Tuyển tập các bài nâng cao toán dành cho học sinh luyện thi vào lớp 10 | Toán học - Ôn Luyện

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (323.98 KB, 32 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

BÀI 5 VÀO 10 HP THẨM ĐỊNH 32017
I- BẤT ĐẲNG THỨC

1.(01MBV) a) Cho a,b>0 và ab>1. Chứng minh rằng: 2 2

1 1 2

1a 1b 1ab

b) Chứng minh rằng: 4 4 4 3 3 3

1 1 1 1 1 1

1a 1b 1c 1ab 1bc 1ca

2.(05 MBV) a) Chứng minh bất đẳng thức(x y z  )23(xy yz z  x)
b) Cho 3 số dương x, y, z thoả mãn x + y + z = 1. Chứng minh .

2 2 2

3 2

14
xy yz zx  x y z 

3.(04MBV) a) Cho x, y >0, chứng minh rằng

1 1 4

x y  x y

b) Tam giác ABC có chu vi 2p = a+ b+ c (a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác). Chứng minh

rằng:

1 1 1 1 1 1

p a p b p c a b c

 

      

    

4.(07MBV). a) Cho x 0. Chứng minh rằng

3 3

( 1) 1

4
x  x

b) Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn

x y z

  

3

Chứng minh:

3 3 3 3

( 1) ( 1) ( 1)
4
x  y  z 

5.(10 MBV) . Cho a, b, c là các số dương: 1/ Chứng minh:

√

a

b+c

≥

2 a

a+b+c

2/ Chứng minh rằng

√

a

b+ c

+

√

b

a+c

+

√

c

a+ b

>

2

6.(12MBV).a) Cho x; y là các số thực dương bất kỳ . Chứng minh

1 1 1 1

x y x y

 

   

  

b) Cho a, b và c là các số thực không âm thỏa mãn . Chứng minh rằng

1
a b c  
1

1 1 1 4

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

7. (13MBV). a) Cho x > 0; y > 0. Chứng minh:

b) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn: . Chứng minh:

8. (16MBV). a) Chứng minh rằng





2 2 1 2 2

a ab b a ab b
3

    

với mọi giá trị của a, b.

b) Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng:

+ +

+ + ³

+ + + + + +

3 3 3

2 2 2 2 2 2

a b c a b c

a ab b b bc c c ca a

9. (17MBV). a)Cho x,y,z là các số dương. Chứng minh rằng:





1 1 1
9
x y z

x y z

 

     

 

b)Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c  1.

Chứng minh rằng: 2 2 2

1 1 1

2 2 2

a  bc b  ac c  ab 

10. (18MBV). Cho a ; b > 0. Chứng minh rằng: 2 2

1 1 2

1a 1b 1ab nếu ab 1

b) Cho a,b,c1. Chứng minh rằng: 4 4 4 3 3 3

1 1 1 1 1 1

1a 1b 1c 1ab 1bc 1ca

11. (19MBV). Cho x > 0, y > 0, z > 0 thỏa mãn

x +

1
y +

z = 8064.

a) Chứng minh với: x > 0, y > 0 thì
1

x +

1
y ¿

4
x+ y

b) Chứng minh

2 x+ y+z +

x+2 y+z +

x+ y+2 z ¿ 2016

12. (22MBV). a) Cho x 0. Chứng minh rằng

3 3

( 1) 1

4
x  x

b) Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn

x y z

  

3

y
x
y
x  

4
1
1
4
1
1
1




z
y
x
1
2
1
2
1
2
1









y z x y z x y z

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Chứng minh:

3 3 3 3

( 1) ( 1) ( 1)
4
x  y  z 

13. (25MBV). a) Chứng minh rằng





2 2 1 2 2

a ab b a ab b
3

    

với mọi giá trị của a, b.
b) Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng:

+ +

+ + ³

+ + + + + +

3 3 3

2 2 2 2 2 2

a b c a b c

a ab b b bc c c ca a

14. (01MCL). a) Cho a > b > 0 chứng minh rằng

1 1

2
a b  ab

b) Chứng minh

√

2−

√

3 +

√

3−

√

5 +

√

4−

√

7 +. . .+

√

2011−

√

2010

4021 <

1
2

15. (02MCL). a) Cho x > y > 0 chứng minh rằng: x + y > 2 xy

b) Cho xy = 1. Chứng minh rằng

x2+y2

x− y ≥2√2 .

16. (04MCL). 1.Cho x; y là các số thực dương bất kỳ . Chứng minh

1 1 1 1

x y x y

 

   

  

2.Cho a, b và c là các số thực không âm thỏa mãn a b c  1. Chứng minh rằng
1

1 1 1 4

ab bc ca
c a b  .

17. (09MCL).Cho x; y là các số thực dương. Chứng minh rằng:





2 2 a b

a b

x y x y



 



b) Cho a,b,c là các số dương thoả mãn: a2b2c2 3

Chứng minh rằng: 2 2 2

2 3 2 3 2 3 2

a b c

a  b b  c c  a 

18. (10MCL). a, Chứng minh rằng:

1
x+

1
y≥

x+ y với mọi x, y >0

b, Cho a,b,c, là độ dài 3 cạnh của một tam giác. CMR:

1 1 1 1 1 1

a b c  b c a c a b      a b c 

19. (12MCL). a, Chứng minh rằng:

√

x−1

x ≤
1

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

b, Cho x ≥1 ; y ≥ 2; z ≥ 3 và M= yz

√

x−1+xz

√

y−2+xy

√

z−3

xyz

Chứng minh rằng: M ≤1
2+

1
2

√

1
2

√

20. (13MCL). a. Chứng minh a3b3ab(a b) với mọi ab  0

b. Chứng minh 3 3 3 3 3 3

1 1 1

a b 1 b c 1 c a 1 với a, b, c là các số dương thỏa mãn
abc = 1

21. (14MCL). a. Chứng minh:

2
2 2 (x y)

x y

2

 

b. Chứng minh:

4
4 4 (x y)

x y

8

 

22. (15MCL). a) Chứng minh rằng





2 2 1 2 2

a ab b a ab b
3

    

với mọi giá trị của a, b.
b) Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng:

+ +

+ + ³

+ + + + + +

3 3 3

2 2 2 2 2 2

a b c a b c

a ab b b bc c c ca a

23. (18MCL). a/ Chứng minh rằng :

n 1 n

2 n 1

  

 ( với mọi nN)

b/ Suy ra

1 1 1

1 ... 2 2017

2 3 2017

    

24. (21MCL). a) Cho hai số dương a, b. Chứng minh rằng:

ab

1 b





2

b) Cho ba số dương a, b, c thoả mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

2 2 2

a

b

c

3 1+b



1+c



1+a



2

. Đẳng thức xảy ra khi nào?

