Tài liệu tự học hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.32 MB, 110 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

MỤC LỤC

PHẦN 1 – ĐỀ BÀI ... 2

DẠNG 1. XÁC ĐỊNH ĐỒ THỊ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC. ... 2

DẠNG 2. XÁC ĐỊNH CHU KỲ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC. ... 7

DẠNG 3. TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC. ... 8

DẠNG 4: XÁC ĐỊNH SỐ ĐIỂM BIỂU DIỄN CỦA PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHO 
TRƯỚC TRÊN ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC... 12

DẠNG 5. BIỆN LUẬN NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHƠNG CHỨA 
THAM SỐ ... 19

5.1. Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trên tập K... 19

5.2. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình lượng giác:. ... 21

5.3. Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình lượng giác trên tập K. ... 23

DẠNG 6. TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ m ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHO 
TRƯỚC CĨ NGHIỆM. ... 35

DẠNG 7. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC ... 40

7.1. Tìm GTLN, GTNN sử dụng điều kiện  1 sin ,cosx x1. ... 40

7.2. Tìm GTLN, GTNN dạng yasinxbcosxc. ... 43

7.3. Tìm GTLN, GTNN sử dụng bất đẳng thức cổ điển. ... 47

PHẦN 2: BẢNG ĐÁP ÁN ... 50

PHẦN 3: ĐÁP ÁN CHI TIẾT ... 51

DẠNG 1. XÁC ĐỊNH ĐỒ THỊ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC. ... 51

DẠNG 2. XÁC ĐỊNH CHU KỲ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC. ... 56

DẠNG 3. TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC. ... 58

DẠNG 4: XÁC ĐỊNH SỐ ĐIỂM BIỂU DIỄN CỦA PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHO 
TRƯỚC TRÊN ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC... 62

DẠNG 5. BIỆN LUẬN NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHƠNG CHỨA 
THAM SỐ ... 70

5.1. Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trên tập K... 70

5.2. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình lượng giác:. ... 73

5.3. Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình lượng giác trên tập K. ... 76

DẠNG 6. TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ m ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHO 
TRƯỚC CĨ NGHIỆM. ... 93

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

PHẦN 1 – ĐỀ BÀI

DẠNG 1. XÁC ĐỊNH ĐỒ THỊ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.

Câu 1: Hình nào dưới đây biểu diễn đồ thị hàm số y f x

 

2sin 2x?

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải: ...

...

Câu 2: Hình vẽ nào sau đây biểu diễn đồ thị hàm số cos
2

x
y ?

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải: ...

...

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

...

Câu 3: Cho đồ thị hàm số ycosx như hình vẽ:

Hình vẽ nào sau đây là đồ thị hàm số ycosx2?

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải: ...

...

Câu 4: Cho đồ thị hàm số ysinx như hình vẽ:

Hình nào sau đây là đồ thị hàm số ysin x?

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

C. . D. .

Lời giải: ...

...

Câu 5: Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt
kê ở bốn phương án , , ,A B C D.

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. ytanx. B. ycotx. C. y tanx . D. y cotx .
Lời giải: ...

...

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. sin 1
2

y x 

  . B. y 2sin x 2



 

   

 .

C. sin 1
2

y  x 

  . D. y sin x 2 1



 

   

  .

Lời giải: ...

...

Câu 7: Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt
kê ở bốn phương án A B C D, , , .

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. y 1 sin x . B. y sinx . C. y 1 cosx . D. y 1 sinx .
Lời giải: ...

...

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Câu 8: Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt
kê ở bốn phương án , , ,A B C D.

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. y 1 sin x . B. y sinx . C. y 1 cosx . D. y 1 sinx .
Lời giải: ...

...

Câu 9: Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt
kê ở bốn phương án A, B, C,. D. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. sin
2

y x 

 . B. y cos x 2



 

   

 .

C. sin 1
2

y  x

  . D. y cosx1.

Lời giải: ...

...

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

...

DẠNG 2. XÁC ĐỊNH CHU KỲ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.

Câu 10: Chu kỳ tuần hoàn của hàm số ysin cos cos 2 cos 4x x x x là

A. 2. B. 4 . C.



. D.



Lời giải: ...

...

Câu 11: Tìm chu kỳ tuần hồn của hàm số



4 4



3 sin 4 4 sin cos 2

y x x x  .

A. 2. B.



. C.



. D. .

Lời giải: ...

...

Câu 12: Tìm chu kỳ tuần hồn của hàm số

 

3 3 3

sin 4 sin cos 3 cos sin 3
f x  x x x x x.

A.



. B.



. C. 2



. D. 2 .

Lời giải: ...

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

...

Câu 13: Tìm chu kỳ tuần hồn của hàm số f x

 

cos3x.cos 3xsin3x.sin 3x.

A.



. B. 2 . C. . D.



Lời giải: ...

...

DẠNG 3. TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.

Câu 14: Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

A. Hàm số y cot x đồng biến trên khoảng

 

0; .

B. Hàm số y sin x nghịch biến trên khoảng



3 ; 4 



C. Hàm số ysin x đồng biến trên khoảng 5 ; 3
2 2

 

  

 

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

...

Câu 15: Cho các hàm số ysinx; ycosx ; ytanx; ycotx. Có bao nhiêu hàm số nghịch
biến trên 3 ; 5




  

 

 ?

A. 1. B. 3. C. 0. D. 2.

Lời giải: ...

...

Câu 16: Cho hàm số ytanx. Khẳng định nào dưới đây sai?

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

B. Hàm số đã cho có tập giá trị là



1;1



C. Hàm số đã cho đồng biến trên ; 0
2



 

 

 .

D. Hàm số đã cho có tập xác định \ ,
2 k k

 

   

 

 .

Lời giải: ...

...

Câu 17: Khẳng định nào sau đây đúng?

A. ysinx là hàm số nghịch biến trên ;
4 4

 

 

 

 .

B. ycosx là hàm số nghịch biến trên ;3
4 4

 

 

 

 .

C. ysinx là hàm số nghịch biến trên 0;2
3



 

 

 .

D. ytanx là hàm số nghịch biến trên ;3
4 4

 

 

 

 .

Lời giải: ...

...

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Lời giải: ...

...

Câu 19: Để hàm số ysinxcosx tăng, ta chọn x thuộc khoảng nào?

A. 3 2 ; 2
4 k 4 k

   

   

 

 . B.

;

4 k 4 k

   

   

 

 .

C. 2 ; 2
2 k 2 k

   

   

 

 . D.



 k2 ; 2 k2



Lời giải: ...

...

Câu 20: Xét hai mệnh đề sau:

(I): ;
2 2
x    

   

 :Hàm số

tan

y x tăng.

(II): ;
2 2
x    

   

 :Hàm số

sin

y x tăng.

Chọn câu đúng?

A. Chỉ (I) đúng. B. Chỉ (II) đúng. C. Cả hai đúng. D. Cả hai sai. 
Lời giải: ...

...

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

...

DẠNG 4: XÁC ĐỊNH SỐ ĐIỂM BIỂU DIỄN CỦA PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
CHO TRƯỚC TRÊN ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC.

Câu 21: Biểu diễn các nghiệm của phương trình 2

cos x0 trên đường tròn lượng giác được bao
nhiêu điểm?

A. 1. B. 2. C. 0. D. 4.

Lời giải: ...

...

Câu 22: Nghiệm của phương trình cosx 1 là:

A. 1. B. 2. C. 0. D. 4.

Lời giải: ...

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Lời giải: ...

...
...
...
...
...
...

Câu 24: Số điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình cos 1

x trên đường tròn lượng giác là

A. 3. B. 1. C. 4. D. 2.

Lời giải: ...

...
...
...
...
...
...

Câu 25: Biểu diễn tất cả các nghiệm của phương trình 3cosx 1 0 trên đường trịn lượng giác,
số điểm biểu diễn là

A. 3. B. 0. C. 2. D. 4.

Lời giải: ...

...
...
...
...
...
...

Câu 26: Biểu diễn nghiệm của phương trình cos3xcosx trên đường tròn lượng giác. Số điểm

biểu diễn là

A. 3. B. 0. C. 2. D. 4.

Lời giải: ...

