Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Chuyên đề 10 - Số phức và ứng dụng - Lê Hoành Phò - File word | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (339.1 KB, 34 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

CHUYÊN ĐỀ 10 - SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG

1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Số phức và các phép toán

Tập hợp số phức , đơn vị ảo i với i 2 1.

- Số phức (dạng đại số): z a bi a b 



,  



a là phần thực, b là phần ảo của z. Kí hiệu Re z a , lm z b .

- Số phức liên hiệp của số phức: z a bi a b  , ,



 



là z a bi 

z là số thực  phần ảo của z bằng 0  zz

z là số ảo  phần thực của z bằng 0  z z
0

z  là số phức duy nhất vừa là số thực vừa là số ảo.

- Môđun của số phức: z a bi a b  , ,



 



2 2

z  a b  zz

- Phép toán:



a bi

 

 a b i' '

 

 a a '

 

 b b i '





a bi

 

 a b i' '

 

 a a '

 

 b b i '





a bi a b i

 

' '

 

 aa bb' '

 

 ab ba i' '



(a b a b  , , ', ' )

1 1

2 2

1 1 ' ' '

0 : ;z '. z z z z

z z z z z

z z z z zz

 

      .

Chú ý:

1) i4m 1;i4m1 i i; 4m2 1;i4m3 1

    .

2) zz z z;  ' z z zz'; 'z z. '

3) zz' z z z. ' ; 2 z2 ; z' z z', ' z'

z z z z

 

    

  .

Số phức dạng lượng giác

- Cho số phức: z a bi  với a b, ,z0, ta có r



cos



isin





với r 0 là

dạng lượng giác của số phức: z a bi  r a2 b2,cos a,sin b

r r



    

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Góc lượng giác



Ox OM,



 



k2



tức là các acgumen sai khác k2



với k



3 cos



.sin

12 12

i i

z
i



 

   

 



Khi z 0 khơng có dạng lượng giác hoặc dạng lượng giác không xác định.

- Nếu z r



cos



isin





, 'z r' cos ' sin '





i





thì có:









' ' cos ' sin '

zz rr 

 

 i

 

 









cos ' sin ' , ' 0

' '

z r

i z

z r 

 

 

 

  

Công thức Moa-vrơ

Với n là số nguyên, n 1 thì r



cos isin



n rn



cosn isinn





    

 

Đặc biệt:



cos



isin





n cosn



isinn



Căn bậc hai, bậc n của số phức

- Số phức z là một căn bậc hai của số phức w z2 w

  .

Ta có thể viết số phức w cần tìm thành dạng bình phương đủ, việc này thu gọn quá trình tìm căn bậc hai
của w.

- Số phức z là một căn bậc n của số phức w zn w

  .

Đặc biệt căn của đơn vị:



cos



isin





n 1
2

cosn isinn cos0 isin 0 k ,k 0,1,2,...,n 1

n





       

Do đó phương trình z n 1 có n nghiệm phức (là các căn bậc n của đơn vị)

2 2

cos sin , 0,1,2,..., 1

k

k k

z i k n

n n



   

Kết quả tổng của các căn của đơn vị bằng 0.

Phương trình bậc hai, bậc n

Phương trình bậc hai Az2 Bz C 0

   với A0, ,B C là các số phức. Lập biệt thức:  B2 4AC

Nếu  0 thì phương trình có nghiệm kép
2

B
z

A



Nếu  0 ta tìm các căn bậc hai



của  thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt 1,2

2
B
z

A



 

 .

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

2 0

Ax Bx C  thì: S B

A





   và P . C

A

 

 

Đảo lại, hai số phức



và



là các nghiệm của phương trình bậc hai:





2 . 0

x 







x

 



- Phương trình bậc n: 0 n 1 n1 ... 1 0

n n

A z A z  A z A



     trong đó A A0, ,...,1 An là n 1 số phức cho trước,

0 0

A  , n là một số ngun dương ln có n nghiệm phức, khơng nhất thiết phân biệt.

Hệ phương trình

- Dùng các biến đổi tích số, rút thế, cộng đại số, đặt ẩn phụ… như trong hệ phương trình đại số để giải.

- Đặt z x yi x y, ,



 



và z' x' y i' ,



x y  ', '



rồi thế vào hệ, đồng nhất để tìm x y x y, , ', '.
Biểu diễn số phức:

- Biểu diễn hình học:

Số phức z x yi x y, ,



 



được biểu diễn bởi điểm M x y



;



hay bởi vectơ





4
;
1
i

x y

i  trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi là mặt phẳng phức. Trục thực là trục

hoành và trục ảo là trục tung.

- Nếu z z, ' biểu diễn bởi M M, ' thì z z ' được biểu diễn bởi OM OM z z   ',  ' được biểu diễn bởi

' '

OM OM    M M

  

Tập điểm biểu diễn số phức:

- Gọi điểm M x y



;



biểu diễn số phức z x yi x y 



,  



- Từ điều kiện cho thiết lập quan hệ giữa x và y hay quanh hệ giữa M và các điểm khác để xác định dạng loại tập
điểm cần tìm.

2. CÁC BÀI TỐN

Bài tốn 10.1: Thực hiện các phép tính sau:







 



1 1

1 2 3 2 3

1
i

A i i i

i i



 

       



 



 











1 1 1 1 ... 1

B  i  i  i   i

Hướng dẫn giải

Ta có:





2 2

1 1 2 1 1 2

1 1 1 1 2

i

i i i i

i

i i



    

   

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Nên:

 

33
16
33 2

1
.
1
i

i i i i

i

 
  
 


  . Và





2 2

1 i  1 i  2i2i

Nên



1 i



10  



2i



5 32i. Từ đó tính được C13 32 i

Ta có













21 21

21
1

1 1 1 1

. 1.

1 1 1

i i

q
D u

q i i

   



  

   

mà



1i



21  



1 i

 

. 1i



20  



1 i

  

2i 10



1 i



.210 210 i.210

   

Vậy:









10 10

1 2 .2

2 2 1 .

i
D i
i
 
   


Bài toán 10.2: Cho số phức z thỏa mãn:

a) 1 3

2
z
z
z

 

 . Tính 2

z i
z i

 b)
4
1
z i
z
 

 . Tính 1



1 i z



Hướng dẫn giải

a) Ta có 1 3 1



 

2 ,



2
z

z z z z z

z


       



2 2

4 5 0

2
z i
z z
z i
 

     
 


Với 2 , 2 2 2 10 2 26

2 3 13 13 13

2 2

z i i z i

z i i

i

z i z i

   

      

 

 

Với 2 , 2 4 2 2 5

2 5 5 5

2 2

z i z i

z i i

i

z i z i

  

      

 

 

b) Đặt z a bi a b  , ,



 



Ta có: 4 2 2 4



1



z i a b a bi b a i

z

         



2 2 1, 2

2, 1

a b

a b a b

a b
b a
 
     
   
 

   


Với a1,b2, thì 1



1i z



 1



1i

 

1 2 i



3i 3

Với a2,b1 , thì 1



1i z



 1



1i

 

 2 i



 3i 3.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

a) z2

 

z 2

 b)

 

z z

z z





Hướng dẫn giải
Ta tính các số phức liên hiệp:

a) z2

 

z 2 z2 z2 z2

 

z 2

     . Vậy

 

2
2

z  z là số thực.

