Đại số - Tiết 57: Hệ thức Viet và ứng dụng

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1></div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>Giải phương trình: x</b>

<b>2</b>

<b> – 6 x + 5 = 0</b>

<b>Giải:</b>

<b>KIỂM TRA BÀI CŨ</b>



<b>’</b>

<b>= b’</b>

<b>2</b>

<b> – ac = 9 – 5 = 4 > 0 </b>

<b>Vậy pt có hai nghiệm phân biệt là:</b>



<b>,</b> <b>,</b>

<b>1</b>

<b>b</b> <b>3 2</b>

<b>x</b> <b>5</b>

<b>a</b> <b>1</b>

  

  



<b>,</b> <b>,</b>

<b>2</b>

<b>b</b>

<b>3 2</b>

<b>x</b>

<b>1</b>

<b>a</b>

<b>1</b>













;

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>§ 6 </b>

<b>§ 6 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG</b>

<b>1. HÖ thøc vi- Ðt </b>

<b> Nếu phương trình bậc hai ax2 _{+ bx +c =}</b>

<b>0 có nghiệm thì dù đó là hai nghiệm </b>
<b>phân biệt hay nghiệm kép ta đều có thể </b>
<b>viết các nghiệm đó dưới dạng:</b>

a

b

x

,

a

b

x

2

2

2

1

















</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>1. HƯ thøc vi- Ðt </b>

1 2

2

2

<i>b</i>

<i>b</i>

<i>x x</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

  

  







( )
2

2
2

<i>b</i> <i>b</i>

<i>a</i>
<i>b</i>

<i>a</i>

      




  <b>- b </b>

<b> </b>

<i><b>a </b></i>

1. 2

2 2

<i>b</i> <i>b</i>

<i>x x</i>

<i>a</i> <i>a</i>

 _{  }   _{ } _ 

_ _{ } _

   

   

2 2 2

2 2

2

(

4 )

4

4

4

4

<i>b</i>

<i>b</i>

<i>b</i>

<i>ac</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>ac</i>

<i>a</i>

 













<i><b> </b></i>

<i><b>c</b></i>

<i><b> </b></i>
<b> </b>

<i><b>a</b></i>

<b>§ 6</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>1. HƯ thøc vi- Ðt </b>

<b>Phrăng-xoa Vi-ét là nhà Tốn học nổi </b>
<b>tiếng người Pháp (1540 - 1603). Ông đã </b>
<b>phát hiện ra mối liên hệ giữa các nghiệm </b>
<b>và các hệ số của phương trình bậc hai </b>
<b>và ngày nay nó được phát biểu thành </b>
<b>một định lí mang tên ụng .</b>

<b> F.Viốte</b>

<b>Định lí vi- ét </b>

<b>Nếu x₁, x₂là hai nghiệm của ph ơng </b>
<b>trình ax2 _{+ bx + c= 0 (a0) thì}</b>

a
c
x

.
x

a
b
x

x

2
1

2

1

<b>Đ 6 </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

1. HÖ thøc vi Ðt

Áp dụng:

1)Biết rằng các phương trình sau có
nghiệm, khơng giải phương trình,
hãy tính tổng và tích của chúng:

2x2 - 9x + 2 = 0

Giải

<b>áp dụng</b>

<b>Định lí vi- ét </b>

<b>Nếu x₁, x₂là hai nghiệm của ph ơng </b>
<b>trình ax2 _{+ bx + c= 0 (a0) thì}</b>

a
c
x

.
x

a
b
x

x

2
1

2
1

<b>Đ 6 </b>

<b>§ 6 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG</b>

2)Khơng giải phương trình hãy tính

tổng và tích hai nghiệm của phương
trình

x2_{– 5x + 6= 0}_{và tính nhẩm nghiệm}
của phương trình.

