CHUYEN DE BDHSG LOP 8 (CO CHON LOC)

I. HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
Bài 1:
Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:
a) x
2
- 2x -1 b) 4x
2
+ 4x + 5
Bài 2:
Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:
a) 2x - x
2
- 4 b) -x
2
- 4x
Bài 3:
Cho x - y = 7. Tính:
a) x(x + 2) + y(y - 2) - 2xy +37
b) x
2
(x + 1) - y
2
(y - 1) + xy -3xy(x - y + 1) - 95
Bài 4:
Cho x + y = a; x
2
+ y
2
= b; x
3
+ y

3
= c
Chứng minh: a
3
- 3ab + 2c = 0
Bài 5:
Cho x
2
+ y
2
= 1. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y
2( x
6
+ y
6
) - 3( x
4
+ y
4
)
Bài 6:
Cho x + y = 2; x
2
+ y
2
= 10.
Tính giá trị của biểu thức x
3
+ y
3

.......................................................................................................
II. PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC
Bài 1 Tính giá trị của các biểu thức
a) A = x
5
- 15x
4
+ 16x
3
- 29x
2
+ 13x tại x = 14
b) B = x
14
- 10x
13
+ 10x
12
- 10x
11
+ ... + 10x
2
- 10x + 10 tại x = 9
c) C =
105
4
651.315
4
651

650
3.
105
1
651
1
.
315
1
2
+−−
Bài 2: Cho biểu thức: M = (x-a)(x-b) + (x-b)(x-c) + (x-c)(x-a) + x
2
Tính M theo a,b,c biết rằng
cbax
2
1
2
1
2
1
++=
Bài 3:Số a gồm 31 chữ số 1, số b gồm 38 chữ số 1. Chứng minh rằng ab -2 chia hết cho 3
Bài 4: Cho a + b + c = 0 Chứng minh rằng M = N = P với:
M = a(a+b)(a+c); N = b(b+c)(b+a); P = c(c+a)(c+b)
III. Giải phương trình:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) (x
2
–5x)

2
+ 10(x
2
–5x) + 24 = 0
(ĐS: tập nghiệm là 1;2;3;4)
b) (x
2
+ x + 1) (x
2
+ x + 2) = 12
(ĐS: tập nghiệm là 1; -2)
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a) ( x + 2)(x + 3)(x – 5)(x – 6) = 180
b) 2x(8x –1)
2
(4x – 1) = 9
(ĐS: tập nghiệm là
1 1
;
2 4
x x
−
= =
)
1. Chuyªn ®Ị : §a thøc
I.PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC
Bài 1: Tính giá trò của biểu thức:
a. A =
4 3 2
17 17 17 20x x x x− + − +

tại x = 16.
b. D =
15 14 13 12 2
8 8 8 ... 8 8 5x x x x x x− + − + − + −
tại x = 7.
Bài 2: Tính giá trò của biểu thức:
a. N =
1 3 546 1 4
2 . .
547 211 547 211 547.211
− −
Bài 3: Tính giá trò của biểu thức:
a. A =
( ) ( )
3 2 2 2 3 3
x x y y x y− + −
với x = 2;
1y =
.
b. M.N với
2x =
.Biết rằng:M =
2
2 3 5x x− + +
; N =
2
3x x− +
.
Bài 4: Tính giá trò của đa thức, biết x = y + 5:
a.

( ) ( )
2 2 2 65x x y y xy+ + − − +
b.
( )
2
2 75x y y x+ − +
Bài 5: Tính giá trò của đa thức:

( ) ( )
2
1 1x y y xy x y+ − − −
biết x+ y = -p, xy = q
Bài 6: Chứng minh đẳng thức:
a.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
x a x b x b x c x c x a ab bc ca x− − + − − + − − = + + −
; biết rằng 2x = a + b + c
b.
( )
2 2 2
2 4bc b c a p p a+ + − = −
; biết rằng a + b + c = 2p
Bài 7:
a. Số a gồm 31 chữ số 1, số b gồm 38 chữ số 1. Chứng minh rằng ab – 2 chia hết cho 3.
b. Cho 2 số tự nhiên a và b trong đó số a gồm 52 số 1, số b gồm 104 số 1. Hỏi tích ab có chia
hết cho 3 không? Vì sao?
Bài 8: Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng M = N = P với:

( ) ( )

M a a b a c= + +
;
( ) ( )
N b b c b a= + +
;
( ) ( )
P c c a c b= + +
Bài 9: Cho biểu thức: M =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
x a x b x b x c x c x a x− − + − − + − − +
. Tính M theo a, b, c,
biết rằng
1 1 1
2 2 2
x a b c= + +
.
Bài 10: Cho các biểu thức: A = 15x – 23y ; B = 2x + 3y . Chứng minh rằng nếu x, y là các số
nguyên và A chia hết cho 13 thì B chia hết cho 13. Ngược lại nếu B chia hết cho 13 thì A cũng chia
hết cho 13.
Bài 11: Cho các biểu thức: A = 5x + 2y ; B = 9x + 7y
a. Rút gọn biểu thức 7A – 2B.
b. Chứng minh rằng: Nếu các số nguyên x, y thỏa mãn 5x + 2y chia hết cho 17 thì 9x + 7y
cũng chia hết cho 17.
Bài 12: Chứng minh rằng:
a.
7 9 13
81 27 9− − chia hết cho 405.
b.
2 1 2

12 11
n n+ +
+
chia hết cho 133.
Bài 13: Cho dãy số 1, 3, 6 , 10, 15,…,
( )
1
2
n n +
, …
Chứng minh rằng tổng hai số hạng liên tiếp của dãy bao giờ cũng là số chính phương.
2. Chuyên đề: Biển đổi biểu thức nguyên
I. Một số hằng đẳng thức cơ bản
1. (a b)
2
= a
2
2ab + b
2
;
(a + b + c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2ab + 2bc + 2ca ;
2

1 2 n
(a a ... a )+ + + =
=

+ + + + + + + + + + + +
2 2 2
1 2 n 1 2 1 3 1 n 2 3 2 n n 1 n
a a ... a 2(a a a a ... a a a a ... a a ... a a )
;
2. (a b)
3
= a
3
3a
2
b + 3ab
2
b
3
= a
3
b
3
3ab(a b);
(a b)
4
= a
4
4a
3

b + 6a
2
b
2
4ab
3
+ b
4
;
3. a
2
b
2
= (a b)(a + b) ;
a
3
b
3
= (a b)(a
2
+ ab + b
2
) ;
a
n
b
n
= (a b)(a
n 1
+ a

n 2
b + a
n 3
b
2
+ + ab
n 2
+ b
n 1
) ;
4. a
3
+ b
3
= (a + b)(a
2
ab + b
2
)
a
5
+ b
5
= (a + b)(a
4
a
3
b + a
2
b

2
ab
3
+ b
5
) ;
a
2k + 1
+ b
2k + 1
= (a + b)(a
2k
a
2k 1
b + a
2k 2
b
2
+ a
2
b
2k 2
ab
2k 1
+ b
2k
) ;
II. Bảng các hệ số trong khai triển (a + b)
n
Tam giác Pascal

Đỉnh 1
Dòng 1 (n = 1) 1 1
Dòng 2 (n = 2) 1 2 1
Dòng 3 (n = 3) 1 3 3 1
Dòng 4 (n = 4) 1 4 6 4 1
Dòng 5 (n = 5) 1 5 10 10 5 1
Trong tam giác này, hai cạnh bên gồm các số 1 ; dòng k + 1 đợc thành lập từ dòng k (k 1), chẳng
hạn ở dòng 2 ta có 2 = 1 + 1, ở dòng 3 ta có 3 = 2 + 1, 3 = 1 + 2, ở dòng 4 ta có 4 = 1 + 3, 6 = 3 + 3, 4
= 3 + 1, Khai triển (x + y)
n
thành tổng thì các hệ số của các hạng tử là các số trong dòng thứ n của
bảng trên. Ngời ta gọi bảng trên là tam giác Pascal, nó thờng đợc sử dụng khi n không quá lớn. Chẳng
hạn, với n = 4 thì :
(a + b)
4
= a
4
+ 4a
3
b + 6a
2
b
2
+ 4ab
3
+ b
4
và với n = 5 thì :
(a + b)
5

= a
5
+ 5a
4
b + 10a
3
b
2
+ 10a
2
b
3
+ 10ab
4
+ b
5
II. Các ví dụ
Ví dụ 1. Đơn giản biểu thức sau :
A = (x + y + z)
3
(x + y z)
3
(y + z x)
3
(z + x y)
3
.
Lời giải
A = [(x + y) + z]
3

[(x + y) z]
3
[z (x y)]
3
[z + (x y)]
3
= [(x + y)
3
+ 3(x + y)
2
z + 3(x + y)z
2
+ z
3
] [(x + y)
3
3(x + y)
2
z + 3(x + y)z
2
z
3
] [z
3

