Bài 3. Bài tập có đáp án chi tiết về hàm số liên tục lớp 11 | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện

Câu 1.

[1D4-3.1-2] (GIA LỘC TỈNH HẢI DƯƠNG 2019 lần 2) Xét các khẳng định sau:
 1 Nếu hàm số y  f  x  xác định trên  thỏa mãn f   1 . f  0   0 thì đồ thị của hàm số

y  f  x

và trục hồnh có ít nhất 1 điểm chung.
 2  Nếu hàm số y  f  x  xác định trên  thỏa mãn f   1 . f  0   0 và f  0  . f  1  0 thì

y  f  x
đồ thị của hàm số
và trục hoành có ít nhất 2 điểm chung.
Phát biểu nào sau đây đúng?
 1 đúng và khẳng định  2  sai.
A. Khẳng định
 1 sai và khẳng định  2  đúng.
B. Khẳng định
 1 sai và khẳng định  2  sai.
C. Khẳng định
 1 đúng và khẳng định  2  đúng.
D. Khẳng định
Lời giải
Tác giả: Phương Thúy; Fb: Phương Thúy
Chọn C
Cả hai khẳng định đều sai vì thiếu điều kiện hàm số
Câu 2.

y  f  x

liên tục.

[1D4-3.3-1] (Chuyên Thái Bình Lần3) Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số
 x2  x  2
khi x 2

f  x   x  2
 m
khi x 2 liên tục tại x 2 .
A. 3 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 0 .
Lời giải
Chọn A

 x  1  x  2  lim x  1 3
x2  x  2
lim f  x  lim
lim


x 2
x 2
x

2
x 2
x 2
x 2
Ta có:

.
f  2  m

.

Hàm số liên tục tại x 2 khi và chỉ khi
Câu 3.

lim f  x   f  2   m 3
x 2

.

[1D4-3.3-2] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Hàm số nào sau đây không liên tuc tại x 2
2x  6
1
x
3x  1
y 2
y
y
y
x 2.
x 2.
x2 .
x  22 .
A.
B.
C.
D.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Ngọc Huy; Fb: Nguyễn Ngọc Huy
Chọn B
Điều kiện x  2 0  x 2 .
1
1
 lim
 
Mà x  2 x  2
, x 2 x  2
.
 Hàm số không liên tuc tại x 2 .
lim


Tác giả: Trần An; Fb:A-nờ Trần
Câu 4.

[1D4-3.3-2] (THPT-Gia-Lộc-Hải-Dương-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Cho hàm số
 x4  2
khi x  0

x
f  x  
mx 2  2m  1 khi x 0

4
, m là tham số. Tìm giá trị của m để hàm số liên tục tại x 0
.
1

1
m
m 
2.
2.
A.
B. m 0 .
C. m 1 .
D.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Hoàng Huy; Fb: Nguyen Hoang Huy
Chọn B


 x4  2

lim f  x   lim 
 xlim
x  0
x 0
 0 
x
x



f  0   lim f  x  2m 
x 0

Hàm số liên tục tại x 0

Câu 5.


1
 1
  lim 

 
x  4  2  x 0  x  4  2  4

.
x





1
4.

 f  0   lim f  x   lim f  x 
x 0

x 0

 m 0 .

[1D4-3.3-2] (KIM-LIÊN 11 hk2 -2017-2018) Tìm
 x 3  2
khi x  1


f  x   x  1
mx
khi x 1

liên tục tại x 1
1
1
m
m
2.
4.
A.
B. m  1 .
C.

tham

số

D.

m

để

m 

1
4.

hàm

số

Lời giải
Tác giả:Trần Thị Vân; Fb:Trần Thị Vân
Chọn C
Hàm số

y  f  x

f  1 m

xác định trên R .

;

lim f  x  lim mx m

x  1

x 1

lim f  x  lim

x 1

x 1

;

x 3  2
x 1
lim
lim
x 1
x 1
 x  1 x  3  2 x 1

Vậy để hàm số liên tục tại x 1 thì
Câu 6.





