Bài 1. Bài tập có đáp án chi tiết về giới hạn của dãy số lớp 11 | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Câu 1.</b> <b>[1D4-1.1-1] (Quỳnh Lưu Nghệ An) Biểu thức </b>

2 1
lim

2
<i>n</i>
<i>n</i>



 _bằng

<b>A. </b>_. <b>_{B. 0.}</b> <b>_C.</b> _. <b>_{D. 2.}</b>

<b>Lời giải</b>

<i><b>Tác giả: Đỗ Tấn Bảo; Fb: Đỗ Tấn Bảo </b></i>
<b>Chọn D</b>

Ta có

1
2

2 1

lim lim

2

2 ₁

<i>n</i> <i>_n</i>

<i>n</i>

<i>n</i>






 2 0 2

1 0


 

 _.

<b>Câu 2.</b> <b>[1D4-1.1-1] (GIỮA HK2 LỚP 11 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2018-2019) </b>

2018
lim

2019
<i>n</i>

 

 

 

bằng

<b>A.1.</b> <b>B.</b>

1

2 . <b>C.</b>_. <b>_D.0.</b>

<b>Lời giải</b>

<i><b>Tác giả:Quách Phương Thúy; Fb: Phương Thúy</b></i>

<b>Chọn D</b>

Vì
2018

1
2019 _nên

2018

lim 0

2019
<i>n</i>

 



 

 

<b>Bài tập tương tự :</b>

<b>Câu 3.</b>

2020
lim

2019
<i>n</i>

 

 

 _{ bằng}

<b>A.1.</b> <b>B.0.</b> <b>C.  .</b> <b>D. </b>

3

2 .

<b>Câu 4.</b>

lim
4

<i>n</i>

 
 
 _{ bằng}

<b>A.0.</b> <b>B.2.</b> <b>C.   .</b> <b>D. </b>

1
3 .
<b>Ghi nhớ:</b>

lim<i>_{q }n</i> 0

nếu <i>q </i>1
lim<i>_{q }n</i>

nếu <i>q </i>1

<b>Câu 5.</b> <b>[1D4-1.1-1] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Trong các giới hạn sau giới hạn nào bằng </b>0 ?

<b>A. </b>
1

lim

2 1

<i>n</i>
<i>n</i>



 . <b>B. </b>

3
lim

2
<i>n</i>
 
 

 _{ .} <b>_C.</b>lim 4

<i>n</i>

 
 

 _{ .} <b>_D.</b><i>lim n .</i>2
<b>Lời giải</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>Chọn C</b>

Ta có: lim<i>q  với 0n</i> 0 <i>q</i> 1 

lim 0

4
<i>n</i>

 


 

  _.

<b>Câu 6.</b> <b>[1D4-1.1-1] (KIM-LIÊN 11 hk2 -2017-2018) </b>





2 3

lim 3 4 <i>n</i>  5<i>n</i>

bằng

<b>A.</b>_. <b>_B.</b> _. <b>_C.</b>5 . <b>_D.</b>_{ .}5

<b>Lời giải</b>

<i><b>Tác giả: Trần Thị Vân; Fb:Trần Thị Vân </b></i>
<b>Chọn B</b>



2 3



3

3

3 4
lim 3 4<i>n</i> 5<i>n</i> lim <i>n</i> . 5

<i>n</i> <i>n</i>

  

   _ _   __

 

 

Ta có:

 

3

<i>lim n </i>

; 3

3 4

lim 5 5

<i>n</i> <i>n</i>

 

  

 

  _.



2 3



lim 3 4<i>n</i> 5<i>n</i>

    

.

<b>Câu 7.</b> <b>[1D4-1.1-2] (Chuyên Bắc Giang) Dãy số nào dưới đây là dãy số bị chặn?</b>

<b>A.</b> <i>n</i> 1

<i>n</i>
<i>u</i>

<i>n</i>


 _. <b>_B.</b> <i>un</i>  <i>n</i>21. <b>C.</b> 2 1
<i>n</i>
<i>n</i>

<i>u   .</i> <b>D.</b>

1
<i>n</i>

<i>u</i> <i>n</i>

<i>n</i>
 

.
<b>Lời giải</b>

<i><b> Tác giả: Nguyễn Thị Thu Trang; Fb: Nguyễn Thị Thu Trang</b></i>
<b>Chọn A</b>

Dãy số <i>n</i> 1
<i>n</i>
<i>u</i>

<i>n</i>


 _{bị chặn vì}0 1 1
<i>n</i>
<i>n</i>

 

 _với<b>  . Chọn A.</b><i>n</i> *

Lại có: +

2

lim 1

<i>n</i>  <i>n</i> 

2

1
lim . 1
<i>n</i>  <i>n</i> <i>n</i>

 

 _  _

 

    .