...

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

...

Câu 27: Biểu diễn nghiệm của phương trình cos2 xcosx0 trên đường tròn lượng giác. Số

điểm biểu diễn là

A. 3. B. 5. C. 2. D. 4.

Lời giải: ...

...

Câu 28: Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình 2 1

cos
2

x trên đường tròn lượng giác là

A. 8. B. 2. C. 4. D. 6.

Lời giải: ...

...
...
...

...
...

Câu 29: Biểu diễn tập nghiệm của phương trình cosxcos 2xcos3x0 trên đường tròn lượng
giác ta được số điểm cuối là

A. 4. B. 2. C. 6. D. 5

Lời giải: ...
...

...

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

A. 3. B. 1. C. 0. D. 2.

Lời giải: ...
...

...

Câu 31: Biểu diễn tất cả các nghiệm của phương trình cos5 .cosx xcos 4x trên đường tròn lượng
giác. Số điểm biểu diễn là

A. 8. B. 10. C. 4. D. 15.

Lời giải: ...
...

...

Câu 32: Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình 2

4cos x4cosx 3 0 trên đường tròn
lượng giác là?

A. 4. B. 0. C. 1. D. 2.

Lời giải: ...
...

...

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

...

Câu 33: Số điểm biểu diễn các họ nghiệm của phương trình sin 2x 3 cos 2x 3trên đường
tròn lượng giác là:

A. 2. B. 3. C. 4. D. 1.

Lời giải: ...
...

...

Câu 34: Số điểm biểu diễn các họ nghiệm của phương trình sin 5x 3 cos 5x2sin 7x trên
đường tròn lượng giác là:

A. 12. B. 8. C. 14. D. 7.

Lời giải: ...
...

...

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Lời giải: ...
...

...

Câu 36: Nghiệm của phương trình sin2 xsin cosx xcosx2sin 2x



sinx 1



1 thoả điều kiện
3

2 x 2

   

có số điểm biểu diễn là:

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Lời giải: ...

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

...
...

...
...
...
...
...
...
...

Câu 37: Số điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình

2 2

cos sin 2 2 cos
2

0
7

2sin 1

x x x

x



 

     

  

  

 

 

trên đường tròn lượng giác là

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải: ...
...
...
...
...
...
...
...
...

Câu 38: Số điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình

sin sin 2 2sin cos sin cos

3 cos 2
sin cos

x x x x x x

x
x x

   

 trên đường tròn lượng giác là

A. 2. B. 4. C. 3. D. 5.

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

DẠNG 5. BIỆN LUẬN NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHƠNG CHỨA 
THAM SỐ

5.1. Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trên tập K.

Câu 39: Tìm số nghiệm của phương trình cos5 .cosx xcos 4x trên



0;10



là

A. 49. B. 50. C. 52. D. 48.

Lời giải: ...
...
...
...
...
...
...

Câu 40: Số nghiệm thuộc khoảng



0;100



của phương trình

sin cos 3 cos 3

2 2

x x

x

    

 

  là

A. 49. B. 50. C. 52. D. 48.

Lời giải: ...
...
...
...
...
...
...
...

Câu 41: Số nghiệm của phương trình 2 2

cos sin 2 2 cos
2

x x   x

  trên khoảng



0;3



là

A. 2. B. 3. C. 4.. D. 1.

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Câu 42: Gọi n là số nghiệm thuộc khoảng



0; 2023



của phương trình lượng giác









3 1 cos 2 x sin 2x4 cosx 8 4 3 1 sin x. Tìm n là

A. 322. B. 320. C. 300. D. 321.

Lời giải: ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...

Câu 43: Số nghiệm của phương trình 2cos2x 3 sin 2x3

trên



0; 2020



là:

A. 1010. B. 2019. C. 2020. D. 2021.

Lời giải: ...
...
...
...
...
...
...
...

Câu 44: Huyết áp là đại lượng để đo độ lớn của lực tác dụng lên thành mạch máu. Nó được đo
bằng hai chỉ số: huyết áp tâm thu (lúc tim đập) và huyết áp tâm trương (lúc tim nghỉ).
Huyết áp của mỗi người thường khác nhau, nhưng huyết áp tiêu chuẩn là 120 / 80, nó
có nghĩa là huyết áp tâm thu là 120mmHg và huyết áp tâm trương là 80 mmHg. Giả sử
rằng trái tim của một người đập 70lần một phút, huyết áp P sau t giây có thể được 
mơ tả bằng hàm số

 

100 20sin 7

P t     t

 . Với t



0;60



, có bao nhiêu lần huyết áp
người đó bằng 100 mmHg?

A. 139. B. 140. C. 141. D. 142.

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Câu 45: Năm 1893, George Ferris chế tạo vòng đu quay. Nó có đường kính 250 foot. Nếu với
mỗi 40 giây vịng đu quay quay 1 vịng thì chiều cao h (foot) của một chỗ ngồi trên
vòng đu quay là một hàm số của thời gian t (giây) được xác định như sau

 

125sin 0,157 125
2

h t   t 

  .

Vịng quay bắt đầu tính từ thời điểm t0. Trong 40 giây đầu tiên của chuyến đi, tại thời điểm
nào sau đây (làm tròn đến hàng đơn vị) thì người ngồi trên ghế đu quay đó cách mặt đất 125
foot? (Chú thích: 1 foot xấp xỉ 30, 48 cm).

A. 20 giây. B. 25 giây. C. 30 giây. D. 35 giây.
Lời giải: ...

...
...
...
...
...
...
...

...
...
...
...
...
...

5.2. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình lượng giác:.

Câu 46: Nghiệm lớn nhất của phương trình 2cos 2x 1 0 trong đoạn

 

0; là:

A. x



. B. 11

x  . C. 2

x  . D. 5

6
x  .

Lời giải: ...

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Câu 47: Phương trình cos 2x2cosx 3 0có nghiệm lớn nhất trong khoảng



0; 2019



A. 644. B. 2 . C. 640. D. 642.

Lời giải: ...

...
...
...
...
...
...
...

Câu 48: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sin cos 2



x



0 là

A. . B.



. C.



. D. 3



Lời giải: ...

...
...
...
...
...
...
...

Câu 49: Gọi x0 là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 3sin2x2sin cosx xcos2x0.
Chọn khẳng định đúng?

A. 0

3
;

x  

 



 . B. 0 ;

x  

 . C. 0 0;

x  

 



. D. 0

3
;2
2

x  
  .

Lời giải: ...

...
...
...
...
...
...
...
...

Câu 50: Cho phương trình 2 2 4 3

sin .tan cos .cot 2sin cos

x x x x x x . Tính hiệu nghiệm âm lớn
nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình.

A. 3



 . B. 5



. C. 5



</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

...
...
...
...
...
...
...

Câu 51: Hằng ngày, mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h

 

m của mực

nước trong kênh tính theo thời gian t

 

h được cho bởi công thức 3cos 12

6 3

t

h   

  .

Khi nào mực nước của

kênh là cao nhất với thời gian ngắn nhất?

A. t22 h

 

. B. t15 h

 

. C. t14 h

 

. D. t 10 h

 

.
Lời giải: ...

...
...
...
...
...
...
...
...
...

5.3. Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình lượng giác trên tập K.

Câu 52: Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình sinxsin 2x0 trên đoạn



0; 2



A. 4. B. 5 . C. 3 . D. 2 .

Lời giải: ...

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

...

Câu 53: Tính tổng các nghiệm trong đoạn



0;30



của phương trình: tanxtan3x (1)

A. 55 . . B. 171 .
2



. C. 45 . . D. 190 .
2



Lời giải: ...

...
...
...
...
...
...
...

Câu 54: Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình
3

sin 3

4 2

x 

 

 

 

  bằng

A.



. B.



. C.



 . D.



 .

Lời giải: ...

...
...
...
...
...
...

...
...
...

Câu 55: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos 2xcosx0 trong khoảng



0; 2



bằng T
. Vậy T bằng bao nhiêu?

A. T . B. 7

T   . C. 4

T   . D. T2.

Lời giải: ...

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Lời giải: ...

...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...

