Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN - MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHI GIẢI BÀI TẬP PHẦN PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

MỤC LỤC
Mục Lục…………………………………………………………………………1
1. Lời giới thiệu………………………………………………………….………2
2. Tên sáng kiến……………………………………………………………...…..2
3. Tác giả sáng kiến………………………………………………………...……2
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến……………………………………………...……2
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến…………………………………………………...2
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử……………………..2
7. Mô tả bản chất của sáng kiến…………………………………………………3
- Nhắc lại kiến thức cơ bản có liên quan.
- Một số bài tốn cực trị hình học.
8. Những thơng tin cần được bảo mật (nếu có)...................................................19
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến................................................. 19
10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý
kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần
đầu, kể cả áp dụng thử .......................................................................................19
11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến
lần đầu..................................................................................................................20

1


BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
I. LỜI GIỚI THIỆU
Bài tốn cực trị hình học trong chương Phương pháp tọa độ trong khơng gian là dạng
tốn hay và khó. Để làm bài tốn dạng này địi hỏi phải nắm vững kiến thức hình học
khơng gian, mối liên hệ giữa đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu.
Là dạng toán xuất hiện trong đề thi THPT Quốc gia những năm gần đây và trong đề
tham khảo thi THPT Quốc gia năm 2019 của Bộ Giáo Dục – Đào Tạo, nhiều em học
sinh cịn lúng túng khơng biết hướng làm bài. Để giúp học sinh khơng bị khó khăn khi

gặp dạng tốn này tôi đưa ra phương pháp phân loại bài tập từ dễ đến khó. Nhằm mục
đích giúp học sinh tiếp cận một cách đơn giản, dễ nhớ và từng bước giúp học sinh hình
thành lối tư duy giải quyết vấn đề
Giúp các em hoàn thành tốt bài thi THPT Quốc gia mơn Tốn, tiền đề để các em bước
tiếp vào tương lai.

II. TÊN SÁNG KIẾN:
MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHI GIẢI BÀI TẬP PHẦN
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.
III. TÁC GIẢ SÁNG KIẾN:
- Họ và tên: NGUYỄN THỊ THÚY BÍNH
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Quang Hà - Gia Khánh - Bình Xuyên Vĩnh Phúc
- Số điện thoại:0975 009 619
Email: Nguyenthithuybinh.
IV. CHỦ ĐẦU TƯ TẠO RA SÁNG KIẾN: NGUYỄN THỊ THÚY BÍNH
V. LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN:

Sáng kiến được áp dụng trong q trình giảng dạy ơn thi THPT Quốc gia
môn Toán lớp 12
VI. NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU

Một số bài tốn cực trị hình học trong Phương pháp tọa độ trong không gian đươ ̣c
áp du ̣ng lầ n đầ u năm ho ̣c 2017 – 2018 khi giảng da ̣y ôn thi THPT Quố c gia cho
2


ho ̣c sinh lớp 12 . Kế t quả: Ho ̣c sinh nắ m đươ ̣c nô ̣i dung và biế t vâ ̣n du ̣ng, bước đầ u
thu đươ ̣c mơ ̣t sớ kế t quả khả quan.
VII. MƠ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN
1. Nội dung của sáng kiến

Phần I. Nhắc lại kiến thức cơ bản có liên quan
1, Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
+ ≠ và có giá vng góc với mặt phẳng (α) thì được gọi là vectơ pháp tuyến của mp
(α)
Chú ý: + là vectơ pháp tuyến của (α) thì
+ nếu

),

(k ≠ 0) cũng là vectơ pháp tuyến của (α)

khơng cùng phương và có giá song song hoặc nằm

trên (α) thì vectơ pháp tuyến của (α) là
2, Phương trình tổng quát của mặt phẳng
+ Phương trình tổng qt của (α) có dạng: Ax + By + Cz + D = 0 ( A2 + B2 + C2 ≠ 0)
Chú ý:
+ Nếu (α) có phương trình Ax + By + Cz +D = 0 thì (α) có một vectơ pháp tuyến
là