 

3 3 3

z z z z z z

z z z z z z

  

 

   . Vậy

 

3
3

z z

z z



 là số ảo.

Bài tốn 10.4: Tìm các căn bậc hai của số phức

a) 1 4 3i b) 17 20 2i

Hướng dẫn giải
a) x y  , . Giả sử:



x yi



2  1 4 3i





2 2 1 2 2 3 0

x y xy i

     

2 2

2 2 2

1 4

3
2 3

2 4 3

x x

x y x

xy y y

x
x



  



  

  

      

 

  

 






Từ đó có 2 căn bậc hai là: z1 2 3 ,i z2  2 3i

b) x y  , . Giả sử:



x yi



2 17 20 2 i





2 2 17 2 10 2 0

x y xy i

     

2 2 17 0

5, 2 2

10 2 0 5, 2 2

x y x y

xy x y



     



   

   

 

 

Vậy có hai căn bậc hai là 5 2 2 , 5 2 2 i   i.

Bài tốn 10.5: Tìm các căn bậc hai của w a bi a b 



,  



.
Hướng dẫn giải
Gọi z x yi x y, ,



 



là căn bậc hai của w a bi a b 



,  







 

2 2
2 2 2

2 *

x y a

x yi x y xyi a bi

xy b

  

        

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>



 



2 2
2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

0 0

x y a

x y b x y x y b

xyb xyb

  



 

        

  



 

2 2
2

2 2

2 2 2 2 2

0 0

a b a

x

x y a

a b a

x y a b y

xyb xyb

  





  



  

 

       

  



 







Vậy các căn bậc hai cần tìm của w a bi  là:

Hay

2 2 2 2

2 2

khi

a b a a b a

i b

a b a a b a

i b

     

 

  

 

 

 

   

 

  

 

 

Bài tốn 10.6: Tìm các căn bậc ba của số phức 1

2
i


Hướng dẫn giải

Đặt z x iy x y, ,   là căn bậc ba của 1 : 3 1

2 2

i i

z

 







3 2 2 3 1

3 3

2
i

x xy i x y y 

    

















3 2

2 2
2 2
2 3

3 4 2

1 4 0

x xy x y x y xy

x y x y xy

x y y


  

    

 

   

   

   




- Xét x y  0 y x nên 3 3 3 1

x  x 

3 1 1 1

2 2 2 2

x     x 

     

 

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Do đó: 1

y  . Ta có được: 1

1
2

i

z   .

- Xét x2 y2 4xy0.

Ta có hệ:



 







2
2

6 2 2

2 0

4
x y

x y x y xy

x y xy xy



         

   



 

     






Từ đó có 3 căn bậc ba là:









1 2

2 3 1 2 3 1

1
;

4 4

2
i

z   z   i 









2 3 1 2 3 1

4 4

z     i 

Bài tốn 10.7: Tìm số phức z thỏa mãn từng trường hợp:
a) z z. 3



z z



 4 3i.

b) z 5 và phần thực của z bằng hai lần phần ảo của nó.

Hướng dẫn giải
a) Đặt z x iy x y, ,  

Ta có: z z. 3



z z



x2y23.2iy x 2 y26yi

Do đó:





2 2 4 15

. 3 4 3

6 3 1

2
x

x y

z z z z i

y

y





   

       



  




Vậy 15

2 2

i

z   hoặc 15

2 2

i

z   .

b) Giả sử z a bi a b  , ,  . Ta có:

2 2

5 5

2 2

z a b

a b a b



 

   



 

 

 

 

2 2 5

5 5

a b a

b b




 

 

   



  

 

hay 2 5

5
a
b
 







Vậy có hai số phức cần tìm: z2 5 i 5,z2 5i 5.

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

a) z z  1 i  5 và có



2 z i z









là số ảo.



z i



2 z 22 2



z 3i



Hướng dẫn giải
a) Đặt z x yi x y, ,  . Khi đó: z z  1 i  5









3
2

1 2 1 5 1 2 1 5

1
2
y

y i y

y





         

 



mà:



2 z i z













2 x



 yi x









1 y i













x 2 x y 1 y





2 x

 

1 y



xy i



       

nên



2 z i z









là số ảo khi phần thực: x



2 x



y



1 y



0

Với 3

y  , ta có 2

3 2

2 0

3
4

x

x x

x





    

 


Với 1

y  , ta có 2

3 2

2 0

3
4

2
x

x x

x





    

 


Vậy 1 3 , 3 3 , 1 1 , 3 1

2 2 2 2 2 2 2 2

z  i z  i z  i z  i.

b) Đặt z x yi x y



,  



. Khi đó:



z1



2 z 222



z 3i









x y 1 i





x 2



yi2 2



x



y 3



i



        





















2 1 2 1 2 2 2 2 2 3 4 3

x y x y i x y x y x y i

            





















2 2 2

1 2 2 2 3

2 1 4 3

x y x y x y

x y x y

        


 

  




















2 2 2

2 1 2 2 2 2 2 3

2 3 7 0

x y x y x y

x y

        


 

 

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>





7 7

0 3 3

497 497

2 10 21 0 0

9 36

hay

y y

x

y y

x x

 

 

 




  

    

    



    

 

 

Vậy 497 7

36 3

z  i.

Bài toán 10.9: Viết dưới dạng lượng giác các số phức:



1 i 3 1





i



b) 1 3

1
i

i




Hướng dẫn giải

a) 1 3 2 cos sin ,1 2 cos sin

3 3 4 4

i  



 i 



 i 



i





           

     

 

nên



1 3 1







2 2 cos sin

3 4 3 4

i i  



 i 





         

   

 

2 2 cos sin

12 i 12



    

     

   

 

b) 1 3 2 cos sin

1 2 3 4 3 4

i

i
i



 

    

       

     

7 7

2 cos sin

12 i 12



    

     

   

 

Bài toán 10.10: Tìm acgumen của số phức

a) z 1



2 1



i b) z 2 3i

Hướng dẫn giải

a) Ta có: 1



2 1



2 2 2 1 2 1

2. 2 2 2. 2 2

z   i    i  

   

 

2 2 2 2

2. 2 2

2 i 2

   

 

  

 

 

Dùng công thức hạ bậc: cos2 1 cos 2
2

a

a  , sin2 1 cos 2

2
a

a 

Ta tính được: cos 2 2

8 2





 và sin 2 2

8 2





</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Vậy acgumen của số phức là 2 ,

8 k k



  

b) Biểu diễn hình học số phức z 2 3i thì số phức z tương ứng với điểm A



2 3,1



. Đặt



AOH .

ta có tan 1 2 3

2 3

AH

OH



   











2 2 3

2 tan
sin 2

1 tan 1 2 3





  

  













2 2 3 2 2 3 1

8 4 3 4 2 3

 

  

 

Tương tự

2
2

1 tan 3

cos 2

1 tan 2





 

 .