Câu 57: Tổng tất cả các nghiệm thuộc



0;10π



của phương trình 2sin2x5sinx 3 0 là

A. 50. B. 55. C. 45. D. 60.

Lời giải: ...

...
...
...
...
...
...
...
...
...

Câu 58: Tổng các nghiệm trong đoạn



0; 2



của phương trình 3 3

sin xcos x1 bằng

A. 5

2


. B. 7

2


. C. 2. D. 3

2


Lời giải: ...

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

...
...
...
...

Câu 59: Phương trình 6sin2x7 3 sin 2x8cos2x6 có tổng hai nghiệm dương nhỏ nhất bằng

A. 17



. B. 2



. C. 5



. D. 7



Lời giải: ...

...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...

Câu 60: Gọi S là tổng các nghiệm của phương trình sin 0
cos 1

x

x  trên đoạn



0; 2017



. Tính S .

A. S2035153 . B. S1001000. C. S1017072 . D. S2000200 .
Lời giải: ...

...
...
...
...
...
...

Câu 61: Tìm tổng các nghiệm của phương trình sin 3xcosx0 trên



0;



A. 5



. B.



. C.



. D. 2 .

Lời giải: ...

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

...

Câu 62: Tìm tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn



0;30 của phương trình



cos3x4cos 2x3cosx 4 0 là

A. 45. B. 121

2  . C.

2 . D. 50.

Lời giải

Chọn D

PT cos3x4cos2x3cosx 4 0





3 2

4 cos x3cos 4 2 cosx x 1 3cosx 4 0

 3 2

4cos x 8cos x 0

     




cos 0
cos 2 (vn)

x
x

+ Với cos 0

x   x  k .Theo giải thiết,



0;30



0 1 30

x k



     1 30 1

2 k  2

     mà



0;1; 2;3; ;9



k  Z k  .

Vậy tổng các nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán là





2 9 5 1 2 9 5 45 50

2 2 2 2

                   

     

      .

Câu 63: Tính tổng S tất cả các nghiệm của phương trình







4 4



2cos 2x5 sin xcos x  3 0 trên
khoảng



0; 2



A. 7

S   . B. 11

S  . C. S4. D. S 5.

Lời giải: ...

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Câu 64: Cho phương trình









2sinx1 3 tanx2sinx  3 4 cos x. Gọi T là tập hợp các 
nghiệm thuộc đoạn



0; 20



của phương trình trên. Tính tổng các phần tử của T .

A. 570

3 . B.

875

3  . C. 
880

3 . D. 
1150

3 .
Lời giải: ...

...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...

Câu 65: Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình

2 3

cos cos 1

cos 2 tan

cos

x x

x

 

  trên đoạn

[1;70]

A. 188. B. 263. C. 363 . D. 365

Lời giải: ...

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Câu 66: Tổng các nghiệm của phương trình 4 4 4 5

sin sin sin

4 4 4

x x  x 

    trong khoảng



0; 2



bằng

A. 2 . B. 4 . C.



. D. 3 .

Lời giải: ...

...
...
...
...
...
...
...

...
...
...
...
...

Câu 67: Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình
1 tan tan sin cot 4

x

x x x

    

 

  là

A.



 . B.



. C.



. D.



 .

Lời giải: ...

...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...

Câu 68: Tính tổng các nghiệm thuộc



 ;3



của phương trình: sin 2 0
cos 1

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

A. 8 . B. 9. C. 10. D. 3



Lời giải: ...

...
...
...
...
...
...

...
...
...
...
...

Câu 69: Tính tổng T các nghiệm của phương trình 2

cos xsin cosx x2sinxcosx2 trên
khoảng ;5 .

 

 

 

 

A. 15

T   . B. 21

T   . C. T 7. D. 3 .

T  

Lời giải: ...

...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...

Câu 70: Tính tổng các nghiệm trên



4 ; 4



của phương trình sin3x3 3sin3 x  2 2 0

A. . B. 2. C. 



. D. 0.

Lời giải: ...

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

...
...
...
...
...
...
...

Câu 71: Phương trình 1 1 1

cosxsin 2x sin 4x có tổng các nghiệm trên(0; ) là:

A.



. B.



. C. 2



. D. 

Lời giải: ...

...
...
...
...
...
...
...
...

Câu 72: Phương trình sin 2 2 cos sin 1 0

tan 3

x x x

x

   

 có bao nhiêu nghiệm trên(0;3 ) ?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4

Lời giải: ...

...
...
...
...
...
...
...

Câu 73: Gọi S là tổng tất cả các nghiệm thuộc



0; 20



của phương trình 2

2cos xsinx 1 0.
Khi đó giá trị của S bằng:

A. S570 . B. S295 . C. S590 . D. 200

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

...
...
...
...
...
...
...
...
...
...

Câu 74: Tính tổng T các nghiệm của phương trình 2 2

cos sin 2 2 cos
2

x x   x

  trên khoảng



0; 2



A. 7

T   . B. 21

T   . C. 11

T   . D. 3

4
T   .

Lời giải: ...

...
...
...
...
...
...
...
...
...

Câu 75: Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình 3 cosxsinx1 trên



0; 2



A. 5



. B. 11



. C.



. D. 3



Lời giải: ...

...
...
...
...
...
...

Câu 76: Gọi S là tập hợp các nghiệm thuộc khoảng



0;100



của phương trình

sin cos 3 cos 3

2 2

x x

x

    

 

  . Tổng các phần tử của S là

A. 7400



. B. 7525



. C. 7375



. D. 7550



</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

...
...
...
...
...
...

Câu 77: Gọi S là tập hợp tất cả các nghiệm thuộc khoảng



0; 2018



của phương trình sau:









3 1 cos 2 x sin 2x4 cosx 8 4 3 1 sin x. Tính tổng tất cả các phần tử của S.

A. 103255. B. 310408

3


. C. 312341

3


. D. 102827.

Lời giải: ...

...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...

Câu 78: Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình sin 2x4sinx2cosx 4 0 trong đoạn



0;100



của phương trình.

A. 100. B. 2476 . C. 25. D. 2475.
Lời giải: ...

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

...
...
...
...

Câu 79: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos sin



x



1 trên



0; 2



bằng

A. 0. B. . C. 2 . D. 3 .

Lời giải: ...

...
...
...

...
...
...
...

Câu 80: Tính tổng S các nghiệm của phương trình







4 4



2cos 2x5 sin xcos x  3 0 trong
khoảng



0; 2



A. 11

S  . B. S4. C. S 5. D. 7

6
S   .

Lời giải: ...

...
...
...
...
...
...
...

Câu 81: Cho phương trình 2018 2018



2020 2020



sin xcos x2 sin xcos x . Tính tổng các nghiệm của
phương trình trong khoảng



0; 2018



A.

1285

4 

 

 

  . B.





643  . C.



642



2 . D.

1285

2 

 

 

  .

Lời giải: ...

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Câu 82: Phương trình lượng giác: cos3xcos 2x9sinx 4 0 trên khoảng



0;3



. Tổng số
nghiệm của phương trình trên là:

A. 25



. B. 6. C. Kết quả khác. D. 11



Lời giải: ...

...

DẠNG 6. TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ m ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

CHO TRƯỚC CĨ NGHIỆM.

Câu 83: Tính tổng S tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình
2 cos 2 5

x  m

   

 

  có nghiệm thuộc khoảng

3
;
6 4

 

 

 

 .

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Lời giải: ...

...

Câu 84: Tìm m để phương trình



3cosx4 3cos



x 1 3m



0 có số nghiệm trên đoạn 0;3
2



 

 

 

là lớn nhất.

A. 2 1

3 m 3

   . B. 2 4

3 m 3

   . C. 2 1

3 m 3

   . D. 2 1

3 m 3

   .

Lời giải: ...

...

Câu 85: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình 2









sin x2 m1 sinx3m m2 0 có
nghiệm

A.

1 1

2 2

1 2

m
m

  




 


. B.

1 1

3 3

1 3

m
m

  




 


. C. 2 1

0 1

m
m

   


  

 . D.

1 1

3 4

m
m

  


  

 .

Lời giải: ...

...

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Câu 86: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình cos2x



2m1



cosx  m 1 0 có đúng
hai nghiệm trên đoạn ;

2 2

 

 

 

 .

