Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Chuyên đề 9 - Ứng dụng tích phân - Lê Hoành Phò - File word | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (455.13 KB, 19 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

CHUYÊN ĐỀ 9 - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Diện tích hình thang cong:

Cho hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số yf x

 

, trục hoành và hai
đường thẳng x a , x b (a b ). Giả sử f là hàm số liên tục và nhận giá
trị dương trên đoạn



a b;



. Diện tích S của hình thang cong đó là:

 

S F b  F a .

Diện tích hình phẳng

Từ định nghĩa tích phân, với yf x

 

0 và liên tục trên đoạn



a b;



thì diện

tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị yf x

 

, trục hoành và 2 đường

thẳng x a x b ,  là:

 

b

a

S 



f x dx.

Tương tự, diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị x g y

 

, trục tung

và 2 đường thẳng y c , y d là:

 

d
y

c

S 



g y dy.

Mở rộng cho yf x

 

bất kỳ liên tục trên đoạn



a b;



thì diện tích giới hạn như trên là:

 

b

a

S 



f x dx

Đối với 2 đồ thị yf x y g x

 

, 

 

liên tục trên đoạn



a b;



thì diện tích giới hạn bởi 2 đồ thị đó và 2 đường
thẳng x a , x b là:

 

b

a

S 



f x  g x dx

Chú ý:

- Xác định theo định nghĩa gồm 1 hàm yf x

 

và trục Ox, nếu chưa có hai biên thì phải tìm hồnh độ giao
điểm.

- Xác định theo đồ thị thì phải đánh dấu miền diện tích giới hạn các biên. Phá dấu giá trị tuyệt đối thì xét dấu,
chia miền so sánh hoặc dùng đồ thị trên dưới.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Thể tích khối trịn xoay

Thể tích vật thể tổng qt

 

b

a

V 



S x dx

Thể tích khối trịn xoay: Khi quay hình phẳng giới hạn bởi

 

, 0

yf x y  (trục hoành) và x a x b ,  quanh trục hoành:

b

a

V 





y dx

Tương tự, nếu quay quanh trục Oy hình phẳng giới hạn bởi x g y x

 

, 0 và y c y d ,  thì có thể tích:

d

c

V 





x dy.

Chú ý:

- Xác định theo cơng thức hình giới hạn bởi 1 hàm yf x

 

và trục Ox khi quay quanh trục Ox, nếu chưa có
hai biên thì phải tìm hồnh độ giao điểm.

- Xác định hình theo đồ thị thì phải đánh dấu miền diện tích giới hạn các biên.

- Ngồi cách tính trực tiếp thì ta có thể chai ra nhiều phần thể tích để tính tổng thể tích khối trịn xoay, liaasy thể
tích lớn trừ bớt phần dư, dựa vào tính đối xứng để tính gọn.

2. CÁC BÀI TỐN

Bài tốn 9.1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số: y



x 2



e2x

  , trục hoành và 2 đường
thẳng x0,x3.

Hướng dẫn giải









 

3 3

2 2

0 0

2 2

x x

S 



x e dx



x d e

















3 3

2 2 6 6 6

0 0

1 1 1 1 3

2 5 2 1 3 1

2 2 2 4 4

x x

x e e dx e e e

  



      (đvdt).

Bài tốn 9.2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số:



 



yx x x và trục hoành.

Hướng dẫn giải

0 1, 0, 2

y  x x x



 



1 2

S x x x dx



</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>









0 2

3 2 3 2

1 0

2 2

x x x dx x x x dx







  



  

37
12

 (đvdt).

Bài tập 9.3: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

 

C của hàm số:

2 10 12

x x

y

x

 



 và trục hoành.

Hướng dẫn giải

0 1, 6

y  x x

Diện tích hình phẳng S cần tìm là:
6 2

2 10 12

x x

S dx

x



 







16
14 2

x dx

x



 

    



 







14x x 16ln x 2 63 16ln8



      (đvdt)

Bài tốn 9.4: Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số:
2 1

yx  và y 5 x .