Suy ra: 2 2

6 12





  







 



. Chọn 2

12 k





 



Vậy acgumen của z 2 3i bằng 2





12 k k



   .

Bài toán 10.11: Viết dưới dạng lượng giác của các số phức

a) 1



cos sin



1 cos sin

i
i



 

  b)  1



cos



isin



 

 1 cos



isin





Hướng dẫn giải













1 cos sin 1 cos sin

i i



   



   

2
2

2sin .sin cos sin cos

2 2 2 tan 2 2 .tan

2 2

2cos .sin cos cos .sin

2 2 2 2 2

i i

i

i i



 

  

 

- Khi tan 0
2



 dạng lượng giác là: tan cos sin

2 2 i 2



 



 





  

   

 

   

 

- Khi tan 0
2



 dạng lượng giác là: tan cos sin

2 2 i 2









   

 

- Khi tan 0
2



</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>



1 cos



 isin



 

1 cos



isin





2sin sin cos .2cos cos sin

2 2 i 2 2 2 i 2

















      

   

2sin cos sin

2 i 2





 



 





       

   

 

- Khi sin



0: nó có dạng lượng giác khơng xác định.

- Khi sin



0: dạng lượng giác là 2sin cos sin

2 i 2





 



  



 

   

 

- Khi sin



0: dạng lượng giác là



2sin



cos sin

2 i 2





 



 





       

   

 

Bài toán 10.12: Viết số phức z dưới dạng lượng giác biết rằng z 1  z 3i và iz có một acgumen là



Hướng dẫn giải
Đặt z r



cos



isin





,r0,



  thì: z r



cos



 isin







sin cos



cos sin

2 2

iz r



i



r 





 







          

   

 

Theo giả thiết ta có

2 6 3







   

Khi đó 1 3 1 3 3 1

2 2 2 2

r r r r

z  z i    i     

 

2 2 2 2 2

1 3 1 4 1 1

2 4 4 2 2

r r r r r

r r

     

                

     

Vậy cos sin

3 3

z



i



Bài toán 10.13: Tính: a)

2016

1
i

i

 

 



  b)

1000

5 3 3
1 2 3

i
i

  

 



 

Hướng dẫn giải

a) Ta có: 1 1 cos sin

1 2 2 4 4

i i

i
i



  

    

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

2016

1008

1 2016 2016

cos .sin

1 2 4 4

i



   

      



   





1008 1008

1 1

cos3 .sin 3



i



  

b) 5 3 3



5 3 3 1 2 3

 



13 13 3 1 3 2 cos2 .sin2

1 12 13 3 3

1 2 3

i i

i



 

    

       



  

1000

5 3 3 2000 2000

2 cos sin

3 3

1 2 3
i

i
i



    

      

  

 

1000 2 2 1000 1 3

2 cos sin 2

3 i 3 2 i 2



  

 

      

   

Bài tốn 10.14: Tìm các căn bậc hai của các số phức:

a) z 2 i2 3 b) z 1 i 3

Hướng dẫn giải

a) Ta có: 2 2 3 4 1 3 4 cos2 sin2

2 2 3 3

z i   i  



i





 

Vậy z có hai căn bậc hai là: 1 2 cos sin 1 3

3 3

z  



i



 i

  và

2 2 cos sin 2 cos sin

3 3 3 3

z  



i



  







i 









      

4 4

2 cos sin 1 3

3 i 3 i



 

    

 

b) Ta có: 1 3 2 1 3 2 cos5 sin5

2 2 3 3

z  i    i  



i





 

Vậy z có hai căn bậc hai là: 1 6 2 , 2 6 2

2 2 2 2

z   i z   i.

Bài tốn 10.15: Tìm số phức z thỏa mãn:

a) 1 2z  i z và 3

3
z
z



 có một acgumen bằng 4



b) 2 z i   2 z z và 1 3i

z

 có một acgumen là 2
3



</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Hướng dẫn giải
a) Đặt z x yi x y



,  



Khi đó 1 2 x  i 2z 



2x 1



yi 2x



y1



i



2x 1



2 y2



2x





y 1



2 2x y

        

Và:

























2 2

3 3

3
3

3 3 3

x yi x yi

x yi

z

z x yi x y

   

 



 

    









2 2

2 2 2 2

9 6

3 3

x y y

i

x y x y

  

 

   

Vì 3

3
z
z



 có một acgumen bằng 4



nên

cos sin , , 0

3 4 4 2 2

z r r

r i i r

z



  

     

  

Do đó









2 2

2 2

2 2

2 2

2 0

6 9 6

, 0

2
3

x y r

y

x y

y r x y y

r

x y

  






  





 

    

  

  



Nên ta có 22 0 3

5 12 9 0

x y x

y
x

   

 



 



   



. Vậy z 3 6i.

b) Giả sử z r



cos



isin





,r0.

Ta có 1 3 2 1 3 2 cos sin

2 2 3 3

i  i  



i 





       

 

nên 1 3 2 cos sin

3 3

i

z r





 

    

       

   

 

Theo giả thiết 2

3 3 3





     . Do đó 3

2 2

r r

z  i

Theo giả thiết 2 z i   2 z z  r



3r 2



i  2 3ri









2 2

3 2 4 3 4 3 0

r r r r r

       

4 3
r

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Bài toán 10.16: Trong tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện sau

a) 1 3

2
z z

z    , hãy tìm số phức z có mơđun nhỏ nhất.





2 3

1
i z

i


 

 , hãy tìm số phức có mơđun lớn nhất.

Hướng dẫn giải
a) Đặt z x yi x y



,  



Khi đó 1 3





2
z z

z     x  yi  x



x 1



2 y2



x 3



2 y2 4x 8

       

Ta có z x2 y2 x2 4x 8



x 2



2 4 2

        

Dấu = xảy ra khi x 2 y0. Vậy số phức z 2.

b) Đặt z x yi x y



,  



. Ta có









2 3 2 3

1
i z

i x yi
i



     





2 y



xi 3 x2



y 2



2 3

       

2 2

2
1

3 3

x y 

   

     

   

Đặt x 3 sin ,



y 3 cos



thì tìm được z lớn nhất khi z



2 3



i và z nhỏ nhất khi



2 3



z  i.

Bài toán 10.17: Xét các số phức 1 2 3 1
2

6 2; 2 2 , z

z i z i z

z

     .

