Toán 9 Đề thi HKII đề cương ôn tập học ki 2 Toán 9

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (308.86 KB, 20 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

đề c-ơng ơn tập học kì 2 toỏn 9

A. Phần Đại số 
I. Lý thuyết

1. Hệ hai ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn

- Giải hệ bằng PP thế: nắm vững quy tắc thế

VÝ dơ: Gi¶i hƯ



=
+
=
+
5
3
8
2
4
y
x
y
x
Gi¶i:
1
y 1
y 2 4

4x y 2 y 2 x y 2 4x 4

1
8x 37 5 8x 3(2 4x) 5 4x 1 1 x

x 4
4
 = −  =

+ = = − = −
 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
 + =  + − = − = −   =
    = 


- Giải hệ bằng PP cộng đại số: nắm vững quy tắc cộng đại số

VÝ dơ: Gi¶i hƯ





=
=
⇔



=

+
=
⇔



=
+
=
+
⇔



=
+
=
+
4
1
1
2
4
1
5
3
8
4
2
8

5
3
8
2
4
x
y
y
x
y
y
x
y
x
y
x
y
x

- Giải hệ bằng PP đặt ẩn phụ

VÝ dơ: Gi¶i hƯ

=

=

+

1
1
3
2
2
2
1
1
2
1
y
x
y
x

HD: Đặt

=

=
1
1
2
1
y
v
x
u

2. Giải bài toán bằng cách lập hệ PT 
- Toán tìm số

Ví dụ: Giải bài toán sau bằng cách lập hệ ph-ơng tr×nh:

Tháng tr-ớc mẹ bạn Linh đi chợ mua một quả trứng gà và một quả
trứng vịt chỉ hết 5000 đồng. Thời điểm này mỗi quả trứng gà tăng
thêm 1000 đồng còn mỗi quả trứng vịt tăng thêm 500 đồng nên mẹ bạn
Linh mua 3 quả trứng gà và 4 quả trứng vịt hết 22000 đồng. Hỏi số
tiền mua mỗi quả trứng gà và mỗi quả trứng vịt tr-ớc khi tăng giá là
bao nhiêu?

Giải: Gọi x (đồng) là số tiền mua một quả trứng gà, y (đồng) là số

tiền mua một quả trứng vịt tr-ớc khi tăng giá. §K: x > 0, y > 0
Tr-ớc khi tăng giá: x + y = 5000

Sau khi tăng giá: 3(x+1000) + 4(y+500) = 22000
Hay 3x + 4y = 17000

Theo bµi ra ta cã hƯ ph-ơng trình

=
+
=
+
17000
4
3
5000
y
x
y
x

Giải hệ ta ®-ỵc




=
=
2000
3000
y
x

Vậy số tiền mua một quả trứng gà tr-ớc khi tăng giá là 3000 đồng, số
tiền mua một quả trứng vịt tr-ớc khi tăng giá là 2000 ng

Chú ý hai dạng toán cơ bản:

- Toán chuyển động

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

- TÝnh chÊt

- Vẽ đồ thị số y = ax2 (a≠0)

Ví dụ: Đồ thị hàm số y = -1
2x

4. Ph-ơng trình bậc hai một ẩn

- Dng tng quát, dạng khuyết của PT, xác định các hệ số a, b,
c ca PT

- Giải PT dạng ax2+ bx = 0; PT d¹ng ax2 + b = 0

5. Công thức nghiệm tổng quát và công thøc nghiÖm thu gän

Cho PT bËc hai ax2 + bx + c = 0 (1) (a ≠0)

C«ng thức nghiệm tổng quát Công thức nghiệm thu gọn

Đặt (Delta) = b2 – 4ac

+ NÕu ∆ > 0, PT (1) cã hai
nghiÖm p.b :

x1 =

b
a

− + ∆

; x2 =

b
a

− − ∆

+ NÕu ∆ = 0, PT (1) cã nghiÖm
kÐp :

x1 = x2 =

b

a

−

+NÕu ∆ < 0, PT (1) vô nghiệm

Đặt b = 2b’

∆ = b’' 2 – ac.

*NÕu ∆ > 0, PT (1) cã hai '

nghiÖm p.b: x1 =

' '

b
a

− + ∆

;

x2 =

' '

b
a

− − ∆

*NÕu ∆ = 0, PT (1) cã nghiÖm '
kÐp :

x1 = x2 =

b
a

*Nếu ' < 0 thì ph-ơng trình vô
nghiệm

6. HƯ thøc Vi-et. øng dơng

a. NÕu PT bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0) có hai nghiệm x

1 và x2

thì

=

=
+

a
c
x
x

a
b
x

x

2
1

NhÈm nghiÖm PT bËc hai theo hÖ thøc Vi-et

Giáo viên:

Trần Hữu Duật

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

VÝ dô: Cho PT x2 - 7x + 10 = 0 cã hai nghiƯm





=
=
+

10
.

2
1

x
x

nªn x1

= 5; x2= 2

b. Cho PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

+ NÕu a + b + c = 0 th× x1 = 1; x2 =

c
a.

+ NÕu a - b + c = 0 th× x1 = -1; x2 =

-c
a.

VÝ dô: 1. PT 2x2 - 7x + 5 = 0 cã 2 + (-7) + 5 = 0 nªn cã

x1 = 1; x2 =

2
5

2. PT x2 - 3x - 4 = 0 cã 1 - (-3) - 4 = 0 nªn cã

x1 = -1; x2 = 4.

c. Tìm hai số khi biết tổng và tích cña nã

NÕu hai sè u và v cần tìm có tổng u + v = S vµ tÝch u.v = P
(víi S2 - 4P ≥ 0)

thì chúng là nghiệm của PT x2 - Sx + P = 0

Ví dụ: Tìm hai số u và v biÕt u + v = -8 và tích u.v = 15
Giải: Hai số u và v lµ nghiƯm cđa PT: x2 - (-8)x + 15 = 0

hay x2 + 8x + 15 = 0. Gi¶i ra ta cã x

1 = -3, x2 = -5

7. Gi¶i PT quy vỊ PT bËc hai

a. PT trïng ph-¬ng ax4 + bx2 + c = 0 (a ≠0)

PP gi¶i: Đặt x2 = t (t 0) đ-a PT vÒ Èn t: at2 + bt + c = 0

VÝ dơ: Gi¶i pt: x4 - 13x2 + 36 = 0

Đặt x2 = t (t 0). Ta đ-ợc pt: t2 – 13t + 36 = 0

∆ = (-13)2 – 4.1.36 = 25 nªn ∆ = 5

t1 =

13 5
2

= 9 (TM§K); t2 =

13 5
2

−

= 4 (TM§K)

+) Víi t1 = 9 ⇒ x2 = 9 ⇒ x = ±3

+) Víi t2 = 4 ⇒ x2 = 4 ⇒ x = ±2

Vậy pt đã cho có 4 nghiệm: x1 = - 2; x2 = 2; x3 = - 3; x4 = 3

8. Giải bài toán bằng cách lập PT

Nêu các b-ớc giải bài toán bằng cách lËp PT?