3z
2
(x y) + 3z(x y)
2
(x y)

3
] [z
3
+ 3z
2
(x y) + 3z(x y)
2
+ (x y)
3
] = 6(x + y)
2
z
6z(x y)
2
= 24xyz
Ví dụ 2. Cho x + y = a, xy = b (a
2
4b). Tính giá trị của các biểu thức sau :
a) x
2
+ y
2
; b) x
3
+ y
3
; c) x
4
+ y
4

; d) x
5
+ y
5
Lời giải
a) x
2
+ y
2
= (x + y)
2
2xy = a
2
2b
b) x
3
+ y
3
= (x + y)
3
3xy(x + y) = a
3
3ab
c) x
4
+ y
4
= (x
2
+ y

2
)
2
2x
2
y
2
= (a
2
2b)
2
2b
2
= a
4
4a
2
b + 2b
2
d) (x
2
+ y
2
)(x
3
+ y
3
) = x
5
+ x

2
y
3
+ x
3
y
2
+ y
5
= (x
5
+ y
5
) + x
2
y
2
(x + y)
Hay : (a
2
2b)(a
3
3ab) = (x
5
+ y
5
) + ab
2
x
5

+ y
5
= a
5
5a
3
b + 5ab
2
Chú ý : a
6
+ b
6
= (a
2
)
3
+ (b
2
)
3
= (a
3
)
2
+ (b
3
)
2
a
7

+ b
7
= (a
3
+ b
3
)(a
4
+ b
4
) a
3
b
3
(a + b)
= (a
2
+ b
2
)(a
5
+ b
5
) a
2
b
2
(a
3
+ b

3
)
Ví dụ 3. Chứng minh các hằng đẳng thức :
a) a
3
+ b
3
+ c
3
3abc = (a + b + c)(a
2
+ b
2
+ c
2
ab bc ca) ;
b) (a + b + c)
3
a
3
b
3
c
3
= 3(a + b)(b + c)(c + a)
Lời giải
a) a
3
+ b
3

+ c
3
3abc = (a + b)
3
+ c
3
3abc 3a
2
b 3ab
2
= (a + b + c)[(a + b)
2
(a + b)c + c
2
] 3ab(a + b + c)
= (a + b + c) [(a + b)
2
(a + b)c + c
2
3ab]
= (a + b + c)(a
2
+ b
2
+ c
2
ab bc ca)
b) (a + b + c)
3
a

3
b
3
c
3
= [(a + b + c)
3
a
3
] (b
3
+ c
3
)
= (b + c)[(a + b + c)
2
+ (a + b + c)a + a
2
] (b + c)(b
2
bc + c
2
)
= (b + c)(3a
2
+ 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)]
= 3(a + b)(b + c)(c + a)
Ví dụ 4. Cho x + y + z = 0. Chứng minh rằng : 2(x
5
+ y

5
+ z
5
) = 5xyz(x
2
+ y
2
+ z
2
)
Lời giải
Vì x + y + z = 0 nên x + y = z (x + y)
3
= z
3
Hay x
3
+ y
3
+ 3xy(x + y) = z
3
3xyz = x
3
+ y
3
+ z
3
Do đó : 3xyz(x
2
+ y

2
+ z
2
) = (x
3
+ y
3
+ z
3
)(x
2
+ y
2
+ z
2
)
= x
5
+ y
5
+ z
5
+ x
3
(y
2
+ z
2
) + y
3

(z
2
+ x
2
) + z
3
(x
2
+ y
2
)
Mà x
2
+ y
2
= (x + y)
2
2xy = z
2
2xy (vì x + y = z). Tơng tự :
y
2
+ z
2
= x
2
2yz ; z
2
+ x
2

= y
2
2zx.
Vì vậy : 3xyz(x
2
+ y
2
+ z
2
) = x
5
+ y
5
+ z
5
+ x
3
(x
2
2yz) + y
3
(y
2
2zx) + z
3
(z
3
2xy) = 2(x
5
+ y

5

+ z
5
) 2xyz(x
2
+ y
2
+ z
2
)
Suy ra : 2(x
5
+ y
5
+ z
5
) = 5xyz(x
2
+ y
2
+ z
2
) (đpcm)
Bài tập:
1. Cho a + b + c = 0 và a
2
+ b
2
+ c

2
= 14.
Tính giá trị của biểu thức : A = a
4
+ b
4
+ c
4
.
2. Cho x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0. Tính giá trị của biểu thức :
B = (x 1)
2007
+ y
2008
+ (z + 1)
2009
.
3. Cho a
2
b
2
= 4c
2
. Chứng minh rằng : (5a 3b + 8c)(5a 3b 8c) = (3a 5b)
2
.
4. Chứng minh rằng nếu:
5. (x y)
2
+ (y z)

2
+ (z x)
2
= (x + y 2z)
2
+ (y + z 2x)
2
+ (z + x 2y)
2

thì x = y = z.
6. a) Chứng minh rằng nếu (a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
) = (ax + by)
2
và x, y khác 0 thì
a b
x y
=
.
b) Chứng minh rằng nếu (a
2
+ b
2

+ c
2
)(x
2
+ y
2
+ z
2
) = (ax + by + cz)
2

và x, y, z khác 0 thì
a b c
x y z
= =
.
7. Cho x + y + z = 0. Chứng minh rằng :
a) 5(x
3
+ y
3
+ z
3
)(x
2
+ y
2
+ z
2
) = 6(x

5
+ y
5
+ z
5
) ;
b) x
7
+ y
7
+ z
7
= 7xyz(x
2
y
2
+ y
2
z
2
+ z
2
x
2
) ;
c) 10(x
7
+ y
7
+ z

7
) = 7(x
2
+ y
2
+ z
2
)(x
5
+ y
5
+ z
5
).
8. Chứng minh các hằng đằng thức sau :
a) (a + b + c)
2
+ a
2
+ b
2
+ c
2
= (a + b)
2
+ (b + c)
2
+ (c + a)
2
;

b) x
4
+ y
4
+ (x + y)
4
= 2(x
2
+ xy + y
2
)
2
.
9. Cho các số a, b, c, d thỏa mãn a
2
+ b
2
+ (a + b)
2
= c
2
+ d
2
+ (c + d)
2
.
Chứng minh rằng : a
4
+ b
4

+ (a + b)
4
= c
4
+ d
4
+ (c + d)
4
10. Cho a
2
+ b
2
+ c
2
= a
3
+ b
3
+ c
3
= 1. Tính giá trị của biểu thức : C = a
2
+ b
9
+ c
1945
.
11. Hai số a, b lần lợt thỏa mãn các hệ thức sau :
a
3

3a
2
+ 5a 17 = 0 và b
3
3b
2
+ 5b + 11 = 0. Hãy tính : D = a + b.
12. Cho a
3
3ab
2
= 19 và b
3
3a
2
b = 98. Hãy tính : E = a
2
+ b
2
.
13. Cho x + y = a + b và x
2
+ y
2
= a
2
+ b
2
. Tính giá trị của các biểu thức sau :
a) x

3
+ y
3
; b) x
4
+ y
4
; c) x
5
+ y
5
; d) x
6
+ y
6
;
e) x
7
+ y
7
; f) x
8
+ y
8
; g) x
2008
+ y
2008
.
3. Chuyên đề:

Phân tích đa thức thành nhân tử
I- Phơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác:
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
, 5 6 d, 13 36
, 3 8 4 e, 3 18
, 8 7 f, 5 24
,3 16 5 h, 8 30 7
, 2 5 12 k, 6 7 20
a x x x x
b x x x x
c x x x x
g x x x x
i x x x x
+ +
+ +
+ +
+ + +

Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
(Đa thức đã cho có nhiệm nguyên hoặc nghiệm hữu tỉ)
II- Phơng pháp thêm và bớt cùng một hạng tử
1) Dạng 1: Thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu của hai bình phơng: A
2
B
2

= (A B)(A + B)
3 2 3
3 2 3
3 2 3 2
3 2 3 2
1, 5 8 4 2, 2 3
3, 5 8 4 4, 7 6
5, 9 6 16 6, 4 13 9 18
7, 4 8 8 8, 6 6 1
x x x x x
x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
+ +
+ + + +
+ + +
+ + +
3 2 3
3 3 2
3 2 3 2
3 3
9, 6 486 81 10, 7 6
11, 3 2 12, 5 3 9
13, 8 17 10 14, 3 6 4
15, 2 4 16, 2
x x x x x
x x x x x
x x x x x x
x x x
+

+ + +
+ + + + + +

2
3 2 3 2
3 2 3 2
3 2 4 3 2
12 17 2
17, 4 18, 3 3 2
19, 9 26 24 20, 2 3 3 1
21, 3 14 4 3 22, 2 1


x x
x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
+
+ + + + +
+ + + +
+ + + + + +
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
2) Dạng 2: Thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện thừa số chung
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
III- Phơng pháp đổi biến
Bài 1:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
IV- Phơng pháp xét giá trị riêng
Phơng pháp: Trớc hết ta xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến các giá
trị cụ thể để xác định thừa số còn lại.

Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
Giải
a, Giả sử thay x bởi y thì P =
2 2
( ) ( ) 0y y z y z y + =
Nh vậy P chứa thừa số x y
( )
2
2 2 2 2
4 4
4 4
4 4 4
4 4 4 2
1, (1 ) 4 (1 ) 2, 8 36
3, 4 4, 64
5, 64 1 6, 81 4
7, 4 81 8, 64
9, 4 10,
x x x x
x x
x x
x x y
x y x x
+ +
+ +
+ +
+ +
+ + +
1
7 2 7 5

5 4 5
8 7 5 4
5 10 5
1, 1 2, 1
3, 1 4, 1
5, 1 6, 1
7, 1 8, 1
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
+ + + +
+ + + +
+ +
+ + +
2 2 2 2 2 2 2
2 2 4
4
1, ( 4)( 6)( 10) 128 2, ( 1)( 2)( 3)( 4) 24
3, ( 4 8) 3 ( 4 8) 2 4, ( ) 4 4 12
5, 2 2 2 15 6, ( )( 2 )( 3 )( 4 )
7, 6 11
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x xy y x y x a x a x a x a a
x x
+ + + + + + + +
+ + + + + + + + +
+ + + + + + + + +

2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
3 8, ( ) 3( ) 2
9, 2 3 3 10 10, ( 2 ) 9 18 20
11, 4 4 2 4 35 12, ( 2)( 4)( 6)( 8) 16
x x x x
x xy y x y x x x x
x xy y x y x x x x
+ + + + +
+ + + + + +
+ + + + + + +
4 3 2
2 2 2 2 2
1, 6 7 6 1
2,( )( ) ( )
x x x x
x y z x y z xy yz zx
+ + +
+ + + + + + +
2 2 2
2 2 2
, P = ( ) ( ) ( )
, Q = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
a x y z y z x z x y
b a b c a b c a b c a b c a b c b c a c a b
+ +
+ + + + + + + + +
Ta lại thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì P không đổi(ta nói đa thức P có thể hoán vị
vòng quanh bởi các biến x, y, z). Do đó nếu P đã chúa thùa số x y thì cũng chúa thừa số y z, z

x. Vậy P phải có dạng
P = k(x y)(y z)(z x).Ta thấy k phải là hằng số(không chúa biến) vì P có bậc 3 đối với tập hợp
các biến x, y, z còn tích (x y)(y z)(z x) cũng có bậc ba đối với tập hợp các biến x, y, z. Vì
đẳng thức
đúng với mọi x, y, z nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng, chẳng hạn x = 2, y = 1, z = 0
ta đợc k = -1
Vậy P =- (x y)(y z)(z x) = (x y)(y z)(x - z)
Các bài toán
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )( )( )M a b c a b c a b c a b c a b c b c a c a b= + + + + + + + + +
2 2 2
( ) ( ) ( )N a m a b m b c m c abc= + + , với 2m = a+ b + c.
B i 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
3 3
2 2 2 2 2 2
3 2 3 2 3 2
3 3 3
2 2
) ( )( ) .
) ( 2 ) (2 ) .
) ( ) ( ) ( ).
) ( )( ) ( )( ) ( )( )
) ( ) ( ) ( ) ( 1).
) ( ) ( ) ( ) .
) (
a A a b c ab bc ca abc
b B a a b b a b
c C ab a b bc b c ac a c
d D a b a b b c b c c a c a

e E a c b b a c c b a abc abc
f f a b c b c a c a b
g G a b a b
= + + + +
= + +
= + + +
= + + + + +
= + + +
= + +
=
2 2 2 2
4 4 4
) ( ) ( ).
) ( ) ( ) ( ).
b c b c a c c a
h H a b c b c a c a b
+ +
= + +
V-Phong pháp hệ số bất định
B i 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
4 3 2
4 3 2
2 2
4 3 2
4
) 6 12 14 3
) 4 4 5 2 1
) 3 22 11 37 7 10
) 7 14 7 1
) 8 63

a A x x x x
b B x x x x
c C x xy x y y
d D x x x x
e E x x
= + +
= + + + +
= + + + + +
= + +
= +
Bài tập:
Ví dụ . Phân tích biểu thức sau thành nhân tử :
A = x
3
3(a
2
+ b
2
)x + 2(a
3
+ b
3
)
Lời giải
Đặt S = a + b và P = ab, thì a
2
+ b
2
=
2

S 2P-
; a
3
+ b
3
=
3
S 3SP-
. Vì vậy :
A = x
3
3(
2
S 2P-
)x + 2(
3
S 3SP-
) =
3 3 2 3
(x S ) (3S x 3S ) (6Px 6SP)- - - + -
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )( )( )x y z y z x z x y k x y y z z x
+ + =
=
2 2 2
(x S)(x Sx S ) 3S (x S) 6P(x S)- + + - - + -
=
2 2
(x S)(x Sx 2S 6P)- + - +
= (x a b)[x

2
+ (a + b)x 2(a + b)
2
+ 6ab]
= (x a b)[x
2
+ (a + b)x 2(a
2

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) x
3
+ 4x
2
29x + 24 ;
b) x
4
+ 6x
3
+ 7x
2
6x + 1 ;
c) (x
2
x + 2)
2
+ (x 2)
2
;
d) 6x

5
+ 15x
4
+ 20x
3
+ 15x
2
+ 6x + 1 ;
e) x
6
+ 3x
5
+ 4x
4
+ 4x
3
+ 4x
2
+ 3x + 1.
f) x
8
+ x
4
+ 1;
g) x
10
+ x
5
+ 1 ;
h) x

12
+ 1 ;
i) (x + y + z)
3
x
3
y
3
z
3
;
k) (x + y + z)
5
x
5
y
5
z
5
.
4. Chuyên đề
: Xác định đa thức
* Định lí Beout (BêZu) và ứng dụng:
1) Định lí BêZu:
D trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x - a bằng f(a) (giá trị của f(x) tại x = a):
)()()()( afxqaxxf
+=
(Beout, 1730 - 1783, nhà toán học Pháp)
Hệ quả: Nếu a là nghiệm của đa thừc f(x) thì f(x) chia hết cho x - a.
áp dụng: Định lí BêZu có thể dùng để phân tích một đa thức thành nhân tử. Thực hiện nh sau:

Bớc 1: Chọn một giá trị x = a nào đó và thử xem x = a có phải là nghiệm của f(x) không.
Bớc 2: Nếu f(a) = 0, theo định lí BêZu ta có:
)()()( xpaxxf
=
Để tìm p(x) thực hiện phép chia f(x) cho x - a.
Bớc 3: Tiếp tục phân tích p(x) thành nhân tử nếu còn phân tích đợc. Sau đó viết kết quả cuối
cùng cho hợp lí.
Dạng 1: Tìm đa thức thơng bằng phơng pháp đồng nhất hệ số(phơng pháp hệ số bất định), phơng pháp
giá trị riêng , thực hiện phép chia đa thức.
*Phơng pháp1: Ta dựa vào mệnh đề sau đây :
Nếu hai đa thức P(x) và Q(x) bằng nhau: P(x) = Q(x) thì các hạng tử cùng bậc ở hai đa thức phải có hệ
số phải có hệ số bằng nhau.
Ví dụ:
32)(
2
+=
bxaxxP
;
pxxxQ
=
4)(
2
Nếu P(x) = Q(x) thì ta có:
a = 1(hệ số của lũy thừa 2)
2b = - 4 (hệ số của lũy thừa bậc 1)
- 3 = - p (hệ số hạng tử bậc không hay hạng tử tự do)
*Phơng pháp2: Cho hai đa thức P(x) và Q(x) thỏa mãn deg P(x) > deg Q(x)
Gọi thơng và d trong phép chia P(x) cho Q(x) lần lợt là M(x) và N(x)
Khi đó ta có:
)()().()( xNxMxQxP

+=
(Trong đó: deg N(x) < deg Q(x)) (I)
Vì đẳng thức (I) đúng với mọi x nên ta cho x lấy một giá trị bất kì :

=
x
(

là hằng số). Sau đó ta đi giải phơng trình hoặc hệ phơng trình để tìm các hệ số của các hạng tử
trong các đa thức ( Đa thức thơng, đa thức chia, đa thức bị chia, số d).
Ví dụ: Bài 1(Phần bài tập áp dụng)
Gọi thơng của phép chia A(x) cho x + 1 là Q(x), ta có:
)().1(263
232
xQxaxaxxa
+=+
.
Vỡ ng thc ỳng vi mi x nờn cho x = -1 ta dc:



=
=
=++=++
3
2
060263
22
a
a

aaaaa
Vi a = -2 thỡ
4104)(,4664
223
+=+=
xxxQxxxA
Vi a = 3 thỡ
69)(,6699
223
=+=
xxQxxxA
*Phơng pháp 3:Thực hiện phép chia đa thức (nh SGK)
Bài tập áp dụng
B i 1: Cho a thc
2 3 2
( ) 3 6 2 ( )A x a x ax x a a Q= +
. Xác nh a sao cho A(x) chia ht cho x + 1.
Bài 2: Phân tích đa thức
4 3
( ) 2 4P x x x x=
thành nhân tử, biết rằng một nhân tử có dạng:
2
2x dx+ +
Bài 3: Với giá trị nào của a và b thì đa thức :
bxaxx
+++
2
23
chia hết cho đa thức:
1

2
++
xx
. Hãy giải
bài toán trên bằng nhiều cách khác nhau.
Bài 4: Xác định giá trị k để đa thức:
kxxxxxf
+++=
234
219)(
chia hết cho đa thức:
2)(
2
=
xxxg
.
Bi 5: Tỡm tt c cỏc s t nhiờn k cho a thc:
152)(
23
++=
kkkf
chia ht cho nh thc:
3)(
+=
kkg
.
Bi 6: Vi giỏ tr no ca a v b thỡ a thc:
baxxxxxf
+++=
234

33)(
chia ht cho a thc:
43)(
2
+=
xxxg
.
Bi 7: a) Xỏc nh cỏc giỏ tr ca a, b v c a thc:
cbxaxxxP
+++=
24
)(
Chia ht cho
3
)3(

x
.
b) Xỏc nh cỏc giỏ tr ca a, b a thc:
2376)(
234
+++=
xaxxxxQ
chia ht cho a thc
bxxxM
+=
2
)(
.
c) Xỏc nh a, b

axxxxP
++=
85)(
23
chia ht cho
bxxxM
++=
2
)(
.
Bi 8: Hóy xỏc nh cỏc s a, b, c cú ng thc:
( hc tt i s 8)
Bi 9: Xỏc nh hng s a sao cho:
a)
axx
+
710
2
chia ht cho
32

x
.
b)
12
2
++
axx
chia cho
3

x
d 4.
c)
95
45
+
xax
chia ht cho
1

x
.
Bi 10: Xỏc nh cỏc hng s a v b sao cho:
a)
baxx
++
24
chia ht cho
1
2
+
xx
.
b)
505
23
++
xbxax
chia ht cho

103
2
++
xx
.
c)
1
24
++
bxax
chia ht cho
2
)1(

x
.
d)
4
4
+
x
chia ht cho
baxx
++
2
.
Bi 11: Tỡm cỏc hng s a v b sao cho
baxx
++
3

chia cho
1
+
x
thỡ d 7, chia cho
3

x
thỡ d -5.
Bi 12: Tỡm cỏc hng s a, b, c sao cho
cbxax
++
23
chia ht cho
2
+
x
, chia cho
1
2

x
thỡ d
5
+
x
.
(Mt s vn phỏt trin i s 8)
Bi 13: Cho a thc:
baxxxxxP

+++=
234
)(
v
2)(
2
+=
xxxQ
. Xỏc nh a, b P(x) chia ht
cho Q(x).
Bi 14: Xỏc nh a v b sao cho a thc
1)(
34
++=
bxaxxP
chia ht cho a thc
2
)1()(
=
xxQ
))()((
23
cxbxaxcbxaxx
=+
Bài 15: Cho các đa thức
237)(
234
+++−=
xaxxxxP
và

bxxxQ
+−=
2
)(
. Xác định a và b để P(x)
chia hết cho Q(x).
(23 chuyên đề toán sơ cấp)
Dạng 2: Phương pháp nội suy NiuTơn
Phương pháp:
Để tìm đa thức P(x) bậc không quá n khi biết giá trị của đa thức tại n + 1 điểm
1321
,,,,
+
n
CCCC 
ta có thể biểu diễn P(x) dưới dạng:
)())(())(()()(
21212110 nn
CxCxCxbCxCxbCxbbxP
−−−++−−+−+=

Bằng cách thay thế x lần lượt bằng các giá trị
1321
,,,,
+
n
CCCC 
vào biểu thức P(x) ta lần
lượt tính được các hệ số
n

bbbb ,,,,
210

.
Bµi tËp ¸p dông
Bài 1: Tìm đa thức bậc hai P(x), biết:
9)2(,7)1(,25)0(
−===
PPP
.
Giải
Đặt
)1()(
210
−++=
xxbxbbxP
(1)
Thay x lần lượy bằng 0; 1; 2 vào (1) ta được:
11.2.2.18259
18257
25
22
11
0
=⇔+−=−
−=⇔+=
=
bb
bb
b

Vậy, đa thức cần tìm có dạng:
2519)()1(1825)(
2
+−=⇔−+−=
xxxPxxxxP
.
Bài 2: Tìm đa thức bậc 3 P(x), biết:
1)3(,4)2(,12)1(,10)0(
====
PPPP
Hướng dẫn: Đặt
)2)(1()1()(
3210
−−+−++=
xxxbxxbxbbxP
(1)
Bài 3: Tìm đa thức bậc ba P(x), biết khi chia P(x) cho
)3(),2(),1(
−−−
xxx
đều được dư bằng 6 và
P(-1) = - 18.
Hướng dẫn: Đặt
)3)(2)(1()2)(1()1()(
3210
−−−+−−+−+=
xxxbxxbxbbxP
(1)
Bài 4: Cho đa thức bậc bốn P(x), thỏa mãn:
)1(),12)(1()1()(

0)1(
++=−−
=−
xxxxPxP
P
a) Xác định P(x).
b) Suy ra giá trị của tổng
)(),12)(1(5.3.23.2.1
*
NnnnnS
∈+++++=

.
Hướng dẫn: Thay x lần lượt bằng 0; 1; 2; 3 vào (1), ta được :

36)2(5.3.2)1()2(
6)1(3.2.1)0()1(
0)0(0)1()0(
,0)2(0)2()1(
=⇔=−
=⇔=−
=⇔=−−
=−⇔=−−−
PPP
PPP
PPP
PPP

Đặt
)2)(1()1()1()1()1()1()(

43210
−−++−++++++=
xxxxbxxxbxxbxbbxP
(2)
Thay x lần lượt bằng -1; 0; 1; 2; -2 vào (2) ta được:

2
1
)4)(3)(2)(1()3)(2)(1.(3)2)(1.(30
31.2.3.2.3.336
,31.2.6
,00
0
44
33
22
11
0
=⇔−−−−+−−−+−−=
=⇔+=
=⇔=
=⇔=
=
bb
bb
bb
bb
b
Vậy, đa thức cần tìm có dạng:

)2()1(
2
1
)2)(1()1(
2
1
)1()1(3)1(3)(
2
++=−−++−+++=
xxxxxxxxxxxxxP
(Tuyn chn bi thi HSG Toỏn THCS)
Bi 5: cho a thc
)0,,(,)(
2
++=
cbacbxaxxP
. Cho bit
0632
=++
cba
1) Tớnh a, b, c theo
)1(,
2
1
),0( PPP

.
2) Chng minh rng:
)1(,
2
1
),0( PPP






khụng th cựng õm hoc cựng dng.
Bi 6: Tỡm mt a thc bc hai, cho bit:
1985)2(
85)1(
19)0(
=
=
=
P
P
P
Bài 4. Đa thức bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1 và thoả mãn f(1) = 5; f(2) = 11; f(3) = 21. Tính f(-1)
+ f(5).
Bài 2. Cho 3 số tự nhiên a, b, c. Chứng minh rằng nếu a + b + c chia hết cho 3 thì a
3
+ b
3

+ c
3
+ 3a
2
+
3b
2
+ 3c
2
chia hết cho 6.
5. Chuyên đề: Biển đổi phân thức hữu tỉ
Ví dụ 1.
a) Chứng minh rằng phân số
3n 1
5n 2
+
+
là phân số tối giản nN ;
b) Cho phân số
2
n 4
A
n 5
+
=
+
(nN). Có bao nhiêu số tự nhiên n nhỏ hơn 2009 sao cho phân số A
cha tối giản. Tính tổng của tất cả các số tự nhiên đó.
Lời giải
a) Đặt d = ƯCLN(5n + 2 ; 3n + 1) 3(5n + 2) 5(3n + 1) d hay 1 d d = 1.