Hướng dẫn giải
Do tính đối xứng nên





2 5 1

S 



 x  x  dx









1 3

2 2

0 1

2 5 x 1 x dx 5 x x 1 dx

         







1 3

3 2 3 2

0 1

1 1 1 1 73

4 6

3x 2x x 3x 2x x 3

    

          

   

 

 

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Bài toán 9.5: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: x 4 4y2 và x 1 y4.
Hướng dẫn giải

Do tính đối xứng nên S 2



S1 S2







4 1 1

2 0

2 2 1

x

dx x dx



 

    

 



16 8 56

3 5 15

   (đvdt).

Cách khác:



 



4 4

2 4 1

S 



 y   y dy

Bài toán 9.6: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: y2 2 ,px x2 2py p



0



   .

Hướng dẫn giải
Hoành độ giao điểm:

2
2

2 0, 2

x

px x x p

p

 

   

 

 

2 2

4
2

2 3

p

x

S px dx p

p

 

    

 



(đvdt)

Bài tốn 9.7: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
2 3

y x và y2 



2 x



Hướng dẫn giải

Tọa độ giao điểm của hai đường cong là nghiệm của hệ phương trình:





2 3

3
2

y x

 




 








3 2 1, 1

x x x y

     

Nhánh nằm trên trục hoành của hai đường cong tương ứng là xy23 và

2
3

y  y

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

1 2 2
3 3

2 2

S    y  y dy 

 



(đvdt).

Bài tốn 9.8: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y



x 1 3 4



3 x

   và trục
hồnh.

Hướng dẫn giải

Ta có:





1 3 4 0 4

x

y x x

x





    





Với 3;1



1 3 4



3 0

x   x  x 

 

Diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số



1 3 4



y x  x và Ox:





3
4

1 3 4

S 



x  xdx

Đặt 33 4 1



3 3



x t x t

     nên 3 2

dx  t dt.

Khi 3 0; 1 1

x  t  x  t  .





0
0

3 3 4 7

1 1

3 3 1 1 9

16 16 4 7 448

S t t dt t t

 

 

      

 



(đvdt).

Bài tốn 9.9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 2x x2

  và trục hoành.
Hướng dẫn giải

Cho 0 2 2 0 0

x

y x x x

x




     




Vì x 2x x2 0

  với mọi x 



0;2



nên diện tích giới hạn là:





2 2

2
2

0 0

2 1 1

S 



x x x dx 



x  x dx

Đặt 1 sin , ;

2 2

x  u u 

 



  thì dx cosudu.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>









2 2 2

2 2

2 2 2

1 sin cos .cos cos cos cos

S u u udu udu u d u

  

  





 







2 2 2

2 2

1 cos 2 1 sin 2

cos 0

2 3 2 4 2

u u u

du u

  

 



 



  

      

 



Vậy
2

S 



(đvdt).

Bài tốn 9.10: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số

 

3 3

x x

f x   và

 

3 3

x x

g x  

Hướng dẫn giải
Phương trình hồnh độ giao điểm

 

3 4 2 2

3 3 3 3

x x x x

f x g x    





1 2 3

6 0

2, 0, 3

x x x

x x x

   

   

Do đó:

 

3 0 3

2 2 0

S f x g x dx f x f x dx g x f x dx

 





  



    



  

0 3 2 3 3 2

2 0

6 6 16 21 253

3 3 9 4 36

x x x x x x

dx dx



   









   (đvdt).

Bài tốn 9.11: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số yx y, 1 và

x

y  trong miền

0, 1

x y .

