Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Chuyên đề 7 - Nguyên hàm, hàm hữu tỉ, hàm lượng giác - Lê Hoành Phò - File word | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (264.76 KB, 32 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

CHUYÊN ĐỀ 7 - NGUYÊN HÀM, HÀM HỮU TỈ, HÀM LƯỢNG GIÁC

1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Nguyên hàm

Cho K là một khoảng



a b;



, nửa khoảng



a b a b; , ;

 



hay đoạn



a b;



. Hàm số F x

 

gọi là một nguyên

hàm của hàm số f x

 

trên K nếu: F x'

 

f x

 

, x K

Neesu F x

 

là một nguyên hàm của f x

 

thì họ các nguyên hàm của f x

 

là:



f x dx F x

 



 

C,

C là hằng số bất kì

- Phương pháp đổi biến số:

Nếu x u t

 

có đạo hàm liên tục trên K thì:

 



 



. '

 

f x dx f u t u t dt



Nếu t v x

 

có đạo hàm liên tục trên K thì:

 

f x dx g t dt thì:



f x dx

 





g t dt

 

- Phương pháp nguyên hàm từng phần: Nếu u x v x

   

, có đạo hàm liên tục trên K thì



udv uv 



vdu

Tích phân:

Giả sử f x

 

liên tục trên khoảng K và a b K,  và F x

 

là 1 nguyên hàm của f x

 

thì:

 

b b

a

a f x dx F b  F a F x



- Phương pháp tích phân đổi biến số:

 



 



. '

 

b

a f x dx f u t u t dt








Nếu t v x

 

có đạo hàm liên tục và f x dx g t dt

 



 

thì:

 

 
 

b v b

a f x dx v a g t dt



- Phương pháp tích phân từng phần:

Nếu u x v x

   

, có đạo hàm liên tục trên đoạn



a b;



thì

. .

b b b

a

audv u v  av du



</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Cho f là một hàm số xác định trên



a b a b;









. Phân hoạch T đoạn



a b;



thành n đoạn nhỏ bởi những

điểm chia tùy ý a x 0 x1...xn b, trên mỗi đoạn xi1,xj ta lấy một điểm i và lập tổng tích phân

  



n

T j j i

i

f x x

  





 .

Kí hiệu

 





max j i

i n

d T x x

 

  .

Nếu tồn tại giới hạn

  0

  



lim n j j i

d T
i

I f  x x








 thì giới hạn đó được gọi là tích phân xác định của hàm f

trên đoạn



a b;



và được kí hiệu là: I 



abf x dx

 

Ta chọn phân hoạch đều i





i

x a b a

n

   , tổng tích phân

  



n

n j j i

i

S f  x x





 thì lim n b

 

a

S 



f x dx.

Nguyên hàm đa thức và phân thức:

dx x C 





kdx kx C  với k là hằng số

dx x C

x  





uu'dxln u C

Với  1 thì

1 1

. ; . '.

1 1

x u

x dx C u u dx C

 

 

   

 



Các biến đổi: chia tách, thêm bớt, khai triển tích số, hằng đẳng thức, phân tích thành phân số đơn giản,…
Tổng quát với hàm hữu tỉ, nếu bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu thì phải chia tách phần đa thức,
còn lại hàm hữu tỉ với bậc tử bé hơn mẫu.

Nếu bậc của tử bé hơn bậc của mẫu thì phân tích mẫu ra các thừa số bậc nhất



x a



hay



x2 px q



bậc hai vô nghiệm rồi đồng nhất hệ số theo phần tử đơn giản: A ; 2Bx C

x a x px q



   ; Đồng nhất hệ số ở tử

thức thì tính được các hằng số A, B, C, … Kết hợp với các biến đổi sai phân, thêm bớt đặc biệt để phân tích
nhanh.

Các dạng tích phân đa thức, phân thức hữu tỉ:

 

b

a

P x dx

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>





b

a

x mx n dx





: Đặt u mx n  hoặc phân tích,









b

a

mx n px qx r dx 



: Đặt upx2qx r ,



 



b

a

x m  x m dx

 



: Nếu   thì đặt u x n.

- Dạng 2

b

a

dx
px qx r



: Lập  q2 4pr.





b

a

dx
mx n

  





: Dùng công thức

2 2

b

a

dx

x k

  





: Đặt x k tant

2 2

b

a

dx

x k

  




: Biến đổi 2 1 2 1 1 1

x k k x k x k

 

   
    

- Dạng 2

b

a

mx n
dx

px qx r


 



: Lập q2 4pr

  

   Phân tích và dùng công thức.









2 2 2

0 mx n A px qx r B

px qx r px qx r x  k

 


    

     

- Dạng









1 1

b b n

m m

n n n

a a

dx x dx

x x x x





 



: đặt t 1 xn

  .

Chú ý: Cho hàm số f x

 

liên tục trên đoạn



a a;



Nếu f lẻ thì

 

a

f x dx







. Nếu f chẵn thì

 

a a

a

f x  f x dx



Nguyên hàm lượng giác:

cosxdxsinx C





cos . '.u u dx sinu C
sinxdx cosx C





sin . '.u u dx cosu C

2 tan

cos

dx

x C

x  



tan
cos

u

dx u C

u  

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

2 cot

sin

dx

x C

x  



cot
sin

u

dx u C

u  



Các biến đổi: hạ bậc lượng giác, tích thành tổng, theo góc phụ tan

x

t  ,…















 











sin

1 1

sin .sin sin sin sin

x a x b

x a x b a b x a x b

    

 



    





2 2

1 1 1

.
sin cos sin

a x b x  a b x





2 2 2 2

1 1 1

1 cos

sin cos x

a x b x a b  a b  



sin cos



sin cos

sin cos sin cos sin cos

A a x b x c

x x B

a x b x c a x b x c a x b x c

    

 

     

2 2 2 2

1 1 1

.
sin sin cos cos tan tan cos

a x b x x x a x b x c x













2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

sin cos '
sin cos

sin cos sin cos

A a x b x

x x

a x b x  a x b x 




 

Đặc biệt cận tích phân: đối, bù, phụ thì đặt tương ứng , ,
2

t  x t  x t   x. Tích phân liên kết, để

tính I thì đặt thêm J mà việc tính tích phân I J và I J hoặc I kJ và I mJ dễ dàng lợi hơn. Tích
phân truy hồi In theo In1 hay In2 thì sin ,cos

nx nx tách lũy thừa 1 và dùng phương pháp tích phân từng

phần cịn tan ,cotnx nx

tách lũy thừa 2 và dùng phương pháp tích phân đổi biến số.

