Bài tập và Lý thuyết chương 5 đại số lớp 11 - Tiếp tuyến - Đặng Việt Đông | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (469.87 KB, 65 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

TIẾP TUYẾN

A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP

1. Tiếp tuyến tại điểm M x y



0; 0



thuộc đồ thị hàm số:

Cho hàm số

 

C : y f x và điểm

 

M x y



0; 0

  

 C . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại M.
- Tính đạo hàm f x . Tìm hệ số góc của tiếp tuyến là '

 

f x'

 

- phương trình tiếp tuyến tại điểm M là: yf x x x'

  

 0



y0

2. Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước

- Gọi

 

 là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k.

- Giả sử M x y là tiếp điểm. Khi đó



0; 0



x0 thỏa mãn: f x'

 

0 k (*) .
- Giải (*) tìm x0. Suy ra y0 f x .

 

- Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y k x x



 0



y0

3. Tiếp tuyến đi qua điểm

Cho hàm số

 

C : y f x và điểm

 

A a b . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua



;



- Gọi

 

 là đường thẳng qua A và có hệ số góc k. Khi đó

 

 :y k x a







b (*)

- Để

 

 là tiếp tuyến của (C)

 





 

' 2

  



 






f x k x a b

f x k có nghiệm.

- Thay (2) vào (1) ta có phương trình ẩn x. Tìm x thay vào (2) tìm k thay vào (*) ta có phương
trình tiếp tuyến cần tìm.

Chú ý:

1. Hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại điểm M x y thuộc (C) là:



0; 0



kf x'

 

2. Cho đường thẳng

 

d : y k x bd 

   

 / / d  k kd +)

   

  d  . d  1   1
d

k k k

k
+)





tan

1 .






   


d

d

k k

d

k k

  +)



,Ox



  k tan

3. Cho hàm số bậc 3: 3 2 ,



0



    

y ax bx cx d a

+) Khi a0: Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.
+) Khi a0: Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc lớn nhất.

B – BÀI TẬP

DẠNG 1: TIẾP TUYẾN TẠI ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ HÀM SỐ:

Câu 1. Cho hàm số yf x( ), có đồ thị

 

C và điểm M x f x0



0; ( )0



( )C . Phương trình tiếp tuyến của

 

C tại M0 là:

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

C. y y 0 f x( )0



x x . 0



D. y y 0 f x x( )0 .
Hướng dẫn giải:

Chọn C

Câu 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y



x1

 

2 x– 2



tại điểm có hồnh độ x2 là
A. y–8x4. B. y9x18. C. y–4x4. D. y9x18.
Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Gọi M x y là tọa độ tiếp điểm.



0; 0



Ta có x0  2 y0 0.



1

 

2 – 2



3 3 2

  x  

y x x x  3 2 3

 y  x   y

 

2 9.

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y9



x 2



0  y9x18.

Câu 3. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số yx



3 –x



2 tại điểm có hồnh độ x2 là
A. y–3x8. B. y–3x6. C. y3 – 8x . D. y3 – 6x .
Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Gọi M x y là tọa độ tiếp điểm.



0; 0



Ta có x0  2 y0 2.



3



2 3 6 2 9

  

 x x  x

y x x 3 2 12 9



 y  x  x  y

 

2 3.

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y3



x 2



2  y3x8.
Câu 4. Cho đường cong

 

C : y x . Phương trình tiếp tuyến của 2

 

C tại điểm M



–1;1



là
A. y–2x1. B. y2x1. C. y–2 –1x . D. y2 –1x .
Hướng dẫn giải:

Chọn C.

2 2


  

y x y x.





2
  

y .

Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y2



x1 1



  y2x1.
Câu 5. Cho hàm số

2





x x

y

x . Phương trình tiếp tuyến tại A



1; –2



là

A. y–4



x–1 – 2



. B. y–5



x–1



2. C. y–5



x–1 – 2



. D. y–3



x–1 – 2



.
Hướng dẫn giải:

Chọn C.





2 2

4 2

2 2

  



  

 

x x x x

y y

x x , y

 

1 5.

Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y5



x1



 2  y5x3.
Câu 6. Cho hàm số 1 3– 3 2 7 2

  

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

A. y7x2. B. y7x 2. C. y7x2 . D. y7x 2.
Hướng dẫn giải:

Chọn A. 
Ta có : 2

6 7
 
 x x
y

Hệ số góc tiếp tuyến y

 

0 7
Phương trình tiếp tuyến tại A



0;2







7 0 2 7 2

    

y x x .

Câu 7. Gọi

 

P là đồ thị của hàm số 2

3
2

  

y x x . Phương trình tiếp tuyến với

 

P tại điểm mà

 

P

cắt trục tung là:

A. yx3. B. yx 3. C. y4x1. D. y11x3.

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có :

 

P cắt trục tung tại điểm M



0;3



4 1
  

y x

Hệ số góc tiếp tuyến : y

 

0 1

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị

 

P tại M



0;3



là y1



x 0



  3 x 3.

Câu 8. Đồ thị

 

C của hàm số 3 1

1





x
y

x cắt trục tung tại điểm A. Tiếp tuyến của

 

C tại điểm A có
phương trình là:

A. y4x1. B. y4x1. C. y5x1. D. y5x1.
Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có : điểm A



0; 1







4
1

 



y

x  hệ số góc tiếp tuyến y

 

0 4

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị

 

C tại điểm A



0; 1



là :





4 0 1 4 1

    

y x x .

Câu 9. Cho hàm số 2 4

3





x
y

x có đồ thị là (H). Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của (H) với trục
hoành là:

A. y2x 4. B. y3x1. C. y2x4. D. y2x.

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Giao điểm của (H) với trục hồnh là A(2;0). Ta có: ' 2 2 '(2) 2
( 3)



  



y y

x

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y2(x 2) hay y2x4.
Câu 10. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

 

3 2 2 3

  

f x x x x tại điểm có hồnh độ x0 1 là:

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Tập xác định:D.

Đạo hàm: 2

3 4 3.
   

y x x





10;





    

y y

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là

 

d :y10



x1



 6 10 x4.
Câu 11. Gọi

 

H là đồ thị hàm số yx1.

x Phương trình tiếp tuyến của đồ thị

 

H tại các giao điểm
của

 

H với hai trục toạ độ là:

A. y x 1. B. 1.

1
 


  


y x

y x C. yx1. D. y x 1.

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Tập xác định:D\ 0 .

 

Đạo hàm: y 12.

x

 

H cắt trục hoành tại điểm có hồnh độ là x1 và khơng cắt trục tung.

 

1 1

 

y

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là d y:  x 1.

Câu 12. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( ) : 1
2





x

H y

x tại giao điểm của ( )H và trục hoành:
A. 1( 1).

3
 

y x B. y3 .x C. y x 3. D. y3(x1).

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Tập xác định: D\



2 .



Đạo hàm:





3
.
2
 



y
x

( )H cắt trục hoành tại điểm có hồnh độ xo 1

 

1 ; 1 0
3



 y  y 

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là : 1



1 .



3
 

d y x

Câu 13. Gọi

 

P là đồ thị hàm số 2 3

  

y x x . Phương trình tiếp tuyến với

 

P tại giao điểm của

 

P và
trục tung là

A. yx3. B. yx 3. C. y x 3. D. y3x1.
Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A. 
Tập xác định:D.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Đạo hàm: y 2x1 hệ số góc của tiếp tuyến tại x0 là 1.

Phương trình tiếp tuyến tại M



0;3



là yx3.
Câu 14. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 4

1




y

x tại điểm có hồnh độ x0 1có phương trình là:
A. yx2. B. y x 2. C. y x 1. D. yx 3.
Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án D.

Tập xác định:D\ 1 .

 

Đạo hàm:





4
1
 



y

x .

Tiếp tuyến tại M



1; 2



có hệ số góc là k 1.
Phương trình của tiếp tuyến là yx 3

Câu 15. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 4 2 2 1

  

y x x tại điểm có tung độ tiếp điểm bằng 2
là:

A. y8x 6,y8x 6. B. y8x 6,y8x6.

C. y8x 8,y8x8. D. y40x 57.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A. 
Tập xác định:D.
Đạo hàm: 4 3 4

  

y x x.

Tung độ tiếp điểm bằng 2 nên 2 4 2 2 1 1
1




    




x

x x

x .

Tại M



1;2



. Phương trình tiếp tuyến là y8x 6.
Tại N



1; 2



. Phương trình tiếp tuyến là y8x 6.
Câu 16. Cho đồ thị ( ) : 2

1





x

H y

x và điểm A( )H có tung độ y4. Hãy lập phương trình tiếp tuyến
của ( )H tại điểm A.

A. y x 2. B. y3x11. C. y3x11. D. y3x10.
Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án D.

Tập xác định:D\ 1 .

 

Đạo hàm:





3
1
 



y

x .

Tung độ của tiếp tuyến là y4nên 4 2 2
1



  



x

x .

Tại M



2;4



</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Câu 17. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

2 3 1

2 1

 




x x

y

x tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung có

phương trình là:

A. y x 1. B. y x 1. C. yx. D. y x.

Hướng dẫn giải:

Chọn A. 
Ta có:





2 2 1

2 1

 




x x

y

x .

Giao điểm M của đồ thị với trục tung : x0  0 y0 1
Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là : ky' 0

 

1.

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là : y k x x



 0



y0  y x 1.
Câu 18. Cho đường cong

2
1
( ) :

1
 




x x

C y

x và điểm A( )C có hồnh độ x3. Lập phương trình tiếp

tuyến của ( )C tại điểm A.

A. 3 5

4 4
 

y x . B. y3x5. C. 3 5

4 4
 

y x . D. 1 5

4 4
 

y x .

Hướng dẫn giải:

Chọn A. 
Ta có:





2
2
'

1





x x

y

x . Tại điểm A( )C có hồnh độ: 0 0

7
3

2
  

x y

Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là : ' 3

 

 

k y .

Phương trình tiếp tuyến tại điểm A là :





3 5
4 4
     

y k x x y y x .

Câu 19. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1
2


y

x tại điểm

1
;1
2
 
 
 

A có phương trình là:

A. 2x2y3. B. 2x 2y1. C. 2x2y3. D. 2x 2y1.
Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có: ' 1

2 2



y

x x . Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là :

' 1

2
 
  

 

k y .

Phương trình tiếp tuyến tại điểm A là : y k x x



 0



y0  2x2y3.
Câu 20. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

 

3 2 2 2

  

f x x x tại điểm có hồnh độ x0 2 có phương trình
là:

A. y4x 8. B. y20x22. C. y20x 22. D. y20x16.
Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Ta có: '

 

3 2 4

 

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Phương trình tiếp tuyến tại điểm A là : y k x x



 0



y0  y20x22.
Câu 21. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( ) : 3 4 3

 

C y x x tại điểm có hồnh độ x0 0 là:
A. y3x. B. y0. C. y3x 2. D. y12x.
Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có: ' 3 12 2

 

y x . Tại điểm A( )C có hồnh độ: x0  0 y0 0
Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là : ky' 0

 

3.

Phương trình tiếp tuyến tại điểm Alà : y k x x



 0



y0 y3x . 
Câu 22. Cho hàm số 1 3 2 2

  

y x x có đồ thị hàm số

 

C . Phương trình tiếp tuyến của

 

C tại điểm có

hồnh độ là nghiệm của phương trình y" 0 là

A. 7

3
 

y x B. 7

3
 

y x C. 7

3
 

y x D. 7

3


y x

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có 2

2
  

y x x và y 2x2

Theo giả thiết x0 là nghiệm của phương trình y x( ) 00   2x  2 0 x0 1

Phương trình tiếp tuyến tại điểm 1; 4
3

 

 

 

 

A là: 7

3
 

y x

Câu 23. Gọi M là giao điểm của đồ thị hàm số 2 1

2





x
y

x với trục tung. Phương trình tiếp tuyến với đồ
thị hàm số trên tại điểm M là:

A. 3 1

2 2
 

y x B. 3 1

4 2
 

y x C. 3 1

4 2
 

y x D. 3 1

2 2
 

y x

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Vì M là giao điểm của đồ thị với trục Oy 0;1

2
 
  
 

M

2
3
( 2)


 



y
x

3
(0)

4


 ky 

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M là: 3 1

4 2

 

y x

Câu 24. Cho hàm số 3 3 2 3 1

   

y x x x có đồ thị

 

C . Phương trình tiếp tuyến của

 

C tại giao điểm

của

 

C với trục tung là:

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A.

Giao điểm của

 

C với trục tung là A(0;1) y(0) 3.

Câu 25. Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số

4 2

x x 

y tại điểm có hồnh độ x0 1 là:

A. – 2 B. 0 C. 1 D. 2

Hướng dẫn giải:
Ta có f ( 1)2.
Chọn đáp án A.

Câu 26. Cho hàm số 1 3 2 2 3 1
3

   

y x x x . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hồnh độ là nghiệm
của phương trình y 0 có phương trình:

A. 11

3
 

y x . B. 1

3
 

y x . C. 1

3
 

y x . D. 11

3
 

y x .

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

2 4 3

   

y x x

2 4 0 2
     

y x x .

Gọi M x y( ; )0 0 là tiếp điểm

5
2;

3
 
  
 

M

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: (2)





3


  

y y x 11

3
 yx .

Câu 27. Phương trình tiếp tuyến của

 

C : 3



y x tại điểm M0( 1; 1)  là:

A. y3x 2. B. y3x2. C. y3x3. D. y3x3.
Hướng dẫn giải:

Chọn B.