+ lim 2



1



<i>n</i>

<i>n </i>   _.

+

1
lim

<i>n</i>  <i>n</i> <i>n</i>

 



 

  2

1

lim 1

<i>n</i>  <i>n</i> <i>n</i>

  
 _ _  __  

 

  _.

Nên các dãy số <i>un</i>  <i>n</i>21, 2 1
<i>n</i>
<i>n</i>

<i>u  </i> _,<i>un</i> <i>n</i> 1
<i>n</i>
 

không bị chặn trên, suy ra các dãy số này
<b>không bị chặn. Loại B, C, D.</b>

<b>Câu 8.</b> <b>[1D4-1.2-2] (KIM-LIÊN 11 hk2 -2017-2018) Tính </b> 3
sin
lim

1
<i>n</i>
<i>n </i> _.

<b>A. </b>0. <b>B. </b>_. <b>_C.</b> _. <b>_D.</b>1_.

<b>Lời giải</b>

<i><b>Tác giả: Dương Quang Hưng ; Fb: Dương Quang Hưng </b></i>
<b>Chọn A </b>

Ta có: 3 3

sin 1

0

1 1

<i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i>

 

 

Mà: 3
1

lim 0

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Do đó: 3
sin

lim 0

1
<i>n</i>
<i>n</i>   _.

<b>Câu 9.</b> <b>[1D4-1.3-1] (Quỳnh Lưu Lần 1) </b>

1 19
lim

18 19
<i>n</i>

<i>n</i>
<i>n</i>

 



 _bằng

<b>A. </b>
19

18_. <b>_B.</b>

1

18_. <b>_C.</b>_. <b>_D.</b>

1
19_.
<b>Lời giải</b>

<i><b>Tác giả:vũ nam sơn ; Fb:vũ nam sơn </b></i>
<b>Chọn A</b>

Ta có

1
19

1 19 19

lim lim

19

18 19 ₁₈ 18

<i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>_n</i>

<i>n</i>

<i>n</i>

   




 





.

<b>Câu 10.</b> <b>[1D4-1.3-1] (Chuyên Thái Bình Lần3) Tính </b> 2
1
lim

3
<i>n</i>
<i>L</i>

<i>n</i>



 .

<b>A. </b><i>L  .</i>1 <b>B. </b><i>L </i>0. <b>C. </b><i>L </i>3. <b>D. </b><i>L  .</i>2
<b>Lời giải</b>

<i><b>Tác giả: Quỳnh Thụy Trang; Fb: XuKa </b></i>
<b>Chọn B</b>

2
2

2

1 1

1

lim lim 0

3

3 ₁

<i>n</i> <i>_{n n}</i>

<i>L</i>

<i>n</i>

<i>n</i>



  





.

<b>Câu 11.</b> <b>[1D4-1.3-1] (Đặng Thành Nam Đề 15) Giới hạn </b>





2

1
lim

1
<i>n</i>
<i>n</i>




bằng

<b>A. </b>0 . <b>B. </b>1_. <b>_C.</b>1_. <b>_D.</b>_.

<b>Lời giải</b>

<i><b>Tác giả: Đinh Thị Len; Fb: ĐinhLen </b></i>

<b>Chọn A</b>

Ta có









2

2 2 2

1 1

1 0 0

lim lim 0

1 1 1 0

1

<i>n</i> <i>_{n n}</i>

<i>n</i>

<i>n</i>


 

  

   



 

  _.

<b>Câu 12.</b> <b>[1D4-1.3-1] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Tính giới hạn </b>

2
2

2 3 5

lim
2

<i>n</i> <i>n</i>

<i>I</i>

<i>n n</i>

 





<b>A. 1.</b> <b>B. </b>

3
2


. <b>C.</b> 0 . <b>D. </b>2 .