25. (26MCL). a)

Cho x > 0; y > 0. Chứng minh:

x y xy
4
1
1

b) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn:

4
1
1
1





z
y

x

. Chứng minh:

2
1
2

1
2










y z x y z x y z

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

26. (27MCL). Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a b c  1

a) Chứng minh:

( )

c ab  c ab

b) Chứng minh rằng:

2 2

1
1

ab c a b

ab

  




27. (28MCL).a) Cho a1,b1. Chứng minh a b1b a1ab

b)Cho a , b, c là ba số thực dương. Chứng minh

ab bc ca

a b c
c  a  b   

28. (29MCL). a) Cho x, y là các số dương chứng minh rằng

1 1 4

x y x y
b) Cho các số dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức:

a b b c c a a b c

c a b b c c a a b

    

      

  

 .

29. (01MQN).a) Chứng minh rằng





2 2 1 2 2

a ab b a ab b
3

    

với mọi giá trị của a, b.

b) Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng:

+ +

+ + ³

+ + + + + +

3 3 3

2 2 2 2 2 2

a b c a b c

a ab b b bc c c ca a

30. (05MQN). a) Cho a, b > 0. Chứng minh a b 2 ab.

b) Cho ba số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện :

3
x y z

4
  

. Chứng minh rằng:



2 2 2







1 1 1

6 x y z 10 xy yz zx 2 9

2x y z x 2y z x y 2z

 

         

     

  .

31.(08MQN). a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2 1

M x y  xy x y  

b) Cho 3 số dương a;b;c thỏa mãn a+b+c=1 chứng minh:

2 2 2

3 2

14
ab bc ac a   b c 

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

2. Cho các số thực dương a, b, c , chứng minh rằng : b c
a



+ a c
b



+ b a
c



 2

c
b
a 

33. (11MQN).1. Cho A>0; B>0. Chứng minh rằng

1 1 4

A B A B

2.Cho 3 số dương x, y, z thoả mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

B= 2 2 2

3 2

xy yz zx  x y z

34. (14MQN). Chứng minh rằng : Với a, b,c > 0 thì :

2 2
2 2

2 2 2

)

a b a b

a

b a b a

a b c

b a b c

b c a

  

    

35. (16MQN). a) Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: 2 2

1 1 2

a b ab

b) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c + ab + bc + ca = 6abc.

Chứng minh: 2 2 2
1 1 1

3
a b c 

36. (17MQN). 1) Cho x; y là các số thực dương bất kỳ . Chứng minh

1 1 1 1

x y x y

 

   

  

2)Cho a, b và c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 1 .

Chứng minh rằng 1
ab

c  + 1
bc
a  +

1
1 4
ca
b 

37. (19MQN) Cho a, b là hai số thực không âm thỏa: a + b ≤ 2.

Chứng minh:

2 a 1 2b 8
1 a 1 2b 7

 

 

  .

38.(01MBH). 1) Cho x; y là các số thực dương bất kỳ . Chứng minh

1 1 1 1

x y x y

 

   

  

2) Cho a, b và c là các số thực không âm thỏa mãn a b c  1.

Chứng minh rằng

1 1 1 4

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

39.(08MBH). a) Chứng minh rằng





2 2 1 2 2

a ab b a ab b

    

với mọi giá trị của a, b.
b) Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng:

+ +

+ + ³

+ + + + + +

3 3 3

2 2 2 2 2 2

a b c a b c

a ab b b bc c c ca a

40.(09MBH). a) Chứng minh rằng với mọi số thực x, y khơng âm ta có: 2
x y
xy  

b) Chứng minh rằng:









a + b 1

2
a a + 3b  b b + 3a 

với a, b là các số dương.

41.(10MBH).1)

Với a là số thực dương chứng minh rằng:

a 1

 

(1)

2)Với x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M =

3 2

16x 12x 1

2018
4x

 



42.(11MBH).a ) Chứng minh rằng với mọi số thực x, y không âm ta có: 2
x y
xy  

b) Chứng minh rằng:









a + b + c 1

2
a a + 3b  b b + 3c  c c( 3 )a 

với a,b,c là các số dương.

43. (14MBH). a) Cho a ; b > 0. Chứng minh rằng: 2 2

1 1 2

1a 1b 1ab nếu ab 1

b) Cho a,b,c 1. Chứng minh rằng: 4 4 4 3 3 3

1 1 1 1 1 1

1a 1b 1c 1ab 1bc 1ca

44. (02MLT). 1. Chứng minh







 



2 2 a b

a b

x y x y

2. Chứng minh 2   2   2  

1 1 1

2 2 2

a bc b ac c ab

45. (03MLT).1) Cho x; y là các số thực dương bất kỳ . Chứng minh

1 1 1 1

x y x y

 

   

  

2)Cho a, b và c là các số thực không âm thỏa mãn a b c  1.

Chứng minh rằng

1 1 1 4

ab bc ca
c a b  .

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

b). Cho a > 0, b > 0, c > 0. Chứng minh rằng:

8 8 8
3 3 3

1 1 1
a b c

a b c a b c

 

  

47. (06MLT). 1. Với x>0; y>0. Chứng minh rằng:

1 1 1 1

x + y 4 x y

 

  

 

2. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn:

1 1 1

+ + = 4
a b c .

Chứng minh rằng :

1 1 1

+ + 1

2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c 

48. (07MLT). a) Cho các số thực x, y dương. Chứng minh rằng

4 1 1 

  

  

x y x y

b) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: a + b + c = 1

Chứng minh rằng

1 1 1 4

ab bc ca

c a b 

49. (08MLT). a) Cho 2 số dương x, y chứng minh rằng:

1 1 4

x y x y .

b) Cho ABC có chu vi 2P = a + b + c. Trong đó a, b, c là độ dài 3 cạnh của ABC .

