Toán 8 Học Sinh Giỏi bộ đề thi HSG toan 8 co dap an

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

phòng giáo dục và đào tạo kim bảng _{kiểm tra chất l-ợng học sinh giỏi năm học 2008 – 2009}
<b>mơn tốn lớp 8 </b>

<i>Thời gian 150 phút – Không kể thời gian giao đề </i>
Đề chớnh thc

Bài 1 (3 điểm)Tính giá trị biểu thøc

4 4 4

4 4 4 4

1 1 1 1

1+ 3 5 ... 29

4 4 4 4

A=

1 1 1 1

2 + 4 6 ... 30

4 4 4 4

  _  _   _ 

     

     

  _  _   _ 

     

 

Bài 2 (4 điểm)

a/Vi mi số a, b, c không đồng thời bằng nhau, hãy chứng minh
a2_{+ b}2_{+ c}2 _{– ab – ac – bc}₀
b/ Cho a + b + c = 2009. chứng minh rằng

3 3 3

2 2 2

a + b + c - 3abc

= 2009
a + b + c - ab - ac - bc

Bài 3 (4 điểm). Cho a 0, b 0 ; a và b thảo m·n 2a + 3b  6 vµ 2a + b 4. Tìm giá trị lớn nhất
và giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc A = a2_{– 2a b}

Bài 4 (3 điểm). Giải bài toán bằng cách lập ph-ơng trình

Mt ụ tụ i t A đến B . Cùng một lúc ô tô thứ hai đi từ B đến A vơí vận tốc bằng 2
3 vận
tốc của ô tô thứ nhất . Sau 5 giờ chúng gặp nhau. Hỏi mỗi ô tô đi cả qng đ-ờng AB thì mất bao

lâu?

Bµi 5 (6 ®iĨm). Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän, c¸c ®iĨm M, N thø tù lµ trung ®iĨm cđa BC và
AC. Các đ-ờng trung trực của BC và AC cắt nhau tại O . Qua A kẻ đ-ờng thẳng song song với
OM, qua B kẻ đ-ờng thẳng song song với ON, chúng cắt nhau tại H

a) Nối MN, AHB đồng dạng với tam giác nào ?

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>Phòng GD - ĐT </b> <b>đề thi học sinh giỏi năm học 2008 - 2009 </b>

<b> Can léc </b> Môn: Toán lớp 8

Thời gian làm bài 120 phút

Bµi 1. Cho biĨu thøc: A =

5 2

3 2

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>



 

a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm x để A - <i>A </i>0

c) Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất.

Bµi 2: a) Cho a > b > 0 vµ 2( a2_{+ b}2_{) = 5ab}
Tính giá trị của biểu thức: P = 3

2

<i>a b</i>
<i>a b</i>




b) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng a2_{+ 2bc > b}2_{+ c}2
Bài 3: Giải các ph-ơng trình:

a) 2 1 1

2007 2008 2009

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 _{ }  _

b) (12x+7)2_{(3x+2)(2x+1) = 3}

Bµi 4: Cho tam giác ABC; Điểm P nằm trong tam giác sao cho <i>ABP</i><i>ACP</i>, kỴ PH
,

<i>AB PK</i> <i>AC</i>

  . Gäi D là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh.
a) BP.KP = CP.HP

b) DK = DH

Bài 5: Cho hình bình hành ABCD, một đ-ờng thẳng d cắt các cạnh AB, AD tại M và K, cắt đ-ờng
chéo AC t¹i G. Chøng minh r»ng: <i>AB</i> <i>AD</i> <i>AC</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

UBND THµNH PHè HuÕ kú thi CHäN häc sinh giái tHµNH PHè

PHịNG Giáo dục và đào tạo lớp 8 thCS - năm học 2007 - 2008

M«n : To¸n
§Ị chÝnh thøc Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1: (2 điểm)

Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử:
1. 2

7 6

<i>x</i>  <i>x</i>

2. 4 2

2008 2007 2008

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

Bài 2: (2điểm)

Giải ph-ơng tr×nh:
1. 2

3 2 1 0

<i>x</i>  <i>x</i>   <i>x</i>

2.





2 2 2

2

2 2

2 2

1 1 1 1

8 <i>x</i> 4 <i>x</i> 4 <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> 4

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 _  _  _  _  _  _  _ _

      

      

Bµi 3: (2điểm)

1. Căn bậc hai của 64 có thĨ viÕt d-íi d¹ng nh- sau: 64  6 4

Hỏi có tồn tại hay khơng các số có hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúng d-ới dạng
nh- trên và là một số nguyên? Hãy chỉ ra tồn bộ các số đó.

2. T×m sè d- trong phÐp chia cđa biĨu thøc



<i>x</i>2



<i>x</i>4



<i>x</i>6



<i>x</i> 8



2008 cho ®a thøc

2

10 21

<i>x</i>  <i>x</i> .

Bài 4: (4 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đ-ờng cao AH (HBC). Trên tia HC lấy điểm D
sao cho HD = HA. Đ-ờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.

1. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo

<i>m</i><i>AB</i>.

2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng
dạng. Tính số đo của góc AHM

3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: <i>GB</i> <i>HD</i>

<i>BC</i> <i>AH</i><i>HC</i>.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Phòng Giáo dục- Đào tạo

<b>TRựC NINH </b>
*****

<b> thi chn hc sinh gii cp huyn </b>
nm hc 2008 - 2009

<b>môn: Toán 8 </b>

(Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề)

§Ị thi nµy gåm 1 trang

<i><b>Bài 1 (4 điểm): Cho biểu thức </b></i>















 ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂

2
1
1

:
y

4xy
A

<i>x</i>
<i>xy</i>
<i>y</i>

<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>

a) Tìm điều kiện của x, y để giá trị của A được xác định.
b) Rút gọn A.

c) Nếu x; y là các số thực làm cho A xác định và thoả mãn: 3x2_{+ y}2_{+ 2x – 2y = 1, hãy tìm tất}

cả các giá trị nguyên dương của A?
<i><b>Bài 2 (4 điểm): </b></i>

a) Giải phương trình :

82
44
93

33
104

22
115

11 







 <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

b) Tìm các số x, y, z biết :

x2_{+ y}2_{+ z}2_{= xy + yz + zx}

và 2009 2009 2009 2010

3



<i>y</i> <i>z</i>

<i>x</i>

<i><b>Bài 3 (3 điểm): Chứng minh rằng với mọi n</b></i>N thì n5_{và n ln có chữ số tận cùng giống nhau.}

<i><b>Bài 4 (7 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ </b></i>
một đường thẳng vng góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E.
a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC và <i>EAD</i><i>ECB</i>

b) Cho 0

120

<i>BMC </i> và 2

36

<i>AED</i>

<i>S</i>  <i>cm</i> . Tính SEBC?

c) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD + CM.CA có giá trị
không đổi.

d) Kẻ<i>DH</i><i>BC</i>



<i>H</i><i>BC</i>



. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, DH.
Chứng minh <i>CQ</i><i>PD</i>.

<i><b>Bài 5 (2 điểm): </b></i>

a) Chứng minh bất đẳng thức sau:  2

<i>x</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
<i>x</i>

(với x và y cùng dấu)

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

2 2

2 2 3 5

<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>

<i>y</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>x</i>

 

  _  _

  (vi x0, y0)

Phòng giáo dục - Đào tạo <b>Đề khảo sát chọn học sinh giỏi cấp huyện </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

huyện Vũ th- <b>Môn: Toán Lớp 8 </b>

năm học 2008 2009

<i><b>Thời gian làm bài: 150 phút </b></i>

Bài 1: (4 điểm)

1, Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n    

  

 2 2 2

a b c 0

a b c 2009, tÝnh   

4 4 4

A a b c .

2, Cho ba sè x, y, z tho¶ mÃn x . Tìm giá trị lớn nhÊt cña B xy yz zxy z 3  .
Bài 2: (2 điểm)

Cho đa thức

 

 2  

f x x px q với p Z, qZ . Chứng minh rằng tồn tại số nguyên k để

  



 



f k f 2008 .f 2009 .
Bµi 3: (4 điểm)

1, Tìm các số nguyên d-ơng x, y thoả m·n 3xy x 15y44 . 0
2, Cho sè tù nhiên

9 2009

a 2 , b là tổng các chữ số của a, c là tổng các chữ số của b, d là
tổng các chữ số của c. Tính d.

Bài 4: (3 điểm)

Cho ph-ơng trình 2x m x 1 3

x 2 x 2

 _  _

  , tìm m để ph-ơng trình có nghiệm d-ơng.
Bài 5: (3 điểm)

Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng đ-ờng chéo AC, trên tia đối của tia AD lấy điểm E,
đ-ờng thẳng EB cắt đ-ờng thẳng DC tại F, CE cắt à tại O. Chứng minh AECđồng
dạng CAF , tính EOF .

Bài 6: (3 điểm)

Cho tam giỏc ABC, phân giác trong đỉnh A cắt BC tại D, trên các đoạn thẳng DB, DC lần
l-ợt lấy các điểm E và F sao cho EAD  FAD . Chứng minh rằng: 

2

2

BE BF AB

CE CF AC .
Bài 7: (2 điểm)

Trờn bng cú cỏc s tự nhiên từ 1 đến 2008, ng-ời ta làm nh- sau lấy ra hai số bất kỳ và
thay bằng hiệu của chúng, cứ làm nh- vậy đến khi còn một số trên bảng thì dừng lại. Có
thể làm để trên bảng chỉ cịn lại số 1 đ-ợc khơng? Gii thớch.

...Hết...
Thí sinh không đ-ợc sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ... Số báo danh: ...

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<b>pgd &đt bỉm sơn đề thi học sinh giỏi lớp 8 </b>
<b>tr-ờng thcs xi măng năm học 2008-2009 mơn tốn 2008-2009 </b>

<b>mơn tốn (150 phút khơng kể thời gian giao đề) </b>

Câu 1(5điểm) Tìm số tự nhiên n để :
a) A=n3_-n2_{+n-1 là số nguyên tố.}

b) B=

2

2
6
2
3

2
2
3
4

<i>n</i>

<i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i>

có giá trị là một số nguyên .
c) D=n5_{-n+2 là số chính ph-ơng . (n}₂₎

Câu 2: (5 điểm) Chứng minh rằng :

a) 1

1
1

1      



 <i>ac</i> <i>c</i>

<i>c</i>
<i>b</i>

<i>bc</i>
<i>b</i>
<i>a</i>

<i>ab</i>
<i>a</i>

biÕt abc=1
b) Víi a+b+c=0 th× a4_+b4_+c4_=2(ab+bc+ca)2
c)

<i>c</i>
<i>a</i>

<i>a</i>
<i>b</i>
<i>b</i>
<i>c</i>
<i>a</i>
<i>c</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>b</i>

<i>a</i>     

2
2

2
2

2
2

Câu 3: (5 điểm) giảI các ph-ơng trình sau:

a) 6

82
54
84

132

86

214  _

 <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

b) 2x(8x-1)2_(4x-1)=9

c) x2_-y2_{+2x-4y-10=0 víi x,y nguyªn d-ơng.}

câu 4: (5 điểm).Cho hình thang ABCD (AB//CD) ,O là giao điểm hai đ-ờng chéo. Qua O kẻ
đ-ờng thẳng song song với AB cắt DA tại E ,cát BC t¹i F.

a) chøng minh r»ng : diƯn tÝch tam gi¸c AOD b»ng diƯn tÝch tam gi¸c BOC.
b) Chøng minh :

<i>EF</i>
<i>CD</i>
<i>AB</i>

2
1
1




c) Gọi K là điểm bất kì thuộc OE.Nêu cách dựng d-ờng thẳng đI qua K và chia đơI diện tích

tam giác DEF.

---hÕt---

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<b>Mơn : tốn ( 120 phút khơng kể thời gian giao đề) </b>

Bµi 1: (1 đ)

Cho biết a-b=7 tính giá trị của biểu thức: a(a+2)+b(b-2)-2ab
Bài 2: (1 đ)

Chng minh rằng biểu rhứ sau luôn luôn d-ơng (hoặc âm) với một giá trị của chử đã cho :
-a2_+a-3

Bài 3: (1 đ)

Chng minh rằng nếu một tứ giác có tâm đối xứng thì tứ giác đó là hình bình hành.
Bài 4: (2 )

Tìm giá trị nhỏ nhất của biÓu thøc sau:

5
8
4

2

2  

 <i>x</i> <i>x</i>

Bài 5: (2 đ)

Chng minh rằng các số tự nhiên có dạng 2p+1 trong đó p là số nguyên tố , chỉ có một số là lập
ph-ơng của một số tự nhiên khác.Tìm số ú.

Bài 6: (2 đ)

Cho hỡnh thang ABCD có đáy lớn AD , đ-ờng chéo AC vng góc với cạnh bên
CD,<i>BAC CAD</i> .Tính AD nếu chu vi của hình thang bằng 20 cm và góc D bằng 600_.
Bi 7: (2 )

Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) a3m_+2a2m_+am

b) x8_+x4₊₁

Bài 8: (3 đ) Tìm số d- trong phép chia cđa biĨu thøc :
(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+ 2004 cho x2_+8x+1
Bµi 9: (3 ®) Cho biÓu thøc :

C= 























 1

2
1
:
1
2

1
1

2
2

3

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

a) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức C đ-ợc Xác định.
b) Rút gọn C.

c) Với giá trị nào của x thì biểu thức C đ-ợc xác định.
Bài 10 (3 đ)

Cho tam gi¸c ABC vuông tại A (AC>AB) , đ-ờng cao AH. Trên tia HC lấy HD =HA, đ-ờng
vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.

a) chứng minh AE=AB

b) Gäi M trung ®iĨm cđa BE . Tính góc AHM.

---hết---

<b>Phòng GD-đt vũ th- </b>

<b> H-íng dẫn chấm môn toán 8 </b>

Bài Nội dung Điểm

1.1

Cho ba số a, b, c thoả m·n    

  

 2 2 2

a b c 0

a b c 2009, tÝnh   

4 4 4

A a b c . 2,00

Ta cã 2 2 2





2









a b c  a b c 2 abbcca  2 abbcca





2





2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 a b c 2009

a b b c c a ab bc ca 2abc a b c

2 4

   

        _ _ 

 

0,50

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>



 



2
2

4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2009

A a b c a b c 2 a b b c c a

2

          1,00

1.2 Cho ba sè x, y, z tho¶ m·n x . Tìm giá trị lớn nhất của B xy yz zxy z 3    . 2,00







 





 







 
    _   _ 
          
     
   
 _  _   _  _    

   

2 ₂ ₂

2 ₂ 2

2

B xy z x y xy 3 x y x y

xy 3 x y x y x y xy 3x 3y

y 3 3y 6y 9 y 3 3

x x y 1 3 3

2 4 2 4

DÊu = x¶y ra khi

y 1 0

y 3

x 0 x y z 1

2

x y z 0

 

 _
      


  


Vậy giá trị lớn nhất của B là 3 khi x = y = z = 1

1,25

0,50

0,25

2 Cho đa thức f x

 

x2 pxq với p Z, qZ . Chứng minh rằng tồn tại số nguyên
k để f k

  

f 2008 .f 2009 .

 



2,00

 

 



 



 

 

 

   





 

  







  



2
2 2
2

2
2

f f x x f x x p f x x q

f x 2.x.f x x p.f x p.x q

f x f x 2x p x px q

f x x px q 2x p 1

f x x 1 p x 1 q f x f x 1

        
   
     
 
 _   _  
 
 _      _
 
 _     _ 

Víi x = 2008 chän kf 2008





2008
Suy ra f k

  

f 2008 .f 2009



1,25

0,50

0,25

3.1 Tìm các số nguyên d-ơng x, y thoả mÃn 3xy x 15y44 . 0 2,00
3xy x 15y44 0



x 5 3y 1

49

x, y nghuyênd-ơng do vậy x + 5, 3y + 1 nguyên d-ơng và lớn hơn 1.

Thoả mÃn yêu cầu bài toán khi x + 5, 3y + 1 là -ớc lớn hơn 1 của 49 nên có:

x 5 7 x 2

3y 1 7 y 2

 

 

Vậy ph-ơng trình có nghiệm nguyên là x = y = 2.

0,75

0,50

0,75

3.2 Cho sè tù nhiªn 

 

₉ 2009

a 2 , b là tổng các chữ số của a, c là tổng các chữ số của b, d
là tổng các chữ số của c. Tính d.

2,00

 

 

 

 

2009 3.2009 6027

9 3 3 6027

a 2 2 2 10 b 9.6027 54243

c 5 4.9 41 d 4 1.9 13 1

      

       

3

2  1mod9  a 1mod9 mµ a  b c d mod9  d 1mod9

 

2

1,00

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Tõ (1) vµ (2) suy ra d = 8. 0,25
4

Cho ph-ơng trình 2x m x 1 3

x 2 x 2

 _  _

  , tìm m để ph-ơng trình có nghiệm d-ơng.

3,00
§iỊu kiƯn: x2;x  2





2x m x 1

3 ... x 1 m 2m 14

x 2 x 2

 _  _   

m = 1ph-ơng trình có dạng 0 = -12 vô nghiệm.
m ph-ơng trình trở thành 1 x 2m 14

1 m

Ph-ơng trình có nghiệm d-¬ng

2m 14
2
1 m

m 4

2m 14
2

1 m 1 m 7

2m 14
0
1 m



 _

 _

 _






_   _

 _ 





Vậy thoả mÃn yêu cầu bài toán khi m 4

1 m 7




 _ _

 .