Viết z z z1, ,2 3 dưới dạng lượng giác, suy ra

7
cos



và sin7



Hướng dẫn giải

Ta có 1 2



3 1



2 2 cos sin

6 6

z     



i 





   

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>





3 3

2 1 2 2 cos sin

4 4

z    i   



i 





   

 

1
3

3 3 7 7

cos sin cos sin

6 4 6 4 12 12

z

z i i

z





   

        

   

Mặt khác:









1
2

6 2 2 2

6 2 6 2 6 2

2 2 8 4 4

i i

z i

i

z i

  

   

   

 

So sánh đồng nhất với kết quả trên, suy ra:

7 6 2 7 6 2

cos ,sin

12 4 12 4



 





  .

Bài toán 10.18: Cho a, b, c là ba số thực sao cho cos .cos .cosa b c 0.
Tìm phần ảo của số phức



1itana

 

1itanb

 

1itanc



suy ra tanatanbtanctan .tan .tana b c a b c k  





k 



.
Hướng dẫn giải

Từ khai triển của



1itana

 

. 1itan . 1b

 

itanc



thì phần ảo của số phức



1itana

 

1itanb

 

1itanc



bằng tanatanbtanc tan .tan .tana b c

Vậy tanatanbtanctan .tan .tana b c khi và chỉ khi phần ảo của số phức đang xét bằng 0, tức là

acgumen của số phức đó là một bội nguyên của



.

Mặt khác, 1 tan 1 . cos



sin



cos

i a i

a



   có acgumen là a 



với  là số nguyên bất kì

Tương tự cho 1itan ,1b itanc

Do đó:



1 i tan a

 

1itanb

 

1 i tan c



có acgumen là a b c   



Vậy: tanatanbtanctan .tan .tana b c a b c k  





k 



.
Bài tốn 10.19: Giải các phương trình nghiệm phức:

a) 2ix2 3x 4 i 0

   

b) z2



cos



isin





z i sin cos



0

Hướng dẫn giải

a) 9 8 4i



i



9 32i 8i2 17 32i

        

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

2 2 2

256
17
17

2 32

a

a b a

ab b

a


 



   

   



  




Từ đó, phương trình cho có 2 nghiệm phức:

1 1313 17 1 1313 17

4 2 4 2 i

 

 

 

 

 

 

;

1 1313 17 1 1313 17

4 2 4 2 i

 

 

 

  

 

 

b)  



cos



isin





2 4 sin cosi











cos



isin



2 .sin cosi



cos



isin



    

Nên  có hai căn bậc hai là 



cos



 isin





Vậy phương trình có 2 nghiệm: z1cos ,



z2 isin



Bài tốn 10.20: Giải các phương trình nghiệm phức

a) x  3 8 0 b)



x i  2



x2



2i x



7i 1 0

 

Hướng dẫn giải

a) Ta có: x3 8 0 



x 2





x22x4



 0 x2 hay x2 2x 4 0

  

Phương trình bậc hai có ' 1 4 3 3i2

     nên có các căn bậc hai là i 3. Vậy phương trình đã cho có

3 nghiệm: x2;x 1 i 3



x i  2



x2



2i x



7 1i   0 x 2 i hoặc x2



2 i x



7i 1 0

    

Phương trình bậc hai có biệt thức



2 i



2 4 7



i 1



7 24i



4 3i



         nên  có các căn bậc hai là 



4 3i



Từ đó giải cho 2 nghiệm x 3 i x,  1 2i

Vậy phương trình cho có 3 nghiệm: x 2 i x,  3 i x,  1 2i

Bài toán 10.21: Giải phương trình nghiệm phức:
a) z4 2z3 z2 4z 4 0

    

b) z3



3 i z





3 4i z



1 mi 0

       biết 1 nghiệm z i .

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

a) Ta có z 0 khơng là nghiệm của phương trình, chia z2 ta được:
2

4 4 2 2

2 1 0 2 3 0

z z z z

   

             

   

2
2

1 2 0 1 7

2 2

2 3 2 0

3 1; 2

z z z

z i

z

z z

z z z

z

 

 

       

     

  

      



Vậy nghiệm của phương trình là 1; 2; 1 7

2 2

z z z  i.

b) Thay z i vào phương trình ta có m 3.

Khi đó PT: z3



3i z



2 



3 4 i z



 1 3i0



z i z





2 3z 3 i



0 z i

        hoặc z2 3z 3 i 0

   

Giải phương trình bậc hai

Ta có : 9 4 3



i



 3 4i 



1 2i



Suy ra z 2 i z,  1 i

Vậy 3 nghiệm của phương trình là z i z ,  2 i z,  1 i

Bài tốn 10.22: Giải các phương trình nghiệm phức:



z 3 i



2 6



z 3 i



13 0 b)

3 3

3 4 0

2 2

iz iz

z i z i

 

 

  

 

 

 

Hướng dẫn giải
a) Đặt z 3 i w thì phương trình trở thành w2 6w 13 0

   .

Biệt thức  36 52 16 nên 6 4 3 2
2

i

w    i

do đó z 3 i  3 2i hay z i 2i

Vậy z3i và zi là các nghiệm cần tìm.

b) Đặt 3

2
iz

w

z i




 thì phương trình:

2 3 4 0

w  w 

Biệt thức   9 16 25 nên 3 5

w  suy ra w 1 hay w 4

Với w 1, ta có 3 1 1 5

2 2

iz i

z

z i

  

  

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Vớiw 4, ta có 3 4 4 35

2 17

iz i

z

z i

 

  



Bài toán 10.23: Giải các phương trình và biểu diễn tập nghiệm:
a) z 4 16 0

 b) 8z48z3  z 1

Hướng dẫn giải
a) Ta có z4 16 0 



z2 4

 

z2 4



0



z 2

 

z 2





z2 4



0 z1,2 2

       hay z3,4 2i

Vậy phương trình có 4 nghiệm được biểu diễn bởi 4 điểm A, B, C, D tạo thành hình vng ở hình 1.

b) 8z48z3  z 1



z1 8





z3 1



0



z 1 2

 

z 1 4





z2 2z 1



     



z 1 2

 

z 1



    hay 4z2 2z 1 0

  

Nghiệm của z  1 0 là z 1 1, nghiệm của 2z  1 0 là 2

1
2
z 

Nghiệm của

2 1 3

4 2 1 0 2 0

2 4

z  z    z   

  là 3

1 3

4 4

z   i và 4 1 3

4 4

z   i. Vậy phương

trình đã cho có bốn nghiệm được biểu diễn bởi 4 điểm A, B, C, D tạo thành hình thoi ở hình 2.

Bài tốn 10.24: Giải phương trình nghiệm phức:



z 1



n



z 1



n 0,n *

      .