(A; B; C)
+ Nếu (α) qua M(x0; y0; z0) và có một vectơ pháp tuyến là

(A; B; C) thì

phương trình (α) là: A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
3, Phương trình tham số của đường thẳng
Định nghĩa: Phương trình tham số của đường thẳng  đi qua điểm M0(x0; y0; z0) và có
vecto chỉ phương a  (a1 ; a2 ; a3 ) là:
 x  x0  ta1


 y  y0  ta2
 z  z  ta
0
3


trong đó t là tham số.
Chú ý: Nếu a1, a2, a3 đều khác 0 thì có thể viết phương trình của  dưới dạng chính tắc:
x  x0 y  y0 z  z0


a1
a2
a3

Phần 2: Một số bài tốn cực trị hình học
Bài toán 1: Viế t phương trin
̀ h mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và cách mô ̣t điể m
M  d mô ̣t khoảng lớn nhấ t.
Giải
3


+ Gọi H là hình chiếu vng góc của M trên (P
+ Gọi K là hình chiếu vng góc của M trên d
Ta có:
MH MK
khi H trùng K

M

d

H
K

VD1: Viế t phương trình mp (P) chứa đường thẳ ng d:

x 1 y z  2
 
2
1
1

và cách M

(2;1;1) mô ̣t khoảng lớn nhấ t.
Giải
+ Gọi H là hình chiếu vng góc của M trên (P)
+ Gọi K là hình chiếu vng góc của M trên d

VD2: Viế t phương trình mp (P) đi qua điể m A (1;-2;1) song song với đường thẳ ng d:
x y 1

 z và cách gố c to ̣a đô ̣ mô ̣t khoảng lớn nhấ t.
2
2

Giải

+ (P) chứa d’: qua A, // d. Phương trình d’:

d

+ K là hình chiếu của O trên d’

d’

+ Tìm được t = 1/9
VD3: Viế t phương trình mă ̣t phẳ ng (P) đi qua O, vuông góc với mă ̣t phẳ ng (Q) : 2x – y +
1
2

z – 1 = 0 và cách điể m M ( ( ; 0; 2) ) mô ̣t khoảng lớn nhấ t.
Giải

4


+ (P) chứa đường thẳng d: qua O, vng góc với (Q).

+ Phương trình d:
+ K là hình chiếu của M trên d .

Tìm được t = 3/4.
Bài toán 2: Phương trin
̀ h mă ̣t phẳ ng (P) chứa đường d, ta ̣o với đường thẳ ng d’ (d’
không song song với d) mô ̣t góc lớn nhấ t.
Giải
+ Lấy K

d. Kẻ KM // d’.

+ Gọi H là hình chiếu của M trên (P), I là hình chiếu của M trên d.

Bước 1: Lấy K thuộc d. Đường thẳng qua K, // d’.
Bước 2: Lấy 1 điểm M thuộc đường thẳng, tìm hình chiếu I của M trên d.
5


Bước 3: (P) qua I, vng góc với IM.
VD1: Viế t phương trình mă ̣t phẳ ng (P) chứa d:
d’:

x 1 y z 1
 
1
2
1

x 1 y 1 z  2
ta ̣o với đường thẳ ng


2
1
2

mô ̣t góc lớn nhấ t.

Giải

+ Lấy K(1; - 1; 2)
+ Lấy M(2; 1; 3)

Tìm được điểm I. Mp (P): qua I, vng góc MI có phương trình: x – 4y + z – 7 = 0.
VD2: Viế t phương trình mă ̣t phẳ ng đi qua O và vuông góc với mă ̣t phẳ ng (P) : 2x + y – z
– 1 = 0 và tạo với tru ̣c Oy mô ̣t góc lớn nhấ t.
Giải
+

chứa đường thẳng : qua O, vng góc với mặt phẳng (P);

VD3: Viế t phương trình mă ̣t phẳ ng đi qua O, song song với đường thẳ ng d:
x 1 y z  2
 
và ta ̣o với mă ̣t phẳ ng (P) : x + 2y – z + 1 = 0 mô ̣t góc nhỏ nhấ t.
2
1
3

6


Giải
+ Gọi a là đường thẳng qua O, // d

+

qua O, vng góc với (P) có PT:

