Bài 2. Bài tập có đáp án chi tiết về giới hạn của hàm số lớp 11 | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (276.96 KB, 20 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Câu 1. [1D4-2.1-1] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Xét các mệnh đề sau:
(I). lim

k
n 

với k là số nguyên dương tùy ý.

(II).

lim k 0

x  x 

với k là số nguyên dương tùy ý.

(III). lim
k

x  x  với k là số nguyên dương tùy ý.
Trong 3 mệnh đề trên thì

A. Cả (I), (II), (III) đều đúng. B. Chỉ (I) đúng.
C. Chỉ (I),(II) đúng. D. Chỉ (III) đúng.

Lời giải

Tác giả:Phương Thúy; Fb: Phương Thúy
Chọn C

(I), (II) đúng theo SGK.

(III) sai vì nếu k lẻ thì lim
k

x  x  .

Câu 2. [1D4-2.2-1] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Tính giới hạn

4 7

lim

1


   

  



 

x

x x

I

x
A. I 4. B. I 5. C. I 4. D. I 2.

Lời giải

Tác giả: Diệp Tuân; Fb: Tuân Diệp

Chọn D

Ta có

2 2

4 7 1 4.1 7

lim 2.

1 1 1



     

   

 

 

x

x x

I

x

Câu 3. [1D4-2.2-1] (Chuyên Hà Nội Lần1) Biểu thức 2

sin
lim

x

x
x




bằng

A. 0 . B.

 . C. 2



. D. 1.

Lời giải

Tác giả:Nguyễn Thành Trung ; Fb:Nguyễn Thành Trung

Chọn B

sin

sin 2 2

lim

2
x

x
x



 



 

.

Câu 4. [1D4-2.2-2] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để B 2

với





3 2

lim 2 2 5 5

x

B x x m m



    

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

A. m 



0;3



. B. 
1
2
m 

hoặc m  .2 C. 
1

2m . D.  2 m .3
Lời giải

Tác giả: Đinh Thị Duy Phương; Fb: Đinh Thị Duy Phương
Chọn B

Ta có





3 2 2

lim 2 2 5 5 2 5 4

x

B x x m m m m



       

2 2 5 2 0 2

m

B m m

m





     





Câu 5. [1D4-2.2-2] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Nếu limx2 f x

 

5 thì lim 3 4x2  f x

 

 bằng bao
nhiêu?

A. 18. B. 1. C. 1. D. 17.

Lời giải

Tác giả:Phạm Hải Dương ; Fb: DuongPham.
Chọn D

Theo giả thiết ta có limx2 f x

 

5 nên lim 3 4x2  f x

 

 lim 3 4limx2  x2 f x

 

 3 4.517.
Câu 6. [1D4-2.2-3] (THPT-Gia-Lộc-Hải-Dương-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Cho hàm số

 

yf x thỏa mãn:

2 1 3 5

2 2 1

x x

f

x x

 

 

   

 

1
2;

x x

   

 

  . Tìm xlim f x

 

A. 
4

3 . B.

5 . C.

2 . D.

2
3 .
Lời giải

Tác giả: Phạm Trần Luân; Fb: Phạm Trần Luân

Chọn C

Đặt

 

2 1 2 1 13

2 2 5

x t t

t x f t

x t t

    

    

   .

Khi đó: x   t 2.

Vậy ta có

 

13 3

lim lim lim

5 2

x t t

t

f x f t

t

   

 

  

 .

Câu 7. [1D4-2.2-3] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Cho

 

lim 1

1
x

f x
x





 . Tính





 

2
I lim

1
x

x x f x
x


 





A. I  .5 B. I 4. C. I 4. D. I  .5
Lời giải

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Chọn D





 







 









 



1 1 1

2 1 2 1

lim lim lim 2 5

1 1 1

x x x

x x f x x x f x x x x x f x

x

x x x

  

 

        

 

    

 

  

 

Câu 8. [1D4-2.3-1] (Liên Trường Nghệ An) Giá trị 
2

1
1
lim

1
x

x
x
 



 bằng

A. 2. B. 1. C. 0 . D. 2.

Lời giải

Tác giả: Lê Hữu Đức; Fb: Le Huu Duc

Chọn D

Ta có:



 







1 1 1

1 1

lim lim lim 1 2

1 1

x x x

x x

x

x x

     

 



   

  .

Câu 9. [1D4-2.3-2] (Hoàng Hoa Thám Hưng Yên) Tính 
2

2 8

lim

2 5 1

x

x x

x
 

 
  .

A.  .3 B.

2 . C.  .6 D. 8 .

Lời giải

Tác giả: Đặng Phước Thiên; Fb: Đặng Phước Thiên

Chọn C

Ta có:
2

2 8

lim

2 5 1

x

x x

x
 

 
 











 



2 8 2 5 1

lim

2 5 1 2 5 1

x

x x x

x x

 

   



   



 











2 4 2 5 1

lim

2 2

x

x x x

x
 

   













4 2 5 1

lim

x

x x

 

  

 3. 1 1







6

Vậy

2 8

lim 6

2 5 1

x

x x

x
 

 


  .