1
1

x 3 2 4

lim f  x  lim f  x   f  1  m 

x 1

x 1

.
1

4.

[1D4-3.3-2] (GIỮA HK2 LỚP 11 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2018-2019) [1H2-2.2-2]
(GIỮA HK2 LỚP 11 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2018-2019) Cho hàm số
 x 2  x  1 khi x 1
f  x  
 ax  2 khi x  1 . Khi hàm số f ( x) liên tục tại điểm x 1 thì giá trị của a bằng


A. 3 .

C. 0 .

B.  1 .

D. 1 .

Lời giải
Tác giả:Đỗ Thị Hường; Fb:dohuong1988
Chọn D

f  1 12  1  1 3

.

lim f  x  lim(ax
 2) a  2


x  1

x 1

lim f  x  lim(
x 2  x  1) 3


x  1

x 1

.

.

Vì hàm số liên tục tại x 1 nên

lim f  x  lim f  x   f (1)  a  2 3  a 1

x  1

x 1

.

Bài tập tương tự :

Câu 7.

Câu 8.

 x1
khi x  1

x

1
f  x  
 ax  1 khi x 1

2
Giá trị của tham số a để hàm số
liên tục tại điểm x 1 là:
1
1

A. 2 .
B.  1 .
C. 2 .
D. 1 .
 x4  2
khi x  0

x
f  x  
2m  5 x khi x 0

4
Giá trị của tham số m để hàm số
liên tục tại x 0 là:

4
1
1
A. 3 .
B. 3 .
C. 8 .
D. 2 .
Ghi nhớ:
lim f  x   lim f  x   f ( x0 )
x  x0
Hàm số f ( x) liên tục tại điểm x  x0 thì x  x0
.

Câu 9.

[1D4-3.3-2] (HK2 THPT
 x 3  2
khi x  1

f  x   x  1
ax  2
khi x 1


LƯƠNG

THẾ

VINH

HÀ

NỘI)

Cho

hàm

số

. Để hàm số liên tục tại x 1 thì a nhận giá trị là
7

B. 1 .
C. 4 .
D. 0 .

1
A. 2 .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Văn Chí ; Fb: Nguyễn Văn Chí
Chọn C
Tập xác định của hàm số
Ta có

f  1 a  2

f  x

là  .


lim f  x  lim

x 1

x 1

x 3  2
lim
x1
x 1

1



x 3 2





1
4

lim f  x  lim  ax  2  a  2

x  1

x 1

Hàm số đã cho liên tục tại


x 1  lim f  x  lim f  x   f  1
x 1

x 1

1
7
a  2  a 
4
4 .

Bài tập tương tự :

 x  1 2 khi x  1

f  x   x 2  3 khi x  1
k 2
khi x 1
f  x

Câu 10. Cho hàm số
. Tìm k để
gián đoạn tại x 1 .
A. k 2 .

B. k 2 .
C. k  2 .
D. k 1 .
 sin 5 x
khi x 0

f  x   5 x
a  2 khi x 0
f  x
Câu 11. Cho hàm số
. Tìm a để
liên tục tại x 0.
A. 1 .
B.  1 .
C.  2 .
D. 2.
Ghi nhớ:
Để xét tính liên tục của hàm số tại x0 ta cần phải nhớ.
1)Cho hàm số

y  f  x

y  f  x
Hàm số

xác định trên khoảng K và x0  K .

lim f  x   f  x0  .
được gọi là liên tục tại x0 nếu x  x0

2)Định lý về giới hạn một bên

lim f ( x) l  lim f ( x)  lim f ( x) l

x  x0

x  x0

x  x0

Câu 12. [1D4-3.3-3] (HK2 THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI) Cho hàm
 x3  6 x 2  11x  6
khi x 3

f  x  
x 3
m
khi x 3 . Tìm giá trị của m để hàm số liên tục tại x 3 ?