Gọi I là hình chiếu của M trên a

VD4: Viế t phương trình mă ̣t phẳ ng đi qua 2 điể m A(1;2;-1), B(2;1;3) và ta ̣o với tru ̣c Ox
mô ̣t góc lớn nhấ t.
Giải

Từ đó tìm được t = 1/18.
Bài toán 3: Viế t phương trin
̀ h đường thẳ ng d đi qua mô ̣t điể m A cho trước và nằ m
trong mặt phẳng (P) cho trước và cách mô ̣t điểm M cho trước mô ̣t khoảng nhỏ nhấ t
(AM không vuông góc với (P)).
Giải
+ Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vng góc của M trên (P) và d.

7


Ta có MK

MH

(MK)min khi K

H

+ Tìm tọa độ hình chiếu H của M trên (P)

d qua A và H

VD1: Viế t phương trình đường thẳ ng d đi qua gố c to ̣a đô ̣ O, nằm trong mă ̣t phẳ ng (P) :
2x – y + z = 0 và cách điể m M (1;2;1) mô ̣t khoảng nhỏ nhấ t.
Giải
+ Gọi H là hình chiếu vng góc của M trên (P).
+ Đường thẳng qua M, vng góc với (P):

+ Xét hệ:

VD2: Viế t phương trình đường thẳ ng d đi qua O.song song với mă ̣t phẳ ng (P) :
2x – y – z + 1 = 0 và cách điểm M (1;-1;2) mô ̣t khoảng nhỏ nhấ t.
Giải
+ Vì d qua O, // (P) nên d nằm trong mặt phẳng

qua O, // (P)

+ Gọi H là hình chiếu của M trên
+ Xét hệ:

8


Vậy PT đường thẳng d là:

VD3: Tìm că ̣p số nguyên dương (a,b) nhỏ nhấ t để khoảng cách từ O đế n đường thẳ ng
 x  1  a  at

d:  y  2  b  bt
 z  1  2a  b  (2a - b)t


(a ≠ 0)

nhỏ nhấ t.

Giải
+ d qua A(1; 2; 1) cố định,
d nằm trong (P): qua A, vecto pháp tuyến

+ Gọi H là hình chiếu của O trên (P)

Từ đó tìm được a = 8; b = 11.
Bài toán 4: Viết phương trình đường thẳ ng (d) đi qua điể m A cho trước, nằ m trong
mă ̣t phẳ ng (P) và cách điểm M (M khác A, MA không vuông góc với (P)) mô ̣t
khoảng lớn nhất.
Giải
+ Gọi K là hình chiếu vng góc của M trên d

9


+ Mà
VD1: Viế t phương trình đường thẳ ng d đi qua điể m A(1;1;-1) cho trước, nằ m trong mă ̣t
phẳ ng (P) : 2x – y – z = 0 và cách điểm M( 0;2;1) mô ̣t khoảng lớn nhất.
Giải

VD2: Viế t phương trình đường thẳ ng d đi qua gố c to ̣a đô ̣ O, vuông góc với đường thẳ ng
d1 :

x 1 y 1 z 1



2
3
1

và cách điể m M (2;1;1) mô ̣t khoảng lớn nhấ t.

Giải
+ d nằm trong

qua O, vng góc d1

VD3: Viế t phương trình đường thẳ ng d đi qua điể m A (1;0;2), song song với mă ̣t phẳ ng
(P) : 2x – y + z – 1 = 0 và cách gố c to ̣a đô ̣ O mô ̣t khoảng lớn nhấ t.
Giải
+ d nằm trong

qua A, // (P)

 x  1  2a + at

VD4: Tìm a để đường thẳ ng d:  y = -2 + 2a + (1-a)t
z = 1 + t


(a là tham số ) cách điể m M

1
( ,1, 4) mô ̣t khoảng lớn nhấ t.
2

Giải
+ d luôn đi qua điểm A(1; 0; 3)
+

Từ đó tìm được a = 4/3.
10


Bài toán 5: Cho mă ̣t phẳng (P) và điể m A∈ (P) , và đường thẳ ng d (d cắ t (P) và d
không vuông góc với (P)). Viế t phương trin
̀ h đường thẳ ng d’ đi qua A, nằ m trong
(P) và tạo với d mô ̣t góc nhỏ nhấ t.
Giải
+ Từ A, vẽ