Câu 10. [1D4-2.3-2] (HSG 12 Bắc Giang) Cho a ,b là các số thực dương thỏa mãn a b  và8
2

2 1 1

lim 5

x

x ax bx

x



   



Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào đúng?

A. a 



2;4



. B. a 



3;8



. C. b 



3;5



. D. b 



4;9



.
Lời giải

Tác giả: Trần Thị Thúy; Fb: Thúy Minh.

Chọn B
Cách 1:

Ta có:

2 1 1

lim
x

x ax bx

x



   













0 2

2 1 1

lim

. 2 1 1

x

x ax bx

x x ax bx



   



</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>









0 2

2
lim

. 2 1 1

x

x a b x

x x ax bx



 



   





2 2

lim

2 1 1

x

x a b a b

x ax bx



  

 

    .

2 1 1

lim 5

x

x ax bx

x


   




2

5
2

a b


2a b 10

   .

Từ đó ta có hệ phương trình:

2 10

a b
a b

 




 


6
2
a
b



 



 .

Vậy a 



3;8



Cách 2: Lưu Thêm, (sau khi học đạo hàm).

Xét hàm số f x

 

 x22ax 1 bx .1

Ta có

 

2

2 1

x a b

f x

bx

x ax



  



  ; f

 

0  .0

 

0 0

2 1 1

lim lim 0

x x

f x f

x ax bx b

f a

x x

 



   



   

Từ giả thiết ta có hệ phương trình:

8
5
2
a b
b
a

 





 




6
2
a
b




 



 .

Vậy a 



3;8



Câu 11. [1D4-2.3-2] (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Cho ,m n là

các số thực khác 0 . Nếu giới hạn
2

lim 3

x

x mx n

x


 



 thì m n. bằng

A.  .3 B. 1. C. 3 . D. 2.

Lời giải

Tác giả:Lê thị Ngọc Thúy ; Fb: Lê Thị Ngọc Thúy

Chọn D

Vì
2

lim 3

x

x mx n

x


 



 nên x  là nghiệm của phương trình 1 x2mx n 0

1 0 1

m n m n

       .

Khi đó
2

lim 3

x

x mx n

x


 



 





lim 3

x

x n x n

x


  



 



 



lim 3

x

x x n

x


 








lim 3

x x n

  

1 n 3

    n2 m1 m n.  .2

Câu 12. [1D4-2.3-2] (HK2 THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI) Giới hạn

1 2

3 2 5

lim

1
 

 

x

x x

x bằng

A. 3. B.. C. 0. D. 4.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Tác giả: Phùng Hằng ; Fb: Hằng Phùng
Chọn D

Ta có:



 





 











1
2

2 1 1

3 5 1 3. 1 5

3 2 5 3 5 8

lim lim lim 4

1 1 1 1 1 1 2

x x x

x x

x x x

x x x x

     

   

   

    

      

Bài tập tương tự :

Câu 13. Giới hạn

2
2

8
lim

11 18
x

x

x x

 



  bằng

A.. B.

7 . C. 0. D.

4
7 .

Câu 14. Giới hạn
2

2
1

2 3

lim

2 1

x

x x

x x


 

  bằng

A. 
4

3 . B.. C. 2 . D. 1.

Câu 15. [1D4-2.3-2] (Sở Vĩnh Phúc) Tính





3
1

2 1

lim



   



x

x a x a

x .

A. 
2

3
a


B. 
2

3
a
 

C. 3
a


D. 3
a

Lời giải

Tác giả: Trịnh Duy Thanh. Fb: Trịnh Duy Thanh

Chọn C

Ta có:





















2
2

3 2 2

1 1 1

2 1 1 1 1

lim lim lim

1 1 1 1

x x x

x a x a x a x x a a

x x x x x x

  

           

    

       

Câu 16. [1D4-2.3-2] (Sở Quảng Ninh Lần1) 2018

2 2018

2018
2

4
lim

2
x

x
x





A. 22019 B. 22018 C. 2 D. .

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Huệ; Fb: Nguyễn Thị Huệ
Chọn A

2018

2 2018

2018
2

4
lim

2
x

x
x




 = 2018 2018

2018 2018

2018 2019
2018

2 2

( 2 )( 2 )

lim lim ( 2 ) 2 .

( 2 )

x x

x
x

 

 

  



Câu 17. [1D4-2.3-2] (Hậu Lộc Thanh Hóa) Tính giới hạn 
2

2
2

2
lim

x

x x

x


 

 ta được kết quả là

A.1. B. 0 . C.

3
4


. D.

3
4 .
Lời giải

Tác giả:Lê Vũ Hải ; Fb:Vũ Hải Lê

Chọn D

Ta có



 





 



2 2 2

1 2 1 3

.
2

lim lim

4 lim 2 4

x x x

x x

x x x x

x

  

  

  

  

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Câu 18. [1D4-2.3-2] (HK2 THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI) Tính giới hạn:
2

cos 3 cos 7
lim

x

x x

I

x





A. 40 B. 0 C. 4 D. 20

Lời giải
Chọn D

2
0

cos 3 cos 7
lim

x

x x

I

x





0 0 0 0

2sin 5 sin 2 sin 5 sin 2 sin 5 sin 2

lim 20lim . 20lim .lim 20

5 2 5 2

x x x x

x x x x x x

x x x x

x

   



   

Nên chọn D.
Tổng quát:

2 2

0 0

( ) ( )

2sin sin

cos cos 2 2

lim lim

x x

   

 

 

 

 





2 2

0 0 0

( ) ( )

sin sin ( ) ( )

2 2

lim lim .lim ( 2)

( ) ( ) 2 2 2

2 2

x x x

x x

   

     

   

  

 

  

   

 

.
Bài tập tương tự

Câu 19. Tính giới hạn: 0 2

cos 3 cos5 .cos 7
lim

x

x x x

x




A. 
65

2 B. 0 C. 4 D. 20

Lời giải.

