Chủ đề hàm số và đồ thị hàm số bậc nhất và các dạng toán thường gặp- Đầy đủ lý thuyết và bài tập – Xuctu.com
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.03 MB, 33 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
<b>CHỦ ĐỀ: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC NHẤT </b>
<b> A.KIẾN THỨC CƠ BẢN : </b>
<b>1. Khái niệm hàm số: </b>
Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn
xác định được một và chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x
được gọi là biến số .
Kí hiệu là y = f(x), y = g(x),…
<i>Khi x thay đổi mà y ln nhận một giá trị khơng đổi thì hàm số y được gọi là hàm hằng. </i>
<b>2. Đồ thị của hàm số: </b>
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng
(x; f(x)) được gọi là đồ thị hàm số y = f(x).
<b>3. Tập xác định của hàm số : </b>
TXĐ của hàm số y = f(x) là tập hợp các giá trị của biến để biểu thức f(x) có nghĩa.
<b>4. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến. </b>
Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi x thuộc
.a) Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tương ứng của f(x) cũng tăng theo thì ta nói
hàm số y = f(x) là hàm số đồng biến trên
. (Hoặc : với x1, x2 bất kỳ thuộc
; nếu x1 < x2mà f(x1) < f(x2) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên
)b) Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tương ứng của f(x) lại giảm đi thì ta nói hàm
số y = f(x) là hàm số nghịch biến trên
. (Hoặc : với x1, x2 bất kỳ thuộc
; nếu x1 < x2 màf(x1) > f(x2) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên
)</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>
<b>a) Định nghĩa: Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b ,trong đó </b>
a, b là các số cho trước , a 0.
Hàm số bậc nhất xác định với mọi x thuộc
<b>b)Tính chất hàm số bậc nhất :hàm số đồng biến trên </b>
khi a > 0, nghịch biến trên
khi a < 0.
Chú ý : Khi a = 0, ta có hàm số y = b là hàm hằng.
<b>c) Đồ thị hàm số bậc nhất: Đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b (a 0) là một đường </b>
thẳng. Ta còn gọi đồ thi của hàm số y = ax + b là đường thẳng y = ax + b. Đường thẳng
này có các đặc điểm sau :
+ Cắt trục tung tại điểm (0; b); b gọi là tung độ gốc của đường thẳng.
+ Cắt trục hoành tại điểm ( <i>b</i>; 0
<i>a</i>
).
<i>Chú ý : Khi b = 0, đồ thị đi qua gốc tọa độ. </i>
Nếu a > 0 thì đường thẳng “đi lên” từ trái qua phải. Nếu a < 0 thì đường thẳng
“đi xuống” từ trái qua phải.
<i><b>d) Vị trí tương đối của hai đường thẳng: </b></i>
Cho hai đường thẳng y= ax + b (a 0) và đường thẳng y = a’x + b’(a’ 0)
*Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi a = a’và b b’
*Hai đường thẳng trùng nhau khi và chỉ khi a = a’và b = b’
*Hai đường thẳng cắt nhau khi và chỉ khi a a’
Trường hợp riêng : Hai đường thẳng vng góc với nhau khi và chỉ khi a . a’= 1
<b>e) Hệ số góc của đường thẳng: </b>
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng y= ax + b(a 0). Khi ta nói góc α là góc
</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>
trong đó A là giao điểm của đường thẳng y= ax + b và trục Ox,T là điểm thuộc đường
thẳng y= ax+b có tung độ dương.
Ta gọi a là hệ số góc của đường thẳng y= ax + b.
Ta có :
<b>*Nếu a > 0 thì α là góc nhọn và a càng lớn thì góc càng lớn. </b>
*Nếu a <0 thì α là góc tù và a càng lớn thì góc càng lớn.
* Nếu a > 0 thì tan α = a. Nếu a < 0 thì tan = a.
<b>6. Hàm số y = ax2<sub> (a 0) : </sub></b>
<b>a) Hàm số y = ax2<sub> xác định với mọi x thuộc </sub></b>
<b><sub>và có tính chất sau: </sub></b>*Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x < 0.
*Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x >0.
<b>b) Lưu ý về giá trị của hàm số : </b>
<b> Nếu a > 0 thì ta có y = ax</b>2 <sub></sub><sub>0</sub><sub> với mọi x </sub>
<sub></sub>
<sub>(y = 0 khi x = 0), nên giá trị nhỏ nhất của </sub>hàm số là y = 0 đạt được khi x = 0.
Nếu a < 0 thì ta có y = ax2 <sub></sub><sub> 0 với mọi x </sub><sub>(y = 0 khi x = 0), nên giá trị lớn nhất của </sub>
hàm số là y = 0 đật được khi x = 0.
<b>c) Đồ thị của hàm số y = ax2<sub> : </sub></b>
Đồ thị hàm số y = ax2<sub> (a 0) là một đường parabol đỉnh O, nhận trục Oy làm trục đối </sub>
xứng.
Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hồnh và nhận O là điểm thấp nhất của đồ thị.
Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành và nhận O là điểm cao nhất của đồ thị.
<b>7. Một số đường thẳng có phương trình đặc biệt : </b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>
<b> Nếu m </b>
0 thì y = m là phương trình của đường thẳng song song với trục hoành. Nếu m = 0 thì y = 0 là phương trình của trục hồnh.
<b> b) Đường thẳng có dạng x = n </b>
<b> Nếu n </b>0 thì x = n là phương trình của đường thẳng song song với trục tung.
Nếu n = 0 thì x = 0 là phương trình của trục tung.
<b>B. CÁCH GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN : </b>
<b>1) Dạng bài tập liên quan đến tính chất của hàm số : </b>
<b> a) Kiến thức cần áp dụng : Tính đồng biến, nghịch biến của từng loại hàm số. </b>
<b>b) Ví dụ : </b>
<b> * Ví dụ 1 : Tìm m để hàm số y = (m 2)x + 1 nghịch biến trên </b>
?<i> Hướng dẫn : </i>
Hàm số y = (m 2)x + 1 nghịch biến trên
m – 2 < 0 m < 2 * Ví dụ 2 : Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến khi x dương và nghịch
biến
khi x âm?
A.
22 3
<i>y</i> <i>x</i> B. y = 5x – 3 C.
22 2 3
<i>y</i> <i>x</i> D. <sub>1</sub> 1 2
2
<i>y</i><sub></sub> <sub></sub><i>x</i>
<i><b> Trả lời : Phương án D </b></i>
<i> (Cần lưu ý : Hàm số bậc nhất chỉ luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến </i>
Do đó ta chỉ cần xét xem hàm số bậc hai nào có hệ số a dương)
* Ví dụ 3 : Cho f(x) = (3a 7)x2<sub> và g(x) = (2a – 1)x</sub>2<sub>. Tìm a thuộc Z để khi x < 0 thì </sub>
hàm số y = f(x) đồng biến và hàm số y = g(x) nghịch biến.
<i> Hướng dẫn : </i>
Điều kiện để yêu cầu được thỏa mãn là: 3a – 7 < 0 và 2a – 1 > 0 1 7
2 <i>a</i> 3
</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>
Mặt khác: <i>a </i>. Vậy a =1, a = 2
Đáp số: a = 1, a = 2
<b>2) Dạng bài tập vẽ đồ thị của hàm số : </b>
<b> 2.1. Vẽ đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0) </b>
<b>a) Cách làm : </b>
<b> * Nếu b = 0 : Khi đó ta có hàm số y = ax </b>
Xác định một điểm thuộc đồ thị của hàm số mà khác với gốc tọa độ, chẳng hạn điểm
A (1; a). Vẽ đường thẳng OA ta được đồ thị của hàm số.