Chứng minh:

1 1 1 1 1 1

p a p b p c a b c

 

      

    

50. (11MLT). a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2 1

M x y  xy x y  

b) Cho 3 số dương a;b;c thỏa mãn a+b+c=1 chứng minh:

2 2 2

3 2

14
ab bc ac a   b c 

51. (14MLT). Cho ba số dương a, b, c

1. Chứng minh rằng









a b c   ab bc ca 

2. Cho a + b + c = 3. Chứng minh rằng: 2 2 2
3

1 1 1 2

a b c

b  c  a 

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

52. (17MLT). a) Chứng minh rằng





2 2 1 2 2

a ab b a ab b
3

    

với mọi giá trị của a, b.
b) Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng:

+ +

+ + ³

+ + + + + +

3 3 3

2 2 2 2 2 2

a b c a b c

a ab b b bc c c ca a

53. (20MLT). a) Chứng minh

2
(x y)

xy ; x, y

4


   

b)Cho hai số thực x, y thỏa mãn: x2 y2  x y. Chứng minh rằng: x y 2

54. (21MLT). a) Cho a, b là hai số bất kì x, y là các số dương. Chứng minh rằng:





2 2 a b

a b

x y x y



 

 (1) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi nào?

b) Với a, b, c > 0 chứng minh rằng:

1 4 9 36

a b c  a b c 

55. (10MNT). Chứng minh các bất đẳng thức sau

a) a2 + b2 + c2 ab + bc + ca với mọi a,b,c

a

+

b

+

c

a

. b

. c

1 a

+

1 b

+

1 c

( a > 0, b > 0, c >0)

56. (11MNT). a. Cho các số dương x,y,z. Chứng minh rằng:

1 1 1
(x y z)( ) 9

x y z

    

b. Cho các số dương m,n,p thỏa mãn: m2 + 2n23p2. Hãy chứng minh

1 2 3
m n p

57.(02MAK). a) Cho a, b > 0. Chứng minh rằng: 3(b2 + 2a2)  (b + 2a)2

b) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2

b 2a c 2b a 2c 3

ab bc ca

  

  

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

2) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn: . Chứng minh:

59. (02MAH).1) Cho x; y là các số thực dương bất kỳ . Chứng minh

1 1 1 1

x y x y

 

   

  

2) Cho a, b và c là các số thực không âm thỏa mãn a b c   . Chứng minh rằng1
1

1 1 1 4

ab bc ca
c a b  .

60. (04MAH). Cho x, y, z là ba số dương thoả mãn x + y + z =3. Chứng minh rằng:

3  3  3 

     

x y z

x x yz y y zx z z xy .

61. (05MAH). a/ Cho x; y là cácsốthựcdươngbấtkỳ .Chứngminh

1 1 1 1

x y x y

 

   

  

b/ Cho a, b và c là các số thực không âm thỏa mãn a b c  1.

Chứng minh rằng

1 1 1 4

ab bc ca
c a b  .

62. (07MAH).1) Cho x; y là các số thực dương bất kỳ . Chứng minh

1 1 1 1

x y x y

 

   

  

2) Cho a, b và c là các số thực không âm thỏa mãn a b c  1. Chứng minh rằng

1 1 1 4

ab bc ca
c a b  .

63. (12MAH). a) Cho x,y,z là các số dương . Chứng minh rằng : 3(x2 + y2 + z2)  (x+y+z)2

b) Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn : 3 + 2 2 2

1 1 1 1 1 1

a b c a b c

 

      

 

chứng minh rằng :

1 1 1 1

4a b c a   4b c a b   4c 6

64

. (05MKD). a) Cho các số x0, y0 v à 2x3y2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2

4 9

A

x y xy

 



4
1
1
1





z
y
x
1
2
1

1
2










y z x y z x y z

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

b) Cho x, y, z là ba số dương thoả mãn x y z  3. Chứng minh rằng :

3 3 3

x y z

x x yz  y y zx z z xy 

65. (06MKD). a) Chứng minh rằng với x; y là các số thực dương bất kỳ, ta có

4 1 1

x y  x y.

Đẳng thức xẩy ra khi nào ?

b) Cho a, b và c là các số thực không âm thỏa mãn a b c  1.

Chứng minh rằng

1 1 1 4

ab bc ca
c a b  .

66. (11MKD). 1.Cho các số dương a; b; c . Chứng minh rằng





1 1 1
9

 

     

 

a b c

a b c
2. Cho các số dương a; b; c thoả mãn a + b + c 3. Chứng ming rằng

67. (12MKD). a) Với x, y là số dương , chứng minh

1 1 4

x y x y

b) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh và p là nửa chu vi của một tam giác.

Chứng minh rằng:

1 1 1 1 1 1

p a p b p c a b c

 

      

    

68. (01MSD).1) Cho x; y là các số thực dương bất kỳ . Chứng minh

1 1 1 1

x y x y

 

   

  

2) Cho a, b và c là các số thực không âm thỏa mãn a b c  1. Chứng minh rằng
1

1 1 1 4

ab bc ca
c a b  .

69. (03MSD). a) Chứng minh bất đẳng thức:





2 2 2 a b c

a b c

, x, y, z 0

x y z x y z

 

    

 

b) Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng:

















a b c 27

b c  c a  a b 8 a b c 

70. (04MSD). a) Chứng minh bất đẳng thức: 3(xy + yz + zx)





x y z , x, y, z

   

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

2 2 2

1 1 1 1

S 30

a b c ab bc ca

    

 

71. (06MSD). a) Cho x; y là các số thực dương bất kỳ . Chứng minh

1 1 1 1

x y x y

 

   

  

b) Cho a, b và c là các số thực không âm thỏa mãn a b c  1. Chứng minh rằng
1

1 1 1 4

ab bc ca
c a b  .

72. (01MTK).1) Cho x, y là các số thực dương. Chứng minh rằng: 1
x+

1
y≥

4
x+ y
Dấu “=” xảy ra khi nào?

2) Cho x, y, z là các số dương và 1x+1
y+

1
z=4

Chứng minh rằng: 1
2 x + y +z+

1
x+2 y +z+

x + y +2 z≤ 1

73. (02MTK). a) Cho a, b > 0. Chứng minh rằng: 3(b2 + 2a2)  (b + 2a)2

b) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2

b 2a c 2b a 2c

ab bc ca

  

  

74. (04MTK). a) Chứng minh với x,y>0 thì 2 xy x y 

b)Chứng minh rằng

√

a
b+c+

√

b
a+c+

√

c

a+b>2 với a,b>0.