<b>Lời giải</b>

<i><b>Tác giả: Nguyễn Nhung; Fb: Nguyễn Nhung</b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

2 ₂
2

3 5
2

2 3 5

lim lim 2

2

2 ₁

<i>n</i> <i>n</i> <i>_{n n}</i>

<i>I</i>

<i>n n</i>

<i>n</i>
 
 

  





.

<b>Câu 13.</b> <b>[1D4-1.3-1] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Cho dãy số </b>

 

<i>un</i> _với<i>un</i> 3<i>n</i>2. Tìm số hạng
thứ 5 của dãy số

<b>A. </b>7 . <b>B. 15 .</b> <b>C.</b> 17 . <b>D. </b>5 .

<b>Lời giải</b>

<i><b>Tác giả: Nguyễn Nhung; Fb: Nguyễn Nhung</b></i>

<b>Chọn C</b>

Số hạng thứ 5 của dãy số là: <i>u </i>5 3.5 2 17  .

<b>Câu 14.</b> <b>[1D4-1.3-2] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Chọn mệnh đề sai</b>

<b>A.</b>
3

lim 0

1


<i>n</i> _. <b>_B.</b>lim 2







<i>n</i> _.

<b>C. </b>





2

lim <i>n</i> 2<i>n</i> 3 <i>n</i> 1

<b>.</b> <b>D.</b>

1
lim 0

2<i>n</i> 
.
<b>Lời giải</b>

<b>Chọn B .</b>

Ta có

3

3 0

lim lim 0

1

1 ₁  1

 _

<i>n</i>
<i>n</i>

<i>n</i> _{là mệnh đề đúng.}





lim 2 <i>n</i> 

là mệnh đề sai vì





2

lim 2 , .

2 1

 



 _ 

   





<i>n</i> <i>khi n</i> <i>k</i>

<i>k</i>
<i>khi n</i> <i>k</i>



2



2

2

3
2

2 3 2

lim 2 3 lim lim 1

2

2 3

2 3 ₁ ₁




      

  

  

<i>n</i> <i>_n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>n n</i> _{là mệnh đề đúng.}

1 1

lim lim 0

2 2

 

 _ _ 

 
<i>n</i>
<i>n</i>

là mệnh đề đúng.

<b>Câu 15.</b> <b>[1D4-1.3-2] (HK 2 sở bắc giang tốn 11 năm 2017-2018) Tính các giới hạn:</b>

2
2

3 1

lim .

2
<i>n</i>
<i>n</i>



<b>Lời giải</b>

<i><b>Tác giả: Nguyễn Khắc Sâm</b></i>

Chia cả tử và mẫu cho <i>n</i>2 (<i>n</i>2<i>_{là lũy thừa bậc cao nhất của n trong phân thức), ta được:}</i>

2 ₂

2

2

1
3

3 1

lim lim 3

2

2 ₁




 





<i>n</i> <i>_n</i>

<i>n</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>Câu 16.</b> <b>[1D4-1.3-2] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Biết </b>





3

3

1 2

lim 4

2
<i>n</i>
<i>an</i>





 _với<i>a</i>_{là tham số. Khi đó}

2

<i>a a</i> _bằng

<b>A. </b> .4 <b>B. </b>6_. <b>_C.</b>_{ .}2 <b>_D.</b>0_.

<b>Lời giải</b>

<i><b>Tác giả: Nguyễn Thị Bích ; Fb: Bich Nguyen</b></i>

<b>Chọn B</b>
Ta có :





3 2 3

3 3

1 2 1 6 12 8

lim 4 lim 4

2 2

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>an</i> <i>an</i>

   

  

 

3 2

3

1 6 12

8

lim 4

2

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>a</i>
<i>n</i>

  

 

 8 4

<i>a</i>

  

2
<i>a</i>
 

Vậy <i>a a</i> 2  .6

<b>Câu 17.</b> <b>[1D4-1.3-2] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Chọn mệnh đề đúng</b>

<b>A. </b>

2

2 1

lim

3 2
<i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i>
 

 

 <b>_.</b> <b>_B.</b>





2 3

lim 3<i>n</i>  <i>n</i> 1 
.