* Nếu b 0 :
Xác định hai điểm phân biệt thuộc đồ thị của hàm số. Thông thường :
Xác định điểm A(0 ; b) là giao điểm với trục tung.
Xác định điểm B( <i>b</i>
<i>a</i>
; 0) là giao điểm với trục hoành.
Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm A và B ta được đồ thị của hàm số.
<b>b) Ví dụ : Vẽ đồ thị của hàm số y = 2x + 4 </b>
Cho x = 0 thì y = 4; ta được điểm A(0; 4) là giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung.
Cho y = 0 thì x = 2; ta được điểm B(2; 0) là giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành.
( Lưu ý : + Có thể lập bảng gồm hai cặp giá trị tương ứng giữa x và y
+ Không nhất thiết phải đặt tên hai điểm như trên)
Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm A (0; 4)và B(2; 0) ta được đồ thị của hàm số y =
2x + 4.
<b>2.2. Vẽ đồ thị của hàm số y = ax2<sub> (a 0) : </sub></b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>
Lập bảng một số cặp giá trị tương ứng giữa x và y (thường là 5 hoặc 7 cặp giá trị ;
trong đó x
lấy giá trị 0 và các giá trị là số nguyên đối nhau gần 0), chẳng hạn :
x 2 1 0 1 2
y = ax2 <sub>4a </sub> <sub>a </sub> <sub>0 </sub> <sub>a </sub> <sub>4a </sub>
Biểu diễn các cặp giá trị tương ứng giữa x và y trong bảng trên mặt phẳng tọa độ, vẽ
đường cong đi qua các điểm đó ta được đồ thị của hàm số đã cho.
<b> b) Ví dụ : Vẽ đồ thị của hàm số y = 2x</b>2
<b> Bảng một số cặp giá trị tương ứng giữa x và y : </b>
Đồ thị của hàm số đã cho là một parabol đi qua các điểm (2; 8); (1; 2); (0; 0); (1; 2)
và (2; 8).
<b>3) Dạng bài tập viết phương trình của đường thẳng (d) khi biết một số điều kiện : </b>
<b> a) Biết (d) song song với đường thẳng (d’<sub>) : y = ax + b (a 0) và đi qua điểm A(x</sub><sub>0</sub><sub>; y</sub><sub>0</sub><sub>) </sub></b>
<b> * Cách giải : </b>
Vì đường thẳng (d) song song với đường thẳng (d’<sub>) nên phương trình của đường </sub>
thẳng (d) có dạng y = ax + b’<sub> (b</sub>’
0 ).
Vì đường thẳng (d) đi qua điểm A(x0; y0<b>) nên ta có : y</b>0 = ax0 + b’ . Từ đó suy ra b’, ta so
sánh với điều kiện b’<sub> 0. </sub>
X 2 1 0 1 2
</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>
Kết luận về phương trình của đường thẳng (d).
<b> * Ví dụ : Viết phương trình của đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = 2x + 1 </b>
và đi qua điểm A(1; 2).
<i> Hướng dẫn : </i>
Vì đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = 2x + 1 nên phương trình của
đường thẳng (d) có dạng y = 2x + b (với b 1)
Vì đường thẳng (d) đi qua điểm A(1; 2) nên khi x = 1 thì y = 2, do đó ta có :
2 = 2.1 + b b = 0 (Thỏa mãn b 1)
Vậy phương trình của đường thẳng (d) là y = 2x.
<b>b) Biết (d) đi qua hai điểm A(x1; y1) và B(x2; y2) : </b>
<b> * Cách giải : </b>
<b> Phương trình của đường thẳng (d) có dạng y = ax + b </b>
Vì (d) đi qua điểm A(x1; y1) nên ta có : y1 = ax1 + b
Vì (d) đi qua điểm B(x2; y2) nên ta có : y2 = ax2 + b
Do đó ta có hệ phương trình 1 1
2 2
ax
ax
<i>y</i> <i>b</i>
<i>y</i> <i>b</i>
Giải hệ phương trình trên ta tìm được a và b, sau đó kết luận về phương trình của
</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>
<b> * Ví dụ : Xác định hàm số y = ax + b , biết rằng đồ thị của hàm số đi qua hai điểm A(1; 3) </b>
và B(1; 1).
<i> Hướng dẫn : </i>
Vì đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua điểm A(1; 3) nên ta có : 3 = a.1 + b hay a + b =
3 (1)
Lại có đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua điểm B(1; 1) nên ta có : 1 = a(1) + b
hay –a + b = 1 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : 3
1
<i>a b</i>
<i>a b</i>
Giải hệ phương trình trên ta được a = 2 và b = 1
Vậy hàm số cần tìm là y = 2x + 1
<i>(Lưu ý : Nếu biết đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng y</i>0 thì có nghĩa
là đồ thị hàm số đi qua điểm (0; y0). Đồ thị của hàm số cắt trục hồnh tại điểm có hồnh
độ bằng x0 có nghĩa là đồ thị của hàm số đi qua điểm (x0; 0))
<b>4) Dạng bài tập liên quan đến vị trí tương đối của hai đường thẳng : </b>
<b> a) Cách giải : Dựa vào điều kiện để hai đường thẳng song song, cắt nhau, trùng nhau </b>
(đã nêu ở phần kiến thức cơ bản ) để làm.
<i> Lưu ý : </i>Muốn tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng, ta giải hệ phương trình gồm hai
phương trình của hai đường thẳng đó.
Muốn tìm điều kiện để ba đường thẳng đồng quy, trước hết ta tìm tọa độ giao điểm
của hai đường thẳng đã có phương trình cụ thể, sau đó ta tìm điều kiện để đường
thẳng còn lại cũng đi qua giao điểm của hai đường thẳng đó.
<b> b) Ví dụ : Xác định m để hai đường thẳng y = (m</b>2<sub> 2)x + m + 3 và </sub>
</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>
<b>Hướng dẫn giải </b>
Điều kiện để hai đường thẳng đã cho song song với nhau là :
2 2
2 2 2 2 0
3 2 1 2
<i>m</i> <i>m</i> <i>m</i> <i>m</i>
<i>m</i> <i>m</i> <i>m</i>
<b> </b>
0
0
2
2
<i>m</i>
<i>m</i>
<i>m</i>
<i>m</i>
<sub></sub>
<sub></sub>
Vậy với m = 0 thì hai đường thẳng đã cho song song với nhau.
<b>5) Dạng bài tập liên quan đến vị trí tương đối của đường thẳng và parabol : </b>
<b> a) Lý thuyết : </b>
<b> Vị trí tương đối của Parabol y = ax2<sub> (a </sub></b><sub></sub><b><sub>0) và đường thẳng y = mx + n : </sub></b>
1. Hoành độ giao điểm của parabol y = ax2<sub> (a 0) và đường thẳng y = mx + n là nghiệm </sub>
của phương trình : 2
<sub></sub>
2
ax = mx + n
ax - mx - n = 0 1
* Nếu phương trình (1) có
> 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, đườngthẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt (Hình 1).
Muốn tìm tọa độ của giao điểm ,ta giải phương trình (1) để tìm ra hồnh độ của hai giao
điểm
Thay các giá trị vừa tìm được vào cơng thức của parabol hoặc cơng thức của đường
thẳng để tìm tung độ tương ứng , rồi kết luận về tọa độ giao điểm.
* Nếu phương trình (1) có
= 0 thì phương trình (1) có nghiệm kép, đường thẳng tiếpxúc với parabol (Khi đó đường thẳng và parabol chỉ có một điểm chung , điểm đó được
gọi là tiếp điểm – Hình 2).
Muốn tìm tọa độ của tiếp điểm ,ta giải phương trình (1) để tìm ra hoành độ của tiếp
điểm
Thay giá trị vừa tìm được vào cơng thức của parabol hoặc cơng thức của đường thẳng
để tìm tung độ tương ứng , rồi kết luận về tọa độ của tiếp điểm.
