Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN - Dạy học giới hạn theo hướng phát huy tính tích cực học tập của học sinh

1. Lời giới thiệu :
Giáo dục phổ thông nước ta đang thực hiện bước chuyển từ chương trình trình
giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng lực người học, để thực hiện được
điều đó giáo viên cần phải thay đổi cách dạy và cách học theo hướng tích cực
hóa người học. Giáo viên cần chú trọng việc hướng dẫn và rèn luyện phương
pháp học tập cho học sinh. Giúp học sinh củng cố nâng cao kiến thức, vận dụng
kiến thức giải quyết bài toán thực tế. Đặc biệt là sử dụng hệ thống bài tập nhằm
phát triển năng lực cho học sinh trong quá trình dạy học.
Hiện nay, trong xu thế đổi mới của nghành giáo dục về phương pháp dạy học
cũng như phương pháp kiểm tra đánh giá. Cụ thể là phương pháp kiểm tra đánh
giá bằng trắc nghiệm khách quan địi hỏi học sinh khơng những phải học kĩ, nắm
vững toàn bộ kiến thức của chương trình mà cịn phải có khả năng phản ứng
nhanh đối với các dạng tốn và phải có kĩ năng giải bài tập trắc nghiệm.
Trong q trình bồi dưỡng ơn thi đại học, tơi nhận thấy dạng bài tập về
tính giới hạn của dãy số và tính giới hạn của hàm số thường có mặt trong trong
đề thi THPT Quốc gia. Dạng bài tập này có từ dễ đến khó, đặc biệt là biết ứng
dụng nó vào bài tốn thực tế thường gây ra nhiều khó khăn, lúng túng cho học
sinh nhất là những học sinh có kĩ năng phân tích đề không tốt, nhiều học sinh
chỉ nhớ công thức, nhớ dạng bài một cách máy móc, do đó chỉ làm được các bài
tập quen thuộc (thậm chí khơng làm được). Đối với dạng bài tập này nếu giáo
viên bổ sung cho học sinh thêm bài tập và rèn kỹ năng chuyển bài tốn lạ về
dạng quen thuộc với nhiều tình huống khác nhau từ đó giúp học sinh định hướng
cách giải cho từng dạng bài cụ thể là rất cần thiết.
Đối với học sinh của trường Quang Hà là học sinh ở vùng tuyển sinh có
điểm đầu vào thấp , khả năng phân tích đầu bài cịn hạn chế, nên làm thế nào có
thể nâng cao được điểm thi của các em trong kì thi quốc gia chung, giúp các em
có thể làm tốt được một lớp câu hỏi trong đề thi Tốn nói chung và trong phần
tính giới hạn và xác định đồ thị hàm số sau nói riêng luôn là sự trăn trở của tôi
khi giảng dạy nên tôi chọn đế tài “Dạy học giới hạn theo hướng phát huy tính
tích cực học tập của học sinh”
2. Tên sáng kiến:

Dạy học giới hạn theo hướng phát huy tính tích cực học tập của học sinh
3. Tác giả sáng kiến:

1


- Họ và tên: Tạ Thị Lan Phương
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Quang Hà
- Số điện thoại: 0984742636.
E_mail:
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Tạ Thị Lan Phương
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:
Sáng kiến được áp dụng trong quá trình dạy học phần Giới hạn lớp 11 ở trường
trung học phổ thông khi ôn thi THPT Quốc gia.
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu: tháng 1/2019
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:
- Về nội dung của sáng kiến:

PHẦN I. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Định nghĩa:
Định nghĩa 1:
Ta nói rằng dãy số (un ) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu | un | có
thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
u = 0 hay un → 0 khi n → +∞
Kí hiệu: nlim
→+∞ n
Định nghĩa 2:
Ta nói rằng dãy số (vn ) có giới hạn là số a (hay vn dần tới a ) khi n → +∞ , nếu
lim(vn − a) = 0

n →+∞
v = a hay vn → a khi n → +∞
Kí hiệu: nlim
→+∞ n
u = a ta viết lim un = a
Chú ý: Thay cho nlim
→+∞ n
2. Một vài giới hạn đặc biệt:
1
1
lim = 0; lim k = 0 ( k ∈ ¢ *+ )
n
n
n
lim q = 0 (| q |< 1)
lim c = c (Với c là hằng số)
2


3. Định lý về giới hạn hữu hạn:
Nếu lim un = a và lim vn = b thì:
• lim(un + vn ) = a + b

• lim(un − vn ) = a − b

• lim(un .vn ) = a.b

• lim

un a

= (b ≠ 0)
vn b

Nếu un ≥ 0 (∀n) và lim un = a thì: a ≥ 0 & lim un = a
4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:
- Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vơ hạn (un ) có cơng bội q, với
| q |< 1 - Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
(un ) : S = u1 + u2 + ... + u n + ... =

u1
(| q |< 1)
1− q

5. Dãy số dần tới vô cực:
a) Định nghĩa:
- Ta nói rằng dãy số (un ) có giới hạn + ∞ khi n → +∞ , nếu un có thể lớn
hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu: lim un = +∞ hay un → +∞ khi n → +∞ .
- Ta nói rằng dãy số (un ) có giới hạn - ∞ khi n → +∞ , nếu lim(−un ) = +∞
Kí hiệu: lim un = −∞ hay un → −∞ khi n → +∞ .
k
*
n
b) Giới hạn đặc biệt: lim n = +∞, (k ∈ ¢ + ) ; lim q = +∞, (q>1)

c) Định lí:

un
=0
vn

Nếu lim un = a > 0, lim vn = 0 và vn > 0 với mọi n thì lim(u n / vn ) = +∞
Nếu lim un = a và lim vn = ±∞ thì lim

Nếu lim un = +∞ và lim vn = a > 0 thì lim(un .vn ) = +∞ .
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN:
1. Giới hạn của dãy số (un ) với un =