2
0

cos 3 cos5 .cos 7
lim

x

x x x

x








2
0

cos3 1 1 cos5 cos 7 1 cos 7
lim

x

x x x x

x


    







2 2 2

0 0 0

1 cos5 cos 7

cos3 1 1 cos 7

lim lim lim

x x x

x x

x x x

  



 

 

2 2 2

0 0 0

3 5 7

2sin 2sin cos 7 2sin

2 2 2

lim lim lim

x x x

x

x x x

  



  

2 2 2

0 0 0

3 5 7

sin sin sin

9 2 25cos 7 2 49 2 65

lim . lim lim

3 5 7

2 2 2 2

2 2 2

  

           

           

     

         

           

           

     

x x x

x

x x x

Câu 20. Tính giới hạn 0 2

cos cos .cos
lim

x

ax bx cx

x




A.

2 2 2

2
a  b c

B.

2 2 2

a b c

  

C.

2 2 2

2
a b c

D.

2 2 2

a b c

  

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>





2 2

0 0

cos 1 cos 1 cos 1 cos
cos cos .cos

lim lim

x x

ax bx cx cx

ax bx cx

x x

 

    





2 2 2

0 0 0

2sin 2sin cos 2sin

2 2 2

lim lim lim

x x x

ax bx cx

cx

x x x

  



  

2 2 2

2 2 2 2 2 2

0 0 0

sin cos sin sin

2 2 2

lim lim lim

2 2 2 2

2 2 2

  

           

              

     

         

           

           

     

x x x

ax bx cx

a b cx c a b c

ax bx cx

Câu 21. [1D4-2.3-2] (TTHT Lần 4) Giới hạn 3

1 5 1

lim

4 3

x

x x



  

  bằng 
a

b (Phân số tối giản). Giá

trị thực của a b là

A. 1 . B.

9 . C. 1. D.

9
8 .
Lời giải

Tác giả: Hoàng Thị Thúy; Fb: Thúy Hồng

Chọn A

Ta có 3

1 5 1

lim

4 3

x

x x



  

  =









2
3

1 5 1 4 3

lim

4 3 1 5 1

x

x x x x



        

 

 

      

   

2
3

3 4 3

lim

4 3 1 5 1

x

x x x x



 

    

   



 

      

   













4 3

lim

1 1 5 1

x

x x x

x x x



 



   

=
9
8

Do đó a9;b nên 8 a b 1.

Câu 22. [1D4-2.3-2] (TTHT Lần 4)Giới hạn 1

2 7 2

lim

5 4

x

x x



  

  bằng 
a

b (Phân số tối giản). Giá trị
thực của a b là

A. 10 . B.

9 . C. 8. D.

10
9 . 
Lời giải

Chọn A

Ta có 1

2 7 2

lim

5 4

x

x x



  

  =









2
1

2 7 2 5 4

lim

5 4 2 7 2

x

x x x x



        

 

 

      

   

















2
1

3 2 5 4

lim

5 4 2 7 2

x

x x x x



   



    

















2 5 4

lim

4 2 7 2

x

x x x



  



   

1
9


</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Câu 23. [1D4-2.3-2] (GIỮA HK2 LỚP 11 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2018-2019)



2 3 3 2



lim 2 3

x x x  x x  x

A. 
1

2 . B. 0 . C.  . D.   .

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Văn Chí ; Fb: Nguyễn Văn Chí
Chọn A

Ta có









3 3

2 2 3 3 2 2 2 1 3 3 2 1

x  x x  x  x  x x  x  x  x

























2 3

2 3 2

2 3 2 2 3 3 2 2

2 1 3 1

2 1 3 1 3 1

x x x x x x

x x x x x x x x x

     

 

        

















2 3 3 2 2 3 3 2 2

1 3 1

2 1 3 1 3 1

x

x x x x x x x x x

 

 

        

Do vậy ta có:



2 3 3 2



2 3

x x  x x  x 

















2 3 3 2 2 3 3 2 2

2 1 3 1 3 1

x x x

x x x x x x x x x

 



        

Nên





2 3 2

lim 2 3

x x x  x x  x =

















2 3 3 2 2 3 3 2 2

3
lim

2 1 3 1 3 1

x

x x x

x x x x x x x x x

 

 

 

 

   

  

       

 

















2 3 3 2 2 3 3 2 2

lim lim

2 1 3 1 3 1

x x

x x x

x x x x x x x x x

   

 

 

        

2 2

3 3

1
3

1 1 1

lim lim 1

2 2

2 1 3 1 3 1

1 1 1 1 1 1

x x

x

x x x x x x

   

 

  



 

    

        

  

             

 

       

Bài tập tương tự :

Câu 24. Cho hàm số

 

2 1 x 8 x

y f x

x

  

 

. Tính limx0 f x

 

A.