Hướng dẫn giải
Phương trình tương đương:



z1



n 



z 1



n,

vì z 1 khơng thể là nghiệm, do đó ta có thể viết: 1 1
1

n

z
z



 



 



 

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

2 2

cos sin

m

m m

i

n n





 

Phương trình trên trở thành: 1

1 m

z






 với m0,1,...,n 1





1 m 1

z



z

    với m0,1,...,n 1

1
1

m
m

z





 

  với 1, 2,..., 1 cot

 

m

m n z i

n



    

(Vì m 0



0  1 z không xác định nên ta loại bỏ



0)
Vậy phương trình có n 1 nghiệm: z icotm

n



 với m1, 2,...,n 1.

Bài toán 10.25: Giải các hệ phương trình nghiệm phức:

a) 3 3 4

7 28

z w i

z w i

  




  



 

3 5
4
2

0 1

1 2

z w

z w

  









Hướng dẫn giải
a) Ta có z w  4 i

Và z3w3  7 28i



z w

 



z w



2 3zw



 7 28i





2 3 7 28 5 5

4
i

i zw zw i

i


     



Vì z w  4 i nên w  4 i z.

Thế vào thì có phương trình z2



4 i z



 5 5i 0

Ta có:   5 12i 



2 3 i



2. Suy ra z 3 i hoặc z 1 2i

Vậy



z w,

 

 3i;1 2 , ; i

 

z w

 

 1 2 ;3i i



b) Từ (2) suy ra z w6

 

12 1

 . Từ (1) suy ra z6 w10

Do đó: w10

 

w 12 1

 nên w 22 1 tức là w 1

Suy ra z6 w10 1 tức là z 1. Từ w 1

w

 và w10

 

w 12 1

 suy ra

 

w 2 1 nên w bằng 1 hoặc bằng

−1.

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Mà (1): z3 w5 0

  nên: z 1 w1 và z 1 w1.

Vậy hệ có hai nghiệm



z w,



là:



1; 1



và



1;1



Bài tốn 10.26: Giải hệ phương trình:





2 10

2 20

3 1 30

x iy z

x y iz

ix iy i z

   



  



    



1
1

3
1
2

z
z i

z i

i

 



 






 

 



Hướng dẫn giải

a) Ta có:









2 10 2 10

2 20 2 20

3 1 30 3 1 30

x iy z x iy z

x y iz x y iz

ix iy i z x y i z i

       

 

      

 

         

 

Khử x ta có hệ:













1 2 1 10

4 1 20 30

i y i z

y i z i

    




   




Từ đó có x 3 11i. Vậy hệ có nghiệm:

3 11
3 9
1 7

x i

y i

z i

 



 


  


b) Ngoài cách giải đại số, bằng cách viết z x yi x y, ,



 



rồi tính tốn. Ta có cách giải hình học biểu
diễn như sau:

Ta có tập hợp các điểm M của mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn 0

0 1

1
z z

z z z z

z z


    



là đường trung trực của đoạn thẳng A A0 1 với A A0, 1 theo thứ tự biểu diễn số phức z z0, 1.
Do đó z 1 1

z i




 nên điểm M biểu diễn số z x yi, với x y  , phải nằm trên đường phân giác

y x .

Còn điều kiện z 3i 1

z i




 chứng tỏ phần ảo của z bằng 1. Vậy z 1 i.

Bài toán 10.27: Khơng giải phương trình z2



2 i z



3 5i 0

     . Hãy tính: z12z z22, 14z24.
Hướng dẫn giải

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>













4 4 2 2 2 2

1 2 1 2 2 1 2 3 14 2 3 5

z z  z z  z z    i   i

155 24i

 

Bài toán 10.27: Cho các số phức z z1, 2 thõa mãn điều kiện

1 2 1 2 0

z  z z z  . Tính

2 4

1 2

2 1

z z

T

z z

   

   

   

Hướng dẫn giải

Đặt 1
2

z
w

z  ta được z w z2  2 z w2 z2 0
Hay w 1w 1

Giả sử w a bi a b 



,  



Khi đó ta có



1



2 2 2 2 1 1, 3

2 2

a b a b   a b

- Với 1 3 cos sin

2 2 3 3

w  i



i



thì 4 cos4 sin4

3 3

w 



i



và

1 4 4

cos sin

3 i 3

w



 

 

 

 

Do đó

2 4 4

1 2

2 1

1 4

2cos 1

z z

T w

z z w



     

        

 

   

- Với 1 3

2 2

w  i, tương tự

2 4 4

1 2

2 1

z z

T w

z z w

     

       

 

   

Bài toán 10.29: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng điều
kiện sau:

a) z 2 3i 4 b) z i 1

z i





Hướng dẫn giải
a) Giả sử: z x yi x y, ,



 



Ta có: z 2 3i  4



x2

 

 y 3



i2 4



x 2





y 3



2 16

    

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

b) Giả sử: z x yi x y, ,



 



, ta có:









1 1 1

z i

z i z i x y i x y i

z i


          











2 1 2 1 0

x y x y y

       

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là trục thực Ox.

Bài tốn 10.30: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn từng điều kiện:

a) 2 z i  z z2i b) z2

 

zz 2 4

Hướng dẫn giải
a) Gọi z x yi x y, ,  . Ta có: 2 z i  z z2i

















2 x y 1 i 2 y 1 i x y 1 y 1

         

4
x
y

  . Vậy tập hợp cần tìm là parabol

4
x
y 

b) Gọi z x yi x y, ,  . Ta có: z2

 

z 2  4 4xyi 4

1 1

xy xy

    hoặc xy 1.

Vậy tập hợp cần tìm là hai hyperbol y 1
x

 và y 1

x

 .

Bài toán 10.31: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng điều
kiện sau:

a) z là các căn bậc hai của a i a , thay đổi

b) 2

2
z
z


 có một acgumen bằng 3



Hướng dẫn giải
a) Viết z x yi x y



,  



thì

2 2
2

2 2

1
2

2 1

y

x y a

z a i x

xy

x y a




   

     



   



Do đó, điểm M biểu diễn z phải thuộc hyperbol 1

2
y

x

 . Vì với mỗi điểm



x y,



của hyperbol này, tìm

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn căn bậc hai là hyperbol 1

2
y

x

 .

b) Ta có số phức 2 2. 2 4 2



2



2 2 2 2

zz z z

z z z

z z z z

  

  

 

    có một acgumen bằng 3



khi và chỉ khi









4 2 1 3

zz  z z  i ,  là số thực dương.

Viết z x yi x y



,  



thì: z z.  4 2



z z



x2 y2 4 4 yi nên zz 4 2



z z







1i 3



,
(0).





2 2 4 4 3 0

x y yi i

       









2 2

4 0

4 4 3, 0

4 3

x y

y x y y

y

    



      





 



Mà: 4y



x2 y2 4



2 2 16

0
3
3

x y 

     

 

Vậy M chạy trên cung trịn có tâm là điểm biểu diễn 2

3i và có bán kính bằng
4

3 nằm ở phía trên trục

thực.