A. m 1 .
B. m 2 .
C. m 3 .
D. m 0 .

số

Lời giải
Tác giả: CongMinhĐinh;
Chọn B
Tập xác định của hàm số là  .

f 3 m
Ta có:  
.
3
x  6 x 2  11x  6
lim f  x  lim
lim  x 2  3x  2  2
x 3
x 3
x 3
x 3
.
lim f  x   f  3  m 2
Hàm số liên tục tại x 3 khi x  3


Bài tập tương tự :
 x 3  6 x 2  11x  6

x2  9
f  x  
m 2

3
Câu 13. Cho hàm số
tại x 3 ?
8
2
A. 3 .
B. 3 .

khi x 3
khi x 3

. Tìm giá trị của m để hàm số liên tục

C. 1 .

4
D. 3 .

  x3  6 x 2  x  6
khi x 1

f  x  
x 1
 2m  4
khi x 1 . Tìm giá trị của m để hàm số liên tục tại

Câu 14. Cho hàm số
x 1 .
A. 5 .
B.  18 .
C.  9 .
D. 14 .
f x
a; b 
x  a; b 
f x
Ghi nhớ: Cho hàm số   xác định trên khoảng 

và o 
. Hàm số   liên tục
lim f  x   f  xo 
tại xo khi x  xo
y sin x  I  y cos x  II 
Câu 15. [1D4-3.4-1] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Cho các hàm số
,
y tan x  III 
và
. Hàm số nào liên tục trên  ?
 I  ,  II  .
I .
 I  ,  II  ,  III  . D.  III  .
A.
B.
C.
Lời giải
Tác giả:Phạm Hải Dương ; Fb: DuongPham.
Chọn B
Ta có hàm số y sin x có tập xác định là  nên liên tục trên  .

0;   
Hàm số y cos x có tập xác định là 
nên không liên tục trên  .


 \   k , k  
2
 nên không liên tục trên  .
Hàm số y tan x có tập xác định là

Câu 16. [1D4-3.4-2] (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG QUẢNG NAM LẦN 2 NĂM 2019) Cho biết
 x 3  3x 2  2 x
khi x  x  2  0
 x x 2



f  x  
khi x 0
a
 a
2
2
khi x 0
hàm số
liên tục trên  . Tính T a  b .
A. T 2 .

C. T 101 .

B. T 122 .

D. T 145 .

Lời giải
Tác giả: Lâm Quốc Tồn; Fb: Lam Quoc Toan
Chọn A

Ta có

x 3  3x 2  2 x x  x  1  x  2 

x  1
x  x  2
x  x  2

với

x  x  2  0.


f  x 

x3  3x 2  2 x
x  x  2

x  x  2  0
 \  0; 2
Ta có hàm số
với
liên tục trên
nên để hàm số
y  f  x
y  f  x
liên tục trên  thì hàm số
phải liên tục tại x 0 và x 2 .
f  x  lim  x  1  1
f  0  a lim
x 0
+ Tại x 0 , ta có

; x 0
.

Hàm số liên tục tại

x 0  lim f  x   f  0   a  1
x 0

.

f  x  lim  x  1 1
f  2  b lim
x 2
+ Tại x 2 , ta có
; x 2
.

Hàm số liên tục tại

x 2  lim f  x   f  2   b 1
x 2

.

2
2
Khi đó T 1  1 2 .

Câu 17. [1D4-3.4-2] (THCS-THPT-NGUYỄN-KHUYẾN-TP-HCM-24THÁNG3) Cho hàm số
 5x  1  2

, x 1

x

1
f  x  
mx  m  1 , x 1

4
( m là tham số). Giá trị của m để hàm số liên tục trên  là:
1
m
2.
A. m 0 .
B.
C. m 2 .
D. m 1 .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Hồ Tú; Fb: Nguyễn Hồ Tú
Chọn B
Tập xác định: D 
Hàm số liên tục trên
f  1 2m 

  ;1

và

 1; 

1
4

1
1

lim f  x  lim  mx  m   2m 
x 1
x 1 
4
4

lim f  x  lim

x 1

x 1

5x  1  2
5x  1  4
5
5
lim
lim

x 1
x 1
 x  1 5x  1  2 x 1 5 x  1  2 4





Hàm số liên tục trên  khi và chỉ khi hàm số liên tục tại điểm x 1
1 5
1
  m
4 4
2.