0,25

0,75

0,25

0,50

1,00

0,25

5 Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng đ-ờng chéo AC, trên tia đối của tia AD lấy điểm
E, đ-ờng thẳng EB cắt đ-ờng thẳng DC tại F. Chứng minh AEC đồng dạng CAF ,
tính EOF .

3,00

O

D

B
A

C
E

F

 AEB đồng dạng CBF (g-g)

2 2

AB AE.CF AC AE.CF

AE AC

AC CF

   

 

 AEC đồng dạng CAF (c-g-c)
 AEC đồng dạng CAF

AECCAF mµ

0 0

EOF AEC EAO ACF EAO

180 DAC 120

   

  

1,00

1,00

1,00

6 Cho tam giác ABC, phân giác trong đỉnh A cắt BC tại D, trên các đoạn thẳng DB,
DC lần l-ợt lấy các điểm E và F sao cho EAD  FAD . Chứng minh rằng:

 2₂

BE BF AB

CE CF AC .

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

A

B E D F C

K
H

Kẻ EH AB tại H, FK AC t¹i K

BAE CAF; BAF CAE

  

HAE

  đồng dạng KAF (g-g) AE EH

AF FK

 

ABE

ACF

S BE EH.AB AE.AB BE AE.AB

S CF FK.AC AF.AC CF AF.AC





    

T-¬ng tù BF AF.AB
CE  AE.AC
 BE BF AB2₂

CE CF AC

  (®pcm).

1,00

1,25

0,50

0,25

7 Trên bảng có các số tự nhiên từ 1 đến 2008, ng-ời ta làm nh- sau lấy ra hai số bất kỳ
và thay bằng hiệu của chúng, cứ làm nh- vậy đến khi còn một số trên bảng thì dừng
lại. Có thể làm để trên bảng chỉ cịn lại số 1 đ-ợc khơng? Giải thích.

2,00

Khi thay hai số a, b bởi hiệu hiệu hai số thì tính chất chẵn lẻ của tổng các số có trên
bảng khơng đổi.

Mµ S 1 2 3 ... 2008 2008. 2008 1





1004.2009 0 mod 2
2



        ; 1 1mod2

do vậy trên bảng không thể chỉ còn lại số 1.

1,00

1,00

UBND THµNH PHè HuÕ kú thi CHäN häc sinh giái tHµNH PHè

PHịNG Giáo dục và đào tạo lớp 8 thCS - năm học 2007 - 2008

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

Bài 1 Câu Néi dung §iĨm

1. 2,0

1.1 (0,75 ®iÓm)



 



2 2

7 6 6 6 1 6 1

<i>x</i>  <i>x</i> <i>x</i>  <i>x</i> <i>x</i> <i>x x</i>  <i>x</i>





<i>x</i>1



<i>x</i>6



0.5

0,5
1.2 (1,25 ®iĨm)

4 2 4 2 2

2008 2007 2008 2007 2007 2007 1

<i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i>  0,25



 



2





4 2 2 2 2 2

1 2007 1 1 2007 1

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

            _0,25



2



2





2

 

2



2



1 1 2007 1 1 2008

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

             _0,25

2. 2,0

2.1 2

3 2 1 0

<i>x</i>  <i>x</i>   <i>x</i> (1)

+ NÕu <i>x  : (1) </i>1 



<i>x</i>1



2   0 <i>x</i> 1 (tháa m·n ®iỊu kiƯn <i>x  ). </i>1

+ NÕu <i>x  : (1) </i>1 2 2











4 3 0 3 1 0 1 3 0

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

            

 <i>x</i> 1; <i>x</i>3 (cả hai đều khơng bé hơn 1, nên bị loại)
Vậy: Ph-ơng trình (1) có một nghiệm duy nhất là <i>x  . </i>1

0,5

0,5

2.2





2 2 2

2

2 2

2 2

1 1 1 1

8 <i>x</i> 4 <i>x</i> 4 <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> 4

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 _  _  _  _  _  _  _ _

      

       (2)

Điều kiện để ph-ơng trình có nghiệm: <i>x  </i>0

(2)





2 2

2

2 2

2 2

1 1 1 1

8 <i>x</i> 4 <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> 4

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 

       

               

    _    _









2

2 2

2
2

1 1

8 <i>x</i> 8 <i>x</i> <i>x</i> 4 <i>x</i> 4 16

<i>x</i> <i>x</i>

   

 _  _  _  _    

   

0 8

<i>x</i> <i>hay x</i>

    vµ <i>x  . </i>0

Vậy ph-ơng trình đã cho có một nghiệm <i>x   </i>8

0,25

0,5

0,25

Phßng Giáo dục- Đào tạo
<b>TRựC NINH </b>

*****

<b>ỏp ỏn v h-ớng dẫn chấm thi học sinh giỏi năm học 2008 - </b>
<b>2009 </b>

<b>môn: Toán 8 </b>

<i><b>Bi 1: (4 im) </b></i>

<i>a) Điều kiện: x </i>

 

y; y



0 <i>(1 điểm) </i>

b) A = 2x(x+y) <i>(2 điểm) </i>

c) Cần chỉ ra giá trị lớn nhất của A, từ đó tìm được tất cả các giá trị nguyên dương của A
+ Từ (gt): 3x2_{+ y}2_{+ 2x – 2y = 1}



_2x2_{+ 2xy + x}2_{– 2xy + y}2_{+ 2(x – y) = 1}



2x(x + y) + (x – y)2_{+ 2(x – y) + 1 = 2}



_{A + (x – y + 1)}2_{= 2}

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

+ A = 2 khi





x

y 1

0

2x x

y

2

x

y;y

0

  





_

_



   





1

x

2

3

y

2

 





 



+ A = 1 khi





2

(x y 1) 1
2x x y 1
x y;y 0
   


 


   


Từ đó, chỉ cần chỉ ra được một cặp giá trị của x và y, chẳng

hạn:

2 1
x

2
2 3
y

2

 _






 


+ Vậy A chỉ có thể có 2 giá trị nguyên dương là: A = 1; A = 2 <i>(0,5 điểm) </i>

<b>Bài 2: (4 điểm) </b>

a) x 11 x 22 x 33 x 44

115 104 93 82
 _  _  _ 

x 11 x 22 x 33 x 44

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

115 104 93 82

   

       <i>(1 điểm) </i>

x 126 x 126 x 126 x 126
115 104 93 82

   

   

x 126 x 126 x 126 x 126

0

115 104 93 82

   

     <i>(0,5 điểm) </i>

...



x 126 0

  

x

126

  

<i>(0,5 điểm) </i>

b) x2_{+ y}2 _{+ z}2_{= xy + yz + zx}



2x2_+2y2_{+ 2z}2_{– 2xy – 2yz – 2zx = 0}



(x-y)2_{+ (y-z)}2_{+ (z-x)}2_{= 0} <i>_{(0,75 điểm)}</i>

x y 0

y z 0

z x 0

 




_  

  


x

y

z

  



x2009_{= y}2009_{= z}2009 <i>_{(0,75 điểm)}</i>

Thay vào điều kiện (2) ta có 3.z2009_{= 3}2010



z2009_{= 3}2009



z = 3

Vậy x = y = z = 3 <i>(0,5 điểm) </i>

<i><b>Bài 3 (3 điểm) </b></i>

Cần chứng minh: n5_{– n 10}

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

n5 _{– n = n(n}2_{– 1)(n}2_{+ 1) = n(n – 1)(n + 1)(n}2_{+ 1) 2 (vì n(n – 1) là tích của hai số nguyên}

liên tiếp) <i>(1 điểm) </i>

- Chứng minh: n5_{– n 5}

n5 _{- n = ... = n( n - 1 )( n + 1)( n}2_{– 4 + 5)}

= n( n – 1 ) (n + 1)(n – 2) ( n + 2 ) + 5n( n – 1)( n + 1 )
lý luận dẫn đến tổng trên chia hết cho 5 <i>(1,25 điểm) </i>

- Vì ( 2 ; 5 ) = 1 nên n5 – n 2.5 tức là n5 – n 10

Suy ra n5_{và n có chữ số tận cũng giống nhau.} <i>_{(0,75 điểm)}</i>

Bµi 4: 6 điểm

I
P

Q

H
E

D

A

B C

M

Câu a:2 điểm

* Chứng minh EA.EB = ED.EC (1 ®iĨm)

- Chứng minh



EBD đồng dạng với



ECA (gg) 0,5 điểm
- Từ đó suy ra

<i>EB</i>

<i>ED</i>

<i>EA EB</i>

.

<i>ED EC</i>

.

<i>EC</i>



<i>EA</i>





0,5 ®iĨm

* Chøng minh

<i>EAD</i>



<i>ECB</i>

(1 ®iĨm)

- Chứng minh



EAD đồng dạng với



ECB (cgc) 0,75 điểm

- Suy ra

<i>EAD</i>

<i>ECB</i>

0,25 điểm

Câu b:1,5 điểm

- Từ

<i>BMC</i>

= 120o 

<i>_AMB</i>

_{= 60}o  <i>_ABM</i> _{= 30}o _{0,5 ®iĨm}

- XÐt



EDB vuông tại D có

<i>B</i>

= 30o

ED =

1

2

EB 

1

2

<i>ED</i>

<i>EB</i>



0,5 ®iĨm

- Lý ln cho

2

<i>EAD</i>

<i>ECB</i>

<i>S</i>

<i>ED</i>

<i>S</i>

<i>EB</i>





 

_



_

từ đó  SECB = 144 cm2 _{0,5 điểm}
Câu c:1,5 điểm

- Chứng minh BMI đồng dạng với BCD (gg) 0,5 điểm

- Chøng minh CM.CA = CI.BC 0,5 ®iĨm

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

Cách 2: Có thể biến đổi BM.BD + CM.CA = AB2_{+ AC}2_{= BC}2
Câu d:2 điểm

- Chứng minh BHD đồng dạng với DHC (gg) 0,5 điểm

2

2

<i>BH</i>

<i>BD</i>

<i>BP</i>

<i>BD</i>

<i>BP</i>

<i>BD</i>

<i>DH</i>

<i>DC</i>

<i>DQ</i>

<i>DC</i>

<i>DQ</i>

<i>DC</i>













_{0,5 ®iĨm}

- Chứng minh DPB đồng dạng với CQD (cgc)

`

90

<i>o</i>

<i>BDP</i>

<i>DCQ</i>

<i>CQ</i>

<i>PD</i>

<i>ma BDP</i>

<i>PDC</i>







_{ }









_

1 ®iĨm

<i><b>Bài 5: (2 điểm) </b></i>

a) vì x, y cùng dấu nên xy > 0, do đó x y 2
y x

(*)

_

2

_

2

_

x

y

2xy

2

(x

y)

0







<i>(**). Bất đẳng thức (**) luôn đúng, suy ra bđt (*) đúng (đpcm) (0,75đ) </i>
b) Đặt x y t

y  x

2 2

2

2 2

x y

t 2

y x

    <i>(0,25đ) </i>

Biểu thức đã cho trở thành P = t2_{– 3t + 3}

P = t2_{– 2t – t + 2 + 1 = t(t – 2) – (t – 2) + 1 = (t – 2)(t – 1) + 1} <i>_(0,25đ)</i>

- Nếu x; y cùng dấu, theo c/m câu a) suy ra t



2.



t – 2  0 ; t – 1 > 0  



t 2 t 1



 



0

P 1

  . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t = 2



<i>x = y (1) (0,25đ) </i>
- Nếu x; y trái dấu thì x ₀

y

và y 0

x



t < 0



t – 1 < 0 và t – 2 < 0



t

2 t 1





 



> 0



P > 1 (2) <i>(0,25đ) </i>

- Từ (1) và (2) suy ra: Với mọi x



0 ; y



0 thì ln có P



1. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

x = y. Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là Pm=1 khi x=y

<b>phịng giáo dục và đào tạo kim bảng </b>

KiĨm tra chất l-ợng học sinh giỏi năm học 2008 2009
Đáp án , biểu điểm, h-ớng dẫn chấm

Môn Toán 8

Nội dung Điểm

Bài 1 (3 điểm)
Cã a4₊1

4=

2

2 1 2 2 1 2 1

a a

2 <i>a</i> <i>a</i> 2 <i>a</i> <i>a</i> 2

 _  _ _ _{ }  _{ } 

    

    

1,0

Khi cho a các giá trị từ 1 đến 30 thì:
Tử thức viết đ-ợc thành

(12₊₁₊1
2)(1

2_-1+1
2)(3

2₊₃₊1
2)(3

2_-3+1

2).(29

2₊₂₉₊1
2)(29

2_-29+1
2)

0,5

Mẫu thức viết đ-ợc thành
(22₊₂₊1

2)(2

2_-2+1

2)(4
2₊₄₊1

2)(4
2_-4+1

2)(30

2₊₃₀₊1
2)(30

2_-30+1
2)

0,5

Mặt khác (k+1)2_-(k+1)+1

2=.=k

2_+k+1
2

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

Nên A=

2

2

1
1 1

1
2

1 ₁₈₆₁
30 30

2

0,5

Bài 2: 4 điểm
ý a: 2 ®iĨm

-Có ý t-ởng tách, thêm bớt hoặc thể hiện đ-ợc nh- vậyđể sử dụng b-ớc sau 0,5

-Viết đúng dạng bình ph-ơng của một hiệu 0,5

- Viết đúng bình ph-ơng của một hiệu 0,5

- Lập luận và kết luận đúng 0,5

ý b: 2 ®iĨm

Phân tích đúng tủ thức thành nhân tử 1,0

Rút gọn và kết luận đúng 1,0

Bài 3 : 4 điểm

*Từ 2a + b 4 vµ b ≥ 0 ta cã 2a ≤ 4 hay a ≤ 2 1,0

Do đó A=a2 _{- 2a - b 0} _0,5

Nên giá trị lớn nhất của A lµ 0 khi a=2vµ b=0 0,5

* Tõ 2a + 3b ≤ 6 suy ra b ≤ 2 - 2
3<i>a</i>

1,0

Do đó A ≥ a2_{– 2a – 2 +}2
3<i>a</i> = (

2
3

<i>a </i> )2 _-22
9 -

22
9

0,5

Vậy A có giá trị nhá nhÊt lµ - 22

9 khi a =
2

3 và b =
2
3

0,5
Bài 4 : 3 điểm

- Chọn ẩn và đạt điều kiện đúng 0,25

- Biểu thị đ-ợc mỗi đại l-ợng theo ẩn và số liệu đã biết(4 đại l-ợng) 0,25 x 4

- Lập đ-ợc ph-ơng trình 0,25

- Gii đúng ph-ơng trình 0,5

- Đối chiếu và trả lời đúng thời gian của 1 ô tô 0,5

- Lập luận , tính và trả lời đúng thời gian của ơ tơ cịn lại 0,5
Bài 5 : 6 điểm

ý a : 2 điểm

Chứng minh đ-ợc 1
cặp góc bằng nhau

1.0

G
H

O

N

M
A

B C

Nêu đ-ợc cặp góc
bằng nhau còn lại

0,5
Chỉ ra đ-ợc hai tam

giỏc ng dng

0,5
ý b : 2 ®iĨm

Từ hai tam giác
đồng dạng ở ý a suy
ra đúng tỉ số cặp
cạnh AH / OM

0,5

Tính đúng tỉ số cp
cnh AG / GM

0,5
Chỉ ra đ-ợc cỈp gãc
b»ng nhau

0,5
Kết luận đúng 2 tam
giác đồng dạng

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

- Từ hai tam giác đồng dạng
ở câu b suy ra góc AGH =
gúc MGO (1)

0,5

- Mặt khác góc MGO + Gãc
AGO = 1800₍₂₎

0,5
- Tõ (1) vµ (2) suy ra gãc

AGH + gãc AGO = 1800

0,5
- Do đó H, G, O thẳng hàng 0,5

Chú ý: -Các cách giải khác nếu đúng chấm điểm t-ơng tự theo các b-ớc của từng bài
`-Điểm của bài làm là tổng số điểm của các bài HS làm đ-ợc, khơng làm tịn

UBND THµNH PHè H kú thi CHäN häc sinh giái tHµNH PHè

PHịNG Giáo dục và đào tạo lớp 8 thCS - năm học 2007 - 2008

Môn : Toán
§Ị chÝnh thøc Thêi gian lµm bµi: 120 phót

Bài 1: (2 điểm)

Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử:
3. 2

7 6
<i>x</i> <i>x</i>

4. 4 2

2008 2007 2008

<i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i>

Bµi 2: (2điểm)

Giải ph-ơng trình:
3. 2

3 2 1 0

<i>x</i>  <i>x</i>   <i>x</i>

4.





2 2 2

2

2 2

2 2

1 1 1 1

8 <i>x</i> 4 <i>x</i> 4 <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> 4

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 _  _  _  _  _  _  _ _

      

  

Bài 3: (2điểm)

3. Căn bậc hai cđa 64 cã thĨ viÕt d-íi d¹ng nh- sau: 64  6 4

Hỏi có tồn tại hay khơng các số có hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúng d-ới dạng
nh- trên và là một số nguyên? Hãy chỉ ra toàn bộ các số đó.