12. B.

12 . C. . D.

10
11 .

Câu 25. Tìm giới hạn





2 2

lim 1 2

x

A x x x x x

 

     

A.



. B.  . C.

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Ghi nhớ:Để giải dạng toán này phải nhớ đến các công thức nhân liên hợp và kỹ thuật gọi hằng
số vắng và hàm số vắng.

Câu 26. [1D4-2.3-2] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Tính giới hạn

2
2

2 3 3

lim
4
x

x x
L

x
 

  


 .

A.

2
7
L 

. B.

7
24
L 

. C.

9
31
L 

. D. L  .0
Lời giải

Tác giả: Ngô Văn Hiếu, Fb: Ngo hieu
Chọn B

Ta có























2 2

2 2 2 2 2 2

2 3 3 2 3 3 2 6

lim lim

4 2 3 3 4 2 3 3

x x

x x x x x x

L

x x x x x x

   

       

 

         



 





 















2 2 2 2

2 3 2 3 2 7

lim lim

2 2 2 3 3 2 2 3 3

x x

x x x

x x x x x x x

   

  

  

         

Ghi nhớ: Để khử dạng vô định

0 của giới hạn

 

lim

x x

f x

g x ta làm như sau:

- Nếu f x g x

 

khơng có chứa căn: Ta phân tích f x g x

 

thành tích và rút
gọn.

- Nếu f x g x

 

có chứa căn cùng bậc: Ta nhân, chia với biểu thức liên hợp.
Câu 27. [1D4-2.3-3] (HK 2 sở bắc giang toán 11 năm 2017-2018) Tính các giới hạn:



 



















2 2

2 2 2 2 2

5 3 5 3

5 3 4

lim lim lim

2 2 5 3 2 5 3

  

   

  

 

      

x x x

x x

x x x x x





2
2

2 2

lim

3
5 3


 

 

 
x

x

x .

Bài tập tương tự:

1.Tính a)

2
1
lim

2 2



n

n b)

2
1
lim

3 2

 

n
n

2.Tính a)

3 2
lim

1


 

x

x

x b)

1 1
lim



 
x

x

Đáp án:

1.a)

1 1

lim

2 2 2




n

n b)

1 1

lim

3 2 3

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

2.a)

3 2 1
lim

1 2



 



x
x

x b)

1 1

lim 0



 

x

x
x
Ghi nhớ:

- Cho u có dạng phân thức của n .Nếu bậc tử bằng bậc mẫu thì limn u bằng hệ số của lũy thừa n
cao nhất trên tử chia cho hệ số của lũy thừa cao nhất ở mẫu.

- Khi tính giới hạn dạng vơ định
0

0 mà biểu thức có chứa căn thì ta thường khử dạng vơ định
bằng cách nhân lượng liên hợp.

Câu 28. [1D4-2.3-3] (Chuyên Bắc Giang) Cho biết

3
1
2

1 2

lim

4 3 1

x

ax bx

c

x x



  



 

với , ,a b c   . Tập
nghiệm của phương trình ax4 2bx2   trên c 2 0  có số phần tử là

A. 1. B. 3. C. 0. D. 2.

Lời giải

Tác giả: Vũ Thị Lương; Fb:Vũ Thị Lương

Chọn B

Ta có



 



2
3

4x  3x 1 2x1 x1 có nghiệm kép 
1
2

x 
.

Suy ra phương trình

1ax  bx 2 0 phải có nghiệm kép là 
1
2

x 





2
2

1 ax bx 2 0

     có nghiệm kép 
1
2

x 



a b x2



2 4bx 3 0

    

có nghiệm kép

1
2

x 









2 2

2
2

16 4 .3 0

1 1

. 4. . 3 0

2 2

a b

b a b

a b b




 




     



  

     



 


2 2

2
2

0
4
3

4 1 1

. 4. . 3 0

3 2 2

a b

a b b

b b




 




   


  

   

  

 

  a b 3.

Khi đó

3
1
2

1 3 3 2

lim

4 3 1

x

x x



  

 











 



2
1

3 2 1

1 3 3 2

lim

2 1 1

x

x x



 

  



  12









lim 2

1 3 3 2 1

x x x x



 

   

Suy ra c 2.

Vậy ta có phương trình 3x46x2  có 3 nghiệm 0 x 0;x  2.

Câu 29. [1D4-2.3-4] (THPT LƯƠNG THẾ VINH 2019LẦN 3) Cho hàm số yf x

 

có đồ thị

 

C ,
biết tiếp tuyến của đồ thị

 

C tại điểm có hồnh độ x  là đường thẳng 0 y3x 3. Giá trị

của 0













3
lim

3 5 4 4 7

x

f x f x f x

  

bằng ?

A. 
1

10 . B.

31 . C.

25 . D.

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Lời giải

Tác giả: Lê Quang Việt; Fb:Viêt lê quang

Chọn D

Vì phương trình tiếp tuyến của

 

C tại điểm có hồnh độ x  là 0 y3x 3 nên

 

0 3

f
f

 








 .