<b>C. </b>

1 3 1

lim

2 5 2

<i>n</i>
<i>n</i>




 _. <b>_D.</b>lim 2 0

<i>n</i>

<b>Lời giải</b>

<i><b>Tác giả:Đinh Văn Vang ; Fb: Tuan Vu</b></i>

<b>Chọn A</b>

Ta có

2

1 1

2 1 2 1

2 1

lim lim lim

3 3

3 2 ₂ ₂

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>_n</i>

<i>n</i> <i>n</i>

   

   

   

  _ _ _ _

   

    

 

   

    <b>_{. Do đó A đúng}</b>



2 3



3

3

3 1

lim 3<i>n</i> <i>n</i> 1 lim<i>n</i> 1

<i>n</i> <i>n</i>

 

   _   _  

  _{B sai.}

1
3

1 3 3

lim lim

5

2 5 ₂ 2

<i>n</i> <i>_n</i>

<i>n</i>

<i>n</i>



  

 _

C sai.
lim 2<i>n</i>

 
D sai.

<b>Câu 18.</b> <b>[1D4-1.3-2] (Chuyên Quốc Học Huế Lần1) Tính giới hạn </b>

3
2

2
lim

3 2

<i>n</i> <i>n</i>

<i>L</i>

<i>n</i> <i>n</i>

-=

+ - _.

<b>A. </b><i>L</i>=+¥ . <b>B. </b><i>L</i>= .0 <b>C. </b>

1
3
<i>L</i>=

. <b>D. </b><i>L</i>=- ¥ .

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<i><b>Tác giả: Lê Thị Thu Hường ; Fb: Lê Hường </b></i>

<b>Chọn A</b>

Chia cả tử và mẫu cho
<i>n</i>2

ta có

3
2

2

2
2

lim lim

1 2

3 2 ₃

<i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>_n</i>

<i>L</i>

<i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i>

-= =

+ - ₊

-.

Do

2
<i>lim n</i>

<i>n</i>
ổ ử_ữ
ỗ - ữ=+Ơ

ỗ _ữ

ỗố ứ _v 2

1 2

lim 3 3

<i>n</i> <i>n</i>

ổ ử_ữ

ỗ + - ữ=

ỗ _ữ

ỗố ứ <i>_{nờn L =+¥ .}</i>

<b>Câu 19.</b> <b>[1D4-1.3-2] (Chun Vinh Lần 3) Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc</b>

khoảng



0;2019



để

1

9 3 1

lim

5 9 2187

<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i> <i>n a</i>







 _?

<b>A.</b>2011. <b>B.</b>2018. <b>C.</b>2019 . <b>D.</b>2012.

<b>Lời giải</b>

<i><b>Tác giả: Lê Hữu Đức; Fb: Le Huu Duc</b></i>

<b>ChọnD</b>

Ta có:

1

1
1 3

9 3 3 1

lim lim

5 9 ₅ 9

9
9

<i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i>

<i>n</i> <i>n a</i> <i>a</i>

<i>a</i>




 
  

 _{ }

 

 _{ }


 
 

Suy ra

2

9

1 1 1 1

0 9 4782969 log 4782969 7

9 2187 9 2187

<i>a</i>

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

 

   _ _      

 

<i>Kết hợp điều kiện của bài toán ta được a   và 7</i> <i>a</i> 2019<i> nên có 2012 giá trị của a</i>

<b>Câu 20.</b> <b>[1D4-1.3-2] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Tính giới hạn </b>

2
1

2017 2019
lim

3.2018 2019

<i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i>






 _?

<b>A. </b>
1

2019



. <b>B. </b>

1

2019_. <b>_C.</b>2019_. <b>_D.</b>0 .
<b>Lời giải</b>

<i><b>Tác giả: Ngô Thị Lý ; Fb: Lý Ngơ</b></i>

<b>Chọn B</b>

Ta có:

2 2 ₂

1

2017 1 ₁

2017 2019 2019 2019 ₂₀₁₉ 1

lim lim

1

3.2018 2019 ₂₀₁₈ ₁ 2019

3. ₂₀₁₉

2019 2019
<i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i>




 

 _

 

 _ _

  

 _ _ _



 

 

<b>Câu 21.</b> <b>[1D4-1.3-2] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Tính giới hạn </b> 3

( 1)(2 3)
lim

2

<i>n</i> <i>n</i>

<i>J</i>

<i>n</i>

 



 <b>_?</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<i><b>Tác giả: Ngô Thị Lý ; Fb: Lý Ngô</b></i>

<b>Chọn C</b>

Ta có :

2 ₂ ₃

3 3

3

2 1 3

( 1)(2 3) 2 3 0

lim lim lim 0

2

2 2 ₁ 1

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>_{n n}</i> <i>_n</i>

<i>J</i>

<i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i>

 

   

    

  _

<b>Câu 22.</b> <b>[1D4-1.4-1] (Cẩm Giàng) Tính </b> 0

5 5

lim
<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>



  
.