4. T×m sè d- trong phÐp chia cđa biĨu thøc



<i>x</i>2



<i>x</i>4



<i>x</i>6



<i>x</i> 8



2008 cho ®a thøc

2

10 21
<i>x</i> <i>x</i> .
Bài 4: (4 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đ-ờng cao AH (HBC). Trên tia HC lấy điểm D
sao cho HD = HA. Đ-ờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.

4. Chng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo
<i>m</i><i>AB</i>.

5. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng
dạng. Tính số đo của góc AHM

6. Tia AM c¾t BC t¹i G. Chøng minh: <i>GB</i> <i>HD</i>

<i>BC</i>  <i>AH</i><i>HC</i>.

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

Phòng Giáo dục- Đào tạo

<b>TRựC NINH </b>
*****

<b> thi chọn học sinh giỏi cấp huyện </b>

năm học 2008 - 2009

<b>môn: Toán 8 </b>

(Thi gian lm bi: 120 phút, không kể thời gian giao đề)

Đề thi này gồm 1 trang

<i><b>Bi 1 (4 điểm): Cho biểu thức </b></i>












 ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂

2
1
1
:
y
4xy
A

<i>x</i>
<i>xy</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>

a) Tìm điều kiện của x, y để giá trị của A được xác định.
b) Rút gọn A.

c) Nếu x; y là các số thực làm cho A xác định và thoả mãn: 3x2_{+ y}2_{+ 2x – 2y = 1, hãy tìm tất}

cả các giá trị nguyên dương của A?
<i><b>Bài 2 (4 điểm): </b></i>

a) Giải phương trình :

82
44
93
33
104
22
115
11 






 <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

b) Tìm các số x, y, z biết :

x2_{+ y}2_{+ z}2_{= xy + yz + zx}

và 2009 2009 2009 2010

3



<i>y</i> <i>z</i>

<i>x</i>

<i><b>Bài 3 (3 điểm): Chứng minh rằng với mọi n</b></i>N thì n5_{và n ln có chữ số tận cùng giống nhau.}

<i><b>Bài 4 (7 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ </b></i>
một đường thẳng vng góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E.
a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC và <i>EAD</i><i>ECB</i>

b) Cho 0

120

<i>BMC </i> và 2

36

<i>AED</i>

<i>S</i>  <i>cm</i> . Tính SEBC?

c) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD + CM.CA có giá trị
khơng đổi.

d) Kẻ<i>DH</i><i>BC</i>



<i>H</i><i>BC</i>



. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, DH.
Chứng minh <i>CQ</i><i>PD</i>.

<i><b>Bài 5 (2 điểm): </b></i>

a) Chứng minh bất đẳng thức sau:  2

<i>x</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
<i>x</i>

(với x và y cùng dấu)

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

2 2

2 2 3 5

<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>

<i>y</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>x</i>

 

  _  _

  (với x0, y0)

<b>pgd &đt bỉm sơn đề thi học sinh giỏi lớp 8 </b>
<b>tr-ờng thcs xi măng năm học 2008-2009 mơn tốn 2008-2009 </b>

<b>mơn tốn (150 phút khơng kể thời gian giao đề) </b>

Câu 1(5điểm) Tìm số tự nhiên n để :
a) A=n3_-n2_{+n-1 là số nguyên tố.}
b) B=

2
2
6
2
3
2
2
3
4






<i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i>

có giá trị là một số nguyên .

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

c) D=n5_{-n+2 là số chính ph-ơng . (n}₂₎
Câu 2: (5 điểm) Chứng minh r»ng :

a) 1

1
1

1      



 <i>ac</i> <i>c</i>

<i>c</i>
<i>b</i>
<i>bc</i>
<i>b</i>
<i>a</i>

<i>ab</i>
<i>a</i>
biÕt abc=1
b) Víi a+b+c=0 th× a4_+b4_+c4_=2(ab+bc+ca)2
c)
<i>c</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>b</i>
<i>b</i>
<i>c</i>
<i>a</i>
<i>c</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>b</i>
<i>a</i>




₂2 2₂

2
2

Câu 3: (5 điểm) giảI các ph-ơng trình sau:

a) 6

82
54
84
132
86
214

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

b) 2x(8x-1)2_(4x-1)=9

c) x2_-y2_{+2x-4y-10=0 với x,y nguyên d-ơng.}

câu 4: (5 điểm).Cho hình thang ABCD (AB//CD) ,O là giao điểm hai đ-ờng chéo. Qua O kẻ
đ-ờng thẳng song song với AB cắt DA tại E ,cát BC tại F.

d) chøng minh r»ng : diƯn tÝch tam gi¸c AOD b»ng diƯn tÝch tam gi¸c BOC.
e) Chøng minh :

<i>EF</i>
<i>CD</i>
<i>AB</i>
2

1
1



f) Gọi K là điểm bất kì thuộc OE.Nêu cách dựng d-ờng thẳng đI qua K và chia đơI diện tích
tam giác DEF.

---hết---
<b>pgd thị xã gia nghỉa đề thi phát hiện học sinh giỏi bậc thcs năm học 2008-2009 </b>
<b>Mơn : tốn ( 120 phút khơng k thi gian giao ) </b>

Bài 1: (1 đ)

Cho biết a-b=7 tính giá trị của biểu thức: a(a+2)+b(b-2)-2ab
Bài 2: (1 đ)

Chng minh rng biu rh sau luôn luôn d-ơng (hoặc âm) với một giá trị của chử đã cho :
-a2_+a-3

Bài 3: (1 đ)

Chng minh rng nu một tứ giác có tâm đối xứng thì tứ giác đó là hình bình hành.
Bài 4: (2 đ)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

5
8
4

2

2  

 <i>x</i> <i>x</i>

Bµi 5: (2 ®)

Chứng minh rằng các số tự nhiên có dạng 2p+1 trong đó p là số nguyên tố , chỉ có một số là lập
ph-ơng của một số tự nhiên khác.Tìm số đó.

Bµi 6: (2 ®)

Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD , đ-ờng chéo AC vng góc với cạnh bên

CD,<i>BAC CAD</i> .TÝnh AD nÕu chu vi cđa h×nh thang b»ng 20 cm vµ gãc D b»ng 600_.

Bµi 7: (2 đ)

Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
c) a3m_+2a2m_+am

d) x8_+x4₊₁

Bài 8: (3 ®) T×m sè d- trong phÐp chia cđa biĨu thøc :
(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+ 2004 cho x2_+8x+1
Bài 9: (3 đ) Cho biểu thøc :

C= 


















 1
2
1
:
1
2
1
1
2
2
3
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

e) Rót gän C.

f) Với giá trị nào của x thì biểu thức C đ-ợc xác định.
Bài 10 (3 đ)

Cho tam giác ABC vuông tại A (AC>AB) , đ-ờng cao AH. Trên tia HC lấy HD =HA, đ-ờng
vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.

c) chøng minh AE=AB

d) Gäi M trung ®iĨm cđa BE . TÝnh gãc AHM.

---hÕt---

UBND THµNH PHè HuÕ kú thi CHäN häc sinh giái tHµNH PHè

PHịNG Giáo dục và đào tạo lớp 8 thCS - năm học 2007 - 2008

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

Bài 1 Câu Nội dung Điểm

1. 2,0

1.1 (0,75 ®iĨm)



 



2 2

7 6 6 6 1 6 1

<i>x</i>  <i>x</i> <i>x</i>  <i>x</i> <i>x</i> <i>x x</i>  <i>x</i>





<i>x</i>1



<i>x</i>6



0.5

0,5
1.2 (1,25 ®iĨm)

4 2 4 2 2

2008 2007 2008 2007 2007 2007 1

<i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i>  0,25



 



2





4 2 2 2 2 2

1 2007 1 1 2007 1

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

            _0,25



2



2





2

 

2



2



1 1 2007 1 1 2008

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

             _0,25

2. 2,0

2.1 2

3 2 1 0

<i>x</i>  <i>x</i>   <i>x</i> (1)

+ NÕu <i>x  : (1) </i>1 



<i>x</i>1



2   0 <i>x</i> 1 (tháa m·n ®iỊu kiÖn <i>x  ). </i>1

+ NÕu <i>x  : (1) </i>1 2 2











4 3 0 3 1 0 1 3 0

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

            

 <i>x</i> 1; <i>x</i>3 (cả hai đều không bé hơn 1, nên bị loại)
Vậy: Ph-ơng trình (1) có một nghiệm duy nhất là <i>x  . </i>1

0,5

0,5

2.2





2 2 2

2

2 2

2 2

1 1 1 1

8 <i>x</i> 4 <i>x</i> 4 <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> 4

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 _  _  _  _  _  _  _ _

      

       (2)

Điều kiện để ph-ơng trình có nghiệm: <i>x  </i>0

(2)





2 2

2

2 2

2 2

1 1 1 1

8 <i>x</i> 4 <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> 4

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 

       

               

    _    _









2

2 2

2
2

1 1

8 <i>x</i> 8 <i>x</i> <i>x</i> 4 <i>x</i> 4 16

<i>x</i> <i>x</i>

   

 _  _  _  _    

   

0 8

<i>x</i> <i>hay x</i>

    vµ <i>x  . </i>0

Vậy ph-ơng trình đã cho có một nghiệm <i>x  </i>8

0,25

0,5

0,25

Phòng Giáo dục- Đào tạo

<b>TRùC NINH </b>

*****

<b>đáp án và h-ớng dẫn chấm thi học sinh giỏi năm học 2008 - </b>
<b>2009 </b>

<b>m«n: To¸n 8 </b>

<i><b>Bài 1: (4 điểm) </b></i>

<i>d) Điều kiện: x </i>

 

y; y



0 <i>(1 điểm) </i>

e) A = 2x(x+y) <i>(2 điểm) </i>

f) Cần chỉ ra giá trị lớn nhất của A, từ đó tìm được tất cả các giá trị nguyên dương của A
+ Từ (gt): 3x2_{+ y}2_{+ 2x – 2y = 1}



_2x2_{+ 2xy + x}2_{– 2xy + y}2_{+ 2(x – y) = 1}



2x(x + y) + (x – y)2_{+ 2(x – y) + 1 = 2}



_{A + (x – y + 1)}2_{= 2}

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

+ A = 2 khi





x

y 1

0

2x x

y

2

x

y;y

0

  





_

_



   





1

x

2

3

y

2

 





 



+ A = 1 khi





2

(x y 1) 1
2x x y 1
x y;y 0
   


 


   


Từ đó, chỉ cần chỉ ra được một cặp giá trị của x và y, chẳng

hạn:

2 1
x

2
2 3
y

2

 _






 


+ Vậy A chỉ có thể có 2 giá trị nguyên dương là: A = 1; A = 2 <i>(0,5 điểm) </i>

<b>Bài 2: (4 điểm) </b>

a) x 11 x 22 x 33 x 44

115 104 93 82
 _  _  _ 

x 11 x 22 x 33 x 44

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

115 104 93 82

   

       <i>(1 điểm) </i>

x 126 x 126 x 126 x 126
115 104 93 82

   

   

x 126 x 126 x 126 x 126

0

115 104 93 82

   

     <i>(0,5 điểm) </i>

...



x 126 0

  

x

126

  

<i>(0,5 điểm) </i>

b) x2_{+ y}2 _{+ z}2_{= xy + yz + zx}



2x2_+2y2_{+ 2z}2_{– 2xy – 2yz – 2zx = 0}



(x-y)2_{+ (y-z)}2_{+ (z-x)}2_{= 0} <i>_{(0,75 điểm)}</i>

x y 0

y z 0

z x 0

 




_  

  


x

y

z

  



x2009_{= y}2009_{= z}2009 <i>_{(0,75 điểm)}</i>

Thay vào điều kiện (2) ta có 3.z2009_{= 3}2010



z2009_{= 3}2009



z = 3

Vậy x = y = z = 3 <i>(0,5 điểm) </i>

<i><b>Bài 3 (3 điểm) </b></i>

Cần chứng minh: n5_{– n 10}

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

n5 _{– n = n(n}2_{– 1)(n}2_{+ 1) = n(n – 1)(n + 1)(n}2_{+ 1) 2 (vì n(n – 1) là tích của hai số ngun}

liên tiếp) <i>(1 điểm) </i>

- Chứng minh: n5_{– n 5}

n5 _{- n = ... = n( n - 1 )( n + 1)( n}2_{– 4 + 5)}

= n( n – 1 ) (n + 1)(n – 2) ( n + 2 ) + 5n( n – 1)( n + 1 )
lý luận dẫn đến tổng trên chia hết cho 5 <i>(1,25 điểm) </i>

- Vì ( 2 ; 5 ) = 1 nên n5 – n 2.5 tức là n5 – n 10

Suy ra n5_{và n có chữ số tận cũng giống nhau.} <i>_{(0,75 im)}</i>

Bài 4: 6 điểm

I
P

Q

H
E

D

A

B C

M

Câu a:2 ®iĨm

* Chøng minh EA.EB = ED.EC (1 ®iĨm)

- Chứng minh



EBD đồng dạng với



ECA (gg) 0,5 điểm
- Từ đó suy ra

<i>EB</i>

<i>ED</i>

<i>EA EB</i>

.

<i>ED EC</i>

.

<i>EC</i>



<i>EA</i>





0,5 ®iĨm

* Chøng minh

<i>EAD</i>



<i>ECB</i>

(1 ®iĨm)

- Chứng minh



EAD đồng dạng với



ECB (cgc) 0,75 điểm

- Suy ra

<i>EAD</i>



<i>ECB</i>

0,25 điểm

Câu b:1,5 điểm

- Từ

<i>BMC</i>

= 120o

<i>_AMB</i>

_{= 60}o  <i>_ABM</i> _{= 30}o _{0,5 điểm}
- Xét

EDB vuông tại D có

<i>B</i>

= 30o

 ED =

1

2

EB 

1

2

<i>ED</i>

<i>EB</i>



0,5 ®iĨm

- Lý luËn cho

2

<i>EAD</i>

<i>ECB</i>

<i>S</i>

<i>ED</i>

<i>S</i>

<i>EB</i>





 

_



_

từ đó  SECB = 144 cm2 _{0,5 điểm}
Câu c:1,5 điểm

- Chứng minh BMI đồng dạng với BCD (gg) 0,5 điểm

- Chøng minh CM.CA = CI.BC 0,5 ®iĨm

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

Cách 2: Có thể biến đổi BM.BD + CM.CA = AB2_{+ AC}2_{= BC}2
Câu d:2 điểm

- Chứng minh BHD đồng dạng với DHC (gg) 0,5 điểm

2

2

<i>BH</i>

<i>BD</i>

<i>BP</i>

<i>BD</i>

<i>BP</i>

<i>BD</i>

<i>DH</i>

<i>DC</i>

<i>DQ</i>

<i>DC</i>

<i>DQ</i>

<i>DC</i>













_{0,5 ®iĨm}

- Chứng minh DPB đồng dạng với CQD (cgc)

`

90

<i>o</i>

<i>BDP</i>

<i>DCQ</i>

<i>CQ</i>

<i>PD</i>

<i>ma BDP</i>

<i>PDC</i>







_{ }









_

1 ®iĨm

<i><b>Bài 5: (2 điểm) </b></i>

c) vì x, y cùng dấu nên xy > 0, do đó x y 2
y x

(*)

_

2

_

2

_

x

y

2xy

2

(x

y)

0







<i>(**). Bất đẳng thức (**) luôn đúng, suy ra bđt (*) đúng (đpcm) (0,75đ) </i>
d) Đặt x y t

y  x

2 2

2

2 2

x y

t 2

y x

    <i>(0,25đ) </i>

Biểu thức đã cho trở thành P = t2_{– 3t + 3}

P = t2_{– 2t – t + 2 + 1 = t(t – 2) – (t – 2) + 1 = (t – 2)(t – 1) + 1} <i>_(0,25đ)</i>

- Nếu x; y cùng dấu, theo c/m câu a) suy ra t



2.



t – 2  0 ; t – 1 > 0  



t 2 t 1



 



0

P 1

  . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t = 2



<i>x = y (1) (0,25đ) </i>
- Nếu x; y trái dấu thì x ₀

y

và y 0

x



t < 0



t – 1 < 0 và t – 2 < 0



t

2 t 1





 



> 0



P > 1 (2) <i>(0,25đ) </i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24></div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25></div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26></div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27></div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

UBND THµNH PHè HuÕ kú thi CHäN häc sinh giái tHµNH PHè

PHịNG Giáo dục và đào tạo lớp 8 thCS - năm học 2007 - 2008

Môn : Toán
§Ị chÝnh thøc Thêi gian lµm bµi: 120 phót

Bài 1: (2 điểm)

Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử:
5. 2

7 6

<i>x</i> <i>x</i>

6. 4 2

2008 2007 2008

<i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i>

Bµi 2: (2điểm)

Giải ph-ơng trình:
5. 2

3 2 1 0

<i>x</i>  <i>x</i>   <i>x</i>

6.





2 2 2

2

2 2

2 2

1 1 1 1

8 <i>x</i> 4 <i>x</i> 4 <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> 4

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 _  _  _  _  _  _  _ _

      

  

Bài 3: (2điểm)

5. Căn bậc hai cđa 64 cã thĨ viÕt d-íi d¹ng nh- sau: 64  6 4

Hỏi có tồn tại hay khơng các số có hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúng d-ới dạng
nh- trên và là một số nguyên? Hãy chỉ ra toàn bộ các số đó.