* Nếu phương trình (1) có
< 0 thì phương trình (1) vơ nghiệm, đường thẳng và</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>
<i> Chú ý : Một đường thẳng được gọi là tiếp xúc với parabol nếu có một điểm chung duy </i>
nhất với parabol và parabol nằm về một phía của đường thẳng.
Trường hợp đường thẳng x = m cũng chỉ có một điểm chung duy nhất với parabol
nhưng ta không gọi là tiếp xúc với parabol (Hình 4).
2. Tọa độ giao điểm của parabol y = ax2<sub> (a 0) và đường thẳng y = mx + n là nghiệm của </sub>
hệ phương trình : (I)
2
2 2
x
x x
ax x 0 *
ax ax x
<i>y</i> <i>m</i> <i>n</i>
<i>y</i> <i>m</i> <i>n</i> <i>y</i> <i>m</i> <i>n</i>
<i>m</i> <i>n</i>
<i>y</i> <i>m</i> <i>n</i>
<sub></sub>
* Nếu phương trinh (*) có hai nghiệm phân biệt thì hệ (I) có hai nghiệm phân biệt. Khi
đó đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt, hai nghiệm của hệ (I) chính là tọa độ
của hai giao điểm.
* Nếu phương trình (*) có nghiệm kép thì hệ (I) có nghiệm duy nhất. Khi đó đường
thẳng và parabol tiếp xúc với nhau, nghiệm duy nhất của hệ (I) chính là tọa độ của tiếp
điểm
* Nếu phương trình (*) vơ nghiệm thì hệ (I) vơ nghiệm. Khi đó đường thẳng và
parabol khơng giao nhau.
<b> b) Ví dụ : Tìm tọa độ giao điểm của parabol y = 2x</b>2<sub> (P) và đường thẳng y = 2x + 4 (d). </sub>
<i> Hướng dẫn : </i>
Hoành độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (D) là nghiệm của phương
trình :
2x2<sub> = 2x + 4 </sub><sub></sub><sub> x</sub>2<sub> – x – 2 = 0. Giải phương trình này ta được hai ngiệm x</sub><sub>1</sub><sub> = 1; x</sub><sub>2</sub><sub> = 2 </sub>
Với x = 1 ta có y = 2(1)2<sub> = 2 </sub>
Với x = 2 ta có y = 2.22<sub> = 8 </sub>
Vậy tọa độ các hai giao điểm của (P) và (d) là (1; 2) và (2; 8).
<b>6) Dạng bài tập tìm điểm cố định của đường thẳng : </b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>
<b> Giả sử phương trình của đường thẳng (d) có dạng ax + by = c, trong đó ít nhất một </b>
trong các hệ số a, b, c có chứa tham số m chẳng hạn. Bài toán yêu cầu tìm điểm cố định
của đường thẳng (d). Khi đó ta làm như sau :
Giả sử điểm M(x0; y0) là một điểm cố định mà mọi đường thẳng (d) ln đi qua thì
phương trình ax0 + by0 = c phải luôn đúng với mọi m.
Tìm giá trị của x0 và y0 để cho phương trình ax0 + by0 = c ln đúng với mọi m.
Kết luận.
<b> b) Ví dụ : Cho đường thẳng 2(k + 1)x + y + 3 + k = 0 (d), với tham số k. Chứng minh </b>
rằng khi k thay đổi, các đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định. Tìm điểm cố định đó
<b>Hướng dẫn giải </b>
<i> Giả sử M(x</i>0; y0) là một điểm cố định mà mọi đường thẳng đã cho ln đi qua thì
phương trình 2( k + 1)x0 + y0 + 3 + k = 0 (1) ln đúng với mọi k
Ta có (1) (2x0 + 1)k + 2x0 + y0 + 3 = 0, điều kiện để phương trình này ln đúng với
mọi k là : 0 0
0 0
0
1
2x 1 0
2
2x 3 0
2
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
<sub></sub> <sub> </sub>
Đáp số : Điểm cố định cần tìm là M( 1; 2
2
)
Bài 1: Biết đồ thị hàm số (P) đi qua điểm (2; 1). Hãy tìm a và vẽ đồ thị hàm số đó.
Bài 2: Cho đường thẳng (d): 2(m 1)x + (m 2)y = 2
a, Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P): tại hai điểm phân biệt A và B.
b, Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB theo m.
Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho (P): và đường thẳng (d): y = mx – 1
(m – tham số). Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân
biệt A, B.
Bài 4: Cho hàm số (P)
a. Vẽ đồ thị hàm số.
</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>
Bài 5: Cho (P): và đường thẳng (d): y = 2x + m. Xác định m để hai đường đó:
a. Tiếp xúc với nhau. Tìm hồnh độ tiếp điểm.
b. Cắt nhau tại hai điểm, một điểm có hồnh độ x = 1. Tìm tọa độ điểm còn lại.
c) Giả sử (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm quỹ tích trung điểm I của AB
khi m thay đổi.
Bài 6: Vẽ đồ thị hàm số :y = 3x + 1 ;
<b>2</b>
<b>2</b>
<i><b>x</b></i>
<i><b>y </b></i>
Trên cùng một hệ trục tọa độ. Tìm tọa độ các giao điểm của hai đồ thị ấy bằng phép tính.
<b>Phần II :bỉ sung </b>
<b>Dạng I. Các bài tốn về lập phương trình đường thẳng: </b>
<i><b>1.Bài tốn 1: Lập phương trình đường thẳng có hệ số góc k cho trước và đi qua điểm M </b></i>
<i><b>(x</b><b>0</b><b>; y</b><b>0</b><b>): </b></i>
Cách giải:
Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b
Thay a = k và toạ độ điểm M (x0; y0) vào phương trình đường thẳng để tìm b
Phương trình đường thẳng cần lập
<b>Ví dụ: Lập phương trình đường thẳng đi qua M (2;3) và song song với đường thẳng y = </b>
4x
Giải
Giả sử phương trình đường thẳng cần lập có dạng y = ax + b ,
song song với đường thẳng y = 4x a = 4.
Đi qua M( 2;3) nên ta có : 3 = 4.2 + b b = 11
Vậy phương trình đường thẳng cần lập là y = 4x – 11
<b>Áp dụng: </b>
Bài 1: Cho (P) y = . Tìm điểm A thuộc (P) sao cho tiếp tuyến với (P) tại A song song với
đường thẳng y = 4x + 5.
Bài 2: Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua B(0;1) có hệ số góc k.
</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>
Cách giải:
+ Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b
+ Thay toạ độ điểm A và B vào phương trình đường thẳng :
<i>b</i>
<i>ax</i>
<i>y</i>
<i>b</i>
<i>ax</i>
<i>y</i>
2
2
1
1
+ Giải hệ phương trình tìm a và b
Phương trình đường thẳng cần lập
<b>Ví dụ : Lập phương trình đường thẳng đi qua A (2; 1) và B(3; 4). </b>
Giải
Giả sử phương trình đường thẳng cần lập có dạng:
y = ax + b
Đi qua A (2; 1) nên : 1 = a.2 + b (1)
Đi qua B (3; 4) nên : 4 = a.(3) + b (2)
1 – 2a = 3a – 4
5a = 5 a = 1.
Thay a = 1 vào (1) b = 1
Vậy phương trình đường thẳng cần lập là y = x 1
<b>Áp dụng: </b>
Bài 1: Cho (P) y = , gọi A và B là hai điểm lần lượt trên (P) có hồnh độ lần lượt là 2 và
4. Tìm tọa độ điểm A và B từ đó suy ra phương trình đường thẳng AB.
Bài 2: Cho hàm số y = (2m 3)x + n – 4 (d) (m )
1. Tìm m, n để đường thẳng (d):
a. Đi qua hai điểm A(1;2); B(3; 4).
b. Cắt trục tung tại điểm có tung độ y = 3 và cắt trục hoành tại điểm có
hồnh độ x = 1 + .