Vậy phân số
3n 1
5n 2
+
+
là phân số tối giản.
b) Ta có
29
A n 5
n 5
= - +
+
. Để A cha tối giản thì phân số
29
n 5+
phải cha tối giản. Suy ra n + 5
phải chia hết cho một trong các ớc dơng lớn hơn 1 của 29.
Vì 29 là số nguyên tố nên ta có n + 5 29
n + 5 =29k (k N) hay n=29k 5.
Theo điều kiện đề bài thì 0 n = 29k 5 < 2009
1 k 69 hay k{1; 2;; 69}
Vậy có 69 số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện đề bài.
Tổng của các số này là : 29(1 + 2 + + 69) 5.69 = 69690.
Ví dụ 2. Cho a, b, c 0 và a + b + c 0 thỏa mãn điều kiện
1 1 1 1
a b c a b c
+ + =
+ +
.
Chứng minh rằng trong ba số a, b, c có hai số đối nhau. Từ đó suy ra rằng :

2009 2009 2009 2009 2009 2009
1 1 1 1
a b c a b c
+ + =
+ +
.
Lời giải
Ta có :
1 1 1 1
a b c a b c
+ + =
+ +

1 1 1 1
0
a b c a b c
+ + - =
+ +

a b a b
0
ab c(a b c)
+ +
+ =
+ +

c(a b c) ab
(a b). 0
abc(a b c)
+ + +

+ =
+ +
(a + b)(b + c)(c + a) = 0
a b 0
b c 0
c a 0
ộ
+ =
ờ
ờ
+ =
ờ
ờ
+ =
ở

a b
b c
c a
ộ
=-
ờ
ờ
=-
ờ
ờ
=-
ở
đpcm.
Từ đó suy ra :

2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009
1 1 1 1 1 1 1
a b c a ( c) c a
+ + = + + =
-

2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009
1 1 1
a b c a ( c) c a
= =
+ + + - +

2009 2009 2009 2009 2009 2009
1 1 1 1
a b c a b c
+ + =
+ +
.
Ví dụ 3. Đơn giản biểu thức :
3 3 3 4 2 2 5
1 1 1 3 1 1 6 1 1
A
(a b) a b (a b) a b (a b) a b
ổ ử ổ ử ổ ử
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
= + + + + +
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ

ỗ ỗ ỗ
ố ứ ố ứ ố ứ
+ + +
.
Lời giải
Đặt S = a + b và P = ab. Suy ra : a
2
+ b
2
= (a + b)
2
2ab =
2
S 2P-
a
3
+ b
3
= (a + b)
3
3ab(a + b) =
3
S 3SP-
.
Do đó :
1 1 a b S
;
a b ab P
+
+ = =

2 2 2
2 2 2 2 2
1 1 a b S 2P
;
a b a b P
+ -
+ = =


3 3 3
3 3 3 3 3
1 1 a b S 3SP
.
a b a b P
+ -
+ = =
Ta có : A =
3 2
3 3 4 2 5
1 S 3SP 3 S 2P 6 S
. . .
S P S P S P
- -
+ +
=
2 2 4 2 2 2 2 4
2 3 4 2 4 4 3 4 3
S 3P 3(S 2P) 6 (S 3S P) (3S P 6P ) 6P S
S P S P S P S P S P

- - - + - +
+ + = =
Hay A =
3 3 3
1 1
.
P a b
=
Ví dụ 4 . Cho a, b, c là ba số phân biệt. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào
giá trị của x :
(x a)(x b) (x b)(x c) (x c)(x a)
S(x)
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
- - - - - -
= + +
- - - - - -
.
Lời giải
Cách 1

2 2 2
x (a b)x ab x (b c)x bc x (c a)x ca
S(x)
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
- + + - + + - + +
= + +
- - - - - -
= Ax
2
Bx + C

với :
1 1 1
A
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
= + +
- - - - - -
;

a b b c c a
B
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
+ + +
= + +
- - - - - -
;

ab bc ca
C
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
= + +
- - - - - -
Ta có :
b a c b a c
A 0
(a b)(b c)(c a)
- + - + -
= =
- - -
;

(a b)(b a) (b c)(c b) (c a)(a c)
B
(a b)(b c)(c a)
+ - + + - + + -
=
- - -
2 2 2 2 2 2
b a c a a c
0
(a b)(b c)(c a)
- + - + -
= =
- - -
;

ab(b a) bc(c b) ca(a c) ab(b a) bc[(c a) (a b)] ca(a c)
C
(a b)(b c)(c a) (a b)(b c)(c a)
- + - + - - + - + - + -
= =
- - - - - -


(a b)(bc ab) (c a)(bc ca) (a b)(b c)(c a)
1
(a b)(b c)(c a) (a b)(b c)(c a)
- - + - - - - -
= = =
- - - - - -
.

Vậy S(x) = 1x (đpcm).
Cách 2
Đặt P(x) = S(x) 1 thì đa thức P(x) là đa thức có bậc không vợt quá 2. Do đó, P(x) chỉ có tối đa hai
nghiệm.
Nhận xét : P(a) = P(b) = P(c) = 0 a, b, c là ba nghiệm phân biệt của P(x).
Điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi P(x) là đa thức không, tức là P(x) = 0 x.
Suy ra S(x) = 1 x đpcm.
Ví dụ 9. Cho
1
x 3
x
+ =
. Tính giá trị của các biểu thức sau :
a)
2
2
1
A x
x
= +
; b)
3
3
1
B x
x
= +
; c)
4
4

1
C x
x
= +
; d)
5
5
1
D x
x
= +
.
Lời giải
a)
2
2
2
1 1
A x x 2 9 2 7
x x
ổ ử
ữ
ỗ
= + = + - = - =
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
;

b)
3
3
3
1 1 1
B x x 3 x 27 9 18
x x x
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
= + = + - + = - =
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
;
c)
2
4 2
4 2
1 1
C x x 2 49 2 47
x x
ổ ử
ữ
ỗ
= + = + - = - =
ữ
ỗ

ữ
ỗ
ố ứ
;
d)
2 3 5
2 3 5
1 1 1 1
A.B x x x x D 3
x x x x
ổ ửổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
= + + = + + + = +
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứố ứ
D = 7.18 3 = 123.
Ví dụ 5. Xác định các số a, b, c sao cho :
2 2
2 ax b c
(x 1)(x 1) x 1 x 1
+
= +
+ - + -
.
Lời giải
Ta có :

2 2
2 2 2
ax b c (ax b)(x 1) c(x 1) (a c)x (b a)x (c b)
x 1 x 1 (x 1)(x 1) (x 1)(x 1)
+ + - + + + + - + -
+ = =
+ - + - + -
Đồng nhất phân thức trên với phân thức
2
2
(x 1)(x 1)+ -
, ta đợc :

a c 0 a 1
b a 0 b 1
c b 2 c 1
ỡ ỡ
+ = =-
ù ù
ù ù
ù ù
ù ù
- = =-
ớ ớ
ù ù
ù ù
- = =
ù ù
ù ù
ợ ợ

. Vậy
2 2
2 x 1 1
(x 1)(x 1) x 1 x 1
- -
= +
+ - + -
.
6. Chuyên đề: Giải ph ơng trình
I/Phng trỡnh ax+b=0 (1) v phng trỡnh a v dng (1)
*Cỏch gii: (Bin i v a ht v mt v sau ú rỳt gn thnh dng ax+b=0)
TH1:a=0 nu b

0 thỡ phng trỡnh (1)vụ nghim
nu b=0 thỡ phng trỡnh (1) vụ s nghim
TH2:a

0 thỡ phng trỡnh (1) cú nghim duy nht x=
b
a

*Vớ d: a)3x+1=7x-11
b1: 3x+1-7x+11=0 (bin i v chuyn v mt v)
b2: -4x+12=0 (rỳt gn v dng ax+b=0)
b3: x=
12
3
4

=

b)1,2-(x-0,8)= -2(0,9+x)

1,2-x+0,8+1,8+2x=0

x+3,8=0

x= -3,8
*Cỏc bi tp tng t:
a)7x+21=0 b)12-6x=0
c)5x-2=0 d)-2x+14=0
e)0.25x+1,5=0 f)6,36-5,3x=0
g)
4 5 1
3 6 2
x =
h)
5 2
1 10
9 3
x x

+ =
i)11-2x=x-1 k)5-3x=6x+7
l)2(x+1)=3+2x m)2(1-1,5x)+3x=0
n)2,3x-2(0,7+2x)=3,6-1,7x o)3,6-0,5(2x+1)=x-0,25(2-4x)
p)3(2,2-03x)=2,6+(0,1x-4) q)
3 1 2
6
5 3

x x
=
v)
3 13
2 5
5 5
x x

+ = +
ữ ữ

w)
3 2 3 2( 7)
5
6 4
x x +
=
s)
7 20 1,5
5( 9)
8 6
x x
x
+
=
y)
5( 1) 2 7 1 2(2 1)
5
6 4 7
x x x + +