<b>A. </b>
2

5 . <b>B. </b>

3

5 . <b>C. </b>

1
5


. <b>D. </b>

1
5 .
<b>Lời giải</b>

<i><b>Tác giả: Lê Công Hùng; Fb: </b></i>
<b>Chọn D</b>

Ta có:

0

5 5

lim
<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>



  



 







0

5 5 5 5

lim

5 5

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>



     



   0





2
lim

5 5

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>





  





0

2 1

lim

5

5 5

<i>x</i> <i>_x</i> <i>_x</i>

 

  

.

<b>Câu 23.</b> <b>[1D4-1.4-2] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Tính giới hạn </b>





2

lim 4 8

<i>I</i>  <i>n</i>  <i>n</i>  <i>n</i>

<b>A. </b><i>I </i>_. <b>_B.</b><i>I </i>0

. <b>C. </b><i>I </i>2. <b>D. </b><i>I </i>1.

<b>Lời giải</b>

<i><b>Tác giả:Phạm Thị Nhiên ; Fb:Phạm int ineq.</b></i>

<b>Chọn C</b>
Ta có







 



2 2

2

2 2

2

4 8 4 8 ₄ ₈

lim 4 8 lim lim

4 8 4 8

8
4

lim 2

4 8

1 1

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>_n</i>

<i>I</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i>

<i>n n</i>

      _ _

     

     

 

 

  

<b>Câu 24.</b> <b>[1D4-1.4-2] (HK2 THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI) Giới hạn </b>lim <i>n</i>



<i>n</i> 4 <i>n</i>3



bằng

<b>A. </b>0. <b>B. </b>_. <b>_C.</b>

1

2 . <b>D. </b>

7
2 .
<b>Lời giải</b>

<i><b>Tác giả: Trần Tiến Đạt ; Fb: Tien Dat Tran</b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Ta có :





4 3

lim 4 3 lim

4 3

<i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i>

  

 

    _ _

  

 

1 1

lim lim

2

4 3 4 3

1 1

  

  

  

<i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i>

<b>Bài tập tương tự :</b>

<b>Câu 25.</b> <b> Giới hạn </b>





2

lim <i>n</i> 2<i>n</i> 3 <i>n</i>2
bằng

<b>A. </b>3. <b>B. </b>_. <b>_C.</b>0_. <b>_D.</b>1_.

<b>Câu 26.</b> <b> Giới hạn </b>





2 2

lim <i>n</i> 18 <i>n</i> 19 <i>n</i>
bằng

<b>A. </b>0. <b>B. </b>37_. <b>_C.</b>

37
2


. <b>D. </b>_.

<b>Ghi nhớ:</b>

1) Dạng vô định    mà biểu thức chứa căn thức, ta thực hiện khử vô định bằng cách nhân
liên hợp:

<i>A B</i>

<i>A</i> <i>B</i>

<i>A</i> <i>B</i>



 

 _;









3 3

2 2

3 3 _.3 3

<i>A B</i>

<i>A</i> <i>B</i>

<i>A</i> <i>A B</i> <i>B</i>



 

 

2) Sử dụng MTCT: Nhập biểu thức <i>n</i>



<i>n</i> 4 <i>n</i>3



và CALC





6 9 12

10 10 , 10 ,...

<i>X</i>  <i>X</i>  <i>X</i> 

. Chọn kết quả
1

2 hoặc xấp xỉ
1
2 .

<b>Câu 27.</b> <b>[1D4-1.4-3] (HK2 THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI) Có bao nhiêu giá trị nguyên của a</b>

để





2

lim <i>n</i>  4<i>n</i>  7 <i>a n</i> 0
?