75. (16MTK). a)Cho a,b,c là các s dố ương. Ch ng minh ứ

1 1 1 9
+ +

a b ca+b+c.

76.(19MTK). Cho x; y là các số thực dương bất kỳ . Chứng minh

1 1 1 1

x y x y

 

   

  

a) Cho a, b và c là các số thực không âm thỏa mãn a b c  1. Chứng minh rằng
1

1 1 1 4

ab bc ca
c a b  .

77. (20MTK). a)Với x, y > 0, chứng minh:

1 1 1 1

x + y 4 x y

 

  

 

b)Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn:

1 1 1

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Chứng minh rằng :

1 1 1

+ + 1

2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c 

78. (08MTK). a) Cho x,y,z là các số dương . Chứng minh rằng : 3(x2 + y2 + z2)  (x+y+z)2

b) Cho a,b,c là các số dương thảo mãn : 3 + 2 2 2

1 1 1 1 1 1

a b c a b c

 

      

 

chứng minh rằng :

1 1 1 1

4a b c a   4b c a b   4c6

79.(02MLA).1) Chứng minh bất đẳng thức : x3 +y3 xy(x+y) với x,y 0 
2) Cho ba số x,y,z dương thỏa mãn xyz = 1.Chứng minh răng:

2 2 2 2 2 2

1 1 1

1
x y 1 y z 1 z x 1

80(06MLA).1. Cho x; y là các số thực dương bất kỳ . Chứng minh

1 1 1 1

x y x y

 

   

  

2.Cho a, b và c là các số thực không âm thỏa mãn a b c  1.

Chứng minh rằng

1 1 1 4

ab bc ca
c a b 

81(07MLA). 1) Cho x y , 1.Chứng minh rằng: 2 2

1 1 2

(1)
1x 1y 1xy

2)Cho x1,y1. Chứng minh rằng: 3 3 3

1 1 1 3

1x 1y 1z 1xyz

82(08MLA). 1) Cho x và y là 2 số thực thoả mãn x2 + y2 = 4.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

xy
x + y + 2
A 

2) Cho x, y, z là 3 số thực dương thoả mãn x2 + y2 + z2 = 2. Chứng minh:

3 3 3

2 2 2 2 2 2

2 2 2 x + y + z

+ + + 3

x + y y + z z + x  2 xyz .

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

2 2 2 2 2 2

1 1 1

1
x y 1 y z 1 z x 1

84(15MLA).1.Chứng minh rằng nếu a, b, x, y là các số thực và x, y >0 thì :





2 2 a b

a b

x y x y



 



2. Cho a,b,c > 0 và a + b + c  1.Chứng minh rằng : 2 2 2

1 1 1

2 2 2

a  bcb  acc  ab 

85(18MLA). 1, Cho các số thực dương x,y,z thảo mãn

x

+

y

+

z

=3

. Chứng minh: xyz  1

2. Cho các số thực dương x,y,z thảo mãn

x

+

y

+

z

=3

Chứng minh rằng: 3 3 3

x y z

+ + xy + yz + xz
yz xz xy 

86(19MLA). 1) Cho x,y,z là các số dương . Chứng minh rằng :

3(x2 + y2 + z2)  (x+y+z)2

2) Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn : 3 + 2 2 2

1 1 1 1 1 1

a b c a b c

 

      

 

chứng minh rằng :

1 1 1 1

4a b c a   4b c a b   4c 6

87.(26MLA). a) Chứng minh rằng:

1
x+

1
y≥

x+ y với mọi x, y >0

b) Cho a,b,c, là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

1 1 1 1 1 1

a b c  b c a c a b      a b c 

88.(28MLA). Cho a, b là hai số dương thỏa mãn ab = 1 . Chứng minh rằng:

a . a2b2 2

b.









2 2 4

a b 1 a b 8

a b

    

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

II- TOÁN CỰC TRỊ

1. (05MTK). a, Cho a> 1. Chứng minh rằng: 1 2

a
a 

b, Cho a > 1; b > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2

1 1

a b

A

b a

 

 

2. (06MTK). a, Cho a, b > 0. Chứng minh a b a b

1 1 4

 

 (1)

b, Cho a, b, c > 0 thoả a b c
1 1 1 4  

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

  

     

1 1 1

2 2 2

M

a b c a b c a b c

3. (07MTK). a) Cho a, b

là các số dương. Chứng minh rằng:

1 1 4
a b a b

b) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn

b2 c2 a2

 

.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2 2

1 1 1

( ) ( )

P b c a

a b c

   

4. (09MTK). a) Với a, b > 0 chứng minh:

 

   

  

1 1 1 1

a b 4 a b . Dấu “=” xảy ra khi nào?

b) Cho x, y, z là 3 số dương thoả mãn:

  

1 1 1

8
x y z

Tìm giá trị lớn nhất của         

1 1 1

2x y z x 2y z x y 2z

5.(18MTK). a) Cho a, b, c là ba số thực dương thoả mãn a + b + c = 3.

Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 ≤ a3 + b3 + c3. Dấu “=” xảy ra khi nào ?

b) Cho x, y, z là ba số thực dương thoả mãn x + y + z = 3.

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

3 3 3

2 2 2 2 2 2

x y z

+ +

y + z z + x x + y
P 

6. (10MTK). a, Cho a, b là các số dương. Chứng minh rằng:

b, Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức:

7. (11MTK). a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:



2

 

6



12

24

3

+

18

36

M



xy x



y



x



x



y



b)Tìm các cặp số thực x, y để biểu thức



2

 

6



12

24

3

+

18

36

M



xy x



y



x



x



y



đạt giá trị nhỏ nhất, xác định giá trị đó.