<i><b>3.Bài tốn 3: Lập phương trình đường thẳng có hệ số góc k và tiếp xúc với đường cong y </b></i>
<i><b>= a’x</b><b>2</b><b><sub> (P) </sub></b></i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>
+ Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b (d)
+ Theo bài ra a = k
+ Vì (d) tiếp xúc với (P) nên phương trình:
a’x2<sub> = kx + b có nghiệm kép Δ = 0 (*) </sub>
Giải (*) tìm b
Thay vào (d) ta được phương trình đường thẳng cần lập
<b>Ví dụ : Lập phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y = 2x + 1 và tiếp </b>
xúc với parabol y = x2<sub> </sub>
Giải
Giả sử phương trình đường thẳng cần lập có dạng:
y = ax + b. song song với đường thẳng y = 2x + 1 a = 2.
Tiếp xúc với parabol y = x2<sub> nên phương trình : </sub>
x2<sub> = 2x + b có nghiệm kép </sub>
x2<sub> + 2x +b = 0 có nghiệm kép </sub>
Δ’ = 1 – b ; Δ = 0 1 – b = 0 b = 1
Vậy phương trình đường thẳng cần lập là y = 2x + 1
<i><b>4.Bài toán 4: Lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm M(x</b><b>0</b><b>; y</b><b>0</b><b>) và tiếp xúc với </b></i>
<i><b>đường cong y = a’x</b><b>2</b><b><sub> (P) </sub></b></i>
Cách giải:
+ Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b (d)
+ Đi qua M (x0; y0) nên y0 = a.x0 + b (1)
+ Tiếp xúc với y = a’x2<sub> nên phương trình : </sub>
a’x2<sub> = ax + b có nghiệm kép Δ = 0 (2) </sub>
Giải hệ hai phương trình (1) và (2) tìm a, b
phương trình đường thẳng cần lập
<b>Ví dụ : Lập phương trình đường thẳng đi qua M(1; 2) và tiếp xúc với parabol y = 2x</b>2<sub>. </sub>
Giải
</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>
y = ax + b. Đi qua M (1; 2) nên ta có: 2 = a + b (1)
Tiếp xúc với đường cong y = 2x2<sub> nên phương trình : </sub>
2x2<sub> = ax + b có nghiệm kép </sub>
2x2<sub> – ax – b = 0 có nghiệm kép </sub>
Δ = a2<sub> + 8b . Δ = 0 a</sub>2<sub> + 8b = 0 (2) </sub>
Từ (1) và (2) ta có hệ: a + b = 2 (1)
a2<sub> + 8b = 0 (2) </sub>
Từ (1) b = 2 + a (*) thay vào (2) ta được :
a2<sub> + 8a + 16 = 0 (a + 4)</sub>2<sub> = 0 a = 4 </sub>
Thay a = 4 vào (*) ta được b = 2
Vậy phương trình đường thẳng cần lập là y = 4x – 2
<b>Áp dụng: </b>
Bài 1:Cho hàm số y = 2x2
Viết phương trình đường thẳng đi qua A (0; 2) và tiếp xúc với (P).
<b>Dạng II. Bài toán về điểm cố định của họ đường thẳng. </b>
Phương pháp: Gọi M là điểm cố định của họ đường thẳng ( ),
y = f(x; m) đi qua. Vì M thuộc ( ) suy ra:
(với mọi m)
Từ đó tìm ra được M.
<b>Ví dụ: Cho đường thẳng (d) : 2(m 1)x + (m 2)y = 2. Tìm điểm cố định mà (d) đi qua </b>
khi m thay đổi.
Giải
Gọi M là điểm cố định của họ đường thẳng (d) đi qua. Vì M thuộc (d) nên ta suy
ra:
2(m 1) + (m 2) = 0
2m 2 + m 2 = 0
</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>
Vậy khi m thay đổi (d) luôn đi qua M(0;0).
<b>Áp dụng: </b>
<i><b>Bài 1: Cho hàm số y = (m</b></i>2<sub> + 1)x – 1 </sub>
a) Hàm số đã cho đồng biến hay nghịch biến? vì sao?
b) Chứng tỏ rằng đồ thị của hàm số đã cho luôn đi qua một điểm cố đinh với mọi
giá trị của m
c) Biết rằng điểm (1; 1) thuộc đồ thị hàm số. Xác định m và vẽ đồ thị của hàm số
ứng với m vừa tìm được
Bài 2: Cho đường thẳng (d): y = mx + m – 1(m – tham số). CMR: đường thẳng (d) luôn đi
qua một điểm cố định với mọi giá trị của m.
<b>Dạng III. Bài tốn tìm tập hợp điểm trong mặt phẳng tọa độ. </b>
<b> Phương pháp: </b>
- Gọi tọa độ điểm cần tìm là M(x; y).
- Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y
Ví dụ : Cho hàm số (P) y = 2x2
Tìm trên (P) các điểm cách đều hai trục tọa độ.
<b>Dạng IV. Bài tốn tính khoảng cách giữa hai điểm, chu vi, diện tích tam giác. </b>
Phương pháp:
- Khoảng cách giữa hai điểm: Từ hai điểm kẻ các đường thẳng vng góc với hai
trục tọa độ để tạo ra các tam giác vuông, sau đó dùng định lý Pitago.
- Chu vi tam giác bằng tổng các độ dài các cạnh đa giác.
- Diện tích: Ta đưa về các hình thường gặp.
<b>Ví dụ 1: Cho đường thẳng : y = 4x (d). Viết phương trình đường thẳng (s) song song với </b>
đường thẳng (d) cắt Ox tại A, cắt Oy tại B và diện tích tam giác AOB bằng 8.
Giải
</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>
y = 4x + b.
+ (s) cắt trục hoành tại A, nên ta có:
. Do đó: A .
+ (s) cắt trục tung tại B, ta có: . Do đó: B .
+ Tam giác AOB vng ở O nên:
Vậy có hai đường thẳng (s): y = 4x + 8 và y = 4x – 8.
<b>Áp dụng: </b>
Bài 1: Cho (P): y = và đường thẳng (d) có phương trình y = mx + 1. Xác định m để tam
giác OAB có diện tích bằng 3.
Bài 2: Cho hàm số y = (2m 3)x – 4 (d) . Tìm m để đường thẳng (d) cắt đường
thẳng (d’) có phương trình: x – y + 2 = 0 tại điểm M(x; y) sao cho biểu thức P =
đạt giá trị lớn nhất.
Bài 3: Cho hàm số y = có đồ thị (P) và hai điểm A, B thuộc (P) có hồnh độ lần lượt là
1 và 2. Vẽ đồ thị (P) và tìm tọa độ điểm M thuộc cung AB của đồ thị (P) sao cho tam giác
MAB có diện tích lớn nhất.
Bài 4: Tọa độ giao điểm A và B của đồ thị hai hàm số y = 2x + 3 và
y = . Gọi D, C lần lượt là hình chiếu vng góc của A, B lên trục hồnh. Tính diện tích
tứ giác ABCD.
Bài 5: Cho (P): y = và điểm M(0; 2). Gọi (D) là đường thẳng đi qua M và có hệ số
góc là k. Tìm k sao cho (D) cắt (P) tại hai điểm A và B phân biệt thỏa mãn AB = 12 và
hoành độ của A và B là các số dương.
Bài 6: Trên mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng (d) có phương trình:
2kx + (k 1)y = 2 (k là tham số)
1. Với giá trị nào của k thì đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = x ? Khi
đó hãy tính góc tạo bởi (d) với tia Ox.