A.   1 m 0. B. 0 m 1. C. 0 m 1. D.   1 m 1.

Lời giải: ...

...
...
...
...
...
...
...

Câu 87: Cho phương trình 2









2sin x m1 sin 2x m6 cos x1. Có bao nhiêu giá trị ngun
của tham số m để phương trình vơ nghiệm?

A. 4. B. 6. C. 5. D. 2.

Lời giải: ...
...
...
...
...
...
...
...

...
...

Câu 88: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2

2cos x4 sin cosm x xm có
nghiệm:

A. 2

m  . B. 2

m  hoặc m 0.

C. 2 0
3 m

   . D. m0.

Lời giải: ...

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

...
...
...
...

Câu 89: Số các giá trị nguyên m để phương trình
4m4.sin .cosx x m2.cos 2x 3m9 có nghiệm là

A. 7. B. 6. C. 5. D. 4

Lời giải: ...

...

Câu 90: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3 cosx m  1 0 có
nghiệm?

A. 1.. B. 2.. C. 3.. D. Vô số.
Lời giải: ...

...

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

...

Câu 92: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3 cosx m  1 0 có
nghiệm?

A. 1.. B. 2.. C. 3.. D. Vô số.
Lời giải: ...

...

Câu 93: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình



m1 sin



x  2 m 0 có nghiệm.

A. m 1.. B. 1.
2

m . C. 1 1.
2

m

   . D. m 1.

Lời giải: ...

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

DẠNG 7. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

7.1. Tìm GTLN, GTNN sử dụng điều kiện  1 sin ,cosx x1.

Câu 94: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sin sin 2
3

A x x 

 

A. 1. B. 0. C. 2. D. 3

2 .
Lời giải: ...

...
...
...
...
...
...

Câu 95: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 4 4

sin cos

A x x

A. 1. B. 0. C. 2. D. 1

2 .
Lời giải: ...

...
...
...
...
...
...

Câu 96: Tập giá trị của hàm số ysin 2x 3 cos 2x1 là đoạn  a b; . Tính tổng T  a b.

A. T1. B. T2. C. T 0. D. T 1.
Lời giải: ...

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

A. t 22 h

 

. B. t 15 h

 

. C. t 14 h

 

. D. t 10 h

 

Lời giải: ...

...
...
...
...
...
...
...

Câu 98: Gọi M và N lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số





1 2cos 2 3 sin cos

y   x  x x trên . Biểu thức M N 2 có giá trị bằng

A. 0. B. 4 2 3. C. 2. D. 2 32.
Lời giải: ...

...
...
...
...
...
...
...
...
...

Câu 99: Số giờ có ánh sáng của một thành phố X ở vĩ độ 40 bắc trong ngày thứ t của một năm
không nhuận được cho bởi hàm số:

 

3sin





182

d t    t 

  , t và 0 t 365.
Vào ngày nào trong năm thì thành phố X có nhiều giờ ánh sáng nhất?

A. 262. B. 353. C. 80. D. 171.

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

...
...
...

Câu 100: Hàm số y2cos3x3sin3x2 có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?

A. 7. B. 3. C. 5. D. 6.

Lời giải: ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...

Câu 101: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y2sin2xcos 22 x.

A. maxy4,min 3
4

y . B. maxy3,miny2.

C. maxy4,miny2. D. maxy3,min 3
4
y .

Lời giải: ...

...
...
...

...
...
...
...
...
...
...
...

Câu 102: Gọi M và m lần lượt là GTLN và GTNN của hàm số ysin4xcos4xsin 2x. Tổng
Mmlà

A. 3

2


. B. 1

 . C. 3

2 . D. 1.

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

...
...
...
...
...

7.2. Tìm GTLN, GTNN dạng yasinxbcosxc.

Câu 103: Cho hàm số sin 2cos

sin cos 3

x x

y

x x




  . Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
của hàm số đã cho. Tính 7m5M bằng?

A. 10. B. 1. C. 0. D. 10.

Lời giải: ...

...
...
...
...
...
...
...
...

Câu 104: Hàm số





4 4

3sin 4 4 sin cos
2cos 2 sin 4 2

x x x

y

x x

 



  có giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m. Khi

đó tổng Mm bằng?

A. 0. B. 5

 . C. 10

 . D. 3

Lời giải: ...

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

...

Câu 105: Giá trị lớn nhất M , giá trị nhỏ nhất m của hàm số: 2

2cos 2 3sin cos 1

y x x x là

A. M 4;m0. B. M 3;m0. C. M 3;m1. D. M4;m1.
Lời giải: ...

...
...
...
...
...
...
...
...
...
...

Câu 106: Cho hàm số sin 2 cos 1

sin cos 2

x x

y

x x

 



  . Gọi M;m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của hàm số. Tổng Mm bằng

A. 1. B. 2. C. 1. D. 2.

Lời giải: ...

...
...
...
...
...
...
...
...

Câu 107: Giá trị lớn nhất của hàm số cos 2sin 3
2cos sin 4

x x

y

x x

 



  là

A. 3 2 3 . B. 2. C. 1. D. 0.

Lời giải: ...

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

cosx2
nhỏ hơn 2.

A. 4. B. 6. C. 5. D. 3.

Lời giải: ...

...
...
...

...
...
...
...
...

Câu 109: Giả sử M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số sin 2cos 1

sin cos 2

x x

y

x x

 



 

trên . Tìm 2M3m

A. 1 2. B. 0. C. 1. D. 8

Lời giải: ...

...
...

...
...
...
...
...
...
...

Câu 110: Gọi M, m tương ứng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2sin 2

cos 2

x
y

x



 .

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. 3mM 8. B. 3mM  8. C. 3mM 0. D. 3 8
3
mM  

Lời giải: ...

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

...
...
...
...

Câu 111: Tập giá trị của hàm số ysin 2x 3 cos 2x1 là đoạn

 

a b; . Tính tổng T  a b.

A. T 0. B. T 1. C. T1. D. T 2.

Lời giải: ...

...
...
...
...
...
...
...
...
...
...

...
...
...
...

Câu 112: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y3sinx4cosx1.

A. maxy6, miny 4. B. maxy8, miny 6.

C. maxy4, miny 6. D. maxy6, miny 8.

Lời giải: ...

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

A. 3 2 2. B. 3 2 1. C. 3 2 2 1. D. 3 3 2 1.
Lời giải: ...

...
...
...
...

...
...
...
...
...
...
...
...
...

Câu 114: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 2sin 3cos 1

sin cos 2

x x

y

x x

 



 

A. 3 33

2


. B. 3 33

2


. C. 3. D. 1

2 .

Lời giải: ...

...
...
...
...
...
...
...

Câu 115: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số

 

2018 2018

sin cos

f x  x x lần lượt là

A. 10081

2 và 2. B. 1009

2 và 1. C. 0 và 1. D. 1008
1

2 và 1.
Lời giải: ...

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

...
...
...

Câu 116: Cho x, y là các số thực thỏa mãn cos2xcos 2y1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2

tan tan

P x y bằng

A. 1

3. B.

3 . D.

3. C. 3.

Lời giải: ...

...
...
...
...
...

Câu 117: Cho hai số thực x y, thuộc 0;
2

 


 

  và thỏa mãn cos 2xcos 2y2sin



x y



2. Giá trị

nhỏ nhất của

4 4

cos x cos y
P

y x

 

bằng

A. 2

3 . B.

 . C.

 . D.

 .

Lời giải: ...

...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...

Câu 118: Cho , , a b c là các số thực thỏa mãn 2 2 2

a b c  Tìm giá trị lớn nhất M trong tất cả
các hàm số y a b sinx c cosx với 0; .

x 

 

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

...
...
...
...

Câu 119: Tập giá trị của hàm số ysin 2x 3 cos 2x1 là đoạn

 

a b; . Tính tổng T  a b.

A. T1. B. T2. C. T 0. D. T 1.

</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

PHẦN 2: BẢNG ĐÁP ÁN

</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Câu 1: Hình nào dưới đây biểu diễn đồ thị hàm số y f x

 

2sin 2x?