8. (13MTK). a,Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2  ab + bc + ca

b.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =





2 2 2 2

2 2 2

2 2

4x y x y

y x

x y  



víi x, y0



9. (14MTK). a/ Chứng minh bất đẳng thức : a b  2(a2b )2 (a ≥ 0, b ≥ 0)
b/ Tìm giá trị lớn nhất của A x 1  y 2 (x ≥ 1, y ≥ 2)

10. (02MSD).1) Cho A>0; B>0. Chứng minh rằng

1 1 4

A B A B

2)Cho 3 số dương x, y, z thoả mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

B = 2 2 2

3 2

xy yz zx   x y z

11. (05MSD). a) Cho A > 0; B > 0. Chứng minh rằng

1 1 4

A B A B

b) Cho 3 số dương x, y, z thoả mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

B = 2 2 2

3 2

xy yz zx  x y z

12. (07MSD).a) Chứng minh rằng với x > 1 ta có :

x

√

x−1≥2

1 1 4
a b a b

2 2 2

b c a

2 2 2

1 1 1

( ) ( )

P b c a

a b c

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

b) Cho a > 1, b > 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a2
b−1+

b2
a−1

13. (08MSD). a) Cho a, b là các số dương. Chứng minh rằng:

1 1 4

a b a b

b) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn b2c2 a2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:

2 2 2

1 1 1

( ) ( )

P b c a

a b c

   

14. (10MSD).1) Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2  ab + bc + ca

2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =





2 2 2 2

2 2 2

2 2

4x y x y

y x

x y  



víi x, y0



15. (03MKD). a/ Cho x > 0, y > 0 . Chứng minh

1 1 4

x yx y

b/ Cho a > 0, b > 0 và a+b=1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2

1 1

M

ab a b

 



16. (04MKD). 1) Cho a, b ¿0 .Chứng minh : 1

a +
1
b≥

4
a+b
2) Cho a, b, c ¿ 0 thỏa mãn 1

a +
1
b +

c = 4 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

M = 1

2 a+b+c +

a+2 b+c +

1
a+b+2 c

17. (07MKD). a) Chứng minh rằng





2 2 1 2 2

a ab b a ab b
3

    

với mọi giá trị của a, b.
. b) Cho hai số dương x và y có tổng bằng 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. 2 2

1 1

(1 )(1 )

B

x y

  

18. (10MKD). a/ Cho x > 0, y > 0 . Chứng minh

1 1 4

x yx y

b/ Cho a > 0, b > 0 và a+b=1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2

1 1

M

ab a b

 

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

19. (14MAH).1) Cho x1,y . Chứng minh rằng: 1 2 2

1 1 2

1x 1y 1xy . Dấu "=" xảy ra

khi nào ?

2) Cho x1,y0 và 6xy2x 3y2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2

1 1

4 4 2 9 6 2

A

x x y y

 

   

20. (12MNT). a) Cho x, y  , chứng minh:





2 2 11

5x xy 5y x y

   

b) Cho các số x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = a > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức: A = 5x2xy 5y 2  5y2yz 5z 2  5z2zx 5x 2 .

21. (03MAH). 1.Cho 2 số x, y ¿ 0. Chứng minh x + y ¿ 2

√

xy

2. Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P =

√

2x+ yz

√

2 y+xz

√

2z+xy

22. (06MAH). a. Cho a, b là hai số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng
a b

+ 2

b a 

b. Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z =1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

x y z

P = + +

x +1 y +1 z +1

23. (08MAH). a, Cho a> 1. Chứng minh rằng: 1 2

a
a 

b, Cho a > 1; b > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2

1 1

a b

A

b a

 

 

24. (09MAH). a) CMR: 2 .

a b

a b




với a  0, b  0

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

25. (15MAH). a. Cho x >0. Chứng minh rằng :
1
x + 2

x

b. Cho x > 0; y > 0; x + y  4. Tìm giá trị nhỏ nhất của: P = 5x + 3y +

12 16
x  y

26. (22MLT). a) Cho a, b > 0. Chứng minh: a b a b

1 1 4

 



b) Cho a, b, c > 0 thoả a b c1 1 1 4   . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

        

1 1 1

2 2 2

M

a b c a b c a b c

27. (12MLT). a) Cho x > 1. Chứng minh rằng 1 2

x

x  .

b) Cho a > 1; b > 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M =

2 2

1 1

a b

b a

28. (10MAH). a) Chứng minh rằng với mọi số thực x; y khơng âm ta có x y 2 xy
b) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn a + b + c = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

b
ac

ca
a

bc
bc
c

ab
ab
P

2
2

2    




29. (11MAH). a) Cho A>0; B>0. Chứng minh rằng

1 1 4

A B A B

b) Cho 3 số dương x, y, z thoả mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

B = 2 2 2

3 2

xy yz zx   x y z

30. (13MLT).

1.Cho 2 s x, y

ố

0. Ch ng minh x + y

ứ

2

√

xy

2. Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

30. (15MLT).

a) Cho a, b > 0. Ch ng minh

ứ

1 1 4

a b a b

(1)

b) Cho a, b, c >0 tho

ả

1 1 1
4

a b c  

. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c

ị ớ

ấ ủ

ể

ứ

1 1 1

2 2 2

M

a b c a b c a b c

  

     

31. (16MLT). 1) Chứng minh rằng: Với x>1 ta có:

2) Cho a>1, b>1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2

1 1

a b

G

b a

 

 

32.(09MLT).

a) Cho a, b > 0. Chứng minh a b a b

1 1 4

 

 (1)

b) Cho a, b, c > 0 thoả a b c1 1 1 4   . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

  

     

1 1 1

2 2 2

M

a b c a b c a b c

33. (04MLT). a) CMR: 2 2

a b a b



với a > 0, b > 0 và a  b

b)Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: y = x 1 x 2

34. (10MBH).1)

Với a là số thực dương chứng minh rằng:

a 1

 

(1)

2) Với x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M =

3 2

16x 12x 1

2018
4x

 



35. (12MBH). a) Chứng minh rằng với x > 1 ta có :

x

√

x−1≥2

b) Cho a > 1, b > 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a2
b−1+

b2
a−1

36. (13MBH). a) Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2  ab + bc + ca

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =





2 2 2 2

2 2 2

2 2

4x y x y

y x

x y  



víi x, y0



37.(03MVB). 1) Cho a > 0, b > 0.Chứng minh a + b ¿ 2

√

ab

.

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

2) Cho a > 0, b > 0 thỏa mãn
1 1

a b  . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

4 2 2 4 2 2

1 1

2 2

Q

a b ab b a ba

 

    .

38. (09MBV) a, Cho a, b là các số dương. Chứng minh rằng:

1 1 4
a b a b

b, Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn b2c2 a2 .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2 2

1 1 1

( ) ( )

P b c a

a b c

   

39. (11MBV) 1) Cho a > 0, b > 0.Chứng minh a + b ¿ 2

√

ab

2) Cho 0 < x,y,z 1. Và x + y + z = 2.