P (n)
, P (n), Q(n) là các đa thức của n
Q(n)

Phương pháp:
- Rút nk ra làm nhân tử (k là bậc cao nhất của n có trong cả hai đa thức
P (n), Q( n) ) rồi rút gọn.
- Sử dụng các giới hạn đặc biệt và định lí về giới hạn dãy số.
Chú ý:
3


- Nếu bậc của P (n) nhỏ hơn bậc của Q( n) thì lim un = 0
- Nếu bậc của P (n) bằng bậc của Q( n) và bằng k thì lim un =

pk
, với pk , q k
qk

lần lượt là hệ số của nk của P (n), Q( n)
- Nếu bậc của P (n) lớn hơn bậc của Q( n) thì lim un = +∞ hoặc lim un = −∞
2. Giới hạn của dãy số (un ) với un =

f ( n)
, f (n), g ( n) là các biểu thức chứa căn:
g ( n)

Phương pháp:
- Rút nk ra làm nhân tử (k là bậc cao nhất của n có trong cả hai đa thức
P (n), Q( n) ) rồi rút gọn.
- Sử dụng các giới hạn đặc biệt và định lí về giới hạn dãy số.
Chú ý:
- Nếu khơng đưa được về các giới hạn đặc biệt thì sử dụng kỹ năng biến đổi đại
số: nhân và chia cho lượng liên hợp (nhân cả tử, mẫu số với lượng liên hợp):
A − B là

Lượng liên hợp của

A+ B

Lượng liên hợp của

3

A − 3 B là

3

A2 + 3 A.B + 3 B 2

Lượng liên hợp của

3

A + 3 B là

3

A2 − 3 A.B + 3 B 2

C. CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:
n 2 + 3n − 4
1. lim
12n 2 + 19n + 77

n 2 + 3n − 4
2. lim
12n 2 + 19n + 77

4n 2 + 1 + n
3. lim
3n − 2

4n 3 + 1 + n
4. lim
3n − 2

5. lim( 2n 2 − n + 2 − n)

6. lim( n 2 − n + 2 − n)

Hướng dẫn giải:

3 4
3 4
− 2)
1+ − 2
n + 3n − 4
n n
n n = 1
1. lim
=
lim
=
lim
19 77
19 77
12n 2 + 19n + 77
n 2 (12 + + 2 )
12 + + 2 12
n n
n n
2

n 2 (1 +

4


3 4
3 4
− 2)
(1 + − 2 )

n + 3n − 4
1
n n
n n
2. lim
= lim
= lim
=
2
19 77
19 77
12n + 19n + 77
n 2 (12 + + 2 )
(12 + + 2 ) 12
n n
n n
n 2 (1 +

2

4n + 1 + n
= lim
3n − 2
2

3. lim

= lim

1

+1
4 +1
n2
=
=1
2
3
3−
n

4+

4n + 1 + n
= lim
3n − 2
3

4. lim

= lim

1
1
)+n
n 4+ 2 +n
2
n
n
= lim
2

3n − 2
n(3 − )
n

n 2 (4 +

1
1
)+n
n n 4+ 3 +n
3
n
n
= lim
3
2
3n − 2
n n(
−
)
n n n

n3 (4 +

1
1
+
2
n
n = +∞

3
2
−
n n n

4+

5. lim( 2n 2 − n + 2 − n) = lim[n( 2 −
6. lim( n − n + 2 − n) = lim
2

1 2
+ − 1)] = +∞
n n2

( n 2 − n + 2 − n)( n 2 − n + 2 + n)
n2 − n + 2 + n

2
n( −1 + )
n −n+2−n
−n + 2
n
= lim 2
= lim 2
= lim
1 2
n −n+2 +n
n −n+2 +n
n( 1 − + 2 + 1)

n n
2
−1 +
1
n
= lim
=−
2
1 2
1− + 2 +1
n n
2

2

Ví dụ 2:
a) Tính các giới hạn sau:
5


1. lim

2n − 4.3n
3.2 n + 5.3n

2. lim

3.2n+1 + 4.5n
3.4n − 5.3n

b) Tính tổng:
S = 2(1 +

1 1
1
+ + ... + n + ...)
2 4
2

Hướng dẫn giải:
2
( )n − 4
2 − 4.3
−4
1. lim n
= lim 3
=
n
2
3.2 + 5.3
3.( ) n + 5 5
3
n

a)

n

2
6.( ) n + 4

3.2 + 4.5
5
2. lim
= lim
= +∞
n
n
4
3 n
3.4 − 5.3
n
3.( ) − 5.( )
5
5
n +1

b)

S = 2(1 +

n

1 1
1
1
+ + ... + n + ...) = 2.
=2 2
1
2 4
2

1−
2

Ví dụ 3:
1

u
=
 1 2
1. Cho dãy số có giới hạn (un) xác định bởi: 
un +1 = 1 , n ≥ 1
2 − un

Tìm lim un.
Hướng dẫn:
1
2
3
Ta có u1 = , u2 = , u3 = ,...
2
3
4
Dự đốn un =
Vậy

n
, n ∈ ¥ * (Chứng minh bằng qui nạp toán học)
n +1

lim un = lim

n
1
= lim
=1
1
.
n +1
1+
n

u0 = 2019

1
2. Cho dãy số (un) được xác định bởi: 
u
=
u
+
n
+
1
n

un2

6


Tìm lim

un3
.
n

Hướng dẫn:
Ta thấy un > 0 với mọi n
3
3
Ta có un+1 = un + 3 +

3 1
+ (1)
un3 un6

3
3
3
3
3
3
Suy ra: un+1 > un + 3 ⇒ un > un−1 + 3 ⇒ un > u0 + 3n(2) .
3
3
Từ (1) và (2), suy ra un+1 < un + 3 +

3
3
Do đó un < u0 + 3n +

Lại có:

1
1
1
1
+ 3
< un3 + 3 +
+ n
2
u + 3n (u0 + 3n)
3n 9n
3
0

1 n 1 1 n 1
∑ + ∑ (3)
3 k =1 k 9 k =1 k 2

n
1
1
1
1
1
1
<1+
+
+
...