Ví dụ: Chuẩn bị cho ơn tập học kì 2, bạn Nga lập kế hoạch làm 70
btập trong một số ngày nhất định. Để hoàn thành sớm hơn dự kiến, mỗi
ngày bạn Nga làm thêm 2 btập nữa so với dự định nên tr-ớc khi đến
hạn 2 ngày bạn đã làm đ-ợc 60 btập. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày bạn
Nga làm đ-ợc bao nhiêu btập.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Thời gian để bạn Nga làm xong hết số btập theo kế hoạch l

x

(ngày)

Trên thực tế mỗi ngày bạn Nga làm đ-ợc x + 2 (btập)

Nờn thi gian để bạn Nga làm xong 60 bài tập là
2
60

x (ngµy)

Thời gian để bạn Nga làm xong 60 b.tập tr-ớc thời gian đến hạn 2
ngày nên ta có PT

x
70
-
2
60
+

x = 2 ⇔ x

2- 3x - 70 = 0

x1 = -7 (loại); x2 = 10 (TMĐK)

Vậy số btập bạn Nga làm trong một ngày theo kế hoạch là 10 bài.

II. Bài tập

Bài 1 : Giải các hệ PT sau :

a.



=
+
=
−
4
2
3
2
y
x
y
x
Ta cã:



=
−
+
−
=
⇔




=
+
=
−
4
)
3
2
(
2
3
2
4
2
3
2
x
x
x
y
y
x
y
x



=

−
=
⇔



=
−
−
=
⇔
2
3
2
4
6
5
3
2
x
x
y
x
x
y



=
=

⇔
1
2
y
x
b.
2

5 2 4 3

...

6 3 7 11

3
x
x y
x y
y
 =

− + =
 ⇔ ⇔
 − = − 
  =


c. 2( ) 3( ) 4
( ) 2( ) 5

x y x y

+ + − =


 + + − =

 d.

1 1 1
4
9 1
1
4
x y
x
 + =


 + =


HD : Đặt

=
=
y
v
x
u
1
1

Bi 2: Mt ng-i đi xe máy từ Chu Lai đến phố cổ Hội An. Nếu đi
với vận tốc 45 km /h thì đến nơi sớm hơn dự định 13phút 20giây . Nếu
đi với vận tốc 35km/h thì đến nơi chậm hơn so với dự định là 2/7 h.
Tính quảng đ-ờng Chu Lai - Hội An và vận tốc dự định ?

HD giải: Thơng th-ờng các bài tốn giải bằng cách lập hệ PT có hai 
điều kiện; mỗi đk giúp ta lập đ-ợc một PT. Trong các bài tốn về 
chuyển động cần nhớ cơng thức liên hệ giữa quảng đ-ờng, vận tốc và 
thời gian là: s = v.t; chú ý đến đơn vị của mỗi đại l-ợng (thơng 
th-ờng s tính bằng km, v là km/h còn t là giờ(h); ta cần phải đổi 
đơn vị cho phù hợp với bài toán).

Gọi x (km) là quảng đ-ờng Chu Lai - Hội An (đk: x > 0) 
 y (km/h) là thời gian dự định (đk: y > 0)

Chú ý: Đổi 13phút 20giây =

9
2

3600
20
60
.

13 + =

h

Các em có thể dựa vào bảng tóm tắt sau để lập hệ ph-ơng trình

§iỊu kiƯn Quảng đ-ờng Vận tốc Thời 
gian

Quan hÖ

Dự định x x/y y

§iỊu kiƯn 1 x 45

45
x
9
2
45 =
x

y (Do n sm

Giáo viên:

Trần Hữu Duật

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

hơn)

Điều kiện 2 x 35 35

x

7
2
35 =−
− x

y (Do đến muộn

h¬n)

Ta cã hÖ PT :






−
=
−
=
−
7
2

35
9
2
45
x
y
x
y

Giải hệ ra ta đ-ợc : y = 2 ; x = 80 (TM§K)

Vậy quảng đ-ờng Chu Lai - Hội An là 80 km; và thời gian dự định là
2 giờ .

Bài 3: Nếu hai đội công nhân cùng làm chung sẽ hồn hành cơng việc

trong 8h; nếu đội thứ nhất chỉ làm trong 3 h rồi đội thứ hai cựng

làm tiếp trong 4 h nữa thì chỉ xong đ-ợc
5
4

công việc. Hỏi nếu mỗi

i lm riêng thì sau bao lâu hồn thành cơng việc ?

HD giải: GV h-ớng dẫn HS làm nh- sau :

Gọi thời gian đội 1 làm một mình xong việc là x(h);

thời gian đội 2 làm một mình xong việc là y (h) (đk: x, y > 
8 )

Mỗi giờ đội 1 làm đ-ợc 1/x (công việc). 
Mỗi giờ đội 2 làm đ-ợc 1/y (công việc).

Mổi giờ cả hai đội làm đ-ợc 1/8 (cơng việc). Ta có PT:

8
1
1
1+ =

y
x

Mặt khác đội 1 làm trong 3h; đội 2 đến cùng làm trong 4h nữa thì

chØ xong 0,8 (=4/5) c«ng viƯc nªn ta cã PT:

5
4
4
7
5
4
4
4

3 = ⇔ + =






+
+
y
x
y
x
x

Ta có hệ PT:

=
+
=
+
5
4
4
7

8
1
1
1
y
x
y
x
Đặt

=
=
y
b
x
a
1
1

Ta cã hƯ míi :







=
+
=
+
8
,
0
2
1
3
8
1
a
b
a

Gi¶i ra ta cã : a= 1/10; b= 1/40. Suy ra : x = 10; y = 40 (thoÃ
mÃn bài toán)

Vy nu i 1 lm một mình thì sau 10 h mới xong cơng việc, đội 2
làm một mình thì sau 40 h mới xong cơng việc.

Bµi 4: Cho hai hàm số y = 2x + 4 và y = 2x2

a) Vẽ đồ thị của hai hàm số này trong cùng một mặt phẳng tọa độ.
b) Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị.

c) Gọi A và B là giao điểm của hai đồ thị. Tính SAOB ?