 2m 

Câu 18. [1D4-3.4-2] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Hàm số
khoảng nào sau đây?
 3 ; 4 .
   ; 4 .
  4 ; 3 .
A.
B.
C.

f  x 

x 1
x  7 x  12 liên tục trên
2

D.

  4 ; + .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Văn Chí ; Fb: Nguyễn Văn Chí
Chọn A

 x  4
x 2  7 x  12 0  
 x  3 .
Điều kiện xác định
Vậy tập xác định của hàm số là

D  \   4;  3    ;  4     4 ;  3     3 ;   

.

x 1
x  7 x  12 là hàm phân thức hữu tỉ nên nó liên tục trên từng khoảng của tập xác
Vì
định của nó.
f  x 

2

f  x 

x 1
x  7 x  12 liên tục trên mỗi khoảng    ;  4  và   4 ;  3 và
2

Do vậy hàm số
  3 ;   . Đối chiếu các đáp án ta chọn A.

1  cosx khi sinx 0
f (x) 
3  cosx khi sinx<0 . Hàm
Câu 19. [1D4-3.4-3] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Cho hàm số
0; 2019 
số có bao nhiêu điểm gián đoạn trên khoảng 
?
A.
Vô số
B. 320
C. 321 D. 319
Tác giả: Hoàng Thị Kim Liên, facebook: Kim liên
Chọn C
*/ Trên các khoảng
nên hàm số liên tục.

 k 2 ;   k 2  ;    k 2 ; 2  k 2  ,

k 

hàm số f (x) luôn xác định

*/ Xét tại các điểm
+/ TH1:

x k 2 , k  

Ta có:

 f (k 2 ) 2

f  x   lim   1  cos x  2 
 x lim
( k 2 ) 
x  ( k 2 )

 lim  f  x   lim   3  cos x  2
x  ( k 2 )
 x  ( k 2 )
Suy ra hàm số liên tục tại các điểm
+/ TH2:
Ta có:

x   k 2 , k  

lim

x  ( k 2 ) 

f  x   lim

x k 2 , k  

x  ( k 2 ) 

f  x   f (k 2 ) 2


 f (  k 2 ) 0

f  x   lim   3  cos x  4 
 x  (lim

x  (   k 2 )
   k 2 )
 lim  f  x   lim   1  cos x  0
x  (   k 2 )
 x  (   k 2 )
Suy ra hàm số gián đoạn tại các điểm

lim

x  (   k 2 ) 

f  x 

f  x   f (  k 2 )

x   k 2 , k  

Xét các điểm mà hàm số gián đoạn trên khoảng



lim

x  (   k 2 ) 

 0; 2019 

Do:
x   0; 2019   0    k 2  2019, k   

1
2019 1
k 
 , k    k   0;1; 2;...;320
2
2
2

Vậ

y, chọn đáp án C.
Câu 20. [1D4-3.5-2] (KINH MÔN II LẦN 3 NĂM 2019) (KINH MÔN II LẦN 3 NĂM 2019) Cho
 2 x 2  3x  1
khi x 1

f  x   2  x  1
m
khi x 1 . Tìm m để hàm số f ( x) liên tục tại x 1 .

hàm số
A. m = 0, 5 .
B. m = 1,5 .
C. m = 1 .

D. m = 2 .
Lời giải
Tác giả:Trần Đắc Nghĩa; Fb:Đ Nghĩa Trần
Chọn A
Tập xác định: D = ¡
Ta có

Có

f  1 m

.