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn C

Ta thấy 2 2sin 2  x2 nên ta có loại Hình 2 và Hình 3.
Tiếp theo với Hình 1 và Hình 4 ta có:

Từ phần lý thuyết ở trên ta có hàm số tuần hồn với chu kỳ 2

2  .

Ta thấy x0 thì y0 nên đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ. Từ đây ta chọn đáp án Hình 1.

Câu 2: Hình vẽ nào sau đây biểu diễn đồ thị hàm số cos
2
x
y ?

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn D

Ta thấy 1 cos 1
2

x

   nên ta có loại Hình 2.

Tiếp theo ta có hàm số

x

ycos có chu kỳ tuần hồn là 2 4
1
2

</div>
(53)<div class='page_container' data-page=53>

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Ta thấy x0 thì cos cos 0 1
2

x

y   nên ta chọn Hình 4.

Câu 3: Cho đồ thị hàm số ycosx như hình vẽ:

Hình vẽ nào sau đây là đồ thị hàm số ycosx2?

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn A

Ta thực hiện phép tịnh tiến đồ thị hàm số ycosx trên trục Oylên trên 2 đơn vị.

Câu 4: Cho đồ thị hàm số ysinx như hình vẽ:

Hình nào sau đây là đồ thị hàm số ysin x?

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Chọn C

</div>
(54)<div class='page_container' data-page=54>

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

phần bỏ đi của hàm số ysinx.

Câu 5: Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt
kê ở bốn phương án A B C D, , , .

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. ytanx. B. ycotx. C. y tanx . D. y cotx .

Lời giải

Chọn C

Ta thấy hàm số có GTNN bằng 0.

Hàm số xác định tại x và tại x thì y0.

Câu 6: Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt
kê ở bốn phương án A B C D, , , .

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. sin 1
2

y x 

  . B. y 2sin x 2



 

   

 .

C. sin 1
2

y  x 

  . D. y sin x 2 1



 

   

</div>
(55)<div class='page_container' data-page=55>

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Lời giải

Chọn A

Ta thấy hàm số có GTLN bằng 0, GTNN bằng 2. Do đó ta loại đáp án 2sin

y x 
 . Vì





2sin 2; 2

y x  

  .

Tại x0 thì y 2. Thử vào các đáp án cịn lại chỉ có sin 1
2

y x 

  thỏa mãn.

Câu 7: Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt
kê ở bốn phương án A B C D, , , .

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. y 1 sin x . B. y sinx . C. y 1 cosx . D. y 1 sinx .

Lời giải

Chọn A

Ta có: y 1 cosx 1 và y 1 sinx 1 nên loại y 1 cosx vày 1 sinx .

Ta thấy tại x0 thì y1. Thay vào hai đáp án: y 1 sin x và y sinx thì chỉ có y 1 sin x
thỏa.

Câu 8: Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt
kê ở bốn phương án A B C D, , , .

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. y 1 sin x . B. y sinx . C. y 1 cosx . D. y 1 sinx .

Lời giải

Chọn B

</div>
(56)<div class='page_container' data-page=56>

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

A. sin

y x 

 . B. y cos x 2



 

   

 .

C. sin 1
2

y  x

  . D. y cosx1.

Lời giải

Chọn D

</div>
(57)<div class='page_container' data-page=57>

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

DẠNG 2. XÁC ĐỊNH CHU KỲ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.

Câu 10: Chu kỳ tuần hoàn của hàm số ysin cos cos 2 cos 4x x x x là

A. 2. B. 4 . C.



. D.



Lời giải

Chọn C

Ta có sin cos cos 2 cos 4 1sin 2 cos 2 cos 4 1sin 4 cos 4 1sin 8

2 4 8

y x x x x x x x x x x.

Do đó chu kỳ của hàm số là 2

8 4

T    .

Câu 11: Tìm chu kỳ tuần hồn của hàm số



4 4



3 sin 4 4 sin cos 2

y x x x  .

A. 2. B.



. C.



. D. .

Lời giải

Chọn B

Ta có 4 4 2 2 1 2 1





3 1

sin cos 1 2sin cos 1 sin 2 1 1 cos 2 cos 4

2 4 4 4

x x  x x  x   x   x.

Do đó 3 sin 4 3 cos 4 2 2sin 4 5
6
y x  x   x 

  .

Vậy chu kỳ tuần hoàn của hàm số là 2

4 2

T    .

Câu 12: Tìm chu kỳ tuần hồn của hàm số

 

3 3 3

sin 4 sin cos 3 cos sin 3
f x  x x x x x.

A.



. B.



. C. 2



. D. 2 .

Lời giải

Chọn A

Ta có:









3 3 3 3 3 3

sin xcos 3xcos xsin 3xsin x. 4cos x3cosx cos x. 3sinx4sin x





3 3 3 3 3 3 2 2

4sin x.cos x 3sin xcosx 3cos xsinx 4sin x.cos x 3sin cosx x cos x sin x

     

3 3

sin 2 cos 2 sin 4

2 x x 4 x

  .

Do đó

 

3 3 1





sin 4 sin 4 3sin 4 4sin 4 sin12

4 4 4

f x  x x  x x   x.

Vậy chu kỳ tuần hoàn của hàm số là 2
12 6

</div>
(58)<div class='page_container' data-page=58>

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Chọn D

Ta có:

  







cos 3 .cos .cos sin 3 .sin .sin

f x  x x x x x x









1 1

cos 4 cos 2 .cos cos 2 cos 4 .sin

2 x x x 2 x x x

   

2 2 2 2

cos 4 .cos cos 2 .cos cos 2 .sin cos 4 .sin

2 x x x x x x x x

     





1 1 1 1 3

cos 4 cos 2 cos 4 1 cos 4 cos 4

2 x x 2 x 2 x 4 4 x

 

        

 

Vậy chu kỳ tuần hoàn của hàm số là 2

4 2

</div>
(59)<div class='page_container' data-page=59>

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

DẠNG 3. TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.

Câu 14: Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

A. Hàm số y cot x đồng biến trên khoảng

 

0; .

B. Hàm số ysin x nghịch biến trên khoảng



3 ; 4 



C. Hàm số ysin x đồng biến trên khoảng 5 ; 3
2 2

 

  

 

 .

D. Hàm số y cos x đồng biến trên khoảng ;
2 2

 

 

 

 .

Lời giải

Chọn C

* Hàm số y cot x nghịch biến trên mỗi khoảng mà nó xác định.

* Hàm số ysin x đồng biến trên mỗi khoảng 2 ; 2
2 k 2 k

   

   

 

  và nghịch biến trên mỗi

khoảng 2 ;3 2
2 k 2 k

   

   

 

 .

* Hàm số y cos x đồng biến trên mỗi khoảng



  k2 ; 2 k 



và nghịch biến trên mỗi khoảng



k2 ;  k2



Vậy đáp án đúng là C.

Câu 15: Cho các hàm số ysinx; ycosx ; ytanx; ycotx. Có bao nhiêu hàm số nghịch
biến trên 3 ; 5




  

 

 ?

A. 1. B. 3. C. 0. D. 2.

Lời giải

Chọn B

Hàm sốys inx nghịch biến trên mỗi khoảng k 2 ;3 k 2

2 2

   

   

 

  nên nghịch biến trên khoảng

5
3 ;




  

 

 .

Hàm số ycosx nghịch biến trên mỗi khoảng



k2 ;  k2



nên nghịch biến trên khoảng
5

3 ;
2




  

 

 .

Hàm số ytanx đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

Hàm số ycotx trên mỗi khoảng



k ; k



nên nghịch biến trên khoảng 3 ; 5
2




  

 

</div>
(60)<div class='page_container' data-page=60>

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

B. Hàm số đã cho có tập giá trị là



1;1



C. Hàm số đã cho đồng biến trên ; 0
2



 

 

 .

D. Hàm số đã cho có tập xác định \ ,
2 k k

 

   

 

 .

Lời giải

Chọn B

• Hàm số ytanx có tập xác định: \ ,
2 k k

 

   

 

  nên D đúng.

• Hàm số ytanx có tập giá trị: T  .

Ta có: x D    x D. Mà f

 

 x tan

 

  x tanx f x

 

.
Do đó hàm số y f x

 

tanx là hàm lẻ. Suy ra A đúng.