Bµi 5: Giải phương trình sau:

a. x2 - x - 6 = 0

b. 3x2 + 2x - 8 = 0

c. 2

2 2 0

x − +x − =

d. 3x2 - 4x - 4 = 0

e. 2x2 - x - 6 = 0

f. x2 - 2x - 8 = 0

Bµi 6: Giải phương trình sau:

a. -3x2 + 14x – 8 = 0 b. -7x2 + 4x = 3 c. 9x2 + 6x +1 = 0
d. 2x2 – 8 = 0 e. 3x2 – 7x = 0

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Bµi 7.1
a. 2x2 - 5x + 3 = 0

b. x2 + 7x + 6 = 0

c. 2x2 - 5x + 3 = 0

d. x2 + 4x + 3 = 0

e. x2 - 3x - 4 = 0

Bµi 7.2
a. 23x2 – 9x – 32 = 0

b. 4x2 – 11x + 7 = 0
c. x2 – 3x – 10 = 0

d. x2 + 6x + 8 = 0
e. x2 – 6x + 8 = 0

Bài 8: Tìm hai số u và v trong các tr-ờng hợp sau:

a. u + v = 8; u.v = 15
b. u + v = -7; u.v = -18

c. u + v = 5; u.v = -24
d. u - v = 10; u.v = -21

Bài 9: Giải các ph-ơng trình quy về ph-ơng trình bậc hai sau đây

Bài 9.1: PT trïng ph-¬ng

a. x4 – 9x2 + 8 = 0 b. x4 - 29x2 + 100 = 0

c. x4 - 7x2 - 18 = 0

Bµi 9.2: PT chøa Èn ë mÉu

(

)(

)

4 2

1 1 2

x x

x x x

− − +
=

+ + + b. ( 2)( 4)

8
8
4

2
2

+
−

+
=

+
−

− x x

x
x

x

Bµi 9.3: PT tÝch

a. 3x3 + 6x2 - 4x = 0 b. x3+3x2−2x− = 6 0

c. x3 – 7x2 + 6 = 0 d. (4x-5)2 – 6(4x-5) + 8 = 0

Bài 10: Các bài tốn có liên quan đến tham s m

Bài 10.1 Cho ph-ơng trình x2 +2(m−1)x+m2 =0 víi m lµ tham sè.

a.

Tìm m để ph-ơng trình có hai nghiệm phân biệt

b.

Tìm m để ph-ơng trình có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn x1 + x2 =9

Bµi 10.2 Cho phương trình: x2 – 2x – m2 – 4 = 0
a. Giải phương trình trên khi m = 2

b. Tìm điều kiện của m để phương trình trên có nghiệm kép, vơ nghiệm.
c. Tìm m sao cho phương trình có hai nghiệm x1, x2thỏa mãn:

x12 + x22 = 20

x1 - x2 =10

Bµi 10.3 Cho phương trình: (m -1)x2 – 2m2x – 3(m+1) = 0
a. Tìm m biết phương tình có nghiệm x = -1

b. Khi đó hãy tỡm nghim cũn li ca phng trỡnh

Bài tập t-ơng tù

BT1: Cho phương trình: 5x2 + 2x – 2m – 1 = 0
1. Giải phương trình khi m = 1

2. Tìm m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó?

BT 2: Cho phương trình: x2 + mx + 3 = 0
1. Tìm m để phương trình có nghiệm?

2. Tìm m để phương trình có nghiệm bằng 3. Tính nghiệm cịn lại?

BT 3: Cho phương trình: x2 – 2(k – 1)x + k – 3 = 0
1. Giải phương trình khi k = 2

2. Chứng minh rằng phương trình ln có nghiệm với mọi k.

BT 4: Cho phương trình: x2 – 2x + m = 0

Tìm m biết rằng phương trình có nghiệm bằng 3. Tính nghiệm cịn li.

Giáo viên:

Trần Hữu Duật

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

BT 5: Cho phương trình: x2 + (m – 1)x – 2m – 3 = 0
1.Giải phương trình khi m = - 3

2.Chứng tỏ phương trình ln có nghiệm với mọi m.

BT 6: Cho ph-ơng trình : x2 + 4mx + 4m - 1 = 0

1. Giải ph-ơng trình với m = -2

2. Với giá trị nào của m thì ph-ơng trình có hai nghiệm phân biệt
3. Tìm m để ph-ơng trình có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn 4

2
2
2

1 + x =
x

BT 7: Cho ph-ơng trình : 2x2 - 6x + (m +7) = 0

1. Giải ph-ơng trình với m = -3

2. Với giá trị nào của m thì ph-ơng trình có một nghiệm x = - 4
3. Với giá trị nào của m thì ph-ơng trình đã cho vơ nghim

BT 8: Cho ph-ơng trình : x2 - 2(m - 1 ) x + m + 1 = 0

1. Giải ph-ơng trình với m = - 4

2. Với giá trị nào của m thì ph-ơng trình có hai nghiệm phân biệt

BT 9: Biết rằng ph-ơng trình : x2 - 2(m + 1 )x + m2 + 5m - 2 = 0

(víi m lµ tham sè ) cã mét nghiƯm x = 1. T×m nghiệm còn lại

BT 10: Biết rằng ph-ơng trình : x2 - 2(3m + 1 )x + 2m2 - 2m - 5 =

0 (víi m lµ tham sè) cã mét nghiƯm x = -1 . T×m nghiệm còn lại

BT 11: Cho ph-ơng trình: x2 - mx + 2m - 3 = 0

a) Tìm m để ph-ơng trình có nghiệm kép

b) Tìm m để ph-ơng trình có hai nghiệm trái dấu

BT 12: Cho ph-ơng trình: x2 - 2(m- 1)x + m2 - 3m = 0

Tìm m để ph-ơng trình có một nghiệm x = - 2. Tỡm nghim cũn li

BT 13: Cho ph-ơng trình bËc hai (m - 2)x2 - 2(m + 2)x + 2(m - 1)

= 0

a) Tìm m để ph-ơng trình có một nghiệm x = - 2

b) Khi ph-ơng trình có một nghiệm x = -1 tìm giá trị của m và tìm
nghiệm còn lại

Bài 11. Giải các Bài toán sau bằng cách lập PT 
Các b-ớc giải bài toán bằng cách lập ph-ơng trình

B1: Chn n v đặt điều kiện cho ẩn 
B2: Lập ph-ơng trình

B3: Giải ph-ơng trình

B4: Kt lun: i chiu nghim vừa tìm đ-ợc với đk ban đầu rồi 
rút ra kết luận

Bài 11.0 Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng

5m, diện tích hình chữ nhật 300m2. Tính chiều dài và chiều rộng.

ĐS: 15m và 20m

Bài 11.1 Lớp 9A được phân công trồng 120 cây xanh. Lớp dự định chia đều cho số học sinh,
nhưng khi lao động có 6 bạn vắng nên mỗi bạn có mặt phải trồng thêm một cây mới xong. Tính số học
sinh lớp 9A?