</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>
Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) có phương trình
y = . Gọi (d) là đường thẳng đi qua I(0; 2) và hệ số góc k. Gọi H và K theo thứ tự là
hình chiếu vng góc của A và B lên trục hồnh. Chứng minh rằng tam giác IHK vuông
tại I.
Bài 8: Cho Parabol (P) y = và đường thẳng (d) đi qua A(1; 2) có hệ số góc là 2. Chứng
minh rằng (d) cắt (P) tại hai điểm nhận A làm trung điểm.
<b>BÀI TẬP CỦNG CỐ </b>
<b>Bài 1 Cho parabol (P): </b><i><sub>y</sub></i><sub></sub><sub>2</sub><i><sub>x</sub></i>2<sub> và đường thẳng (D): y=xm+1( với m là tham số). </sub>
a) Vẽ Parabol (P)
b) Tìm tất cả các giá trị của m để (P)cắt (D) có đúng một điểm chung.
c) Tìm tọa độ các diểm thuộc (P) có hồnh độ bằng hai lần tung độ.
<b>Bài 2 Cho hai hàm số y = 2x</b>2<sub> và y = x </sub>
1/ Vẽ đồ thị của các hàm số trên cùng một mặt phẳng toạ độ
2/ Tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số bằng phép tính
<b>Bài 4 a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số </b> 2
<i>y</i> <i>x</i> và đường thẳng (D): <i>y</i>2<i>x</i>3 trên cùng một hệ
trục toạ độ.
<b>b) Tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (D) ở Bài trên bằng phép tính. </b>
<b>Bài 5 Cho hàm số y = x</b>2<sub> có đồ thị (P) và hàm số y = 4x + m có đồ thị (d</sub><sub>m</sub><sub>) </sub>
1)Vẽ đồ thị (P)
2)Tìm tất cả các giá trị của m sao cho (dm) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt, trong
đó tung độ của một trong hai giao điểm đó bằng 1.
<b>Bài 6 Trong mặt phẳng Oxy cho parabol (P):</b> 1 2
2
<i>y</i> <i>x</i> <sub> </sub>
a)Vẽ đồ thị (P).
b)Trên (P) lấy điểm A có hồnh độ xA = 2. Tìm tọa độ điểm M trên trục Ox sao cho MA
</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>
<b>Bài 7Tìm a và b để đường thẳng </b>
d :<i>y</i>
a2
<i>x</i>b có hệ số góc bằng 4 và đi qua điểm
M 1;
<b>Bài 8 Cho hàm số: y = 2x – 5 có đồ thị là đường thẳng (d) </b>
a) Gọi A, B lần lượt là giao điểm của (d) với các trục tọa độ Ox,Oy. Tính tọa độ
các điểm A, B và vẽ đường thẳng (d) trong mặt phẳng tọa độ Oxy
b) Tính diện tích của tam giác AOB
<b>Bài 9 Cho Parabol (P): </b><i>y</i><i>x</i>2 và đường thẳng (d): <i>y</i>(<i>m</i>1)<i>x</i><i>m</i>4 (tham số m)
1) Với m = 2, tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d).
2) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung.
<b>Bài 10 </b>
Trong cùng một hệ toạ độ , gọi (P ) là đồ thị của hàm số y = x2<sub> và (d) là đồ thị của hàm </sub>
số y = x + 2
1) Vẽ các đồ thị (P) và (d) . Từ đó , xác định toạ độ giao điểm của (P) và (d) bằng
đồ thị .
2) Tìm a và b để đồ thị của hàm số y = ax + b song song với (d) và cắt (P) tại
điểm có hoành độ
bằng 1
<b>Bài 11 </b>
Cho parapol
2:
<i>P</i> <i>y</i> <i>x</i> và đường thẳng
2: 2 1
<i>d</i> <i>y</i> <i>x</i><i>m</i> (m là tham số).
1/ Xác định tất cả các giá trị của m để
<i>d</i> song song với đường thẳng
2 2' : 2
<i>d</i> <i>y</i> <i>m x</i><i>m</i> <i>m</i>.
2/ Chứng minh rằng với mọi m,
<i>d</i> luôn cắt
<i>P</i> tại hai điểm phân biệt A và B.3/ Ký hiệu <i>x<sub>A</sub></i>;<i>x<sub>B</sub></i> là hoành độ của điểm A và điểm B. Tìm m sao cho 2 2
14
<i>A</i> <i>B</i>
<i>x</i> <i>x</i> .
<b>Bài 12: a) Vẽ đồ thị các hàm số y = x</b>2<sub> và y = x – 2 trên cùng một hệ trục tọa độ. </sub>
</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>
<b>Bài 13 Tìm m để đường thẳng y = 2x – 1 và đường thẳng y = 3x + m cắt nhau tại một </b>
điểm nằm trên trục hoành
<b>Bài 14 Cho đường thẳng d có phương trình: ax + (2a 1) y + 3 = 0 </b>
Tìm a để đường thẳng d đi qua điểm M (1, 1). Khi đó, hãy tìm hệ số góc của đường
thẳng d.
<b>Bài 15 Trong mặt phẳng, với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có phương </b>
trình:y(m 1 x ) n.
1) Với giá trị nào của m và n thì d song song với trục Ox.
2) Xác định phương trình của d, biết d đi qua điểm A(1; 1) và có hệ số góc bằng
3.
<b>Bài 16 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng y = ax + b đi qua điểm M (1; 2) và </b>
song song với đường thẳng y = 3x + 1. Tìm hệ số a và b.
<b>Bài 17 Cho hai đường thẳng (d): y = x + m + 2 và (d’): y = (m</b>2<sub> 2) x + 1 </sub>
a) Khi m = 2, hãy tìm toạ độ giao điểm của chúng.
b) Tìm m để (d) song song với (d’)
<b>Bài 18. Cho hai hàm số: </b><i><sub>y </sub><sub>x</sub></i>2<sub> và </sub>
2
<i> x</i>
<i>y</i>
1) Vẽ đồ thị của hai hàm số này trên cùng một hệ trục Oxy.
2) Tìm toạ độ các giao điểm M, N của hai đồ thị trên bằng phép tính.
<b>Bài 19 Tìm m để đường thẳng </b> <i>y</i> 3 <i>x</i> 6 và đường thẳng 2 1
2
5
<i>x</i> <i>m</i>
<i>y</i> cắt nhau tại
một điểm nằm trên trục hoành.
<b>Bài 20: Cho hàm số y = (2m 1)x m + 2 </b>
a) Tìm m để hàm số nghịch biến trên R.
b) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua A (1; 2)
<b>Bài 21 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, với giá trị nào của a, b thì đường thẳng (d): y = ax + 2 b </b>
</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>
<b>Bài 22 </b>
Định m để 3 đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m và x + 2y = 3 đồng quy
<b>Bài 23 Cho Parabol (P): y = x</b>2<sub> và đường thẳng (d) : y = 2x + a </sub>
a\ Vẽ Parabol (P)
b\ Tìm tất cả các giá trị của a để đường thẳng (d) và parabol (P) khơng có điểm chung
<b>Bài 24: Cho hàm số y = (2 – m)x – m + 3 (1) </b>
a) Vẽ đồ thị (d) của hàm số khi m = 1 b) Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số
(1) đồng biến
<b>Bài 25. Cho hàm số: y = mx + 1 (1), trong đó m là tham số. </b>
a) Tìm m để đồ thị hàm số (1) đi qua điểm A (1;4). Với giá trị m vừa tìm được, hàm số (1)
đồng biến hay nghịch biến trên R?