+ 2

3 ( 1) 3
   

y x y

+ PTTT của ( )C tại điểm M0( 1; 1)  là y3(x1) 1  y3x2.
Câu 28. Phương trình tiếp tuyến của

 

C : 3



y x tại điểm có hồnh độ bằng 1 là:

A. y3x2. B. y3x 2. C. y3x. D. y3x 3.

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

+  3 2 (1) 3

  

y x y .

+ x0  1 y0 y(1) 1 .

+PTTT của đồ thị ( )C tại điểm có hoành độ bằng 1 là: y3(x1) 1  y3x 2.

Câu 29. Cho hàm số

2 11
( )

8 2

 x 

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

A. 1( 2) 7
2

  

y x . B. 1( 2) 7

  

y x . C. 1( 2) 6

  

y x . D. 1( 2) 6

  

y x .

Hướng dẫn giải:

Đáp án C

Phương trình tiếp tuyến của

 

C tại điểm M x y có phương trình là:



0; 0



y y 0 f x

  

0 x x 0



1
( ) ( 2)

4 2

  x  

f x f ;y0 6

Vậy phương trình tiếp tuyến có dạng 1





6
2

  

y x

Câu 30. Phương trình tiếp tuyến của đường cong

2
1
( )

1
 





x x

f x

x tại điểm có hồnh độ x0 1 là:

A. 3 5

4 4
 

y x . B. 3 5

4 4
 

y x . C. 4 5

3 4
 

y x . D. 4 5

3 4
 

y x .

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Phương trình tiếp tuyến của

 

C tại điểm M x y có phương trình là:



0; 0



y y 0 f x

  

0 x x 0







2 2

1 2

( )

1 1



    

   

 

 

x x x x

f x

x x ,









3 1

1 ; 1

4 2

    

f y

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tạix0 1 có dạng

3 5
4 4
 

y x .

Câu 31. Cho hàm số 2

( ) 5 4
   

y f x x x , có đồ thị

 

C . Tại các giao điểm của

 

C với trục Ox , tiếp

tuyến của

 

C có phương trình:

A. y3x3 và y3x12. B. y3x 3 và y3x12.
C. y3x3 và y3x12. D. y2x3 và y2x12.
Hướng dẫn giải:.

Đáp án A.

Xét phương trình hồnh độ giao điểm.

2 5 4 0 1

4



    




x

x x

x

 

2 5

  

f x x

TH1: x0 1;y0 0;f



1



3 PTTT có dạng :y3x3
TH2: x0 4;y0 0;f



4



3 PTTT có dạng :y3x12

Câu 32. Phương trình tiếp tuyến của đường cong

 

tan 3
4

 

    

 

y f x  x tại điểm có hồnh độ 0

6


x 

là:

A. 6

6
  

y x  . B. 6

6
  

y x  . C. y6x1. D. 6

6
  

y x  .

Hướng dẫn giải:

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

 

3
cos 3

4

 

 



 

 

f x

x

 ;

0 ;

6


x  y0 1; f x

 

0 6

Phương trình tiếp tuyến: y6x1.

Câu 33. Cho hàm số y 2x3 3x2 1

   có đồ thị

 

C , tiếp tuyến với

 

C nhận điểm 0 0

3
;
2
 
 
 

M y làm tiếp
điểm có phương trình là:

A. 9

2


y x. B. 9 27

2 4
 

y x . C. 9 23

2 4
 

y x . D. 9 31

2 4
 x

y .

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án C. 
Tập xác định:D.

Ta có 0 0

1
2

  

x y .

Đạo hàm của hàm số 2

6 6
  

y x x.

Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến tại 0 0

3
;
2
 
 
 

M y là 9

2


k .

Phương trình của tiếp tuyến là 9 23

2 4
 

y x

Câu 34. Cho hàm số 3 3 2 6 1

   

y x x x (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hồnh độ 
tiếp điểm bằng 1

A. y3x 6 B. y3x 7 C. y3x 4 D. y3x 5

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Gọi M x y là tiếp điểm



0; 0



Ta có: ' 3 2 6 6

  

y x x .

Ta có: x0  1 y0 1, '(1) 3y 

Phương trình tiếp tuyến là: yy x'( )(0 x x 0)y0 3(x1) 1 3  x 4
Câu 35. Cho hàm số 3 3 2 6 1

   

y x x x (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tung độ 
tiếp điểm bằng 9

A.

18 81

18 27

 


 


  



y x

B.

81
9

9 2

 


 


  



y x

y x

C.

18 1
9

9 7

 


 


  



y x

D.

81
9

9 2

 


 



  



y x

y x

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Ta có: 2

' 3 6  6

y x x .

Ta có: y0  9 x033x02 6x0 8 0  x0 1,x0 2,x0 4.

 x0 4 y x'( ) 180  . Phương trình tiếp tuyến là:y18(x4) 9 18  x81
 x0  1 y x'( )0 9. Phương trình tiếp tuyến là:y9(x1) 9 9x
 x0  2 y x'( ) 180  . Phương trình tiếp tuyến là:y18(x 2) 9 18  x 27.
Câu 36. Cho hàm số 3 3 1

  

y x x (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hoành độ tiếp 
điểm bằng 0

A. y3x12 B. y3x11 C. y3x1 D. y3x2

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có: ' 3 2 3

 

y x . Gọi M x y là tiếp điểm



0; 0



Ta có: x0  0 y0 1, '( )y x0 3
Phương trình tiếp tuyến: y3x1.
Câu 37. Cho hàm số 3 3 1

  

y x x (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tung độ tiếp điểm
bằng 3

A. y9x1 hay y3 B. y9x 4 hay y3

C. y9x 3 hay y3 D. y9x13 hay y3

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có: ' 3 2 3

 

y x . Gọi M x y là tiếp điểm



0; 0



Ta có: 3

0  3 0 3 0 2 0  0 2, 0 1

y x x x x

 x0  1 y x'( ) 00  . Phương trình tiếp tuyến: y3

 x0  2 y x'( ) 90  . Phương trình tiếp tuyến:

9( 2) 3 9 13
    

y x x .

Câu 38. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: 2 4 4 2 1

  

y x x biết tung độ tiếp điểm bằng 1

A. 
1

8 2 5





 



  



y

y x

B. 
1

8 2 15
8 2 15






 



  



y

y x

C. 
1

8 2 1





 



  



y

y x

D. 
1

8 2 10
8 2 10





 



  



y

y x

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Ta có: ' 8 3 8

 

y x x

Gọi M x y là tiếp điểm.



0; 0



Ta có: 4 2

0  1 2 0  4 0  0 0 0, 0  2

y x x x x

 x0  0 y x'( ) 00  . Phương trình tiếp tuyến là: y1

 x0  2 y x'( ) 8 20  . Phương trình tiếp tuyến





8 2 2 1 8 2 15

    

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

 x0  2 y x'( )0 8 2. Phương trình tiếp tuyến





8 2 2 1 8 2 15

    

y x x .

Câu 39. Cho hàm số 4 2 1

  

y x x (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tung độ tiếp 
điểm bằng 1

A. y2 B. y1 C. y3 D. y4

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Ta có: ' 4 3 2

 

y x x. Gọi M x y là tiếp điểm



0; 0



Ta có 4 2

0  1 0  0  0 0 0

y x x x , y x'( ) 00 
Phương trình tiếp tuyến: y1

Câu 40. Cho hàm số 2 2

1





x
y

x (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tung độ tiếp điểm bằng

2
 .

A. 7

1
 


  


y x

y x B.

7
21
 


  


y x

y x C.

27
21
 


  


y x

y x D.

27
1
 


  


y x

0
0
2

0 0

2 2
4

: ( )

( 1) 1




   

 

x

y x x

x x .

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Hàm số xác định với mọi x1. Ta có: 2
4
'

( 1)





y
x

Gọi M x y( ; )0 0 là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C):
Vì tiếp tuyến có hệ số góc bằng 1 nên ta có

0 0

2
0

1 3, 1

( 1)

    

 x x

x

 x0  2 y0   4 :y x7

 x0  1 y0   0 :yx1

Câu 41. Cho hàm số

2





ax b
y

x , có đồ thị là

 

C . Tìm a, bbiết tiếp tuyến của đồ thị

 

C tại giao điểm
của

 

C và trục Ox có phương trình là 1 2

2
 

y x

A. a 1, b 1 B. a 1, b 2 C. a 1, b 3 D. a 1, b 4

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Giao điểm của tiếp tuyến d : 1 2
2
 

y x với trục Ox là A 4;0 , hệ số góc của





d : k 1
2

 và A 4;0 ,





( ) 0 4 0

2


</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Ta có: 2

 

2 2

' 4

( 2) 4

   

  



a b a b

y y

x

Theo bài tốn thì: 1 '(4) 1 2 1 2 2

2 2 4 2

 

    a b    

k y a b

Giải hệ 4 0

2 2

 




 


a b

a b ta được a 1, b 4

Câu 42. Cho hàm số 3 3 1

  

y x x có đồ thị là

 

C . Giả sử

 

d là tiếp tuyến của

 

C tại điểm có hồnh
độ x2, đồng thời

 

d cắt đồ thị

 

C tại N, tìm tọa độ N .

A. N



1; 1



B. N



2;3



C. N



4; 51



D. N



3;19



Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Tiếp tuyến

 

d tại điểm M của đồ thị

 

C có hồnh độ x0  2 y0 3

Ta có 2

'( ) 3  3 '( ) '(2) 9

y x x y x y

Phương trình tiếp tuyến

 

d tại điểm M của đồ thị

 

C là

0 0 0

'( )( ) 9( 2) 3 9 15
         

y y x x x y y x y x

Xét phương trình 3 3 1 9 15 3 12 16 0



2





2 2 8



0

            

x x x x x x x x

 x hoặc x2 ( không thỏa )

Vậy N



4; 51



là điểm cần tìm

Câu 43. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 6 2 11 1

   

y x x x tại điểm có tung độ bằng 5.
A. y2x1 ; yx2 ; y2x1

B. y2x3 ; yx7 ; y2x 2

C. y2x1 ; yx2 ; y2x 2

D. y2x3 ; yx7 ; y2x1

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có: 3 2

5 6 11 6 0 1; 2; 3
         

y x x x x x x

Phương trình các tiếp tuyến: y2x3 ; yx7 ; y2x1

Câu 44. Cho hàm số 2 1

1
 




x m
y

x (Cm). Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm có hồnh độ x0 2 tạo
với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 25

2 .

A.

23
2;

9
28
7;

9


 




  



m m

B.

23
2;

9
28
7;

9


 




  



m m

C.

23
2;

9
28
7;

9


 




  



m m

D.

23
2;

9
28
7;

9


 




  



m m

Hướng dẫn giải:

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Ta có: 2
3
'

( 1)
 




m
y

x

Ta có x0  2 y0  m 5, '( )y x0 m 3. Phương trình tiếp tuyến  của (Cm) tại điểm có hồnh độ
0 2

x là:

( 3)( 2) 5 ( 3) 3 11
          

y m x m m x m .

 3 11;0

3


 

     



 

m

Ox A A

m , với m 3 0

  Oy B  B



0;3m11



Suy ra diện tích tam giác OAB là:

1 1 (3 11)
.

2 2 3



 



m
S OA OB

m

Theo giả thiết bài toán ta suy ra:

1 (3 11) 25

2 3 2





m
m
2
2

9 66 121 25 75
(3 11) 25 3

9 66 121 25 75

    

     

   


m m m

m m

m m m

23
2;

9 41 46 0 9

9 91 196 0 7;

9


 



   

   

   

  



m m

m m m m .

Câu 45. Giả sử tiếp tuyến của ba đồ thị ( ), ( ), ( )
( )

  f x

y f x y g x y

g x tại điểm của hoành độ x0 bằng

nhau. Khẳng định nào sau đây là đúng nhất.

A. (0) 1
4


f B. (0) 1

4


f C. (0) 1

4


f D. (0) 1

4


f
Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Theo giả thiết ta có: 2

'(0). (0) '(0) (0)
'(0) '(0)

(0)


 f g g f

f g

g

2
2

2
'(0) '(0)

1 1 1

(0) (0) (0) (0)

(0) (0)

1 4 2 4

(0)



  

            

 




f g

f g g g

g f

g

Câu 46. Tìm trên (C) : 3 2

2 3 1
  

y x x những điểm M sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt trục tung tại
điểm có tung độ bằng 8.

A. M( 1; 4)  B. M( 2; 27)  C. M(1;0) D. M(2;5)

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Giả sử M x y( ; ) ( )0 0  C 

3 2

0 2 0 3 0 1

y x x . Ta có:  3 2 6



y x x.

Phương trình tiếp tuyến  tại M: y(6x02 6 )(x0 x x 0) 2 x03 3x021.
 đi qua P(0;8) 3 2

0 0

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Câu 47. Phương trình tiếp tuyến của đường cong ( )

2




x
f x

x tại điểm M



1; 1



là:

A. y2x1. B. y2x1. C. y2x1. D. y2x1.

Hướng dẫn giải:

Chọn C

 





2
2
 



f x
x

Ta có x0 1; y0 1; f x

 

0 2
Phương trình tiếp tuyến y2x1.
Câu 48. Tiếp tuyến của parabol 4 2

 

y x tại điểm (1;3) tạo với hai trục tọa độ một tam giác vng. Diện
tích của tam giác vng đó là:

A. 25

2 . B.

4. C.

2. D.

25
4 .

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

+ y2x y(1)2.

+PTTT tại điểm có tọa độ (1;3) là: y2(x1) 3  y2x5 ( )d .
+ Ta có ( )d giao Ox tại 5;0

2
 
 
 

A , giao Oy tại B(0;5) khi đó ( )d tạo với hai trục tọa độ tam giác vuông

OAB vuông tại O .