Nếu hàm số f x

 

liên tục trên đoạn



a b;



thì:

















/2 /2

0 0 0 0

sin cos ; sin sin
2

f x dx f x dx xf x dx f x dx

   



 



Các dạng tích phân lượng giác:

 

.sin ,

 

.cos

b b

a a

P x xdx P x xdx



: đặt u P x v

 

, ' sin hoặc cos x





,sin ,cos

R x x x dx





: đặt

x  t



,sin ,cos



R x x x dx



</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>





,sin ,cos

R x x x dx





: đặt x2  t



sin ,cos



b

a

R x x dx



: đặt tan ,

x

t  đặc biệt:

Nếu R



 sin ,cosx x



R



sin ,cosx x



thì đặt t cosx

Nếu R



sin , cosx  x



R



sin ,cosx x



thì đặt t sinx

Nếu R



 sin , cosx  x



R



sin ,cosx x



thì đặt t tan ,cotx x.

2. CÁC BÀI TỐN

Bài tốn 7.1: Tính giới hạn dãy un xác định bởi:

3
4
1

n

n
i

i
u

n





2
3 3
1

n

n
i

i
u

i n







Hướng dẫn giải

a) Xét hàm số f x

 

x3. Tổng tích phân của hàm số f trên đoạn



0;1



là:

3
4

1 1

1 n n

n n

i i

S f u

n  n  n

 

   
 



Ta có:

1
3

1
lim

n

S 



x dx . Vậy lim 1
4

n

u  .

b) Ta viết

3
3 3

1 1

1
1

n n

n

i i

i n

u

i n n

n

 

 
 
 

 

  

 
 



nên un chính là tổng tích phân của hàm số

 

3 1

x
f x

x



 trên

đoạn



0;1



Do đó:





1
1 2

3
3

0
0

1 ln 2

lim ln 1

1 3 3

n

x

u dx x

x

   





Bài tốn 7.2: Tính giới hạn dãy un xác định bởi:

1 1 1 1
1 ...

2 3 2 1 2

n

u

n n

     
 .

Hướng dẫn giải

Đặt 1

n

S
i

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

2 1

n n n n n n

n n n

i i i i i i

u S S

i

i i i i i n n

n

     

       

 



Do đó un là tổng tích phân của hàm số

 

1
1

f x
x



 trên đoạn



0;1



Suy ra





1
0

lim ln 1 ln 2
1

n

u dx x

x

   





Bài toán 7.3: Chứng minh:

lim xnsin xdx 0

 



 

4

0 1

x

t

f x dt

t






là hàm số chẵn

Hướng dẫn giải

a) Với x 



0;1



thì 0 xnsin x xn



  .

Do đó:

1 1

0 0

1
0 sin

n n

x xdx x dx

n



  





Vì lim 1 0
1

n   đpcm.

b) Đặt t s trong tích phân





4

0 1

x

t

f x dt

t



 




ta được





4 4

 

0 1 0 1

x x

t s

f x dt ds f x

t s



    

 



đpcm.

Bài tốn 7.4: Tính đạo hàm các hàm số:

 

cos

x

f x 



tdt b)

 

3 2

2
2

1
1

x

t

g x dt

t








Hướng dẫn giải

a) '

 

cos .

 

' cos
2

x

f x x x

x

 

b) Đặt

 

1
1

t
f t

t




 . Gọi F là một nguyên hàm của f, theo định nghĩa tích phân, ta có:

 









</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>









2 2

3 9 1 2 4 1
9 1 4 1

x x

 

 

 

Bài toán 7.5:

a) Cho

 





cos

x

f t dtx x



. Tính f

 

4 .

b) Tìm số b dương để tích phân





b

a

x x dx



có giá trị lớn nhất.

Hướng dẫn giải

a) Lấy đạo hàm 2 vế thì có 2xf x

 

2 xsin



x



cos



x



Cho 2 : 4

 

4 2 sin 2 cos 2

 

4 1
4

x f       f  .

b) Xét hàm số

 





x

f x 



t t dt

Ta có F x'

 

 x x F x2, '

 

 0 x1.

Lập bảng biến thiên của F x

 

trên



0;



thì F x

 

đạt giá trị lớn nhất khi x 1, do đó b 1.

Bài tốn 7.6: Chứng minh rằng:

 





1 1

0 0

f x dx f  x dx



 





1 1

1 0

f x dx f x f x dx



    



Hướng dẫn giải
a) Đặt u 1 x thì dudx x,  0 u1,x 1 u0.

 













1 0 1 1

0 1 0 0

1 1 1

f x dx f  u du f  u du f  x dx



 

1 0 1

1 1 0

f x dx f x dx f x dx

 

 



và

 









0 0 1

1 1 0

f x dx f u du f x dx



   



Do đó

 





1 1

1 0

f x dx f x f x dx



    



Bài toán 7.7: Cho hàm số f x

 

liên tục trên



a a;



. Chứng minh:

a) Nếu f là hàm số lẻ thì

 

a

f x dx





</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

b) Nếu f là hàm số chẵn thì

 

a a

a

f x  f x dx



Hướng dẫn giải

 

a a

I f x dx f x dx f x dx

 













Đổi biến xt đổi với tích phân

 

a

f x dx





ta được:

a) Nếu f lẻ thì

 

0 0

a a

f x dx f t dt f t dt f x dx

 

   



I

 

b) Nếu f chẵn thì

 

0 0 0

a a a

a

f x dx f t dt f x dx I f x dx



   



Bài toán 7.8: Cho hàm số f x

 

liên tục trên đoạn



a b;



. Chứng minh:









/2 /2

0 0

sin cos

f x dx f x dx

 













0 0

sin sin
2

xf x dx f x dx

 







Hướng dẫn giải

a) Đặt

x  t thì , 0 , 0

2 2

dxdt x  t  x  t  .













/2 0 /2 /2

0 /2 0 0

sin sin cos cos

f x dx f t dt f t dt f x dx

  



  

      
 

 



b) Đặt x  t thì dx dt x,  0 t ,x  t 0.