6. T×m sè d- trong phÐp chia cđa biĨu thøc



<i>x</i>2



<i>x</i>4



<i>x</i>6



<i>x</i> 8



2008 cho ®a thøc

2

10 21

<i>x</i> <i>x</i> .

Bài 4: (4 điểm)

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

7. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo
<i>m</i><i>AB</i>.

8. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng
dạng. Tính số đo của góc AHM

9. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: <i>GB</i> <i>HD</i>

<i>BC</i> <i>AH</i><i>HC</i>.

Hết

Phòng Giáo dục- Đào t¹o

<b>TRùC NINH </b>
*****

<b>đề thi chọn học sinh giỏi cp huyn </b>
nm hc 2008 - 2009

<b>môn: Toán 8 </b>

(Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao )

Đề thi này gåm 1 trang

<i><b>Bài 1 (4 điểm): Cho biểu thức </b></i>














 ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂

2
1
1

:
y

4xy
A

<i>x</i>
<i>xy</i>
<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>
<i>x</i>

a) Tìm điều kiện của x, y để giá trị của A được xác định.
b) Rút gọn A.

c) Nếu x; y là các số thực làm cho A xác định và thoả mãn: 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1, hãy tìm tất
cả các giá trị nguyên dương của A?

<i><b>Bài 2 (4 điểm): </b></i>

a) Giải phương trình :

82
44
93

33
104

22
115

11 








 <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

b) Tìm các số x, y, z biết :

x2_{+ y}2_{+ z}2_{= xy + yz + zx}

và 2009 2009 2009 2010

3



<i>y</i> <i>z</i>

<i>x</i>

<i><b>Bài 3 (3 điểm): Chứng minh rằng với mọi n</b></i>N thì n5 và n ln có chữ số tận cùng giống nhau.
<i><b>Bài 4 (7 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ </b></i>
một đường thẳng vng góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E.
a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC và <i>EAD</i><i>ECB</i>

b) Cho 0

120

<i>BMC </i> và 2

36

<i>AED</i>

<i>S</i>  <i>cm</i> . Tính SEBC?

c) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD + CM.CA có giá trị
không đổi.

d) Kẻ<i>DH</i><i>BC</i>



<i>H</i><i>BC</i>



. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, DH.
Chứng minh <i>CQ</i><i>PD</i>.

<i><b>Bài 5 (2 điểm): </b></i>

a) Chứng minh bất đẳng thức sau:  2

<i>x</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
<i>x</i>

(với x và y cùng dấu)

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

2 2

2 2 3 5

<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>

<i>y</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>x</i>

 

  _  _

  (với x0, y0)

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

<b>pgd &đt bỉm sơn đề thi học sinh giỏi lớp 8 </b>
<b>tr-ờng thcs xi măng năm học 2008-2009 mơn tốn 2008-2009 </b>

<b>mơn tốn (150 phút không kể thời gian giao đề) </b>

Câu 1(5điểm) Tìm số tự nhiên n để :
a) A=n3_-n2_{+n-1 là số nguyên tố.}
b) B=

2
2
6
2
3
2
2
3
4






<i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i>

cã gi¸ trị là một số nguyên .
c) D=n5_{-n+2 là số chính ph-ơng . (n}₂₎

Câu 2: (5 ®iÓm) Chøng minh r»ng :

a) 1

1
1

1      



 <i>ac</i> <i>c</i>

<i>c</i>
<i>b</i>
<i>bc</i>
<i>b</i>
<i>a</i>

<i>ab</i>
<i>a</i>
biÕt abc=1
b) Víi a+b+c=0 th× a4_+b4_+c4_=2(ab+bc+ca)2
c)
<i>c</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>b</i>
<i>b</i>
<i>c</i>
<i>a</i>
<i>c</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>b</i>

<i>a</i> _ _ _  

2
2
2
2
2
2

Câu 3: (5 điểm) giảI các ph-ơng trình sau:

a) 6

82
54
84

132
86

214_  _  _

 <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

b) 2x(8x-1)2_(4x-1)=9

c) x2_-y2_{+2x-4y-10=0 với x,y nguyên d-ơng.}

câu 4: (5 điểm).Cho hình thang ABCD (AB//CD) ,O là giao điểm hai đ-ờng chéo. Qua O kẻ
đ-ờng thẳng song song với AB cắt DA tại E ,cát BC tại F.

g) chøng minh r»ng : diƯn tÝch tam gi¸c AOD b»ng diƯn tÝch tam gi¸c BOC.
h) Chøng minh :

<i>EF</i>
<i>CD</i>
<i>AB</i>
2
1
1




i) Gọi K là điểm bất kì thuộc OE.Nêu cách dựng d-ờng thẳng đI qua K và chia đơI diện tích
tam giác DEF.

---hết---
<b>pgd thị xã gia nghỉa đề thi phát hiện học sinh giỏi bậc thcs năm học 2008-2009 </b>
<b>Mơn : tốn ( 120 phút khơng kể thời gian giao đề) </b>

Bµi 1: (1 đ)

Cho biết a-b=7 tính giá trị của biểu thức: a(a+2)+b(b-2)-2ab
Bài 2: (1 đ)

Chng minh rng biểu rhứ sau luôn luôn d-ơng (hoặc âm) với một giá trị của chử đã cho :
-a2_+a-3

Bài 3: (1 đ)

Chng minh rằng nếu một tứ giác có tâm đối xứng thì tứ giác đó là hình bình hành.
Bài 4: (2 )

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thøc sau:

5
8
4

2

2  

 <i>x</i> <i>x</i>

Bµi 5: (2 ®)

Chứng minh rằng các số tự nhiên có dạng 2p+1 trong đó p là số nguyên tố , chỉ có một số là lập
ph-ơng của một số tự nhiên khác.Tìm số đó.

Bài 6: (2 đ)

Cho hỡnh thang ABCD cú đáy lớn AD , đ-ờng chéo AC vng góc với cạnh bên

CD,<i>BAC CAD</i> .TÝnh AD nÕu chu vi cña hình thang bằng 20 cm và góc D bằng 600_.

Bài 7: (2 đ)

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

e) a3m_+2a2m_+am
f) x8_+x4₊₁

Bài 8: (3 đ) Tìm số d- trong phÐp chia cđa biĨu thøc :
(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+ 2004 cho x2_+8x+1
Bµi 9: (3 ®) Cho biĨu thøc :

C= 























 1

2
1
:
1
2

1
1

2

2

3

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

g) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức C đ-ợc Xác định.
h) Rút gọn C.

i) Với giá trị nào của x thì biểu thức C đ-ợc xác định.
Bài 10 (3 đ)

Cho tam giác ABC vuông tại A (AC>AB) , đ-ờng cao AH. Trên tia HC lấy HD =HA, đ-ờng
vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.

e) chøng minh AE=AB

f) Gäi M trung ®iĨm cđa BE . TÝnh gãc AHM.

---hÕt---

UBND THµNH PHè HuÕ kú thi CHäN häc sinh giái tHµNH PHè

PHòNG Giáo dục và đào tạo lớp 8 thCS - năm học 2007 - 2008

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

Bµi 1 Câu Nội dung Điểm

1. 2,0

1.1 (0,75 ®iĨm)



 



2 2

7 6 6 6 1 6 1

<i>x</i>  <i>x</i> <i>x</i>  <i>x</i> <i>x</i> <i>x x</i>  <i>x</i>





<i>x</i>1



<i>x</i>6



0.5

0,5
1.2 (1,25 ®iĨm)

4 2 4 2 2

2008 2007 2008 2007 2007 2007 1

<i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i>  0,25



 



2





4 2 2 2 2 2

1 2007 1 1 2007 1

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

            _0,25



2



2





2

 

2



2



1 1 2007 1 1 2008

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

             _0,25

2. 2,0

2.1 2

3 2 1 0

<i>x</i>  <i>x</i>   <i>x</i> (1)

+ NÕu <i>x  : (1) </i>1 



<i>x</i>1



2   0 <i>x</i> 1 (tháa m·n ®iỊu kiƯn <i>x  ). </i>1

+ NÕu <i>x  : (1) </i>1 2 2











4 3 0 3 1 0 1 3 0

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

            

 <i>x</i> 1; <i>x</i>3 (cả hai đều không bé hơn 1, nên bị loại)
Vậy: Ph-ơng trình (1) có một nghiệm duy nhất là <i>x  . </i>1

0,5

0,5

2.2





2 2 2

2

2 2

2 2

1 1 1 1

8 <i>x</i> 4 <i>x</i> 4 <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> 4

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 _  _  _  _  _  _  _ _

      

       (2)

Điều kiện để ph-ơng trình có nghiệm: <i>x  </i>0

(2)





2 2

2

2 2

2 2

1 1 1 1

8 <i>x</i> 4 <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> 4

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 

       

               

    _    _









2

2 2

2
2

1 1

8 <i>x</i> 8 <i>x</i> <i>x</i> 4 <i>x</i> 4 16

<i>x</i> <i>x</i>

   

 _  _  _  _    

   

0 8

<i>x</i> <i>hay x</i>

    vµ <i>x  . </i>0

Vậy ph-ơng trình đã cho có một nghiệm <i>x   </i>8

0,25

0,5

0,25

Phòng Giáo dục- Đào tạo
<b>TRựC NINH </b>

*****

<b>đáp án và h-ớng dẫn chấm thi học sinh giỏi nm hc 2008 - </b>
<b>2009 </b>

<b>môn: Toán 8 </b>

<i><b>Bi 1: (4 điểm) </b></i>

<i>g) Điều kiện: x </i>

 

y; y



0 <i>(1 điểm) </i>

h) A = 2x(x+y) <i>(2 điểm) </i>

i) Cần chỉ ra giá trị lớn nhất của A, từ đó tìm được tất cả các giá trị ngun dương của A
+ Từ (gt): 3x2_{+ y}2_{+ 2x – 2y = 1}



_2x2_{+ 2xy + x}2_{– 2xy + y}2_{+ 2(x – y) = 1}



2x(x + y) + (x – y)2_{+ 2(x – y) + 1 = 2}



_{A + (x – y + 1)}2_{= 2}

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

+ A = 2 khi





x

y 1

0

2x x

y

2

x

y;y

0

  





_

_



   





1

x

2

3

y

2

 





 



+ A = 1 khi





2

(x y 1) 1
2x x y 1
x y;y 0
   


 


   


Từ đó, chỉ cần chỉ ra được một cặp giá trị của x và y, chẳng

hạn:

2 1
x

2
2 3

y

2

 _






 


+ Vậy A chỉ có thể có 2 giá trị nguyên dương là: A = 1; A = 2 <i>(0,5 điểm) </i>

<b>Bài 2: (4 điểm) </b>

a) x 11 x 22 x 33 x 44

115 104 93 82
 _  _  _ 

x 11 x 22 x 33 x 44

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

115 104 93 82

   

       <i>(1 điểm) </i>

x 126 x 126 x 126 x 126
115 104 93 82

   

   

x 126 x 126 x 126 x 126

0

115 104 93 82

   

     <i>(0,5 điểm) </i>

...



x 126 0

  

x

126

  

<i>(0,5 điểm) </i>

b) x2_{+ y}2 _{+ z}2_{= xy + yz + zx}



2x2_+2y2_{+ 2z}2_{– 2xy – 2yz – 2zx = 0}



(x-y)2_{+ (y-z)}2_{+ (z-x)}2_{= 0} <i>_{(0,75 điểm)}</i>

x y 0

y z 0

z x 0

 




_  

  


x

y

z

  



x2009_{= y}2009_{= z}2009 <i>_{(0,75 điểm)}</i>

Thay vào điều kiện (2) ta có 3.z2009_{= 3}2010



z2009_{= 3}2009



z = 3

Vậy x = y = z = 3 <i>(0,5 điểm) </i>

<i><b>Bài 3 (3 điểm) </b></i>

Cần chứng minh: n5_{– n 10}

</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34>

n5 _{– n = n(n}2_{– 1)(n}2_{+ 1) = n(n – 1)(n + 1)(n}2_{+ 1) 2 (vì n(n – 1) là tích của hai số nguyên}

liên tiếp) <i>(1 điểm) </i>

- Chứng minh: n5_{– n 5}

n5 _{- n = ... = n( n - 1 )( n + 1)( n}2_{– 4 + 5)}

= n( n – 1 ) (n + 1)(n – 2) ( n + 2 ) + 5n( n – 1)( n + 1 )
lý luận dẫn đến tổng trên chia hết cho 5 <i>(1,25 điểm) </i>

- Vì ( 2 ; 5 ) = 1 nên n5 – n 2.5 tức là n5 – n 10

Suy ra n5_{và n có chữ số tận cũng giống nhau.} <i>_{(0,75 im)}</i>

Bài 4: 6 điểm

I
P

Q

H
E

D

A

B C

M

Câu a:2 điểm

* Chứng minh EA.EB = ED.EC (1 ®iĨm)

- Chứng minh



EBD đồng dạng với



ECA (gg) 0,5 điểm
- Từ đó suy ra

<i>EB</i>

<i>ED</i>

<i>EA EB</i>

.

<i>ED EC</i>

.

<i>EC</i>



<i>EA</i>





0,5 ®iĨm

* Chøng minh

<i>EAD</i>



<i>ECB</i>

(1 ®iÓm)

- Chứng minh



EAD đồng dạng với



ECB (cgc) 0,75 im

- Suy ra

<i>EAD</i>

<i>ECB</i>

0,25 điểm

Câu b:1,5 ®iĨm

- Tõ

<i>BMC</i>

= 120o 

<i>_AMB</i>

_{= 60}o  <i>_ABM</i> _{= 30}o _{0,5 ®iĨm}
- Xét

EDB vuông tại D có

<i>B</i>

= 30o

ED =

1

2

EB 

1

2

<i>ED</i>

<i>EB</i>



0,5 ®iĨm

- Lý ln cho

2

<i>EAD</i>

<i>ECB</i>

<i>S</i>

<i>ED</i>

<i>S</i>

<i>EB</i>





 

_



_

từ đó  SECB = 144 cm2 _{0,5 điểm}
Câu c:1,5 điểm

- Chứng minh BMI đồng dạng với BCD (gg) 0,5 điểm

- Chøng minh CM.CA = CI.BC 0,5 ®iĨm

</div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35>

Cách 2: Có thể biến đổi BM.BD + CM.CA = AB2_{+ AC}2_{= BC}2
Câu d:2 điểm

- Chứng minh BHD đồng dạng với DHC (gg) 0,5 điểm

2

2

<i>BH</i>

<i>BD</i>

<i>BP</i>

<i>BD</i>

<i>BP</i>

<i>BD</i>

<i>DH</i>

<i>DC</i>

<i>DQ</i>

<i>DC</i>

<i>DQ</i>

<i>DC</i>













_{0,5 ®iĨm}

- Chứng minh DPB đồng dạng với CQD (cgc)

`

90

<i>o</i>

<i>BDP</i>

<i>DCQ</i>

<i>CQ</i>

<i>PD</i>

<i>ma BDP</i>

<i>PDC</i>







_{ }









_

1 ®iĨm

<i><b>Bài 5: (2 điểm) </b></i>

e) vì x, y cùng dấu nên xy > 0, do đó x y 2
y x

(*)

_

2

_

2

_

x

y

2xy

2

(x

y)

0







<i>(**). Bất đẳng thức (**) luôn đúng, suy ra bđt (*) đúng (đpcm) (0,75đ) </i>
f) Đặt x y t

y  x

2 2

2

2 2

x y

t 2

y x

    <i>(0,25đ) </i>

Biểu thức đã cho trở thành P = t2_{– 3t + 3}

P = t2_{– 2t – t + 2 + 1 = t(t – 2) – (t – 2) + 1 = (t – 2)(t – 1) + 1} <i>_(0,25đ)</i>

- Nếu x; y cùng dấu, theo c/m câu a) suy ra t



2.



t – 2  0 ; t – 1 > 0  



t 2 t 1



 



0

P 1

  . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t = 2



<i>x = y (1) (0,25đ) </i>
- Nếu x; y trái dấu thì x ₀

y

và y 0

x



t < 0



t – 1 < 0 và t – 2 < 0



t

2 t 1





 



> 0



P > 1 (2) <i>(0,25đ) </i>

- Từ (1) và (2) suy ra: Với mọi x



0 ; y



0 thì ln có P



1. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
x = y. Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là Pm=1 khi x=y

phòng giáo dục và đào tạo kim bảng _{kiểm tra chất l-ợng học sinh giỏi năm học 2008 – 2009}
<b>mơn tốn lớp 8 </b>

<i>Thời gian 150 phút – Không kể thời gian giao đề </i>
Đề chớnh thc

Bài 1 (3 điểm)Tính giá trị biểu thøc

4 4 4

4 4 4 4

1 1 1 1

1+ 3 5 ... 29

4 4 4 4

A=

1 1 1 1

2 + 4 6 ... 30

4 4 4 4

  _  _   _ 

     

     

  _  _   _ 

     

 

Bài 2 (4 điểm)

</div>
<span class='text_page_counter'>(36)</span><div class='page_container' data-page=36>

a2_{+ b}2_{+ c}2 _{– ab – ac – bc}₀
b/ Cho a + b + c = 2009. chøng minh r»ng

3 3 3

2 2 2

a + b + c - 3abc

= 2009
a + b + c - ab - ac - bc

Bài 3 (4 điểm). Cho a 0, b 0 ; a và b thảo mÃn 2a + 3b  6 vµ 2a + b  4. Tìm giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc A = a2_{– 2a – b}

Bài 4 (3 điểm). Giải bài toán bằng cách lập ph-ơng trình

Mt ụ tụ i t A n B . Cùng một lúc ô tô thứ hai đi từ B đến A vơí vận tốc bằng 2
3 vận
tốc của ô tô thứ nhất . Sau 5 giờ chúng gặp nhau. Hỏi mỗi ô tô đi cả quãng -ng AB thỡ mt bao
lõu?