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng (d) có phương trình: x + y + 3
= 0
<b>Bài 26 Cho hàm số bậc nhất </b><i>y</i>
<i>m</i>– 2
<i>x m</i> 3 (d)a. Tìm m để hàm số đồng biến.
b. Tìm m để đồ thị hàm số (d) song song với đồ thị hàm số <i>y</i>2<i>x</i>3.
<b>Bài 27 Cho hàm số y = </b>1
4x
2 <sub> </sub>
1) Vẽ đồ thị ( P) của hàm số đó.
2) Xác định a và b để đường thẳng ( d) : y = ax + b cắt trục tung tại điểm có tung độ
bằng 2 và cắt đồ thị (P) nói trên tại điểm có hồnh độ bằng 2.
<b>Bài 28 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = x</b>2<sub> và đường thẳng (d): y=ax </sub>
+ 3 ( a là tham số )
1. Vẽ parabol (P). 2. Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân
biệt.
</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>
<b>Bài 29 Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, cho parabol (P): y=</b>
<b>2</b>
<b>x</b>
<b>2</b> và đường thẳng
(d): 3
2
<i>y</i> <i>x</i>
1. Bằng phép tính, hãy tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) .
2. Tìm m để đường thẳng (d’) :y= mx – m tiếp xúc với parabol (P)
<b>Bài 30 Cho ba đường thẳng (l</b>1), ( l2), (l3)
1 2 3
( ) :<i>l</i> <i>y</i>2<i>x</i>1, ( ) :<i>l</i> <i>y</i><i>x l</i>, ( ) :<i>y</i><i>mx</i>3
a) Tim tọa độ giao điểm B của hai đường thẳng (l1) và ( l2).
b) Tìm m để ba đường thẳng (l1), ( l2), (l3) đổng quy.
<b>Bài 31: Vẽ đồ thị hàm số (P): </b> 1 2
y x
4
<sub>. Tìm m để đường thẳng (d): y = x + m tiếp xúc với </sub>
đồ thị (P).
<b>Bài 32 Cho đường thẳng (d): y = x + 2 và parabol (P): y = x</b>2
a) Vẽ (d) và (P) trên cùng một hệ trục tọa độ.
b) Bằng đồ thị hãy xác định tọa độ các giao điểm của (d) và (P).
<b>Bài 33 Cho Parabol (P): </b>yx2 và đường thẳng (d): y2xm29.
1) Tìm toạ độ các giao điểm của Parabol (P) và đường thẳng (d) khi m = 1.
2) Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung.
<b>Bài 34 Cho hệ phương trình: </b> ( 1) 3 1
2 5
<i>m</i> <i>x</i> <i>my</i> <i>m</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>m</i>
a) Giải hệ phương trình với m = 2
b) Tìm <i>m</i> để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
( ; )
<i>x y</i>
sao cho <i>x</i>2 <i>y</i>2 4<b>Bài 35 Vẽ đồ thị (d) của hàm số y = x + 3; </b>
a) Tìm trên (d) điểm có hồnh độ và tung độ bằng nhau.
<b>Bài 36. Cho Parapol y = x</b>2<sub> (P), và đường thẳng : y = 2(1 – m)x + 3 (d), với m là tham số. </sub>
</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>
2/ Chứng minh với mọi giá trị của m, parapol (P) và đường thẳng (d) luôn cắt nhau tại
hai điểm phân biệt
3/ Tìm các giá trị của m, để (P) và (d) cắt nhau tại điểm có tung độ y = 1
<b>Bài 37 Cho hàm số y = 8x</b>2<sub> có đồ thị là (P) </sub>
a/ Tìm toạ độ của 2 điểm A, B trên đồ thị (P) có hồnh độ lần lượt là 1 và 1.
2
b/ Viết phương trình đường thẳng AB
<b>Bài 38 Cho parabol (P) : y = x</b>2<sub> và đường thẳng (d) : y = mx 1 </sub>
1) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đường thẳng (d) ln cắt parabol (P)
tại hai điểm phân biệt.
2) Gọi x1, x2 lần lượt là hoành độ các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol
(P). Tìm giá trị của m để : 2 2
1 2 2 1 1 2
x x x x x x 3
<b>Bài 39 1. Cho hai đường thẳng d và d’ có phương trình lần lượt là: </b>
d: y = ax + a – 1 (víi a lµ tham sè)
d’: y = x + 1
a) Tìm các giá trị của a để hàm số y = ax + a – 1 đồng biến, nghịch biến.
b) Tìm giá trị của a để d // d’; d d’.
2. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số y = 2x + m – 4 cắt đồ thị hàm s y = 1
4x
2
tại hai điểm phân biệt.
<b>Bi 40 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): </b><i>y</i>(<i>k</i>1)<i>x</i><i>n</i> và hai điểm
A(0;2), B(1;0).
1. Tìm các giá trị của k và n để:
a) Đường thẳng (d) đi qua hai điểm A và B.
b) Đường thẳng (d) song song với đường thẳng ( ) : <i>y</i><i>x</i> 2 <i>k</i>.
2. Cho <i>n </i>2. Tìm k để đường thẳng (d) cắt trục Ox tại điểm C sao cho diện tích tam giác
</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>
<b>Bài 41. Cho hàm số y = 2x + 2m + 1. Xác định m, biết rằng đồ thị của hàm số đi qua </b>
điểm A(1;4).
1) Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số y = x2<sub> và đồ thị hàm số y = 2x + 3. </sub>
<b>Bài 42 Cho parabol (P): y = x</b>2<sub> và các điểm A,B thuộc parabol (P) v ới x</sub><sub>A</sub><sub> = 1,x</sub><sub>B</sub><sub> = 2 </sub>
1.Tìm toạ độ các điểm A,B và viết phương trình đường thẳng AB.
2. Tìm m để đường thẳng (d) : y = (2m2<sub> – m)x + m + 1 (với m là tham số ) song song với </sub>
đường thẳng AB.
<b>Bài 43 Cho hàm số </b> 2
<i>y</i><i>ax</i> .
a) Xác định hệ số <i>a</i> biết rằng đồ thị của hàm số đã cho đi qua điểm <i>M </i>
2; 8
.Vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ đồ thị (P) của hàm số đã cho với giá trị <i>a</i> vừa tìm
được và đường thẳng (d) đi qua <i>M </i>
2; 8
có hệ số góc bằng 2. Tìm tọa độ giao điểmkhác M của (P) và (d).
<b>Bài 44 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) có phương trình y = 2x</b>2<sub> và đường </sub>
thẳng (d) có phương trình y = 2(m – 1)x – m +1, trong đó m là tham số .
a) Vẽ parabol (P) .
b) Xác định m để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt .
c) Chứng minh rằng khi m thay đổi ,các đường thẳng (d) ln đi qua một điểm cố định .
Tìm điểm cố định đó .
<b>Bài 45 Cho hàm số y = mx – m + 2 có đồ thị là đường thẳng (d</b>m).
1.Khi m = 1 , hay x vẽ (d1).
2.Tìm toạ độ điểm cố định mà đường thẳng (dm) luôn đi qua với mọi giá trị của
m.
Tính khoảng cách lớn nhất từ điểm M(6 ; 1) đến đường thẳng (dm) khi m thay
đổi.
</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>
1) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P)
tại hai điểm phân biệt.
2) Gọi x1, x2 lần lượt là hoành độ các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol
(P). Tìm giá trị của m để : 2 2
1 2 2 1 1 2
x x x x x x 3
1. Xác định giá trị của a để đường thẳng (d): y = 2015x a2<sub> + 1 cắt parabol (P): </sub>
y = x2<sub> tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung. </sub>
<b>Bài 47 Cho hàm số bậc nhất </b>y= m–2 x+m+3
(d)a) Tìm m để hàm số đồng biến.
b) Tìm m để đồ thị hàm số (d) song song với đồ thị hàm số y=2x+7.