2 x 2  3x  1
lim f  x  lim
lim
x 1
x 1
x1
2  x  1

Hàm số liên tục tại x 1 khi

1

2  x  1  x  
1
2



lim  x   0,5
x 1
2  x  1
2

.

f  1 lim f  x   m 0,5
x 1
.

 x2  4  2
khi x 0

2
x
f ( x) 
 2a  5
khi x 0

4
Câu 21. [1D4-3.5-2] (Chuyên Quốc Học Huế Lần1) Cho hàm số
.
f
(
x
)
x

0

a
Tìm giá trị thực của tham số để hàm số
liên tục tại
.
3
4
4
a 
a
a 
4.
3.
3 . D.
A.
B.
C.
3
a
4.

Lời giải
Tác giả: Phạm Hoàng Điệp; Fb: Hoàng Điệp Phạm.
Chọn D


Tập xác định: D  .
x2  4  2
lim f ( x) lim
lim
x 0

x 0
x 0
x2

lim
x 0

f (0) 2a 

x2  4  4
x 2 ( x 2  4  2)

x 0

x2  4  2
x2



1
x2  4  2



x2  4  2

x2  4  2



1
4





.

5
4 .

Hàm số f ( x) liên tục tại

a

lim



x 0  lim f ( x)  f (0)  2a 
x 0

5 1
3
  a
4 4
4.

3

4.

Vậy
 x2  1
khi x 1

f  x   x  1
a
khi x 1 liên tục tại

Câu 22. [1D4-3.5-2] (Chuyên Vinh Lần 3) Tìm a để hàm số
điểm x0 1 .
A. a 1 .

B. a 0 .

C. a 2 .

D. a  1 .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Thu Trang; Fb: Trang nguyễn
Chọn C
TXĐ: D   x0 1 D .
Ta có :

lim
x 1

f  1 a

.

 x  1  x  1 lim x 1 2
x2  1
lim
 
x 1
x  1 x 1
x 1
.

Hàm số

f  x

lim f  x   f  1  a 2
liên tục tại điểm x0 1 khi và chỉ khi x 1
.

Câu 23. [1D4-3.5-3] (NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG LẦN IV NĂM 2019) Cho hàm số
 x3  8 x  m
khi x 1

f  x   x  1
n
khi x 1 , với m , n là các tham số thực. Biết rằng hàm số f  x  liên tục

tại x 1 , khi đó tổng giá trị m  n bằng:
A. 4.

B. 1.
C. 0.
D. 2.
Lời giải
Tác giả: Vũ Kiều Oanh ; Fb: Rio Vũ Vũ.
Chọn D
Với x 1 ta có:


f  x 
Vì

x3  8x  m
m9
x 2  x  9 
x 1
x 1 .

f  x

liên tục tại x 1 nên

lim f  x   f  1
x 1

hữu hạn.

 m  9 0  m  9 .
Do đó:

n  f  1 12  1  9 11

.

Vậy m  n  9  11 2 .
Chọn D.

Câu 24. [1D4-3.5-3] (HK 2 sở bắc giang tốn 11 năm 2017-2018) 2) Tìm m để hàm số
 x2  x  2
khi x   1

f ( x)  x  1
 mx  2m 2 khi x  1

liên tục tại điểm x  1 .
Lời giải
Tác giả: Trần Tuyết Mai Tên FB: Mai Mai
Ta có:

lim f ( x)  lim

+

x  1

+

x   1

x  1

x2  x  2
( x  1)( x  2)
 lim
 lim ( x  2)  3
x  1
x  1
x 1
x 1





lim f ( x)  lim mx  2m 2  m  2m 2  f ( 1)
x  1

.

Hàm số liên tục tại điểm x  1 khi và chỉ khi
 m 1
lim f ( x)  lim f ( x)  f ( 1)  2m 2  m  3 0  
x  1
x  1
 m  3
2.

 m 1

 m  3

2 thì hàm số liên tục tại điểm x  1 .
Vậy với 
Bài tập tương tự

Câu 25.

 x2  x  2

f ( x)  x  1
  x  m2

Tìm m để hàm số

khi x  1
khi x 1 liên tục tại điểm x 1 .
Đáp số: m 2 .