Hướng dẫn giải

Với x0,0 y 1 thì xy x, 2 y





S 



y y dy

1
3

2
2

4 1 5

3 y 2y 6

 

   

 

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Bài tốn 9.12: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y x 2, y4x 4 và y4x 4.
Hướng dẫn giải

Hai đường thẳng y4x 4, y4x 4 là 2 tiếp tuyến của

 

P y: x2











0 2

2 2

2 0

4 4 4 4

S x x dx x x dx







  



 

8 8 16

3 3 3

   (đvdt).

Bài tốn 9.13: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị:
3

x
y  và

x
y

x




Hướng dẫn giải

Phương trình hồnh độ giao điểm

1 0

4 1 3 0

x x

x

x x x

 

 

    



    

Với x 



0;3



thì

4 1

x x

x



 . Diện tích hình giới hạn là

3 2 3 2

0 0

3 3

4 1 4 1

x x x x

S dx dx

x x

 

     

   



3 3 2 3

0 0 0

3 3 1

4 1 8 1

x x

dx dx x x dx

x x

 

       

   



3
2

0
0

27 1 15

ln 1 2ln 2

8 2x x x 8

 

        

  (đvdt)

Bài tốn 9.14: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
2
1,

x

y e y

e

  

 và x ln 3
Hướng dẫn giải

Phương trình hồnh độ giao điểm của hai đường cong:

1 1 2 1 0

x x x

x

e e e x

e

        



Ta có 1 2 2 ;



0;ln 3



x

e x

e

    

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

ln 3

2
1

x

S e dx

e

 

    



 



Đặt 2

2
1

2 1

x
x

x

e dx tdt

t e dt dx

t
e

     




Khi x 0 t  2;xln 3 2.

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2 2 1 1

. 2

1 1 1 1

tdt

S t dt t dt

t t t t t

     

            

   

     





2t lnt 1 lnt 1



22 4 2 2 ln 9 6 2





         (đvdt)

Bài toán 9.15: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị: y x2 2x

  và 2 tiếp tuyến qua B



2; 9



.
Hướng dẫn giải

Hai tiếp tuyến qua B là:

4 1

y x có tiếp điểm E 



1;3



8 25

y x có tiếp điểm F



5;15











2 5

2 2

1 2

2 4 1 2 8 25 18

S S S x x x dx x x x dx



   

  



      



     

Bài tốn 9.16: Tính diện tích của hình Elip (E) có phương trình đường biên:

 

2 2

: x y 1

E

a  b  .

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Ta có

2 2

2 2
2 2 1

x y b

y a x

a b   a 

Phương trình của

 

E trong góc phần tư thứ I là: y b a2 x2
a

  . Theo tính đối xứng thì

2 2
1

4
4

a

b

S S a x dx

a

 





Đặt: x a sint, với 0 cos .

t



dx a t dt

   

Đổi cận: 0 0;

x  t  x a  t 



. Khi đó:

/2 /2 /2

2 2 2 2

0 0 0

4 sin .cos 4 cos .cos 4 cos

S ab a a t tdt ab t tdt ab tdt

  





 











/2
/2

0 0

2 1 cos 2 2 sin 2

ab t dt ab t t ab






 

      

 



(đvdt)

Đặc biệt: khi a b R  thì có diện tích hình trịn



R2

Bài tốn 9.17: Cho elip với PT: 
2

1
4

x
y

  và điểm 1; 3
2

A 

 

nằm trên elip. Gọi d là tiếp tuyến với elip tại

A. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng d, trục hoành và đường elip.

Hướng dẫn giải

Phương trình tiếp tuyến d là 3 1

4 2

x

y

  .

d cắt Ox tại B



4;0



. Hạ AK vng góc với trục hồnh.

Ta có 3; 3
2

AK  KB nên 3 3
4

AKB

S 

Diện tích tam giác cong AKC là

2
0

1
4
2

S 



 x dx

Đổi biến x2sint thì dx2costdt

Ta được
2

2
0

3
2cos

3 4

S tdt



</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Vậy 0 3
3

AKB

S S  S  



(đvdt).