Ta có

 

0 lim 3

0
x

f x f

f

x




  

 suy ra





 

lim 3

x

f ax f

a
x







với a  .0

Khi đó





 

3 0

lim 9

x

f x f
x





,





 

4 0

lim 12

x

f x f
x





và





 

7 0

lim 21

x

f x f
x





.

Ta có 0













lim

3 5 4 4 7

x

f x f x f x

  







 





 





 

3
lim

3 0 4 0 7 0

5 4

x f x f f x f f x f

x x x

   

 

3
9 60 84


 

1
11


Câu 30. [1D4-2.4-1] (Lê Quý Đơn Điện Biên Lần 3) Tính giới hạn 
2

1
1
lim

1
x

x
x





 .

A. 0 . B. . C.  . D. 1.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Tình; Fb: Gia Sư Tồn Tâm

Chọn C

Ta có:









2 2

lim 1 1 1 2 0

lim 1 0

1 0, 1

x

x
x

x

x x





     




 




   




1
1
lim

1
x

x
x






  

 . Chọn C.

Câu 31. [1D4-2.4-2] (HSG Bắc Ninh) Cho





lim 5 5

x   x ax x  . Khi đó giá trị a là

A. 10 . B.  .6 C. 6 . D. 10.

Lời giải

Tác giả: Trần Thị Thảo; Fb: Trần Thảo
Chọn D

Ta có:











5 5

lim 5 lim

x x

x ax x x ax x

x ax x

     

     

   

  

2
5
lim

5
1

x

ax
a

x x

x x
  




   2

5
lim

5
1

x

ax
a

x x

x x
  




    2

5
lim

1 1

x

a
x
a
x x
  




   

2
a






lim 5 5

x   x ax x 

5 10

2
a

a

    

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Câu 32. [1D4-2.4-3] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Cho ,a b là các số dương. Biết



2 3 3 2



lim 9 27 5

x   x  ax x bx   . Tìm giá trị lớn nhất của ab.

A. 
49

18 . B.

34 . C.

58 . D.

75
68 .
Lời giải

Chọn A



2 3 3 2





 

3 3 2



lim 9 27 5 lim 9 3 27 5 3

x   x ax x bx x   x ax x x bx x

 

            

 







3 3 2



lim 9 3 lim 27 5 3

x   x ax x x   x bx x

      





lim 9 3 lim

9 3

x x

ax a

x ax x

a
x

x

     



    

 

  

 

 









3 3 2

3 3 2 3 3 2 2

lim 27 5 3 lim

27 5 3 27 5 9

x x

bx

x bx x

x bx x x bx x

     



    

     

2 3 3

3 3

5
lim

5 5

27 3 27 9

x

x b

b
x

b b

x

x x x x

  

 



 

 

 

  

        

  

 

Do đó

6 27 27
a b

 

Ta có

7 49

2 . 2 .

6 27 6 27 27 6 27 18

a b a b a b

ab

     

Câu 33. [1D4-2.4-3] (HK2 THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI) Biết rằng





lim 2 3 1 2 2

x

a

x x x

b

       , ( a là số nguyên,

b

là số nguyên dương, 
a

b tối giản). Tổng
a b có giá trị là

A. 1. B. 5. C. 4. D. 7.

Lời giải

Tác giả: Lê Thị Hiền; Fb: Lê Hiền
Chọn D





lim 2 3 1 2

x   x  x x 







2 3 1 2 2 3 1 2

lim

2 3 1 2

x

x x x x x x

x x x

  

     

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

3 1
lim

2 3 1 2

x

x x x

  

 


   2

1
3
lim

3 1

2 2

x

x x
  

 

 

 

 



 

   

 

 

2
1

3 3

lim 2

4
3 1

2 2

x

x x

  

 

 

   

Vậy a 3, b 4 suy ra a b   3 4 7.

Bài tập tương tự:

Câu 34. Biết rằng





lim 1

x

a

x x x

b

       , ( a là số nguyên,

b

là số nguyên dương, 
a

b tối giản). Tính
giá trị biểu thức P a 2b2.

A. P  .5 B. P  .0 C. P 1. D. P 1.

Câu 35. Biết rằng





lim 3 5 1 3 3

x

a

x x x

b

       , (a là số nguyên,

b

là số nguyên dương, 
a
b tối
giản). Tổng a b bằng

A. 1. B. 7. C. 11. D. 3.

Ghi nhớ:Với x 0 thì x2  .x Với x 0 thì x2  x.

Câu 36. [1D4-2.4-3] (HK2 THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI) Biết rằng

lim 5

x
x

ax b
x

 

  

  

 



  . Tính tổng a b .

A. 6. B. 7. C. 8. D. 5.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Phú Hòa; Fb: Nguyễn Phú Hòa
Chọn A









2 1 1 2 2 1

lim lim 5

2 2

x x

a x a b x b

x

ax b

x x

   

      

  

    

 

 

    .