Diện tích tam giác vng OAB là: 1 . 1 5. .5 25

2 2 2 4

  

S OA OB .

Câu 49. Trên đồ thị của hàm số 1

1




y

x có điểm M sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa độ
tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2. Tọa độ M là:

A.



2;1 .



B. 4;1 .
3
 
 

  C.

3 4
; .
4 7

 

 

 

  D.

3
; 4 .
4
 


 
 

Hướng dẫn giải:

Chọn D. 
Ta có:





1
'

1




y

x . Lấy điểm M x y



0; 0

  

 C .

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là:



0







 

1 1

1
1

   




y x x

x

x .

Giao với trục hoành:

 

 Ox=A 2



x01;0



Giao với trục tung:

 





0
2
0

2 1

Oy=B 0;
1

  

   

  

 

x
x

2
0

0
0

2 1

1 3

. 4

2 1 4

  

     



 

OAB

x

S OA OB x

x . Vậy

3
; 4 .
4
 


 
 

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Câu 50. Cho hàm số 2

( ) 5
  

y f x x , có đồ thị

 

C . Phương trình tiếp tuyến của

 

C tại M có tung
độ y0 1 với hoành độ x0 0 là

A. y2 6



x 6



1. B. y2 6



x6



1.
C. y2 6



x 6



1. D. y2 6



x 6



1.
Hướng dẫn giải:

Chọn A

 

 

f x x

Do x0 0 nên x0  6; f x

 

0 2 6.
Phương trình tiếp tuyến: y2 6



x 6



1.
Câu 51. Cho hàm số 4 8 2 1

   

y x x m (Cm). Giả sử rằng tiếp tuyến của đồ thị (Cm) tại điểm có hồnh

độ x0 1 luôn cắt đồ thị (Cm) tại ba điểm phân biệt. Tìm tọa độ các giao điểm.

A. A m(1;  6), B



 1 3;m18 3



B. A m(1;  6), B



 1 7;m18 7



C. A m(1;  6), B



 1 2;m18 2



D. A m(1;  6), B



 1 6;m18 6



Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có: ' 4 3 16

 

y x x

Vì x0  1 y0  m 6, '( )y x0 12. Phương trình tiếp tuyến d của (Cm) tại điểm có hồnh độ x0 1 là:

12( 1) 6 12 6
      

y x m x m .

Phương trình hồnh độ giao điểm của (Cm) với d

4 8 2 1 12 6 4 8 2 12 5 0

          

x x m x m x x x

2 2

( 1) ( 2 5) 0 1, 1 6
 x x  x   x x 

Vậy d và (Cm) luôn cắt nhau tại ba điểm phân biệt





(1;  6),  1 6; 18 6

A m B m

Câu 52. Cho hàm số 2 1

1
 




x m
y

x (Cm). Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm có hồnh độ x0 0 đi
qua A(4;3)

A. 16

5


m B. 6

5


m C. 1

5


m D. 16

15


m
Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có: 2

3
'

( 1)
 




m
y

x

Vì x0  0 y0 m1, '( )y x0 m 3. Phương trình tiếp tuyến d của (Cm) tại điểm có hồnh độ x0 0
là:

( 3) 1
    

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Tiếp tuyến đi qua A khi và chỉ khi: 3 ( 3)4 1 16
5
 m  m  m .
Câu 53. Cho hàm số 4 2 2 3

  

y x x . Tìm phương trình tiếp tuyến của hàm số có khoảng cách đến điểm



0; 3



M bằng 5

65 .

A. y2x1 B. y3x 2 C. y7x6 D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải:

Gọi A

 

C  A a a



; 42a2 3



Ta có: ' 4 3 4 '

 

4 3 4

    

y x x y a a a

Phương trình tiếp tuyến

 

t :



4 3 4



3 4 2 2 3 0

     

a a x y a a

 



;



65


d M t hay





4 2

2
3

3 2 5

4 4 1





 

a a

a a hay



 





6 4 2



5 a1 a1 117a 193a 85a 5 0

Giải tìm a, sau đó thế vào phương trình (t) suy ra các phương trình tiếp tuyến cần tìm.

Câu 54. Cho hàm số

4 2

x x 

y có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C) biết khoảng

cách từ điểm A(0;3) đến (d) bằng 9

4 5.

A. 2 1, 2 3

4 4

   

y x y x B. 2 3, 2 3

4 14

   

y x y x

C. 2 3, 2 3

4 4

   

y x y x D. 2 3 , 2 3

14 4

   

y x y x

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng : yy x'( )(0 x x 0 y x( )0
(trong đó x0 là hồnh độ tiếp điểm của (d) với (C)).

Phương trình (d):

4 2

3 0 0 3 4 2

0 0 0 0 0 0 0

3 1

( )( ) 2 ( ) 2

4 2 4 2

   x x      

y x x x x x x x x x

3 4 2

0 0 0 0

3 1

( ) 2 0.

4 2

 x x x y  x  x  

4 2

0 0

3 2

0 0

3 1

9 4 2 9

( ;( ))

4 5 ( ) 1 4 5

  

  

 

x x

d A d

x x

4 2 2 2 2

0 0 0 0

3 2 4 5 9 ( 1) 1

 x  x   x x    5(3x042x024)2 81[ (x x02 021)21]

Đặt 2

t x t, 0. Phương trình (1) trở thành:5(3 2 2 4)2 81[ ( 1)2 1]

    

t t t t

4 2 3 2 3 2

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

4 3 2 3 2

45 21 22 1 0 ( 1)(45 24 2 1) 0

 t  t  t  t   t t  t  t 

3 2

1 ( 0 ê 45 24 2 1 0)
t do t n n t  t  t 

Với t 1 ,ta có x02  1 x0 1.

Suy ra phương trình tiếp tuyến (d): 2 3, 2 3

4 4

   

y x y x

Câu 55. Cho hàm số 4 2 ( 0)

   

y ax bx c a , có đồ thị là

 

C . Tìm a, b,cbiết

 

C có ba điểm cực trị,

điểm cực tiểu của

 

C có tọa độ là



0;3 và tiếp tuyến d của



 

C tại giao điểm của

 

C với trục Ox có
phương trình là y8 3x24.

A. a1, b 2, c 3  B. a 1, b 21, c 3  

C. a1, b 21, c 13  D. a12, b 22, c 3 

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

 

C có ba điểm cực trị, điểm cực tiểu của

 

C có tọa độ là



0;3



0, 0
3

 


 




a b

c

Giao điểm của tiếp tuyến d và trục Ox là B



3;0



và hệ số góc của d là 8 3

 

9 3 0

( ) 9 3 0

.
' 3 8 3 4 3 2 3 8 3 6 4

  




    

 

     

     

 

 

a b c

B C a b c

y a b a b

Giải hệ
3

9 3 0

6 4





  



  



c

a b c

a b

ta được 4 2

a1, b 2, c 3   yx 2x 3

Câu 56. Cho hàm số: 2 2

1





x
y

x có đồ thị

 

C . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp 
tuyến tạo với 2 trục tọa độ lập thành một tam giác cân.

A. y x1, yx6. B. yx 2 yx7.
C. y x1, yx5. D. y x1, yx7.
Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Hàm số đã cho xác định với  x 1. Ta có:





4
'

1





y
x

Gọi M x y là tọa độ tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của



0; 0



 

C :









0
0
2

0
0

2 2
4

1
1




  




x

y x x

x

x với

 





4
'

1





y x

x và

0
0

2 2
1





x
y

x

Tiếp tuyến tạo với 2 trục tọa độ lập thành một tam giác cân nên hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1. Mặt

khác: y x'

 

0 0, nên có: y x'

 

0 1

Tức





2 0

1 1

1


  

 x

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

 Với x0  1 y0   0 :yx1
 Với x0  3 y0   4 :yx7

Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y x1, yx7.
Câu 57. Cho hàm số: 2 2

1





x
y

x có đồ thị

 

C . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp 
tuyến tại điểm thuộc đồ thị có khoảng cách đến trục Oy bằng 2.

A. 4 1,

9 9
 

y x y4x14. B. 4 2,

9 9
 

y x y4x1.

C. 4 1,

9 9
 

y x y4x1. D. 4 2,

9 9
 

y x y4x14.
Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Hàm số đã cho xác định với  x 1. Ta có:





4
'

1





y
x

Gọi M x y là tọa độ tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của



0; 0



 

C :









0
0
2

2 2
4

1
1




  




x

y x x

x

x với

 





4
'

1





y x

x và

0
0

2 2
1





x
y

x
Khoảng cách từ M x y đến trục



0; 0



Oybằng 2 suy ra x0 2, hay

2
2;

3
 


 
 

M , M



2;6



Phương trình tiếp tuyến tại 2;2
3
 


 
 

M là: 4 2

9 9
 

y x

Phương trình tiếp tuyến tại M



2;6



là: y4x14

Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài: 4 2,
9 9
 

y x y4x14.

Câu 58. Tìm m để đồ thị hàm số

2 2 2 2 1

  





x mx m

y

x cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và các tiếp

tuyến với



C tại hai điểm này vng góc với nhau.m



A. 2

3


m B. m1 C. 2, 1

3
 

m m D. m0

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Hàm số đã cho xác định trên \ 1

 

Xét phương trình hồnh độ giao điểm của



C và trục hoành: m







2 2

2 2 1

0 2 2 1 0, 1

  

      



x mx m

x mx m x

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Để



C cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt m



A B, thì phương trình

 

1 phải có hai nghiệm phân biệt
khác 1. Tức là ta phải có:

2 2

' 2 1 0

1 2 2 1 0
    




   




m m

m m hay



 







1 1 0

2 1 0

  





 




m m

m m tức

1 1

  







m

 

2 .

Gọi x x1; 2 là hai nghiệm của

 

1 . Theo định lý Vi – ét, ta có: x1x2 2 ,m

2
1. 2 2 1

x x m

Giả sử I x



0;0



là giao điểm của



C và trục hoành. Tiếp tuyến của m





C tại điểm m



I có hệ số góc

 



 











2 2

0 0 0 0 0

0 2

0
0

2 2 1 2 2 1 2 2

1
1

      

 




x m x x mx m x m

y x

x
x

Như vậy, tiếp tuyến tại A B, lần lượt có hệ số góc là

 

1
1

2 2
'

1





x m

y x

x ,

 

2
2

2 2
'

1





x m

y x

x .

Tiếp tuyến tại A B, vng góc nhau khi và chỉ khi y x y x'

   

1 ' 2 1 hay 1 2

1 2

2 2 2 2

1 1

     



   

 

   

x m x m

x x



 



1 2 1 2

5 . 4 1 4 1 0

 x x  m x x  m   tức 3 2 2 0

  

m m  m1 hoặc 2

3


m . Đối chiếu điều

kiện chỉ có 2

3


</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

DẠNG 2: TIẾP TUYẾN CÓ HỆ SỐ GĨC K CHO TRƯỚC

Câu 1. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 3

1





x
y

x tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục
hoành bằng :

A. 9 . B. 1.

9 C. 9. D.

1
.
9


Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Tập xác định:D\ 1 .

 

Đạo hàm:





1
.
1
 



y
x

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2; 0 .
3

 
 
 

A

Hệ số góc của tiếp tuyến là 2 9.
3
 
 

 

y

Câu 2. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 
3

3 2

x  

y x có hệ số góc k 9, có phương trình là :

A. y169(x3). B. y9(x3). C. y169(x 3). D. y169(x3).

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Tập xác định:D.

Đạo hàm: 2 6 .

  

y x x

 





9  9 6 9 3 0 3 16

  o   o  o   o   o   o 

k y x x x x x y

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là

 

d :y9



x3



16 y169



x3 .



Câu 3. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1

1





x

y

x tại giao điểm với trục tung bằng :

A. 2. B. 2. C. 1. D. 1.

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Tập xác định:D\

 

1 .

Đạo hàm:





2
.
1
 



y
x

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có xo  0 yo2.
Câu 4. Cho hàm số 3 3 2

 

y x x có đồ thị

 

C Có bao nhiêu tiếp tuyến của .

 

C song song đường thẳng

9 10?
 

y x

A. 1. B. 3. C. 2. D. 4.

Hướng dẫn giải:

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Tập xác định:D.
Đạo hàm: 3 2 6 .

  

y x x

2 2 3

9 3 6 9 0 2 3 0 .

1



          





o

o o o o

o

x

k x x x x

x

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 5. Gọi

 

C là đồ thị của hàm số 4

 

y x x. Tiếp tuyến của

 

C vng góc với đường thẳng

: 5 0

d x y có phương trình là:

A. y5x 3. B. y3x 5. C. y2x 3. D. y x 4.
Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có : 4 3 1

 

y x

Vì tiếp tuyến vng góc với đường thẳng 1

5


y x nên tiếp tuyến có hệ số góc

 

0
3
0

4 1 5

   

y x x

0 1

 x 



y0 2



Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M



1;2



có dạng





5 1 2 5 3

    

y x x .

Câu 6. Gọi

 

C là đồ thị hàm số 2 3 2

 




x x

y

x . Tìm tọa độ các điểm trên

 

C mà tiếp tuyến tại đó với

 

C vng góc với đường thẳng có phương trình y x 4.
A. (1 3;5 3 3),(1  3;5 3 3). B.



2; 12 .



C.



0; 0 .



D.



2; 0 .



Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Tập xác định:D\ 1 .