// d

+ Gọi H, I lần lượt là hình chiếu của M trên (P) và d’.
+ Lấy điểm M thuộc

Bước 1: Viết

qua A, // d

Bước 2: Lấy M thuộc , gọi H là hình chiếu của M trên (P)
Bước 3: d’ qua A và H.
VD1: Viế t phương trình đường thẳ ng đi qua gố c to ̣a đô ̣ O, nằ m trong mă ̣t phẳ ng (P) : 2x
– y – z = 0 và ta ̣o với đường thẳ ng d:

x y 1 z 1


mô ̣t góc nhỏ nhấ t.
2
1
2

Giải
+ : qua O, // d

+ Lấy M(2; -1; 2) thuộc , gọi H là hình chiếu của M trên (P).

11


+ Xét hệ phương trình:

VD2: Viế t phương trình đường thẳ ng d’ đi qua O, vuông góc với đường thẳ ng d:
x 1 y 1 z 1
và ta ̣o với mă ̣t phẳ ng (P) : x – y + 2z – 1 = 0 mô ̣t góc lớn nhấ t.


2
2
1

Giải
+ d’ nằm trong mặt phẳng

: qua O, vuông góc với d

+ d’ tạo với đường thẳng a (vng góc với (P)) một góc nhỏ nhất.

VD3: Viế t pt đường thẳ ng đi qua gố c to ̣a đô ̣ O, cắ t đường thẳ ng d:

x y 1 z
và ta ̣o


1
2
3

với trục Oy mơ ̣t góc nhỏ nhấ t.
Giải
+ Mp

đi qua O, chứa đường thẳng d.

Ta có: M(0; 1; 0) thuộc d

Vậy

nên Oy nằm trong

. Trong

: đường thẳng qua O, tạo với trục Oy góc

nhỏ nhất là góc

Bài toán 6: Cho mă ̣t phẳng (P) và điể m A∈ (P) , và đường thẳ ng d cắ t (P) ta ̣i điể m
M khác A. Viế t pt đường thắ ng d’ nằm trong (P) đi qua A và khoảng cách giữa d và
d’ lớn nhấ t.
Giải
+ Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d, // d’

12


+ K là hình chiếu của A trên d.
Ta có: AK vng góc với (Q) nên AK vng góc với d’
VD: Cho mă ̣t phẳ ng (P) : 2x + y + z – 3 = 0 và đường thẳ ng d’:

x 1 y z
 
1
2 1

. Viế t

phương trình đường thẳ ng d đi qua A, nằ m trong (P) và khoảng cách giữa d và d’ lớn
nhấ t.
Giải
+ K là hình chiếu của A trên d’

Bài toán 7: Cho mặt phẳng (P) và đường thẳ ng d // (P). Viế t phương trin
̀ h đường
thẳ ng d' nằm trong (P), d’ và cách d mô ̣t khoảng nhỏ nhấ t

Giải
+ Lấy A là một điểm thuộc d. Gọi A’ là hình chiếu vng góc của A trên (P).

13


+ d’ là đường thẳng qua A’ và song song với đường thẳng d.
VD: Cho mă ̣t phẳ ng (P) : 2x – y + z + 1 = 0. Viế t phương trin
̀ h d nằ m trong mp (P), song
song với mặt phẳng (Q) : x – 2y + z + 2 = 0 và cách gố c O mô ̣t khoảng nhỏ nhấ t.
Giải
+ d đi qua hình chiếu H của O trên (P)
+ d là giao của (P) với (Q’) trong đó (Q’) // (Q).