<b>Bài 48 Trong mặt phẳng tọa độ </b>Oxy, cho parabol
2P : yx và đường thẳng
d : y2 m 1 x
5 2m (m là tham số)a) Vẽ đồ thị parabol (P).
Biết đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt. Gọi hoành độ giao
điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là x1, x2. Tìm m để x<sub>1</sub>2 x2<sub>2</sub> 6
<b>Bài 49 Trong mặt phẳng 0xy cho đường thẳng (d) có phương trình </b>
2kx + (k 1)y = 2 (k là tham số)
a) Tìm k để đường thẳng (d) song song đường thẳng y = x 3. Khi đó tính góc tạo
bởi đường thẳng (d) với 0x.
b) Tìm k để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng (d) lớn nhất.
<b>Bài 50 Cho Parabol (P) : y = </b> 2
2
1
<i>x</i> và đường thẳng (D) : y = px + q .
Xác định p và q để đường thẳng (D) đi qua điểm A ( 1 ; 0 ) và tiếp xúc với (P) . Tìm toạ
độ tiếp điểm .
<b>Bài 51 Trong cùng một hệ trục toạ độ Oxy cho parabol (P) : </b> 2
4
1
<i>x</i>
<i>y </i> <sub> </sub>
và đường thẳng (D) :<i>y</i><i>mx</i>2<i>m</i>1
a) Vẽ (P) .
</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>
c) Chứng tỏ (D) luôn đi qua một điểm cố định .
<b>Bài 52 . Cho hàm số y = x</b>2 <sub> có đồ thị là đường cong Parabol (P) . </sub>
a) Chứng minh rằng điểm A( 2;2)<sub>nằm trên đường cong (P) . </sub>
<b>b) </b> Tìm m để để đồ thị (d ) của hàm số y = ( m – 1 )x + m ( m <sub>R , m </sub><b>1 ) cắt </b>
<b>đường cong (P) tại một điểm . </b>
<b>c) </b> Chứng minh rằng với mọi m khác 1 đồ thị (d ) của hàm số y = (m1)x + m luôn
<b>đi qua một điểm cố định . </b>
<b>Bài 53 Cho parabol (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình: </b>
(P): y=x2<sub>/2 ; (d): y=mxm+2 (m là tham số). </sub>
1. Tìm m để đờng thẳng (d) và (P) cùng đi qua điểm có hồnh độ bằng x=4.
2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân
biệt.
3. Giả sử (x1;y1) và (x2;y2) là toạ độ các giao điểm của đờng thẳng (d) và (P). Chứng minh
rằng <i>y</i>1<i>y</i>2
2 21
<i>x</i>1<i>x</i>2
.<b>Bài 54 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình: </b>
(P): y=x2<sub> </sub>
(d): y=2(a1)x+52a ; (a là tham số)
1. Với a=2 tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng (d) và (P).
2. Chứng minh rằng với mọi a đờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
3. Gọi hoành độ giao điểm của đờng thẳng (d) và (P) là x1, x2. Tìm a để x12+x22=6.
<b>Bài 55 Cho các đoạn thẳng: (d</b>1): y=2x+2 (d2): y=x+2; (d3): y=mx (m là tham số)
1. Tìm toạ độ các giao điểm A, B, C theo thứ tự của (d1) với (d2), (d1) với trục hồnh và
(d2) với trục hồnh.
2. Tìm tất cả các giá trị của m sao cho (d3) cắt cả hai đờng thẳng (d1), (d2).
3. Tìm tất cả các giá trị của m sao cho (d3) cắt cả hai tia AB và AC.
<b>Bài 56 Cho parabol (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình: </b>
(P): y=mx2<sub>; (d): y=2x+m trong đó m là tham số, m≠0. </sub>
</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>
2. Chứng minh rằng với mọi m≠0, đờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
3. Tìm m để đờng thẳng (d) cắt (P) tại 2 điểm có hồnh độ là
1<sub></sub> 2
3 ;(1<sub></sub> 2)3.<sub> </sub><b>Bài 57 Cho hai đường thẳng (d</b>1): <i>y</i>2<i>x</i>5; (d2): <i>y</i> 4<i>x</i>1cắt nhau tại I. Tìm m để
đường thẳng (d3): <i>y</i>(<i>m</i>1)<i>x</i>2<i>m</i>1 đi qua điểm
<b>Bài 58 Cho hàm số y=</b> 1 2
4<i>x</i>
có đồ thị (P) và hàm số y =mx – 2 m – 1 ( m 0) có đồ thị (d)
a)Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, vẽ đồ thị (P) và đồ thị (d) khi m=1.
b)Tìm điều kiện của m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 và x2.
Khi đó xác định m để <b>2</b> <b>2</b>
<b>1</b> <b>2</b> <b>1</b> <b>2</b>
<b>x x + x x = 48</b>.
<b>Bài 59 Cho các hàm số y = x</b>2<sub> có đồ thị là (P) và y = x + 2 có đồ thị là (d). </sub>
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông (đơn vị trên các trục bằng nhau).
b) Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.
c) Tìm các điểm thuộc (P) cách đều hai điểm A( 3 1 ; 0)
2 và B
3
(0; 1)
2 .
<b>Bài 60 Cho Parapol y = x</b>2<sub> (P), và đường thẳng : y = 2(1 – m)x + 3 (d), với m là tham số. </sub>
1/ Vẽ đồ thị (P).
2/ Chứng minh với mọi giá trị của m, parapol (P) và đường thẳng (d) luôn cắt nhau tại
hai điểm phân biệt
3/ Tìm các giá trị của m, để (P) và (d) cắt nhau tại điểm có tung độ y = 1
<b>Bài 62: Cho hàm số y= (m2)x+n (d) Tìm giá trị của m và n để đồ thị (d) của hàm số : </b>
a) Đi qua hai điểm A(1;2) và B(3;4)
b) Cắt trục tung tại điểm cótung độ bằng 1 2<sub>và cắt trục hồnh tại điểm có hồnh </sub>
độ bằng 2+ 2.
c) Cắt đường thẳng 2y+x3=0
d) Song song vối đường thẳng 3x+2y=1
<b>Bài 63: Cho hàm số : </b> 2
<i>2x</i>
<i>y </i> (P)
a) Vẽ đồ thị (P)
</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>
c) Xét số giao điểm của (P) với đường thẳng (d) <i>y mx</i>1 theo m
d) Viết phương trình đường thẳng (d') đi qua điểm M(0;2) và tiếp xúc với (P)
<b>Bài 64 : Cho (P) </b><i><sub>y </sub></i> <i><sub>x</sub></i>2
và đường thẳng (d) <i>y</i> 2<i>x</i><i>m</i>
1.Xác định m để hai đường đó :
a) Tiếp xúc nhau . Tìm toạ độ tiếp điểm
b) Cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B , một điểm có hồnh độ x=1. Tìm
hồnh độ điểm cịn lại . Tìm toạ độ A và B
2.Trong trường hợp tổng quát , giả sử (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N.
Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn MN theo m và tìm quỹ tích của điểm I khi
m thay đổi.