+
=
2
−
<
2.
≤ n.
∑
∑
2
k =1 k
1.2 2.3
(n − 1).n
n
k =1 k
n

1

n

∑k
k =1

2

< 2n

2
2n

u03 un3
u03 2
2
hay 3 + < < 3 + +
+
Nên u + 3n < u < u + 3n + +
9
3
n n
n 9n 3 n
3
0

3
n

3
0

un3
Vậy lim = 3 .
n
D. BÀI TẬP
Bài 1. Tính các giới hạn sau:
2n + 1
1. lim
1 − 3n
4. lim

(2n + 1) 2 (n 2 + n − 1)

2. lim
(1 − 3n)3 (2n − 1)

2n 2 + n − 1
3n + 1

n3 + n − 1
5. lim
3n + 5

(2n + 3)9 .(n 2 + 2n) 4
7. lim
3
lim
(3n3 + 2n − 1)5 .(n 2 − 1)8.
10. lim( n 2 + 3n − n)

3

3n 2 + 1 − 1

2n 4 + 3n − n

13. lim( n + 9n − n)

16. lim

3

2

6. lim

3n 4 + 2
n 2 + 2 − 3 3n3 + 1
4

2n 4 + 3n − n

9. lim[(n − 1).

2n + 1
]
n 4 + 3n 2 − 1

12. lim( n 2 − 1 − 2n 2 + 1)
11. lim[n.( n 2 + 1 − n)]

3

3. lim

−n 2 + n − 1

15. lim( 3 1 + n 2 − 8n3 + 2n)

14. lim( 3 n3 + 2n 2 − n 2 + 2n )

1
(Đề thi THPT Quốc gia 2018)

5n + 2
7


Bài 2. Tính các giới hạn sau:
1. lim

2 − 3n
1 + 2.3n

3.5n +1 + 4.3n+ 2
4. lim n +1
8.4 − 9.3n −2

2. lim

3n − 4.2n−1 − 3
3.2n + 4n

4n + 2n+1
5. lim
4.3n + 4n + 2

3. lim(4n − 2.5n )

6. lim

1 + a + a 2 + ... + a n
1 + b + b 2 + ... + b n (với

a, b là số thực: |a| <1, |b| <1)

Bài 3.
2
2
a) Cho f ( n) = (n + n + 1) + 1 & un =

b) Cho dãy số u n =

f (1). f (3)... f (2n − 1)
. Tính lim n un .
f (2). f (4)... f (2n)

1
1
1
+
+ ... +
. Tính limun.
2+ 2 3 2 +2 3
( n + 1) n + n n + 1
2k − 1
. Tính limun.
k =1
2k
n

c) Cho dãy số (un) mà u n = ∑

u1 = 10


d) Cho dãy số (un) xác định bởi: 
. Tính limun.
1
*
u
=
u
+
3,
n
∈
¥
n
+
1
n

5
u1 = 10

e) Cho dãy số (un ) xác định bởi: 
. Tính limun.
1
*
u
=
u
+
3,

n
∈
¥
 n +1 5 n
u1 = 1

un − 4
g) Cho dãy số (un ) xác định bởi: 
* . Tính limun.
u
=
,
n
∈
¥
n
+
1

un + 6

u1 = 1
h) Cho dãy số (un ) xác định bởi: 
.
*
un +1 = un (un + 1)(un + 2)(un + 3) + 1, n ∈ ¥
1
.Tính limvn.
i =1 u + 2
i

n

Đặt vn = ∑

E. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
a) Nếu limun = a vàlim vn = b thì lim(un + vn) = a + b

8


b) Nếu limun = a vàlim vn = b thì lim(un − vn) = a − b
c) Nếu limun = +∞ vàlim vn = +∞ thì lim(un − vn) = 0
d) Nếu limun = an và-1Câu 2: Với k là số nguyên dương, trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
k
a) limn = +∞

Câu 3: Kết quả lim

k
b) limn = −∞

c) lim

1
=0
nk

d) lim

1
=0
nk

2n3 − n2 + 3n + 1
bằng:
1− 2n3

a) -1
Câu 4: Kết quả lim

b) -2

c) -3

d) -4

c) 6

d) +∞

1
2

c) 2

d) −2

3

5

c) 3

d) −3

c) 3

d) 1

c) 3 2

d) 2

c) 2

d) 0

c) 0

d)

n2 − 16
bằng:
n− 4

a) 8

b) 4

3 3
2
Câu 5: Kết quả lim n − 2n + n + 1 bằng:

2n + 1

a)

1
2

b) −

2n + 3.5n
Câu 6: Kết quả lim n+1 n+1 bằng:
2 +5

a)

3
5

b) −

  2 n 
Câu 7: Kết quả lim2 +  ÷  bằng:
  3  

a) 2

b) 0

8n2 − 1
Câu 8: Kết quả lim
bằng:
n2

a) 2
Câu 9: Kết quả lim

b) 2 2
n2 − n + 3
bằng:
n3 + 2n

a) 3

b) 1

−1
Câu 10: Kết quả lim(2+ ( )

n

n+ 1

a) 2

) bằng:

b) 1

9

1
2


Câu 11: Kết quả lim

n− 1
bằng:
n

a) 1

b) 0

Câu 12: Kết quả lim
a)

c) 3

d) 2

c) 2

d) 0

c) 2

d)

n+ 2
bằng:
n+ 1

1
2

b) 1

n2 − n + 2
Câu 13: Kết quả lim 2
bằng:
2n − 1

a) 1

b) 0

Câu 14: Kết quả lim

1
2

−2n2 + n + 1
bằng:
3n3 + 4n

a) 3

b) 2

c) 1

d)

