Dạy dạng toán về số và chữ số

MI CC BN N VI CU LC B
TON TIU HC
(violet.vn/toantieuhoc)
NI GIAO LU TRAO I V CHUYấN
MễN TON TIU HC
NI CUNG CP CC TI LU V TON
TIU HC T A N Z
Giải bài toán
về số và chữ số
nh thế nào ?
Phan Duy Nghĩa
(P. Hiệu trởng trờng Tiểu học Sơn Long,
Hơng Sơn, Hà Tĩnh)
* * * * * * * * * * *
Bài toán về số và chữ số viết trong hệ thập phân
thờng gặp từ cuối cấp tiểu học đến cấp trung học
và có tác dụng lớn trong việc rèn luyện t duy cho
học sinh. Việc lựa chọn cách giải tuỳ thuộc vào giả
thiết của từng bài toán và kiến thức của từng lớp.
Dới đây xin trình bày một số cách giải đối với
các bài toán dạng này.
1. Phơng pháp xét chữ số tận cùng
Ví dụ. Tìm số có hai chữ số, biết rằng số đó gấp
9 lần chữ số hàng đơn vị.
Giải : Gọi số phải tìm là
ab
(a 0 ; a, b < 10).
Theo bài ra ta có :
ab
= b x 9.
Vì a 0 nên b 0. Vì b x 9 có tận cùng là b (khác

0) nên b = 5.
Do đó :
ab
= 5 x 9 = 45.
2. Phơng pháp sử dụng tính chẵn - lẻ
Ví dụ . Có một số gồm hai chữ số mà hai lần
chữ số hàng chục thì bằng 5 lần chữ số hàng
đơn vị. Tìm số đó.
Giải : Gọi số phải tìm là
ab
(a 0 ; a, b < 10).
Theo bài ra ta có : a x 2 = b x 5.
- Vì a x 2 là số chẵn nên b x 5 cũng phải là số chẵn
; mà 5 là số lẻ nên b phải là số chẵn.
- Vì giá trị lớn nhất của a là 9 nên a x 2 có giá trị
lớn nhất là 9 x 2 = 18 ; do đó giá trị lớn nhất của b
x 5 cũng chỉ là 18. Vì thế giá trị lớn nhất của b
cũng chỉ là 3 (vì nếu b = 4 thì 4 x 5 = 20 > 18),
mà b là số chẵn nên b = 2 và a x 2 = 2 x 5.
Suy ra : a = 5. Số cần tìm là 52.

3. Phơng pháp thử chọn

Ví dụ. Tìm tất cả các số có ba chữ số khác
nhau
abc
sao cho:
a
1
+

b
1
+
c
1
= 1
Giải : Giả sử a < b < c, suy ra
c
1
<
b
1
<
a
1
.
Do đó ta có :
a
1
+
b
1
+
c
1
<
a
1
+
a

1
+
a
1
.
Hay : 1 <
a
1
x 3 nên suy ra a < 3. Mà a lớn hơn
1, vậy a = 2. Với a = 2 thì
2
1
+
b
1
+
c
1
= 1. Suy
ra :
b
1
+
c
1
=
2
1
. Suy ra b và c phải lớn hơn 2.
Hơn nữa :

2
1
=
b
1
+
c
1
<
b
1
+
b
1
=
b
1
x 2.
Suy ra b < 4. Vậy b = 3. Khi đó ta có :
3
1
+
c
1
=
2
1
. Suy ra : c = 6. Nhng a, b, c bình đẳng với
nhau nên các số phải tìm là : 236, 263, 326, 362,
632, 623.

4. Phơng pháp sử dụng tính chất chia hết
Ví dụ. Tìm số
abc
biết rằng :
7b
ac
=
3
2
Giải : Ta có :
7b
< 100 và
7b
chia hết cho 3.
Do đó b = 2 ; 5 ; 8.
- Với b = 2 thì 27 : 3 = 9. Suy ra
ac
= 2 x 9 = 18.
Vậy
abc
= 128.
- Với b = 5 thì 57 : 3 = 19. Suy ra
ac
= 2 x 19 =
38. Vậy
abc
= 358.
- Với b = 8 thì 87 : 3 = 29. Suy ra
ac
= 2 x 29 =

58. Vậy
abc
= 588. Vậy có ba số thoả mãn điều
kiện bài toán là
abc
= 128 ; 358 ; 588.

5. Phơng pháp sử dụng chặn trên, chặn dới

Ví dụ. Tìm các số tự nhiên a và b sao cho :
a
4
+
3
b
=
6
5
Giải: Vì
a
4
+
3
b
=
6
5
mà
6
5

< 1 nên
3
b
< 1
(vì
a
4
0). Do đó : b < 3. Vì
a
4
+
3
b
=
6
5
nên
a
4
=
6
5
-
3
b
. Nếu b = 0 thì
a
4
=
6

5
. Không có
giá trị tự nhiên nào của a để có
a
4
=
6
5
.
Nếu b = 1 thì
a
4
=
6
5
-
3
1
. Ta tìm đợc a = 8.
Nếu b = 2 thì
a
4
=
6
5
-
3
2
. Ta tìm đợc a = 24.
Vậy ta tìm đợc a = 8, b = 1 và a = 24, b = 2.