Một số bài toán khác
VD1: Viế t pt mặt phẳ ng đi qua điể m A (1;0;-2) và cách điể m M (2;1;1) mô ̣t khoảng lớn
nhấ t.
HD:

VD2: Cho đường thẳ ng d:

x 1 y z 1
 
, viế t phương trình đường thẳ ng d’ song song
2
1
2

với d, cách d mô ̣t khoảng bằ ng 3 và cách điể m K (-3;4;3) mô ̣t khoảng lớn nhấ t (nhỏ
nhấ t).

Giải
+ Gọi (P) là mặt phẳng qua K, vng góc với d, cắt d tại I, cắt d’ tại M

14


+ Trong (P) tìm M thuộc đường trịn tâm I, bán kính = 3, cách K một khoảng lớn nhất,
nhỏ nhất.
+ (P): 2(x + 3) + 1(y – 4) + 2(z – 3) = 0 . Vì
Ta có IK = 6 > 3
Vậy

VD3: Cho đường thẳ ng d

x 3 y 3 z 3


:
2
1
1

cách d mô ̣t khoảng bằ ng

.Viế t pt đường thẳ ng d’ song song với d,

và cách đường thẳ ng ∆:

x2

y
z 1


1
2
1

mô ̣t khoảng nhỏ

nhấ t ( lớn nhất).
Giải
+ Gọi d’ là đường sinh của mặt trụ: trục d, bán kính
+ Gọi (P) là mặt phẳng chứa

và song song với d (d’// d và d’ // ).

Khi (P) cắt mặt trụ thì d’ là giao của mặt trụ với mp(Q) chứa d và vng góc (P).

+ Gọi M(x; y; z) là giao của IH với mặt trụ (gần (P) nhất).

15


 x  3  2t

VD4: Cho đường thẳ ng d:  y  2  t . Viế t phương trình mp (P) song song và cách d mô ̣t
z  2  t


khoảng R = 2

và cách M (0;1;2) mô ̣t khoảng nhỏ nhấ t ( lớn nhấ t ).

Giải
+ (Q): qua M, vng góc với d và cắt d tại I
+ Đường thẳng qua M, vng góc với (P) và cắt (P) tại A. Gọi B’ là hình chiếu vng
góc của I trên (P).
Ta thấy: I, M, B, A thuộc (Q) và

VD5: Cho mă ̣t cầ u (S): (x + 1)2 + (y – 4)2 + z2 = 8 và điể m A (3;0;0) , B (4;2;1). Go ̣i M
là điể m thuô ̣c mă ̣t cầ u (S). Tính giá trị nhỏ nhấ t của biể u thức MA + 2MB
Giải
+ M(a; b; c) thuộc mặt cầu (S), ta có:

16


+ Kiểm tra được B’ nằm trong mc(S), B nằm ngoài mc(S).
Vậy MA + 2MB = 2(MB’ + MB)
YCBT: (MB’ + MB) min khi: B’, M, B thẳng hàng

.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm A(1; 0; 1), B(2; 1; 3) và cách gốc tọa độ O một
khoảng lớn nhất. (P) đi qua điểm nào sau đây?
A. M (0; 2; -1)

B. M (1; 1; 1)

Câu 2. Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng

C. M (3; 2; 1)

D. M (- 1; 1; 1)

và tạo với trục Oz một góc

lớn nhất. Hỏi mp(P) đi qua điểm nào dưới đây?
A. M (1; 3; 2)

B. M (2; 1; 0)

C. M (4; 1; 1)

D. M (1; 1; 1)

Câu 3. Gọi d là đường thẳng đi qua O và nằm trong mặt phẳng (Oyz) và cách điểm
M(1; - 2; 1) một khoảng nhỏ nhất. Tính góc giữa d và trục tung.

Câu 4. Cho đường thẳng d:

(a, b là các tham số đã biết). Biết

khoảng cách giữa d và Ox lớn nhất. Tính

Câu 5. Cho mặt phẳng (P):

và đường thẳng

. Gọi d’ là

đường thẳng nằm trong (P), song song với d và khoảng cách giữa d và d’ nhỏ nhất. Hỏi
d’ đi qua điểm nào sau đây?