<b>Bài 65: Cho đường thẳng (d) </b>2(<i>m</i>1)<i>x</i>(<i>m</i>2)<i>y</i> 2<sub> </sub>
a) Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) 2
<i>x</i>
<i>y </i> tại hai điểm phân biệt A và B
b) Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn AB theo m
c) Tìm m để (d) cách gốc toạ độ một khoảng Max
d) Tìm điểm cố định mà (d) đi qua khi m thay đổi
<b>Bài 66: Cho (P) </b><i><sub>y</sub></i><sub></sub><sub></sub><i><sub>x</sub></i>2
a) Tìm tập hợp các điểm M sao cho từ đó có thể kẻ được hai đường thẳng vng
góc với nhau và tiếp xúc với (P)
b) Tìm trên (P) các điểm sao cho khoảng cách tới gốc toạ độ bằng 2
<b>Bài 67: Cho đường thẳng (d) </b> 3
4
3
<i>x</i>
<i>y</i>
a) Vẽ (d)
b) Tính diện tích tam giác được tạo thành giữa (d) và hai trục toạ độ
c) Tính khoảng cách từ gốc O đến (d)
<b>Bài 68: Cho hàm số </b><i>y x</i>1 (d)
a) Nhận xét dạng của đồ thị. Vẽ đồ thị (d)
</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>
<b>Bài 69: Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng : (d) </b><i>y</i>(<i>m</i>1)<i>x</i>2 (d')
1
3
<i> x</i>
<i>y</i>
a) Song song với nhau
b) Cắt nhau
c) Vng góc với nhau
<b>Bài 70: Tìm giá trị của a để ba đường thẳng : </b>
12
.
)
(
2
)
(
5
2
)
(
3
2
1
<i>x</i>
<i>a</i>
<i>y</i>
<i>d</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>d</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>d</i>
đồng quy tại một điểm trong mặt phẳng toạ độ
<b>Bài 71: CMR khi m thay đổi thì (d) 2x+(m1)y=1 ln đi qua một điểm cố định </b>
<b>Bài 72: Cho (P) </b> 2
2
1
<i>x</i>
<i>y </i> <sub> và đường thẳng (d) y=a.x+b .Xác định a và b để đường thẳng (d) </sub>
đI qua điểm A(1;0) và tiếp xúc với (P).
<b>Bài 73: Cho hàm số </b><i>y</i> <i>x</i>1 <i>x</i>2
a) Vẽ đồ thị hàn số trên
b) Dùng đồ thị câu a biện luận theo m số nghiệm của phương trình <i>x</i>1 <i>x</i>2 <i>m</i>
<b>Bài 74: Cho (P) </b> 2
<i>x</i>
<i>y </i> và đường thẳng (d) y=2x+m
a) Vẽ (P)
b) Tìm m để (P) tiếp xúc (d)
<b>Bài 75: Cho (P) </b>
4
2
<i>x</i>
<i>y</i> và (d) y=x+m
a) Vẽ (P)
b) Xác định m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
c) Xác định phương trình đường thẳng (d') song song với đường thẳng (d) và cắt (P)
tại điẻm có tung độ bằng 4
d) Xác định phương trình đường thẳng (d'') vng góc với (d') và đi qua giao điểm của
(d') và (P)
<b>Bài 76: Cho hàm số </b> 2
<i>x</i>
<i>y </i> (P) và hàm số y=x+m (d)
</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>
b) Xác định phương trình đường thẳng (d') vng góc với (d) và tiếp xúc với (P)
c) Thiết lập công thức tính khoảng cách giữa hai điểm bất kì. áp dụng: Tìm m sao cho
khoảng cách giữa hai điểm A và B bằng 3 2
<b>Bài 77: Cho điểm A(2;2) và đường thẳng (</b><i>d</i>1) y=2(x+1)
a) Điểm A có thuộc (<i>d</i>1) ? Vì sao ?
b) Tìm a để hàm số 2
<i>.x</i>
<i>a</i>
<i>y </i> (P) đi qua A
c) Xác định phương trình đường thẳng (<i>d</i>2) đi qua A và vng góc với (<i>d</i>1)
d) Gọi A và B là giao điểm của (P) và (<i>d</i>2) ; C là giao điểm của (<i>d</i>1) với trục tung . Tìm
toạ độ của B và C . Tính diện tích tam giác ABC
<b>Bài 78: Cho (P) </b> 2
4
1
<i>x</i>
<i>y </i> và đường thẳng (d) qua hai điểm A và B trên (P) có hồnh độ
lầm lượt là 2 và 4
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên
b) Viết phương trình đường thẳng (d)
<i>c) </i> Tìm điểm M trên cung AB của (P) tương ứng hoành độ <i>x</i>
2;4
sao cho tam giác<i>MAB có diện tích lớn nhất. </i>
<b>Bài 79: Cho (P) </b>
4
2
<i>x</i>
<i>y</i> <sub> và điểm M (1;2) </sub>
a) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và có hệ số góc là m
b) CMR (d) ln cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B khi m thay đổi
c) Gọi <i>x ;A</i> <i>xB</i> lần lượt là hoành độ của A và B .Xác định m để
2
2
<i>B</i>
<i>A</i>
<i>B</i>
<i>Ax</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> đạt giá trị nhỏ
nhất và tính giá trị đó
d) Gọi A' và B' lần lượt là hình chiếu của A và B trên trục hoành và S là diện tích tứ
giác AA'B'B.
*Tính S theo m
*Xác định m để S=4(8<i>m</i>2 <i>m</i>2<i>m</i>2)
<b>Bài 80: Cho hàm số </b> 2
<i>x</i>
<i>y </i> (P)
</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>
b) Gọi A,B là hai điểm thuộc (P) có hồnh độ lần lượt là 1 và 2. Viết phương trình
đường thẳng AB
c) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P)
<b>Bài 81: Trong hệ toạ độ xOy cho Parabol (P) </b> 2
4
1
<i>x</i>
<i>y</i> và đường thẳng (d)
1
2
<i>mx</i> <i>m</i>
<i>y</i>
a) Vẽ (P)
b) Tìm m sao cho (P) và (d) tiếp xúc nhau.Tìm toạ độ tiếp điểm
c) Chứng tỏ rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định
<b>Bài 82: Cho (P) </b> 2
4
1
<i>x</i>
<i>y</i> và điểm I(0;2) .Gọi (d) là đường thẳng qua I và có hệ số góc
m.
a) Vẽ (P) . CMR (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B <i>m R</i>
b) Tìm giá trị của m để đoạn AB ngắn nhất
<b>Bài 83: Cho (P) </b>
4
2
<i>x</i>
<i>y </i> và đường thẳng (d) đi qua điểm I( ;1
2
3
) có hệ số góc là m
a) Vẽ (P) và viết phương trình (d)
b) Tìm m sao cho (d) tiếp xúc (P)
c) Tìm m sao cho (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt
<b>Bài 84: Cho (P) </b>
4
2
<i>x</i>
<i>y </i> và đường thẳng (d) 2
2
<i>x</i>
<i>y</i>
a) Vẽ (P) và (d)
b) Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d)
c) Tìm toạ độ của điểm thuộc (P) sao cho tại đó đường tiếp tuyến của (P) song song
với (d)
<b>Bài 85: Cho (P) </b> 2
<i>x</i>
<i>y </i>
a) Vẽ (P)
b) Gọi A và B là hai điểm thuộc (P) có hồnh độ lần lượt là 1 và 2 . Viết phương trình
đường thẳng AB
</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>
<b>Bài 86: Cho (P) </b> 2
<i>2x</i>
<i>y </i>
a) Vẽ (P)
b) Trên (P) lấy điểm A có hồnh độ x=1 và điểm B có hồnh độ x=2 . Xác định các giá
trị của m và n để đường thẳng (d) y=mx+n tiếp xúc với (P) và song song với AB
Bài 87: Xác định giá trị của m để hai đường thẳng có phương trình
1
)
(
)
(
2
1
<i>y</i>
<i>mx</i>
<i>d</i>
<i>m</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>d</i>
cắt
nhau tại một điểm trên (P) 2
<i>2x</i>
<i>y</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>
<b>Bộ phận bán hàng: 0918.972.605</b>
<b>Đặt mua tại: />
<b>FB: facebook.com/xuctu.book/</b>
<b>Email: </b>