 



sin sin

xf x dx t f t dt



 



















0 0 0 0

sin sin sin sin

f t dt tf t dt f x dx xf x dx

   

 

















Do đó









0 0

2 xf sinx dx f sinx dx

 



 



đpcm.

Bài tốn 7.9: Tính: a)



 



1
2 3

x

dx

x x


 



4
3

x

dx

x x






</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

a) Đặt



 



2 3 2 3

x A B

x x x x



 

    nên x 1 A x



3



B x



 2



Do đó x 1



A B x







3A 2B



, đồng nhất hệ số thì A B 1,3A 2B1 nên 3, 2
5 5

A B .

Do đó:



 











1 3 2

2 3 5 2 5 3

x

dx dx

x x x x

 



   

 

     



3 2

ln 2 ln 3
5 x 5 x C
    



 



4 2 2

3 3

2 2 2

1 1

x x x

x x

x x x x x x x

  

   

   

Đặt



 



2 2

1 1 1 1

x A B C

x x x x x x



  

    nên









2 2 2

x   A B C x   B C x A  , đồng nhất hệ số thì

được 2, 1, 1

2 2

A B C , do đó:

 

2 1. 1 1. 1 1 2 2ln 1ln 2 1

2 1 2 1 2 2

f x dx x dx x x x C

x x x

 

          
 

 



Bài tốn 7.10: Tính: a)



x



3 x dx



5 b)

57
3
2 1

x

x    dx

 



Hướng dẫn giải
a) Đặt u 3 x x 3 u dxdu



3 5







. .5



6 3 5



x  dx  u u du u  u du







7 6

1 3 3 1

7 6 7 2

x

u u C x    C

       

 

b) Đặt

3 2

1 6

18 6

x x

u   du  dx x dx du

57 58

3 3

2 1 6 57 3 58 3 1

18 29 29 18

x x

x    dx  u du u C     C

   



Bài tốn 7.11: Tính a)





dx

x x



2
4 2

1
1

x

dx

x x


 



</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>









 





7 8

8 8 8 8 8

1 1

8 8 1

1 1 1

d x

dx x dx x

C
x

x x  x x  x x   



2 2

4 2 2

1 1 1

1 1 2 1

d x

x dx x x x C

x x x x

x
x

 

 

    

  

     

 
 
 



Bài tốn 7.12: Tính:



 



2 8

2 3

A



x x dx b)

4
2

4 3

B x x dx







 

Hướng dẫn giải

a) Đặt u x 3 thì x u 3,dx du .

Khi x 2 thì u1,x 3 u0.









0 0

2 8 2 8

1 1

5 10 25

A u u du u u u du

 





 



 





0 11

10 9 8 10 9

1 1

25 185
10 25

11 9 99

u

u u u du u u

 

  

       

 















1 3 4

2 2 2

1 1 3

4 3 4 3 4 3

B x x dx x x dx x x dx







  



   



 

1 3 4

3 3 3

2 2 2

1 1 3

2 3 2 3 2 3

3 3 3 3

x x x

x x x x x x



     

             

     

Bài tốn 7.13: Tính

 

1
2

l m 



x  2x m dx .

Hướng dẫn giải

Tam thức f x

 

x2 2x m , ' 1   m. Ta xét 2 trường hợp sau:

- Nếu    ' 0 1 m 0 m1

Khi đó:

 





1 3

2 2

0 0

2
2

3 3

x

l m  x  x m dx   x mx  m

 



</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Khi đó:

 

1
2

1 1 1
0

1 1 1

x m

f x

x m

    
  

   


Với x 2 0 thì 1 1 m 0 hay m 0

 





1 3

2 2

0 0

2
2

3 3

x

l m  x  x m dx    x mx   m

 



Với x 2 0 thì 0m1

 









1 1 1

2 2

0 1 1

2 2

m

l m x x m dx x x m dx

 





  



 

1 1 1

3 3

2 2

0 1 1

3 3

m

x x

x mx x mx

 

   

       

   





4 1 1 3 2
3

m m m

   


Bài tốn 7.14: Tính: a)

2
4

3 1
4 3

x

dx

x x


 



1 2 4

dx

x x





 

Hướng dẫn giải

a) Ta có



 



3 1 3 1

4 3 1 3 1 3

x x A B

x x x x x x

 

  

     

nên 3x 1



A B x



 3A B .

Đồng nhất hệ số 3 2

3 1 5

A B A

A B B

  

 



 

   

 

Vậy

5 5

4 4

3 1 2 5

4 3 1 3

x

dx dx

x x x x

   

   
     





2ln x 1 5ln x 3



54 ln 2 2ln 3 ln18
        .





0 0

2
2

1 2 4 1 1 3

dx dx

x x x

 



   



Đặt 1 3 tan ,

2 2

x  t    t  .

Khi x 0 thì

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>









/6
2

0 /6 /6

2 2

1 1 1 0

3 tan 1 3 3 3
2 4 3 tan 1 3 3 18

t dt

dx

dt t

x x t



 



  



   

  



Bài tốn 7.15: Tính: a)

2
4

2
3

x

A dx

x




 
  


 



2
0

6 2
1

x

B dx

x x




 



Hướng dẫn giải

a) Đặt t  x 3 thì x 2 t 5,dx dt

Khi x 2 thì t 1,x4 thì t 7.

7
7

2 1

10 25 25 192

1 10ln 10ln 7

A dt t t

t t t

   

          

   











2 2 2

2 2

0 0 0

3 2 1 5 2 1

3 5

1 1 1 3

2 4

x x dx dx

B dx

x x x x

x

  

  

     

 
 
 



2 2

2 0

2 1

3 3ln 1 3ln 3
1

x

dx x x

x x



   
 



Đặt 1 3 3





tan 1 tan

2 2 2 2 2

x  t   t   dx  t dt

Khi x 0 thì , 2
6

t   x thì

t  .

2 /3

0 /6 /6

2 3 10 3 5 3

5 5

3 3 3

1 3
2 4

dx

dt t

x




 



 

  

 
 
 
 



Vậy 3ln 3 5 3
3

B   .

Bài toán 7.16: Tính: a)

2 2
0

a

dx
I

x a






b) 2 2

a

dx
J

a x






Hướng dẫn giải

/2
/2

0 0

1 1 1 1 1

ln ln 3

2 2 2

a
a

x a

I dx

a x a x a a x a a



 

     

  

 



b) Đặt x a tant với

2 t 2

 

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Khi x 0 thì t 0,x a thì

t  .