Bài toán 9.19: Cho

 

P : yx2 và đường thẳng d qua A



1;3



có hệ số góc k. Tìm k để diện tích hình phẳng

giới hạn bởi d và

 

P có diện tích nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải





: 1 3

d y k x  

PT hoành độ giao điểm: x2 k x



1



3

  

2 30

x  kx k  

2 4 12 0,

k k k

     

Gọi 2 nghiệm x x1, 2 thì:









1 3

x

S 



k x   x dx

















3
3

2 2 2 2

2 1

1 1

3 4 12 4 12

2 3 6 6

x

k x

x k x x x k k k k

 

           

 





3
2 2

1 2 2

2 8

6 k  3

   

  nên min S khi k 2.

Bài toán 9.20: Một hình phẳng được giới hạn bởi y f x

 

ex,y 0,x 0

    và x 1. Ta chia đoạn



0;1



thành n phần bằng nhau tạo thành một hình bậc thang có tổng diện tích Sn. Chứng minh

 

limSn 



f x dx

Hướng dẫn giải

Ta có





1 21 1 1

1 1

1
1

1 1 1

...

1 1

n

n n n n

n

n n

e

e n

S e e e e

n n

e e




  



  

       

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Do đó nlim Sn 1 e 1


    và

x

e dx e

  



đpcm.

Bài tốn 9.21: Tính thể tích của vật thể:

a) Giữa hai mặt phẳng: x0,x2 và thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại
điểm có hồnh độ x (0 x 2) là một nửa hình trịn đường kính 5x2.

b) Mỗi thiết diện vng góc với trục Ox là một hình vng có đáy là một tam giác cho bởi yx y, 0 và
1

x  .

Hướng dẫn giải

a) Ta có



 



2 4 5

0 0

8 8

b

a

x x

V 





f x dx





dx







(đvtt)

b) Thiết diện tại x 



0;1



là hình vng cạnh bằng x có diện tích S x

 

x2.

Vậy

 

1 1

0 0

1
3

V 



S x dx



x dx (đvtt).

Bài toán 9.22: Tính thể tích của khối trịn xoay tạo thành khi quay hình phẳng quanh Ox, giới hạn bởi các

đường ycos ,x y0,x0 và
4

x



Hướng dẫn giải









/4 /4

0 0 0

2
1

cos 1 cos 2 sin 2

2 2 2 8

V xdx x dx x x



 

 



  

       

 



(đvtt).

Bài tốn 9.23: Tính thể tích của khối trịn xoay tạo thành khi quay hình phẳng quanh Ox:

a) Giới hạn bởi các đường 2, 0, 0

x

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

b) Giới hạn bởi các đường 0, 2 9 2
3

y y  x

Hướng dẫn giải

 





1 1 1

2 2 2

0 0 0

x x x x

V 





x e dx





x d e 



x e 





xe dx





1
1

0
0

2 x x 1

e xe e dx e



 



     







(đvtt).

b) Do tính đối xứng của hình phẳng qua trục tung nên:









3
3

2 3

0 0

4 8 1 8

2 9 9 27 9 16

9 9 3 9

V 



 x dx



 x x  



 



 



Bài tốn 9.24: Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
3

1 2 . x

y  x e và các trục tọa độ, quanh trục hồnh.

Hướng dẫn giải

Cho y 0 thì 1 2 . 3 0 1
2

x

y  x e   x .

Vì 1 2 .x e3x 0

  , với mọi 1;0
2

x   

  nên thể tích khối trịn xoay là:





1
2

1 2 x

V



x e dx









Đặt u 1 2 ,x dv e dx6x

   . Khi đó 2 , 1 6
6

x

du dx v e .

Ta có:









0
0 0

6 6 3

3
1 1

1
2 2

1 2 1 1 1 1 1

6 3 6 17 9 18

x x

x

V e e dx e

e







 



 

  

   

 

         

     

 

 



Vậy 1 13

9 18

V

e



 

   

  (đvtt).