Bài tốn 10.32: Chứng minh rằng:

a) Nếu z là một căn bậc hai của số phức w thì w z

b) Nếu z1 khác z2: z1 z2 khi và chỉ khi

1 2
1 2

z z



 là số ảo.

Hướng dẫn giải
a) Nếu z là một căn bậc hai của w thì z2 w



Nên z2 z2 w . Vậy: z  z2  w

b) Với điều kiện 1 2 1 2
1 2

,z z

z z




 là số ảo

1 2 1 2
1 2 1 2

z z z z

 

 

   

   



z1 z2

 

z1 z2

 

z1 z2

 

z1 z2



      



1 1 2 2



1 2

2 z z z z 0 z z

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Bài tốn 10.33: Tìm số ngun dương n:
a) zn là số thực, số ảo với số phức z 3 i

 

b) Nhỏ nhất sao cho 1 3

1 3

n

i
z

i

  

 



 

là số thực và

2
2

5
2 3

n

i
z

i





 

 



  là số ảo.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: 3 2 cos sin

6 6

z  i 



i





 

Áp dụng cơng thức Moivre thì 2 cos sin

6 6

n n n n

z  



i





 

n

z là số thực 6 , *

n

k n k k



     

n

z là số ảo



2 1



3 2



1 ,



6 2

n

k n k k



       

b) Ta có: 3 3 1 cos sin

2 2 6 6

1 3

i

i i

i





   



nên 1 3 cos sin cos sin

6 6 6 6

1 3

n n

i n n

z i i

i



    

      

  

 

z là số thực sin 0 6

6
n

n k



    , với k nguyên dương.

Ta có 5 1 2 cos sin

2 3 4 4

i

i i

i



  

     

   nên

2
2

5
2 3

n

i
z

i





 

 



 









2 2 2

2 cos sin 2 cos sin

4 4 4 4

n

n n n

i



i



     

  

       

 

   

z là số ảo cos





0 2 4 2

4
n

n l





     

n l

  , với l ngun dương.

Bài tốn 10.34: Tính sin 4



và cos 4



theo các lũy thừa của sin



và cos
Hướng dẫn giải

Ta tính



cos



isin





4 theo 2 cách:

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

và



cos



isin





4 cos4



4 cos









isin





6 cos





 

i2sin2





4 cos









i3sin3





i4sin4







4 2 2 4 3 3

cos



6cos



sin



sin



4cos



sin



4cos sin



i

    

Từ đó có: cos 4 cos4 6cos2 sin2 sin4















3 3

sin 4



4cos



sin



 4cos sin



Bài toán 10.35: Cho zcos



isin

 



 



. Chứng minh rằng:

a) n 1 2cos ; n 1 2 .sin

n n

z n z i n

z



z



    với mọi số nguyên n 1.

b) cos4 1



cos 4 4cos 2 3 ,sin



5 1



sin 5 5sin 3 10sin



8 16



























Hướng dẫn giải
a) Ta có zcos



isin

 



 



nên n cos sin , 1 cos sin

n

z n i n n i n

z



    nên:

Do đó n 1 2cos , n 1 2 sin

n n

z n z i n

z



z



   

b) Khi n 1 ta có: z 1 2cos ,z 1 2 sini

z



z



   

1 1 1 1

cos ;sin

2 z z 2i z z



 



 

        

    nên

4 4 1 2 2

4 4

4 4 2

1 1 1 1 1

cos

2 z z 2 z z C z z C



           

   

   









1 1

2cos 4 4.2cos 2 6 cos 4 4cos 2 3



     

và

5 1 3 2

5 5

5 5 3

1 1 1 1 1 1

sin

2i z z i2 z z C z z C z z



         

             

       

   



51 52







1 1

2sin 5 2 sin 2 sin sin 5 5sin 3 10sin



C



C



     

Bài toán 10.37: Cho các số thực a, b sao cho sin 0
2
a



</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>













cos cos cos 2 ... cos

S  b a b  a b   na b













sin sin sin 2 ... sin

T  b a b  a b   na b

Hướng dẫn giải
Đặt



cosa i sin ,a



cosb i sinb thì:





























cos sin cos sin

cos 2 sin 2 cos sin

S iT b i b a b i a b

a b i a b na b i na b

         

          

   





2 ... n 1 2 ... n









         

1
1

n












 (để ý rằng



1 do sin2 0

a

 )









1 cos 1 sin 1

1 cos sin

n a i n a

a i a



   



 

1
sin

2 cos sin

2 2

sin
2
n

a na na

b i b

a


    

       

   

 . Từ đó suy ra:

1 1

sin sin

2 cos , 2 sin

2 2

sin sin

2 2

n n

a na a na

S b T b

a a

 

   

       

   

Bài tốn 10.38: Tính các tổng hữu hạn:
2 4 6

1 n n n ...

A  C C  C   và B C 1n Cn3Cn5 Cn7 ...

Hướng dẫn giải

Ta có:





1 2 3 4 5 6 7

1 1 ...

n

n k k

n n n n n n n n

k

i C i C i C C i C C i C C i



 



        





2 4 6 1 3 5 7

1 Cn Cn Cn ... i Cn Cn Cn Cn ...

           

A Bi

  . Mặt khác:



1



2 cos sin 2 /2 cos sin

4 4 4 4

n

n n n n

i  



i



 



i





        

   

 

Vậy 2 /2 cos

n n

A 





  và

2 sin

n n

B 





 .

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

4 8 1 1 /2

1 ... 2 2 cos

2 4

n n

n

C C  





      

 

1 5 9 ... 1 2 1 2 sin/2

2 4

n n

n n n

n

C C C  





      

 

Hướng dẫn giải

Ta có





1 2 3 4 5 6 7

1 n n k k 1 ...

n n n n n n n n

k

i C i C C C i C C i C C i



 



        









1 2 3 4 5 6 7

1 n n 1 n k k 1 ...

n n n n n n n n

k

i C i C i C C i C C i C C i



 



         

Và





0 1 2

2n 1 1 n n k ... n

n n n n n

k

C C C C C



  



    









0 1 2





0 1 1 1 ... 1

n

n n k n n

n n n n n

k

C C C C C



  



       .

Do đó 0 2 4 ... 1 3 5 ... 2n 1

n n n n n n

C C C C C C 

       

Suy ra 2



1 5 9 ...



2 1 2 cos/2
4

n n

n n n

n

C C C 



      đpcm.

Bài toán 10.40: Các vectơ u u , ' trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức z z, '. Chứng minh:

a) Tích vơ hướng u u . ' thỏa mãn: . ' 1



' '



u u   zz zz

b) Nếu u  0 thì u u , ' vng góc khi và chỉ khi z'

z là số ảo;

Hướng dẫn giải
a) Viết z x yi  , z' x' y i x y x y'



, , ', ' 



thì: u u . 'xx'yy'

và: zz'zz'



x yi x

 

'y i'

 

 x yi x

 

' y i'



2



xx'yy'



Nên: . ' 1



' '



u u   zz zz

b) u u . ' 0  zz'z z' 0 . Do ddos:

' ' ' ' '

. ' 0 z z 0 z z 0 z

u u

z z z z z

 

       

 

 

là số ảo.