0
Câu 15: Kết quả lim

2n2 − 3n + 2
n4 + n2 − 1

a) 2

bằng:
b) 1

c)

1
2

d) 3

2n + 4n
Câu 16: Kết quả lim n n bằng:
2.3 + 4

a) 0
Câu 17: Kết quả lim

b) 2

d)

c) 2

d) 3

1
3

d) 3

2n3 + n2 + 1
bằng:
(n + 1)(2n2 − 1)

a) 1
Câu 18: Kết quả lim

1
2

c) 1

b) 0
(n + 1) n2 − n + 1

bằng:
3n2 + n

a) 0

b) 1

c)

2
Câu 19: Kết quả lim n + n + n+ 1 bằng:

2n − 1

a) 0
Câu 20: Kết quả lim

b) 1

c) 2

n n2 + 1 + 2n2
bằng:
4n3 + n − 3

10

d)

1

3


a) 2

b) 1

1
3

d) 0

c) −∞

d) 0

c) −∞

d) +∞

c) 0

d) -2

c)2

d) 2

c)5

d) 3

c)

Câu 21: Kết quả lim(−n3 + 2n2 ) bằng:
b) +∞

a) 1
Câu 22: Kết quả lim
a)

n4 − 5n2 + 4
bằng:
2n2 − 1

1
2

b)1

Câu 23: Kết quả lim(−2n3 + n2 − 3) bằng:
b) −∞

a) +∞

Câu 24: Kết quả lim 2n4 − 3n2 + 11 baèng:
b) −∞

a) +∞
Câu 25: Kết quả lim

5n2 − 3n + 7
bằng:
3n − 2

b) −∞

a) +∞

4
3
Câu 26: Kết quả lim 2n + n − n bằng:

2n + 3

b) −∞

a) +∞

(

c)

1
2

d) 2

)

Câu 27: Kết quả lim n + 1 − n n bằng:
a) +∞

b) −∞

)

(

c) 2

d) 0

c) 1

d) 0

c) 1

d) 0

c) 1

d) 3

c) 0

d)

2

Câu 28: Kết quả lim n + n + 1 − n bằng:

b) −∞

a) +∞

n
n
Câu 29: Kết quả lim( 2 − 3 ) bằng:

b) −∞

a) +∞

3n + 1
bằng:
1− 2n

Câu 30: Kết quả lim

b) −∞

a) +∞
Câu 31: Kết quả lim
a) +∞

1
bằng:
n − n+ 3
2

b) 1

11

1
3


Câu 32: Kết quả lim

10
bằng:
2.4n − 3

b) −∞

a) +∞

c) 1

d) 0

c) 1

d)

n n



1 ( −1) 2 ÷

lim
+
Câu 33: Kết quả
bằng:
2
3n ÷



a)

1
2

Câu 34: Kết quả lim

b) 0

1
6

n− n
bằng:
n

a) 1

b) 2

c)

1
2

d) 0

n2 + n
Câu 35: Kết quả lim
bằng:
3n2

b) −∞

a) 2
Câu 36: Kết quả lim
a)

c) 1

d)

1
3

c) 1

d)

1
10

2n − 100 − 3n
bằng:
7.2n + 10.3n

−1
10

b) −

1
12

n
n
Câu 37: Kết quả lim( 4.2 − 15.3 + 1000) bằng:

b) −∞

a) +∞
Câu 38: Kết quả lim

c) 4

d) 1000

c) 1

d) 2

c) 1

d)

c) -3

d) 0

n+ 2 − 2
bằng:
n

a) +∞

b) 0

2
Câu 39: Kết quả lim n + n + 2n bằng:

3n + 1

a) +∞
Câu 40: Kết quả lim
a) 1

b) 0

1

3

4n + 3
bằng:
32n − 1

b) 3

12


PHẦN II. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ:
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm:
1. Định nghĩa:
Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số f(x) xác định trên khoảng K hoặc
trên K \ {x0}.
Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn) bất kì,
xn ∈ K \ {x0} và xn → x0 , ta có f ( xn ) → L
Kí hiệu: lxi→mx f ( x) = L hay f ( x) → L khi x → x0
0

(Khoảng K là khoảng (a; b), (- ∞ ; b), (a; + ∞ ) hoặc (- ∞ ; + ∞ ))
• lim
[ f ( x) + g ( x)] = L + M
x→ x
M=. LKhi
a) Giả sử lxi→mx f ( x) =• Llim
và[ lfxi→(mxx)g−( xg)(=x)]
− Mđó:

2. Định lí:

0

0

x → x0

0

• lim
[ f ( x).g ( x)] = L.M
x→ x
b) Nếu f ( x) ≥ 0 và lxi→mx f f( x( )x)= L Lthì L ≥ 0 và lxi→mx f ( x) = L .
• lim
= ( M ≠ 0).
x→ x
g
(
x
)
M đang tìm giới hạn, với x ≠ x0 )
(Dấu của f(x) được xét trên khoảng
0

0

0

0

c) Cho ba hàm số f(x), g(x), h(x) xác định trên khoảng K chứa điểm x0 ( có thể
g ( x) = lim
h( x ) = L
trừ x0) và g ( x) ≤ f ( x) ≤ h( x ), ∀x ∈ K , x ≠ x0 và lim
x→ x
x→ x
⇒ lim
f ( x) = L
x→ x
0

0

0

3. Mở rộng khái niệm giới hạn hàm số:
a) Trong định nghĩa giới hạn hàm số, nếu với mọi dãy số (xn) mà limx n = x0 dều
có limf(x n ) = +∞ thì ta nói f(x) dần tới dương vơ cực khi x dần tới x0.
f(x) = +∞
Kí hiệu: lim
x→ x
0