2 /4

/4 /4

2 2

0 0

1 tan 1 1

4
1 tan

a t dt

J dt t

a a a

a t



 





   





Bài tốn 7.17: Tính:

2 4

2
0

1
4

x x

K dx

x

 






1 4 2

6
0

1
1

x x

L dx

x

 






Hướng dẫn giải

a) Đặt 2 tan ,



0;2



0;
4

x t x   t  

 .









/4 4 /4

4
2

0 0

16 tan 2 tan 1 2 1

. 16 tan 2 tan 1
cos 2

4 tan 1

t t dt

K t t dt

t
t

 

 

   













2 2 2

16 tan 1 tan 16 tan 2 tan 1

2 t t t t dt







   

Từ đó tính được 16 17 ln 2
3 8

K    

Cách khác:

2 2 2

1 17

4 4 4

x x x

x

x x x

  

   

  

 

1 2 1 1

2 6 2 3

0 0 0

1 2 2

1 1 1 3 1

d x

x dx

L dx

x x x x

 

     

  

  



Lần lượt đặt x tan ,t x3 tanu

  thì 5

L 

Bài tốn 7.18: Tính: a)



 



3 2

3
2

1
1 3

x

dx

x x


 



1/ 3

8
0 1

xdx
N

x







Hướng dẫn giải



 











3 2 3

1 3

1 3 1 1

x A B C D

x x

x x x x



   

 

   

Đồng nhất thì được 5 , 3, 1, 5
32 8 2 32

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>









1 3 5 1 37 5 2

ln ln

16 1 32 3 56 32 15
4 1

x

M

x x

x

   

     

    

 

b) Đặt t x2

 thì 1

xdx dt.

Khi x 0 thì 0, 41

t  x thì 1

t 

1/ 3 1/ 3

4 2 2

0 0

1 1 1 1

2 1 4 1 1

dt

N dt

t t t

 

    

    







1/ 3

1 1 1 1

ln arctan ln 2 3

8 1 4 8 24

t

t
t



  

     


 

Bài tốn 7.19: Tính: a)

1/2

4 2
0 2 1

dx

P

x x



 







2 7

7
1

8 2
1

x

Q dx

x x








Hướng dẫn giải

a) Ta có:



 



2 2
4 2

1 1 1 1 1

2 1 1 1 4 1 1

x x x x x x

 

    

       











 











2 2

1 1 1 2

4 1 1 1 1

1 1 1 1 1

4 1 1 1 1

x x

 

    

     

 

 

     

     

 

Từ đó

1/2

1 1 1 1 1 ln 3
ln

4 1 1 1 3 4

x
P

x x x

  

      
  

 









2 7 2 7 2

7 7

1 1 1

8 1 1 8 1 1

1 1

x x

Q dx dx dx

x x

x x x x

  

  



 











 





2 6 2

2
8

7 7 7 7

1 1

ln ln129

1 1

d x
x

x x dx

x x x x

    

 



2
7

7
1

1 1 256

ln129 ln ln129 ln
7 1 7 129

x
x

   

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Bài toán 7.20: Cho hàm số

 









2 1 0

1 0

khi

x x

f x

k x x

  




 




Xác định k để

  



f x dx







Hướng dẫn giải

Ta có

 









1 0 1

1 1 0

2 1 1 1

k

f x dx x dx k x dx

 

      



nên

 

7 12

f x dx k



  



Bài toán 7.21: Cho f x

 

là hàm liên tục và a 0 thỏa mãn: f x 

 

0 và f x f a x

  

. 



1 với mọi





x a . Tính

 

a

dx
I

f x






theo a.

Hướng dẫn giải
Đặt x a t  thì dx dt

Khi x 0 t a x a ,   t 0, ta có:





 

0 1 0

1 1 1

a a

a

f t dt

dt dt

I

f a t f t

f t

  

   



nên

 

0 0 0

1 1

a a f t dt a

dt

I I I dt a

f t f t

     

 



Vậy

a

I  .

Bài tốn 7.22: Tính:

a) I 



sin 3 cos 2x xdx b) J 



sin4xdx

Hướng dẫn giải

a) 1



sin sin 5



1 cos 1cos5

2 2 5

I  x x dx  x xC

 



b) sin4 1



1 cos 2



2 1



1 2cos 2 cos 22



1 3 2cos 2 1cos 4

4 4 4 2 2

x  x   x x    x x

 

nên 1 3 sin 2 1sin 4

4 2 8

J   x x xC

  .

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

a) sin 4 sin 3

tan cot 2

x x

dt

x x



2 2
2

2 sin cos 1
sin

x x x x

dx

x x

  



Hướng dẫn giải

a) tan cot 2 sin cos 2 cos 1

cos sin 2 cos sin sin 2

x x x

x x

x x x x x

     nên





sin 4 sin 3 1

sin 4 sin 3 sin 2 sin 4 cos5 cos

tan cot 2 2

x x

x x x x x x

x x   









1 1

sin 4 cos5 sin 4 cos sin 9 sin sin 5 sin 3
2 x x x x 4 x x x x

     

Vậy sin 4 sin 3 1 1cos9 cos 1cos5 1cos3

tan cot 2 4 9 5 3

x x

dx x x x x C

x x

 

     

  



2 2

2 sin cos 1 1 1

2 2 ln cot

sin sin

x x x x

dx dx x x x C

x x x x

    

        

 



Bài tốn 7.24: Tìm: a)

6
4

tan
cos

x
dx
x



5
7

tan
cos

x
dx
x



Hướng dẫn giải

a) Đặt utanx thì 12

cos

du dx

x

 . Ta có:









6 6

2 6

4 2 2

tan tan 1

1 tan tan tan '
cos cos cos

x x

dx dx x x x dx

x  x x  







6 9 7 tan9 tan7

9 7 9 7

u u x x

u u du C C





      

b) Đổi biến 1

cos

u

x

 thì sin2

cos

x

du dx

x

 . Ta có:





2
2

7 6 2

tan 1 sin

tan

cos cos cos

x x

dx x dx

x  x x











6 2 1 10 2 8 6

u u  du u  u u du



11 9 7

2 1 2 1

11 9 7 11cos 9cos 7 cos

u u u

C C

x x x

       