<b>A. </b>3. <b>B. </b>1. <b>C. </b>2. <b>D. </b>0.

<b>Lời giải</b>

<i><b>Tác giả: Vũ Văn Tuấn ; Fb:Vũ Văn Tuấn</b></i>

<b>Chọn B</b>

Ta có







2

 

2



2

2

4 7 . 4 7

lim 4 7 lim

4 7

<i>n</i> <i>n</i> <i>a n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n a</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>a n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n a</i>

       

    

   





2





2 2

2 2

4 7 2 4 7

lim lim

4 7 4 7

<i>n</i> <i>n</i> <i>n a</i> <i>a</i> <i>n</i> <i>a</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n a</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n a</i>

      

 

       

2

2
7

2 4

lim 2

4 7

1 1

<i>a</i>
<i>a</i>

<i>n</i> <i>_a</i>

<i>a</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>


 

  

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Để





2

lim <i>n</i>  4<i>n</i>  7 <i>a n</i> 0

thì <i>a</i> 2 0  <i>a</i>2_.

<i>Suy ra có 1 giá trị nguyên của a để </i>





2

lim <i>n</i>  4<i>n</i>  7 <i>a n</i> 0
.
<b>Bài tập tương tự :</b>

<b>Câu 28.</b> <b> Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để </b>





2 2 2

lim <i>n</i> <i>a n</i> 3 <i>n</i> 4<i>n</i> 2 1
?

<b>A. </b>3. <b>B. </b>1. <b>C. </b>2. <b>D. </b>0.

<b>Câu 29.</b> <i>Có bao nhiêu giá trị nguyên của a thuộc khoảng </i>



2019;2019



để



2



lim 4<i>n</i> 3<i>n</i> 2<i>an</i> 3 
?

<b>A. </b>2018. <b>B. </b>2019. <b>C. </b>2020. <b>D. </b>2021.

<b>Câu 30.</b> <b>[1D4-1.5-2] (Chuyên Sơn La Lần 3 năm 2018-2019) Tổng </b>

1 1 1

1

2 4 2<i>n</i>
<i>P    </i> 

bằng

<b>A. </b>_. <b>_B.</b>1_. <b>_C.</b>

1

2_. <b>_D.</b>2_.

<b>Lời giải</b>

<i><b>Tác giả: Nguyễn Dung; Fb: Dung Nguyễn</b></i>
<b>Chọn D</b>

<b>Nhận thấy: Dãy số </b>

 

1 1 1

:1; ; ; ; ;

2 4 2

<i>n</i> <i>n</i>

<i>u</i>  

là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu <i>u </i>1 1

và công bội
1
2
<i>q </i>

.

Vậy tổng

1 1 1

1

2 4 2<i>n</i>

<i>P    </i>  ₁<i>u</i>1<i>_q</i>


1
1
1

2



2
 _.

<b>Câu 31.</b> <b>[1D4-1.5-2] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Tính tổng </b>

1 1 1 1

2 ... ...

2 4 8 2<i>n</i>

<i>S      </i> 

<b>A.</b>4_. <b>_B.</b>3_. <b>_C.</b>5_. <b>_D.</b>

8
3<b>_.</b>

<b>Lời giải</b>

<i><b>Tác giả:Phạm Thị Nhiên ; Fb:Phạm int ineq.</b></i>

<b>Chọn B</b>

Ta có 1

1 1 1 1

... ...
2 4 8 2<i>n</i>

<i>S     </i> 

là tổng của cấp số nhân lùi vơ hạn có cơng bội 1

1 1

;

2 2

<i>q</i> <i>u</i> 
.

Suy ra

1
1

1

2 ₁

1

1 ₁

2
<i>u</i>

<i>S</i>

<i>q</i>

  

 _

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

<b>Câu 32.</b> <b>[1D4-1.5-2] (Chuyên KHTN) Một hình gồm các khối cầu xếp chồng lên nhau tạo thành một</b>
cột thẳng đứng. Biết rằng mỗi khỗi cầu có bán kính gấp đơi bán kính của khối cầu nằm ngay
trên nó và bán kính khối cầu dưới cùng là 50 cm. Hỏi mệnh đề nào sau đây đúng.