− f(x)] = +∞ thì lim
f(x) = −∞
Nếu lim[
x→ x
x→ x
0

0

b) Trong định nghĩa giới hạn hàm số, nếu với mọi dãy số (xn) mà limx n = −∞
dều có limf(x n ) = L thì ta nói f(x) có giới hạn là L khi x dần tới âm vô cực.
f(x) = L .
Kí hiệu: xlim
→−∞
(nếu với mọi dãy số (xn) mà limx n = +∞ dều có limf(x n ) = L thì ta nói f(x) có
giới hạn là L khi x dần tới dương vơ cực.
f(x) = L )
Kí hiệu: xlim
→+∞
13


c) Trong định nghĩa giới hạn hàm số, nếu với mọi dãy số (xn) mà
f(x)
x n > x0 , ∀n ∈ ¥ * thì ta nói f(x) có giới hạn về bên phải tại x0. Kí hiệu: lim
x→ x
+
0

*
- Nếu với mọi dãy số (xn) mà x n < x0 , ∀n ∈ ¥ thì ta nói f(x) có giới hạn về bên
f(x)
trái tại x0. Kí hiệu: lim
x→ x
−
0

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN:
f ( x) = f ( x0 ) nếu f(x) xác định tại x0.
Loại 1. Giới hạn lim
x→ x
0

Loại 2. Giới hạn hàm số dạng lim
x→ x
0

f ( x) 0
,( )
g ( x) 0

- Nếu f(x), g(x) là các đa thức thì nhóm nhân tử chung (x – x0 ) rồi giản ước, đưa
về loại 1.
- Nếu f(x), g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân cả tử số và mẫu số với lượng
liên hợp rồi nhóm nhân tử chung (x – x0 ) và giản ước, đưa về loại 1.
Loại 3. Giới hạn hàm số dạng xlim
→±∞

f ( x) ∞
,( )
g ( x) ∞

- Chia cả tử số và mẫu số cho xk với k là bậc cao nhất của f(x), g(x), rút gọn và áp
dụng định lí về giới hạn.
- Chú ý: x → +∞ thì x > 0, x → −∞ thì x < 0 để đưa x ra (vào) khỏi căn bậc
chẵn.

[f ( x).g (x)],(0.∞)
Loại 4. Giới hạn hàm số dạng xlim
→±∞
Biến đổi đưa về loại 3
[ f ( x) − g (x)],(∞ − ∞)
Loại 5. Giới hạn hàm số dạng xlim
→±∞
Nhân và chia lượng liên hợp, ta được xlim
→±∞

f ( x ) − g ( x)
, đưa về loại 3.
f ( x) + g ( x)

C. CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:
1. lim
x →1

x2 − 1
x −1

4x − 3 − 1
3. lim
x →1
x −1
3

2. lim
x →3

x +1 − 2
3x − 3

2 1+ x − 3 8 − x
4. lim
x →0
x

1 + 2 x − 3 1 + 3x
5. lim
x →0
x2
14


Hướng dẫn giải:
x2 − 1
1. lim
= lim( x + 1) = 1 + 1 = 2
x →1
x − 1 x→1
x +1 − 2
( x + 1 − 2)( x + 1 + 2)( 3 x + 3)
= lim
x →3
3x − 3
( 3 x − 3)( x + 1 + 2)( 3 x + 3)

2. lim

x →3
= lim
x →3

( x − 3)( 3 x + 3)
( 3 x + 3)
1
= lim
=
(3x − 9)( x + 1 + 2) x→3 3( x + 1 + 2) 2

( 3 4 x − 3 − 1)( 3 (4 x − 3) 2 + 3 4 x − 3 + 1)
4x − 3 − 1
3. lim
= lim
x →1
x →1
x −1
( x − 1)( 3 (4 x − 3) 2 + 3 4 x − 3 + 1)
3

= lim
x →1
= lim
x →1

4( x − 1)
( x − 1)( 3 (4 x − 3) 2 + 3 4 x − 3 + 1)
4
3

4. lim
x →0

(4 x − 3) 2 + 3 4 x − 3 + 1

=

4
3

2 1+ x − 3 8 − x
2 1+ x − 2 3 8 − x − 2
= lim(
−
)
x →0
x
x
x

2( 1 + x − 1)( 1 + x + 1) ( 3 8 − x − 2)( 3 (8 − x) 2 + 2 3 8 − x + 4)
= lim(
−
)
x →0
x( 1 + x + 1)
x( 3 (8 − x) 2 + 2 3 8 − x + 4)
= lim(
x →0

2
1
2 1 13
+
)
=
+ =
1 + x + 1 3 (8 − x) 2 + 2 3 8 − x + 4 2 12 12

1 + 2 x − 3 1 + 3x
1 + 2 x − ( x + 1) ( x + 1) − 3 1 + 3 x
5. lim
= lim(
+
)
x →0
x →0
x2
x2
x2
− x2
x 3 + 3x 2
= lim(
+
)
x →0
x 2 ( 1 + 2 x + x + 1) x 2 ((x + 1) 2 + ( x + 1) 3 1 + 3 x + 3 (1 + 3 x) 2 )
= lim(
x →0

=

−1
x+3
+
)
1 + 2 x + x + 1 (x + 1) 2 + ( x + 1) 3 1 + 3 x + 3 (1 + 3 x) 2

−1 3 1
+ =
2 3 2

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:
2x + 1
1. xlim
→−∞
3x − 2

2. xlim
→−∞

15

x + x2 + 2
8x2 + 5x + 2


3. xlim
→+∞

(2 x + 1)3 .( x 2 − 1) 2
4. xlim
→+∞
(3x − 2) 4 .( x 4 + 4)

x + x2 + 2
8x2 + 5x + 2

(2 x + 1)3 .( x 2 − 1) 2
5. xlim
→+∞
(3 x − 2) 4 .( x 2 + 4)
Hướng dẫn giải:
1
2x + 1
x =2
1. xlim
=
lim
→−∞
3x − 2 x→−∞ 3 − 2 3
x
2+