Bài tốn 7.25: Tính: a) cos

cos sin

x

I dx

x x







b) E 



cos .cos32x xdx

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

a) Xét sin ln cos sin 2
cos sin

x

J dx x x C

x x

   





cos sin

ln cos sin
cos sin

x x

I J dx x x C

x x



    





Suy ra 1



ln cos sin



I  x x x C.

b) Xét F 



sin .cos32x xdx thì: cos3 1sin 3 1
3

E F 



xdx x C





cos 2 .cos3 cos5 cos
2

E F 



x xdx



x x dx

1 1

sin 5 sin
10 x 2 x C

  

Suy ra 1 sin 5 1sin 3 1sin

20 6 4

E  x x x C

Bài toán 7.26: Tính: a)



cot xdx5 b) cot 9

1 sin

x
dx
x





Hướng dẫn giải









2
2
5

5 5

1 sin
cos

cot sin

sin sin

x
x

xdx dt d x

x x



 







5 3 4 2

1 2 1 1 1

sin ln sin
sin x sin x sinx d x 4sin x sin x x C

 

        

 















9
8

9 9 9 9 9

sin
cot cos .sin 1

1 sin sin 1 sin 9 sin 1 sin

d x

x x x

dx dx

x  x x  x x

  











9

9 9 9

sin sin

1 1 1 sin

9 sin 9 sin 1 9 1 sin

d x d x x

C

x x x

   

 



Bài tốn 7.27: Tính: a) I 



x2cos 2xdx b) J 



sin xdx

Hướng dẫn giải

a) Đặt u x v2, ' cos 2x

  . Khi đó ' 2 , 1sin 2
2

u  x v x.





2 2

1 1 1

sin 2 sin 2 sin 2 cos 2

2 2 2

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

1 1 1

sin 2 cos 2 sin 2
2x x 2x x 4 x C

    .

b) Đặt t x x t2 dx 2dt

    





sin .2 . 2 .sin . 2 cos cos

J 



t t dt 



t t dt  t t



tdt









2 tcost sint C 2 xcos x sin x C

       

Bài tốn 7.28: Tính:

a) 2

cos .sin8

C x xdx











7 7

sin cos

D x x dx









Hướng dẫn giải

a) Xét 2

sin .sin8

I x xdx







thì

0
0

1 2

sin 8 cos9

9 9

C I x x




 



 



2 2



0 0

cos sin sin8 cos 2 sin8

C I x x xdx x xdx

 

 



 







0 0

1 1 cos10 cos6 1

sin10 sin 6 0

2 2 10 6 9

x x

x x dx C




 

        

 



b) Đặt

x  t thì , 0 , 0

2 2

dxdt x  t  x  t  .

/2 0 /2

7 7 7

0 0

sin sin cos
2

xdx t dt tdt

 



 
    

 







/2 /2

7 7 7

0 0

cos xdx D sin x cos x dx 0

 





 



  .

Bài tốn 7.29: Tính: a)

0 1 cos

dx
x







sin 4
1 sin

x
dx
x







Hướng dẫn giải

a) Đặt tan 1 1 tan2 2 2

2 2 2 1

x x dt

t dt dx dx

t

 

       


 

Khi x 0 thì 0;
2

t  x thì t 1.

/2 1 2 1

2 1

. 1

1 cos 1 2

dx t

dt dt

x t





  

 

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

b) Đặt x  t thì dx dt, khi x 0 thì t ,x thì t 0.

0 0 0

sin 4 sin 4 sin 4 sin 4

1 sin 1 sin 1 sin 1 sin

x x t x

dx dt dt dx

x t t x

  





  

   



Do đó

0 0

sin 4 sin 4

2 0 0

1 sin 1 sin

x x

dx dx

x x

 

  

 



Bài tốn 7.30: Tính

2 2

sin

sin 2cos cos
2

xdx

A

x

x x









/6 4

tan
cos 2

x

B dx

x







Hướng dẫn giải

a) sin2 2cos cos2 sin2 cos 1 cos





1 cos
2

x

x x  x x  x   x.

nên









/2 /2

/2
0

0 0

1 cos
sin

ln 1 cos ln 2
1 cos 1 cos

d x

xdx

A x

x x

 





    

 







/6 4 /6 4

2 2

0 0

tan tan
cos 2 1 tan cos

x x

B dx dx

x x x

 

 





Đặt t tanx thì 2

cos

dx
dt

x

 . Khi x 0 thì 0,
6

t  x thì 1

t 









1/ 3 4 1/ 3 4 1/ 3
2

2 2

0 0 0

1 1 1 1

1 1 2 1 2 1

t t

B dt dt t dt

t t t t

 

 

       

     







1/ 3
3

1 1 1 10

ln ln 2 3

3 2 1 2 9 3

t t

t

  

       


 

Bài toán 7.31: Tính:

2
0

cos

13 7sin cos

xdx
I

x x





 







2
0 2sin cos

dx
J

x x









Hướng dẫn giải

a) Đặt sin cos , 0 0, 1

t  x dt  xdx x  t  x  t  .



 



/2 1 1

2 2

0 0 0

cos

sin 7sin 12 7 12 3 4

xdx dt dt

I

x x t t t t



  

     

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

1
1

0 0

1 1 4 9

ln ln

4 3 3 8

t
dt

t t t



 

     

  

 



b) Ta có 2sin cos 5 2 sin 1 cos 5 sin





5 5

x x  x x x

 

Vì

2 2

2 1

1
5 5
   

 

   
   

nên có số  để 2 cos , 1 sin

5   5  









2 0

1 1 1 1

cot 2

5sin 5 5 2 2

dx

J x

x






 
      

  



Bài toán 7.32: Tính:

3sin cos 3
sin 2cos 3

x x

K dx

x x



 


 



1
cos 2

L dx

x









Hướng dẫn giải

a) Xét 3sinxcosx 3 A



sinx2cosx3



B



cosx 2sinx





A 2B



sinx



2A B



cosx 3A

    

Đồng nhất thì A 2B0, 2A B 0,3A3 nên A1,B1, do đó:





0

cos 2sin

1 ln sin 2cos 3 ln 5
sin 2cos 3

x x

K dx x x x

x x





 

         
 

 



b) Đặt tan 1 1 tan2 2 2

2 2 2 1

x x du

u du dx dx

u

 

       


 









1 1

2 2 2 2

0 0 0

1 2 1 3

. 2

1 2 1 3 2 3 3 1 9
1

d u

du du

L

u u u u

u



   

   






Bài toán 7.33: Tính:

1 cos 2

A xdx








 b)

3sin 2 2cos
8sin 1

x x

B dx

x










Hướng dẫn giải

20 2

0 0

2sin 2 sin

A xdx x dx



















2
0

2 sinxdx sinxdx 2 cosx cosx 4 2

 




 

      

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

b) Đặt

2 1 1

8sin 1 sin cos .