 

Đạo hàm:



 















2 2

2 2

2 3 1 3 2 2 5

1 1

      

  

 

x x x x x x

y

x x

Giả sử xo là hoành độ điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán  y x

 

o 1









2
2

2 5

1 2 5 1

 

      



o o

o o o

o

x x

x x x

x

2 2

2 4 4 0 2 2 0
 xo  xo   xo  xo 

1 3 5 3 3.

 xo    y 

Câu 7. Biết tiếp tuyến

 

d của hàm số 3 2 2

  

y x x vng góc với đường phân giác góc phần tư thứ
nhất. Phương trình

 

d là:

A. 1 18 5 3, 1 18 5 3.

9 9

3 3

 

     

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

B. yx y,  x 4.

C. 1 18 5 3, 1 18 5 3.

9 9

3 3

 

     

y x y x

D. y x 2,y x 4.

Hướng dẫn giải:
Tập xác định:D.

Chọn C. 
2

3 2.
  

y x

Đường phân giác góc phần tư thứ nhất có phương trình :xy.

 

 d có hệ số góc là 1.

 

1 3 2 2 1 1 .

 o   o    o 

y x x x

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là

 

: 1 18 5 3, 1 18 5 3.

9 9

3 3

 

     

d y x y x

Câu 8. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị ytanx tại điểm có hồnh độ 
4


x  .

A. k 1. B. 1

2


k . C. 2

2


k . D. 2.

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

tan


y x 12

cos

 y 

x.

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị ytanx tại điểm có hoành độ 
4


x  là 2

4
 

  

 

k y  .

Câu 9. Hệ số góc của tiếp tuyến của đường cong

 

1sin
2 3

  x

y f x tại điểm có hồnh độ x0  là:

A. 3

 . B. 3

12 . C.

1
12

 . D. 1

12.

Hướng dẫn giải:

Chọn C

 

1cos
6 3
  x

f x

 

1cos 1

6 3 12


 f    

Câu 10. Cho hàm số 3– 6 2 7 5

  

y x x x

 

C . Tìm trên

 

C những điểm có hệ số góc tiếp tuyến tại điểm

đó bằng 2?

A.



–1; –9 ; 3; –1 .

 



B.



1;7 ; 3; –1 .

 



C.



1;7 ; –3; –97 .

 



D.



1;7 ; –1; –9 .

 



Hướng dẫn giải:

Chọn B.

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 2  y x

 

0 2 3x0212x0 7 2

0 0

1 7

3 12 9 0

3 1

  



     

  



x y

x x

x y .

Câu 11. Cho hàm số

2 3 3

 




x x

y

x , tiếp tuyến của đồ thị hàm số vng góc với đường thẳng.

: 3 –  6 0

d y x là

A. y–3 – 3;x y–3 –11x . B. y–3 – 3;x y–3x11.
C. y–3x3; y–3 –11x . D. y–3 – 3;x y3 –11x .
Hướng dẫn giải:

Chọn A.

1 1

: 3 – 6 0 2

3 3

      d 

d y x y x k .

Gọi M x y là tọa độ tiếp điểm. Ta có



0; 0







4 3

 

 


x x

y

x .

Tiếp tuyến vng góc với d  k ktt. d 1

 

3  3

 tt    

d

k y x

k





0 0

2
0

4 3

3
2

 

 



x x

x

0
2

0 0

0
3
2

4 16 15 0

5
2





     

 


x

x x

x

Với 0 0

3 3

2 2

  

x y  pttt: 3 3 3 3 3

2 2
 

      
 

y x y x .

Với 0 0

5 7

2 2

  

x y  pttt: 3 5 7 3 11

2 2
 

      
 

y x y x .

Câu 12. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số



2 –1



4 – 5

 

y m x m tại điểm có hồnh độ x–1
vng góc với đường thẳng d: 2 – – 3 0x y  .

A. 3

4. B.

4. C.

16. D.

9
16.

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

: 2 – – 3 0  2  3 d 2

d x y y x k .



2 –1



4– 5 4 2





4 

    

y m x m y m x .

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số



2 –1



4– 5

 

y m x m tại điểm có hồnh độ x–1 là





4 2



 



3 4 2







      

tt

k y m m .

Ta có . 1 8 2





1 9

16
      

tt d

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Câu 13. Cho hàm số

1





ax b

y

x có đồ thị cắt trục tung tại A



0; –1



, tiếp tuyến tại A có hệ số góc k3.
Các giá trị của a , b là

A. a1, b1. B. a2, b1. C. a1, b2. D. a2, b2.
Hướng dẫn giải:

Chọn B.



0; –1



A

 

1


 



ax b
C y

x  1 1 1

b

b .

Ta có





 
 



a b
y

x . Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm A là ky

 

0 a b 3

3 2

 a  b .

Câu 14. Điểm M trên đồ thị hàm số 3– 3 2–1



y x x mà tiếp tuyến tại đó có hệ số góc k bé nhất trong tất
cả các tiếp tuyến của đồ thị thì M , k là

A. M



1; –3



, k–3. B. M



1;3



, k –3. C. M



1; –3



, k3. D. M



1; –3



, k –3.
Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Gọi M x y . Ta có



0; 0



y 3x2 6x.

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại M là

 





0 3 0 6 0 3 0 1 3 3



      

k y x x x x

Vậy k bé nhất bằng 3 khi x0 1, y0 3.
Câu 15. Cho hàm số 3 3 2 6 1

   

y x x x (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến
vuông góc với đường thẳng 1 1

18
 

y x

A. :y18x8 và y18x 27. B. :y18x8 và y18x 2.
C. :y18x81 và y18x 2. D. :y18x81 và y18x 27.
Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Gọi M x y là tiếp điểm



0; 0



Ta có: ' 3 2 6 6

  

y x x .

Vì tiếp tuyến vng góc với đường thẳng 1 1
18
 

y x nên

Ta có: 2

0 0 0 0 0

'( ) 15  2  8 0  4, 2

y x x x x x

Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến:y18x81 và y18x 27.
Câu 16. Cho hàm số 3 3 1

  

y x x (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hệ số góc của
tiếp tuyến bằng 9

A. y9x1 hay y9x17 B. y9x1 hay y9x1

C. y9x13 hay y9x1 D. y9x13 hay y9x17

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có: 2

' 3  3

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Ta có: y x'( ) 90   3x02 3 9  x0 2

 x0  2 y0 3. Phương trình tiếp tuyến:

9( 2) 3 9 13
    

y x x .

 x0  2 y0 1. Phương trình tiếp tuyến:

9( 2) 1 9 17
    

y x x .

Câu 17. Cho hàm số 3 3 1

  

y x x (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vng
góc với trục Oy.

A. y2,y1 B. y3,y1 C. y3,y2 D. x3, x1

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Ta có: ' 3 2 3

 

y x . Gọi M x y là tiếp điểm



0; 0



Vì tiếp tuyến vng góc với Oy nên ta có: y x'( ) 00 

Hay x0 1. Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến: y3,y1.

Câu 18. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: 2 4 4 2 1

  

y x x biết tiếp tuyến song song với
đường thẳng y48x1.

A. y48x 9 B. y48x 7 C. y48x10 D. y48x 79

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có: ' 8 3 8

 

y x x

Gọi M x y là tiếp điểm.



0; 0



Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y48x1

Nên ta có: 3

0 0 0 0

'( ) 48    6 0  2

y x x x x

Suy ra y0 17. Phương trình tiếp tuyến là:

48( 2) 17 48 79
    

y x x .

Câu 19. Cho hàm số 4 2 1

  

y x x (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến song
song với đường thng y6x1

A. y6x 2 B. y6x 7 C. y6x 8 D. y6x 3

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có: ' 4 3 2

 

y x x. Gọi M x y là tiếp điểm



0; 0



Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y6x1 nên ta có:

0 0 0 0 0

'( ) 6  4 2  6  1 3

y x x x x y

Phương trình tiếp tuyến: y6x 3.
Câu 20. Cho hàm số 2 2

1





x
y

x (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với 
đường thẳng d y: 4x1.

A. 4 2

4 14

 



  



y x

y x B.

4 21

4 14

 



  



y x

y x C.

4 2

4 1

 



  



y x

y x D.

4 12

4 14

 



  



y x

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Hàm số xác định với mọi x1. Ta có: 2
4
'

( 1)





y
x

Gọi M x y( ; )0 0 là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C):
Vì tiếp tuyến song với đường thẳng d y: 4x1 nên ta có:

0 2 0 0

'( ) 4 4 0, 2

( 1)


     



y x x x

x .

 x0  0 y0   2 :y4x2
 x0  2 y0   6 :y4x14.
Câu 21. Cho hàm số 2 2

1





x
y

x (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết biết tiếp tuyến tạo với hai
trục tọa độ một tam giác vuông cân.

A. 11

7
 


  


y x

y x B.

11
17
 


  


y x

y x C.

1
17
 


  


y x

y x D.

1
7
 


  


y x

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Hàm số xác định với mọi x1. Ta có: 2
4
'

( 1)





y
x

Gọi M x y( ; )0 0 là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C):

Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân nên tiếp tuyến phải vng góc với một trong
hai đường phân giác yx, do đó hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1 hay y x'( )0 1. Mà y' 0,   x 1

nên ta có

'( ) 1

y x 2 0 0

1 1, 3

( 1)


   

 x x

x

 x0  1 y0   0 :y x1
 x0  3 y0   4 :y x7.
Câu 22. Cho hàm số 2 1

1





x
y

x (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vng góc với 
đường thẳng 1 2

 

y x

A. y3x11 hay y3x11 B. y3x11 hay y3x1

C. y3x1 hay y3x1 D. y3x1 hay y3x11

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có 2

3
'

( 1)





y

x . Gọi M x y là tiếp điểm. Vì tiếp tuyến vng góc với đường thẳng



0; 0



1
2
3

 

y x

nên ta có

0 2 0 0

'( ) 3 3 0, 2

( 1)


     



y x x x

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

 x0  0 y0 1, phương trình tiếp tuyến là:

3 1
 

y x

 x0  2 y0 5, phương trình tiếp tuyến là:

3( 2) 5 3 11
    

y x x .

Câu 23. Cho hàm số 3 2

2 8 5
   

y x x x có đồ thị là

 

C . Khẳng định nào sau đây đúng nhất ?
A. Khơng có bất kỳ hai tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số lại vng góc với nhau

B. Ln có bất kỳ hai tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số lại vng góc với nhau
C. Hàm số đi qua điểm M



1;17



D. Cả A, B, C đều sai
Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có '( ) 3 2 4 8

  

y x x x

Giả sử trái lại có hai tiếp tuyến với đồ thị

 

C vng góc với nhau.

Gọi x x1, 2 tương ứng là các hoành độ của hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó.

Gọi k k1, 2 lần lượt là các hệ số góc của hai tiếp tuyến tại các điểm trên

 

C có hồnh độ x x1, 2.

Khi đó '

 



 



1, 2  1 1 . 2  1 3 1  4 18 3 2  4 28 1

k k y x y x x x x x

 

Tam thức f t

 

3t2 4t8 có ' 0  nên f t

 

  0 t R từ đó và từ

 

1 suy ra mâu thuẫn.
Vậy, giả thiết phản chứng là sai, suy ra (đpcm)

Câu 24. Cho hàm số

2 3 1

 




x x

y

x và xét các phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k2 của đồ thị hàm

số là

A. y2 –1;x y2 – 3x . B. y2 – 5;x y2 – 3x .
C. y2 –1;x y2 – 5x . D. y2 –1;x y2x5.
Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Gọi M x y là tọa độ tiếp điểm. Ta có



0; 0







4 5

 

 


x x

y

x .

Hệ số góc của tiếp tuyến k2 y x

 

0 2





0 0

2
0

4 5

2
2

 

 



x x

x

0
2

0 0

0
1

4 3 0

3



     




x

x x

x .

Với x0  1 y0 1 pttt: y2



x1 1



  y2x1.
Với x0  3 y0 1 pttt: y2



x 3



 1 y2x 5.

Vậy hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là y2 –1x , y2 – 5x .

Câu 25. Cho hàm số 2

6 5
  

y x x có tiếp tuyến song song với trục hồnh. Phương trình tiếp tuyến đó
là:

A. x3. B. y4. C. y4. D. x3.

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Đạo hàm: y 2x 6.

Vì tiếp tuyến song song với trục hồnh nên ta có:

 

0 2 6 0 3 4 : 4.

 o   o   o   o   

y x x x y d y

Câu 26. Trong các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị hàm số 3 3 2 2

  

y x x , tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ
nhất bằng

A. 3. B. 3 . C. 4. D. 0 .

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A

Tập xác định:D.

Đạo hàm: 3 2 6 3



1



2 3 3

      

y x x x .

Vậy trong các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị hàm số đã cho, tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất bằng 3 .

Câu 27. Cho hàm số y 2 4

x có đồ thị

 

H Đường thẳng .  vng góc với đường thẳng

:  2

d y x và tiếp xúc với

 

H thì phương trình của  là

A. y x 4. B. 2

4
 


  



y x

y x . C.

2
6
 


  


y x

y x . D. Không tồn tại.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án C.

Tập xác định:D\ 0 .

 

Đạo hàm: y  42

x

Đường thẳng  vng góc với đường thẳng d : yx 2 nên  có hệ số góc bằng 1. Ta có phương trình

2
4

2



  




x
x

x .

Tại M



2;0



. Phương trình tiếp tuyến là y x 2.
Tại N



2;4



. Phương trình tiếp tuyến là y x 6.

Câu 28. Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong ( ) : 3 3 2 8 1

   

C y x x x , biết tiếp tuyến đó song
song với đường thẳng :y x 2017?

A. y x 2018. B. y x 4.

C. y x 4;y x 28. D. y x 2018.
Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án C. 
Tập xác định:D.
Đạo hàm: 3 2 6 8

   

y x x .

Tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng :y x 2017nên hệ số góc của tiếp tuyến là 1.
Ta có phương trình 1 3 2 6 8 1

3



    




x

x x

x .