2
2
x − x 1+ 2
2
x+ x +2
x = lim

x
2. xlim
= xlim
2
→−∞
→−∞
x →−∞
5 2
5 2
8x + 5x + 2
| x| 8+ + 2
−x 8 + + 2
x x
x x
x+ | x | 1 +

2

2
x2 = 0
= lim
x →−∞
5 2
− 8+ + 2
x x
1− 1+

2
2
x + x 1+ 2

2
x+ x +2
x = lim
x
3. lim
= lim
2
x →−∞
x →−∞
x →−∞
5 2
5 2
8x + 5x + 2
| x| 8+ + 2
x 8+ + 2
x x
x x
x+ | x | 1 +

2

2
x2 = 1
= xlim
→−∞
5 2
2
8+ + 2
x x
1+ 1+

1
1 1
(2 + )3 .(1 − 2 ) 2 .
(2 x + 1) .( x − 1)
x
x
x =0
4. xlim
= xlim
4
4
→+∞
→+∞
2
4
(3x − 2) .( x + 4)
(3 − ) 4 (1 + 4 )
x
x
3

2

2

1
1
(2 + )3 .(1 − 2 ) 2
(2 x + 1) .( x − 1)

x
x
5. xlim
= xlim
= +∞
4
2
→+∞
→+∞
2 4
4 1
(3 x − 2) .( x + 4)
(3 − ) .(1 + 2 ).
x
x x
3

2

2

Ví dụ 3: Tính các giới hạn sau:

16


1. xlim(
x3 − 3 x 2 + 1)
→+∞

2
2. xlim(
x
+ x − x)
→+∞

3. xlim(
x 2 + x + x)
→−∞

4. xlim(
x 2 − 2 x − 3 x3 + 3x 2 )
→+∞

Hướng dẫn giải:
1. xlim(
x 3 − 3x 2 + 1) = xlim
[x 3 (1 −
→+∞
→+∞
2. xlim(
x + x − x) = xlim
→+∞
→+∞
2

3 1
+ )] = +∞
x x3

( x 2 + x − x)( x 2 + x + x)

( x 2 + x + x)
x
1
1
= xlim
=
lim
=
→+∞
2
1
x 2 + x + x x→+∞
1+ +1
x
3. xlim(
x + x + x) = xlim
→−∞
→−∞
2

( x 2 + x − x)( x 2 + x + x)

( x 2 + x − x)
x
1
1
= xlim
=

lim
=
−
→−∞
2
1
x 2 + x − x x→−∞
− 1+ −1
x
4. xlim(
x 2 − 2 x − 3 x 3 + 3 x 2 ) = xlim
[( x 2 − 2 x − x) + (x − 3 x 3 + 3 x 2 )]
→+∞
→+∞
−2 x

= xlim(
→+∞

x2 − 2x + x

+

−3 x 2
x 2 + x 3 x 3 + 3x 2 + 3 ( x 3 + 3x 2 )2

)

−2
−3

+
) = −1 − 1 = −2
2
3
3
2
1 − + 1 1 + 3 1 + + 3 (1 + )
x
x
x

= xlim(
→+∞

Ví dụ 4: Tính các giới hạn sau:
1. lim
x →1+

x2 + 1
x −1

2. lim

x →( −2)