• Hàm số ytanx đồng biến trên khoảng ;
2 2

 

 

 

  và nghịch biến trên
3

;
2 2

 

 

 

 . Do đó C đúng.

Vậy đáp án B sai.

Câu 17: Khẳng định nào sau đây đúng?

A. ysinx là hàm số nghịch biến trên ;
4 4

 

 

 

 .

B. ycosx là hàm số nghịch biến trên ;3
4 4

 

 

 

 .

C. ysinx là hàm số nghịch biến trên 0;2
3



 

 

 .

D. ytanx là hàm số nghịch biến trên ;3
4 4

 

 

 

 .

Lời giải

Chọn B

Dựa vào đường tròn lượng giác ta thấyycosx là hàm số nghịch biến trên



0;



nên ycosx
là hàm số nghịch biến trên ;3

4 4

 

 

 

</div>
(61)<div class='page_container' data-page=61>

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Câu 18: Hàm số ycosx nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A. 19 ;10
2

 

 

 

 . B.

3
;
2 2

 

 

 

 . C.

11
; 7
2 

 

 

 . D.

; 5
2

 

  

 

 .

Lời giải

Chọn D

Dựa vào đường tròn lượng giác ta thấyycosx là hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng



k2 ;  k2



nên ycosxlà hàm số nghịch biến trên 11 ; 5

 

  

 

 .

Câu 19: Để hàm số ysinxcosx tăng, ta chọn x thuộc khoảng nào?

A. 3 2 ; 2
4 k 4 k

   

   

 

 . B.

;
4 k 4 k

   

   

 

 .

C. 2 ; 2
2 k 2 k

   

   

 

 . D.



 k2 ; 2 k2



Lời giải

Chọn A

Ta có sin cos 2 sin
4
y x x x 

 . Để hàm số ysinxcosx tăng thì

2 2 ,

2 k x 4 2 k k

    

       3 2 2 ,

4 k x 4 k k

   

       .

Câu 20: Xét hai mệnh đề sau:

(I): ;

2 2
x    

   

 :Hàm số

tan

y x tăng.

(II): ;
2 2
x    

   

 :Hàm số

sin

y x tăng.

Chọn câu đúng?

A. Chỉ (I) đúng. B. Chỉ (II) đúng. C. Cả hai đúng. D. Cả hai sai.

Lời giải

Chọn D

Ta có ;
2 2

x    

</div>
(62)<div class='page_container' data-page=62>

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Suy ra trên ; 0
2



 

 

  hàm số

tan

y x giảm.

Xét bảng biến thiên:

Suy ra trên ; 0
2



 

 

  hàm số

sin

y x giảm.

</div>
(63)<div class='page_container' data-page=63>

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

DẠNG 4: XÁC ĐỊNH SỐ ĐIỂM BIỂU DIỄN CỦA PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
CHO TRƯỚC TRÊN ĐƯỜNG TRỊN LƯỢNG GIÁC.

Câu 21: Biểu diễn các nghiệm của phương trình 2

cos x0 trên đường trịn lượng giác được bao
nhiêu điểm?

A. 1. B. 2. C. 0. D. 4.

Lời giải

Chọn B

Ta có cos2 0 cos 0





x  x   x  k k .

Biểu diễn họ nghiệm trên đường tròn lượng giác ta được 2 điểm.

Câu 22: Nghiệm của phương trình cosx 1 là:

A. 1. B. 2. C. 0. D. 4.

Lời giải

Chọn A

Ta có cosx    1 x  k2 ,  k .

Biểu diễn họ nghiệm trên đường tròn lượng giác được 1 điểm.

Câu 23: Cho phương trình 2cosx 30. Số điểm biểu diễn tất cả các nghiệm của phương trình
trên đường tròn lượng giác là

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải

Chọn B

Ta có





2
6
2 cos 3 0 cos cos

2
6

x k

x x k

x k

 



 

  


     

   


Mỗi họ nghiệm 2
6

x  k , 2
6

x   k  biểu diễn được 1 điểm trên đường tròn lượng giác,

do đó số điểm biểu diễn của tất cả các nghiệm của phương trình là 2 .

Câu 24: Số điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình cos 1
2

x trên đường trịn lượng giác là

A. 3. B. 1. C. 4. D. 2.

Lời giải

</div>
(64)<div class='page_container' data-page=64>

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Mỗi họ nghiệm 2
6

x  k , 2
6

x   k  biểu diễn được 1 điểm trên đường tròn lượng giác,
do đó số điểm biểu diễn của tất cả các nghiệm của phương trình là 2 .

Câu 25: Biểu diễn tất cả các nghiệm của phương trình 3cosx 1 0 trên đường trịn lượng giác,
số điểm biểu diễn là

A. 3. B. 0. C. 2. D. 4.

Lời giải

Chọn C

Ta có: 3cosx 1 0 cos 1
3

x

  arccos1 2

3 

  x k , k .

Mỗi họ nghiệm trên biểu diễn được 1 điểm trên đường tròn lượng giác, do đó số điểm biểu
diễn trên đường trịn lượng giác của phương trình là 2 .

Câu 26: Biểu diễn nghiệm của phương trình cos3xcosx trên đường tròn lượng giác. Số điểm
biểu diễn là

A. 3. B. 0. C. 2. D. 4.

Lời giải

Chọn D





3 2 2 2

cos 3 cos

3 2 4 2 2

2
x k

x x k x k

x x x k k

x x k x k x k



  



 




  

  

      



    

   . Biểu diễn họ nghiệm

trên đường tròn lượng giác được 4 điểm.

Câu 27: Biểu diễn nghiệm của phương trình 2

cos xcosx0 trên đường tròn lượng giác. Số
điểm biểu diễn là

A. 3. B. 5. C. 2. D. 4.

Lời giải

Chọn A

cos xcosx0 cos 0 2





cos 1

x x k

k
x

x k

 

 



  

 

  


 

    .

Họ nghiệm
2

x  k biểu diễn trên đường tròn lượng giác được 2 điểm, họ nghiệm
2

</div>
(65)<div class='page_container' data-page=65>

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Câu 28: Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình 2 1

cos
2

x trên đường tròn lượng giác là

A. 8. B. 2. C. 4. D. 6.

Lời giải

Chọn C

2 1 1 cos 2 1

cos cos 2 0 2 ,

2 2 2 2 4 2

x k

x     x  x  k   x   k .

Biểu diễn họ nghiệm trên đường tròn lượng giác được 4 điểm.

Câu 29: Biểu diễn tập nghiệm của phương trình cosxcos 2xcos3x0 trên đường tròn lượng
giác ta được số điểm cuối là

A. 4. B. 2. C. 6. D. 5

Lời giải
Chọn C

Ta có cosxcos 2xcos 3x 0



cos 3xcosx



cos 2x0





2cos 2 .cosx x cos 2x 0 cos 2x 2cosx 1 0

     





2 4 2

cos 2 0

2 2

2 2 ,

3 3

cos

2 2

3 3

x k x k

x

x k x k k

x

x k x k

  

      

 

  

  

 



         

  

 

  

         

 

 

Vậy biểu diễn tập nghiệm của phương trình cosxcos 2xcos3x0 trên đường tròn lượng giác
ta được số điểm cuối là 6 .

Câu 30: Biểu diễn các nghiệm của phương trình cos sin



x



1 trên đường tròn lượng giác là

A. 3. B. 1. C. 0. D. 2.

Lời giải
Chọn D

Ta có x



0;2



sinx 



1;1



Khi đó: cos sin



x



 1 sinxk2



k



với 1 k2   1 k 0.

Phương trình trở thành sinx 0 x m x 0
x






    







m



Vậy số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường trịn lượng giác là 2 .

Câu 31: Biểu diễn tất cả các nghiệm của phương trình cos5 .cosx xcos 4x trên đường tròn lượng
giác. Số điểm biểu diễn là

</div>
(66)<div class='page_container' data-page=66>

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

6 4 2

x x k
x x k




 



    



5
x k

k
x








 

 5

k
x 

  .

Vậy số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường trịn lượng giác là 10.