H-íng dÉn: PT 1

6
120
120

+

=

x
x

Giải PT ta đ-ợc x = -24 (loại) và x = 30 (TMĐK)

Bài 11.2 Tớch ca hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 89. Tìm 2 số đó.
H-íng dÉn: PT x(x+1) – (x+x+1) = 89

§S: 10 vµ 11

Bµi 11.3 Một tam giác vng có chu vi 30cm, cạnh huyền 13cm. Tính mỗi cạnh gúc vuụng.
H-ớng dẫn: áp dụng đlí Pitago cho tam giác vuông

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

OI

CD

IC = ID

CD không đi qua

tâm

(CD không là đ-ờng

kính)

IC = ID

OI

CD

Bài 11.4 Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích 54m2, nếu tăng chiều dài 2m và giảm chiều rộng

đi 2m thì diện tích giảm 10m2. Tính chiều dài và chiều rộng của khu vườn.

H-íng dÉn: Bµi này quá dễ, tự làm đi nhé.

Bài 11.5 Hai đội cơng nhân cùng làm một qng đường thì 12 ngày xong việc. Nếu đội thứ nhất
làm một mình hết nửa cơng việc, rồi đội thứ hai làm nốt phần việc cịn lại thì hết tất cả 25 ngày. Hỏi
mỗi đội làm một mình thì bao lâu xong công việc.

H-ớng dẫn : Bài này có thể giải bằng cách lập hệ PT hoặc lập PT bậc 
hai đều đ-ợc

Gọi thời gian để đội I làm một mình xong việc là x (ngày), 12 < x < 
50.

Đội I làm một mình hết nữa công việc trong x/2 ngày, đội II làm một 
mình hết nữa cơng việc trong 25 - x/2 ngày => cả công việc là 
2(50-x/2)

Mỗi ngày đội I làm đ-ợc 
x

cơng việc cịn đội II làm đ-ợc

)
2
25
(
2

x

−

c«ng

viƯc

Vì hai đội cùng làm trong 12 ngày thì xong việc nên trong một ngày 
hai đội làm đ-ợc 1/12 công việc.

Ta cã pt: 
x

+

)
2
25

(
2

x

−

=

12
1

12
1
50

1 =

−
+
⇔

x

x 50 60 0

)
50
(
12
)
50
(
12
:

2 − + =

⇔

−
=

+
−

x
x

x
x
x
x
ra

Suy

Gi¶i ra ta cã: x = 20, x = 30 (TMĐK)

Bài 11.6: Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 30km. Một ca nô đi từ bến A đến bến B, nghỉ
40 phút ở bến B rồi quay lại bến A. Kể từ lúc khởi hành đến khi về tới bến A hết tất cả 6 giờ. Tìm vận
tốc của ca nô lúc nước yên lặng, biết vận tốc dòng nước là 3km/h.

LËp PT: 6
3
2
3
30
3

30 + =

+
+ x

x Giải ra đ-ợc vận tốc v = 12 km/h

B. Phần Hình học 
I. Lý thuyết

1. Đ-ờng kính vuông góc với dây

O A O A

C

D

2. Tiếp tuyến của đ-ờng tròn

Giáo viên:

Trần Hữu Duật

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

x

O A

Ax lµ tiÕp tuyến Ax OA tại A Các t/c của hai tiếp tuyến cắt
nhau

AB và AC là hai tiÕp tuyÕn cña (O)
+ AB = AC

+ ∠ OAB = ∠ OAC
+ ∠ AOB = AOC

+ OA là đ-ờng trung trực của BC

3. Vị trí t-ơng đối của hai đ-ờng trịn

Cho hai đ-ờng tròn (O; R) và (O; R)
a. Hai đtròn cắt nhau

B
A

O O'

B
A

O O'

b. Hai đtròn tiếp xóc nhau

O O'

A

O

O'

+ OO’ ®i qua A

+ TiÕp xóc trong

OO’ = R – R’

+ TiÕp xóc ngoµi

OO = R + R

+ OO là đ-ờng

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

+ ĐN: Là góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn

+ TC:

Số đo cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó

Số đo cung lớn bằng 360

trừ đi số đo cung nhỏ

(có

chung hai điểm mút)

O C

x

O A

O B

O O'

O
O'

O

B
A

D C

c. Hai đtròn không giao nhau

4. Góc ở t©m

5. Góc nội tiếp:

+ ĐN: Là góc có đỉnh nằm trên đ.trịn và hai cạnh chứa hai dây cung của đ.trịn đó. 
 + TC: Trong một đ.trịn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn
 + Hệ quả: Trong một đường tròn

- Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau
- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung

hoặc hai cung bằng nhau thì bằng nhau
- Các góc nội tiếp khơng q 900có số đo bằng

nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.
- Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn là góc vng.

6. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung:

+ TC: Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

bằng nửa số đo của cung bị chắn.

+ Hệ quả: Trong một đường trịn,

góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp
cùng chắn một cung thì bằng nhau.

7. Góc có đỉnh ở trong và ngồi đường trịn:

+ Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đ.trịn bằng nửa tổng số đo của hai cung bị chắn.
+ Số đo của góc có đỉnh ở bên ngồi đ.trịn bằng nửa hiệu số đo của hai cung bị chắn.

E

O

D

C

B

A

D
C

O
E

A

B

8. Tứ giác nội tiếp

+ Định nghĩa: Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đ.trịn thì được gọi là tứ giác nội tiếp đường

trịn (đường trịn đó gọi là đường trịn ngoại tiếp tứ giác).

Tứ giác ABCD nội tip (O)

Giáo viên:

Trần Hữu Duật

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

 A + C =1800 (B + D =1800)

+ Định lý: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai gúc đối diện bằng 1800.

+ Định lý đảo: Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800 thì tứ giác đó nội tiếp được
một đường tròn.

+ Các cách chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp:

- Cách1: Chứng minh 4 điểm A, B, C, D cách đều một điểm O nào đó.
OA = OB = OC = OD

- Cách 2: * Chứng minh tổng hai góc đối diện của tứ giác bằng 1800
Aˆ + Cˆ =1800 hoặc Bˆ+ Dˆ =1800

* Chứng minh góc trong bằng góc ngoài của đỉnh đối diện.

- Cách 3: Chứng minh 2 đỉnh liên tiếp của tứ giác cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau.
(Trường hợp đặc biệt: hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn một cạnh dưới một góc vng thì cạnh đó

chính là đường kính của đường trịn).

9. Độ dài đường trịn, cung trịn. Diện tích hình trịn, hình quạt trịn

a) Cơng thức tính độ dài đường tròn: C = 2πR (R: bán kính đường trịn)

Cơng thức tính diện tích hình trịn: S = πR2

b) Cơng thức tính độ dài cung tròn n0 :

180
 nR

l =π (R: bán kính đường trịn)

Cơng thức tính diện tích quạt trịn n0:

2
.