Bài 5 (6 điểm). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các điểm M, N thứ tự là trung điểm của BC và
AC. Các đ-ờng trung trực của BC và AC cắt nhau tại O . Qua A kẻ đ-ờng thẳng song song với
OM, qua B kẻ đ-ờng thẳng song song với ON, chúng cắt nhau tại H

d) Ni MN, AHB đồng dạng với tam giác nào ?

e) Gọi G là trọng tâm ABC , chứng minh AHG đồng dạng với MOG ?
f) Chứng minh ba điểm M , O , G thẳng hàng ?

<b>Phòng GD - ĐT </b> <b>đề thi học sinh giỏi năm học 2008 - 2009 </b>

<b> Can lộc </b> Môn: Toán lớp 8

Thêi gian lµm bµi 120 phót

Bµi 1. Cho biÓu thøc: A =

5 2

3 2

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>



 

a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm x để A - <i>A </i>0

c) Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất.

Bµi 2: a) Cho a > b > 0 vµ 2( a2_{+ b}2_{) = 5ab}
Tính giá trị cđa biĨu thøc: P = 3

2

<i>a b</i>
<i>a b</i>




b) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng a2_{+ 2bc > b}2_{+ c}2
Bài 3: Giải các ph-ơng trình:

a) 2 1 1

2007 2008 2009

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 _{ }  _

b) (12x+7)2_{(3x+2)(2x+1) = 3}

Bài 4: Cho tam giác ABC; Điểm P nằm trong tam giác sao cho <i>ABP</i><i>ACP</i>, kẻ PH
,

<i>AB PK</i> <i>AC</i>

. Gọi D là trung điểm cđa c¹nh BC. Chøng minh.
a) BP.KP = CP.HP

b) DK = DH

Bài 5: Cho hình bình hành ABCD, một đ-ờng thẳng d cắt các cạnh AB, AD tại M và K, cắt đ-ờng
chéo AC tại G. Chứng minh r»ng: <i>AB</i> <i>AD</i> <i>AC</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(37)</span><div class='page_container' data-page=37>

UBND THµNH PHè HuÕ kú thi CHäN häc sinh giái tHµNH PHè

PHịNG Giáo dục và đào tạo lớp 8 thCS - năm học 2007 - 2008

Môn : Toán
§Ị chÝnh thøc Thêi gian lµm bài: 120 phút

Bài 1: (2 điểm)

Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử:
7. 2

7 6

<i>x</i>  <i>x</i>

8. 4 2

2008 2007 2008

<i>x</i>  <i>x</i> <i>x</i>

Bài 2: (2điểm)

Giải ph-ơng trình:
7. 2

3 2 1 0

<i>x</i>  <i>x</i>   <i>x</i>

8.





2 2 2

2

2 2

2 2

1 1 1 1

8 <i>x</i> 4 <i>x</i> 4 <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> 4

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 _  _  _  _  _  _  _ _

     

Bài 3: (2điểm)

7. Căn bậc hai của 64 có thể viết d-ới d¹ng nh- sau: 64  6 4

</div>
<span class='text_page_counter'>(38)</span><div class='page_container' data-page=38>

8. T×m sè d- trong phÐp chia cđa biĨu thøc



<i>x</i>2



<i>x</i>4



<i>x</i>6



<i>x</i> 8



2008 cho ®a thøc

2

10 21

<i>x</i> <i>x</i> .

Bài 4: (4 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đ-ờng cao AH (HBC). Trên tia HC lấy điểm D
sao cho HD = HA. Đ-ờng vuông góc với BC tại D cắt AC t¹i E.

10. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo

<i>m</i><i>AB</i>.

11. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng
dạng. Tính số đo của góc AHM

12. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: <i>GB</i> <i>HD</i>

<i>BC</i> <i>AH</i><i>HC</i>.

Hết

Phòng Giáo dục- Đào tạo

<b>TRùC NINH </b>
*****

<b>đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyn </b>
nm hc 2008 - 2009

<b>môn: Toán 8 </b>

(Thi gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao )

Đề thi này gồm 1 trang

<i><b>Bài 1 (4 điểm): Cho biểu thức </b></i>














 ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂

2
1
1

:
y

4xy
A

<i>x</i>
<i>xy</i>
<i>y</i>

<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>

a) Tìm điều kiện của x, y để giá trị của A được xác định.

b) Rút gọn A.

c) Nếu x; y là các số thực làm cho A xác định và thoả mãn: 3x2_{+ y}2_{+ 2x – 2y = 1, hãy tìm tất}

cả các giá trị nguyên dương của A?
<i><b>Bài 2 (4 điểm): </b></i>

a) Giải phương trình :

82
44
93

33
104

22
115

11_  _  _ 

 <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

b) Tìm các số x, y, z biết :

x2_{+ y}2_{+ z}2_{= xy + yz + zx}

và 2009 2009 2009 2010

3



<i>y</i> <i>z</i>

<i>x</i>

<i><b>Bài 3 (3 điểm): Chứng minh rằng với mọi n</b></i>N thì n5_{và n ln có chữ số tận cùng giống nhau.}

<i><b>Bài 4 (7 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ </b></i>
một đường thẳng vng góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E.
a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC và <i>EAD</i><i>ECB</i>

b) Cho 0

120

<i>BMC </i> và 2

36

<i>AED</i>

<i>S</i>  <i>cm</i> . Tính SEBC?

c) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD + CM.CA có giá trị
khơng đổi.

d) Kẻ<i>DH</i><i>BC</i>



<i>H</i><i>BC</i>



. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, DH.
Chứng minh <i>CQ</i><i>PD</i>.

<i><b>Bài 5 (2 điểm): </b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(39)</span><div class='page_container' data-page=39>

a) Chứng minh bất đẳng thức sau:  2

<i>x</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
<i>x</i>

(với x và y cùng dấu)

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

2 2

2 2 3 5

<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>

<i>y</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>x</i>

 

  _  _

  (vi x0, y0)

Phòng giáo dục - Đào tạo
huyện Vũ th-

<b>Đề khảo sát chọn học sinh giỏi cấp huyện </b>
<b>Môn: Toán Lớp 8 </b>

năm học 2008 2009

<i><b>Thời gian làm bài: 150 phút </b></i>

Bài 1: (4 điểm)

1, Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n    

  

 2 2 2

a b c 0

a b c 2009, tÝnh   

4 4 4

A a b c .

2, Cho ba sè x, y, z tho¶ mÃn x . Tìm giá trị lớn nhất cña B xy yz zxy z 3   .
Bài 2: (2 điểm)

Cho a thc f x

 

x2 pxq với p Z, qZ . Chứng minh rằng tồn tại số nguyên k để

  



 



f k f 2008 .f 2009 .
Bài 3: (4 điểm)

1, Tìm các số nguyên d-ơng x, y tho¶ m·n 3xy x 15y 44  . 0

2, Cho số tự nhiên a

29 2009, b là tổng các chữ số của a, c là tổng các chữ số của b, d là
tổng các chữ số của c. Tính d.

Bài 4: (3 điểm)

Cho ph-ơng tr×nh 2x m x 1 3

x 2 x 2

 _  _

  , tìm m để ph-ơng trình có nghiệm d-ơng.
Bài 5: (3 điểm)

Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng đ-ờng chéo AC, trên tia đối của tia AD lấy điểm E,
đ-ờng thẳng EB cắt đ-ờng thẳng DC tại F, CE cắt à tại O. Chứng minh AECđồng
dạng CAF , tính EOF .

Bài 6: (3 điểm)

Cho tam giỏc ABC, phân giác trong đỉnh A cắt BC tại D, trên các đoạn thẳng DB, DC lần

l-ợt lấy các điểm E và F sao cho EAD  FAD . Chứng minh rằng: 

2

2

BE BF AB

CE CF AC .
Bài 7: (2 điểm)

Trờn bng cú cỏc số tự nhiên từ 1 đến 2008, ng-ời ta làm nh- sau lấy ra hai số bất kỳ và
thay bằng hiệu của chúng, cứ làm nh- vậy đến khi cịn một số trên bảng thì dừng lại. Có
thể làm để trên bảng chỉ còn lại số 1 đ-ợc khơng? Giải thích.

</div>
<span class='text_page_counter'>(40)</span><div class='page_container' data-page=40>

...HÕt...
ThÝ sinh kh«ng đ-ợc sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ... Sè b¸o danh: ...

<b>pgd &đt bỉm sơn đề thi học sinh giỏi lớp 8 </b>
<b>tr-ờng thcs xi măng năm học 2008-2009 mơn tốn 2008-2009 </b>

<b>mơn tốn (150 phút khơng kể thời gian giao đề) </b>

Câu 1(5điểm) Tìm số tự nhiên n để :
a) A=n3_-n2_{+n-1 là số nguyên tố.}
b) B=

2

2
6
2
3

2
2
3
4

<i>n</i>

<i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i>

có giá trị là một số nguyên .
c) D=n5_{-n+2 là số chính ph-ơng . (n}₂₎

Câu 2: (5 điểm) Chứng minh rằng :

a) 1

1
1

1      



 <i>ac</i> <i>c</i>

<i>c</i>
<i>b</i>

<i>bc</i>
<i>b</i>
<i>a</i>

<i>ab</i>
<i>a</i>

biÕt abc=1
b) Víi a+b+c=0 th× a4_+b4_+c4_=2(ab+bc+ca)2
c)

<i>c</i>
<i>a</i>
<i>a</i>

<i>b</i>
<i>b</i>
<i>c</i>
<i>a</i>
<i>c</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>b</i>
<i>a</i>

₂2 2₂

2
2

Câu 3: (5 điểm) giảI các ph-ơng tr×nh sau:

a) 6

82
54
84

132
86

214







 <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(41)</span><div class='page_container' data-page=41>

c) x2_-y2_{+2x-4y-10=0 với x,y nguyên d-ơng.}

câu 4: (5 điểm).Cho hình thang ABCD (AB//CD) ,O là giao điểm hai đ-ờng chéo. Qua O kẻ
đ-ờng thẳng song song với AB cắt DA tại E ,cát BC tại F.

j) chứng minh r»ng : diƯn tÝch tam gi¸c AOD b»ng diƯn tÝch tam gi¸c BOC.
k) Chøng minh :

<i>EF</i>
<i>CD</i>
<i>AB</i>

2
1

1 _ _

l) Gọi K là điểm bất kì thuộc OE.Nêu cách dựng d-ờng thẳng đI qua K và chia đơI diện tích

tam giác DEF.

---hết---
<b>pgd thị xã gia nghỉa đề thi phát hiện học sinh giỏi bậc thcs năm học 2008-2009 </b>
<b>Mơn : tốn ( 120 phút khụng k thi gian giao ) </b>

Bài 1: (1 đ)

Cho biết a-b=7 tính giá trị của biểu thức: a(a+2)+b(b-2)-2ab
Bài 2: (1 đ)

Chng minh rng biu rhứ sau luôn luôn d-ơng (hoặc âm) với một giá trị của chử đã cho :
-a2_+a-3

Bài 3: (1 đ)

Chng minh rng nếu một tứ giác có tâm đối xứng thì tứ giác đó là hình bình hành.
Bài 4: (2 đ)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

5
8
4

2

2  

 <i>x</i> <i>x</i>

Bµi 5: (2 ®)

Chứng minh rằng các số tự nhiên có dạng 2p+1 trong đó p là số nguyên tố , chỉ có một số là lập
ph-ơng của một số tự nhiên khác.Tìm số đó.

Bµi 6: (2 ®)

Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD , đ-ờng chéo AC vng góc với cạnh bên

CD,<i>BAC CAD</i> .TÝnh AD nÕu chu vi cđa h×nh thang b»ng 20 cm vµ gãc D b»ng 600_.

Bµi 7: (2 đ)

Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
g) a3m_+2a2m_+am

h) x8_+x4₊₁

Bài 8: (3 đ) Tìm số d- trong phép chia của biÓu thøc :
(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+ 2004 cho x2_+8x+1
Bài 9: (3 đ) Cho biÓu thøc :

C= 
























 1

2
1
:
1
2

1
1

2
2

3

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

j) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức C đ-ợc Xác định.
k) Rút gọn C.

l) Với giá trị nào của x thì biểu thức C đ-ợc xác định.
Bài 10 (3 )

Cho tam giác ABC vuông tại A (AC>AB) , đ-ờng cao AH. Trên tia HC lấy HD =HA, đ-ờng
vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.

g) chứng minh AE=AB

h) Gäi M trung ®iĨm cđa BE . TÝnh gãc AHM.

---hết---

<b>Phòng GD-đt vũ th- </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(42)</span><div class='page_container' data-page=42>

Bài Nội dung Điểm

1.1

Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n    

  

 2 2 2

a b c 0

a b c 2009, tÝnh   

4 4 4

A a b c . 2,00

Ta cã a2 b2c2 



a b c



22 ab



bcca



 2 ab



bcca







2





2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 a b c 2009

a b b c c a ab bc ca 2abc a b c

2 4

   

        _ _ 

 



 



2

2

4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2009

A a b c a b c 2 a b b c c a

2

         

0,50

0,50

1,00

1.2 Cho ba sè x, y, z thoả mÃn x . Tìm giá trÞ lín nhÊt cđa B xy yz zxy z 3    . 2,00







 





 







 
    _   _ 
          

     
   
 _  _   _  _    
   

2 ₂ ₂

2 ₂ 2

2

B xy z x y xy 3 x y x y

xy 3 x y x y x y xy 3x 3y

y 3 3y 6y 9 y 3 3

x x y 1 3 3

2 4 2 4

DÊu = x¶y ra khi

y 1 0

y 3

x 0 x y z 1

2

x y z 0

 

 _
    

Vậy giá trị lớn nhất cđa B lµ 3 khi x = y = z = 1

1,25

0,50

0,25

2 Cho ®a thøc

 

 2  

f x x px q với p Z, qZ . Chứng minh rằng tồn tại số nguyên
k để f k

  

f 2008 .f 2009 .

 



2,00

 

 



 



 

 

 

   





 

  







  



2
2 2
2
2
2

f f x x f x x p f x x q

f x 2.x.f x x p.f x p.x q

f x f x 2x p x px q

f x x px q 2x p 1

f x x 1 p x 1 q f x f x 1

        
   
     
 
 _   _  
 
 _      _
 
 _     _ 

Víi x = 2008 chän kf 2008





2008
Suy ra f k

  

f 2008 .f 2009



1,25

0,50

0,25

3.1 Tìm các số nguyên d-ơng x, y thoả mÃn 3xy x 15y44 . 0 2,00
3xy x 15y44 0



x 5 3y 1

49

x, y nghuyênd-ơng do vậy x + 5, 3y + 1 nguyên d-ơng và lớn hơn 1.

Thoả mÃn yêu cầu bài toán khi x + 5, 3y + 1 là -ớc lớn hơn 1 của 49 nên có:

x 5 7 x 2

3y 1 7 y 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(43)</span><div class='page_container' data-page=43>

Vậy ph-ơng trình có nghiệm nguyên là x = y = 2. 0,75
3.2 Cho sè tù nhiên

₉ 2009

a 2 , b là tổng các chữ số của a, c là tổng các chữ số của b, d
là tổng các chữ số của c. TÝnh d.

2,00

 

 

 

 

2009 3.2009 6027

9 3 3 6027

a 2 2 2 10 b 9.6027 54243

c 5 4.9 41 d 4 1.9 13 1

      

       

3

2  1mod9  a 1mod9 mµ a  b c d mod9  d 1mod9

 

2
Tõ (1) vµ (2) suy ra d = 8.

1,00

0,75

0,25

4

Cho ph-ơng trình 2x m x 1 3

x 2 x 2

 _  _

  , tìm m để ph-ơng trình có nghiệm d-ơng.

3,00
§iỊu kiƯn: x2;x  2





2x m x 1

3 ... x 1 m 2m 14

x 2 x 2

 _  _{  } _ _ _

 

m = 1ph-ơng trình có dạng 0 = -12 vô nghiệm.
m ph-ơng trình trở thành 1 x 2m 14

1 m

Ph-ơng trình có nghiệm d-ơng

2m 14
2
1 m
m 4
2m 14
2

1 m 1 m 7

2m 14
0
1 m

 _
 _
 _



_   






Vậy thoả mÃn yêu cầu bài toán khi m 4

1 m 7

 
.
0,25
0,75
0,25
0,50
1,00
0,25

5 Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng đ-ờng chéo AC, trên tia đối của tia AD lấy điểm
E, đ-ờng thẳng EB cắt đ-ờng thẳng DC tại F. Chứng minh AEC đồng dạng CAF ,
tính EOF .

3,00
O
D
B
A
C
E
F

 AEB đồng dạng CBF (g-g)

2 2

AB AE.CF AC AE.CF

AE AC

AC CF

   

 

 AEC đồng dạng CAF (c-g-c)
 AEC đồng dạng CAF

AECCAF mµ

0 0

EOF AEC EAO ACF EAO

180 DAC 120

   

  

1,00

1,00

</div>
<span class='text_page_counter'>(44)</span><div class='page_container' data-page=44>

6 Cho tam giác ABC, phân giác trong đỉnh A cắt BC tại D, trên các đoạn thẳng DB,
DC lần l-ợt lấy các điểm E và F sao cho EAD  FAD . Chứng minh rằng:

 2₂

BE BF AB

CE CF AC .