Câu 26.

Tìm m để hàm số

 1 x  1 x

x
f ( x) 
3
m  x  3x  1
x2


khi x  0
khi

x 0

liên tục tại x0 0 .
Đáp số:

m 

3
2.


f  x0   lim f ( x)  lim ( x)
x  x0
x  x0
Ghi nhớ: Hàm số y  f ( x) liên tục tại điểm x0 khi và chỉ khi

 2x 2  3x  2
khi x  2

f  x  
x2
m 2 +mx  8 khi x  2


Câu 27. [1D4-3.5-3] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Cho hàm số
Tính tổng các giá trị tìm được của tham số m để hàm số liên tục tại x  2
B. 4 .

A. 2 .

D. 5 .

C. 1 .
Lời giải

Tác giả:Nguyễn khắc Sâm; Fb: Nguyễn khắc Sâm
Chọn A
Hàm số

y  f  x

xác định trên R .

f   2  m 2  2m  8

;

 2x  1  x  2   lim 2x  1  5
2x 2  3x  2
 lim


x  2
x  2
x  2
x 2
x 2

.

lim f  x   lim

x  2

Để hàm số liên tục tại x  2 thì
 m  1
lim f  x   f   2   m 2  2 m  8  5  m 2  2m  3 0  
x  2
 m 3

Vây, tổng các giá trị của tham số m bằng 2.
Câu 28. [1D4-3.5-4]
(KIM-LIÊN
11
hk2
2017
2
2018
2
2m  5m  2  x  1
x  2  2 x  3 0









tham số m để phương trình có nghiệm.

-2017-2018)

Cho

phương

trình

(với m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của

Lời giải
Tác giả: Trần Văn Tân ; Trần Văn Tân:
Xét hàm số

f  x   2m 2  5m  2   x  1

2017

x

2018

 2  2x 2  3

.

Hàm số có tập xác định D R nên liên tục trên R .

 m 2
2m  5m  2 0  
 m 1
2

2 . Khi đó ta được f  x  2 x  3 , dễ thấy
* Trường hợp 1: Nếu
f  x  0
phương trình
vơ nghiệm.
2

m 2

2m  5m  2 0  
1
m  2
f  x
* Trường hợp 2: Nếu
. Khi đó đa thức
có bậc bằng 4035
(bậc lẻ).
2

Ta có

f  0  3  0

.


m  2
2 m  5m  2  0  
m  1
lim f  x   

2 , khi đó x   
i) Nếu
nên tồn tại số thực a  0 sao cho
f  a  0
.
2

Từ đó ta được
trình có

f  a  . f  0  0

, nên phương trình có nghiệm trong khoảng

 a; 0 

do đó phương

nghiệm.
2 m 2  5m  2  0 

ii) Nếu

f  b  0

1
m2
lim f  x   
2
, khi đó x  
nên tồn tại số thực b  0 sao cho

.

Từ đó ta được
trình có

f  0 . f  b  0

, nên phương trình có nghiệm trong khoảng

 0;b 

do đó phương

nghiệm.
1 1 

m    ;    ; 2    2;  
2  2 

Vậy phương trình có nghiệm khi
.

Câu 29. [1D4-3.6-2] (HK2 THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI) Khẳng định nào sau đây là khẳng
định sai ?
2019
A. Phương trình x  x  1 0 ln có nghiệm.
1
1

m
B. Phương trình sinx cos x
vơ nghiệm với m .
5
2
C. Phương trình x  x  3 0 có nghiệm thuộc khoảng (0;2).

D. Phương trình 2sin x  3cos x 4 vơ nghiệm.
Lời giải
Tác giả: Võ Văn Trung ; Fb: Van Trung
Chọn B
*Xét phương án A: Xét hàm số

f (x)  x 2019  x  1

.

f ( 2) ( 2) 2019  3; f (0) 1

f ( 2). f (0)  0

và hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [-2;0]. Suy ra phương trình có ít nhất một

2019
nghiệm trong khoảng (-2; 0). Vậy pt x  x  1 0 luôn có nghiệm. Do đó đáp án A: đúng.
*Xét phương án B.