=
II/Phng trỡnh tớch:
*Cách giải: Pt:A.B=0
⇒
0
0
A
B
=


=

(A=0 (1) B=0 (2) )
Ta có pt (1),(2) là phương trình bậc nhất cách giải tương tự phần trên
(Chú ý các phương trình chưa có dạng A.B=0 ta đưa về dạng A.B=0 bằng cách phân tích thành nhân tử )
*Ví dụ:
a)(4x-10)(24+5x)=0

⇔
4 10 0 (1)
24 5 0 (2)
x
x
− =


+ =


Từ (1) x=
10 5
4 2
=
(2)
⇒
x=
24
5
−
Vậy phương trình có 2 nghiệm x=
10 5
4 2
=
hoặc x=
24
5
−
b)(x-1)(5x+3)=(3x-8)(x-1)
⇔
(x-1)(5x+3)-(3x-8)(x-1)=0
⇔
(x-1)(2x+11)=0
⇔
1 0 1
11
2 11 0
2
x x
x x

− = ⇔ =


−

+ = ⇔ =

*Các bài tập tương tự:
a)(3,5-7x)(0,1x+2,3)=0 b)(3x-2)
2( 3) 4 3
0
7 5
x x+ −
 
− =
 ÷
 
c)(3,3-11x)
7 2 2(1 3 )
0
5 3
x x+ −
 
+ =
 ÷
 
d)
( 3 5)(2 2 1) 0x x− + =
e)
(2 7)( 10 3) 0x x− + =

f)
(2 3 5)(2,5 2) 0x x− + =
g)3x(25x+15)-35(5x+3)=0 h)(2-3x)(x+11)=(3x-2)(2-5x)
i)(2x
2
+1)(4x-3)=(2x
2
+1)(x-12) k)(2x-1)
2
+(2-x)(2x-1)=0
l)(x+2)(3-4x)=x
2
+4x+4 m)(x-1)(x
2
+5x-2)-(x
2
-1)=0
n)x
3
+1=x(x+1) 0)x
2
+(x=2) (11x-7)=4
p)x
3
+x
2
+x+1=0 q)x
2
-3x+2=0
r)4x

2
-12x+5=0 s)-x
2
+5x-6=0
t)2x
2
+5x+3=0 y)
( )
2
2 3( 2) 0x
x
− + − =
C©u 2: (2 ®). Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
a)
0222
248
=+−+−
xxxx
b)
5
6
4013
3
158
2
65
1
222
−=
+−

+
+−
+
+−
xxxxxx
C©u 3: (1,5 ®). T×m x, y biÕt
a)
)(462
22
yxyx
−=++
b)
0)58()1(27)52(
333
=−+−+−
xxx


®Ò 1 (43)
C©u 1: Cho x =
2 2 2
2
b c a
bc
+ −
; y =
2 2
2 2
( )
( )

a b c
b c a
− −
+ −
TÝnh gi¸ trÞ P = x + y + xy
Câu 2: Giải phơng trình:
a,
1
a b x+
=
1
a
+
1
b
+
1
x
(x là ẩn số)
b,
2
2
( )(1 )b c a
x a
+
+
+
2
2
( )(1 )c a b

x b
+
+
+
2
2
( )(1 )a b c
x c
+
+
= 0
(a,b,c là hằng số và đôi một khác nhau)
Câu 3:Xác định các số a, b biết:
3
(3 1)
( 1)
x
x
+
+
=
3
( 1)
a
x +
+
2
( 1)
b
x +

Câu 4:Chứng minh phơng trình:
2x
2
4y = 10 không có nghiệm nguyên.
Câu 5:Cho

ABC; AB = 3AC
Tính tỷ số đờng cao xuất phát từ B và C
Đề 2 (44)
Câu 1:Cho a,b,c thoả mãn:
a b c
c
+
=
b c a
a
+
=
c a b
b
+
Tính giá trị M = (1 +
b
a
)(1 +
c
b
)(1 +
a
c

)
Câu 2: Xác định a, b để f(x) = 6x
4
7x
3
+ ax
2
+ 3x +2
Chia hết cho y(x) = x
2
x + b
Câu 3: Giải PT:
a, (x-4) (x-5) (x-6) (x-7) = 1680.
b, 4x
2
+ 4y 4xy +5y
2
+ 1 = 0
Câu 4: Tìm giá trị lớn nhất của phân số mà tử số là một số có 3 chữ số mà mẫu là tổng các chữ số của nó.
Câu 5: Cho

ABC cân tại A, trên AB lấy D, trên AC lấy E sao cho:
AD = EC = DE = CB.
a, Nếu AB > 2BC. Tính góc
à
A
của
ABCV
b, Nếu AB < BC. Tính góc
à

A
của
HBCV
.
đề 3 (45)
Câu 1:Phân tích thành nhân tử:
a, a
3
+ b
3
+ c
3
3abc
b, (x-y)
3
+(y-z)
3
+ (z-x)
3
Câu 2: Cho A =
2 2
2
(1 )
1
x x
x

+
:
3 3

1 1
( )( )
1 1
x x
x x
x x

+
+

+

a, Rút gọn A
b, Tìm A khi x= -
1
2
c, Tìm x để 2A = 1
Câu 3:
a, Cho x+y+z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x
2
+ y
2
+ z
2
b, Tìm giá trị lớn nhất của P =
2
( 10)
x
x +
Câu 4:

a, Cho a,b,c > 0, CMR:
1 <
a
a b+
+
b
b c+
+
c
c a+
< 2
b, Cho x,y

0 CMR:
2
2
x
y
+
2
2
y
x


x
y
+
y
x

Câu 5:Cho
ABCV
đều có độ dài cạnh là a, kéo dài BC một đoạn CM =a
a, Tính số đo các góc
ACMV
b, CMR: AM

AB
c, Kéo dài CA đoạn AN = a, kéo dài AB đoạn BP = a. CMR
MNPV
đều.
đề 4 (46)
Câu 1:
Phân tích thành nhân tử:
a, a
8
+ a
4
+1
b, a
10
+ a
5
+1
Câu 2:
a, Cho a + b + c = 0, Tính giá trị của biểu thức:
A =
2 2 2
1
b c a+

+
2 2 2
1
c a b+
+
2 2 2
1
a b c+
b, Cho biểu thức: M =
2
2 3
2 15
x
x x

+
+ Rút gọn M
+ Tìm x

Z để M đạt giá trị nguyên.
Câu 3:
a, Cho abc = 1 và a
3
> 36,
CMR:
2
3
a
+ b
2

+ c
2
> ab + bc + ca
b, CMR: a
2
+ b
2
+1

ab + a + b
Câu 4:
a, Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 2x
2
+ 2xy + y
2
- 2x + 2y +1
b, Cho a + b + c= 1, Tìm giá trị nhỏ nhất
P = a
3
+ b
3
+ c
3
+ a
2
(b + c) + b
2
(c + a) + c
2
(a + b)

Câu 5:
a, Tìm x,y,x

Z biết: x
2
+ 2y
2
+ z
2
- 2xy 2y + 2z +2 = 0
b, Tìm nghiệm nguyên của PT: 6x + 15y + 10z = 3
Câu 6:Cho
ABCV
. H là trực tâm, đờng thẳng vuông góc với AB tại B, với AC tại C cắt nhau tại D.
a, CMR: Tứ giác BDCH là hình bình hành.
b, Nhận xét mối quan hệ giữa góc
à
A
và
à
D
của tứ giác ABDC.
Đề 5 (47)
Câu 1:Phân tích thành nhân tử:
a, (x
2
x + 2)
2
+ (x - 2)
2

b, 6x
5
+15x
4
+ 20x
3
+15x
2
+ 6x +1
Câu 2:
a, Cho a, b, c thoả mãn: a + b + c = 0 và a
2
+ b
2
+ c
2
= 14.
Tính giá trị của A = a
4
+ b
4
+ c
4
b, Cho a, b, c

0. Tính giá trị của D = x
2003
+ y
2003
+ z

2003
Biết x,y,z thoả mãn:
2 2 2
2 2 2
x y z
a b c
+ +
+ +
=
2
2
x
a
+
2
2
y
b
+
2
2
z
c
Câu 3:
a, Cho a,b > 0, CMR:
1
a
+
1
b

4
a b+
b, Cho a, b, c, d > 0
CMR:
a d
d b

+
+
d b
b c

+
+
b c
c a

+
+
c a
a d

+


0
Câu 4:

a, Tìm giá trị lớn nhất: E =
2 2
2 2
x xy y
x xy y
+ +
+
với x, y > 0
b, Tìm giá trị lớn nhất: M =
2
( 1995)
x
x +
với x > 0
Câu 5:
a, Tìm nghiệm