17


Câu 6. Gọi d là đường thẳng đi qua O và song song với mặt phẳng (P):
và tạo với trục Ox một góc nhỏ nhất. Hỏi d đi qua điểm nào sau
đây?

Câu 7. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua O và song song với đường thẳng

và cách điểm A (- 1; 2; 3) một khoảng lớn nhất. Hỏi (P) song song với đường thẳng nào
sau đây?

Câu 8. Cho mặt phẳng (P):

. Gọi d là đường thẳng đi qua

A, nằm trong (P) và cách O một khoảng nhỏ nhất. Hỏi d đi qua điểm nào sau đây?

Câu 9. Gọi d là đường thẳng đi qua A(1; 2; - 1), vuông góc với trục Ox và cách điểm
M(2; 1; - 2) một khoảng nhỏ nhất. Một vecto chỉ phương của d là:

Câu 10. Cho mặt phẳng (P):

. Gọi d là đường thẳng đi

qua A, nằm trong (P). Tính khoảng cách lớn nhất giữa Oy và d.

18


2. Khả năng áp dụng của sáng kiến:
Sau khi hướng dẫn học sinh một số bài toán về cực trị hình học khi giải bài tập
phần “Phương pháp tọa độ trong không gian” tôi thấy học sinh đã giải quyết tốt các bài
tập về viết phương trình mặt phẳng và phương trình đường thẳng trong khơng gian và
nâng cao được kết quả thi THPT Quốc gia năm học 2017 - 2018
Chun đề giúp các em có được cái nhìn tổng quan về phương pháp tọa độ trong
khơng gian nói chung và một số bài tốn về cực trị hình học nói riêng. Tạo hứng thú say
mê học tập trong bộ mơn Tốn. Từ đó phát huy được khả năng tự giác, tích cực của học
sinh, giúp các em tự tin vào bản thân khi gặp bài tốn cực trị hình học. Đó chính là mục
đích mà tơi đặt ra.
VIII. NHỮNG THƠNG TIN CẦN ĐƯỢC BẢO MẬT: khơng có
IX. CÁC ĐIỀU KIỆN CẦN THIẾT ĐỂ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN:
- Học sinh nắm chắc các kiến thức cơ bản về vecto pháp tuyến của mặt phẳng; vecto chỉ
phương của đường thẳng; phương trình tổng quát của mặt phẳng và phương trình tham
số, phương trình chính tắc của đường thẳng...
X. ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH THU ĐƯỢC
1. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý
kiến của tác giả:
- Sáng kiến đã xây dựng và lựa chọn một hệ thống các bài tập cực trị hình học về viết
phương trình mặt phẳng và viết phương trình đường thẳng khi giải bài tập phần phương
pháp tọa độ trong không gian, mức độ vận dụng khi ôn thi THPT Quốc Gia.
- Bước đầu nghiên cứu sử dụng hệ thống bài tập này theo hướng tích cực thể hiện qua
sự thích thú say mê bộ mơn. Học sinh có thể vận dụng để giải nhanh bài tốn cực trị hình
học tọa độ khơng gian bằng cách tìm được vị trí đặc biệt của nghiệm hình để cực trị (số đo

góc, khoảng cách, độ dài) xảy ra.
2. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý
kiến của tổ chức, cá nhân: khơng có

19


XI. DANH SÁCH NHỮNG TỔ CHỨC/ CÁ NHÂN ĐÃ THAM GIA ÁP DỤNG
THỬ HOẶC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN LẦN ĐẦU.
Địa chỉ

Số

Tên tổ

TT

chức/cá nhân

1

Nguyễn
Thảo

Phạm vi/Lĩnh vực
áp dụng sáng kiến

Thị Giáo viên Trường THPT
Quang Hà

Bình Xun, ngày...tháng...năm 2019
PHĨ HIỆU TRƯỞNG

Q trình ơn thi THPT Quốc
gia năm học 2017 – 2018.

Bình Xuyên, ngày...tháng....năm 2019
TÁC GIẢ SÁNG KIẾN

Nguyễn Thị Thúy Bính
Nguyễn Viết Ngọc

20