360

Rn lR

Sq = =

c) Công thức tính diện tích hình viên phân: SVP= Squat - S∆

10. Hình khơng gian 
a) Hình trụ:

+ Diện tích: Sxq= 2πrh Stp = Sxq + 2 Sd = 2πrh + 2πr2

+ Thể tích hình trụ : V = Sđ.h = πr2h

(Trong đó: r là bán kính đáy; h là chiều cao hình trụ; Sđlà diện tích đáy)

b) Hình nón:

+ Diện tích: Sxq = πrl Stp = Sxq + Sd = πrl + πr2

+ Thể tích hình nón : V =
3
1

Sđ.h =
3
1 πr2h

(Trong đó: r là bán kính đáy; h là chiều cao hình nón; l là độ dài đường sinh)

c) Hình cầu:

+ Diện tích mặt cầu: S = πd2 = 4πR2

+ Thể tích hình cầu : V= 3

3
4

R
π

(Trong đó: R là bán kính; d là đường kính hình cầu) 
11. Một số cơng thức liên quan đến tam giác và đường trịn.

a) Bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác đều cạnh a

+ Đường cao của tam giác đều h
3

a

+ Bán kính đường trịn ngoại tiếp: R =
3

a

+ Bán kính đường trịn nội tiếp: r =
3
2

a

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

+ Cạnh hình vuông: a = R 2
+ Cạnh lục giác đều: a = R

c) Cơng thức tính diện tích tam giác:

+ Diện tích tam giác thường : S =(a.h):2( a là độ dài cạnh, h là chiều cao tương ứng). 
+ Diện tích tam giác vuông: S = a.b (a, b là độ dài 2 cạnh góc vng)

+ Diện tích tam giác đều : S =
4

2
a

(a là độ dài cạnh tam giác đều)

II. Bài tập

Phần bài tập Trắc nghiệm - củng cố kiến thức

CHƯƠNG II. ĐƯỜNG TRÒN

1.Cho tam giác MNP và hai đường cao MH, NK. Gọi (O) là đường trịn nhận MN làm đường kính. 
Khẳng định nào sau đây không đúng ?

A.Ba điểm M, N, H cùng nằm trên đường tròn (O).
B.Ba điểm M, N, K cùng nằm trên đường tròn (O).

C.Bốn điểm M, N, H, K khơng cìng nằm trên đường trịn (O).
D.Bốn điểm M, N, H, K cùng nằm trên đường trịn (O).

2. Đường trịn là hình:

A.khơng có trục đối xứng. B.có một trục đối xứng.
C.có hai trục đối xứng. D.có vơ số trục đối xứng.

3.Khi nào không xác định duy nhất một đường trịn ?

A.Biết ba điểm khơng thẳng hàng. B.Biết một đoạn thẳng là đường kính.
C.Biết ba điểm thẳng hàng. D.Biết tâm và bán kính.

4.Cho đường thẳng a và điểm O cách a một khoảng 2,5 cm. Vẽ đường trịn tâm O, đường kính 5 cm. 
Khi đó đường thẳng a

A.khơng cắt đường trịn (O). B.tiếp xúc với đường tròn (O).
C.cắt đường tròn (O). D.kết quả khác.

5.Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vng nằm ở

A.đỉnh góc vng. B.trong tam giác. C.trung điểm cạnh huyền. D.ngoài tam giác.

6.Cho tam giác ABC vng tại A có AB = 18; AC = 24. Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác đó 
bằng

A. 30. B. 20. C. 15. D. 15

2

.

7.Cho (O; 1 cm) và dây AB = 1 cm. Khoảng cách từ tâm O đến AB bằng

1

2

cm.

3

cm.

3

2

cm.

1

3

cm.

8.Cho đường tròn (O; 5). Dây cung MN cách tâm O một khoảng bằng 3. Khi đó:

A. MN = 8. B. MN = 4. C. MN = 3. D.kết quả khác.

9.Nếu hai đường trịn (O); (O’) có bán kính lần lượt là 5 cm và 3 cm và khoảng cách hai tâm là 7 cm 
thì hai đường trịn

A.tiếp xúc ngồi. B.tiếp xúc trong.

C.khơng có điểm chung. D.cắt nhau tại hai điểm.

10.Trong các câu sau, câu nào sai ?

A.Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của nó.

B.Đường thẳng a là tiếp tuyến của (O) khi và chỉ khi đường thẳng a đi qua O.

C.Đường kính vng góc với dây cung thì chia dây cung y thnh hai phn bng nhau.

Giáo viên:

Trần H÷u DuËt

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

D.Bất kỳ đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn.

11.Cho ∆ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Phát biểu nào sau đây đúng ? 
Tiếp tuyến với đường tròn tại A là đường thẳng

A.đi qua A và vng góc với AB. B.đi qua A và vng góc với AC.
C.đi qua A và song song với BC. D.cả A, B, C đều sai.

12.Cho (O; 6 cm), M là một điểm cách điểm O một khoảng 10 cm. Qua M kẻ tiếp tuyến với (O). Khi đó 
khoảng cách từ M đến tiếp điểm là:

A. 4 cm. B. 8 cm. C. 2

34

cm. D. 18 cm.

13.Cho hình vng MNPQ có cạnh bằng 4 cm. Khi đó bán kính đường trịn ngoại tiếp hình vng đó 
bằng

A. 2 cm. B.

2 2

cm. C.

2 3

cm. D.

4 2

cm.

14.Đường trịn là hình có

A.vơ số tâm đối xứng. B.có hai tâm đối xứng.
C.một tâm đối xứng. D.khơng có tâm đối xứng.

15.Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Trung tuyến AM cắt đường tròn tại D. Trong 
các khẳng định sau khẳng định nào sai ?

∠

ACD = 900. B.AD là đường kính của (O).
C. AD

⊥

BC. D. CD ≠ BD.

16.Cho (O; 25cm). Hai dây MN và PQ song song với nhau và có độ dài theo thứ tự bằng 40 cm, 48

cm. Khi đó:

16.1.Khoảng cách từ tâm O đến dây MN là:

A. 15 cm. B. 7 cm. C. 20 cm. D. 24 cm.
16.2.Khoảng cách từ tâm O đến dây PQ bằng:

A. 17 cm. B. 10 cm. C. 7 cm. D. 24 cm.
16.3.Khoảng cách giữa hai dây MN và PQ là:

A. 22 cm. B. 8 cm. C. 22 cm hoặc 8 cm. D. kết quả khác.

17.Cho (O; 6 cm) và dây MN. Khi đó khoảng cách từ tâm O đến dây MN có thể là:

A. 8 cm. B. 7 cm. C. 6 cm. D. 5 cm.

18.Cho tam giác MNP, O là giao điểm các đường trung trực của tam giác. H, I, K theo thứ tự là trung 
điểm của các cạnh NP, PM, MN. Biết OH < OI = OK. Khi đó:

A.Điểm O nằm trong tam giác MNP. B.Điểm O nằm trên cạnh của tam giác MNP.
C.Điểm O nằm ngoài tam giác MNP. D.Cả A, B, C đều sai.