3,00

A

B _E D _F C

K
H

Kẻ EH AB tại H, FK  AC t¹i K

BAE CAF; BAF CAE

  

HAE

  đồng dạng KAF (g-g) AE EH

AF FK

 

ABE

ACF

S BE EH.AB AE.AB BE AE.AB

S CF FK.AC AF.AC CF AF.AC





    

T-¬ng tù BF AF.AB
CE  AE.AC
 BE BF AB2₂

CE CF AC

  (®pcm).

1,00

1,25

0,50

0,25

7 Trên bảng có các số tự nhiên từ 1 đến 2008, ng-ời ta làm nh- sau lấy ra hai số bất kỳ
và thay bằng hiệu của chúng, cứ làm nh- vậy đến khi còn một số trên bảng thì dừng
lại. Có thể làm để trên bảng chỉ cịn lại số 1 đ-ợc khơng? Giải thích.

2,00

Khi thay hai số a, b bởi hiệu hiệu hai số thì tính chất chẵn lẻ của tổng các số có trên
bảng khơng đổi.

Mµ S 1 2 3 ... 2008 2008. 2008 1





1004.2009 0 mod 2
2



        ; 1 1mod2

do vậy trên bảng không thể chỉ còn lại số 1.

1,00

1,00

UBND THàNH PHố Huế kú thi CHäN häc sinh giái tHµNH PHè

PHịNG Giáo dục và đào tạo lớp 8 thCS - năm học 2007 - 2008

</div>
<span class='text_page_counter'>(45)</span><div class='page_container' data-page=45>

Bµi 1 Câu Nội dung Điểm

1. 2,0

1.1 (0,75 ®iĨm)



 



2 2

7 6 6 6 1 6 1

<i>x</i>  <i>x</i> <i>x</i>  <i>x</i> <i>x</i> <i>x x</i>  <i>x</i>





<i>x</i>1



<i>x</i>6



0.5

0,5
1.2 (1,25 ®iĨm)

4 2 4 2 2

2008 2007 2008 2007 2007 2007 1

<i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i>  0,25



 



2





4 2 2 2 2 2

1 2007 1 1 2007 1

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

            _0,25



2



2





2

 

2



2



1 1 2007 1 1 2008

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

             _0,25

2. 2,0

2.1 2

3 2 1 0

<i>x</i>  <i>x</i>   <i>x</i> (1)

+ NÕu <i>x  : (1) </i>1 



<i>x</i>1



2   0 <i>x</i> 1 (tháa m·n ®iỊu kiƯn <i>x  ). </i>1

+ NÕu <i>x  : (1) </i>1 2 2











4 3 0 3 1 0 1 3 0

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

            

 <i>x</i> 1; <i>x</i>3 (cả hai đều không bé hơn 1, nên bị loại)

Vậy: Ph-ơng trình (1) có một nghiệm duy nhất là <i>x  . </i>1

0,5

0,5

2.2





2 2 2

2

2 2

2 2

1 1 1 1

8 <i>x</i> 4 <i>x</i> 4 <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> 4

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 _  _  _  _  _  _  _ _

      

       (2)

Điều kiện để ph-ơng trình có nghiệm: <i>x  </i>0

(2)





2 2

2

2 2

2 2

1 1 1 1

8 <i>x</i> 4 <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> 4

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 

       

               

    _    _









2

2 2

2
2

1 1

8 <i>x</i> 8 <i>x</i> <i>x</i> 4 <i>x</i> 4 16

<i>x</i> <i>x</i>

   

 _  _  _  _    

   

0 8

<i>x</i> <i>hay x</i>

    vµ <i>x  . </i>0

Vậy ph-ơng trình đã cho có một nghiệm <i>x   </i>8

0,25

0,5

0,25

Phòng Giáo dục- Đào tạo
<b>TRựC NINH </b>

*****

<b>ỏp án và h-ớng dẫn chấm thi học sinh giỏi nm hc 2008 - </b>
<b>2009 </b>

<b>môn: Toán 8 </b>

<i><b>Bi 1: (4 điểm) </b></i>

<i>j) Điều kiện: x </i>

 

y; y



0 <i>(1 điểm) </i>

k) A = 2x(x+y) <i>(2 điểm) </i>

l) Cần chỉ ra giá trị lớn nhất của A, từ đó tìm được tất cả các giá trị nguyên dương của A
+ Từ (gt): 3x2_{+ y}2_{+ 2x – 2y = 1}



_2x2_{+ 2xy + x}2_{– 2xy + y}2_{+ 2(x – y) = 1}



2x(x + y) + (x – y)2_{+ 2(x – y) + 1 = 2}



_{A + (x – y + 1)}2_{= 2}

</div>
<span class='text_page_counter'>(46)</span><div class='page_container' data-page=46>

+ A = 2 khi





x

y 1

0

2x x

y

2

x

y;y

0

  





_

_



   





1

x

2

3

y

2

 





 



+ A = 1 khi





2

(x y 1) 1
2x x y 1
x y;y 0
   


 


   


Từ đó, chỉ cần chỉ ra được một cặp giá trị của x và y, chẳng

hạn:

2 1
x

2
2 3
y

2

 _







 


+ Vậy A chỉ có thể có 2 giá trị nguyên dương là: A = 1; A = 2 <i>(0,5 điểm) </i>

<b>Bài 2: (4 điểm) </b>

a) x 11 x 22 x 33 x 44

115 104 93 82
 _  _  _ 

x 11 x 22 x 33 x 44

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

115 104 93 82

   

       <i>(1 điểm) </i>

x 126 x 126 x 126 x 126
115 104 93 82

   

   

x 126 x 126 x 126 x 126

0

115 104 93 82

   

     <i>(0,5 điểm) </i>

...



x 126 0

  

x

126

  

<i>(0,5 điểm) </i>

b) x2_{+ y}2 _{+ z}2_{= xy + yz + zx}



2x2_+2y2_{+ 2z}2_{– 2xy – 2yz – 2zx = 0}



(x-y)2_{+ (y-z)}2_{+ (z-x)}2_{= 0} <i>_{(0,75 điểm)}</i>

x y 0

y z 0

z x 0

 




_  

  


x

y

z

  



x2009_{= y}2009_{= z}2009 <i>_{(0,75 điểm)}</i>

Thay vào điều kiện (2) ta có 3.z2009_{= 3}2010



z2009_{= 3}2009



z = 3

Vậy x = y = z = 3 <i>(0,5 điểm) </i>

<i><b>Bài 3 (3 điểm) </b></i>

Cần chứng minh: n5_{– n 10}

</div>
<span class='text_page_counter'>(47)</span><div class='page_container' data-page=47>

n5 _{– n = n(n}2_{– 1)(n}2_{+ 1) = n(n – 1)(n + 1)(n}2_{+ 1) 2 (vì n(n – 1) là tích của hai số nguyên}

liên tiếp) <i>(1 điểm) </i>

- Chứng minh: n5_{– n 5}

n5 _{- n = ... = n( n - 1 )( n + 1)( n}2_{– 4 + 5)}

= n( n – 1 ) (n + 1)(n – 2) ( n + 2 ) + 5n( n – 1)( n + 1 )
lý luận dẫn đến tổng trên chia hết cho 5 <i>(1,25 điểm) </i>

- Vì ( 2 ; 5 ) = 1 nên n5 – n 2.5 tức là n5 – n 10

Suy ra n5_{và n có chữ số tận cũng giống nhau.} <i>_{(0,75 im)}</i>

Bài 4: 6 điểm

I
P

Q

H
E

D

A

B C

M

Câu a:2 điểm

* Chứng minh EA.EB = ED.EC (1 ®iĨm)

- Chứng minh



EBD đồng dạng với



ECA (gg) 0,5 điểm
- Từ đó suy ra

<i>EB</i>

<i>ED</i>

<i>EA EB</i>

.

<i>ED EC</i>

.

<i>EC</i>



<i>EA</i>





0,5 ®iĨm

* Chøng minh

<i>EAD</i>



<i>ECB</i>

(1 ®iĨm)

- Chứng minh



EAD đồng dạng với



ECB (cgc) 0,75 im

- Suy ra

<i>EAD</i>

<i>ECB</i>

0,25 điểm

Câu b:1,5 ®iÓm

- Tõ

<i>BMC</i>

= 120o 

<i>_AMB</i>

_{= 60}o  <i>_ABM</i> _{= 30}o _{0,5 ®iĨm}
- Xét

EDB vuông tại D có

<i>B</i>

= 30o

ED =

1

2

EB 

1

2

<i>ED</i>

<i>EB</i>



0,5 ®iĨm

- Lý ln cho

2

<i>EAD</i>

<i>ECB</i>

<i>S</i>

<i>ED</i>

<i>S</i>

<i>EB</i>





 

_



_

từ đó  SECB = 144 cm2 _{0,5 điểm}
Câu c:1,5 điểm

- Chứng minh BMI đồng dạng với BCD (gg) 0,5 điểm

- Chøng minh CM.CA = CI.BC 0,5 ®iĨm

</div>
<span class='text_page_counter'>(48)</span><div class='page_container' data-page=48>

Cách 2: Có thể biến đổi BM.BD + CM.CA = AB2_{+ AC}2_{= BC}2
Câu d:2 điểm

- Chứng minh BHD đồng dạng với DHC (gg) 0,5 điểm

2

2

<i>BH</i>

<i>BD</i>

<i>BP</i>

<i>BD</i>

<i>BP</i>

<i>BD</i>

<i>DH</i>

<i>DC</i>

<i>DQ</i>

<i>DC</i>

<i>DQ</i>

<i>DC</i>













_{0,5 ®iĨm}

- Chứng minh DPB đồng dạng với CQD (cgc)

`

90

<i>o</i>

<i>BDP</i>

<i>DCQ</i>

<i>CQ</i>

<i>PD</i>

<i>ma BDP</i>

<i>PDC</i>







_{ }









_

1 ®iĨm

<i><b>Bài 5: (2 điểm) </b></i>

g) vì x, y cùng dấu nên xy > 0, do đó x y 2
y x

(*)

_

2

_

2

_

x

y

2xy

2

(x

y)

0







<i>(**). Bất đẳng thức (**) luôn đúng, suy ra bđt (*) đúng (đpcm) (0,75đ) </i>
h) Đặt x y t

y  x

2 2

2

2 2

x y

t 2

y x

    <i>(0,25đ) </i>

Biểu thức đã cho trở thành P = t2_{– 3t + 3}

P = t2_{– 2t – t + 2 + 1 = t(t – 2) – (t – 2) + 1 = (t – 2)(t – 1) + 1} <i>_(0,25đ)</i>

- Nếu x; y cùng dấu, theo c/m câu a) suy ra t



2.



t – 2  0 ; t – 1 > 0  



t 2 t 1



 



0

P 1

  . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t = 2



<i>x = y (1) (0,25đ) </i>
- Nếu x; y trái dấu thì x ₀

y

và y 0

x



t < 0



t – 1 < 0 và t – 2 < 0



t

2 t 1





 



> 0



P > 1 (2) <i>(0,25đ) </i>

- Từ (1) và (2) suy ra: Với mọi x



0 ; y



0 thì ln có P



1. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
x = y. Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là Pm=1 khi x=y

<b>phòng giáo dục và đào tạo kim bảng </b>

Kiểm tra chất l-ợng học sinh giỏi năm học 2008 2009

Đáp án , biểu điểm, h-ớng dẫn chấm

Môn Toán 8

Nội dung Điểm

Bài 1 (3 ®iĨm)
Cã a4₊1

4=

2

2 1 2 2 1 2 1

a a

2 <i>a</i> <i>a</i> 2 <i>a</i> <i>a</i> 2

 _  _ _ _{ }  _{ } 

    

    

1,0

Khi cho a các giá trị từ 1 đến 30 thì:
Tử thức viết đ-ợc thnh

(12₊₁₊1
2)(1

2_-1+1
2)(3

2₊₃₊1
2)(3

2_-3+1

2).(29

2₊₂₉₊1
2)(29

2_-29+1
2)

0,5

Mẫu thức viết đ-ợc thành
(22₊₂₊1

2)(2
2_-2+1

2)(4
2₊₄₊1

2)(4
2_-4+1

2)(30

2₊₃₀₊1
2)(30

2_-30+1
2)

0,5

Mặt khác (k+1)2_-(k+1)+1

2=.=k

2_+k+1
2

</div>
<span class='text_page_counter'>(49)</span><div class='page_container' data-page=49>

Nên A=

2

2
1
1 1

1
2

1 ₁₈₆₁
30 30

2

0,5

Bài 2: 4 điểm
ý a: 2 ®iĨm

-Có ý t-ởng tách, thêm bớt hoặc thể hiện đ-ợc nh- vậyđể sử dụng b-ớc sau 0,5

-Viết đúng dạng bình ph-ơng của một hiệu 0,5

- Viết đúng bình ph-ơng của một hiệu 0,5

- Lập luận và kết luận đúng 0,5

ý b: 2 ®iĨm

Phân tích đúng tủ thức thành nhân tử 1,0

Rút gọn và kết luận đúng 1,0

Bài 3 : 4 điểm

*Từ 2a + b ≤ 4 vµ b ≥ 0 ta cã 2a ≤ 4 hay a ≤ 2 1,0

Do đó A=a2 _{- 2a - b 0} _0,5

Nên giá trị lớn nhÊt cđa A lµ 0 khi a=2vµ b=0 0,5

* Tõ 2a + 3b ≤ 6 suy ra b ≤ 2 - 2
3<i>a</i>

1,0

Do đó A ≥ a2_{– 2a – 2 +}2
3<i>a</i> = (

2
3

<i>a </i> )2 _-22
9 ≥ -

22
9

0,5

VËy A cã giá trị nhỏ nhất là - 22

9 khi a =
2

3 vµ b =
2
3

0,5
Bµi 4 : 3 ®iĨm

- Chọn ẩn và đạt điều kiện đúng 0,25

- Biểu thị đ-ợc mỗi đại l-ợng theo ẩn và số liệu đã biết(4 đại l-ợng) 0,25 x 4

- Lập đ-ợc ph-ơng trình 0,25

- Giải đúng ph-ơng trình 0,5

- Đối chiếu và trả lời đúng thời gian của 1 ô tô 0,5

- Lập luận , tính và trả lời đúng thời gian của ơ tơ cịn lại 0,5
Bài 5 : 6 điểm

ý a : 2 điểm

Chứng minh đ-ợc 1
cặp góc bằng nhau

1.0

G
H

O

N

M
A

B C

Nêu đ-ợc cặp góc
bằng nhau còn lại

0,5
Chỉ ra đ-ợc hai tam

giỏc ng dạng

0,5
ý b : 2 ®iĨm

Từ hai tam giác
đồng dạng ở ý a suy
ra đúng tỉ số cặp
cạnh AH / OM

0,5

Tính đúng tỉ số cặp
cạnh AG / GM

0,5
ChØ ra đ-ợc cặp góc
bằng nhau

0,5
Kt lun ỳng 2 tam
giác đồng dạng

</div>
<span class='text_page_counter'>(50)</span><div class='page_container' data-page=50>

- Từ hai tam giác đồng dạng
ở câu b suy ra gúc AGH =
gúc MGO (1)

0,5

- Mặt khác gãc MGO + Gãc
AGO = 1800₍₂₎

0,5
- Tõ (1) vµ (2) suy ra gãc

AGH + gãc AGO = 1800

0,5
- Do đó H, G, O thẳng hàng 0,5

Chú ý: -Các cách giải khác nếu đúng chấm điểm t-ơng tự theo các b-ớc của từng bài
`-Điểm của bài làm là tổng số điểm của các bài HS làm đ-ợc, khơng làm tịn

UBND THµNH PHè HuÕ kú thi CHäN häc sinh giái tHµNH PHè

PHòNG Giáo dục và đào tạo lớp 8 thCS - năm học 2007 - 2008

Môn : Toán
§Ị chÝnh thøc Thêi gian lµm bµi: 120 phút

Bài 1: (2 điểm)

Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử:
9. 2

7 6
<i>x</i>  <i>x</i>

10. 4 2

2008 2007 2008

<i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i>

Bài 2: (2điểm)

Giải ph-ơng trình:
9. 2

3 2 1 0

<i>x</i>  <i>x</i>   <i>x</i>

10.





2 2 2

2

2 2

2 2

1 1 1 1

8 <i>x</i> 4 <i>x</i> 4 <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> 4

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 _  _  _  _  _  _  _ _

      



Bài 3: (2điểm)

9. Căn bậc hai của 64 có thể viết d-ới dạng nh- sau: 64  6 4

Hỏi có tồn tại hay khơng các số có hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúng d-ới dạng
nh- trên và là một số nguyên? Hãy chỉ ra toàn bộ các số đó.

10. T×m sè d- trong phÐp chia cđa biĨu thøc



<i>x</i>2



<i>x</i>4



<i>x</i>6



<i>x</i> 8



2008 cho ®a thøc

2

10 21
<i>x</i> <i>x</i> .
Bài 4: (4 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đ-ờng cao AH (HBC). Trên tia HC lấy điểm D
sao cho HD = HA. Đ-ờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.