<b>A. Chiều cao của mơ hình khơng q 1,5 mét.</b> <b>B. Chiều cao của mơ hình tối đa là 2 mét.</b>
<b>C. Chiều cao của mơ hình dưới 2 mét.</b> <b>D. Mơ hình có thể đat được chiều cao tùy ý.</b>

<b>Lời giải</b>

<i><b>Tác giả: Dương Chiến; Fb: DuongChien </b></i>
<b>Chọn C</b>

<i>Giả sử có n khối cầu</i>

Gọi bán kính của khối cầu thứ nhất (khối cầu dưới cùng) là 1
1
2
<i>R </i>

mét.
Gọi bán kính của khối cầu thủ 2 (ngay trên khối cầu thứ nhất) là <i>R .</i>2

...

Gọi bán kính của khối cầu thủ <i>n</i> (ngay trên khối cầu thứ <i>n  ) là </i>1 <i>R n</i>



<i>n</i>,<i>n</i>2



_.

Khi đó dãy các số <i>R R</i>1, 2, ... ,<i>Rn</i>, ... là một cấp số nhân với công bội
1

.
2
<i>q </i>

Chiều cao của mơ hình là

1 2

1
1

1 2 1

2( ... ) 2. 2 1

1

2 ₁ 2

2
<i>n</i>

<i>n</i>
<i>n</i>

<i>h</i> <i>R</i> <i>R</i> <i>R</i>

 

   _ _

 
 

      _  _ _ _

 

 



(mét).

Suy ra với

1

*

1

2 2,

2
<i>n</i>

<i>h</i> <i>n</i>



 

  _ _   

   _{. Do đó chiều cao của mơ hình dưới 2 mét.}

<b>Câu 33.</b> <b>[1D4-1.6-3] (GIỮA HK2 LỚP 11 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2018-2019) </b>Cho dãy số

 

<i>un</i> _{được xác định như sau}

2
1 2019, <i>n</i> 1 <i>n</i> 1

<i>u</i>  <i>u</i>   <i>u</i>  .Khi đó <i>u bằng ( làm trịn đến bốn số</i>10

thập phân sau dấu phẩy)

<b>A.</b> 45,0333 <i><b>B.</b></i> 45, 0222

<b>C.</b> 45, 0444 <i><b>D. </b></i>45,0555

<b>Lời giải</b>

<i><b>Tác giả: Nguyễn Hường;Fb: Huong Nguyen</b></i>

<b>Chọn A</b>

Ta có

2 2

1 1

<i>n</i> <i>n</i>

<i>u</i>  <i>u</i> 

Khi đó

 

 

 

2
1

2 2

2 1

2 2

1

2019 1
1 2

...

1
<i>n</i> <i>n</i>
<i>u</i>

<i>u</i> <i>u</i>

<i>u</i> <i>u</i>  <i>n</i>


 

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

Thay <i>n</i>10 <i>u</i>10  2019 9 45, 0333

<b>Bài tập tương tự:</b>

<b>Câu 34.</b> Cho dãy số

 

<i>an</i> _{xác định bởi}<i>a</i>1 1;<i>an</i>1 3<i>an</i>10,  <i>n</i> *. Tìm số hạng thứ 15 của dãy số

 

<i>an</i> _.

<b>A. </b><i>a </i>15 28697809<b>_.</b> <b>_B.</b><i>a </i>15 28697814<b>_.</b>

<b>C. </b><i>a </i>15 9565933<b>_.</b> <b>_D.</b><i>a </i>15 86093437<b>_.</b>

<b>Câu 35.</b> Cho dãy số

 

<i>an</i> _{xác định bởi}<i>a</i>1 5,<i>a</i>2 0_và<i>an</i>2 <i>an</i>16 ,<i>an</i>  <i>n</i> 1_{. Số hạng thứ}14_của
dãy là số hạng nào?

<b>A.</b>3164070<b>.</b> <b>B. </b>9516786<b>_.</b> <b>_C.</b>1050594<b>_.</b> <b>_D.9615090 .</b>

<b>Ghi nhớ : Dãy số </b>

 

<i>an</i> _{xác định bởi}<i>a</i>11;<i>an</i>1<i>qan</i><i>d</i>,  <i>n</i> *

-Nếu <i>q </i>1 thì số hạng tổng quát của dãy số

 

<i>an</i> _là



1



1 1

1
<i>n</i>
<i>n</i>

<i>n</i>

<i>d</i> <i>q</i>

<i>a</i> <i>aq</i>

<i>q</i>



 

 

 _.