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Tại N



3; 25



. Phương trình tiếp tuyến là y x 28.

Câu 29. Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến song song với trục hoành của đồ thị hàm số 3 3 2

  

y x x là

A. x1và x1. B. x3và x3. C. x1và x0. D. x2và x1.
Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A. 
Tập xác định:D.
Đạo hàm: 3 2 3

  

y x .

Tiếp tuyến song song với trục hồnh có hệ số góc bằng 0 nên có phương trình 0 3 2 3 1
1



   




x

Câu 30. Cho hàm số 3 3 2 2

  

y x x có đồ thị

 

C . Số tiếp tuyến của

 

C song song với đường thẳng

9


y x là:

A. 1. B. 3 . C. 4. D. 2.

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có: 2

'3 6

y x x. Lấy điểm M x y



0; 0

  

 C .

Tiếp tuyến tại M song song với đường thẳng y9x suy ra y x'

 

0 9
0

0 0

0
1

3 6 9 0 .

3



      




x

x x

x

Với x0  1 y0 2ta có phương trình tiếp tuyến: y9x 7.
Với x0  3 y0 2ta có phương trình tiếp tuyến: y9x25.
Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn.

Câu 31. Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số

 

1
:

1




C y

x song song với trục hoành
bằng:

A. 1. B. 0 . C. 1. D. 2.

Hướng dẫn giải:

Chọn B. 
Ta có:





2
'

1




x
y

x . Lấy điểm M x y



0; 0

  

 C .

Tiếp tuyến tại điểmM song song với trục hoành nên

 





0 2 2 0

' 0 0 0

     



x

y x x

x .

Câu 32. Tiếp tuyến của hàm số 8

2





x
y

x tại điểm có hồnh độ x0 3 có hệ số góc bằng

A. 3 B. 7 C. 10 D. 3

Hướng dẫn giải:

Ta có: 2

10
( 2)


 



y

x 0 2

( ) (3) 10

(3 2)


 

    



</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

Câu 33. Gọi

 

C là đồ thị hàm số 3 2

2 2

x   

y x x . Có hai tiếp tuyến của

 

C cùng song song với

đường thẳngy2x5. Hai tiếp tuyến đó là

A. y2x4 và y2x 2 B. 2 4

 

y x và y2x 2

C. 2 2

3
 

y x và y2x2 C. y2x3 và y2x1

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có   2 4 1

 

y x x

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y2x5  ky2

Suy ra x02 4x0 1 2
2

0 4 0 3 0

 x  x   0

0
1

3


 




x
x

4
(1)

3
(3) 4


 





 


y y

Vậy 1

2
: 2

3
 

d y x và d2:y2x2

Câu 34. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1

5





x
y

x tại điểmA



1;0



có hệ số góc bằng

A. 1

6 B.

25 C.

1
6

 D. 6

25


Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có 2

6
( 5)


 



y

x . Theo giả thiết:

1
( 1)

6


  

k y

Câu 35. Cho hàm số 2 4 3

  

y x x có đồ thị

 

P . Nếu tiếp tuyến tại điểm M của

 

P có hệ số góc

bằng 8 thì hồnh độ điểm M là:

A. 12 B. 6 C. 1 D. 5

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Ta có y 2x 4

Gọi tiếp điểm M x y( ; )0 0 . Vì tiếp tuyến tại điểm M của

 

P có hệ số góc bằng 8 nên

0 0 0

( ) 8 2 4 8 6
       

y x x x

Câu 36. Cho hàm số 3 3 2 3

  

y x x có đồ thị

 

C . Số tiếp tuyến của

 

C vng

góc với đường thẳng 1 2017
9

 

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 
Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án B.

Tiếp tuyến của

 

C vng góc với đường thẳng 1 2017
9

 

y x có dạng :y9x c .

 là tiếp tuyến của

 

C

3 2

3 3 9x
3x 6 9
    


 

  




x x c

x có nghiệm

3 3 2 3 9x

1
3

    



  







x x c

x
x

Vậy có hai giá trị c thỏa mãn.

Câu 37. Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số ( ) 3 2

  

f x x x tại điểm M( 2; 8) là:

A. 11. B. 12 C. 11. D. 6.

Hướng dẫn giải:
Ta có f ( 2)11
Chọn đáp án C.

Câu 38. Cho hàm số

2 2 1

( )

 




x x

f x

x có đồ thị

 

H . Tìm tất cả tọa độ tiếp điểm của đường thẳng 

song song với đường thẳng d y: 2x 1 và tiếp xúc với

 

H .

A. 0;1
2
 
 
 

M B. M



2; 3



C. M1



2; 3



và M2



1; 2



D. Không tồn tại

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án C.

Đường thẳng  song song với đường thẳng d y: 2x 1 có dạng :y2x c (c -1). 
 là tiếp tuyến của

 

H

2 2 1

2x
2

 

  



x x

c

x có nghiệm kép

2 ( 2) 1 2 0

 x  c x  c có nghiệm kép

x2

2 4 0 0

4 2( 2) 1 2 0



   

   



     



c

c c

c

c c

Vậy có hai giá trị c thỏa mãn nên có hai tiếp tuyến tương ứng với hai tiếp điểm.
Câu 39. Cho hàm số 1 3 2 2 3 1

   

y x x x có đồ thị

 

C . Trong các tiếp tuyến với

 

C , tiếp tuyến có

hệ số góc lớn nhất bằng bao nhiêu?

A. k3 B. k 2 C. k 1 D. k0

Hướng dẫn giải:

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

Xét tiếp tuyến với

 

C tại điểm có hồnh độ x0 bất kì trên

 

C . Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến đó là

2 2

0 0 0 0

( ) 4 3 1 ( 2) 1 .
        

y x x x x x

Câu 40. Hệ số góc k của tiếp tuyến với đồ thị hàm số ysinx1 tại điểm có hồnh độ


là

A. 1

2


k . B. 3

2


k . C. 1

2


k . D. 3

2


k .

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

cos
 

y x, cos 1

3 3 2

   


    
   

k y   .

Câu 41. Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số 1

1





x
y

x song song với đường thẳng : 2x y 1 0
là

A. 2x y  7 0 . B. 2x y 0. C. 2x y  1 0. D. 2x y  7 0.

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

+Gọi M x y( ; )0 0 là tọa độ tiếp điểm



x0 1



+ 2

2
( 1)


 



y
x

+Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng :y2x1 suy ra
0

0 2

0
0

2
2

( ) 2

0
( 1)





    



 

x
y x

x

x .

+ với x0  2 y0 3, PTTT tại điểm (2;3) là y2



x 2



 3 2x y  7 0

+ với x0  0 y0 1, PTTT tại điểm (0; 1) là y2x1 2x y  1 0.
Câu 42. Phương trình tiếp tuyến của

 

C : 3



y x biết nó vng góc với đường thẳng : 8
27

 y x  là:

A. 1 8

27
 

y x . B. y27x3. C. 1 3

27
 

y x . D. y27x54.
Hướng dẫn giải:

Chọn D. 
2

3
 

y x .

+Gọi M x y( ; )0 0 là tiếp điểm.

+ Vì tiếp tuyến vng góc với đường thẳng : 1 8
27


 y x suy ra

0 0

0
3

( ) 27 3 27

3



     




x

y x x

x .

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Câu 43. Cho hàm số 2

3 2 5
  

y x x , có đồ thị

 

C . Tiếp tuyến của

 

C vng góc với đường thẳng

4 1 0
  

x y là đường thẳng có phương trình:

A. y4x1. B. y4x2. C. y4x 4. D. y4x 2.
Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Phương trình tiếp tuyến của

 

C tại điểm M x y có phương trình là:



0; 0



y y 0 f x

  

0 x x 0



1 1
: 4 1 0

4 4
     

d x y y x

6 2
  

y x

Tiếp tuyến vng góc với d nên

 

0 0 0

. 1 4 6 2 4 1

4
 

          
 

y x y x x x ,

 

1 6

y . Phương trình tiếp tuyến có dạng : y4x2

Câu 44. Cho đường cong cos

3 2
 
   
 

x

y  và điểm M thuộc đường cong. ĐiểmM nào sau đây có tiếp

tuyến tại điểm đó song song với đường thẳng 1 5
2
 

y x ?

A. 5 ;1
3
 
 
 

M  . B. 5 ; 1

3


 



 

 

M  . C. 5 ;1

3


 

 

 

M  . D. 5 ; 0

3


 

 

 

M  .

Hướng dẫn giải:.
Chọn đáp án C

Hai đường thẳng song song nếu hệ số góc bằng nhau.

Tiếp tuyến của đường cong có hệ số góc :





1sin

2 3 2

 

    

 

M

x

y x 

Hệ số góc của đường thẳng 1

2


k

Ta có 1sin 1 sin 1 2 5 4

2 3 2 2 3 2 3 2 2 3

   

              

   

M M M

M

x x x

k x k

    

 

Câu 45. Tìm hệ số góc của cát tuyến MN của đường cong

 

C : 2 1

  

y x x , biết hoành độ M N, theo

thứ tự là 1 và 2.

A. 3 . B. 7

2. C. 2. D. 1.

Hướng dẫn giải:.
Đáp án C.



1;1 ,



M N



2; 3



Phương trình đường thẳng MN là :y2x1. Vậy hệ số góc của cát tuyến là 2
Câu 46. Cho hàm số 2 2 3

  

y x x , có đồ thị

 

C . Tiếp tuyến của

 

C song song với đường thẳng

2 2018

 

y x là đường thẳng có phương trình:

A. y2x1. B. y2x1. C. y2x4. D. y2x 4.
Hướng dẫn giải:.

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

: 2 2018

d y x

Tiếp tuyến của

 

C song song với d  y x

 

0  2 2x0 2 2  x0 2;y0 3
Vậy PTTT có dạng : y2x1.

Câu 47. Phương trình tiếp tuyến của

 

C : 3



y x biết nó có hệ số góc k 12 là:

A. y12x24. B. y12x16. C. y12x4. D. y12x8.
Hướng dẫn giải:.

Đáp án B. 
2

3
 

y x . Ta có

 

2 0 0

0 0

2 8

12 3 12

2 8

  



     

  



x y

y x x

x y

PPTT có dạng y12x16

Câu 48. Phương trình tiếp tuyến của

 

C : 3



y x biết nó song song với đường thẳng d : 1 10

3
 

y x là

A. 1 2

3 27
 

y x . B. 1 1

3 3
 

y x . C. 1 1

3 27
 

y x . D. 1 27

3
 

y x .

Hướng dẫn giải:.
Đáp án A

3
 

y x . Ta có

 

0 0

1 1

1 3 1 3 27

1 1

3 3

3 27



  



     

   



x y

y x x

x y

PPTT có dạng 1 2

3 27
 

y x

Câu 49. Tìm hệ số góc của cát tuyến MN của đường cong

 

C :

 

  

y f x x x , biết hoành độ M N,

theo thứ tự là 0 và 3 .

A. 4. B. 1

2. C.

4. D. 8.

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Gọi k là hệ số góc của cát tuyến MN với đường cong

 

C .

Ta có











 



3 3

0 0 3 3

8
0 3

  




   

  

M N

f x f x

y
k

x x x

Câu 50. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1 3 1 2 2 4

3 2 3

   

y x x x , biết tiếp tuyến vng góc
với đường thẳng x4y1 0 .

A. 4 7

6
 

y x ; 4 2

3
 

y x B. 4 73

6
 

y x ; 4 26

3
 

y x

C. 4 73

6
 

y x ; 4 2

3
 

y x D. 4 7

 

y x ; 4 26

3
 

y x

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

Chọn B

Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng x4y 1 0
1 1

4 4

 y x  Tiếp tuyến có hệ số góc k4
2

' 4 6 0 3; 2

 y   x  x   x x

* x 3 Phương trình tiếp tuyến 4( 3) 1 4 73

6 6

    

y x x

* x 2 Phương trình tiếp tuyến 4( 2) 2 4 26

3 3

    

y x x

Câu 51. Tìm m để đồ thị : 1 3



1





3 4



1

     

y mx m x m x có điểm mà tiếp tuyến tại đó vng góc
với đường thẳng x y 2013 0 .

A. m1 B. 1

 m C. 1 1

 m D. 1 1
2

 m

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Để tiếp tuyến của đồ thị vuông góc với đthẳng x y 2012 0 khi và chỉ khi y'.11 hay





2 1 3 3 0

    

mx m x m có nghiệm   . Đáp số: 1 1

 m .

Câu 52. Tìm m để đồ thị 3 3 2

  

y x mx có tiếp tuyến tạo với đường thẳng :d x y  7 0 góc  sao

cho os 1

26


c  .

A. m2 B. m3 C. m1,m4 D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải:

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tiếp tuyến có vectơ pháp tuyếnn 1



k; 1



, d có vec tơ pháp tuyến





2 1;1



n

Ta có 1 2 2

1 2

1 3

cos

2
26 2 1



    




 n n k k

n n k

 hoặc 2

3


k

Yêu cầu bài toán  ít nhất một trong hai phương trình y' k1 hoặc y' k2 có nghiệm x tức









3 2 1 2 2 ó nghiê

2
2

3 2 1 2 2 ó nghiê

3


    




     



x m x m c m

Tìm điều kiện có nghiệm suy ra m.

Câu 53. Cho hàm số: 2 2

1





x
y

x có đồ thị

 

C . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp 
tuyến có hệ số góc bằng 1.