Tìm GTNN của A =

2 2 2

(x 1) (y 1) (z 1)

z x y

  

 

40. (14MBV). a) Cho 2 số x, y ¿ 0. Chứng minh x + y ¿ 2

√

xy

b) Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P =

√

2x+ yz

√

2 y+xz

√

2z+xy

41. (15MBV) a) Cho 2 số x, y ¿ 0. Chứng minh x + y ¿ 2

√

xy

b) Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P =

√

2x+ yz

√

2 y+xz

√

2z+xy

42. (20MBV). 1 .Với x >0 ; y > 0 thì . Chứng minh 4 2 2





1 1

2 2

x y  xy  xy x y

2. Cho 2 số dương a, b thỏa mãn
1 1

a b  . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

4 2 2 4 2 2

1 1

2 2

Q

a b ab b a ba

 

    .

43. (23MBV). a) Cho x là số dương, chứng minh:

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

b) Cho hai số dương x, y thỏa mãn:

x 2y 16





. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

9x 8y 2x 5y

P

2016

xy

12 







44. (03MCL). 1.Cho a, b > 0. Chứng minh a b a b

1 1 4

 

 (1)

2.Cho a, b, c > 0 thoả a b c
1 1 1 4  

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

  

     

1 1 1

2 2 2

M

a b c a b c a b c

45.(06 MCL). a) Cho hai số dương a, b . Chứng minh rằng:

1 1 4

aba b .

Đẳng thức xảy ra khi nào?

b)Cho hai số dương a, b thỏa mãn a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2

1 1

1 3ab a 1 3ab b

 

   

46. (08MCL).a) Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 ab + bc + ca

b)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =





2 2 2 2

2 2 2

2 2

4x y x y

y x

x y  



víi x, y0



47. (11MCL). a) Chứng minh

1
x+

1
y≥

x+ y (*) với x > 0, y >0

b) Cho a > 0, b > 0 và a + b ¿4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A =

2 a

+

b

+

35 ab

+

2 ab

48. (16MCL).a) Cho A>0; B>0. Chứng minh rằng

1 1 4

A B A B

b)Cho 3 số dương x, y, z thoả mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

B= 2 2 2

3 2

xy yz zx  x y z

49. (19MCL). a) Cho 2 số x, y ¿ 0. Chứng minh x + y ¿ 2

√

xy

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

P =

√

2x+ yz

√

2 y+xz

√

2z+xy

50. (20MCL). a) Cho A>0; B>0. Chứng minh rằng

1 1 4

A B A B

b) Cho 3 số dương x, y, z thoả mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

B= 2 2 2

3 2

xy yz zx  x y z

51. (22MCL).1. Cho a, b là hai số bất kỳ và x, y là hai số dương:

CMR:

a

x

+

b

y

≥

(

a+b )

x + y

(1)

2. Cho a, b, c > 0 và a + b + c < 1 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c.ị ỏ ấ ủ ể ứ

2 2 2

1

2 A

a

bc b

ca c

ab





52. (23MCL). a) Cho x > 0, y > 0 thoả mãn x + y = 2. Chứng minh rằng: 0 < xy  1

b) Tìm giá trị lớn nhất của A = x2y2 (x2 + y2)

53. (24MCL). Cho biểu thức M = xy x 2 y + 6 +12x

(

)(

)

2- 24x + 3y2 + 18y + 36
a) Phân tích M thành nhân tử ;

b) Tìm các cặp số thực x, y để M đạt giá trị nhỏ nhất, xác định giá trị đó.

54. (25MCL). a. Cho x >0. Chứng minh rằng :
1
x + 2

x 

b. Cho x > 0; y > 0; x + y  4. Tìm giá trị nhỏ nhất của: P = 5x + 3y +

12 16
x  y

55. (02MQN). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P (x2010)2  (x 2011)2
56. (03MQN). 1) với a,b là các số dương. Chứng minh rằng: a b  2 ab

2) Với x > 2015, tìm giá trị nhỏ nhất của A = 2015 2015

x x

x




</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

b) Cho 3 số dương x, y, z thoả mãn

1 1 1

1x1y1z  . Tìm giá trị lớn nhất của P= xyz.

58. (06MQN). a) Chứng minh rằng với mọi a, b dương ta có

a



b



a b

3 2



a b

2 3. 
Dấu “=” xảy ra khi nào ?

b) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn abc = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

5 5 5 5 5 5

ab bc ca

a b ab b c bc c a ca

  

     

59. (07MQN). a) Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 ta có 2 2

2 1

x 2y 3xy y 1  .

b) Cho 3 số dương a, b, c với abc = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2 2 2 2 2 2

1 1 1

a 2b 3 b 2c 3 c 2a 3

  

      .

60. (09MQN). 1.Cho 2 số x, y ¿ 0. Chứng minh x + y ¿ 2

√

xy

2. Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P =

√

2x+ yz

√

2 y+xz

√

2z+xy

61. (18MQN). a) CMR: 2 2
a b a b



với a > 0, b > 0 và a  b

b)Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: y = x 1 x 2

62. (20MQN).





x

2x 2013

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =

x

, x khác 0.

63. (02MBH).

Cho x, y 0

 thỏa mãn

x2 y2 2

.

a) Chứng minh xy 1

 .

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2

x y

y x

 

64. (03MBH).

a) Cho

x,y,z

 

, chứng minh:



 











2 2 2 2

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

b) Cho các số x, y, z > 0 thỏa mãn   

x y z 12 .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:





 



 



A

4x 2 x 1

4y 2 y 1

4z 2 z 1

.

65. (04MBH). 1) Cho a, b là các số dương. Chứng minh rằng:

. Dấu “=” xảy ra khi nào?

2) Với a, b là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

66. (05MBH).

a) Cho a, b là hai số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng

1 1

4 a



b



a b



.