19.Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(2; 5). Khi đó đường trịn (M; 5)

A.cắt hai trục Ox, Oy. B.cắt trục Ox và tiếp xúc với trục Oy.
C.tiếp xúc với trục Ox và cắt trục Oy. D.không cắt cả hai trục.

20.Cho tam giác DEF có DE = 3; DF = 4; EF = 5. Khi đó

A.DE là tiếp tuyến của (F; 3). B.DF là tiếp tuyến của (E; 3).

C.DE là tiếp tuyến của (E; 4). D.DF là tiếp tuyến của (F; 4).

21.Hãy nối mỗi ý ở cột A với một ý ở cột B để được khẳng định đúng.

Bảng 1.

A B

1.Nếu đường thẳng a và đường trịn (O; R) cắt nhau A.thì d

≥

R.
2.Nếu đường thẳng a và đường tròn (O; R) tiếp xúc nhau B.thì d < R.
3.Nếu đường thẳng a và đường trịn (O; R) khơng giao nhau C.thì d = R.
D.thì d > R.
Bảng 2.

A B

1.Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác A.là giao điểm của các đường trung tuyến.
2.Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác B.là giao điểm của hai đường phân giác các góc

ngồi tại B và C.
3.Tâm của đường trịn bàng tiếp tam giác trong

góc A

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

4.Tâm của đường trịn bàng tiếp tam giác trong
góc B

D.là giao điểm của đường phân giác trong góc B
và đường phân giác ngoài tại C.

E.là giao điểm các đường trung trực của tam giác.
Bảng 3.

A B

1.Nếu hai đường trịn ở ngồi nhau A.thì có hai tiếp tuyến chung.
2.Nếu hai đường trịn tiếp xúc ngồi B.thì khơng có tiếp tuyến chung.
3.Nếu hai đường trịn cắt nhau C.thì có một tiếp tuyến chung.
4.Nếu hai đường tròn tiếp xúc trong D.thì có bốn tiếp tuyến chung.
5.Nếu hai đường trịn đựng nhau E.thì có ba tiếp tuyến chung.

22. Hãy điền từ (cụm từ) hoặc biểu thức vào ô trống sao cho đúng.

Bảng 1.Xét (O; R) và đường thẳng a, d là khoảng cách từ O đến a.

Vị trí tương đối d R
Tiếp xúc nhau 3 cm

4 cm 5 cm
Không giao nhau 6 cm
Bảng 2.Xét (O; R); (O’; r); d = OO’ và R > r.

Vị trí tương đối Số điểm chung Hệ thức
Cắt nhau

d = R + r
1

Đựng nhau

d = 0
0

CHƯƠNG III. GÓC VỚI ĐƯỜNG TRềN

Cho các hình vẽ sau:

(h.4)
O
D

B
C

(h.3)
O
A

(h.2)
O
M

N
(h.1)

C D

1. Trong hình 1, biết AC là đường kính, góc BDC = 600. Số đo góc ACB bằng

A. 400. B. 450. C. 350. D. 300.

2. Trong hình 2, góc QMN bằng 600, số đo góc NPQ bằng

A. 200. B. 250. C. 300. D. 400.

3. Trong h.3, biết AB là đường kính của đ.trịn, góc ABC = 600.

khi đó số đo cung BmC =?

A. 300. B. 400. C. 500. D. 600.

4. Trong h.4, biết AC là đường kính của đ.trịn, góc ACB = 300.

Khi đó số đo góc CDB =?

A. 400. B. 500. C. 600. D. 700.
Cho các hình vẽ sau:

Giáo viên:

Trần Hữu Duật

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

(h.8)
O

N
x

(h.7)
O

M
A

(h.6)
O

C
B
A

(h.5)
O

M
C

B
A

5. Trên h.5, biết số đo cung AmD = 800, số đo cung BnC = 300. Số đo của góc AED =?

A. 250. B. 500. C. 550. D. 400.

6. Trong h.6, số đo góc BIA = 600, số đo cung nhỏ AB = 550. Số đo cung nhỏ CD là

A. 750. B. 650. C. 600. D. 550.

7. Trên hình 7, có MA, MB là các tiếp tuyến tại A và B của (O). Số đo góc AMB bằng 580. Khi đó số đo

góc OAB là

A. 280. B. 290. C. 300. D. 310.

8.Trên hình 8, số đo góc QMN = 200, số đo góc PNM = 100. Số đo của góc x bằng

A. 150. B. 200. C. 250. D. 300
Cho các hình vẽ sau:

(h.12
(h.11)

(h.10)
(h.9)

O
A

C
O

D
C

F
O

A
C
B

M
D

9.Trên hình 9, số đo cung nhỏ AD = 800. Số đo góc MDA bằng

A. 400. B. 500. C. 600. D. 700.

10.Trong hình 10, MA, MB là tiếp tuyến của (O), BC là đường kính, góc BCA = 700. Số đo góc AMB

bằng

A. 700. B. 600. C. 500. D. 400.

11. Trong h.11, có góc BAC = 200, góc ACE = 100, góc CED = 150. Số đo góc BFD bằng

A. 550. B. 450. C. 350. D. 250.

12.Trong hình 12, có AD//BC, góc BAD = 800, góc ABD = 600. Số đo góc BDC bằng

A. 400. B. 600. C. 450. D. 650.

13.Hãy chọn ra tứ giác nội tếp được đường tròn trong các tứ giác sau

(D)
80°

70°
130°
D

A
(C)

75°
60°

D C

(B)
65°
65°

D
C

B A

(A)
60°
90°

C
B

14.Cho hình 14. Trong các khẳng định sau, hãy chọn khẳng định sai:

A. Bốn điểm MQNC nằm trên một đường tròn.

Q
N
A

B. Bốn điểm ANMB nằm trên một đường tròn.

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

D. Bốn điểm ABMC nằm trên một đường tròn.

15.Tứ giác nào sau đây khơng nội tiếp được đường trịn ?

(D)
(C)

(B)
(A)

90°

90°
55°

55°
50°

130°
90°

90°

16.Tứ giác nào sau đây nội tiếp được đường tròn ?

A. Hình bình hành. B. Hình thoi. C. Hình chữ nhật. D. Hình thang.

17.Hãy chọn khẳng định sai. Một tứ giác nội tiếp được nếu:

A. Tứ giác có góc ngồi tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
B. Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 1800.

C. Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại dưới một góc α.
D. Tứ giác có tổng hai góc bằng 1800.