Ta coù: ₁ ₂

1 2

( 9) 9

2 2

. 1

<i>b</i>
<i>x</i> <i>x</i>

<i>a</i>
<i>c</i>
<i>x x</i>

<i>a</i>

  


   





 _ _

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

1. Hệ thức vi ét

<b>Định lí vi- ét </b>

Nếu x₁, x₂là hai nghiệm của ph ơng
tr×nh ax2 _{+ bx + c= 0 (a 0)} _thì

a
c
x

.
x

a
b
x

x

2
1

2
1

Giải

<b>áp dụng</b>

ãKhụng gii phng trỡnh hóy tớnh tng
và tích hai nghiệm của phương trình

x2_{– 5x + 6= 0}_{và tính nhẩm nghiệm}
của phương trình.

Vì ’= 9 – 5 = 4>0

Suy ra: 2 + 3 = 5

2 . 3 = 6

Vậy hai nghiệm của phương trình là:
x₁=2 ; x₂=3

<b>§ 6 </b>

<b>§ 6 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG</b>

x₁+ x₂=

x₁.x₂=



5



5
1

 


 

<i>b</i>
<i>a</i>

6

6
1

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<b>Hoạt Động nhóm</b>

<b>Nhóm 1 và nhóm 2 ( Làm ?2 )</b>

Cho ph ơng trình 2x2_{- 5x+3 = 0 .}

a) Xác định các hệ số a,b,c rồi tính a+b+c.

b) Chøng tá x₁= 1 lµ mét nghiƯm cđa ph
ơng trình.

c) Dựng nh lý Vi- ột tỡm x_2..

<b>Nhóm 3 và nhóm 4 (Làm ?3)</b>

Cho ph ơng trình 3x2 _+7x+4=0.

a) ChØ râ c¸c hƯ sè a,b,c của ph ơng
trình v tính a-b+c

b) Chứng tỏ x₁= -1 là một nghiệm của
ph ơng trình.

c) Tìm nghiệm x_2.

1. Hệ thức vi ét

<b>Định lí Vi-ét: </b>Nếu x₁, x₂là hai nghiệm

của ph ơng trình ax2 _{+ bx + c= 0(a0) thì}

a
c
x

.
x

a
b
x

x

2
1

2
1

<b>áp dụng</b>

<b>Đ 6 </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

1. Hệ thức vi ét

<b>Định lí Vi-ét: </b>Nếu x₁, x₂là hai nghiệm
của ph ơng trình ax2 _{+ bx + c= 0 (a0)}

thì :

a
c

x

.
x

a
b
x

x

2
1

2
1

<b>áp dụng</b>

<b>Tổng quát 1</b> : Nếu ph ơng trình

ax2_{+bx+c= 0 (a 0 ) có a+b+c=0 thì ph}
ơng trình có môt nghiệm x₁=1, còn

nghiệm kia là <i>c</i>

<i>a</i>

x

₂

=

<b>Hoạt Động nhóm</b>

Nhóm 1 vµ nhãm 2 ( Lµm ?2 )

Trả lời:

Phương trình 2x2_{-5x + 3 = 0}

a/ a =2 ; b = - 5 ; c = 3

a+b+c =2+(-5)+3=0

b/ Thay x=1 vào phương trình ta được:

2+(-5)+3=0

Vậy x=1 là một nghiệm của phương
trình

c/ Ta có x₁.x₂= c/a = 3/2 => x₂= 3/2

<b>§ 6 </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

1. Hệ thức vi ét

<b>Định lí Vi-ét: </b>Nếu x₁, x₂là hai nghiệm
của ph ơng trình ax2 _{+ bx + c= 0 (a0) thì}

a
c
x

.
x

a
b
x

x

2
1

2
1

<b>áp dụng</b>

<b>Tổng quát 1</b> : Nếu ph ơng trình

ax2_{+bx+c= 0 (a 0 ) có a+b+c=0 thì ph}
ơng trình có môt nghiệm x₁=1, còn

nghiệm kia là <i>c</i>

<i>a</i>

x

₂

=

<b>Tổng quát 2</b>: Nếu ph ơng trình

ax2_{+bx+c=0 (a0 ) có a-b+c = 0 thì ph ơng}
trình có một nghiệm x₁= -1, còn nghiệm

kia là _x

2=

<i>c</i>
<i>a</i>

<b>Hoạt Động nhóm</b>

Nhúm 3 và nhóm 4:

Phương trình 3x2 +7x + 4= 0

a/ a =3 ; b = 7 ; c = 4

a-b+c =3 + (- 7) + 4 = 0

b/ Thay x= -1 vào phương trình ta
được: 3+(-7)+4=0

Vậy x= -1 là một nghiệm của phương
trình

c/ Ta có x₁.x₂= c/a = 4/3 => x₂ = -4/3

<b>§ 6 </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

1. HƯ thức vi ét

<b>Định lí Vi-ét: </b>Nếu x₁, x₂là hai nghiệm
của ph ơng trình ax2 _{+ bx + c= 0(a0) thì}

a
c
x

.
x

a
b
x

x

2
1

2
1

<b>áp dụng</b>

<b> ?4:Tính nhẩm nghiệm của ph ¬ng tr×nh </b>

a/ - 5x2_{+3x +2 =0;}

b/ 2004x2_{+ 2005x+1=0}

b/ 2004x2_{+2005x +1=0}

(a=2004 ,b=2005 ,c=1)

Ta cã: a-b+c=2004-2005+1=0

x₂= - 1

2004

VËy x₁= -1,

a/ -5x2 _{+3x+2=0 (a=-5, b=3, c=2)}

Ta cã: a+b+c= -5+3+2= 0.

VËy x₁=1, ₂ 2 2

5 5

<i>x</i> 

<b>Tổng quát 1</b> : Nếu ph ơng trình

ax2_{+bx+c= 0 (a 0 ) có a+b+c=0 thì ph}
ơng trình có môt nghiệm x₁=1, còn

nghiệm kia là <i>c</i>

<i>a</i>

x

₂

=

<b>Tổng quát 2</b>: Nếu ph ơng trình

ax2_{+bx+c=0 (a0 ) có a-b+c = 0 thì ph ơng}
trình có một nghiệm x₁= -1, còn nghiệm

kia là _x

2=

<i>c</i>
<i>a</i>

Lời giải

<b>Đ 6 </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

<b>1.Hệ thức vi ét</b>

<b>Định lí Vi-ét: </b>Nếu x₁, x₂là hai nghiệm
của ph ơng trình ax2 _{+ bx + c= 0(a0) thì}

a
c
x

.
x

a
b
x

x

2
1

2
1

<b>áp dụng</b>

<b>Tổng quát 1 </b>:(SGK)

<b>Tổng quát 2</b>:(SGK)

<b>2. Tìm hai số biết tỉng vµ tÝch </b>
<b>cđa chóng :</b>

Hệ thức Vi-ét cho ta biết cách
tính tổng và tích của hai nghiệm
phương trình bậc hai

Ngược lại nếu biết tổng của
hai số bằng S và tích của chúng
bằng P thì hai số đó là nghiệm
của phương trình nào?

<b>§ 6 </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

<b>1.Hệ thức vi ét</b>

<b>Định lí Vi-ét: </b>Nếu x₁, x₂là hai nghiệm
của ph ơng trình ax2 _{+ bx + c= 0(a0) thì}

a
c
x
.
x
a
b
x
x
2
1
2
1
<b>áp dụng</b>

<b>Tổng quát 1 </b>:(SGK)

<b>Tổng quát 2</b>:(SGK)

<b>2. Tìm hai sè biÕt tỉng vµ tÝch </b>
<b>cđa chóng :</b>

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P
thì hai số đó là hai nghiệm của ph ơng
trình x2 _{– Sx + P = 0}

Điều kiện để có hai số đó là S2 _{-4P ≥0}

+ Cho hai sè cã tỉng là S vµ tÝch
b»ng P. Gäi một số là x thì số kia là

x(S x) = P

Nếu = S2- 4P 0,

thì ph ơng trình (1) có nghiệm.Các nghiệm này
chính là hai số cần tìm.