Câu 32: Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình 2

4cos x4cosx 3 0 trên đường tròn

lượng giác là?

A. 4. B. 0. C. 1. D. 2.

Lời giải
Chọn D

Ta có 2

4cos x4cosx 3 0

 

cos L
2

cos N

x

 


 

  



Với cos 1
2

x  cos cos2
3

x 

   2 2

x   k 



k



Vậy số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình trên đường trịn lượng giác là 2.

Câu 33: Số điểm biểu diễn các họ nghiệm của phương trình sin 2x 3 cos 2x 3trên đường
tròn lượng giác là:

A. 2. B. 3. C. 4. D. 1.

Lời giải
Chọn C

Ta có sin 2 3 cos 2 3 1sin 2 3cos 2 3 sin 2 3

2 2 2 3 2

x x  x x   x 

 

2 2

3 3
2

2 2 6

3 3

x k

   



   

     

 

 

  

    



; k .

Họ nghiệm x k  được biểu diễn bởi 2 điểm trên đường tròn lượng giác.

Họ nghiệm
6

x  k được biểu diễn bởi 2 điểm trên đường trịn lượng giác khơng trùng với
các điểm biểu diễn của họ nghiệm thứ nhất.

</div>
(67)<div class='page_container' data-page=67>

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Câu 34: Số điểm biểu diễn các họ nghiệm của phương trình sin 5x 3 cos 5x2sin 7x trên
đường tròn lượng giác là:

A. 12. B. 8. C. 14. D. 7.

Lời giải
Chọn C

Ta có:

1 3

sin 5 3 cos 5 2sin 7 sin 5 cos 5 sin 7 sin 5 sin 7

2 2 3

x x x x x x  x  x

 

7 5 2

3 6

;

7 5 2

3 18 6

x x k x k

k
k

x x k x

   

  

 

    

 

 



  

 

       

   



Họ nghiệm
6

x  k được biểu diễn bởi 2 điểm trên đường tròn lượng giác.

Họ nghiệm

18 6

k

x    được biểu diễn bởi 12 điểm trên đường trịn lượng giác khơng trùng với
các điểm biểu diễn của họ nghiệm thứ nhất.

Vậy nghiệm của phương trình được biểu diễn bởi 14 điểm trên đường tròn lượng giác.

Câu 35: Số điểm biểu diễn của phương trình



sinxcosx



sin 2x12 cos



xsinx



12cos 2x0
là:

A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.

Lời giải

Chọn B

Ta có:



sinxcosx



sin 2x12 cos



xsinx



12cos 2x0











2 2



sinx cosx sin 2x 12 cosx sinx 12 cos x sin x 0

      



sinx cosx





sin 2x 12 sin



x cosx



     

 





 

sin cos 0 1

sin 2 12 sin cos 12 0 2

x x

x x x

 


 

   

 .

 

1 sinxcosx0 2 sin 0
4

x 

 

   

  x 4 k

 

  

x  k

  



k



nên phương trình có
2 điểm biểu diễn.

 

2 sin 2x12 sin



xcosx



120.

Đặt t sinxcosx (điều kiện t  2)

1
sin cos

t
x x 

</div>
(68)<div class='page_container' data-page=68>

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

4 2

  x  k2



phương trình có 2 điểm biểu diễn.

Vậy phương trình có 4điểm biểu diễn nghiệm.

Câu 36: Nghiệm của phương trình 2





sin xsin cosx xcosx2sin 2x sinx 1 1 thoả điều kiện
3

2 x 2

   

có số điểm biểu diễn là:

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Lời giải
Chọn B

Ta có: 3

2 x 2

    3 2

3
2 2
x
x
 
 

 


  

3
2
3
2 2
3
2 2
x
x
x

 
 
 
   




  

   


6 2
3
0
x
x
x
 

  


  



 


0
6
3 2
x
x


 
  

 
  


 

* .





sin xsin cosx xcosx2sin 2x sinx 1 1













sin x 1 cosx sinx 1 2sin 2x sinx 1 0

      



sinx 1 sin



x 1 cosx 2sin 2x



     

 

sin 1 0 1

sin cos 2sin 2 1 0 2

x

x x x

 


 

   

 .

 

1 sinx 1 0sinx1 2
2

x  k 

  



k



 

2 sinxcosx2sin 2x 1 0.

Đặt t sinxcosx (điều kiện t  2)

1
sin cos

t
x x 

  .





2 1 1 0

t t    2t2   t 3 0

1
3
2
t
t
 



 

.

Đối chiếu điều kiện của t ta có: sinxcosx 1 sin 2

4 2
x 
 

    
 
2
3
2
2
x k
x k

 




  


</div>
(69)<div class='page_container' data-page=69>

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Đối chiếu điều kiện

 

* ta có
2

x  nên có 1 điểm biểu diễn.

Câu 37: Số điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình

2 2

cos sin 2 2 cos
2

0
7

2sin 1

x x x

x



 
     
  
  
 
 

trên đường tròn lượng giác là

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải

Chọn A

Điều kiện:





7 1 8

sin
13
24 2
2
24
x k
x k

x k
 

 
   

    

 
    

.

Phương trình trở thành 2 2

cos xsin 2x 2 sin x0cos 2xsin 2x 2

2 cos 2 2

x 

 

   

  cos 2x 4 1



 

   

  2x 4 k2

 

  

x  k

   



k



So với điều kiện, ta được 7 2





x  k  k .

Vậy có một điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác.

Câu 38: Số điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình

sin sin 2 2sin cos sin cos

3 cos 2
sin cos

x x x x x x

x
x x

   

 trên đường tròn lượng giác là

A. 2. B. 4. C. 3. D. 5.

Lời giải

Chọn B

Điều kiện

sinxcosx0 sin 0
4

x 

 

   

  x 4 k

 

   ,





x  k k

     .

Ta có:

sin sin 2 2sin cos sin cos

3 cos 2
sin cos

x x x x x x

x
x x

   







sin 2 sin cos sin cos

3 cos 2
sin cos

x x x x x

x
x x

  

 





sin 2 1 sin



cos



3 cos 2
sin cos

x x x

x
x x

 

 

</div>
(70)<div class='page_container' data-page=70>

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

2 2

3 6

x    k 

 

    






3
4
x  k



  



</div>
(71)<div class='page_container' data-page=71>

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

DẠNG 5. BIỆN LUẬN NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHƠNG CHỨA 
THAM SỐ

5.1. Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trên tập K.

Câu 39: Tìm số nghiệm của phương trình cos5 .cosx xcos 4x trên



0;10



là

A. 49. B. 50. C. 52. D. 48.

Lời giải

Chọn A

Ta có cos5 .cosx xcos 4x 1



cos 4 cos 6



cos 4

2 x x x

   cos 6xcos 4x

6 4 2

x x k
x x k




 



    



5
x k

k
x









 


,
5
k

x  k Z

  

Do 0 x 10 0 10 0 50
5

k

 

      .Vây có 49 nghiệm thỏa điều kiện.

Câu 40: Số nghiệm thuộc khoảng



0;100



của phương trình

sin cos 3 cos 3

2 2

x x

x

    

 

  là

A. 49. B. 50. C. 52. D. 48.

Lời giải

Chọn B

Ta có

sin cos 3 cos 3

2 2

x x

x

    

 

   1 sinx 3 cosx3sinx 3 cosx2

1 3

sin cos 1

2 x 2 x

   sin 1

x 

 

   

  x 6 k2 ,k

 

   

Theo đề bài cho ta có 0 x 100

0 2 100

6 k

  

    1 599

12 k 12

   

Mà k  k



0;1;2;3;4,....;48;49



Câu 41: Số nghiệm của phương trình 2 2

cos sin 2 2 cos
2

x x   x

  trên khoảng



0;3



là

A. 2. B. 3. C. 4.. D. 1.

Lời giải

Chọn B

2 2

cos sin 2 2 cos
2

x x   x

 

2 2

cos x sin 2x 2 sin x

</div>
(72)<div class='page_container' data-page=72>

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Câu 42: Gọi n là số nghiệm thuộc khoảng



0; 2023



của phương trình lượng giác









3 1 cos 2 x sin 2x4 cosx 8 4 3 1 sin x. Tìm n là

A. 322. B. 320. C. 300. D. 321.

Lời giải
Chọn A

Ta có 3 1 cos 2



 x



sin 2x4 cosx 8 4



3 1 sin



x





2 3 sin x 2sin cosx x 4 cosx 8 4 3 1 sinx

     







 



2 3 sinx sinx 2 2cosx sinx 2 4 sinx 2

     

2 3 sinx 2cosx 4

   (vì sinx 1 2)
3 sinx cosx 2

   sin cos cos sin 1

6 6

x  x 

  

sin 1

x 

 

   

  x 6 2 k2

 

     2

x  k

   



k



Theo đề bài x



0; 2023





0; 2023



3 k



   2 1 0;2023

k  

   



 k



0;1;...;321



.
Vậy n322.