18.Độ dài cung 600 của đường trịn có bán kính 2cm là:

1

3 π

cm. B.

2

3 π

cm. C.

3

2 π

cm. D.

1

2 π

cm.

19.Độ dài cung tròn 1200 của đường tròn có bán kính 3 cm là:

π

cm. B.

2 π

cm. C.

3 π

cm. D. Kết quả khác.

20.Nếu chu vi đường tròn tăng thêm 10cm thì bán kính đường trịn tăng thêm:

5 π

cm. B.

5 π

cm. C.

5 π

cm. D.

1

5 π

cm.

21.Nếu bán kính đường trịn tăng thêm

1 π

cm thì chu vi đường tròn tăng thêm:

1

2

cm. B.

π

cm. C. 2cm. D.

1 π

cm.
22.Diện tích hình trịn có đường kính 5 cm bằng:

25 π

cm2. B.

25

2 π

cm2. C.

5

2 π

cm2. D.

25

4 π

cm2.

23.Diện tích hình quạt trịn cung 600 của đường trịn có bán kính bằng 2 cm là:

2

3 π

cm2. B.

2

3 π

2. C.

3 π

cm2. D.

3 π

cm2.

23.Một cung trịn của đường trịn bán kính R có độ dài là l (m). Khi đó diện tích hình quạt trịn ứng 
với cung đó là:

.

4 l R

m2. B.

.

2 l R

m2.

.

4 l R

m2. D.

.

2 l R

m2.

24.Cho hai đường tròn đồng tâm O có bán kính lần lượt là R và r (R > r). Diện tích phần nằm giữa hai 
đường trịn này – hình vành khăn được tính như thế nào ?

π

(

r

−

R

)

. B.

π

(

R

+

r

)

. C.

π

(

R

−

r

)

. D. Kết quả khác.

25.Cho hình vng cạnh bằng a, vẽ vào phía trong hình vng các cung trịn 900 có tâm lần lượt là

các đỉnh của hình vng. Hãy cho biết diện tích của phần tạo bởi 4 cung trịn đó và hình vng ?

A. 2

1

2 a





−

π









. B.

1

4 a





−

π









. C.

(

)

1 a

−

π

. D. 2

4 a

−

π

Gi¸o viên:

Trần Hữu Duật

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

CHƯƠNG IV. HÌNH KHƠNG GIAN

1. Trong bảng sau, gọi h là đường cao, l là đường sinh, R là bán kính đáy của hình nón. Hãy nối mỗi ý 
ở cột A với một ý ở cột B để được khẳng định đúng.

A B

1.Cơng thức tính thể tích hình nón cụt là

2.Cơng thức tính diện tích xung quanh hình nón cụt là
3.Cơng thức tính thể tích hình nón là

4.Cơng thức tính diện tích tồn phần hình nón là
5.Cơng thức tính diện tích xung quanh hình nón là

6.Cơng thức tính độ dài đường sinh hình nón là

π

Rl

π + π

Rl

R

2.
C)

R

+

h

2 .

1 R h

3 π

(

R

1

+

R

2

)

l

1 h R

(

12

R

22

R R

1 2

)

3 π

+

2. Trong bảng sau, gọi R là bán kính, d là đường kính của hình cầu. 
Hãy viết mỗi hệ thức ở cột B vào vị trí tương ứng phù hợp ở cột B.

A B

1.Cơng thức tiính diện tích mặt cầu là

2.Cơng thức tính thể tích hình cầu là A) 3

4 R

3 π

1 R

3 π

4 R

π

2.
D)

π

d

3. Hãy nối mỗi ý ở cột A với một ý ở cột B để được một khẳng định đúng.

A B

1.Khi quay hình chữ nhật một vịng quanh cạnh cố định của nó ta
được

2.Khi quay tam giác một vịng quanh một cạnh góc vng cố định
của nó ta được

3.Khi quay nửa hình trịn một vịng quanh đường kính cố định của
nó ta được

4.Khi quay một hình thang vng một vịng quanh cạnh bên cố định
vng góc với hai đáy của nó ta được

A) một hình nón.
B) một hình cầu.
C) một hình nón cụt.
D) hai hình nón.
E) một hình trụ.

4. Gọi R là bán kính của đường trịn đáy hình trụ, h là chiều cao của hình trụ. Hãy nối mối ý ở cột A
với một ya ở cột B sao cho đúng.

A B

1.Cơng thức tính diện tích xung quanh của hình trụ là
2.Cơng thức tính diện tích hai đáy của hình trụ là
3.Cơng thức tính diện tích tồn phần của hình trụ là
4.Cơng thức tính thể tích hình trụ là

π

R h

2 .
B)

4 R

π

2.
C)

2 R

π

2 Rh

π

+ π

2 R

2.
E)

2 Rh

π

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

1) Cho hai đường tròn (O; 4cm); (O’; 3cm), biết OO’ = 7cm. Cho biết vị trí tương đối của hai đường
trịn đó.

2) Cho đường trịn (O; 13). Biết khoảng cách từ tâm O đến dây AB bằng 5.
Tính độ dài dây AB

3) Cho ∆MNP đều có cạnh bằng 5 3cm.Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác

4) Cho hình vng ABCD có cạnh bằng 2cm. Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp, đường trịn nội tiếp
của nó.

5) Trên (O), lấy các điểm A, B, C, D liên tiếp sao cho cung AB = 400, cung BC = 1000, sđ cung CD =

1200. Tính số đo góc ABD

6) Từ điểm M nằm ngồi đường trịn (O) kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường trịn đó. Biết góc MAB
= 700. Tính số đo góc AOB.

7) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Gọi K là giao điểm của AB và CD. Biết sđ cung AD =
1500, sđ cung BC = 700. Tính số đo góc AKD.

8) Trong các tứ giác sau, tứ giác nào nội tiếp đường trịn : Hình thang, hình thang cân, hình bình hành,
hình chữ nhật, hình vng, hình thoi. Giải thích vì sao ?

9) Cho góc nội tiếp AMB và góc ở tâm AOB của đường trịn (O). Biết góc AOB = 1200, tính góc

AMB.

10) Cho góc nội tiếp BAC của đường trịn (O). Biết số đo cung BAC bằng 2800. Tính số đo góc nội

tiếp BAC.

11) Cho hai đường tròn đồng tâm O có bán kính lần lượt là 3cm và 5cm. Tính diện tích hình vành khăn
tạo bởi hai đường trịn đó.

12) Diện tích hình trịn thay đổi như thế nào khi bán kính
a) Tăng gấp 3 lần. b) Giảm 2 lần
13) Cho ∆ABC có Â = 800nội tiếp đường trịn (O; R).