<b>áp dụng</b>

Ví dụ 1: Tìm hai số, biết tổng của chóng
b»ng 17, tÝch cđa chóng b»ng 72.

Gi¶i :

Hai số cần tìm là nghiệm của ph ơng trình.

x2__{17x + 72 = 0}

Δ = 172_{- 4.1.72 = 289-288 = 1 >0}

8
2
1
17
,

9
2
1
17
2
1 




 <i>x</i>
<i>x</i>

VËy hai sè cÇn tìm là 8 và 9

S -x .

Theo giả thiết ta có ph ơng trình

<=> x2 _{- Sx + P= 0}₍₁₎

<b>§ 6 </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

1.Hệ thức vi ét

<b>Định lí Vi-ét: </b>Nếu x₁, x₂là hai nghiệm
của ph ơng trình ax2 _{+ bx + c= 0(a0) thì}

a
c
x

.
x

a
b
x

x

2
1

2
1

<b>áp dụng</b>

<b>Tổng quát 1 </b>:(SGK)

<b>Tổng quát 2</b>:(SGK)

<b> 2. Tìm hai số biết tổng và tÝch </b>
<b> cđa chóng :</b>

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P
thì hai số đó là hai nghiệm của ph ơng
trình x2 _{– Sx + P = 0}
Điều kiện để có hai s ú l S2 _{-4P 0}

<b>áp dụng</b>

?5. Tìm hai sè biÕt tỉng cđa chóng
b»ng 1, tÝch cđa chóng bằng 5.

Giải

Hai số cần tìm là nghiệm của ph ơng tr×nh
: x2_{- x + 5 = 0}

Δ= (-1)2 _{4.1.5 = -19 < 0.}

Ph ơng trình vô nghiệm.

Vậy không có hai số nào có tổng bằmg 1
và tích bằng 5.

<b>Đ 6 </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

<b>1.Hệ thức vi ét </b>

<b>Định lí Vi-ét: </b>

Nếu x₁, x₂là hai nghiệm của ph ơng tr×nh
ax2 _{+ bx + c= 0 (a0) thì}

a
c
x

.
x

a

b
x

x

2
1

2
1

<b>áp dụng</b>

<b>Tổng quát 1 </b>:(SGK)

<b>Tổng quát 2</b>:(SGK)

<b>2.Tìm hai số biÕt tỉng vµ tÝch </b>
<b> cđa chóng :</b>

NÕu hai sè cã tỉng b»ng S vµ tÝch

bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của
ph ơng trình x2 _{– Sx}
+ P = 0
Điều kiện để có hai số đó là S2 _{-4P ≥0}

<b>Lun tËp</b>

<b>§ 6 </b>

<b>§ 6 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG</b>

1)Dùng điều kiện a + b + c = 0 hoặc
a – b + c = 0 để tính nhẩm nghiệm
của mỗi phương trình sau:

a)3x2 -7x + 4 = 0;

2

 b)  3<i>x</i>  (1 3)<i>x</i>  1 0

Giải

a) Ta có: a + b + c = 3 + (-7) + 4 = 0
PT có hai nghiệm x₁ = 1, x₂ = 4

3

<i>c</i>

<i>a</i> 

PT có hai nghiệm x₁ = -1,

x₂ =

b)Ta coù: a -b + c =   3 [ (1   3)] 1 0 

1 1
3 3

<i>c</i>
<i>a</i>



</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

<b>1.HÖ thøc vi ét</b>

<b>Định lí Vi-ét: </b>Nếu x₁, x₂là hai nghiệm
của ph ơng trình ax2 _{+ bx + c= 0(a0) thì}

a
c
x

.
x

a
b
x

x

2
1

2
1

<b>áp dụng </b>

<b>Tổng quát 1 </b>:(SGK)