−

| 3x + 6 |
x+2

Hướng dẫn giải:
x2 + 1
1. lim
= +∞
x →1 x − 1
+

2. lim

x →( −2)−

3. lim
x →0

+

| 3x + 6 |
= −∞
x+2

3 x−x 3 2
=
2
2x + x

D. BÀI TẬP
17

3. lim
x → 0+

3 x−x
2x + x


Bài 1. Tính các giới hạn sau:
1. lim
x →3

x2 − 9
x−3

6. lim
x →1

2 x 2 + 3x + 1
2. xlim
→( −1)
x2 − 1
( x + 3)3 − 27
3. lim
x →0
x

x + x 2 + ... + x n − 1
x2 − 1

x + x 2 + ... + x n − 1
7. lim
x →1

x + x 2 + ... + x m − 1
x n+1 − (n + 1) x + n
8. lim
x →1
( x − 1) 2

3
2
4. lim(
−
)
3
x →1
1 − x 1 − x2

9. lim
x →0

xn − 1
5. lim
x →1
xm − 1

(1 + x)(1 + 2 x)...(1 + nx) − 1
x

m
n
10. lim(
−

)
x →1
1 − xm 1 − xn

Bài 2. Tính các giới hạn sau:
1 + 3x − 1
1. lim
x →0
x

5. lim
x →0

2. lim
x →1

3+ x −2
x −1

6. lim
x →1

3. lim
x →2

2+ x −2
x+7 −3

x+2− 3 x+6
7. lim

x →2
x−2

3

1 + x − 2x − 2

4. lim
x →3

8. lim
x →0

x2 − 2x + 6 − x2 + 2x − 6

2x + 1 −1
x

(1 − x )(1 − 3 x )
( x − 1) 2

x
2 x +1 − 3 8 − x

Bài 3. Tính các giới hạn sau:
2 x3 − 3x 2 + 1
1. xlim
→−∞
x4 + 2x

6. xlim
→−∞

2 x3 + 3x 2 − 1
x3 − 2 x

7. xlim
→+∞

2 x5 + 3x 2 − 1
3. xlim
→+∞
x3 − 2 x

8. xlim
→+∞

2. xlim
→−∞

3x
(2 x − 1)(3x + x + 2)
−
)
2x + 1
4x2
2

4. xlim(
→+∞

2

18

x+3
x2 + 1
9x2 + 1 − 3 x2 + 4
4

16 x 4 + 3 − 5 x 4 + 7
9x2 + 1 − 3 x2 + 4

4

16 x 4 + 3 − 5 x 4 + 7


x+3

5. xlim
→+∞

9x2 + 1 − 3 x2 + 4

9. xlim
→−∞

x2 + 1

4

10. xlim
→+∞

16 x 4 + 3 − 5 x 4 + 7
x−2
(Đề minh họa 2018)
x+3

Bài 4. Tính các giới hạn sau:
1. xlim(2
x + x 2 − 3x3 )
→+∞

3
7. xlim(2
x3 + 3 x 2 − x 2 + 2 x − x 2 − 1)
→+∞

2. xlim(2
x + x 2 − 3x3 )
→−∞

3
2
2
2
3
8. xlim(

x
+
3
x
−
4
x
+
2
x
+
x
− 1)
→+∞

3. xlim(
2x2 − 1 − x2 + 2x )
→−∞

9. xlim
[x( x 2 + 5 − x)]
→+∞

2
3
3
4. xlim(
2
x
−

1
+
x
+ 2x )
→−∞

2
2
4
10. xlim
[
x
(
3
x
+
5
−
3
x
− 2)]
→−∞

5. xlim(
x2 + x − 3 − x2 + 2 x )
→+∞

11. xlim(
x 4 x 2 + 5 − x 3 8 x 3 − 1)
→+∞

3
2
2
3
6. xlim(
x
+
3
x
−
x
+ 2x )
→+∞

2
3
3
12. xlim(
x
4
x
+
5
−
x
8
x
− 1)
→−∞

Bài 5.
a) Tính các giới hạn sau:
x 2 − 3x + 2
1. lim
x →2
2− x

x2 − 4

2. lim

−

( x 2 + 1)(2 − x)

x → 2−

x 2 + 3x + 2
3. lim
x →( −1)
| x + 1|
−

4. lim

x3 − 1

x →1+

x2 − 1

 9 − x 2 , khi - 3 ≤ x < 3

khi x = 3
b) Cho hàm số f ( x) = 1
 2
 x − 9, khi x > 3
f ( x), lim f ( x), lim f ( x) (nếu có).
Tìm lim
x →3
x →3
x →3
+

−

E. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Giá trị của xlim
→−1
a) 2

x2 − 3
bằng:
x3 + 2

b) 1

c) -2
19

d) −

3
2


n2 − 3n3
bằng:
2n3 + 5n − 2
3
3
a) −
b)
2
2
2
x + 3x − 4
Câu 3: Giá trị của xlim
bằng:
→−4 x2 + 4x
5
5
a)
b) −
4
4
2
x + 3x
Câu 4: Giá trị của lim

bằng:
x→ 0 x2 + 4x
3
a)
b. -1
4
64- x3
Câu 5: Tính lim
, kết quả bằng:
x® 4 4- x

Câu 2: Giá trị của lim

a) 16

b) 24

Câu 6: Tính xlim
→0

+

x −1

Câu 7: Tính xlim
→+∞

x2 −1

a) 1 ;

a)

b) 0 ;

d)

1
5

c) 1

d) -1

c. 2

d. -2

c) 48

d) 64.

c) 2 ;

d) + ∞ .

, kết quả bằng:
b) -1 ;

c) 0 ;

d) + ∞ .

c) +∞ ;

d) 0.

1 − x −1
có giá trị là:
x

1
;
2

Câu 9: xlim
→−∞

1
2

x+ x
kết quả bằng:
x− x

a) -1 ;

Câu 8: lim
x →0

c)

1
2

b) − ;
−2 x 5 + x 4 − 3
3x 2 − 7

có giá trị là:

a) −∞ ;

b) -2;

Câu 10: xlim
→+∞

−2 x + x − 3
có giá trị là:
3x 2 − 7

a) −∞ ;

5

c) 0;

d) +∞ .

c) 0;

d) +∞ .

c)

7
;
2

d) - .

c)

7
;
2

d) - .

c) 15;

d) 27.

4

b) -2;

( x 2 − 7 x + 1 − x 2 + 2) =?
.Câu 11: xlim

→+∞

a) +∞ ;

b) −∞ ;

7
2

( x 2 − 7 x + 1 − x 2 + 2) =?
Câu 12: xlim
→−∞

a) +∞ ;

b) −∞ ;

7
2

x3 + 27
Câu 13: Tính xlim
, kết quả bằng:
®- 3 x + 3

a) 3;

b) 9;

20

Câu 14: Tính xlim
→0

+

x+2 x
kết quả bằng:
x−2 x

a) -1 ;

b) 0 ;

x+2
, kết quả bằng:
x−2
a) + ∞ ;
b) - ∞ ;
−3 x 5 + 7 x 3 − 11
Câu 16: Tính xlim
kết quả bằng:
→−∞
x5 + x 4 − 3x

c) 2 ;

d) + ∞ .

c) 1 ;

d) -1.

c) - ∞ ;

d) 0.

1
;
6

d) 6.