-Nếu <i>q </i>1 thì số hạng tổng quát của dãy số

 

<i>an</i> _là<i>an</i>  <i>a</i>



<i>n</i>1



<i>d</i>_.

<b>Câu 36.</b> <b>[1D4-1.6-3] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Tính giới hạn </b>









2 3 1

lim

1 3 5 ... 2 1

<i>n</i> <i>n</i>

<i>I</i>

<i>n</i>

 



     _.

<b>A. </b><i>I </i>2. <b>B. </b><i>I </i>1_. <b>_C.</b><i>I </i>2_. <b>_D.</b><i>_{I  .}</i>3
<b>Lời giải</b>

<i><b>Tác giả: Trần Tiến Đạt ; Fb: Tien Dat Tran</b></i>

<b>Chọn C</b>

Nhận thấy : dãy số 1;3;5;...; 2



<i>n </i> 1



<i> là một cấp số cộng có n số hạng với u</i>11,<i>un</i> 2<i>n</i>1

Nên:









2

1 3 5 ... 2 1 1 2 1

2
<i>n</i>

<i>n</i>

<i>S</i>     <i>n</i>   <i>n</i> <i>n</i>
.

Khi đó :









2

2 2

2 3 1 2 6 1 6 1

lim lim lim 2 2

1 3 5 ... 2 1

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>I</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n n</i>

      

   _   _

      

<b>Câu 37.</b> <b>[1D4-1.7-2] (HK2 THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI) </b>





1 5 ... 4 3
lim

2 1

   


<i>n</i>

<i>n</i> _bằng

<b>A. </b>1_. <b>_B.</b>_. <b>_C.</b>

2

2 . <b>D. </b>0 .

<b>Lời giải</b>

<i><b>Tác giả: Trần Độ ; Fb: Trần Độ</b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>





1 5 ... 4 3
lim

2 1

<i>n</i>
<i>n</i>

   







_

_

2 1

2.1 1 .4 ₂ ₁ ₂

2

lim lim lim

1

2 1 2 1 ₂ 2

<i>n</i>

<i>n</i> <i>_{n n}</i>

<i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i>

 

 

  

   

  _

<b>Bài tập tương tự :</b>

<b>Câu 38.</b>

3₁2 ₂2 _... 2

lim <i>n</i>

<i>n</i>

  

bằng

<b>A. </b>1_. <b>_B.</b>_. <b>_C.</b>

3₃

3 . <b>D. </b> 3

1
3 .

<b>Câu 39.</b>

1 1 1

...

1.3 3.5 (2 1)(2 1)
lim

2 1

<i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i>

  

 

 _bằng

<b>A. </b>1_. <b>_B.</b>

1

2_. <b>_C.</b>_. <b>_D.</b>0 .

<b>Ghi nhớ:Một số dãy số đặc biệt.</b>

<b>Câu 40.</b> <b>[1D4-1.8-2] (Cụm 8 trường Chuyên Lần 1) Có bao nhiêu số tự nhiên a sao cho</b>

1
2

9 3 1

lim

6 9 3

<i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>a</i>







 _?

<b>A. </b>1. <b>B. </b>2019 . <b>C. </b>2. <b>D. </b>3 .

<b>Lời giải</b>

<i><b> Tác giả: Nguyễn Hoàng Hưng ; Fb: Nguyễn Hưng </b></i>
<b>Chọn D </b>

Ta có:

1

2 2

2 2

3 1

1 3. 1 3.

9 3 9 3.3 9 3 1

lim lim lim lim

6 9 6 9 .9 6 2 9

9 9

9 3

<i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>




   

 _{ }  _{ }

  _{ } _{ }

   

  _ _ _ _

 

   

    _.

Do đó

1
2

9 3 1 1 1

lim 2

6 9 3 9 3

<i>n</i> <i>n</i>

<i>n</i> <i>n</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>






    

 _.

<i>Do a   nên a </i>



0;1; 2



.

</div>

<!--links-->
Bài 1. Bài tập có đáp án chi tiết về giới hạn của dãy số lớp 11 | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện

• 12
• 177
• 3