13. Chng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo
<i>m</i><i>AB</i>.

14. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng
dạng. Tính số đo ca gúc AHM

15. Tia AM cắt BC tại G. Chøng minh: <i>GB</i> <i>HD</i>

<i>BC</i>  <i>AH</i><i>HC</i>.

</div>
<span class='text_page_counter'>(51)</span><div class='page_container' data-page=51>

Phßng Giáo dục- Đào tạo

<b>TRựC NINH </b>
*****

<b> thi chn học sinh giỏi cấp huyện </b>
năm học 2008 - 2009

<b>môn: Toán 8 </b>

(Thi gian lm bi: 120 phỳt, khụng kể thời gian giao đề)

§Ị thi nµy gåm 1 trang

<i><b>Bài 1 (4 điểm): Cho biểu thức </b></i>












 ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂

2
1
1
:
y
4xy
A
<i>x</i>
<i>xy</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>

<i>x</i>

a) Tìm điều kiện của x, y để giá trị của A được xác định.
b) Rút gọn A.

c) Nếu x; y là các số thực làm cho A xác định và thoả mãn: 3x2_{+ y}2_{+ 2x – 2y = 1, hãy tìm tất}

cả các giá trị nguyên dương của A?
<i><b>Bài 2 (4 điểm): </b></i>

a) Giải phương trình :

82
44
93
33
104
22
115
11 






 <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

b) Tìm các số x, y, z biết :

x2_{+ y}2_{+ z}2_{= xy + yz + zx}

và 2009 2009 2009 2010

3



<i>y</i> <i>z</i>

<i>x</i>

<i><b>Bài 3 (3 điểm): Chứng minh rằng với mọi n</b></i>N thì n5_{và n ln có chữ số tận cùng giống nhau.}

<i><b>Bài 4 (7 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ </b></i>
một đường thẳng vng góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E.
a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC và <i>EAD</i><i>ECB</i>

b) Cho 0

120

<i>BMC </i> và 2

36

<i>AED</i>

<i>S</i>  <i>cm</i> . Tính SEBC?

c) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD + CM.CA có giá trị
khơng đổi.

d) Kẻ<i>DH</i><i>BC</i>



<i>H</i><i>BC</i>



. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, DH.
Chứng minh <i>CQ</i><i>PD</i>.

<i><b>Bài 5 (2 điểm): </b></i>

a) Chứng minh bất đẳng thức sau:  2

<i>x</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
<i>x</i>

(với x và y cùng dấu)

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

2 2

2 2 3 5

<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>

<i>y</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>x</i>

 

  _  _

  (với x0, y0)

<b>pgd &đt bỉm sơn đề thi học sinh giỏi lớp 8 </b>
<b>tr-ờng thcs xi măng năm học 2008-2009 mơn tốn 2008-2009 </b>

<b>mơn tốn (150 phút không kể thời gian giao đề) </b>

Câu 1(5điểm) Tìm số tự nhiên n để :
a) A=n3_-n2_{+n-1 là số nguyên tố.}
b) B=

2
2
6
2
3
2
2
3
4





<i>n</i>
<i>n</i>

<i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i>

cã gi¸ trị là một số nguyên .

</div>
<span class='text_page_counter'>(52)</span><div class='page_container' data-page=52>

c) D=n5_{-n+2 là số chính ph-ơng . (n}₂₎
Câu 2: (5 điểm) Chứng minh rằng :

a) 1

1
1

1      



 <i>ac</i> <i>c</i>

<i>c</i>
<i>b</i>
<i>bc</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>ab</i>
<i>a</i>
biÕt abc=1
b) Víi a+b+c=0 th× a4_+b4_+c4_=2(ab+bc+ca)2
c)

<i>c</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>b</i>
<i>b</i>
<i>c</i>
<i>a</i>
<i>c</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>b</i>
<i>a</i>




 ₂2 2₂

2
2

Câu 3: (5 điểm) giảI các ph-ơng trình sau:

a) 6

82
54
84
132
86

214






 <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

b) 2x(8x-1)2_(4x-1)=9

c) x2_-y2_{+2x-4y-10=0 với x,y nguyên d-ơng.}

câu 4: (5 điểm).Cho hình thang ABCD (AB//CD) ,O là giao điểm hai đ-ờng chéo. Qua O kẻ
đ-ờng thẳng song song với AB cắt DA tại E ,cát BC tại F.

m) chứng minh rằng : diƯn tÝch tam gi¸c AOD b»ng diƯn tÝch tam gi¸c BOC.
n) Chøng minh :

<i>EF</i>
<i>CD</i>
<i>AB</i>
2
1
1



o) Gọi K là điểm bất kì thuộc OE.Nêu cách dựng d-ờng thẳng đI qua K và chia đơI diện tích
tam giác DEF.

---hết---
<b>pgd thị xã gia nghỉa đề thi phát hiện học sinh giỏi bậc thcs năm học 2008-2009 </b>
<b>Môn : tốn ( 120 phút khơng kể thời gian giao ) </b>

Bài 1: (1 đ)

Cho biết a-b=7 tính giá trị của biểu thức: a(a+2)+b(b-2)-2ab
Bài 2: (1 ®)

Chứng minh rằng biểu rhứ sau luôn luôn d-ơng (hoặc âm) với một giá trị của chử đã cho :
-a2_+a-3

Bµi 3: (1 ®)

Chứng minh rằng nếu một tứ giác có tâm đối xứng thì tứ giác đó là hình bỡnh hnh.
Bi 4: (2 )

Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc sau:

5
8
4

2

2

<i>x</i> <i>x</i>

Bài 5: (2 đ)

Chứng minh rằng các số tự nhiên có dạng 2p+1 trong đó p là số nguyên tố , chỉ có một số là lập
ph-ơng của một số t nhiờn khỏc.Tỡm s ú.

Bài 6: (2 đ)

Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD , đ-ờng chéo AC vng góc với cạnh bên

CD,<i>BAC CAD</i> .TÝnh AD nÕu chu vi cđa h×nh thang b»ng 20 cm và góc D bằng 600_.

Bài 7: (2 đ)

Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
i) a3m_+2a2m_+am

j) x8_+x4₊₁

Bài 8: (3 đ) Tìm sè d- trong phÐp chia cđa biĨu thøc :
(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+ 2004 cho x2_+8x+1
Bài 9: (3 đ) Cho biểu thức :

C= 


















 1
2
1
:
1
2
1
1
2
2
3
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(53)</span><div class='page_container' data-page=53>

n) Rót gän C.

o) Với giá trị nào của x thì biểu thức C đ-ợc xác định.
Bài 10 (3 đ)

Cho tam giác ABC vuông tại A (AC>AB) , đ-ờng cao AH. Trên tia HC lấy HD =HA, đ-ờng
vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.

i) chøng minh AE=AB

j) Gäi M trung ®iĨm cđa BE . TÝnh gãc AHM.

---hÕt---

UBND THµNH PHè HuÕ kú thi CHäN häc sinh giái tHµNH PHè

PHòNG Giáo dục và đào tạo lớp 8 thCS - năm học 2007 - 2008

</div>
<span class='text_page_counter'>(54)</span><div class='page_container' data-page=54>

Bµi 1 Câu Nội dung Điểm

1. 2,0

1.1 (0,75 ®iĨm)



 



2 2

7 6 6 6 1 6 1

<i>x</i>  <i>x</i> <i>x</i>  <i>x</i> <i>x</i> <i>x x</i>  <i>x</i>





<i>x</i>1



<i>x</i>6



0.5

0,5
1.2 (1,25 ®iĨm)

4 2 4 2 2

2008 2007 2008 2007 2007 2007 1

<i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i>  0,25



 



2





4 2 2 2 2 2

1 2007 1 1 2007 1

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

            _0,25



2



2





2

 

2



2



1 1 2007 1 1 2008

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

             _0,25

2. 2,0

2.1 2

3 2 1 0

<i>x</i>  <i>x</i>   <i>x</i> (1)

+ NÕu <i>x  : (1) </i>1 



<i>x</i>1



2   0 <i>x</i> 1 (tháa m·n ®iỊu kiƯn <i>x  ). </i>1

+ NÕu <i>x  : (1) </i>1 2 2











4 3 0 3 1 0 1 3 0

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

            

 <i>x</i> 1; <i>x</i>3 (cả hai đều không bé hơn 1, nên bị loại)
Vậy: Ph-ơng trình (1) có một nghiệm duy nhất là <i>x  . </i>1

0,5

0,5

2.2





2 2 2

2

2 2

2 2

1 1 1 1

8 <i>x</i> 4 <i>x</i> 4 <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> 4

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 _  _  _  _  _  _  _ _

      

       (2)

Điều kiện để ph-ơng trình có nghiệm: <i>x  </i>0

(2)





2 2

2

2 2

2 2

1 1 1 1

8 <i>x</i> 4 <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> 4

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 

       

               

    _    _









2

2 2

2
2

1 1

8 <i>x</i> 8 <i>x</i> <i>x</i> 4 <i>x</i> 4 16

<i>x</i> <i>x</i>

   

 _  _  _  _    

   

0 8

<i>x</i> <i>hay x</i>

    vµ <i>x  . </i>0

Vậy ph-ơng trình đã cho có một nghiệm <i>x   </i>8

0,25

0,5

0,25

Phòng Giáo dục- Đào tạo
<b>TRựC NINH </b>

*****

<b>đáp án và h-ớng dẫn chấm thi học sinh giỏi nm hc 2008 - </b>

<b>2009 </b>

<b>môn: Toán 8 </b>

<i><b>Bi 1: (4 điểm) </b></i>

<i>m) Điều kiện: x </i>

 

y; y



0 <i>(1 điểm) </i>

n) A = 2x(x+y) <i>(2 điểm) </i>

o) Cần chỉ ra giá trị lớn nhất của A, từ đó tìm được tất cả các giá trị nguyên dương của A
+ Từ (gt): 3x2_{+ y}2_{+ 2x – 2y = 1}



_2x2_{+ 2xy + x}2_{– 2xy + y}2_{+ 2(x – y) = 1}



2x(x + y) + (x – y)2_{+ 2(x – y) + 1 = 2}



_{A + (x – y + 1)}2_{= 2}

</div>
<span class='text_page_counter'>(55)</span><div class='page_container' data-page=55>

+ A = 2 khi





x

y 1

0

2x x

y

2

x

y;y

0

  





_

_



   





1

x

2

3

y

2

 





 



+ A = 1 khi





2

(x y 1) 1
2x x y 1
x y;y 0
   


 


   


Từ đó, chỉ cần chỉ ra được một cặp giá trị của x và y, chẳng

hạn:

2 1
x

2
2 3
y

2

 _






 


+ Vậy A chỉ có thể có 2 giá trị nguyên dương là: A = 1; A = 2 <i>(0,5 điểm) </i>

<b>Bài 2: (4 điểm) </b>

a) x 11 x 22 x 33 x 44

115 104 93 82
 _  _  _ 

x 11 x 22 x 33 x 44

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

115 104 93 82

   

       <i>(1 điểm) </i>

x 126 x 126 x 126 x 126
115 104 93 82

   

   

x 126 x 126 x 126 x 126

0

115 104 93 82

   

     <i>(0,5 điểm) </i>

...



x 126 0

  

x

126

  

<i>(0,5 điểm) </i>

b) x2_{+ y}2 _{+ z}2_{= xy + yz + zx}



2x2_+2y2_{+ 2z}2_{– 2xy – 2yz – 2zx = 0}



(x-y)2_{+ (y-z)}2_{+ (z-x)}2_{= 0} <i>_{(0,75 điểm)}</i>

x y 0

y z 0

z x 0

 





_  

  


x

y

z

  



x2009_{= y}2009_{= z}2009 <i>_{(0,75 điểm)}</i>

Thay vào điều kiện (2) ta có 3.z2009_{= 3}2010



z2009_{= 3}2009



z = 3

Vậy x = y = z = 3 <i>(0,5 điểm) </i>

<i><b>Bài 3 (3 điểm) </b></i>

Cần chứng minh: n5_{– n 10}

</div>
<span class='text_page_counter'>(56)</span><div class='page_container' data-page=56>

n5 _{– n = n(n}2_{– 1)(n}2_{+ 1) = n(n – 1)(n + 1)(n}2_{+ 1) 2 (vì n(n – 1) là tích của hai số nguyên}

liên tiếp) <i>(1 điểm) </i>

- Chứng minh: n5_{– n 5}

n5 _{- n = ... = n( n - 1 )( n + 1)( n}2_{– 4 + 5)}

= n( n – 1 ) (n + 1)(n – 2) ( n + 2 ) + 5n( n – 1)( n + 1 )
lý luận dẫn đến tổng trên chia hết cho 5 <i>(1,25 điểm) </i>

- Vì ( 2 ; 5 ) = 1 nên n5 – n 2.5 tức là n5 – n 10

Suy ra n5_{và n có chữ số tận cũng giống nhau.} <i>_{(0,75 im)}</i>

Bài 4: 6 điểm

I
P

Q

H
E

D

A

B C

M

Câu a:2 điểm

* Chứng minh EA.EB = ED.EC (1 ®iĨm)

- Chứng minh



EBD đồng dạng với



ECA (gg) 0,5 điểm
- Từ đó suy ra

<i>EB</i>

<i>ED</i>

<i>EA EB</i>

.

<i>ED EC</i>

.

<i>EC</i>



<i>EA</i>





0,5 ®iĨm

* Chøng minh

<i>EAD</i>



<i>ECB</i>

(1 ®iĨm)

- Chứng minh



EAD đồng dạng với



ECB (cgc) 0,75 im

- Suy ra

<i>EAD</i>

<i>ECB</i>

0,25 điểm

Câu b:1,5 ®iÓm

- Tõ

<i>BMC</i>

= 120o 

<i>_AMB</i>

_{= 60}o  <i>_ABM</i> _{= 30}o _{0,5 ®iĨm}
- Xét

EDB vuông tại D có

<i>B</i>

= 30o

ED =

1

2

EB 

1

2

<i>ED</i>

<i>EB</i>



0,5 ®iĨm

- Lý ln cho

2

<i>EAD</i>

<i>ECB</i>

<i>S</i>

<i>ED</i>

<i>S</i>

<i>EB</i>





 

_



_

từ đó  SECB = 144 cm2 _{0,5 điểm}
Câu c:1,5 điểm

- Chứng minh BMI đồng dạng với BCD (gg) 0,5 điểm

- Chøng minh CM.CA = CI.BC 0,5 ®iĨm

</div>
<span class='text_page_counter'>(57)</span><div class='page_container' data-page=57>

Cách 2: Có thể biến đổi BM.BD + CM.CA = AB2_{+ AC}2_{= BC}2
Câu d:2 điểm

- Chứng minh BHD đồng dạng với DHC (gg) 0,5 điểm

2

2

<i>BH</i>

<i>BD</i>

<i>BP</i>

<i>BD</i>

<i>BP</i>

<i>BD</i>

<i>DH</i>

<i>DC</i>

<i>DQ</i>

<i>DC</i>

<i>DQ</i>

<i>DC</i>













_{0,5 ®iĨm}

- Chứng minh DPB đồng dạng với CQD (cgc)

`

90

<i>o</i>

<i>BDP</i>

<i>DCQ</i>

<i>CQ</i>

<i>PD</i>

<i>ma BDP</i>

<i>PDC</i>







_{ }









_

1 ®iĨm

<i><b>Bài 5: (2 điểm) </b></i>

i) vì x, y cùng dấu nên xy > 0, do đó x y 2
y x

(*)

_

2

_

2

_

x

y

2xy

2

(x

y)

0







<i>(**). Bất đẳng thức (**) luôn đúng, suy ra bđt (*) đúng (đpcm) (0,75đ) </i>
j) Đặt x y t

y  x

2 2

2

2 2

x y

t 2

y x

    <i>(0,25đ) </i>

Biểu thức đã cho trở thành P = t2_{– 3t + 3}

P = t2_{– 2t – t + 2 + 1 = t(t – 2) – (t – 2) + 1 = (t – 2)(t – 1) + 1} <i>_(0,25đ)</i>

- Nếu x; y cùng dấu, theo c/m câu a) suy ra t



2.



t – 2  0 ; t – 1 > 0  



t 2 t 1



 



0

P 1

  . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t = 2



<i>x = y (1) (0,25đ) </i>
- Nếu x; y trái dấu thì x ₀

y

và y 0

x



t < 0



t – 1 < 0 và t – 2 < 0



t

2 t 1





 



> 0



P > 1 (2) <i>(0,25đ) </i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(58)</span><div class='page_container' data-page=58></div>
<span class='text_page_counter'>(59)</span><div class='page_container' data-page=59></div>
<span class='text_page_counter'>(60)</span><div class='page_container' data-page=60></div>
<span class='text_page_counter'>(61)</span><div class='page_container' data-page=61></div>
<span class='text_page_counter'>(62)</span><div class='page_container' data-page=62>

UBND THµNH PHè HuÕ kú thi CHäN häc sinh giái tHµNH PHè

PHịNG Giáo dục và đào tạo lớp 8 thCS - năm học 2007 - 2008

M«n : To¸n
§Ị chÝnh thøc Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1: (2 điểm)

Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử:
11. 2

7 6

<i>x</i>  <i>x</i>

12. 4 2

2008 2007 2008

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

Bài 2: (2điểm)

Giải ph-ơng tr×nh:
11. 2

3 2 1 0

<i>x</i>  <i>x</i>   <i>x</i>

12.