Bài tốn 9.25: Tính thể tích của khối trịn xoay tạo thành khi quay hình phẳng quanh Ox:

a) Giới hạn bởi 2 , sin , 0;
2

y x y x x



 

    

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

b) Giới hạn bởi: yx2 3x3,y x ,0 x 3

Hướng dẫn giải
a) V V V 1 2

/2 2

2
0

sin x x dx



 

   

 



2 2 2

4 6 12







   (đvtt)

b) V 



V V1 2

 

 V3 V4















1 3

2 2

2 2 2 2

0 1

3 3 3 3

x x x dx x x x dx







   



  

7 64 233

2 15 30



   (đvtt)

Bài tốn 9.26: Tính thể tích khối trịn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi

đồ thị

 

:
1

x

C y

x



 trục Ox và các đường thẳng x2,x4 khi quay quanh trục Ox.
Hướng dẫn giải





4 2

2
2 1

x

V dx

x












2
2

2 1

1
1

x

dx
x



  

   

  

 











2 2

2 2 1

1 1

x

dx

x x



  

    

   

 







4
2

1 8

ln 1 2 ln 3

1 3

x x

x



 



       



  (đvtt)

Bài tốn 9.27: Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

x
x

xe
y

e



</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Ta có 0
1
x
x
xe
y x
e
  


Do đó hình phẳng là hình thang cong được giới hạn bởi các đường cong , 0, 0
1

x
x

xe

y y x

e

  

 và

x 

Thể tích khối trịn xoay là





1 1

0 0 1

x
x

xe

V y dx dx

e



 




Đặt





x
x

e

u x dv dx

e

 

 . Khi đó

1
,

x

du dx v
e

 


Ta có:





1 1 1

0 0 0

1 1 1 1

x x

x x x

x

xe x dx e

dx dx

e e e e

e
 
 
      
     








1
1
0
0
1 1

ln 1 ln

1 1 2

x e e

x e

e e

 

     

 

Vậy thể tích khối trịn xoay là ln 1

1 2
e e
V
e



  
   


  (đvtt).

Bài tốn 9.28: Tính thể tích của khối trịn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
1 2 .3 x

y x 

  , y0,x1 xung quanh trục hồnh.

Hướng dẫn giải

Ta có 1 2 .3 0 1

x

y x  x

    

Thể tích khối trịn xoay là





1 1

2 2

1 1

2 2

1 2 3 x

V



y dx



x  dx

 











Đặt u 2x 1,dv 32xdx

   . Khi đó 2 ; 1 32

2ln 3

x

du dx v 

 

Ta có:









1 1

2 2 2

1 1

2 2

1 1

1 2 3 .3 1 2 3

2ln 3 ln 2

x x x

x  dx  x  dx


 
   



1
2

2 1 2

1 1 26 3ln 3

6ln 3 2ln 3 18ln 3

x



  

Vậy 26 3ln 32
18ln 3

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Bài tốn 9.29: Tính thể tích khối trịn xoay sinh ra khi quay hình phẳng quanh trục Oy:

a) Giới hạn bởi: y



2x1 ,



13 x0,y3

b) Giới hạn bởi: yln ,x y 0,x e .

Hướng dẫn giải









1 1

3 3 1

0 2 1 1, 2 1

y

x  y x  y x  x 





1 3 1

6 3

0 0

1 480

2 1

2 4 7

y

V 



   dy 



y  y  dy 



 



(đvtt).

b) x e y lnx 1,y lnx x ey

      





2 2
1 2

y

V V V  





e  e dy





2 2 2

. 1

2 2

y

e y e



e



 

     

  (đvtt).

Bài tốn 9.30: Tính thể tích khối trịn xoay sinh ra bởi hình phẳng quay

quanh Oy:

a) Giới hạn bởi các đường y2x x 2 và y 0

b) Giới hạn bởi đường y x x 23, 0 và tiếp tuyến tại x 1.