Câu 15: Tính xlim
→2

−

a) -3 ;

b) 3 ;

Câu 17: Tính lim
x →1
a) -6 ;

3 − 2x + 7
, kết quả bằng:
x2 −1

1
b) ;
6

c) -

( x 2 − 3 x + 3 − x 2 − 8 x ) =?
Câu 18: xlim
→+∞

a) 5;

5
;
2

c) - ∞ ;

d) +∞

b) − ;

c) - ∞ ;

d) +∞ .

b) + ∞ ;

c) -2;

d) - ∞

b)

( x 2 − 3x + 3 − x 2 − 8 x ) =?
Câu 19: xlim
→−∞
5
2

a) 5;
Câu 20:

lim−
x →1

a) 1;

−2 x − 2
bằng:
x −1

Câu 21: Giá trị của lim
x−> 2

2x − x + 3
bằng:
2x3 − x2 − 3
2

a) 0

b) 2

Câu 22: Giá trị của xlim
−>−∞

c) −∞

d) 1

c) −∞

d)

2
3

c) −∞

d)

1
3

c) +∞

d) 2

c) −∞

d) 1

2x − x + 3
bằng:
2x4 − x − 1
4

2

a) 3

b) 1

2
Câu 23: Giá trị của lim x + 1 bằng:
x−>−∞

2x − 3

a)

1
2

b) −

Câu 24: Giá trị của xlim
−>+∞

2x3 − 7x + 21
bằng:
2x3 − 11x + 5

a) 0
Câu 25: Giá trị của lim
x−> 0
a) 0
Câu 26: Giá trị của lim
x−> 2

1
2

b) 1
x
bằng:
x − x2
b) +∞
4

( x − 2)

2

bằng:

21

a) 0
b) +∞
2
( x + 3x − 5)
Câu 27: Giá trị của lim
x−> 2
a) 0
b) 5
Câu 28: Giá trị của xlim
−>−1

c) −∞

d) 4

x + 2x − 1
bằng:
2x5 + 3

b) -2

( 2x − 1) ( x

2

a)

d) 1

2

a) 2
Câu 29: Giá trị của lim
x−> 2

c) −∞

)

+1

2x − 6
3

3
2

c)

1





d)

1
2

bằng:

b) +∞


1
3

2
3

d) 1

c) -1

d) 1

c) 3

d) 1

c) 3

d) 1

c)

2
3

d) −

c)

5
2

d) 1

c)

1
2

d) 1

c)

x 1− ÷ bằng:
Câu 30: Giá trị của lim
x−> 0
x

a) 0
Câu 31: Giá trị của lim
x−> 2

b) +∞

x −8

bằng:
x4 − 4
3

a) 0

b) 2

Câu 32: Giá trị của lim
x−> 2

x + 3x − 1
bằng:
2x2 − 1
4

a) 2

b) 2 2

2x − 3x + 7
bằng:
4x2 − 3
7
1
a)
b)
3
2
2

2x − 3+ 5
Câu 34: Giá trị của xlim
bằng:
−>−∞ x2 + x − 2

Câu 33: Giá trị của xlim
−>−∞

a) 0

b) 2

Câu 35: Giá trị của lim
x−>+∞
a)

2

1
2

1
2

2x4 − 1
bằng:
2x3 − x2

b) 0

3x3 − x + 7
Câu 36: Giá trị của xlim
bằng:
−>+∞
4x3 + 1

a) −

3
2

Câu 37: Giá trị của xlim
−>−1
a) 0

b) +∞

c)

3
2

d)

3
4

c)

1

2

d) 1

x4 + x
bằng:
x2 − x − 2

b) -1

22


Câu 38: Giá trị của xlim
−>−3
a)

x3 + 3x2
bằng:
x3 + 27

1
9

b)-3

c)

x4 − 1
Câu 39: Giá trị của xlim

bằng:
−>−1 x3 + 1
4
a)-1
b)
3
2
2x − x − 3
Câu 40: Giá trị của xlim
bằng:
−>−1
x3 − x
5
5
a)
b) −
2
2

1
3

c) −

c)

d) −

4
3

1
2

1
3

d) 1

d) 3

- Về khả năng áp dụng của sáng kiến:
Sau khi hướng dẫn học sinh phân dạng bài tập và phương pháp giải từng
dạng bài tập cụ thể tôi thấy học sinh đã giải quyết tốt các bài tốn tính giới hạn,
kết quả cụ thể đối với lớp 11A,11B do tôi giảng dạy như sau:
≥ 6,5

Lớp ≤ 3

≥3

<5

≥5

11A 0%

0%

3%

18,4% 60,6% 18%

11B 0%

0%

13,6% 31%

50%

≥8

5,4%

8. Những thông tin cần được bảo mật (nếu có): khơng có
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến
10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng
kiến theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia
áp dụng sáng kiến lần đầu, kể cả áp dụng thử
10.1. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng
kiến theo ý kiến của tác giả:
- Đã xây dựng và lựa chọn một hệ thống bài tập đa dạng và phong phú ở các
mức độ nhận thức khác nhau.
- Bước đầu nghiên cứu sử dụng hệ thống bài tập này theo hướng tích cực thể
hiện qua sự thích thú say mê bộ môn. Học sinh cảm thấy nhẹ nhàng thiết thực chứ
khơng lí thuyết sách vở.

23

10.2. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng
kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân: khơng có
11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp
dụng sáng kiến lần đầu
Số Tên tổ chức/cá
TT
nhân
1

Học sinh lớp
11A, 11B

Địa chỉ

Phạm vi/Lĩnh vực
áp dụng sáng kiến

Trường THPT Quang Hà

Q trình dạy học mơn tốn ở
trường trung học phổ thơng

Bình Xun, ngày...tháng...năm...... Bình Xun, ngày 15 tháng 2 năm 2019
PHÓ HIỆU TRƯỞNG

TÁC GIẢ SÁNG KIẾN

Nguyễn Viết Ngọc

Tạ Thị Lan Phương

24


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa Đại số &Giải tích 11 tác giả Trần Văn Hạo..., NXB Giáo Dục
2007
2. Sách giáo viên Đại số &Giải tích 11 tác giả Trần Văn Hạo..., NXB Giáo Dục
2007
3. Toán nâng cao Đại số 11, tác giả Phan Huy Khải
4. Đề thi THPT quốc gia và đề minh họa của Bộ GD&ĐT
5. Bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn 11, tác giả Văn Phú Quốc.

25