+ Khi a 1 0 a 1, ta được



1





2



2 1
lim

2
x

a x a b x b

x
 

      



 



  (không thỏa mãn)

+ Khi a 1 0 a 1, ta được



1





2



2 1
lim

2
 

      

 

 



 

x

a x a b x b

x

(không thỏa mãn)
+ Khi a  1 0 a1, ta được:









2 1





2 1

lim lim 2

2 2

   

            

  

   

   

 

x x

a x a b x b b x b

b

x x

2 b5 b7. Vậy a b 6.

Câu hỏi tương tự:

Câu 37. Biết rằng

lim 10

x
x

ax b
x

 

  

  

 



</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

A. 6. B. 7. C. 8. D. 9.

Câu 38. Biết rằng





















3 2 3 2 3 2

4 4 4 2

2 5 1 3

lim 1

5 4 1 2 5

x

a x x b x x c x x

a x x bx c x x x

 

     



     

, với , ,a b c   . Tính

8 6 3

S  a b c.

A. 1. B. 2 . C. 1. D. 0.

Câu 39. [1D4-2.4-3] (Chuyên KHTN) Cho hàm số yf x

 

xác định trên  thỏa mãn

 

lim 12

2
x

f x
x





 . Tính giới hạn

 

5 16 4

lim

2 8

x

f x

x x



 

  .

A. 
5

24 . B.

5 . C.

12 . D.

1
4 .
Lời giải

Tác giả: Phan Thanh Lộc ; Fb: Phan Thanh Lộc

Chọn A

Theo giả thiết có limx2



f x

 

16



 0 limx2 f x

 

16 0  limx2 f x

 

16.

Ta có:

 

2
2

5 16 4

lim

2 8

x

f x

x x



 
 

 







 





 



 

2 2

3 3

5 16 64

lim

2 4 5 16 4 5 16 4

x

f x

x x f x f x



 



 

       

 

 







 





 



 

2 2

3 3

5 16

lim

2 4 5 16 4 5 16 4

x

f x

x x f x f x






 

     

 

 

 







 



 

2 2

3 3

16 5

lim .

2 4 5 16 4 5 16 4

x

f x

x x f x f x



 

  

  

  

      

 

  

 





2 3

5 5

12. .

6 5.16 16 4 5.16 16 16

 

     

 

 

Cách khác (Cách làm trắc nghiệm):

Ta chọn hàm f(x)=12(x-2)+16 thỏa mãn giả thiết của bài tốn. Khi đó

 

3 3

2 2

5 16 4 60( 2) 64 4

lim lim

2 8 2 8

x x

f x x

x x x x

 

    



   

Sử dụng máy tính: nhập biểu thức dưới lim và gán cho x=1,9999999 ta được kết quả giới hạn cần tìm

Câu 40. [1D4-2.6-2] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Tính giới hạn





lim 3 2 4

I   n  n

A. I . B. I  . C. I 1. D. I  .0

Lời giải

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>





2 4

lim 3 2 4 lim 3

I n n n

n n

  

           

 

 

Vì
2

2 4

limn ; lim 3 3 0

n n

 

     

  .

Câu 41. [1D4-2.6-2] (KIM-LIÊN 11 hk2 -2017-2018) Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào có kết
quả bằng  ?

A.

3 4

lim
2

x

x
x
  

 

 . B.

3 4

lim
2

x

x
x
 

 

 . C. 2

3 4

lim
2

x

x
x





 

 . D. 2

3 4

lim
2

x

x
x





 

 .

Lời giải

Tác giả: Phan Minh Quốc Vinh ; Fb: Vinh Phan

Chọn D
Ta có



4
3

3 4 3

lim lim 3

2 1 1

x x

x x

x

x
     

 

  

  





4
3

3 4 3

lim lim 3

2 1 1

x x

x x

x

   

 

  

  



.

 2

3 4

lim
2

x

x
x





 

 


(vì xlim2



3x 4



2 0

     , xlim2



x 2



   và x 2 x 2 x 2 0 ).

 2

3 4

lim
2

x

x
x





 




(vì xlim2



3x 4



2 0



   

, xlim2



x 2





 

và x 2  x 2 x 2 0 ).

Vậy giới hạn có kết quả bằng  là 2

3 4

lim
2

x

x
x





 

 .

Câu 42. [1D4-2.6-2] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Có bao nhiêu giá trị mnguyên thuộc đoạn



20; 20



để xlim  



mx 2





m 3x2



 

A.21. B.22. C.20. D.41.

Lời giải

Tác giả:Nguyễn Ngọc Huy; Fb: Nguyễn Ngọc Huy
Chọn A

- Với m  ,0









2 3

lim x 2 3x lim 3

x x

m

m m x m

x x

     

   

        

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Vì

2
lim

lim 3 3

x

x
x

m

m m

x x
  

  

  



    

  

    

   

 .

Mà









lim x 2 3x

x   m  m  .
3m 0 m 0

     .

Mà m 



20;20



 m 



20; 19;....; 1 



- Với m 0,













2 2

lim x 2 3x lim 6x

x   m  m x     .
Vậy m  



20; 19;....; 1;0 



Câu 43. [1D4-2.6-2] (Chuyên KHTN) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A.





2 3

lim 1 2

x   x  x  x  . B. ( 1)

3 2

lim
1
x

x
x



 


 

 .