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Hàm số đã cho xác định với  x 1. Ta có:





4
'

1





y
x

Gọi M x y là tọa độ tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của



0; 0



 

C :









0
0
2

0
0

2 2
4

1
1




  




x

y x x

x

x với

 





4
'

1





y x

x và

0
0

2 2
1





x
y

x
Tiếp tuyến có hệ số góc bằng 1

Nên có:





2 0

1 3,
1



  

 x

x x0 1

 Với x0  1 y0   0 :yx1
 Với x0  2 y0   4 :yx7

Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y x1, yx7.
Câu 54. Cho hàm số: 2 2

1





x
y

x có đồ thị

 

C . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp 
tuyến song song với đường thẳng d y: 4x1.

A. y4x3, y4x4. B. y4x2, y4x44.
C. y4x2, y4x1. D. y4x2, y4x14.
Hướng dẫn giải:

Chọn D

Hàm số đã cho xác định với  x 1. Ta có:





4
'

1





y
x

Gọi M x y là tọa độ tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của



0; 0



 

C :









0
0
2

0
0

2 2
4

1
1




  




x

y x x

x

x với

 





4
'

1





y x

x và

0
0

2 2
1





x
y

x
Tiếp tuyến song song với đường thẳng d y: 4x1.

Nên có:

 





0 2 0

' 4 4 0

1


    



y x x

x hoặc x0 2

 Với x0  0 y0   2 :y4x2
 Với x0  2 y0   6 :y4x14

Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y4x2, y4x14.
Câu 55. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số: 2 ,

1




x
y

x biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 2
A. y2x1,y2x B. y2x2,y2x4

C. y2x9,y2x D. y2x8,y2x

Hướng dẫn giải:

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

Ta có:













2 1 2 2

1 1

  

 

 

x x

y

x x .

Gọi



x y là tọa độ tiếp điểm, hệ số góc tiếp tuyến tại 0; 0





x y bằng 0; 0



 





2
0

2
'

1





y x
x

Theo giải thiết, ta có:

 





0 2

' 2 2

1


  



y x

x





2 0 0 0

0 0 0

1 1 2 4

1 1

1 1 0 0

    

 

      

    

 

x x y

x

x x y

Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài: y2x8,y2x

Câu 56. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số: 2 ,
1




x
y

x biết tiếp tuyến song song với đường 
thẳng

 

d :x2y0

A. 1 7, 1 7

2 4 2 4

   

y x y x B. 1 27, 1 7

2 4 2 4

   

y x y x

C. 1 2, 1 7

2 4 2 4

   

y x y x D. 1 27, 1 7

2 4 2 4

   

y x y x

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Ta có:













2 1 2 2

1 1

  

 

 

x x

y

x x .

Gọi



x y là tọa độ tiếp điểm, hệ số góc tiếp tuyến tại 0; 0





x y bằng 0; 0



 





2
0

2
'

1






y x
x
Theo giải thiết, ta có:









2
0
2

2 1 1

2 4

1


   

 x

x

Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài: 1 27, 1 7

2 4 2 4

   

y x y x

Câu 57. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số: 2 ,
1




x
y

x biết tiếp tuyến vng góc với đường 
thẳng

 

 : 9x 2y 1 0

A. 2 2, 2 8

9 9 9 9

   

y x y x B. 2 32, 2 8

9 9 9 9

   

y x y x

C. 2 1, 2 8

9 9 9 9

   

y x y x D. 2 32, 2 4

9 9 9 9

   

y x y x

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Ta có:













2 1 2 2

1 1

  

 

 

x x

y

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

Gọi



x y là tọa độ tiếp điểm, hệ số góc tiếp tuyến tại 0; 0





x y bằng 0; 0



 





2
0

2
'

1





y x
x
Theo giải thiết, ta có:









2
0
2

2 2 1

9 9

1


   

 x

x

Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài: 2 32, 2 8

9 9 9 9

   

y x y x

Câu 58. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số: 2 ,
1




x
y

x biết tạo với chiều dương của trục 
hồnh một góc  sao cho cos 2

5



A. 1 3

5 4
 

y x B. 1 3

5 4
 

y x C. 1 13

5 4
 

y x D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải:

Ta có:













2 1 2 2

1 1

  

 

 

x x

y

x x .

Gọi



x y là tọa độ tiếp điểm, hệ số góc tiếp tuyến tại 0; 0





x y bằng 0; 0



 





2
0

2
'

1





y x
x

Tiếp tuyến tạo với chiều dương trục hồnh,khi đó tồn tại 



0;



để tan 0 và





2
tan

1





x

 . Ta

có: 2

1 1 1

tan 1 tan

cos 4 2

    

 

 , nên có:









2
0
2

2 1

1 4
2

1


   

 x

x

Câu 59. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số: 2 ,
1




x
y

x biết tại điểm M thuộc đồ thị và vng
góc với IM (I là giao điểm 2 tiệm cận )

A. 1 3

5 4
 

y x B. 1 3

5 4
 

y x C. 1 13

5 4
 

y x D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải:

Ta có:













2 1 2 2

1 1

  

 

 

x x

y

x x .

Gọi



x y là tọa độ tiếp điểm, hệ số góc tiếp tuyến tại 0; 0





x y bằng 0; 0



 





0 2

2
'

1





y x
x





2
1




IM
k

x , theo bài tốn nên có: kIM. 'y x

 

0 1





0 1 4

 x  

Câu 60. Cho hàm số

4 2

x x 

y có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

A. 2 3
4
 

y x B. 2 1

4
 

y x C. 2 3

4
 

y x D. y2x1

Hướng dẫn giải:

Chọn A

'( ) 2

y x (trong đó x0 là hồnh độ tiếp điểm của (t) với (C)).

 x03x0  2 x03x0 2 0  x0 1.

Phương trình (t): '(1)( 1) (1) 2( 1) 11 2 3

4 4

       

y y x y x x

Câu 61. Cho hàm số 4 2

2 4 1
  

y x x có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp
tuyến vng góc với đường thẳng x 48y 1 0.

A. :y48x 81 B. :y48x81 C. :y48x1 D. :y48x 8

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Ta có ' 8 3 8

 

y x x

Gọi M x y( ; )0 0 . Tiếp tuyến  tại M có phương trình:

3 4 2

0 0 0 0 0

(8 8 )( ) 2 4 1

     

y x x x x x x .Vì tiếp tuyến vng góc với đường thẳng x 48y 1 0

Nên ta có: 0 0

'( ). 1 '( ) 48
48  

y x y x

0  0  6 0 0 2 0 15

x x x y .

Phương trình :y48(x2) 15 48x 81.
Câu 62. Cho (C) là đồ thị của hàm số

2 2 1

x   

y x x . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vng

góc với đường thẳng 2
5
 x

y .

A. y = 5x + 2

3 hoặc y = 5x – 8 B. y = 5x +

3 hoặc y = 5x – 9

C. y = 5x + 8

3 hoặc y = 5x – 5 D. y = 5x +

3 hoặc y = 5x – 8

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Cách 1. Tiếp tuyến (d) của (C) vng góc với đường thẳng 2

5
 x

y ,suy ra phương trình (d) có dạng :
y = 5x + m.

(d) tiếp xúc với (C)

3
2

2 1 5 (1)

2 2 5 (2)


    


 

   



x

x x x m

x x

có nghiệm.

Giải hệ trên, (2) x = -1  x = 3.
Thay x = - 1 vào (1) ta được m = 8

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 5x + 8

3 hoặc y = 5x – 8.

Cách 2. Tiếp tuyến (d) vng góc với đường thẳng 2

5
 x

y suy ra hệ số góc của (d) : k = 5.
Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm của (d) với (C),ta có : k f x'( )0  5x02 2x0 2 x0 1,x0 3.

Suy ra phương trình (d):

8
5( 1) (1) 5

3
5( 3) (3) 5 8


    




    


y x f x

Câu 63. Cho hàm số 3 2

2 ( 1) 2
    

y x x m x m có đồ thị là (Cm). Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị

(Cm) tại điểm có hồnh độ x1 song song với đường thẳng y3x10.

A. m2 B. m4 C. m0 D. Không tồn tại m

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta có: ' 3 2 4 1

   

y x x m . Tiếp tuyến của (Cm) tại điểm có hồnh độ x1 có phương trình
( 2)( 1) 3 2 ( 2) 2

       

y m x m m x m

Yêu cầu bài toán 2 3

2 10

 


 




m

m vô nghiệm.

Vậy không tồn tại m thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 64. Cho hàm số 3 2 2 ( 1) 2

    

y x x m x m có đồ thị là (Cm). Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc

nhỏ nhất của đồ thị (Cm) vng góc với đường thẳng :y2x1.

A. m1 B. m2 C. 11

6


m D. 6

11


m
Hướng dẫn giải:

Chọn C

Ta có: ' 3 2 4 1

   

y x x m .Ta có:

2 4 4 7 2 7

' 3 3

3 9 3 3 3

   

           

   

y x x m x m ' 7

3
 y  m .

Tiếp tuyến tại điểm có hồnh độ 2

3


x có hệ số góc nhỏ nhất và hệ số góc có giá trị : 7

3
 

k m .

Yêu cầu bài toán .2 1 7 .2 1 11

3 6

 

        
 

k m m .

Câu 65. Cho hàm số 2 1

1





x
y

x (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy lần
lượt tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 1

A. 3 1, 3 1, 12 2, 4 1

3 3
       

y x y x y x y x

B. 3 1, 3 11, 12 2, 4 2

3 3
       

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

C. 3 11, 3 11, 12 , 4 3
3 4
      

y x y x y x y x

D. 3 1, 3 11, 12 2, 4 2

3 3
       

y x y x y x y x

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta có 2

3
'
( 1)



y

x . Gọi M x y là tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến



0; 0



 có dạng:





0
2

0 0

2 1
3

( 1) 1




  

 

x

y x x

x x .

 0

0
2

0 0

: 3 2 1

( ) 0

( 1) 1




     
  
  

y

Ox A x

x x

x x

Suy ra

0 0

2 2 1

;0
3
   
 
 
x x
A .

 0 0

0 0

: 3 2 1

( 1) 1




    

 
  

x

Oy B x x

y
x x
Suy ra:
2
0 0
2
0

2 2 1

0;
( 1)
   
 

 
x x
B
x

Diện tích tam giác OAB :

0 0

2 2 1

1 1

2 6 1

   

   



 

x x

S OA OB

x
Suy ra
2
2

0 0
0

2 2 1
1
1
6 1
   
    

 
OAB
x x
S
x
2 2

0 0 0 0 0

2 2

0 0 0 0 0

2 2 1 1 2 0

2 2 1 1 2 3 2 0

       

   

      

 

 

x x x x x

0 0
0 0
1
0,
2
1
, 2
2

 

 
  

x x
x x

Từ đó ta tìm được các tiếp tuyến là:

4 2
3 1, 3 11, 12 2,

3 3
       

y x y x y x y x .

Câu 66. Cho hàm số

2 2

 





x mx m

y

x m . Giá trị m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại hai điểm và tiếp tuyến

của đồ thị tại hai điểm đó vng góc là

A. 3 . B. 4. C. 5 . D. 7 .

Hướng dẫn giải:

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

Phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hàm số

 

2 2

:   



x mx m

C y

x m và trục hoành:

 

2 2 2 0 *

0    

  

  
  

x mx m

x m x m .

Đồ thị hàm số
2

 





x mx m

y

x m cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt  phương trình

 

* có hai nghiệm

phân biệt khác  m

0 1

3 0

3
  




   

 

   


 



 

m m

m

m m .

Gọi M x y là giao điểm của đồ thị



0; 0



 

C với trục hồnh thì y0 x02 2mx0m0 và hệ số góc của
tiếp tuyến với

 

C tại M là:

 

0


 

k y x



 











0 0 0 0 0

0
0

2  2 1   2  2  2





x m x x mx m x m

x m

Vậy hệ số góc của hai tiếp tuyến với

 

C tại hai giao điểm với trục hoành là 1
1

2  2




x m

k

x m ,
2

2
2

2  2




x m

k

x m .

Hai tiếp tuyến này vng góc  k k1. 2 1 1 2

1 2

2 2 2 2

     

    

 

   

x m x m









 

1 2 1 2 1 2 1 2

4    **

 x x  m x x m   x x m x x m  .
Ta lại có 1 2

1 2 2





 



x x m

x x m, do đó

 

2 0

** 5 0

5



    





m

m m

m . Nhận m5.

Câu 67. Cho hàm số 1 (C)
1





x
y

x . Có bao nhiêu cặp điểm A B, thuộc

 

C mà tiếp tuyến tại đó song
song với nhau:

A. 0 . B. 2. C. 1. D. Vơ số.

Hướng dẫn giải:

Chọn D. 
Ta có:





' .

1





y
x

Đồ thị hàm số 1

1





x
y

x có tâm đối xứng I



1;1



.
Lấy điểm tùy ý A x y



0; 0

  

 C .

Gọi B là điểm đối xứng với A qua I suy ra B



2 x0;2 y0

  

 C . Ta có:
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm A là:

 





0 2

' .

1


 



A

k y x

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm B là:









0 2

' 2 .

1


  



B

k y x

x

Ta thấy kA kB nên có vơ số cặp điểm A B, thuộc

 

C mà tiếp tuyến tại đó song song với nhau
Câu 68. Cho hàm số 3 2 2 2

  

y x x x có đồ thị (C). Gọi x x1, 2 là hoành độ các điểm M N, trên

 

C ,
mà tại đó tiếp tuyến của

 

C vng góc với đường thẳng y x2017. Khi đó x1x2 bằng:

A. 4

3 . B.

4
3



. C. 1

3 . D. 1.

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có: ' 3 2 4 2

  

y x x .

Tiếp tuyến tại M N, của

 

C vng góc với đường thẳng yx2017. Hoành độ x x1, 2 của các điểm
,

M N là nghiệm của phương trình 3 2 4 1 0

  

x x .