8 4

t

t  x  x   x dx tdt

Khi 0 1, 3

x  t  x  t 













/2 3

2 3

0 1

2cos 3sin 1 1 1 1
3 11 11

16 16 4

8sin 1

x x

B dx t dt t t

x





     





Bài tốn 7.34: Tính













sin
sin cos

x

E dx

x x




 









b) 2

sin
1 cos

x x

F dx

x








Hướng dẫn giải

a) Đặt ; 0 , 0

2 2 2

x  t dxdt x  t x  t 

























0 /2

/2 0

cos cos

cos sin sin cos

t x

E dt dx

t t x x

  

   



 

 



Do đó

0 2 4

E E dx E



 

 



   .

b) Đặt x   t dxdt x,  0 t ,x  t 0.





2 2

sin sin
1 cos 1 cos

t t t

F dt dt J

t t





  

 



Do đó

2 2

0 1

sin 1
2

1 cos 1

t

J dt du

t u





 

 



Đặt utant thì tính được

F  .

Bài tốn 7.35: Tính:





2 1 cos

C x xdx







 b)





sin cos

D x x xdx









Hướng dẫn giải









/2 /2 /2

0 0 0

1 cos 2 1 1

2 1 2 1 cos 2

2 2 2

x

C x dx x dx x xdx

  

  

       

 

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>





/2 /2

0 0 0

1 1 1 1 1

2 1 sin 2 1

4 x 2 x 2 2 xdx 4 2 2



 

   

          

 



 









sin sin

D x x d x





















/2
/2
2

0
0

sin sin 1 2sin .cos sin

x x x x x xdx




  













/2 /2

0
0

2 2

1 cos sin

2 x 3 x 2 3

 

 

     

  .

Bài tốn 7.36: Tính:

/4
2

tan

I x xdx







2/4

sin

J x xdx







Hướng dẫn giải

/4 /4 /4

2 2

0 0 0

1
1

cos cos

xdx

I x dx xdx

x x

  

 

     

 







/4 /4 /4 2 2

0 0 0

tan tan tan ln

2 4 2 32

x

xd x xdx x x xdx



  









 



   

b) Đặt t x x t2 dx 2dt

     .

Khi

0 0,

4 2

x  t  x  t  nên

/2
3

2 .sin

J t tdt







Đặt u t dv 3, sintdt. Khi đó du 3t dt v2 ,  cost





/2 /2

3 2 2

0 0

2 cos 6 cos 6 cos

J t t t tdt t tdt

 



  







Áp dụng tích phân từng phần 2 lần nữa thì J 3



  4



.
Bài tốn 7.37: Tính:

2
1

cos5
3 tan

x x

A dx

x








/6 2

sin
sin 3 cos

x

B dx

x x









Hướng dẫn giải

a) Đặt xt thì dxdt x,  1 t 1,x 1 t 1.

1 1

2 2

1 1

cos5 cos5

0
3 tan 3 tan

t t x x

A dt dx A A

t x



    

 

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

b) Xét

/6 2

cos
sin 3 cos

x
C

x x









, ta có

/6 /6

0 0

1 1 1

tan

2 sin 2 tan 6

6 6

1 1

ln tan ln 3

2 6 4

dx

B C d x

x x

x

 



 



  

      

        

   

   

 
    

 



và





3 sin 3 cos 1 3

B C x x dx



 



  

nên 3 ln 3 1 3
16 4

B  

Bài toán 7.38:

a) Tính





max sin ,cosx x dx





b) Giải phương trình: 2 2

sin .cos
4 4

x

t t

dt 



Hướng dẫn giải





/2 /4 /2

0 0 /4

max sin ;cosx x dx cosxdx sinxdx

  



 





sin



0/4



cos



/2/4 2 0 0 2 2

2 2

x  x 



   
       

   

b) 2 2 2





0 0 0

1 1

sin .cos sin 1 cos
4 4 4 2 8

x x x

t t t

dt  dt  t dt











1 1

sin sin

8 8

x

t t x x

    .

Phương trình 1



sin



sin 8 8

8 x x   x x   x  .

Bài tốn 7.39: Tìm hàm số yf x

 

biết:

a) dy 12 3x x



2 1



3dx

  và f

 

1 3

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Hướng dẫn giải
a) Đặt u 3x2 1

  thì du 6xdx nên 12xdx2du.

 





4
2

3 3 1

2 2

x
u

f x 



dy 



u du  C   C

Vì f t

 

 8 C3 nên C 5. Vậy

 





4
2

3 1
5
2

x

f x    .

b) Đặt t sinx thì dt cosxdx

 

' sin7



1 sin2



cos 7



1 2



f x 



y dx



x  x xdx



t  t dt



7 9



8 10 sin8 sin10

8 10 8 10

t t x x

t t dt C C





      

Vì f

 

 79 nên C 79. Vậy

 

8 10

sin sin

79
8 10

x x

f x    .

Bài tốn 7.40: Tính In theo In2,n3.

a) In 



tannxdx n, * b)

sinn ,

n

I 



xdx n

Hướng dẫn giải

a) Với n 3: In tann 2xtan2xdx tann 2x



tan2x 1 1



dx

 









 

 

2 1

2 2

1
tan t tan

n n

xdx I x I

n

 

   





b) sinn1 .sin sinn 1



cos



n

I  x xdx  xd x













1 2 2

sinn x.cosx n 1 sinn x.cos xdx
  











1 2 2

sinn x.cosx n 1 sinn x 1 sin x dx

  













sin .cosn 1 1

n n

x n I n I



    

Do đó 1 2

1 1

sinn .cos

n n

n

I x x I

n n



  .