C.





lim 1 2

x  x  x  x  . D. ( 1)

3 2

lim

1
x

x
x



 


 

 .

Lời giải

Tác giả & Fb: Lý Văn Nhân

Chọn B

Vì x lim( 1)



x1



0; lim 3x ( 1)



x 2



5 0

và x 1 0,   nên x 1 ( 1)

3 2

lim .

1
x

x
x



 





Câu 44. [1D4-2.7-1] ( Chuyên Lam Sơn Lần 2) Giới hạn

5 3

lim
1 2

x
x

x
 



 bằng số nào sau đây?

A.

5
2


. B.

2
3


. C. 5 . D.

3
2 .

Lời giải

Tácgiả:Lê Thị Anh; Fb: Lan Anh Le

Chọn A

Ta có

3
5

5 3 5

lim lim

1 2 2 2

x x

x x

x

   




 



Câu 45. [1D4-2.7-1] (Sở Cần Thơ 2019)

4 3

lim
x

x x
x
  

 

bằng

A. 2. B. 2. C.  2. D. 0 .

Lời giải

Tác giả: Đặng Quang, FB: Dang Quang

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

2 2 2

1 3 1 3 1 3

4 4 . 4

4 3

lim lim lim lim

x x x x

x x x

x x

x x x x x x

x x x x

           

 

      

 

   

  

1 3

. 4

lim 2

1
x

x x
  

  

 

Câu 46. [1D4-2.7-1] (GIỮA HK2 LỚP 11 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2018-2019)

  

 

 

2 10

lim

3 3

x

x x

x x bằng

A.0 . B.. C. . D.2 .

Lời giải

Tác giả:Nguyễn Thanh Nhã; Fb: Thanh Nha Nguyen
Chọn A

2 2 3

2 3
2 1 10

2 10 0

lim lim 3 3 0

3 3 1 1

x x

x x x x x

x x

     

 

  

 

Bài tập tương tự :

Câu 47.

3 2 5

lim

2
x

x x

x x
 

 

  bằng

A.0 . B.. C. . D.3.

Câu 48.

3 2 5

lim

4 2

x

x x

  

 

   bằng

A.0 . B.. C.  . D.2.

Ghi nhớ:

Khi gặp dạng

 

lim
x

f x
g x
 

trong đó f x g x

   

; là các đa thức theo biến x .

Nếu bậc của f x

 

nhỏ hơn bậc của g x

 

thì

 

lim 0

x

f x
g x

  

Nếu bậc của f x

 

bằng bậc của g x

 

thì

 

lim 0

x

f x
L
g x

   

Nếu bậc của f x

 

lớn hơn bậc của g x

 

thì

 

lim
x

f x
g x

  

Câu 49. [1D4-2.7-1] (GIỮA-HKII-2019-NGHĨA-HƯNG-NAM-ĐỊNH) Biết

5 4 3

lim

2 7 1

x

x x

I

x x

  

 


  .
Giá trị của I bằng

A.
5

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Lời giải

Tác giả: Trịnh Thị Hồng Hạnh ; Fb:Trịnh Hồng Hạnh

Chọn A
Ta có:

2 2 2

2
2

5 4 3 4 3

5 4 3 5

lim lim lim

7 1

2 7 1

2 7 1 2 2

x x x

x x

x x x x x

I

x x

x x
x

        

 

 
 

   

 

.
Vậy đáp án đúng là đáp án A.

Câu 50. [1D4-2.7-1] (Lương Thế Vinh Đồng Nai) Tính giới hạn

3 1

lim .

1 2
x

x
L

x
 






A.

3
2
L 

. B.

3
2
L 

. C.L 3. D.

1
2
L 

.
Lời giải

Tácgiả:DươngChiến;Fb: DuongChien

GV phản biện: Nguyễn Lệ Hoài; Fb: Hoài Lệ
Chọn A

3 3 0 3

lim .

1 2 0 2 2

x

x
L

x
 



  




Câu 51. [1D4-2.7-1] (Chuyên Lê Quý Đơn Điện Biên Lần2) Tính giới hạn

3 5

lim

2 3

x

x x

x
 

 



A. 
1

2 B. . C.

1
.
3


D.

2
.
3


Lời giải

Tác giả: Lê Xuân Đức; FB: Lê Xuân Đức
Chọn C

Ta có:

2 2 2

2
2

3 5 3 5

1 1

3 5 1

lim lim lim

2
2

2 3 3 3 3

x x x

x

x x x x x x

x x

x
x

     

 

   

 

   

  

   



 

 

Câu 52. [1D4-2.7-1] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Tính giới hạn

2 3

lim

4 2

x

x
L

x
  




  .

A. L  .1 B. 
1
2
L 

. C.

1
2
L

. D.

3
4
L

.
Lời giải

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

3
2

2 3 2 1

lim lim 2

4 2 4 4 2

x x

x x

L

x

x
     



 

   

    

Câu 53. [1D4-2.7-1] (Đồn Thượng) Tính 2

2 3

lim

x

x x

  



  .