Suy ra 1 2

4
3
 

x x .

Câu 69. Số cặp điểm A B, trên đồ thị hàm số 3 3 2 3 5

   

y x x x , mà tiếp tuyến tại A B, vng góc với

nhau là

A. 1 B. 0 C. 2. D. Vô số

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Ta có 3 2 6 3

   

y x x . Gọi A x y( ;A A) và B x y( ;B B)
Tiếp tuyến tại A, B với đồ thị hàm số lần lượt là:

2
1

2
2

: (3 6 3)( )

    

A A A A

B B B B

d y x x x x y

d y x x x x y

Theo giả thiết d1d2  k k1. 2 1

2 2

(3 6 3).(3 6 3) 1

 xA xA xB  xB  9(x2A2xA1).(x2B2xB1)1

2 2

9( 1) .( 1) 1

 xA xB  ( vô lý)

Suy ra không tồn tại hai điểm A B,

Câu 70. Cho hàm số 3 3 2 2

  

y x x có đồ thị

 

C . Đường thẳng nào sau đây là tiếp tuyến của

 

C và có

hệ số góc nhỏ nhất:

A. y3x3 B. y0 C. y5x10 D. y3x 3

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Gọi 3 2

0 0 0

( ;  3 2)

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

0 0

' 3  6

y x x

Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng: y k x x (  0)y0

Mà 2 2

0 0 0 0 0

'( ) 3 6 3( 2 1) 3

      

k y x x x x x

2
0

3( 1) 3 3
 x   

Hệ số góc nhỏ nhất khi x0 1 y0 y(1) 0 ; k 3

Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm



1;0 có hệ số góc nhỏ nhất là :



y3x3

Câu 71. Cho hai hàm ( ) 1
2


f x

x và

2
( )

2
x

f x . Góc giữa hai tiếp tuyến của đồ thị mỗi hàm số đã cho

tại giao điểm của chúng là:

A. 90 B. 30 . C. 45 . D. 60 .

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A.

Phương trình hồnh độ giao điểm

1 1 1 1

1 1;

2 2 2 2

 

         

 

x

x x y M

x
x

Ta có (1) 1 , (1) 2 (1). (1) 1

2 2

       

f g f g

Câu 72. Cho hàm số 3 3 2 ( 1)

    

y x mx m x m. Gọi A là giao điểm của đồ thị hàm số với Oy. Tìm m
để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A vng góc với đường thẳng y2x 3.

A. 3

2


B. 1

2 C.

2 D.

1
2


Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A.

Ta có A(0; m) f(0) m 1. Vì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A vng góc với đường thẳng

2 3
 

y x nên 2.( 1) 1 3

2
   

m m .

Câu 73. Cho hàm số





3 1  




m x m m

y

x m có đồ thị là



C ,  m



m và m0.Với giá trị nào của m thì 
tại giao điểm đồ thị với trục hoành, tiếp tuyến của đồ thị sẽ song song với đường thẳng x y 10 0 .

A. m1; 1

5


m B. m1; 1

5


m C. m1; 1

5


m D. m1; 1

5


m
Hướng dẫn giải:

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

Hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hồnh là nghiệm phương trình:









2
2
, 0
3 1
0, 0

3 1 0

 

   
   
   
 

x m m

m x m m

m

m x m m

x m

2 2

1 1

, 0, 0,

3 3

3 1 3 1

 
    
 
 
   
 
    
   
 

x m m m m m

m m m m

x x m

m m
. Mà





2
2
4
' 

m
y
x m
2 2
2
2
4
'
3 1
3 1
  
  
  
  

 

 

m m m

y

m m m

m
m

Tiếp tuyến song song với đường thẳng x y 10 0 nên
2
' 1
3 1
  

 

 
m m
y

m  m1 hoặc

1
5


m
1

 m giao điểm là A



1;0



, tiếp tuyến là y x 1.
1

 m giao điểm là 3;0
5
 
 
 

B , tiếp tuyến là 3

5
 

y x .

Câu 74. Tìm  m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của



C : m







3 2 2 1 2

    

y x x m x m vng

góc với đường thẳng yx

A. 10

3


m B. 1

3


m C. 10

13


m D. m1

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

2 2 7 7

' 3 4 1 3

3 3 3

 

           

 

y x x m x m m ' 7

 y  m ' 7
3

 y  m khi 2
3


x .Theo bài toán ta

có: ' 1





1 7





1 10

3 3

 

         
 

y m m .

Câu 75. Xác định m để hai tiếp tuyến của đồ thị 4 2 2 2 1

   

y x mx m tại A



1;0



và B



1;0



hợp với
nhau một góc  sao cho cos 15

17


 .

A. m0, m2, 5 ,
16


m 7

6


m . B. m0, m2, 15,

16

m 17
16

m .

C. m0, m2, 15,
16


m 7

16


m . D. m0, m2, 5,

6

m 7
6

m .

Hướng dẫn giải:

Dễ thấy, A, B là 2 điểm thuộc đồ thị với   m .
Tiếp tuyến d1 tại A:



4m 4



x y  4m 4 0
Tiếp tuyến d2 tại B:



4m4



x y  4m 4 0

Đáp số: m0, m2, 15,

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

Câu 76. Tìm m để đồ thị 1 3







4 3



1
3

     

y mx m x m x tồn tại đúng 2 điểm có hồnh độ dương
mà tiếp tuyến tại đó vng góc với đường thẳng x2y 3 0 .

A. 0;1 1 2;
4 2 3
   
  
   

m B. 0;1 1 7;

4 2 3
   
  
   

m

C. 0;1 1 8;
2 2 3
   
  
   

m D. 0;1 1 2;

2 2 3
   
  
   

m
Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Hàm số đã cho xác định trên .

Ta có: y'mx22



m1



x 4 3m .

Từ u cầu bái tốn dẫn đến phương trình 1 1
2
 

 
 
 

y có đúng 2 nghiệm dương phân biệt, tức





2 2 1 2 3 0

    

mx m x m có đúng 2 dương phân biệt

0
' 0

0
0



 

 



 


m

S
P

0
1
2

0 1

2
0

3




 


 

 




 




m

hay

1 1 2
0; ;

2 2 3
   

  
   

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

DẠNG 3: TIẾP TUYẾN ĐI QUA MỘT ĐIỂM

Câu 1. Cho hàm số 2

2



x
y

x , tiếp tuyến của đồ thị hàm số kẻ từ điểm



–6;5 là



A. y– –1x ; 1 7

4 2
 

y x . B. y– –1x ; 1 7

4 2
 

y x .

C. y–x1 ; 1 7

4 2

 

y x . D. y–x1 ; 1 7

4 2
 

y x .

Hướng dẫn giải:

Chọn B.





2 4
2 2
 

  
 
x
y y

x x .

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị

 

: 2
2




x
C y

x tại điểm M x y



0; 0

  

 C với x0 2 là:

  

0 0





  

y y x x x y









0
0
2
0
0
2
4
2
2


   


x

y x x

x

x .

Vì tiếp tuyến đi qua điểm



–6;5 nên ta có











0
0
2
0
0
2
4
5 6
2
2


   


x
x
x
x
0
2

0 0
0
0

4 24 0

6


    


x
x x
x

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa đề bài là: y– –1x và 1 7

4
–

 

y x .

Câu 2. Tiếp tuyến kẻ từ điểm



2;3 tới đồ thị hàm số



3 4




x
y

x là

A. y28x59 ; y x 1. B. y–24x51; y x 1.
C. y28x59. D. y28x59; y24x51.

Hướng dẫn giải:

Chọn C.





3 4 7

1 1
 

  
 
x
y y

x x .

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị

 

: 3 4

1



x
C y

x tại điểm M x y



0; 0

  

 C với x0 2 là:

  

0 0





  

y y x x x y









0
0
2
0
0
3 4
7
1
1


   



x

y x x

x

x .

Vì tiếp tuyến đi qua điểm



2;3 nên ta có



</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

Câu 3. Cho hàm số

2 1

1
 




x x

y

x có đồ thị

 

C . Phương trình tiếp tuyến của

 

C đi qua điểm A



1;0



là:

A. 3

4


y x B. 3





4
 

y x C. y3



x1



D. y3x1

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Gọi d là phương trình tiếp tuyến của

 

C có hệ số góc k ,

Vì A



1;0 



d suy ra d: y k x



1



d tiếp xúc với

 

C khi hệ

( 1) (1)

(2)
( 1)

  

 








 

 


x x

k x
x

x x

k
x

có nghiệm

Thay

 

2 vào 1 ta được

 

x 1 (1) 3

4


 

k y .

Vậy phương trình tiếp tuyến của

 

C đi qua điểm A



1;0



là: 3





4
 

y x

Câu 4. Qua điểm A



0;2



có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị của hàm số 4 2 2 2

  

y x x

A. 2 B. 3 C. 0 D. 1

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho.

VìA(0;2) d nên phương trình của d có dạng: y kx 2

Vì d tiếp xúc với đồ thị ( )C nên hệ

4 2

2 2 2 (1)
4 4 (2)
    




 




x x kx

x x k có nghiệm

Thay

 

2 và

 

1 ta suy ra được

2
3



 


x

Chứng tỏ từ A có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị

 

C

Câu 5. Cho hàm số 4 2 2

 

y x x có đồ thị

 

C . Xét hai mệnh đề:

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>

(II) Trục hoành là tiếp tuyến với

 

C tại gốc toạ độ

Mệnh đề nào đúng?

A. Chỉ (I) B. Chỉ (II) C. Cả hai đều sai D. Cả hai đều đúng

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án D.

Ta có y( 1) y( 1) 0   (I) đúng.
Ta có y(0) 0  (II) đúng.

Câu 6. Cho hàm số 3 6 2 9 1

   

y x x x có đồ thị là

 

C . Từ một điểm bất kì trên đường thẳng x2 kẻ
được bao nhiêu tiếp tuyến đến

 

C :

A. 2. B. 1. C. 3 . D. 0.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án B.

Xét đường thẳng kẻ từ một điểm bất kì trên đường thẳng x2có dạng :y k x (  2)kx-2k.
 là tiếp tuyến của

 

C

3 2

6 9x-1=kx 2
3x 12x 9

   


 

  




x x k

k

có nghiệm 3 2

2 12 24x-17=0
3x 12x 9

  


 

  




x x

k

Phương trình bậc ba có duy nhất một nghiệm tương ứng cho ta một giá trị k . Vậy có một tiếp tuyến.
Dễ thấy kẻ từ một điểm bất kì trên đường thẳng x2có dạng y a song song với trục Ox cũng chỉ kẻ 
được một tiếp tuyến.

Câu 7. Đường thẳng y3x m là tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3

2
 

y x khi m bằng

A. 1 hoặc1. B. 4 hoặc 0 . C. 2 hoặc2. D. 3 hoặc 3 .
Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Đường thẳng y3x m và đồ thị hàm số y x 32 tiếp xúc nhau

3 3

2 3 3 2 0

4
1

3 3

         


     






  



x x m m x x m

m
x

x .

Câu 8. Định m để đồ thị hàm số 3 2 1

  

y x mx tiếp xúc với đường thẳng d y: 5?

A. m3. B. m3. C. m1. D. m2.

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Đường thẳng 3 2 1

  

y x mx và đồ thị hàm số y5 tiếp xúc nhau

3 2

1 5 (1)
3 2 0 (2)
   


 

 




x mx

x mx có nghiệm.

0
(2) (3 2 ) 0 2
3




   

 


x

x x m m

x .

</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

+ Với 2

3
 m

x thay vào (1) ta có: 3 27 3

  

m m .

Câu 9. Phương trình tiếp tuyến của

 

C : 3



y x biết nó đi qua điểm M(2;0) là:

A. y27x54. B. y27x 9 y27x 2.

C. y27x27. D. y 0 y27x 54.

Hướng dẫn giải:

Vậy chọn D.

+ 2

' 3

y x .

+ Gọi A x y( ; )0 0 là tiếp điểm. PTTT của ( )C tại A x y( ; )0 0 là:





2 3

0 0 0

3 ( )

  

y x x x x d .

+ Vì tiếp tuyến ( )d đí qua M(2;0) nên ta có phương trình:





2 3

0 0 0

0
0

3 2 0

3



    




x

x x x

x .

+ Với x0 0thay vào ( )d ta có tiếp tuyến y0.

+ Với x0 3 thay vào ( )d ta có tiếp tuyến y27x 54.
Câu 10. Cho hàm số 2 5 8

  

y x x có đồ thị

 

C . Khi đường thẳng y3x m tiếp xúc với

 

C thì tiếp

điểm sẽ có tọa độ là:

A. M



4;12



. B. M



4;12



. C. M



4; 12



. D. M



4; 12



.

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Đường thẳng d y: 3x m tiếp xúc với

 

C  d là tiếp tuyến với

 

C tại M x y



0; 0



2 5

  

y x  y x

 

0  3 2x0 5 3  x0 4;y0 12.

Câu 11. Cho hàm số

 

1
4

x  

f x x , có đồ thị

 

C . Từ điểm M



2; 1



có thể kẻ đến

 

C hai tiếp

tuyến phân biệt. Hai tiếp tuyến này có phương trình:

A. yx1và y x 3. B. y2x 5và y2x3.
C. yx1và yx3. D. y x 1và yx 3.
Hướng dẫn giải:

Chọn A

Gọi N x y là tiếp điểm;



0; 0



2
0

0 0 1

x  

y x ;

 

0 1

2
 x 

f x

Phương trình tiếp tuyến tại N là:





0 0

1 1

2 4

 

      

 

x x

y x x x

Mà tiếp tuyến đi qua M



2; 1







2 2

0 0 0

1 1 2 1 0

2 4 4

 

            

 

x x x

 

0 0

0; 1; 0 1

4; 1; 4 1



  


 



  



x y f

</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>

Phương trình tiếp tuyến : yx1 và y x 3.
Câu 12. Cho hàm số 3 3 2 6 1

   

y x x x (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến
đi qua điểm N(0;1).