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

a) Trọng tâm của tam giác ABC biểu diễn số phức nào?

b) Giả sử z1 z2 z3 . Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi:
1 2 3 0

z z z  .

Hướng dẫn giải

a) G là trọng tâm của tam giác ABC khi: 1





OG OA OB OC 

   

Vì OA OB OC  , , theo thứ tự biểu diễn z z z1, ,2 3 nên G biểu diễn số phức



1 2 3



3 z z z

b) Ba điểm A, B, C thuộc một đường tròn tâm O nên tam giác ABC là tam giác đều khi và chỉ khi trọng tâm G
của nó trùng với tâm đường trịn ngoại tiếp, tức G 0 hay z1z2z3 0.

Bài tốn 10.42: Giải hệ phương trình:

3 2

3 1

3 3

x xy

y x y

  




 




b) 22 5 22

4 21 10

x y xy

x y y x

  




   



Hướng dẫn giải
a) Điều kiện x2y2 0. Xét số phức z x yi x y, ,



 



thì:





3 3 3 2 3 2 3

z x  xy  x y y i

Hệ





3 2

3 2 2 3

3 2

3 1

3 3 1 3

3 3

x xy

x xy x y y i i

y x y

  



     



 




3 1 3 2 cos2 sin2

3 3

z i 



i





      

 

3 2 cos2 sin2 ; 2 cos3 8 sin8 ; 2 cos3 14 sin14

9 9 9 9 9 9

z 



i



 



i



 



i





          

     

Suy ra nghiệm hệ:

3 3 3

2 8 14

2 cos 2 cos 2 cos

9 9 9

2 8 14

2 sin 2 sin 2 sin

9 9 9

hay hay

x x x

y y y



  

  

  

  

     

  

  

b) Xét số phức z x yi x y, ,



 



thì z2 x2 y2 2xyi

   .

Hệ 22 5 22 2 22 5 2 0

4 21 10 10 4 21 0

x y xy xy x y

x y y x x y x y

      

 



 

        

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>



x2 y2 10x 4y 21



2



xy 2x 5y 2



i 0

         



x2 y2 2xyi





10 4i x yi

 



21 4i 0

        





2 2 5 2 21 4 0

z i z i

     



5 2 2

 

2 2 2



z i

     hay z



5 2 2

 

 2 2 2



i

Suy ra nghiệm hệ phương trình: 5 2 2

2 2 2
x

y
  




 




hay 5 2 2

2 2 2
x

y
  



 



Bài tốn 10.43: Phân tích thành

a) Nhân tử bậc nhất của: f x

 

cos



narccosx



b) Tổng các phần tử đơn của:

 

2
4 1

x
P x

x




Hướng dẫn giải

 

cos



arccos



0 arccos cos2 1

2 2

k

f x n x n x k x

n







      .

Theo định nghĩa hàm số lượng giác ngược

2 1

2
k

n





 

  

  hay

1 1

2 k n 2

    tức là k0,1.,,,.n 1

 





0 0

0 1

2 1 2 1

cos arccos cos cos

2 2

n n

k k

f x n x a x a x

n



n





 

 

   

       

   



Đặt arccos x v thì từ cơng thức MOIVRE ta có:













2 2 2 4 4 4

2 2 2 4 4 2

cos cos cos sin cos sin ... ...

1 1 ...

n n

n n n

n n

nv nv C n v v C n v v

x C x x C x x

 

   

     

Nên hệ số cao nhất 0 1 2 4 ... n 2n 1

n n n

a C C C 

      .

Vậy:





2 1

cos arccos 2n n cos

k

n x x

n








 

   

 



b) Ta có:

 



 





 



2 2 2

4 1 2 1 2 1 1 1

x x x

P x

x x x x x x i x i

  

      

Áp dụng công thức nội suy Lagrăng cho f x

 

x2

 và 4 số

 





1 1, 2 1; 3 , 4 ,

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

 

  



4
1 '

i

i i i

f x
f x

x x x x













Do đó

 

















1 1

4 1 4 1 4 4

i i

P x

x x x i x i

   

    trên C x

 













1 1 1

4 x 1 4 x 1 2 x 1

  

   trên R x

 

Bài toán 10.44: Chứng minh:
a) x3m x3 1n x3p2 x2 x 1

     với m, n, p nguyên dương.

b) f x

 

xka1 xka21...xkak k 1 chia hết cho:

 

k 1 k 2 ... 1

g x x  x 

    .

Hướng dẫn giải

a) Để chứng minh đa thức f x

 

chia hết cho đa thức g x

 

, ta chỉ cần chứng minh mọi nghiệm của g x

 

đều là nghiệm của f x

 

Nếu gọi w là nghiệm của x2 x 1

  thì w2w 1 0

hay w2 w 1

  nên w3 w2 w w  1 w1

Thay w vào đa thức thứ nhất ta có: w3m w3 1n w3p2 1 w w2 0

     

Vậy w cũng là nghiệm của đa thức x2 x 1

  (đpcm).

b) Gọi



là nghiệm của g x

 

, ta có:

 

k 1 k 2 ... 1 0

g









     nên



chính là các giá trị của căn bậc k của đơn vị, nghĩa là ta có k 1



 .

Do đó

 

ka1 ka2 1 ... kak k 1 1 ... k 1 0

f











  



    







 

Vì vậy, mọi nghiệm của g x

 

đều là nghiệm của f x

 

nên f x g x

 



 

(đpcm).

Bài toán 10.45: Cho n là số nguyên dương đa và đa thức P x

 

với các hệ số thực như sau

  







2n 2



3 2



n

P x m x x  m x

     . Tìm tất cả các giá trị thực m để x2 x 1|P x

 

.
Hướng dẫn giải

Xét x2   x 1 0 x



 

, 2



. Khi đó

  







2n 2



3 2



n





4n 6



3 2



n

P



 m

 

   m



 m



  m





m 1



n



3m 2



n



4m 1



n



</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

Theo giả thiết, suy ra

 

0 1
4

P



  m .

Bài tốn 10.46: Tìm tất cả các đa thức p x

 

Z x

 

là monic bậc hai sao cho tồn tại đa thức q x

 

Z x

 

mà
các hệ số của đa thức r x

 

p x q x

   

đều thuộc



1;1



Hướng dẫn giải
Dễ thấy p x

 

x2 ax 1

   , với a  . Giả sử

 

1 1 ... 1 0,



1;1 ,



0,1,...,

n n

n n i

r x a x a x  a x a a i n



       

Gọi z là một nghiệm phức của r x

 

và z 1 thì ta có

1 1 1 1

0 0 0 0

1
1

n

n n n n

n n i i i i i i

i n i n i i

z

a a

z z z z z z

a a z

   

   



      





Suy ra zn



z 1



zn  1 zn



z  2



 1 z 2.