Tính diện tích hình quạt trịn OBC theo R

14) Hình nón có bán kính đáy bằng 6cm và có đường sinh bằng 10cm.
Tính thể tích hình nón

15) Cho ∆ABC có ba góc nhọn, đường cao AH. Kẻ HM ⊥ AB ( M ∈ AB ), HN ⊥ AC (N ∈ AC)

Chứng minh rằng :

a) Tứ giác AMHN nội tiếp
b) AM.AB = AN.AC
c) ∆AMN ∆ACB.
d) Tứ giác BMNC nội tiếp

16) Cho ∆ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), kẻ đường cao BN và CM (N∈AC, M∈AB)
Chứng minh rằng :

a) Tứ giác BMNC nội tiếp
b) ∆AMN ∆ACB
c) OA ⊥ MN

d) Gọi I là giao điểm của BN và CM. Chứng minh IN . IB = IM . IC

17) Từ một điểm A bên ngồi đường trịn (O; 3cm) vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (O). (
B, C ∈ (O) ).

a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn

b) Qua A vẽ cát tuyến AMN. Chứng minh AB2 = AM . AN

c) Tính diện tích hình tròn và độ dài đường tròn ngoại tiếp ∆ABC, biết AB = 4cm

18) Cho ∆ABC vuông tại A ( AB > AC ), đường cao AH. Đường tròn đường kính BH cắt AB tại E,
đường trịn đường kính HC cắt AC tại F. Chứng minh rằng :

a) Tứ giác AEHF là hình chữ nhật
b) BH.HC = EF2

c) EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn
d) Tứ giác BEFC nội tiếp

19) Cho hai đường tròn (O; 16cm) và (O’; 9cm) tiếp xúc ngoài tại A. Gọi BC là tiếp tuyến chung của
hai đường tròn ( B∈ (O); C∈(O’) ) .Tiếp tuyến tại A cắt BC ti M

Giáo viên:

Trần Hữu Duật

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

a)Chứng minh ∆ABC vuông tại A b) Tính số đo góc OMO’ c) Tính độ dài BC.

20)Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường trịn (O) đường kính AD. Các đường cao BE, CF cắt nhau tại H
a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp

b) Chứng minh AE.AC = AF.AB.

c) Chứng minh tứ giác BDCH là hình bình hành

d) Gọi I là giao điểm của AD và EF . Chứng minh tứ giác BDIF nội tiếp.

21) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường trịn (O) đường kính AD. Đường cao của tam giác
kẻ từ đỉnh A cắt cạnh BC tại K và cắt đường tròn (O) tại E.

a) Chứng minh DE//BC

b) Chứng minh AB. AC = AK.AD.

c) Gọi H là trực tâm của ∆ABC. Chứng minh tứ giácBHCD là hình bình hành.

22) Ta giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AC lấy điểm M, vẽ đường trịn đường kính MC.Kẻ BM cắt

đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt đường tròn tại S. CMR:

a) Tứ giác ABCD nội tiếp.

b) CA là tia phân giác của góc BCS.

c) Gọi giao điểm của đường tròn đường kính MC với cạnh BC là H.CMR 3 đường HM, BA, CD
đồng quy.

d) Cho biết AC =12cm, AB = 9cm. Tính chu vi và diện tích đ.trịn nội tiếp tứ giác ABCD.

23) Cho tam giác ABC cân tại A có cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên, nội tiếp (O). Tiếp tuyến tại B và C
của đường tròn lần lượt cắt tia AC và AB ở D và E. CMR:

a) BD2 =AD.CD.

b) Tứ giác BCDE nội tiếp.
c) BC // DE.

24) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tâm O. BD,CE là các đường cao của tam giác, chúng cắt
đường tròn tâm O lần lượt tại D’, E’. CMR:

a) Tứ giác BEDC nội tiếp
b) DE song song D’E’.
c) OA vng góc DE.

25) Cho hình vng ABCD, điểm E thuộc BC. Qua B kẻ đường vng góc với DE, cắt DE tại H và cắt
DC tại K.

a) CMR: Tứ giác BHCD nội tiếp.

b) Tính góc CHK.

c) CM: KH.KB = KC.KD.

26) Cho (O), kẻ hai đường kính AB,CD vng góc với nhau. Trên cung nhỏ BD lấy điểm M (M khác
B và D), dây CM cắt AB tại N, tiếp tuyến của đ.tròn tại M cắt AB tại K, cắt CD tại F.

a) CMR: Tứ giác ONMD nội tiếp.
b) CM: MK2 =KA.KB.

c) So sánh góc DNM và góc DMF.

27) Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường trịn. P là điểm chính giữa của AB (phần không chứa
C và D). Hai dây PC và PD lần lượt cắt dây AB tại E, F. Các dây AD, PC kéo dài cắt nhau tại I. Các
dây BC, PD kéo dài cắt nhau tại K. CMR:

a) góc CID = góc CKD.
b) Tứ giác CDFE nội tiếp.
c) IK song song AB.

d) PA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AFD.

28) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O). Từ B và C kẻ 2 tiếp tuyến với đ.tròn, chúng cắt nhau tại D.
Từ D kẻ cát tuyến song song với AB cắt đ.tròn tại E, F và cắt AC tại I.

a) CM: góc DOC = góc BAC.

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

d) Cho B, C cố định, khi A chuyển động trên cung BC lớn thì I di chuyển trên ng no?

Giáo viên:

Trần Hữu DuËt

</div>

Toán 9 Đề thi HKII đề cương ôn tập học ki 2 Toán 9

Giáo viên:

Trần Hữu Duật

Giáo viên:

Trần Hữu Duật

(

)(

)

a.

b.

Giáo viên:

Trần Hữu Duật

OI

CD

IC = ID

CD không đi qua

tâm

(CD không là đ-ờng

kính)

IC = ID

OI

CD

Giáo viên:

Trần Hữu Duật

O O'

A

A

O

O'

+ OO’ ®i qua A

+ TiÕp xóc trong

OO’ = R – R’

+ TiÕp xóc ngoµi

OO = R + R

+ OO là đ-ờng

<i><b>+ ĐN: Là góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn </b></i>

<i><b> + TC: </b></i>

Số đo cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó

Số đo cung lớn bằng 360

trừ đi số đo cung nhỏ

(có

chung hai điểm mút)

<i><b>E</b></i>

<i><b>O</b></i>

<i><b>D</b></i>

<i><b>C</b></i>

<i><b>B</b></i>

<i><b>A</b></i>

Giáo viên:

Trần Hữu Duật

<sub>2</sub>

1

2

3

3

2

1

3

Giáo viên:

Trần H÷u DuËt

<sub>34</sub>

<sub>2 2</sub>

<sub>2 3</sub>

<sub>4 2</sub>

∠

⊥

≥

Giáo viên:

Trần Hữu Duật

1

3

π

2

3

π

3

2

π

1

2