Dấu “=” xảy ra khi nào?

b) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x y z 2

   .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

1 1

xy yz

 

67. (23MLT). a.Cho x 0; y 0  . Chứng minh rằng:

1 1 4

x y x y . Dấu “=” xảy ra khi nào?

b.Cho x 0; y 0 và 2x 3y 2    . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2

4 9

4x 9y xy

 



68. (24MLT). a) Cho a, b là các số dương. Chứng minh rằng:

1 1 4

a b a b

b) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn b2c2 a2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức:

2 2 2

1 1 1

( ) ( )

P b c a

a b c

   





(1 a)(1 b)   1 ab

b 4

M (1 a) 1 1

a b

 

       

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

69. (25MLT). 1) Cho x>0, y>0. Chứng minh rằng :

1 1 4

x y x y Dấu “=” xảy ra khi nào?
2) Cho x>0, y>0 v à 2x + 3y  2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

2 2

4 9

A

x y xy

 



70. (02MNT). Cho x > 0 , y > 0, z > 0. a) Chứng minh rằng :  2

x y
y x

b) Biết x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

1 1

1 x y z



71. (03MNT). a) Cho a, b > 0. Chứng minh a b a b

1 1 4

 

 (1)

b) Cho a, b, c > 0thoả a b c
1 1 1 4  

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

  

     

1 1 1

2 2 2

M

a b c a b c a b c

72. (05MNT). 1.Cho 2 số x, y ¿ 0. Chứng minh x + y ¿ 2

√

xy

2. Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P =

√

2x+ yz

√

2 y+xz

√

2z+xy

73. (08MNT). a) Chứng minh rằng với x > 1 ta có 1 2

x
x 

b) Cho a > 1, b > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2

1 1

a b

M

b a

 

  .

74. (14MNT).1) Cho a,b > 0. Chứng minh

1 1 4
a b a b

2) Cho a,b,c >0 thỏa mãn

1 1 1

a b c  = 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

M =

1 1 1

2a b c a   2b c a b   2c

75. (15MNT). a) Với a, b > 0 chứng minh:

 

   

  

1 1 1 1

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

b) Cho x, y, z là 3 số dương thoả mãn:

  
1 1 1

8
x y z

Tìm giá trị lớn nhất của

  

     

1 1 1

2x y z x 2y z x y 2z

76. (17MNT).1) Cho A>0; B>0. Chứng minh rằng

1 1 4

A B A B

2)Cho 3 số dương x, y, z thoả mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

B= 2 2 2

3 2

xy yz zx  x y z

77 (20MNT).1) Cho a, b > 0. Chứng minh a b a b

1 1 4

 

 (1)

2) Cho a, b, c > 0 thoả a b c
1 1 1 4  

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

  

     

1 1 1

2 2 2

M

a b c a b c a b c

78. (22MNT). 1. Cho a, b là hai số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng 
a b

+ 2

b a 

2. Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z =1Tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức:

x y z

P = + +

x +1 y +1 z +1

79. (23MNT). a)Cho a, b, c là các số dương, chứng minh:

1 1 1 9

a b c  a b c 

b) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: x2 + y2 + z2 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức:

1 P

xy

yz

zx





80. (24MNT). a) Chứng minh rằng





2 2 1 2 2

a ab b a ab b
3

    

với mọi giá trị của a, b.
b) Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng:

+ +

+ + ³

+ + + + + +

3 3 3

2 2 2 2 2 2

a b c a b c

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

81. (25MNT). a) Chứng minh rằng:





2 2 2 2

3( )

x y z   x y z

. Dấu "=" xảy ra khi nào?

b) Tìm giá trị lớn nhất của A = x + y + z + xy + yz + xz biết x2 + y2 + z2 = 3

82. (27MNT).a) Chứng minh rằng :

1 1

1 1 2 2

n n n n
n n n n

a b a b

 

   

 



  với n > 1 và nN

b)Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn :x + y + z =2018.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

4 4 4 4 4 4

3 3 3 3 3 3

x y y z z x

B

x y y z z x

  

  

  

83. (01MAK). a. Cho a, b là hai số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng 
a b

+ 2

b a 

b. Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z =1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

x y z

P = + +

x +1 y +1 z +1

84. (05MAK). a) Cho a+b+c = 1, chứng minh rằng a2+b2+c2
1
3


b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x4 + y4 + z4 biết rằng xy + yz + zx = 1

85.(01MLA). a) Cho x,y,z >0 chứng minh rằng

1 1 1 9

xyz x y z 

b) Cho x,y,z >0 thỏa mãn 2 2 2

1 1 1

x  y z  . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P= 2 2 2 2 2 2

1 1 1

5x 2xy2y  5y 2yz2z  5z 2xz2x

86.(04MLA) a) Cho x và y là hai số dương có tổng bằng 1.Chứng minh xy

1 .

4 

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2
2

1 A

x

y

x

y

































</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

b. Cho x + y = 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S = x1 y 2

88.(09MLA). a) Cho a, b, c là ba số dương có tổng là hằng số. Tìm a, b, c sao cho S = ab + bc
+ ca đạt giá trị lớn nhất.

b) Giả sử rằng giá bán của viên kim cương (hột xoàn) tỷ lệ với bình phương khối
lượng của nó. Khi đem một viên kim cương cắt thành ba phần và vẫn bán với giá như trên
(đúng tỷ lệ trên) thì tổng số tiền thu được tăng hay giảm và trong trường hợp chia cắt nào thì
sai biệt về giá trị là lớn nhất ?

89.(10MLA). a) Cho a + b + c = 1, chứng minh rằng a2 + b2 + c2
1
3


b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x4 + y4 + z4 biết rằng xy + yz + zx = 1

90(13MLA). a) Cho x > 0, y > 0. Chứng minh:

1 1 4

x y x y

b) Cho a > 0, b > 0 và a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2

1 1

M

ab a b
 



91. (14MLA). Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P =

√

2x+ yz

√

2 y+xz

√

2z+xy

92.(16MLA). 1. chứng minh : xy

2
x y

 

 

 

2. Cho hai số dơng x, y thay đổi sao cho x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P

2 2

1 1

x y

 

   

 

   

93(17MLA). a,Chứng minh: (a b )2 4ab

b, Cho x, y là các số dương thỏa mãn 3x+2y=2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P=x2y2(9x2+4y2)

94(20MLA). a) Cho a+b+c = 1, chứng minh rằng a2+b2+c2
1
3


</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

95(21MLA). Cho x > 0 , y > 0, z > 0. a) Chứng minh rằng :  2

x y
y x

b) Biết x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

1 1

1 x y z



96.(23MLA). Cho x > 0, y > 0 . Chứng minh

b)Cho a > 0, b > 0 và a+b=1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

97. (24MLA). Cho x > 0; y > 0 thỏa mãn: xy = 1. CMR: 4 2

1

2 x



y



b)Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 4 2 4 2

.

x

y

x



y



y



x

98.(25MLA). a) Cho x 0; y 0  . Chứng minh rằng:

1 1 4

x y x y . Dấu “=” xảy ra khi nào?

b) Cho x 0; y 0 và 2x 3y 2    . Tìm GTNN của biểu thức: 2 2

4 9

4x 9y xy

 



99.(27MLA). 1) Chứng minh bất đẳng thức : a + b4 2 2a b2 .