A. 33 11

4
 

y x B. 33 12

4
 

y x C. 33 1

4
 

y x D. 33 2

4
 

y x

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Gọi M x y là tiếp điểm



0; 0



Ta có: 2

' 3 6  6

y x x .

Phương trình tiếp tuyến có dạng:y(3x026x0 6)(x x 0)x033x02 6x01
Vì tiếp tuyến đi qua N(0;1) nên ta có:

2 3 2

0 0 0 0 0 0

1 (3 x 6x  6)(x )x 3x  6x 1

3 2

0 0 0 0

2 3 0 0,

2
 x  x   x  x 

 x0  0 y x'( )0 6. Phương trình tiếp tuyến:y6x1.

 0 3 0 107, '( )0 33

2 8 4

   

x y y x . Phương trình tiếp tuyến

33 3 107 33

' 1

4 2 8 4

 

     
 

y x x .

Câu 13. Cho hàm số 4 2 1

  

y x x (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đi
qua điểm M



1;3



A. y6x 2 B. y6x 9 C. y6x 3 D. y6x 8

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Ta có: 3

' 4 2

y x x. Gọi M x y là tiếp điểm



0; 0



Phương trình tiếp tuyến có dạng:









4 2

0 0 0 0 0

4 2 1

     

y x x x x x x

Vì tiếp tuyến đi qua M



1;3



nên ta có:









4 2

0 0 0 0 0

3 4x 2x  1 x x x 1 3x044x03x022x0 2 0

2 2

0 0 0 0 0 0

( 1) (3 2 2) 0 1 3, '( ) 6
 x  x  x    x   y  y x 

Phương trình tiếp tuyến: y6x 3.

Câu 14. Cho hàm số 2 2






x
y

x (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm

(4;3)

A

A.

1 1

9 9

1 1

4 4



 




  



y x

B.

1 31

9 9

1 31

4 4



 




  



y x

C.

1 1

9 9

1 31

4 4



 




  



y x

D.

1 31

9 9

1 1

4 4



 




  



y x

</div>
(53)<div class='page_container' data-page=53>

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Hàm số xác định với mọi x1. Ta có: 2
4
'

( 1)





y
x

Gọi M x y( ; )0 0 là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C):
Vì tiếp tuyến đi qua A(4;3) nên ta có:





0
2

0 0

2 2
4

3 4

( 1) 1




  

 

x
x

x x

2 2

0 0 0

3( 1) 4( 4) 2( 1)

 x   x   x   x0210x0 21 0  x0 3,x0 7
 0 7 0 8, '( )0 1

3 9

   

x y y x . Phương trình tiếp tuyến





1 8 1 31

9 3 9 9

    

y x x .

 0 3 0 1, '( )0 1
4
   

x y y x . Phương trình tiếp tuyến





1 1 1

3 1

4 4 4

    

y x x .

Câu 15. Cho hàm số 2 1
1





x
y

x (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua A



7;5



A. 3 1, 3 29

4 4 16 16

   

y x y x B. 3 1, 3 2

4 2 16 16

   

y x y x

C. 3 1, 3 9

4 4 16 16

   

y x y x D. 3 1, 3 29

4 4 16 16

   

y x y x

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta có 2

3
'

( 1)





y

x . Gọi M x y là tiếp điểm. Do tiếp tuyến đi qua



0; 0



A



7;5



nên ta có:





0 2 0

0 0 0

0 0

2 1

5 7 4 5 0

( 1) 1







         



  

x
x

x x x

x

x x

Từ đó ta tìm được các tiếp tuyến là: 3 1, 3 29
4 4 16 16

   

y x y x .

Câu 16. Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị

 

C : 2 1

1





x
y

x biết d cách đều 2 điểm A



2;4



và



4; 2



B .

A. 1 1

4 4
 

y x , y x 3, y x 1 B. 1 5

4 2
 

y x , y x 5, y x 4

C. 1 5

4 4
 

y x , y x 4, y x 1 D. 1 5

4 4
 

y x , y x 5, y x 1

Hướng dẫn giải:

</div>
(54)<div class='page_container' data-page=54>

Gọi M x y x



 



, x0 1 là tọa độ tiếp điểm của d và

 

C
Khi đó d có hệ số góc

 





0 2

1
'

1




y x

x và có phương trình là :



0







1 1

1
1

   




y x x

x

Vì d cách đều A, B nên d đi qua trung điểm I



1;1



của AB hoặc cùng phương với AB.

TH1: d đi qua trung điểm I



1;1



, thì ta ln có:









1 1

1 1 2

1
1

    



 x x

x , phương trình này có nghiệm x0 1

Với x0 1ta có phương trình tiếp tuyến d :

1 5
4 4
 

y x .

TH2: d cùng phương với AB, tức là d và AB có cùng hệ số góc, khi đó '

 

0 1



  



B A

AB

B A

y y

y x k

x x hay





1
1  


x x0 2 hoặc x0 0

Với x0 2ta có phương trình tiếp tuyến d : y x 5.
Với x0 0ta có phương trình tiếp tuyến d : y x 1.
Vậy, có 3 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: 1 5

4 4
 

y x , y x 5, y x 1

Câu 17. Tìm  m để từ điểm M



1;2



kẻ được 2 tiếp tuyến đến đồ thị





: 3 2 2



1



2

    

m

C y x x m x m .

A. 10, 3

81
 

m m B. 100, 3

 

m m C. 10, 3

 

m m D. 100, 3

 

m m

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Gọi N x y



0; 0

  

 C . Phương trình tiếp tuyến

 

d của A tại N là:









3 2





0 0 0 0 0 0

3 4 1 2 1 2

         

y x x m x x x x m x m

 

3 2

 

0 0 0

2 5 4 3 3

      

M d x x x m

Dễ thấy

 

 là phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị y 3 3m và

 

3 2
0 2 05 0  4 0

f x x x x .

Xét hàm số f x

 

0 2x035x02  4x có 0

 

0 0 0

' 6 10  4

f x x x

 

0 0

'  0 2

f x x hoặc 0

1
3


x .

Lập bảng biến thiên, suy ra 100, 3
81

 

</div>
(55)<div class='page_container' data-page=55>

Câu 18. Cho hàm số 4 2

2 4 1
  

y x x có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp
tuyến đi qua A(1; 3) .

A. :y3 hay : 64 1
27 81

 y x B. :y3 hay : 64 1

27 8
 y x

C. :y3 hay : 64 51
27 2

 y x D. :y3 hay : 64 51

27 81
 y x

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta có ' 8 3 8

 

y x x

Gọi M x y( ; )0 0 . Tiếp tuyến  tại M có phương trình:

3 4 2

0 0 0 0 0

(8 8 )( ) 2 4 1

     

y x x x x x x .Vì tiếp tuyến  đi qua A(1; 3) nên ta có

3 4 2

0 0 0 0 0

3 (8 8 )(1 ) 2 4 1
  x  x  x  x  x 

4 3 2

0 0 0 0

3 4 2 4 1 0

 x  x  x  x    (x01) (2 x01)(3x01) 0
 x0   1 :y3

 0 1 : 64 51

3 27 81

    

x y x .

Câu 19. Cho hàm số 2 4 4 2 1

  

y x x có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp
tuyến tiếp xúc với (C) tại hai điểm phân biệt.

A. :y3 B. :y4 C. :y3 D. :y4

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Ta có ' 8 3 8

 

y x x

Gọi M x y( ; )0 0 . Tiếp tuyến  tại M có phương trình:

3 4 2

0 0 0 0 0

(8 8 )( ) 2 4 1

     

y x x x x x x .Giả sử  tiếp xúc với (C) tại điểm thứ hai N n n( ;2 4 4n21)

Suy ra: : (8 3 8 )( ) 2 4 4 2 1

 y n  n x n  n  n 

Nên ta có:

3 3

0 0

4 2 4 2

0 0

8 8 8 8

6 4 1 6 4 1

   




     




x x n n

2 2

0 0

2 2

0 0

1 0
( )(3 3 2) 0
    


 

   




x nx n

x n x n

2 2

0 0

1 0
0

    


 

 




x x n n

x n (I) hoặc

2 2

0 0

2 2

1 0
3 3 2 0
    


 

  




x x n n

x n (II)

Ta có (I) 0
1


 




x n

n ;

2 2

2
3
(II)

1
3



 



 

 




x n

x n

vô nghiệm. Vậy :y3.

Câu 20. Cho (C) là đồ thị của hàm số 
3

2 2 1

x   

y x x . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp

</div>
(56)<div class='page_container' data-page=56>

A. y = x +1

3. B. y = x +

3 . C. y = x +

13. D. y = x

-4
3.

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Vì tam giác OAB là tam giác vng tại O nên nó chỉ có thể vng cân tại O, khi đó góc giữa tiếp tuyến
(D) và trục Ox là 450,suy ra hệ số góc của (D) là

k 1

Trường hợp kD 1,khi đó phương trình (D) : y = x + a. (a0)

(D) tiếp xúc (C)

3
2

2 1 (3)

2 2 1 (4)



    


 

   



x

x x x a

x x

có nghiệm.

(4) x  2x  1 0 x1.

Thay x = 1 v phương trình (3) ta được a = 4

Vậy trong trường hợp này,phương trình (D): y = 4

3


x

Trường hợp kD1, khi đó phương trình (D): y = - x + a.

(D) tiếp xúc với (C)

3
2

2 1 (5)

2 2 1 (6)



    


 

   



x

x x x a

x x

có nghiệm

(6) 2 2 3 0

 x  x  .P/t này vô nghiệm nên hệ (5), (6) vô nghiệm,suy ra (D) : y = - x + a không tiếp xúc

với (C).

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = x +4

Câu 21. Cho hàm số 3 2 2 ( 1) 2

    

y x x m x m có đồ thị là (Cm). Tìm m để từ điểm M(1;2) vẽ đến
(Cm) đúng hai tiếp tuyến.

A.

3
10
81



 


m

m B.

3
100

81



 


m

m C.

3
10
81



 


m

m D.

3
100

81



 


m
m

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta có: ' 3 2 4 1

   

y x x m . Gọi A x y( ; )0 0 là tọa độ tiếp điểm.
Phương trình tiếp tuyến  tại A:





3 2

0 0 0 0 0 0

3 4 1 ( ) 2 ( 1) 2

         

y x x m x x x x m x m





3 2

0 0 0 0 0 0

2 3 4 1 (1 ) 2 ( 1) 2
            

M x x m x x x m x m 3 2

0 0 0

2 5 4 3 3 0
 x  x  x  m  (*)

u cầu bài tốn  (*) có đúng hai nghiệm phân biệt (1)
Xét hàm số: ( ) 2 3 5 2 4 ,

    

</div>
(57)<div class='page_container' data-page=57>

Ta có: '( ) 6 2 10 4 '( ) 0 1, 2
3

       

h t t t h t t t

Bảng biến thiên

x

  2 1

3 
'

y  0  0 
y 12 

  19

27


Dựa vào bảng biến thiên, suy ra

3 3 12

(1) 19

3 3

27
 





  


m
m

3
100

81






 


m

m là những giá trị cần tìm.

Câu 22. Tìm điểm M trên đồ thị

 

C : 2 1

1





x
y

x sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng :

3 3 0
  

x y đạt giá trị nhỏ nhất.

A. M



2;1



B. M



2;5



C. 1;1

2
 


 
 

M D. 3;7

2
 
 
 

M
Hướng dẫn giải:

Chọn A

Gọi ;2 1

1


 

 



 

m
M m

m là tọa độ điểm cần tìm



m1



Khoảng cách từ M đến đường thẳng  là:

2 2

2 1

3 3

1 3



 

  



 





m
m

m

d hay

1 2 6

1
10

 




m m

d

m

Xét hàm số:

 





2 6

1
1

2 6

1 2 6

1
1

  




 

  

 

   



 



m m

khi m
m

m m

f m

m m m

khi m
m

Ta có: f m'

 

 0 m2 thỏa m1 hoặc m4 thỏa m1.

Lập bảng biến thiên suy ra min 2
10


d khi m2 tức M



2;1



Tiếp tuyến tại M là 1 1

3 3
 

</div>


Chương 2: Bài tập và lý thuyết bài đại số tổ hợp potx

bài tập và lý thuyết tổng hợp môn lý

bài tập va lý thuyết thuế

Bài tập và lý thuyết lập trình căn bản ppt

bài tập và lý thuyết Đạo hàm

Đề cương ôn tập vật liệu xây dựng f1 (bài tập và lý thuyết)

Bài tập lớn lý thuyết tạo hình - đại học chính qui

bài tập và lý thuyết chương 9

BÀI TẬP LỚN LÝ THUYẾT TÀU THỦY, ĐẠI HỌC NHA TRANG

Đề cương phần bài tập và lý thuyết môn cơ học đất

Bài tập và Lý thuyết chương 5 đại số lớp 11 - Tiếp tuyến - Đặng Việt Đông | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện

<b>TIẾP TUYẾN</b>

<b>A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP</b>





 

 



  

 

 

  



 





 

 





 

 





 

<sub> </sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

 

 





 

 

 





 

 

   

   













<b>B – BÀI TẬP</b>

<b>DẠNG 1: TIẾP TUYẾN TẠI ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ HÀM SỐ:</b>

 





 







 









 



 

















 





 

 