6. Phơng pháp sử dụng
kỹ thuật thực hiện phép tính
Ví dụ. Tìm số có bốn chữ số, biết rằng nếu số
đó nhân với 9 thì đợc một số có bốn chữ số nhng
đợc viết theo thứ tự ngợc lại với số phải tìm.
Giải: Gọi số phải tìm là
abcd
(a 0 ; a, b, c, d <
10), số viết theo thứ tự ngợc lại là
dcba
. Theo bài
ra ta có :
abcd
x 9
dcba
Vì tích là số có 4 chữ số (
dcba
)
nên a = 1 và d = 9.
Khi đó ta có :
91bc
x 9
19cb
Khi nhân chữ số hàng trăm của số bị
nhân (b) với 9 thì phép nhân này không
nhớ sang hàng nghìn (vì nếu có nhớ sang
hàng nghìn thì tích sẽ là số có 5 chữ số).
Do đó b = 0 hoặc b = 1.
Nếu b = 0 thì ta có

910c
x 9
019c
Khi đó 9 x 9 = 81, viết 1 nhớ 8.
c x 9 + 8 = 0 hay c x 9 có tận cùng là 2.
Do đó c = 8 để 8 x 9 = 72. Thử : 1089 x
9 = 9801 (đúng với đầu bài).
Nếu b = 1 thì ta có :
911c
x 9
119c
Khi đó 9 x 9 = 81, viết 1 nhớ 8.
c x 9 + 8 = 1 hay c x 9 phải có tận cùng
là 3. Do đó c = 7 để 7 x 9 = 63.
Thử : 1179 x 9 = 10611, trái với bài ra
vì tích có 5 chữ số.
Vậy số cần tìm là 1089.

7. Phơng pháp phối hợp nhiều cách giải

Ví dụ. Tìm số gồm ba chữ số có hàng trăm là
1 và số đó bằng 17 lần tổng các chữ số của nó.
Giải: Gọi số phải tìm là
ab1
(a, b < 10).
Theo bài ra ta có :
(1 + a + b) x 17 =
ab1
17+ a x 17 + b x 17 =
ab1

(một tổng nhân một
số)
a x 17+ b x 17 =
ab1
- 17(tìm 1 số hạng của
tổng)
a x 17 + b x 17 = 100 + a x 10 + b 17
a x 7 + b x 16 = 83.
Vì tổng là số lẻ (83), b x 16 là số chẵn nên a x 7
phải là số lẻ, do đó a phải là số lẻ. Xét các trờng
hợp của a, ta có :
*) Nếu a = 1 thì b x 16 = 83 1 x 7 = 76.
(b = 76 : 16 đây là phép chia có d nên loại)
*) Nếu a = 3 thì b x 16 = 83 3 x 7 = 62.
(b = 62 : 16 đây là phép chia có d nên loại)
*) Nếu a = 5 thì b x 16 = 83 5 x 7 = 48.
b = 48 : 16 = 3.
Thử : (1 + 5 + 3) x 17 = 153. Đúng với yêu cầu.
*) Nếu a = 7 thì b x 16 = 83 7 x 7 = 34.
(b = 34 : 16 đây là phép chia có d nên loại)
*) Nếu a = 9 thì b x 16 = 83 9 x 7 = 20.
(b = 20 : 16 đây là phép chia có d nên loại)
Vậy số phải tìm là 153.

Để làm quen với các phơng pháp trên, các bạn
hãy giải các bài toán sau nhé :
Bài 1. Tìm
abcd
biết :
dcba

+
dcb
+
dc
+ d = 4321
Đáp số : 1983
Bài 2. Tìm các số tự nhiên a và b sao cho :
3
a
-
b
4
=
5
1
Đáp số : a = 3 và b = 5
Bài 3. Cho phân số
b
a
có giá trị bằng
4
3
. Nếu
giảm mẫu số đi 12 và giữ nguyên tử số thì đợc
phân số mới có giá trị bằng
7
6
. Tìm phân số
b
a

.
Đáp số :
96
72
Bài 4. Hãy tìm số tự nhiên nhỏ nhất N gồm chín
chữ số là N =
hikabc deg
, biết rằng :
ab
chia
hết cho 2 ;
abc
chia hết cho 3 ;
abcd
chia hết
cho 4 ;
abcde
chia hết cho 5 ;
degabc
chia hết
cho 6 ;
habc deg
chia hết cho 7 ;
hiabc deg
chia hết cho 8 và
hikabc deg
chia hết cho 9.
Đáp số : 102000564