Z của PT: xy 4x = 35 5y
b, Tìm nghiệm

Z của PT: x
2
+ x + 6 = y
2
Câu 6: Cho
ABCV
M là một điểm

miền trong của
ABCV

. D, E, F là trung điểm AB, AC, BC; A, B, C là
điểm đối xứng của M qua F, E, D.
a, CMR: ABAB là hình bình hành.
b, CMR: CC đi qua trung điểm của AA
Đề 6 (48)
Câu 1:
Cho
a
x y+
=
13
x z+
và
2
169
( )x z+
=
27
( )(2 )z y x y z

+ +
Tính giá trị của biểu thức A =
3 2
2 12 17 2
2
a a a
a
+

Câu 2: Cho x

2
x = 3, Tính giá trị của biểu thức
M = x
4
- 2x
3
+ 3x
2
- 2x + 2
Câu 3:
a, Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x(x+1)(x+2)(x+3)
b, Cho x,y > 0 và x + y = 0, Tìm giá trị nhỏ nhất của N =
1
x
+
1
y
Câu 4:
a, Cho 0

a, b, c

1
CMR: a
2
+ b
2
+ c
2

1+ a
2
b + b
2
c + c
2
a
b, Cho 0 <a
0
<a
1
< ... < a
1997
CMR:
0 1 1997
2 5 8 1997
....
....
a a a
a a a a
+ + +
+ + + +
< 3
Câu 5:
a, Tìm a để PT
4 3x
= 5 a có nghiệm

Z

+
b, Tìm nghiệm nguyên dơng của PT:
2
x
x y z+ +
+
2
y
y x z+ +
+
2
z
z x y+ +
=
3
4
Câu 6: Cho hình vuông ABCD, trên CD lấy M, nối M với A. Kẻ phân giác góc
ã
MAB
cắt BC tại P, kẻ phân giác
góc
ã
MAD
cắt CD tại Q
CMR PQ

AM
đề 7 (49)
Câu 1:Cho a, b, c khác nhau thoả mãn:
2 2 2

2
b c a
bc
+
+
2 2 2
2
c a b
ac
+
+
2 2 2
2
a b c
ab
+
= 1
Thì hai phân thức có giá trị là 1 và 1 phân thức có giá trị là -1.
Câu 2:Cho x, y, z > 0 và xyz = 1
Tìm giá trị lớn nhất A =
3 3
1
1x y+ +
+
3 3
1
1y z+ +
+
3 3
1

1z x+ +
Câu 3:Cho M = a
5
5a
3
+4a với a

Z
a, Phân tích M thành nhân tử.
b, CMR: M
M
120

a

Z
Câu 4: Cho N

1, n

N
a, CMR: 1+ 2+ 3+....+n =
( 1)
2
n n +
b, CMR: 1
2
+2
2
+ 3

2
+......+n
2
=
( 1)(2 1)
6
n n n+ +
Câu 5:Tìm nghiệm nguyên của PT: x
2
= y(y+1)(y+2)(y+3)
Câu 6:Giải BPT:
2
2 2
1
x x
x
+ +
+
>
2
4 5
2
x x
x
+ +
+
- 1
Câu 7:Cho 0

a, b, c

2 và a+b+c = 3.. CMR: a
2
+ b
2
+ c
2

5
Câu 8: Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài BC gấp 2 lần chiều rộng CD, từ C kẻ Cx tạo với CD một góc 15
0
cắt AD tại E
CMR:
BCEV
cân.
----------------------- hết ----------------------
đề 8 (50)
Câu 1:Cho A =
3 2
3 2
2 1
2 2 1
n n
n n n
+
+ + +
a, Rút gọn A
b, Nếu n

Z thì A là phân số tối giản.

Câu 2:Cho x, y > 0 và x+y = 1
Tìm giá trị lớn nhất của P = (1 -
2
1
x
)(1 -
2
1
y
)
Câu 3:
a, Cho a, b ,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác
CMR: a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ca)
b, Cho 0

a, b , c

1
CMR: a + b
2
+ c
3
ab bc ca

1
Câu 4: Tìm x, y, z biết: x + y z = y + z - x = z + x - y = xyz
Câu 5: Cho n

Z và n

1.. CMR: 1
3
+ 2
3
+3
3
+......+ n
3
=
2 2
( 1)
4
n n+ +
Câu 6: Giải bất phơng trình:
(x - 1)(3x + 2) > 3x(x + 2) + 5
Câu 7:Chia tập N thành các nhóm: 1; (2,3); (4,5,6)....., nhóm n gồm n số hạng. Tính tổng các số trong nhóm 94.
Câu 8:Cho hình vuông ABCD. M, N là trung điểm AB, BC, K là giao điểm của CM và DN
CMR: AK = BC
----------------------- hết ----------------------
đề 9 (51)
Câu 1:Cho M =
a
b c+
+

b
a c+
+
c
a b+
; N =
2
a
b c+
+
2
b
a c+
+
2
c
a b+
a, CMR: Nếu M = 1 thì N = 0
b, Nếu N = 0 thì có nhất thiết M = 1 không?
Câu 2: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 2
CMR:
2
a
b c+
+
2
b
a c+
+
2

c
a b+


1
Câu 3: Cho x, y, z

0 và x + 5y = 1999; 2x + 3z = 9998
Tìm giá trị lớn nhất của M = x + y + z
Câu 4:
a, Tìm các số nguyên x để x
2
2x -14 là số chính phơng.
b, Tìm các số
ab
sao cho
ab
a b
là số nguyên tố
Câu 5: Cho a, b, c, d là các sô nguyên dơng
CMR: A =
a
a b c+ +
+
b
a b d+ +
+
c
b c d+ +
+

d
a c d+ +
không phải là số nguyên.
Câu 6: Cho
ABCV
cân (AB = AC) trên AB lấy điểm M, trên phần kéo dài của AC về phía C lấy điểm N sao
cho: BM = CN, vẽ hình bình hành BMNP
CMR: BC

PC
Câu 7: Cho x, y thoả mãn: 2x
2
+
2
1
x
+
2
4
y
= 4 (x

0)
Tìm x, y để xy đạt giá trị nhỏ nhất
đề 10 (52)
Câu 1: Cho a, b, c > 0 và
P =
3
2 2
a

a ab b+ +
+
3
2 2
b
b bc c+ +
+
3
2 2
c
c ac a+ +
Q =
3
2 2
b
a ab b+ +
+
3
2 2
c
b bc c+ +
+
3
2 2
a
c ac a+ +
a, CMR: P = Q
b, CMR: P

3
a b c+ +
Câu 2:Cho a, b, c thoả mãn a
2
+ b
2
+ c
2
= 1
CMR: abc + 2(1+ a + b + c + ab + bc + ca)

0
Câu 3:CMR

x, y

Z thì:
A = (x+ y)(x+ 2y)(x+3y)(x+ 4y) + y
4
là số chính phơng.
Câu 4:
a, Tìm số tự nhiên m, n sao cho: m
2
+ n
2
= m + n + 8
b, Tìm số nguyên nghiệm đúng: 4x
2
y = (x
2

+1)(x
2
+y
2
)
Câu 5:Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: A =
2
4 3
1
x
x
+
+
Câu 6:Cho x =
2 2 2
2
b c a
ab
+
; y =
2 2
2 2
( )
( )
a b c
b c a

+
Tính giá trị: M =
1

x y
xy
+

Câu 7: Giải BPT:
1 x a x <
(x là ẩn số)
Câu 8:Cho
ABCV
, trên BC lấy M, N sao cho BM = MN = NC. Gọi D, E là trung điểm của AC, AB, P là giao
của AM và BD. Gọi Q là giao của AN và CE.
Tính PQ theo BC
Đề 11 (53)
Câu 1: Cho x =
a b
a b

+
; y =
b c
b c

+
; z =
c a
c a

+
CMR: (1+ x)(1+ y)(1+ z) = (1- x)(1- y)(1- z)
Câu 2: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của A =

4
2 2
1
( 1)
x
x
+
+
Câu 3: a, Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1
CMR: b + c

16abc
b, Cho 0 < a, b, c, d < 1. CMR có ít nhất một bất đẳng thức sai trong các bất đẳng thức sau:
2a(1- b) > 1 8c(1- d) > 1
3b(1- c) > 2 32d(1- a) > 3
Câu 4:Giải BPT: mx(x+1) > mx(x + m) + m
2
1
Câu 5:
a, Tìm nghiệm nguyên tố của PT: x
2
+ y
2
+ z
2
= xyz
b, Tìm số nguyên tố p để 4p + 1 là số chính phơng.
Câu 6:Tìm số có 2 chữ số mà số ấy là bội số của tích hai chữ số của nó.
Câu 7:Cho hình thang ABCD (BC// AD). Gọi O là giao điểm của hai đờng chéo AC, BD; Gọi E, F là trung điểm
của AD, BC