Hướng dẫn giải
a) Ta có

2x x  0 x0 hoặc x 2





2 1 1

y x x  x   y

1 1

x y

   



 



1 2 2

1 2
0

1 1 1 1

V V V  



   y    y dy

 







1
1

0
0

8 8

4 1 1 1

3 3

ydy y y







     (đvtt)

b) Phương trình tiếp tuyến là 2 1

3 3

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

2 3

1 1

0 1/3 1/3

3 1 2 3 1

2 2 4 9 2 2 36

V 



y dy



 y  dy







 y  



   



(đvtt).

Bài toán 9.31: Giả sử

 

H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y4



x 2



2 và yx2 4x7. Tính

thể tích khối trịn xoay tạo thành khi quay

 

H xung quanh trục tung.
Hướng dẫn giải

Hình



H1



giới hạn bởi đường cong

2 , 2

2 2

y y

x  x 

và hai đường thẳng y0,y4.

2 2

1
0

2 2

y y

V



dy

    

 

       

    

 



64
4

ydy









Hình



H2



được giới hạn bởi hai đường cong x 2 y 3, x 2 y 3 và hai đường thẳng

3, 4

y y .



 



4 2 2 4

0 0

2 3 2 3 8 3

V 



  y   y dy



y dy



 

 



Vậy thể tích khối trịn xoay cần tìm là: V V V 1 2 16



(đvtt)

Bài tốn 9.32: Tính thể tích hình xuyến do quay hình trịn

 

C có phương trình: x2



y 2



2 1

   quanh trục

Ox.

Hướng dẫn giải

Đường tròn: x2



y 2



2 1

   có tâm I



0;2



, bán kính R 1.



y 2



2 1 x2 y 2 1 x2

      

Nửa

 

C ở trên ứng với 2 y 4 có phương trình:

 

1 2 1

yf x    x với x  



1;1



Nửa

 

C ở dưới ứng với 0 y 2 có phương trình:

 

2 2 1

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Khi đó thể tích khối trịn xoay cần tính là:



 



1 2 2 1

2 2 2

1 2

1 1

2 1 2 1 8 1

V V V



x x dx



x dx

 

 

           

 



Đặt xsint thì dx costdt

Đổi cận: x 1 thì

t 



; x 1 thì
2

t 



Khi đó:





/2 /2

8 cos cos 4 1 cos 2

V t tdt t dt

 



 











4 sin 2 4

t t





 

    

  (đvtt)

Bài toán 9.33: Chứng minh rằng thể tích V của khối chỏm cầu bán kính R và chiều cao h là 2

h
V 



h R  

 

Hướng dẫn giải

Xét cung tròn



O R y;



: R2 x2

  thì thể tích chỏm cẩu cần tìm là:



2 2



2 3

R
R

R h R h

x

V



R x dx



R x

 

 

     

 











3
3

3 2 2

3 3 3

R h

R h

R R R h h R



  



 

          

 

 

 

Kết quả: Thể tích khối cầu 2 2 4 3

3 3

R

V 



R R  



R

  (đvtt)

Bài toán 9.34: Đường thẳng d qua y kx  1 k cắt Ox, Oy tại M, N. Tìm k 0 để thể tích khối tròn xoay
tạo ra khi quay tam giác OMN quanh Oy đạt giá trị bé nhất.

Hướng dẫn giải
1

1 , 0 y 1

y kx k k x

k k

       

Thể tích khối nón tạo thành:

 

2
1

2
0

1 1 3

1 3 , 0

k

y

V k k k

k k k k





   

           

   

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

 

3 2

 

2 3

' 1 , ' 0 2

V k V k k

k k



 

       

 

Lập BBT thì

 





min V k V  



(đvtt).

3. BÀI LUYỆN TẬP

Bài tập 9.1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số: y x3 4x

  , trục hoành và 2 đường thẳng

2; 4

x x .