A. 0 . B.  . C. 1. D. 1.

Lời giải

Tác giả: Phan Thanh Lộc; Fb: Phan Thanh Lộc

Chọn C

2 2

3
2

2 3 2 3 2 0

lim lim lim 1

1 1 1 0 1

1 1 1 1

x x x

x x x

x x x x

x x

        



  

   

  

 

     

Câu 54. [1D4-2.7-2] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Cho biết

1 4 5 2

lim

2 3

x

x x

a x
  

  



 . Giá trị của

a bằng

A. 3. B.

2
3


. C.3 . D.

4
3 .
Lời giải

Tác giả: Phương Thúy ; Fb: Phương Thúy

Chọn C

Ta có

2 2

1 1 5

1 5 4

1 4

1 4 5 2

lim lim lim

2 2

x x x

x x x x

x x x x

a x a x a a

x

        

  

   

  

  

Theo bài ra

2 2

3 a

a


  

Câu 55. [1D4-2.7-2] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Giá trị

3 6 2

2 3

lim
x

x x x

x
  

  

 bằng

A.

2. B.

17. C.

2. D. 1.

Lời giải

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

2 2

3 6 3 6

2 1 2

lim lim

2 3

3
2

x x

x x x x

x
x

x

     

 



 

 

   

 

   





  






 

2 2

3 6 3 6

1 2 1 2

1 2 1

lim lim

3 2 2 2

x x

x

x x x x

x
x

       

 

   

     

 

 

 






 






Ghi nhớ:

Trong bài tốn tính giới hạn hàm số tại vô cùng, nếu gặp biểu thức chứa căn dạng
2

ax bx c dx  ta cần lưu ý như sau:

 Nếu x a dx 0 thì ta cần nhân liên hợp trước rồi mới rút bậc cao nhất ra
ngồi sau.

 Nếu x a dx 0 thì ta rút bậc cao nhất ra ngồi mà khơng cần nhân liên hợp
trước.

Câu 56. [1D4-2.7-4] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Cho

2 3

2 2 5 1

lim

1
x

x x x x a

x b

 

      



 

  

  (

a
b
là phân số tối giản, ,a b là số nguyên). Tính tổng L a 2b2.

A. 150 . B. 143 . C. 140 . D. 145 .

Lời giải

Tác giả: Phó Văn Giang; Fb: Giang Phó
Chọn D

Ta có:

2 3

2
1

2 2 5 1

lim

1


      

 

  

 

x

x x x x

x

2 3

2 2

2 2 2 2 5 1

lim

1 1



       

   

   

 

x

x x x x

x x

















2 3

1 2 2 2 3 3 3 3

2 2 5 7

lim

1 2 2 1 4 2 2 5 1 2 5 1



 

      

 

   

 

   

        

 

  

 

x

x x x x

x x x x x x x x



 





 

















 







1 2 3 3 3 3

1 2 2 7

1 2

lim

1 1 2 2 1 1 4 2 2 5 1 2 5 1



 

       

 

   

 

    

         

 

  

 

x

x x x

x x

x x x x x x x x x x

















1 2 3 3 3 3

2 2 2 7

lim

1 2 2 1 4 2 2 5 1 2 5 1



 

     

 

   

 

   

        

 

  

 

x

x x x

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

3 11
2.4 2.12

  1

12


Theo giả thiết ta có
1
12
 a

b .

Vì
a

b là phân số tối giản, ,a b là số nguyên

1
12



 




a

b hoặc 
1

12
a
b







  L a 2b2 145.

Câu 57. [1D4-2.8-2] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?

A.





2 1

lim 1

2
  



   

x x x x . B.

2 1 2 1

lim

2 3 2

 

    



 

  

 

x

x x
x

C. 1

3 2

lim
1



 





x
x

x . D.

3 2

lim 3

 




x

x

x .

Lời giải

Tác giả: Trần Văn Minh; Fb: Trần Văn Minh
Chọn A

Ta có





2 2

1 1

lim 1 lim lim

1 1

        

        

        

     

   

x x x

x x x x

x x x

x x x x x x

2
1

1 1

lim

1 1

  

 

 

 



 

  

 

   

 

 

x

x x

Vậy mệnh đề sai là





2 1

lim 1

2
  



   

x x x x .

Câu 58. [1D4-2.8-3] (THPT Sơn Tây Hà Nội 2019) Cho hàm số yf x

 

có đạo hàm tại điểm

0 2

x  . Tính 2

 

2 2

lim

2
x

f x xf
x




 .

A. f

 

2  2f 

 

2 . B. 0. C. f 

 

2 . D. 2f

 

2  f

 

2 .
Lời giải

Tác giả: Lê Văn Nguyên; Fb: Lê Văn Nguyên

Chọn D

Hàm số yf x

 

có đạo hàm tại điểm x  do đó hàm số xác định tại 0 2 x  .0 2

Ta có:

 

2 2

lim

2
x

f x xf
x





 

2 2 2 2 2 2

lim

2
x

f x f xf f

x


  



</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

 

  



2 2 2

lim 2.

2 2

x

f x f f x

x x



 

 

   

 

 

 

2 2

2.lim lim 2

x x

f x f

f
x

 



 



 

2f 2 f 2

 

</div>

Bài 2. Bài tập có đáp án chi tiết về giới hạn của hàm số lớp 11 | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện













 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 





 





 







 









 





 

















 





 



















<sub></sub>

<sub></sub>









