CMR: E, O, F thẳng hàng.
đề 12 (54)
Câu 1:Tìm đa thức f(x) biết:
f(x) chia cho x +3 d 1
f(x) chia cho x- 4 d 8
f(x) chia cho (x+3)(x- 4) thơng là 3x và d
Câu 2:
a, Phân tích thành nhân tử: A = x
4
+ 2000x
2
+ 1999x + 2000
b, Cho:
2 2 2
x yz y zx z xy
a b c

= =
CMR:
2 2 2
a bc b ca c ab
x y z

= =
Câu 4:CMR:
1
9
+
1
25

+.....+
2
1
(2 1)n +
<
1
4
Với n

N và n

1
Câu 5:Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: M =
2 2
2 2
x xy y
x y
+ +
+
(x 0; y 0)
Câu 6:
a, Tìm nghiệm nguyên của PT: 2x
2
+ 4x = 19 3y
2
b, CMR phơng trình sau không có nghiệm nguyên: x
2
+ y
2
+ z

2
= 1999
Câu 7:Cho hình vuông ABCD. Trên BD lấy M, từ M kẻ các đờng vuông góc AB, AD tại E, F.
a, CMR: CF = DE; CF

DE
b, CMR: CM = EF; CM

EF
c, CMR: CM, BF, DE đồng qui
----------------------- hết ----------------------
đề 13 (55)
Câu 1:
a, Rút gọn: A = (1-
2
4
1
)(1-
2
4
3
).....(1-
2
4
199
)
b, Cho a, b > 0 và 9b(b - a) = 4a
2
Tính M =
a b

a b

+
Câu 2:
a, Cho a, b, c > o
CMR:
2
a
b c+
+
2
b
c a+
+
2
c
a b+



2
a b c+ +
b, Cho ab

1
CMR:
2
1
1a +
+

2
1
1b +



2
1ab +
Câu 3: Tìm x, y, z biết: x + 2y + 3z = 56 và
1
1x
=
2
2y
=
3
3z
Câu 4:
a, Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của M =
2
2 1
2
x
x
+
+
b, Tìm giá trị nhỏ nhất A =
2
2
6 5 9x x

Câu 5:Giải BPT: mx
2
4 > 4x + m
2
4m
Câu 6:
a, Tìm số nguyên dơng x thoả mãn: x(x+1) = k(k+2)
k là số nguyên dơng cho trớc.
b, Tìm nghiệm nguyên của PT: 2x-5y-6z =4.
Câu 7:Cho hình vuông ABCD, Về phía ngoài hình vuông trên cạnh BC vẽ
BCFV
đều, về phía trong hình vuông
trên cạnh AB vẽ
ABEV
đều. CMR: D, E, F thẳng hàng.
Đề 14 (56)
Câu 1:Cho A = (
2
2 2 3 2
1
) : ( ) :
x x y y x
y xy x xy x xy x y y

+
+ + +
a, Tìm TXĐ của A
b, Tìm x, y để A > 1 và y < 0.
Câu 2:
a, Giải PT: x

4
+ 2x
3
2x
2
+ 2x - 3 = 0
b, Giải BPT: 3 mx < 2(x-m) (m+1)
2
Câu 3:Cho a, b, c > 0. CMR:
3
2
a b c
b c a c a b
+ +
+ + +
Câu 4:CM: A = n
6
n
4
+2n
3
+2n
2
không là số chính phơng với n

N và n >1
Câu 5:Cho f(x) = x
2
+ nx + b thoả mãn
1

( ) ; 1
2
f x x . Xác định f(x)
Câu 6:Cho x, y > 0 thoả mãn xy= 1. Tìm giá trị lớn nhất A =
4 2 2 4
x y
x y x y
+
+ +
Câu 7: Cho hình thang ABCD (AD//BC). M, N là trung điểm của AD, BC. Từ O trên MN kẻ đởng thẳng song
song với AD cắt AB, CD tại E và F.
CMR: OE = OF
đề 15 (57)
Câu 1:Cho xyz = 1 và x+y+z =
1 1 1
x y z
+ +
= 0. Tính giá trị M =
6 6 6
3 3 3
x y z
x y z
+ +
+ +
Câu 2: Cho a 0 ;

1 và
1 2
1 2 3
1 2

1 11
; ; .....
2 1 1
x xa
x x x
a x x

= = =
+ + +
Tìm a nếu x
1997
= 3
Câu 3:Tìm m để phơng trình có nghiệm âm:
( 2) 3( 1)
1
1
m x m
x
+
=
+
Câu 4:Với n

N và n >1. CMR:
1 1 1 1
.... 1
2 1 2 2n n n
< + + + <
+ +
Câu 5:Cho M = 3x

2
- 2x + 3y
2
2y + 6x +1
Tìm giá trị M biết: xy = 1 và
x y+
đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 6:Tìm x, y

N biết: 2
x
+ 1 = y
2
Câu 7:Cho
ABCV
(AB < AC). AD, AM là đờng phân giác, đờng trung tuyến của
ABCV
. Đờng thẳng qua D
và vuông góc với AD cắt AC tại E
So sánh S
ADMV
và S
CEMV
Đề 16 (58)
Câu 1:Cho (a
2
+ b
2
+ c
2

)( x
2
+ y
2
+ z
2
) = (ax + by + cz)
2
CMR:
x y z
a b c
= =
với abc 0
Câu 2:Cho abc 0 và
2 2 4 4
x y z
a b c a b c a b c
= =
+ + + +
CMR:
2 2 4 4
a b c
x y z x y z x y z
= =
+ + + +
Câu 3:Cho a, b, c là 3 số dơng và nhỏ hơn 1
CMR: Trong 3 số: (1-a)b; (1-b)c; và (1-c)a không đồng thời lớn hơn
1
4
Câu 4:Cho x

3
+ y
3
+ 3(x
2
+y
2
) + 4xy + 4 = 0 và xy > 0
Tìm giá trị lớn nhất A =
1 1
x y
+
Câu 5:
a, CMR PT: 3x
5
x
3
+ 6x
2
18x = 2001 không có nghiệm nguyên.
b, Tìm 4 số nguyên dơng sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng
Câu 6:Cho n

N và n >1. CMR: 1 +
2 2 2
1 1 1
.... 2
2 3 n
+ + + <
Câu 7:Cho

ABCV
về phía ngoài
ABCV
vẽ tam giác vuông cân ABE và CAF tại đỉnh A.
CMR: Trung tuyến AI của
ABCV
vuông góc với EF và AI =
1
2
EF
Câu 8: CMR:
21 4
14 3
n
n
+
+
là phân số tối giản (với n

N).
đề 17 (59)
Câu 1:Phân tích ra thừa số:
a, (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +15
b, x
3
+ 6x
2
+ 11x + 6
Câu 2:Cho x > 0 và x
2

+
2
1
x
= 7. Tính giá trị của M = x
5
+
5
1
x
Câu 3:Cho x, y thoả mãn 5x
2
+ 8xy + 5y
2
= 72
Tím giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: A = x
2
+ y
2
Câu 4:
a, Cho a, b, c > 0 và a+b+c

1. CMR:
2 2 2
1 1 1
9
2 2 2a bc b ac c ab
+ +
+ + +
b, Cho a, b, c thoả mãn a+b+c = 2; ab+bc+ca = 1. CMR: 0

a, b, c


4
3
Câu 5: Tính tổng S = 1+2x+3x
2
+4x
3
+.....+ nx
n-1
(x1)
Câu 6:Tìm nghiệm nguyên của PT:
xy xz yz
z y x
+ +
= 3
Câu 7: Cho
ABCV
biết đờng cao AH và trung tuyến AM chia góc
ã
BAC
thành 3 phần bằng nhau.
Xác định các góc của
ABCV
----------------------- hết ----------------------
Đề 18 (60)
Câu 1:Rút gọn: M =
2 2 2

( )( ) ( )( ) ( )( )
a bc b ac c ab
a b a c b a b c a c a b

+ +
+ + + + + +
Câu 2:Cho: x =
2 2 2
( )( )
;
2 ( )( )
b c a a b c a c b
y
bc a b c b c a
+ + +
=
+ + +
Tính giá trị P = (x + y + xy + 1)
3
Câu 3:Cho 0 < a, b, c, d < 1. CMR có ít nhất một bất đẳng thức sai trong các bất đẳng thức sau:
2a(1- b) > 1 8c(1- d) > 1
3b(1- c) > 2 32d(1- a) > 3
Câu 4:Cho P = 5x+ y + 1; Q = 3x y + 4. CMR: Nếu x = m; y = n Với m, n

N thì P.Q là số chẵn.