Hướng dẫn
Dùng công thức S trực tiếp. Kết quả 44 (ddvdt)

Bài tập 9.2: Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị các hàm số y 4 x y2, x 2

    .

Hướng dẫn

Tìm các giao điểm bằng PT hồnh độ giao điểm. Kết quả 9

2 (đvdt)

Bài tập 9.3: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị: y x 3 1 và tiếp tuyến tại điểm A  



1; 2



.
Hướng dẫn

Lập phương trình tiếp tuyến tại điểm A  



1; 2



rồi tìm thêm giao điểm khác A. Kết quả 27

4 (đvdt)
Bài tập 9.4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị:

4 , 0

x

y y

x

 

 và

1
0,

x x

Hướng dẫn
Dùng công thức S trực tiếp. Đổi biến số t x2

 rồi t sinu.

Kết quả
12



(đvdt).

Bài tập 9.5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong:





2 2 ,27 2 8 1

y  x y  x

Hướng dẫn

Vẽ hình và xác định miền giới hạn. Kết quả 88 2

15 (đvdt).
Bài tập 9.6: Tìm m để diện tích giới hạn bởi 2 đồ thị: y x2 1

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Tìm các giao điểm bằng PT hồnh độ giao điểm và chú ý ln có 2 nghiệm phân biệt. Kết quả m 0.

Bài tập 9.7: Cho hàm số yf x

 

đơn điệu từ



a b;



vào



c d;



có hàm ngược x g y

 

. Chứng minh thể

tích quay quanh Oy của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị, trục Ox, x a x b ,  là: 2

 

b
Oy

a

V 





xf x dx

Hướng dẫn
Dùng định nghĩa về diện tích và minh họa đồ thị.

Bài tập 9.8: Tính thể tích của vật thể giữa hai mặt phẳng: x0,x



vì thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt
phẳng vng góc với trục Ox tại điểm có hồnh độ x (0 x   ) là một tam giác đều cạnh là 2 sin x.

Hướng dẫn

Dùng công thức thể tích vật thể tổng quát

 

b

a

V 



S x dx

Kết quả 2 3 (đvtt)

Bài tập 9.9: Cho hình phẳng S trong mặt phẳng Oxy giới hạn bởi các đường yx2 4 ,x y x2 2x6.
Tính thể tích khối trịn xoay khi S quay quanh trục Ox.

Hướng dẫn
Tìm các giao điểm bằng PT hoành độ giao điểm.

Kết quả 3



(đvtt)

Bài tập 9.10: Cho hình phẳng S giới hạn bởi các đường:

1
;

1 2

x

y y

x

 

 . Tính thể tích khối trịn xoay khi

S quay quanh Ox.

Hướng dẫn
Tìm các giao điểm bằng PT hoành độ giao điểm.

Kết quả

4 10

V 







(đvtt)

Bài tập 9.11: Tính thể tích khối quay quanh Ox, Oy của hình phẳng S giới hạn bởi: y x y, 0 và
2

y  x.

Hướng dẫn
Tìm các giao điểm bằng PT hoành độ giao điểm.

Kết quả 5
6



(đvtt) và 32
15



</div>

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Chuyên đề 9 - Ứng dụng tích phân - Lê Hoành Phò - File word | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

<b>CHUYÊN ĐỀ 9 - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN</b>

<b>1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM</b>

 

<sub></sub>

<sub></sub>

 

 

 





 

 

<sub></sub>

 

 

<sub></sub>

 





 

<sub></sub>

 

 





 

 

<sub></sub>

 

 

<sub></sub>

 



<sub></sub>

 



<sub></sub>

 

<b>2. CÁC BÀI TỐN</b>













 

<sub></sub>

<sub></sub>

















<sub></sub>



 





 











<sub></sub>

<sub></sub>

<sub> </sub>













<sub></sub>