Vậy mọi nghiệm của r x

 

đều có mơđun nhỏ hơn 2. Từ đó nếu gọi z z1, 2 là các nghiệm của p x

 

thì ta

có z 1 2, z 2 2, ngoài ra ta cịn có z z1 2 z z1 2 1 .

Khơng mất tính tổng qt ta giả sử z1 z2  1z1 2,0 z2 1.
Ta lại có:





1 2 1 2 1 2 3 2; 1;0;1;2

a z z z  z     a  

Với a 0, ta có q x

 

 x 1.

Với a 1, ta có q x 

 

Với a 2. Kiểm tra p x

 

x2 2x 1

   thì sẽ có q x

 

 x 1, còn với p x

 

x2 2x 1

   thì khơng
thỏa mãn vì có một nghiệm có mơđun lớn hơn 2.

Vậy có 8 đáp số của p x

 

là x2 1,x2 x 1,x2 2x 1

     .

Bài toán 10.47: Cho đa thức P x

 

rx3qx2 px1 trong đó p q r, , là các số thực với r 0.

Xét dãy số

 

0 1 2

: 1; ,

n

a a  a  p a p  q





3 2 1 0

n n n n

a   pa   qa   ra n

Chứng minh rằng nếu đa thức P x

 

chỉ có duy nhất một nghiệm thực và khơng có nghiệm bội thì dãy

 

an

có vơ số số âm.

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

Từ điều kiện đề bài suy ra phương trình đặc trưng của phương trình sai phân x3 px2qx r 0 có 1

nghiệm thực âm và hai nghiệm phức liên hợp.

Giả sử ba nghiệm đó là a R,



cos



isin





,R



cos



 isin





với a0,R0, 0







thì













1 2 cos sin 3 cos sin

n n n n n

n

a C a C R



i



C R



 i



trong đó C C C1, 2, 3 là các hằng số nào
đó, C C2, 3 là các số phức liên hợp.

Đặt C2 R* cos





isin





với







0;2





, ta có







 





 











*
1

* cos sin cos sin

cos sin cos sin

2 * cos

n n

n

n n

a C a R R i n i n

R n i n

C a R R n















    

  

   

Giả sử ngược lại tồn tại n sao cho a n 0 với mọi n n 0.
Khi đó ta có 0an1aan

















2R Rn * cos n 1 a R R2 n * cos n











    

















2R Rn * Rcos n 1 acos n









    





2R R Cn *. .cos n





  (C 0, *



0;2





  ) với mọi n n 0.
Điều này khơng xảy ra vì 0    nên tồn tại vô số n sao cho:

* 2 ,3 2

2 2

n











k



 k





 

3. BÀI LUYỆN TẬP

Bài tập 10.1: Tính: a) 1 tan

1 tan

i x



 b)









9
7

i
i




Hướng dẫn
a) Nhân số phức liên hiệp của mẫu. Kết quả cos 2x i sin 2x

b) Kết quả 2.

Bài tập 10.2: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức:

1
z i
iz



 với số phức





,
z x iy x y 

b) z 1 1



i 3

 

 1i 3



2...



1i 3



2017

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

a) Tính trực tiếp. Kết quả





2
1
xy

x y



  và





2 2
2
2

1
1

y x

x y

 

 

b) Dùng tổng n số hạng của cấp số nhân 1

1
1

n
n

q

S u

q





và tách lũy thừa về



1i 3



3 8.

Bài tập 10.3: Cho z x yi x y, ,



 



Chứng minh z 2 a b . Khi nào thì đẳng thức xảy ra.

Hướng dẫn
Tính trực tiếp. Kết quả ba.

Bài tập 10.4: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a) 



cos



isin





;cos



 isin



b) sin



icos ;sin



 icos



Hướng dẫn
a) Dùng định nghĩa lượng giác và công thức lượng giác.

Kết quả cos











isin











;cos









isin









b) Kết quả cos sin ;cos sin

2 i 2 2 i 2





       

     

       

       

Bài tập 10.5: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện sau, tìm các số có acgumen dương nhỏ nhất.

a) z 1 i 1 b) z 5i 3

Hướng dẫn
a) Gọi z x yi x y, ,



 



và tìm tập điểm thỏa mãn.

Kết quả z i

b) Kết quả 12 16

5  5 i

Bài tập 10.6: Giải phương trình trong tập số phức:
a) z2



1 3i z



2 1



i



0

     b) 3z4 5z3 3z2 4z 2 0

    

Hướng dẫn
a) Lập . Kết quả 2 , 1i  i.

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Kết quả 1 ;1 ; 1 13; 13 1

6 6

i i  

  

Bài tập 10.7: Xác định tập điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn

a) 1

z i là số ảo b) z i 2  z i 9

Hướng dẫn

a) Gọi z x yi x y, ,



 



và tính trực tiếp 1

z i .

Kết quả trục ảo Oy trừ I



0;1



b) Gọi z x yi x y, ,



 



và biến đổi tương đương. Kết quả Elip
Bài tập 10.8: Chứng minh rằng:

a) Nếu phương trình n 1 n1 ... 2 2 1 0 0

n n

a z a z  a z a z a



      với các hệ số thực có nghiệm phức là z0 thì z0
cũng là nghiệm của phương trình.

b) A, B, C, D biểu diễn theo thứ tự các số:    1 ; 1 ;2 ;2 2i i i  i cùng nằm trên một đường tròn.
Hướng dẫn

a) Dùng định nghĩa nghiệm và số phức liên hiệp

b) Lập phương trình đường trịn qua A, B, C và thử tọa độ D.

Hay nhận xét AC và AD, BA và BD vng góc nhau nên thuộc đường trịn đường kính CD.
Bài tập 10.9: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện:

a) z 4 1 b) 2

 

z  z  và 1 1

3
z
z





Hướng dẫn
a) z4 1 z4 i2 z2 i

     hay z2 i .

Kết quả 2





2 i và





2
1

2  i .

b) Kết quả z1 2 1



i



và z2 2 1



 i



Bài tập 10.10: Chứng minh rằng đa thức P z

 

là hàm số chẵn của z   khi và chỉ khi tồn tại Q z

 

thỏa
mãn: P x

 

Q z Q

  

 z z



,  .

Hướng dẫn

Chứng minh bằng quy nạp theo m là số nghiệm khác 0 của đa thức P z

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Chuyên đề 10 - Số phức và ứng dụng - Lê Hoành Phò - File word | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

<b>CHUYÊN ĐỀ 10 - SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG</b>

<b>1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM</b>















 

 

 





 

 

 





 

 

 

























































 

 









 

 

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>









<sub></sub>





<sub></sub>





<sub></sub>





<sub></sub>