2) Cho hai số dương a, b thỏa mãn
1 1

+ = 2

a b . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

4 2 2 4 2 2

1 1

Q = +

a + b + 2ab b + a + 2a b.

100.(29MLA). 1. Cho hai số dương a và b. Chứng minh rằng 2
a b

ab




2. Cho
5

5
2 x


 

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A



2x5 . 5

 

 x



III. PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH

1.(19MLT). a) Cho x, y thỏa mãn x + y =16. Chứng minh rằng: x2xy y 2 192.

1 1 4

x yx y

2 2

1 1

M

ab a b
 

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

b) Giải hệ phương trình: 2 2

4
192
x y x y
x xy y

    




  




2. (03MTK). Chứng minh rằng với mọi a, b ta có: (a b )22(a2b2)
a) Giải phương trình: 2016 x x 2014x2 4030x4060227

3. (03MAK). a. Chứng minh a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ac với mọi a, b, c

b. Tìm x, y, z thỏa mãn hệ phương trình 4 4 4
6

6
x y z

x y z xyz

ì + + =
ïï

íï + + =
ïỵ

4. (04MAK). a) Chứng minh :

2 2 2

2 2

a b a b

ổ+ ửữ +
ỗ ữÊ

ỗ ữ

ỗố ứ

b) Gii phương trình: x- 3+ 11- x=20+ -x2 8x

5. (09MNT). a) Cho x; y là các số dương. Chứng minh rằng: x y  2



x y



 2 0. Dấu

“=” xảy ra khi nào?

b) Tìm các cặp số (x;y) thỏa mãn:









2 2 1

x y  x y x y

với

1 1

4 4

x y

6. (07MNT). a) Chứng minh bất đẳng thức: .

b) Giải phương trình: = 5

7. (04MNT). a) Cho các số thực dương x; y. Chứng minh rằng:

x2
y +

y2

x ≥x + y .

b) Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn: b + d  0 và 2
ac

b d  . Chứng minh rằng

phương trình (x2 + ax +b)(x2 + cx + d) = 0 (x là ẩn) ln có nghiệm

2 2 2 2 ( )2 ( )2

a b  c d  a c  b d

2 2 5 2 6 10

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

8. (19MLT). a) Cho x, y thỏa mãn x + y =16. Chứng minh rằng: x2xy y 2 192.

b) Giải hệ phương trình: 2 2

4
192
x y x y
x xy y

    




  




9. (10MLT). a) Với hai số a ³ 0, b ³ 0. Chứng minh rằng: a + b ³ 2 ab , dấu “=” xảy ra

khi nào?

b) Giải hệ phương trình sau: 2018 2018 2015

x y

y x

x y 8 (xy)

ìïï + =
ïïí

ïï + =

ïïỵ

10. (08MBV). Cho x,y là các số dương. Chứng minh rằng:





2 2 0.

x y  x y  

Dấu “ =” xảy ra khi nào?

2.Tìm các số x, y thỏa mãn:









2 2 1

x y  x y x y 

với x>

1 1

;
4 y 4

11. (05MCL).1. Phân tích ra thừa số:

a



5 a



10 a



4

2.Giải phương trình:

4

5

2 x







12. (07MCL).a) Chứng minh rằng với mọi a, b ta có: (a b )2 2(a2b2)
b) Giải phương trình: 2016 x x 2014x2 4030x4060227

13.(13MNT). a) Chứng minh rằng với hai cặp số bất kì (a, b) và (x, y) ta ln có bất đẳng

thức:







 



2 2 2 2 2

ax by  a b x y

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M  2x 3 5 2 x.

Từ đó giải phương trình sau: 2x 3 5 2 x x 24x 6 0 .

14.(03MLA). Giải phương trình:









x + 8 x + 3 x 11x + 24 1 5
.

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

2 2 2 3 2 4 3 0.

x  y  xy x y 

b) Cho tứ giác lồi ABCD có BAD và BCD là các góc tù. Chứng minh rằng AC BD .

16. (30MLA). 1. Cho x, y thỏa mãn x + y =16. Chứng minh rằng:

2 2 192

x xy y  .

2. Giải hệ phương trình: 2 2

4
192

x y x y

x xy y

    




  




IV.GIÁ TRỊ BIỂU THỨC

1. (21MBV).Cho

x, y ,z ∈ R

thoả ãn

1 x

+

1 y

+

1 z

=

1 x + y + z

.chứng minh



x  y y z z x

 





(  ) 0

Hãy tính giá trị của biểu thức M =
3

4 + ( x8 – y8 ) ( y9 – z 9) ( z10 – x 10)

2. (12MQN). Cho biểu thức





2 2 2 1

1 1

x

x x x x

P

x x x x



 

  

  

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của P .

b) Tìm x để biểu thức

2 x
Q

P


nhận giá trị nguyên.

3.(22MLA). Cho biểu thức A= x2 x1 x 2 x1 
a) Tìm điều kiện để A xác định

b) Tìm x để A = 3

V. PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN.

1. (17 MCL) a) Cho a > 0. Chứng minh bất đẳng thức:

a 1 a

2 a
  

b) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình x + y = xy.

</div>

Tuyển tập các bài nâng cao toán dành cho học sinh luyện thi vào lớp 10 | Toán học - Ôn Luyện

<i>x y z</i>

  

3

√

<i>a</i>

<i>b+c</i>

≥

<i>2 a</i>

<i>a+b+c</i>

√

<i>a</i>

<i>b+ c</i>

+

√

<i>b</i>

<i>a+c</i>

+

√

<i>c</i>

<i>a+ b</i>

>

2









<i>x y z</i>

  

3





√

√

√

√

√

√

√

√





√

√

√

√

√

√





ab

ab

1 b





2

a

b

c

3

1+b



1+c



1+a



2

Cho x > 0; y > 0. Chứng minh:

b) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn:

<sub>. Chứng minh:</sub>



