Bài toán 7.41: Đặt  





*
,

1 n , ,

m
m n

I 



x  x dx m n

Chứng minh  





,
0

1 n , 0, 1

m
m n

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Hướng dẫn giải

Đặt u



1 x



n,dv x dxm

   . Khi đó





1
1

1 ,

m

n x

du n x v

m




  


 









 

1 1

1
1

, 1, 1

0
0

1 1

1 1 1

m

n m n

m n m n

x n n

I x x x dx I

m m m






 

    

 





Bài toán 7.42: Đặt



2 2



a

n n

dx
I

x a







, với a0,n,n2.

Chứng minh





2 1 2 1

1 1 2 3
. .
1 2 . 2 2

n n n n

n

I I

n a  a n 



 

  .

Hướng dẫn giải









2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

0 0

1 a 1 1 a

n n n n

x a x x dx

I I

a x a a  a x a

 

  

 



Đặt



2 2



, xdx n

u x dv

x a

 

 . Khi đó







2 2



1 1

, .

2 1 n

du dx v

n x a 



 

 

















1
1

2 2 2 2

1
.
2 1
2 1

a
a

n

n n

x dx x

I
n

x a n x a  



 



  



⇒ đpcm.

Bài toán 7.43: Đặt





1 n ,

n

I 



 x dx n. Tính In và suy ra hệ thức:













0 1 2 3 1 2.4... 2

1 1 1 1

...

1 3 5 7 2 1 3.5... 2 1

n
n

n n n n n

n

C C C C C

n n



     

 

Hướng dẫn giải

Với n 1, đặt u 



1 x2



n và dv dx thì:













1 1 1 1

2 2 2 2

0 0

1 n 1 n 2 1 n

n

I 



 x dx x  x 



nx  x  dx



 



2 2

1
0

0 0 2n x 1 1 1 x n dx 2nIn 2nIn



  



     nên

1 2 0

2 2 2 2 2 2 2 2
. ... . ...
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3

n n n

n n n n n

I I I I

n  n n  n n

 

   

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Mà I 0 1 nên có:









2.4... 2
3.5... 2 1

n

n
I

n





Khai triển nhị thức dưới dấu tích phân:









2 2

0 0 0

. 1 . . .

n k n

k

k k k

n n n

k k

I C x dx C x dx

 







 















1
2 1

0 0 0

1 . .

2 1 2 1

k
k

n n

k k k

n n

k k

x

C C

k k



 


 

    

 

 



So sánh thì ta có điều phải chứng minh:













0 1 2 3 1 2.4... 2

1 1 1 1

...

1 3 5 7 2 1 3.5... 2 1

n
n

n n n n n

n

C C C C C

n n



     

 

Bài toán 7.44: Đặt

cosn ,

n

I xdx n







 . Tính In theo In2,n3 và suy ra





2 n 1 In 2n

 

 


Hướng dẫn giải





/2 /2

1 1

0 0

cosn .cos cosn . sin

n

I x xdx x d x

 

 













/2
/2

1 2 2

cosn 1 cosn .sin

x x n x xdx




 

  













 



2 2

2
0

0 1 cosn 1 cos 1

n n

n x x dx n I I





  



   

Do đó: In n 1In 2

n 



 Suy ra: 5 4. 3 4 2. 1 8
5 5 3 15

I  I  I 

2 2 2

2 1 2 1 2 3 1

2 ... . ... .

2 2 2 2 2 2

m m

m m m

n m I I

m m m





  

    



2 1 2 1

2 2 2 2 2

2 1 ... . ...

2 1 2 1 2 1 1

m m

m m m

n m I I

m m m

 



     

  

Xét dãy f n

  

 n1



I In. n1 thì





 

f n f n  f n f 

Do đó





. 1 , 1.

2 2

n n n n

n I I   nI  I 

Mà









1 1

2 2 1

n n n n

I I n I I

n

 



     

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Và 2
1

2 2

n n n n

I I nI I

n

 

       đpcm.

Bài toán 7.45: Cho hàm số f liên tục trên



a b;



. Chứng minh rằng tồn tại điểm c



a b;



sao cho

 

1 b

a

f x dx f c

b a



 .

Hướng dẫn giải

Giả sử m và M tương ứng là giá trị bé nhất và lớn nhất của hàm số f trên



a b;



. Ta có

 



;



mf x M x  a b nên:

 





 





b b b b

a a a a

mdx f x dx Mdx m b a  f x dx M b a 



Vì f là hàm liên tục nên tồn tại c



a b;



để

 

b

a

f c f x dx

b a







Bài toán 7.46: Chứng minh: Nếu f, g liên tục trên



a b;



thì:

   

 

2 . 2

b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

 



 









Hướng dẫn giải

Ta có



yf x

 

g x

 



2  0, y

 

   

 

2. 2 2 . 2 0,

y f x y f x g x g x y

     nên

 

   

 

2 2 2 2 0,

b b b

a a a

y



f x dx y f x g x dx







g x  y

Do đó

   

 

2 2

' . 0

b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

 

     









đpcm.

Bài toán 7.47: Chứng minh rằng:





54 2 x 7 11 x dx 108







   

2
1

sin
0

1 12

x

e x

dx

x e





 





</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

a) Xét f x

 

 x7 11 x trên



7;11



Với 7 x11 thì

 



 



1 1 11 7

2 7 2 11 2 7 11

x x

f x

x x x x

  

  

   

 

' 0 2

f x   x . Lập BBT thì 3 2 f x

 

6,  x



7;11



Do đó

 

11 11 11

7 7 7

3 2dx f x dx 6dx

  

  



đpcm.





2 2 2

sin 1

1; 3 0

1 1 1

x

e x e

x

x x e x

 

 

     

    

Do đó

3 3

2 2

1 1

sin 1 1
0

1 1 12

x

e x

dx dx

x e x e





  

 



Bài toán 7.48: Chứng minh:

1 ... , 0
2! !

n

x x x

e x x

n

      





1 ln 2, , 1
1 .2

m

n
n

m m

n n



    






Hướng dẫn giải
a) Ta chứng minh quy nạp.

Khi n 1 BĐT: ex 1 x x, 0

    : Đúng vì





0 0

1, 0;

x x

y y

e   y x 



e dy



dy ex 1 x

   .

Giả sử BĐT đúng khi n k . Ta chứng minh BĐT đúng khi n k 1.

Vì

1 ... , 0
2! !

k

x x x

e x x

k

      

nên





1 ... , 0;
2! !

k

y y y

e y y x

k

      

0 0

1 ...