<b>Tổng quát 2</b>:(SGK)

<b> 2.Tìm hai số biÕt tỉng vµ tÝch </b>

<b> cđa chóng</b> :

NÕu hai sè cã tỉng b»ng S vµ tÝch

bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của
ph ơng trình x2 _{– Sx}
+ P = 0

Điều kiện để có hai số đó là S2 _{-4P ≥0}

2)

Bài 27/ SGK

.Dùng hệ thức Vi-ét

để tính nhẩm các nghiệm của ph

ơng trình.

a/ x

2

_{7x+12= 0}

Giải

a/

=(7)2 – 4.1.12 = 49 – 48 =1 > 0.

V× : 3 + 4 = 7 vµ 3. 4 = 12

nªn x

₁

=3, x

₂

=

4

lµ hai nghi m c a ph ơng trình
(1)

<b>Đ 6 </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

<b>1.Hệ thức vi ét</b>

<b>Định lí Vi-ét: </b>Nếu x₁, x₂là hai nghiệm
của ph ơng trình ax2 _{+ bx + c= 0(a0) thì}

a
c
x

.
x

a
b
x

x

2
1

2
1

<b>áp dụng</b>

<b>Tổng quát 1 </b>:(SGK)

<b>Tổng quát 2</b>:(SGK)

<b>2.Tìm hai số biết tổng vµ tÝch </b>
<b> cđa chóng :</b>

NÕu hai sè cã tỉng b»ng S vµ tÝch

bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của
ph ơng trình x2 _{- Sx +}
P = 0
Điều kiện để có hai số đó là S2 _{-4P ≥0}

Hai số u và v là hai nghiệm của
phương trình: x2 – 32x + 231 = 0

’ = 256 – 231 = 25 > 0
x₁= 16 + 5 = 21

x₂= 16 – 5 = 11
Vaäy u = 21, v = 11

3)Bài tập: 28 /SGK.

Tìm hai số u và v trong mỗi

trường hợp sau:

a)

u + v=32, u.v = 231.

Giải

<b>Đ 6 </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

<b>1.Hệ thức vi ét</b>

<b>Định lí Vi-ét: </b>

Nếu x₁, x₂là hai nghiệm của ph ơng trình
ax2 _{+ bx + c= 0 (a0) thì}

a
c
x

.
x

a

b
x

x

2
1

2
1

<b>áp dụng</b>

<b>Tổng quát 1 </b>:(SGK)

<b>Tổng quát 2</b>:(SGK)

<b> 2.Tìm hai số biết tỉng vµ tÝch </b>
<b> cđa chóng :</b>

NÕu hai sè cã tỉng b»ng S vµ tÝch

bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của
ph ơng trình x2 _{– Sx}
+ P = 0
Điều kiện để có hai số đó là S2 _{-4P ≥0}

VỀ NHÀ

Bài vừa học:

<i> -Học thuộc định lí Vi-ét và cách tìm hai </i>

<i>số biết tổng và tích. </i>
<i> -Nắm vững cách nhẩm </i>
<i>nghiệm: a+b+c=0; a-b+c=0 </i>
<i> -Trường hợp </i>

<i>tổng và tích của hai nghiệm ( S và P) là </i>
<i>những số ngun có giá trị tuyệt đối khơng </i>

<i>q lớn. </i>

<i>BTVN: 25, 26, 28bc/tr53, 29/tr54 (SGK) </i>

<i>Bổ sung thêm: Bài tập 38,41 trang </i>
<i>43,44 SBT </i>

<b>Tiết 57 </b>

<b>§ 6 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG</b>

<b>§ 6 </b>

* Cho PT bậc hai

(m-4)x2 – 2(m – 2)x + m - 1 = 0,

trong đó m là tham số.

a) Tìm giá trị của m để PT có hai
nghiệm phân biệt.

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19></div>

<!--links-->