32x − 1 + 2
2

c)

2

Đặt t = 2x − 1 thì t ≥ 0. Do đó N = t2 – 3t + 2 =
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

t−

(t − 32 )2 −

1
1
⇒N≥−
4
4.

3
3
= 0⇔ t =
2
2

3
5



2x − 1 =
x=


3
3
2 ⇒
4
t = ⇒ 2x − 1 = ⇒ 

2
2 
3 
1
1
2x − 1 = −
x= −
N=−

2 
4
4 khi
Do đó

Vậy min

N=−

1
5
1
⇔ x=
x= −
4
4 hay
4.

Bài 25: Cho x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức M = x3 + y3.
Giải:
M = x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) = x2 - xy + y2
2

x2 y2 x2
y2 1 2
y 
 x
1 2 2
=
+ + − xy +
= (x + y2 ) + 
−
÷ ⇒ M ≥ (x + y )
2 2 2
2 2
2
 2
2
Ngoài ra: x + y = 1 ⇒ x2 + y2 + 2xy = 1 ⇒ 2(x2 + y2) – (x – y)2 = 1

=> 2(x2 + y2) ≥ 1
Do đó

x2 + y2 ≥

1
1
1
x2 + y2 = ⇔ x = y =
2 và
2
2

1
1
1 1 1
M ≥ (x2 + y2 )
(x2 + y2 ) ≥ ⇒ M ≥ . =
2
2
2 2 4
Ta có:
và

Do đó

M≥

1

1
⇔ x= y=
4 và dấu “=” xảy ra
2

13
THAM GIA NHÓM ĐỂ CÓ THÊM NHIỀU TÀI LIỆU HAY
/>

NHĨM SOẠN TÀI LIỆU TỐN THCS
/>
Vậy GTNN của

M=

1
1
⇔ x= y=
4
2

Bài 26: Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện: (x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0.
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức x2 + y2.
Giải:
(x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0
⇔ [(x2 + 1) – y2]2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0
⇔ x4 + 2x2 + 1 + y4 – 2y2(x2 + 1) + 4x2y2 – x2 – y2 = 0
⇔ x4 + y4 + 2x2y2 + x2 – 3y2 + 1 = 0
⇔ x4 + y4 + 2x2y2 - 3x2 – 3y2 + 1 = -4x2
⇔ (x2+y2)2-3(x2+y2)+1=-4x2

Đặt t = x2 + y2. Ta có: t2 – 3t + 1 = -4x2
Suy ra: t2 – 3t + 1 ≤ 0
2

3
9 5
5
3
5
 3
⇔ t − 2. .t + − ≤ 0 ⇔  t − ÷ ≤ ⇔ t − ≤
2
4 4
4
2
2
 2
2

⇔−

5
3
5
3− 5
3+ 5
≤ t− ≤
⇔
≤ t≤

2
2 2
2
2

3+ 5
Vì t = x2 + y2 nên : GTLN của x2 + y2 = 2
3− 5
GTNN của x2 + y2 = 2

Bài 27: Cho 0 ≤ a, b, c ≤ 1. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:
P = a + b + c – ab – bc – ca.
Giải:
Ta có: P = a + b + c – ab – bc – ca = (a – ab) + (b - bc) + (c – ca)
= a(1 – b) + b(1 – c) + c(1 – a) 0 (vì 0 ≤ a,b,c ≤ 1)
Dấu “=” có thể xảy ra chẳng hạn: a = b = c = 0
Vậy GTNN của P = 0
Theo giả thiết ta có: 1 – a ≥ 0; 1 – b ≥ 0; 1 – c ≥ 0;
⇒ (1-a)(1-b)(1-c) = 1 + ab + bc + ca – a – b – c – abc ≥ 0
⇒ P = a + b + c – ab – bc – ac ≤ 1− abc ≤ 1

14
THAM GIA NHÓM ĐỂ CÓ THÊM NHIỀU TÀI LIỆU HAY
/>

NHĨM SOẠN TÀI LIỆU TỐN THCS
/>Dấu “=” có thể xảy ra chẳng hạn: a = 1; b = 0; c tùy ý ∈ [ 0;1]
Vậy GTLN của P = 1.
Bài 28: Cho x + y = 2. Tìm GTNN của biểu thức: A = x2 + y2.
Giải:

Ta có: x + y = 2 ⇒ y = 2 – x
Do đó: A = x2 + y2 = x2 + (2 – x)2 = x2 + 4 – 4x + x2 = 2x2 – 4x + 4
= 2( x2 – 2x) + 4 = 2(x – 1)2 + 2 ≥ 2
Vậy GTNN của A là 2 tại x = y = 1.
Bài 29: Cho M = a + 3− 4 a − 1 + a + 15− 8 a − 1 . Tìm TGNN của M
Giải:
M = a + 3− 4 a − 1 + a + 15 − 8 a − 1
= a − 1− 4 a − 1 + 4 + a − 1− 8 a − 1 + 16 =

(

)

2

a− 1 − 2 +

(

)

a− 1 − 4

2

Điều kiện để M xác định là a – 1 ≥ 0 <=> a ≥ 1
Ta có:

M=

a− 1 − 2 +

a− 1 − 4

Đặt x = a − 1 điều kiện x ≥ 0, ta có:
M = M = x − 2 + x − 4 = x − 2 + 4 − x …x − 2 + 4 − x = 2
Dấu “=” xảy ra ⇔ 2 £ x £ 4 ⇔ 2 £ a- 1 £ 4 ⇔ 4 £ a- 1£ 16 ⇔ 5 £ a £ 17

15
THAM GIA NHÓM ĐỂ CÓ THÊM NHIỀU TÀI LIỆU HAY
/>