2! !

x x k

y y y

e dy y dy

k

 

       

 







2 3 1

1 ...

2! 3! 1 !

k

x x x x

e x

k



      

 : đpcm.

b) Với k  *, x 



0;1



:

2 1 1

1 ...

1 1

k

k x

x x x

x x





</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Do đó với mọi y 



0;1



, ta có:









2 1

0 0

1 1

1 ... ... ln 1

1 2 1

y

k dx k

x x dx y y y y

x k



          

 



Tiếp tục với mọi z 



0;1



ta có:









2 1

0 0

1 1

.... ln 1

2 1

z z

k

y y y dy y dy

k



 

     

 



 









 



2 3 2

1 1 1

... . 1 ln 1
1.2 2.3 1

k

z z z z z z

k k



       



Chọn 1

z  và k  m 1 thì được đpcm.

Bài tốn 7.49: Xác định đa thức

 

cos

n

k
k

f x a kx





biết rằng f x

 

  0, x



0;2



Hướng dẫn giải
Với các số nguyên p, q ta có:









2 2

0 0

cos .cos cos cos
2

I px qxdx p q x p q x dx

 









    

nếu p q thì I 0, nếu p q thì I 

Vì

 





cos 0, 0;2

n

k
k

f x a kx x 





  

 

0 f x .cospxdx ak.



 



 với p k k , 1,2,...,n

Do đó tất cả các hệ số a k 0. Vậy f x 

 

3. BÀI LUYỆN TẬP

Bài tập 7.1: Tìm:

a) A



x x



 3



11xdx b) B



x ax b dx







, a 0

Hướng dẫn giải

a) Đổi biến t  x 3. Kết quả









13 12

3 3

13 4

x x

C

 

 

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Kết quả Khi  2 thì B 12 1 ln ax b C

a ax b

 

    


 

Khi  1 thì B 12



ax b ln ax b



C
a

    

Khi  2, 1 thì









2 1

ax b ax b

B C

a

 

 

   

   

   

 

Bài tập 7.2: Tính a)





2001
1002
2 1

x dx

I

x















4 2

2 3
3 2

x dx

I

x x x




 



Hướng dẫn

a) Đổi biến t x2 1

  . Kết quả

1001
2
2

1
.

2002 1

x

C
x

 

 


 

b) Kết quả 3ln

 

2 4ln



2 1



5ln



2 2



2 x x 2 x C

     

Bài tập 7.3: Tính: a)





2x1



9dx b) x3



1 x4



3dx





Hướng dẫn giải

a) Đổi biến t 2x1. Kết quả 1



2 1



20 x C

b) Kết quả 1



1 4



4
16 x C

Bài tập 7.4: Tính: a)





2
2
0

5
4

x
dx
x 



2 9

10 5
1 4 4

x

B dx

x x



 



Hướng dẫn

a) Đổi biến t x2 4

  . Kết quả 1
8

b) Kết quả 1 ln34 31

5 3 51

 



 

 .

Bài tập 7.5: Tính: a) I 



cos5 cos 7x xdx b) J 



cos3xdx

Hướng dẫn

a) Biến đổi tích thành tổng. Kết quả 1 1sin12 sin 2
4 6 x x C

 

 

 

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

b) Kết quả 1 sin 3 3sin
12 x4 x C

Bài tập 7.6: Tính a) 3sin2

cos

x
dx
x



b) 2 sin cos2 2 2 , 2 2

sin cos

x x

dx a b

a x b x 



Hướng dẫn

a) Đổi biến t cosx thì dt  sinxdx

Kết quả 3 cos x C3

 

b) Kết quả 21 2 a2sin2x b2cos2x C

a  b  

Bài tập 7.7: Tính a) 13

sin xdx



b) 2

sin

x
dx
x



Hướng dẫn
a) Nhân chia thêm sin x và đổi biến t cosx.

Kết quả 1ln tan cos2

2 2 2sin

x x

C
x

 

b) Kết quả  xcotxln sinx C

Bài tập 7.8: Tính: a)

/3
3

tan xdx





/3
2

sin xtanxdx





Hướng dẫn

a) Tách tan .tan2x x. Kết quả 1 1ln 2

2


b) Kết quả ln 2 3
8


Bài tập 7.9: a)





5
2
0

sin
1 cos

xdx
A

x








sin 2

3 4sin cos 2

xdx
B

x x





 



Hướng dẫn

a) Đổi biến t cosx. Kết quả 15

b) Kết quả ln 2 1
2


</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

5 /4

sin cos
1 sin 2

x x

C dx

x










2 2

2sin 2
cos 4sin

x

D dx

x x









Hướng dẫn

a) Để ý 1 sin 2 x



sinxcosx



2 và đổi biến t sinxcosx

Kết quả 1ln 2
2

b) Kết quả 2

Bài tập 7.11: Chứng minh rằng:

2 2

1 1

1 2 1
1

x x

dx dx

x x

 






2
0

14 4 3cos 8

dx
x



 

 





Hướng dẫn

a) Chứng minh



1;2 :



1 2 1
1

x x

x

x x

 

  



b) Chứng minh 0; :1 1 2 1

2 7 4 3cos 4

x



 

    


  .

Bài tập 7.12: Tính





3 2 3

4 3

dx
J

x x



 



và lập công thức truy hồi:



2 4 3



n n

dx
J

x x



 



Hướng dẫn













3 2 2 2

3 2

2 3 1

ln
16 3
8 4 3

4 4 3

x

x x

J C

x

x x



 

   


 

 

Và tách









1 2 1 2 2

1 1

4 3

4 3 4 3

n n n

dx

J dx

x x

x x x x

   

 

   

</div>

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Chuyên đề 7 - Nguyên hàm, hàm hữu tỉ, hàm lượng giác - Lê Hoành Phò - File word | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

<b>CHUYÊN ĐỀ 7 - NGUYÊN HÀM, HÀM HỮU TỈ, HÀM LƯỢNG GIÁC</b>

<b>1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM</b>







 







 

 

 

 

 

 

 

<sub></sub>

 

 

 

 



 



 





 

 

 

<sub></sub>

 

<sub></sub>

 

   

<sub></sub>

<sub></sub>

 

 

 

 

 

 

 



 



 



 





 

 

 

 

 





   

<sub></sub>

<sub></sub>

















  



<sub></sub>

 





  



<sub></sub>