2 2 2

2

2 2

2 2

1 1 1 1

8 <i>x</i> 4 <i>x</i> 4 <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> 4

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 _  _  _  _  _  _  _ _

      

      

Bµi 3: (2điểm)

11. Căn bậc hai của 64 có thể viÕt d-íi d¹ng nh- sau: 64  6 4

Hỏi có tồn tại hay khơng các số có hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúng d-ới dạng
nh- trên và là một số nguyên? Hãy chỉ ra tồn bộ các số đó.

12. T×m sè d- trong phÐp chia cña biÓu thøc



<i>x</i>2



<i>x</i>4



<i>x</i>6



<i>x</i> 8



2008 cho ®a thøc

2

10 21

<i>x</i>  <i>x</i> .

Bµi 4: (4 ®iĨm)

</div>
<span class='text_page_counter'>(63)</span><div class='page_container' data-page=63>

16. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo
<i>m</i><i>AB</i>.

17. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng
dạng. Tính số đo ca gúc AHM

18. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: <i>GB</i> <i>HD</i>

<i>BC</i> <i>AH</i><i>HC</i>.

Hết

Phòng Giáo dục- Đào tạo

<b>TRựC NINH </b>
*****

<b> thi chn hc sinh gii cp huyn </b>
nm hc 2008 - 2009

<b>môn: Toán 8 </b>

(Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề)

§Ị thi nµy gåm 1 trang

<i><b>Bài 1 (4 điểm): Cho biểu thức </b></i>















 ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂

2
1
1

:
y

4xy
A

<i>x</i>
<i>xy</i>
<i>y</i>

<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>

a) Tìm điều kiện của x, y để giá trị của A được xác định.
b) Rút gọn A.

c) Nếu x; y là các số thực làm cho A xác định và thoả mãn: 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1, hãy tìm tất
cả các giá trị nguyên dương của A?

<i><b>Bài 2 (4 điểm): </b></i>

a) Giải phương trình :

82
44
93

33
104

22
115

11 







 <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

b) Tìm các số x, y, z biết :

x2_{+ y}2_{+ z}2_{= xy + yz + zx}

và 2009 2009 2009 2010

3



<i>y</i> <i>z</i>

<i>x</i>

<i><b>Bài 3 (3 điểm): Chứng minh rằng với mọi n</b></i>N thì n5 và n ln có chữ số tận cùng giống nhau.
<i><b>Bài 4 (7 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ </b></i>
một đường thẳng vng góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E.
a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC và <i>EAD</i><i>ECB</i>

b) Cho 0

120

<i>BMC </i> và 2

36

<i>AED</i>

<i>S</i>  <i>cm</i> . Tính SEBC?

c) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD + CM.CA có giá trị
không đổi.

d) Kẻ<i>DH</i><i>BC</i>



<i>H</i><i>BC</i>



. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, DH.
Chứng minh <i>CQ</i><i>PD</i>.

<i><b>Bài 5 (2 điểm): </b></i>

a) Chứng minh bất đẳng thức sau:  2

<i>x</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
<i>x</i>

(với x và y cùng dấu)

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

2 2

2 2 3 5

<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>

<i>y</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>x</i>

 

  _  _

  (với x0, y0)

</div>
<span class='text_page_counter'>(64)</span><div class='page_container' data-page=64>

<b>pgd &đt bỉm sơn đề thi học sinh giỏi lớp 8 </b>
<b>tr-ờng thcs xi măng năm học 2008-2009 mơn tốn 2008-2009 </b>

<b>mơn tốn (150 phút không kể thời gian giao đề) </b>

Câu 1(5điểm) Tìm số tự nhiên n để :
a) A=n3_-n2_{+n-1 là số nguyên tố.}
b) B=

2
2
6
2
3
2
2
3
4





<i>n</i>
<i>n</i>

<i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i>

cã giá trị là một số nguyên .
c) D=n5_{-n+2 là số chính ph-ơng . (n}₂₎

Câu 2: (5 ®iĨm) Chøng minh r»ng :

a) 1

1
1

1      



 <i>ac</i> <i>c</i>

<i>c</i>
<i>b</i>
<i>bc</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>ab</i>
<i>a</i>
biÕt abc=1
b) Víi a+b+c=0 th× a4_+b4_+c4_=2(ab+bc+ca)2
c)

<i>c</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>b</i>
<i>b</i>
<i>c</i>
<i>a</i>
<i>c</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>b</i>

<i>a</i> _ _   

2
2
2
2
2
2

Câu 3: (5 điểm) giảI các ph-ơng tr×nh sau:

a) 6

82
54
84

132

86

214_  _  _

 <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

b) 2x(8x-1)2_(4x-1)=9

c) x2_-y2_{+2x-4y-10=0 với x,y nguyên d-ơng.}

câu 4: (5 điểm).Cho hình thang ABCD (AB//CD) ,O là giao điểm hai đ-ờng chéo. Qua O kẻ
đ-ờng thẳng song song với AB cắt DA tại E ,cát BC tại F.

p) chøng minh r»ng : diÖn tÝch tam gi¸c AOD b»ng diƯn tÝch tam gi¸c BOC.
q) Chøng minh :

<i>EF</i>
<i>CD</i>
<i>AB</i>
2
1
1



r) Gọi K là điểm bất kì thuộc OE.Nêu cách dựng d-ờng thẳng đI qua K và chia đơI diện tích
tam giác DEF.

---hết---
<b>pgd thị xã gia nghỉa đề thi phát hiện học sinh giỏi bậc thcs năm học 2008-2009 </b>
<b>Mơn : tốn ( 120 phút khơng kể thời gian giao đề) </b>

Bµi 1: (1 đ)

Cho biết a-b=7 tính giá trị của biểu thức: a(a+2)+b(b-2)-2ab
Bài 2: (1 đ)

Chng minh rằng biểu rhứ sau luôn luôn d-ơng (hoặc âm) với một giá trị của chử đã cho :
-a2_+a-3

Bài 3: (1 đ)

Chng minh rằng nếu một tứ giác có tâm đối xứng thì tứ giác đó là hình bình hành.
Bài 4: (2 )

Tìm giá trị nhỏ nhất của biÓu thøc sau:

5
8
4

2

2  

 <i>x</i> <i>x</i>

Bài 5: (2 đ)

Chng minh rằng các số tự nhiên có dạng 2p+1 trong đó p là số nguyên tố , chỉ có một số là lập
ph-ơng của một số tự nhiên khác.Tìm số ú.

Bài 6: (2 đ)

Cho hỡnh thang ABCD có đáy lớn AD , đ-ờng chéo AC vng góc với cạnh bên

CD,<i>BAC CAD</i> .TÝnh AD nÕu chu vi của hình thang bằng 20 cm và góc D bằng 600_.

Bài 7: (2 đ)

</div>
<span class='text_page_counter'>(65)</span><div class='page_container' data-page=65>

k) a3m_+2a2m_+am
l) x8_+x4₊₁

Bài 8: (3 đ) Tìm số d- trong phÐp chia cđa biĨu thøc :
(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+ 2004 cho x2_+8x+1
Bài 9: (3 đ) Cho biểu thức :

C= 
























 1

2
1
:
1
2

1
1

2
2

3

<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

p) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức C đ-ợc Xác định.
q) Rút gọn C.

r) Với giá trị nào của x thì biểu thức C đ-ợc xác định.
Bài 10 (3 đ)

Cho tam giác ABC vuông tại A (AC>AB) , đ-ờng cao AH. Trên tia HC lấy HD =HA, đ-ờng
vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.

k) chøng minh AE=AB

l) Gäi M trung ®iĨm cđa BE . TÝnh gãc AHM.

---hÕt---

UBND THµNH PHè HuÕ kú thi CHäN häc sinh giái tHµNH PHè

PHòNG Giáo dục và đào tạo lớp 8 thCS - năm học 2007 - 2008

</div>
<span class='text_page_counter'>(66)</span><div class='page_container' data-page=66>

Bµi 1 Câu Nội dung Điểm

1. 2,0

1.1 (0,75 ®iĨm)



 



2 2

7 6 6 6 1 6 1

<i>x</i>  <i>x</i> <i>x</i>  <i>x</i> <i>x</i> <i>x x</i>  <i>x</i>





<i>x</i>1



<i>x</i>6



0.5

0,5
1.2 (1,25 ®iĨm)

4 2 4 2 2

2008 2007 2008 2007 2007 2007 1

<i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i>  0,25



 



2





4 2 2 2 2 2

1 2007 1 1 2007 1

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

            _0,25



2



2





2

 

2



2



1 1 2007 1 1 2008

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

             _0,25

2. 2,0

2.1 2

3 2 1 0

<i>x</i>  <i>x</i>   <i>x</i> (1)

+ NÕu <i>x  : (1) </i>1 



<i>x</i>1



2   0 <i>x</i> 1 (tháa m·n ®iỊu kiƯn <i>x  ). </i>1

+ NÕu <i>x  : (1) </i>1 2 2











4 3 0 3 1 0 1 3 0

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

            

 <i>x</i> 1; <i>x</i>3 (cả hai đều không bé hơn 1, nên bị loại)
Vậy: Ph-ơng trình (1) có một nghiệm duy nhất là <i>x  . </i>1

0,5

0,5

2.2





2 2 2

2

2 2

2 2

1 1 1 1

8 <i>x</i> 4 <i>x</i> 4 <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> 4

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 _  _  _  _  _  _  _ _

      

       (2)

Điều kiện để ph-ơng trình có nghiệm: <i>x  </i>0

(2)





2 2

2

2 2

2 2

1 1 1 1

8 <i>x</i> 4 <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> 4

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 

       

               

    _    _









2

2 2

2
2

1 1

8 <i>x</i> 8 <i>x</i> <i>x</i> 4 <i>x</i> 4 16

<i>x</i> <i>x</i>

   

 _  _  _  _    

   

0 8

<i>x</i> <i>hay x</i>

    vµ <i>x  . </i>0

Vậy ph-ơng trình đã cho có một nghiệm <i>x   </i>8

0,25

0,5

0,25

Phòng Giáo dục- Đào tạo
<b>TRựC NINH </b>

*****

<b>đáp án và h-ớng dẫn chấm thi học sinh gii nm hc 2008 - </b>
<b>2009 </b>

<b>môn: Toán 8 </b>

<i><b>Bài 1: (4 điểm) </b></i>

<i>p) Điều kiện: x </i>

 

y; y



0 <i>(1 điểm) </i>

q) A = 2x(x+y) <i>(2 điểm) </i>

r) Cần chỉ ra giá trị lớn nhất của A, từ đó tìm được tất cả các giá trị ngun dương của A
+ Từ (gt): 3x2_{+ y}2_{+ 2x – 2y = 1}



_2x2_{+ 2xy + x}2_{– 2xy + y}2_{+ 2(x – y) = 1}



2x(x + y) + (x – y)2_{+ 2(x – y) + 1 = 2}



_{A + (x – y + 1)}2_{= 2}

</div>
<span class='text_page_counter'>(67)</span><div class='page_container' data-page=67>

+ A = 2 khi





x

y 1

0

2x x

y

2

x

y;y

0

  





_

_



   





1

x

2

3

y

2

 





 



+ A = 1 khi





2

(x y 1) 1
2x x y 1
x y;y 0
   


 


   


Từ đó, chỉ cần chỉ ra được một cặp giá trị của x và y, chẳng

hạn:

2 1
x

2
2 3
y

2

 _






 


+ Vậy A chỉ có thể có 2 giá trị nguyên dương là: A = 1; A = 2 <i>(0,5 điểm) </i>

<b>Bài 2: (4 điểm) </b>

a) x 11 x 22 x 33 x 44

115 104 93 82
 _  _  _ 

x 11 x 22 x 33 x 44

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

115 104 93 82

   

       <i>(1 điểm) </i>

x 126 x 126 x 126 x 126
115 104 93 82

   

   

x 126 x 126 x 126 x 126

0

115 104 93 82

   

     <i>(0,5 điểm) </i>

...



x 126 0

  

x

126

  

<i>(0,5 điểm) </i>

b) x2_{+ y}2 _{+ z}2_{= xy + yz + zx}



2x2_+2y2_{+ 2z}2_{– 2xy – 2yz – 2zx = 0}



(x-y)2_{+ (y-z)}2_{+ (z-x)}2_{= 0} <i>_{(0,75 điểm)}</i>

x y 0

y z 0

z x 0

 




_  

  


x

y

z

  



x2009_{= y}2009_{= z}2009 <i>_{(0,75 điểm)}</i>

Thay vào điều kiện (2) ta có 3.z2009_{= 3}2010



z2009_{= 3}2009



z = 3

Vậy x = y = z = 3 <i>(0,5 điểm) </i>

<i><b>Bài 3 (3 điểm) </b></i>

Cần chứng minh: n5_{– n 10}

</div>
<span class='text_page_counter'>(68)</span><div class='page_container' data-page=68>

n5 _{– n = n(n}2_{– 1)(n}2_{+ 1) = n(n – 1)(n + 1)(n}2_{+ 1) 2 (vì n(n – 1) là tích của hai số nguyên}

liên tiếp) <i>(1 điểm) </i>

- Chứng minh: n5_{– n 5}

n5 _{- n = ... = n( n - 1 )( n + 1)( n}2_{– 4 + 5)}

= n( n – 1 ) (n + 1)(n – 2) ( n + 2 ) + 5n( n – 1)( n + 1 )
lý luận dẫn đến tổng trên chia hết cho 5 <i>(1,25 điểm) </i>

- Vì ( 2 ; 5 ) = 1 nên n5 – n 2.5 tức là n5 – n 10

Suy ra n5_{và n có chữ số tận cũng giống nhau.} <i>_{(0,75 im)}</i>

Bài 4: 6 điểm

I
P

Q

H
E

D

A

B C

M

Câu a:2 điểm

* Chøng minh EA.EB = ED.EC (1 ®iĨm)

- Chứng minh



EBD đồng dạng với



ECA (gg) 0,5 điểm
- Từ đó suy ra

<i>EB</i>

<i>ED</i>

<i>EA EB</i>

.

<i>ED EC</i>

.

<i>EC</i>



<i>EA</i>





0,5 ®iĨm

* Chøng minh

<i>EAD</i>



<i>ECB</i>

(1 ®iĨm)

- Chứng minh



EAD đồng dạng với



ECB (cgc) 0,75 điểm

- Suy ra

<i>EAD</i>



<i>ECB</i>

0,25 ®iĨm

C©u b:1,5 ®iĨm

- Tõ

<i>BMC</i>

= 120o 

<i>_AMB</i>

_{= 60}o  <i>_ABM</i> _{= 30}o _{0,5 điểm}
- Xét

EDB vuông tại D có

<i>B</i>

= 30o

ED =

1

2

EB 

1

2

<i>ED</i>

<i>EB</i>



0,5 ®iĨm

- Lý luËn cho

2

<i>EAD</i>

<i>ECB</i>

<i>S</i>

<i>ED</i>

<i>S</i>

<i>EB</i>





 

_



_

từ đó  SECB = 144 cm2 _{0,5 điểm}
Câu c:1,5 điểm

- Chứng minh BMI đồng dạng với BCD (gg) 0,5 điểm

- Chøng minh CM.CA = CI.BC 0,5 ®iĨm

</div>
<span class='text_page_counter'>(69)</span><div class='page_container' data-page=69>

Cách 2: Có thể biến đổi BM.BD + CM.CA = AB2_{+ AC}2_{= BC}2
Câu d:2 điểm

- Chứng minh BHD đồng dạng với DHC (gg) 0,5 điểm

2

2

<i>BH</i>

<i>BD</i>

<i>BP</i>

<i>BD</i>

<i>BP</i>

<i>BD</i>

<i>DH</i>

<i>DC</i>

<i>DQ</i>

<i>DC</i>

<i>DQ</i>

<i>DC</i>













_{0,5 ®iĨm}

- Chứng minh DPB đồng dạng với CQD (cgc)

`

90

<i>o</i>

<i>BDP</i>

<i>DCQ</i>

<i>CQ</i>

<i>PD</i>

<i>ma BDP</i>

<i>PDC</i>







_{ }









_

1 ®iĨm

<i><b>Bài 5: (2 điểm) </b></i>

k) vì x, y cùng dấu nên xy > 0, do đó x y 2
y x

(*)

_

2

_

2

_

x

y

2xy

2

(x

y)

0







<i>(**). Bất đẳng thức (**) luôn đúng, suy ra bđt (*) đúng (đpcm) (0,75đ) </i>
l) Đặt x y t

y  x

2 2

2

2 2

x y

t 2

y x

    <i>(0,25đ) </i>

Biểu thức đã cho trở thành P = t2_{– 3t + 3}

P = t2_{– 2t – t + 2 + 1 = t(t – 2) – (t – 2) + 1 = (t – 2)(t – 1) + 1} <i>_(0,25đ)</i>

- Nếu x; y cùng dấu, theo c/m câu a) suy ra t



2.



t – 2  0 ; t – 1 > 0  



t 2 t 1



 



0

P 1

  . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t = 2



<i>x = y (1) (0,25đ) </i>
- Nếu x; y trái dấu thì x ₀

y

và y 0

x



t < 0



t – 1 < 0 và t – 2 < 0



t

2 t 1





 



> 0



P > 1 (2) <i>(0,25đ) </i>

</div>

<!--links-->