Điều kiện :

sin x 0


cos x 0

 x k

, k,l  


 x  2  l


m
pt  cos x  sin x m sin x.cos x  cos( x  )  cos x.sin x(1)
4
2

m 0 : pt (1)  cos( x  ) 0
4
phương trình có nghiệm.
Vậy đáp án B: sai.
*Xét phương án C: Xét hàm số

f ( x) x5  x 2  3

.

f (0)  3; f (2) 25
f (0). f (2)  75  0
5

và hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [0;2]. Suy ra phương trình

2

x  x  3 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (0;2). Do đó đáp án C: đúng.
*Xét phương án D: Phương trình 2sin x  3cos x 4(*)
Điều kiện có nghiệm:

a 2  b 2 c 2

 a 2  b 2 22  32 13
 a2  b2  c2
 2
2
c 4 16

.Do đó pt (*) vơ nghiệm. Vậy đáp án D: đúng.

Bài tập tương tự
Câu 30. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?
3

2
A. Phương trình x  3 x  5 x  1 0 có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (0;1).
B. Phương trình 2sin x cos x  3 cos 2 x  m 0 có nghiệm với m .
5
4
2
C. Phương trình x  7 x  3 x  x  2 0 ln có nghiệm.
D. Phương trình 3sin x  4cos x 2 ln có nghiệm.
Câu 31. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?
1  m 2  x5  3 x  1 0

A. Phương trình
ln có nghiệm với mọi m.
B. Phương trình 4sin x  5cos x 3 ln có nghiệm.
4
2
  1;1 .
C. Phương trình 4 x  2 x  x 3 có ít nhất hai nghiệm phân biệt trên khoảng
D. Phương trình 12sin x  m cos x 13 có nghiệm với m .

Câu 32. [1D4-3.6-3] (GIỮA HK2 LỚP 11 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2018-2019) Cho các số
thực a, b, c thỏa mãn 4a + b > 8 + 2b và a + b + c <- 1 . Khi đó số nghiệm thực phân biệt của
3
2
phương trình x + ax + bx + c = 0 bằng
A. 0 .
B. 3 .

C. 2 .

D. 1 .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Vân ; Fb: Nguyễn Thị Vân
Chọn B


Xét hàm số

f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c

Theo giả thiết

4a + c > 2b +8 Û - 8 + 4a - 2b + c > 0 Þ f ( - 2) > 0

;

a + b + c <- 1 Û 1 + a + b + c < 0 Þ f ( 1) < 0
Ta có

f ( x)

là hàm đa thức nên liên tục trên ¡

ìï lim f ( x ) = lim ( x 3 + ax 2 + bx + c) =- Ơ
ù xđ- Ơ
xđ- Ơ
ớ
ùù f ( - 2) > 0
ïỵ

Suy ra phương trình

f ( - 2) f ( 1) < 0

f ( x) = 0

có ít nhất một nghiệm trên

( - ¥ ; - 2) ( 1)

nên phương trình có ít nhất một nghiệm trên khoảng

( - 2;1) ( 2)

ìï lim f ( x ) = lim ( x 3 + ax 2 + bx + c) = +Ơ
ù xđ+Ơ
xđ+Ơ
ớ
ùù f ( 1) < 0
ùợ
Suy ra phng trỡnh có ít nhất một nghiệm trên khoảng
Từ

( 1;+¥ ) ( 3)

( 1) ; ( 2) và ( 3) ta có phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất 3 nghiệm.

Mặt khác

f ( x) = 0

Vậy phương trình

là phương trình bậc ba nên có tối đa 3 nghiệm

f ( x) = 0

có đúng 3 nghiệm

Bài tập tương tự :
Câu 33.

Câu 34.

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a + c > b +1 và 4a + 2b + c <- 8 . Khi đó số nghiệm thực
3
2
phân biệt của phương trình x + ax + bx + c = 0 bằng
A. 0 .
B. 3 .
C. 2 .
D. 1 .
3
2
Cho phương trình x - 3 x + mx - 2m + 2 = 0 ( m là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên
dương của m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt x1; x2 ; x3 thỏa mãn x1 <1 < x2 < x3 ?
A. 0
B. 3 .
C. 5 .
D. Vô số

y = f ( x)
[ a; b] và f ( a) . f ( b) < 0 thì phương trình
Ghi nhớ: Nếu hàm số
liên tục trên đoạn
f ( x) = 0
( a; b ) .
có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng
1;5
Câu 35. [1D4-3.6-3] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên đoạn   và
f (1) 2, f (5) 10 . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Phương trình f ( x) 6 vơ nghiệm.
B. Phương trình f ( x) 7 có ít nhất một nghiệm trên khoảng (1;5) .
C. Phương trình f ( x) 2 có hai nghiệm x 1, x 5 .
D. Phương trình f ( x) 7 vơ nghiệm.


Lời giải
Tác giả:Đỗ Thị Hường; Fb:dohuong1988
Chọn B
Đặt g ( x)  f ( x)  m .
Vì

f ( x ) liên tục trên đoạn  1;5 nên g ( x) liên tục trên  1;5 .Ta xét các trường hợp sau:

+ Với m 6  g ( x )  f ( x )  6 .
Ta có:

g (1).g (5) ( f (1)  6).( f (5)  6) (2  6).(10  6)  16  0 .

Suy ra phương trình g ( x) 0  f ( x) 6 có ít nhất một nghiệm trên khoảng (1;5) .
Vậy A sai.
+ Với m 7  g ( x)  f ( x)  7 .
Ta có:

g (1).g (5) ( f (1)  7).( f (5)  7) (2  7).(10  7)  15  0 .

Suy ra phương trình

g ( x) 0  f ( x) 7 có ít nhất một nghiệm trên khoảng (1;5) .

Vậy B đúng, D sai.
+ Với

m 2  g ( x)  f ( x)  2 .

g (5)  f (5)  2 10  2 8 0 Suy ra x 5 khơng là nghiệm của phương trình
Ta có:
g ( x) 0 hay f ( x) 2 .
Vậy C sai.
Ghi nhớ:

a; b 
Nếu hàm số y  f ( x) liên tục trên đoạn 
và f (a). f (b)  0 thì phương trình f ( x) 0 có ít
nhất một nghiệm trên khoảng ( a; b) .

ìï 1 + 2x - 1
ï
f ( x ) = ïí

x
ïï
ïïỵ 1 + 3x
Câu 36. [1D4-3.7-3] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Cho hàm số
Mệnh đề nào sau đây đúng.
A. Hàm số liên tục trên  .
B. Hàm số gián đoạn tại x 3 .
C. Hàm số gián đoạn tại x 0 . .

khi x > 0
khi x £ 0

.

D. Hàm số gián đoạn tại x 1 . .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Khắc Sâm ; Fb: Nguyễn Khắc Sâm

Chọn A


Hàm số

y  f  x

xác định trên R .

Với x  0 ta có hàm số

f  x 

1  2x  1
 0;  .
x
liên tục trên khoảng

f  x  1  3x
  ; 0  .
Với x  0 ta có
liên tục trên khoảng
f  0  1
Với x 0 ta có:

lim f  x   lim (1  3x) 1

x  0

x 0

.


 1  2x  1 

lim f  x   lim 
  xlim
x  0
x 0
 0  x
x




Vì

lim f  x   lim f  x   f (0)

x  0

x 0



  lim 

1  2x  1  x  0 


2x






 1
1  2x  1 

.
2





, nên hàm số liên tục tại x 0 . Vậy hàm số liên tục trên  .