Câu 43: Số nghiệm của phương trình 2cos2x 3 sin 2x3 trên



0; 2020



là:

A. 1010. B. 2019. C. 2020. D. 2021.

Lời giải
Chọn C

Ta có: 2cos2 x 3 sin 2x3cos 2x 3 sin 2x2 cos 2 1
3

x 

 

   

 

2 2

x  k 

  

x  k

  



k



Xét 0 x 2020 0 2020
6 k

  

    1 2020 1

6 k 6



    k



0;1;...; 2019



Vậy số nghiệm là 2020 .

</div>
(73)<div class='page_container' data-page=73>

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

mô tả bằng hàm số

 

100 20sin 7
3

P t     t

 . Với t



0;60



, có bao nhiêu lần huyết áp
người đó bằng 100 mmHg?

A. 139. B. 140. C. 141. D. 142.

Lời giải
Chọn C

Với

 

100 100 20sin 7 100
3

P t      t

 

sin 0

3 t



 

  

 

7
3 t k

 

 



k



3
7

k

t

 



k



Với



0;60



0 3 60
7

k

t      0 k 140.

Do k nên có tất cả 141 giá trị k thỏa mãn.

Vậy với t



0;60



có 141 lần huyết áp người đó bằng 100 mmHg.

Câu 45: Năm 1893, George Ferris chế tạo vịng đu quay. Nó có đường kính 250 foot. Nếu với
mỗi 40 giây vòng đu quay quay 1 vịng thì chiều cao h (foot) của một chỗ ngồi trên
vòng đu quay là một hàm số của thời gian t (giây) được xác định như sau

 

125sin 0,157 125
2

h t   t 

  .

Vòng quay bắt đầu tính từ thời điểm t0. Trong 40 giây đầu tiên của chuyến đi, tại thời điểm
nào sau đây (làm trịn đến hàng đơn vị) thì người ngồi trên ghế đu quay đó cách mặt đất 125
foot? (Chú thích: 1 foot xấp xỉ 30, 48 cm).

A. 20 giây. B. 25 giây. C. 30 giây. D. 35 giây.

Lời giải

Chọn C

Ta có:

 

125 125sin 0,157 125 125 sin 0,157 0

2 2

h t    t     t 

    .

0,157
2

t  k

   1

0,157 2

t   k

    

 , k .

Do 0 40 0 1 40 1 6, 28 1 0,5 1, 499

0,157 2 2 2

t  k k k



 

               

  .

Do k  k

 

0;1 .

Với 0 .1 10
0,157 2

k  t   giây.

Với 1 .3 30
0,157 2

</div>
(74)<div class='page_container' data-page=74>

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Câu 46: Nghiệm lớn nhất của phương trình 2cos 2x 1 0 trong đoạn

 

là:

A. x



. B. 11

x  . C. 2

x  . D. 5

x  .

Lời giải

Chọn D

Phương trình 2cos 2x 1 0 cos 2 1
2
x
 
2 2
3
2 2
3
x k
x k
 
 
  

 
   

6
6
x k
x k
 
 
  


 
   

.

Xét x

 

0;
0
6
0
6
k
k
  
  
   

 
    

1 5
6 6
1 7
6 6
k
k

  

 

  


mà k suy ra 0
1
k
k


 

6
5
6
x
x


 

 
 

.

Vậy nghiệm lớn nhất của phương trình 2cos 2x 1 0 trong đoạn

 

0; là 5
6
x  .

Câu 47: Phương trình cos 2x2cosx 3 0có nghiệm lớn nhất trong khoảng



0; 2019



A. 644. B. 2 . C. 640. D. 642.

Lời giải

Chọn D

cos2x2cosx 3 0 2cos2x2cosx 4 0 cosx1hay cosx 2 (loại)
Với cosx  1 x k2 ; k .

Với 0 x 2019 0 k22019  0 k 321.49 kmax 321.
Vậy nghiệm lớn nhất thuộc khoảng



0; 2019



là x642 .

Câu 48: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sin cos 2



x



0 là

A. . B.



. C.



. D. 3



Lời giải

Chọn C

Ta có sin



cos x2



 0 cos x2 k



k



Vì 2

 

1;1 0 2 0 2 1 1





2 4 2

</div>
(75)<div class='page_container' data-page=75>

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

min
4
x 
 

Vậy phương trình có nghiệm dương nhỏ nhất là
4



Câu 49: Gọi x0 là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 3sin2x2sin cosx xcos2x0.
Chọn khẳng định đúng?

A. 0

3
;

x  

 



 . B. 0 ;

x  

 . C. 0 0;

x  

 



. D. 0

3
;2
2

x  
  .

Lời giải

Chọn C

2 2

3sin x2sin cosx xcos x0 3sin2x3sin cosx xsin cosx xcos2x0

(3sinx cos )(sinx x cos )x 0

    3sin cos 0

sin cos 0

x x
x x
 

   

3sin
1
cos
sin
1
cos
x
x
x
x
 


 
  

1
tan
3
tan 1
x
x
 



 

1
arctan
3
4
x k
x k

 
  

 
   




k



Do x0 là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 3sin2x2sin cosx xcos2x0 nên

1
arctan

3
x  .

Câu 50: Cho phương trình 2 2 4 3

sin .tan cos .cot 2sin cos

x x x x x x . Tính hiệu nghiệm âm lớn
nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình.

A. 3



 . B. 5



. C. 5



 . D.



Lời giải

Chọn C

Điều kiện: sin 2 0

2
k

x  x  .

Phương trình

3 3

sin cos 4 3

2sin cos

cos sin 3

x x

</div>
(76)<div class='page_container' data-page=76>

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

3
x  k

  


Suy ra nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình lần lượt là 2
3



 và



Ta có: 2 5

3 6 6

  

    .

Câu 51: Hằng ngày, mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h

 

m của mực
nước trong kênh tính theo thời gian t

 

h được cho bởi công thức 3cos 12

6 3

t

h   

  .

Khi nào mực nước của

kênh là cao nhất với thời gian ngắn nhất?

A. t22 h

 

. B. t15 h

 

. C. t14 h

 

. D. t 10 h

 

Lời giải

Chọn D

Ta có: 1 cos 1
6t 3

 

 

    

    9 h 15. Do đó mực nước cao nhất của kênh là 15m đạt được khi

cos 1

6t 3

 

  

 

  6t 3 k2

  

      t 2 12k

Vì t0  2 12k 0 1

k
 

Chọn số k nguyên dương nhỏ nhất thoả 1
6

</div>
(77)<div class='page_container' data-page=77>

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

5.3. Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình lượng giác trên tập K.

Câu 52: Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình sinxsin 2x0 trên đoạn



0; 2



A. 4. B. 5 . C. 3 . D. 2 .

Lời giải

Chọn B

Ta có

 





2 2

sin sin 2 0 sin 2 sin 3 , ,

2 2

k

x x k x

x x x x k l

x x l

x l


   

   
 
       
  
    .

Vì x



0; 2



nên 0 x 2.

+ Với 2
3

k

x  . Ta có 0 2 2 0 3
3

k

 

     . Suy ra

0 0
2
1
3
4
2
3
3 2
k x
k x
k x
k x



  


   


  


   

.

+ Với x  2l . Tương tự 0 2 2 1 1

2 2

l l

  

       . Suy ra l  0 x .

Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình đã cho trên 0; 2



là 5 .

Câu 53: Tính tổng các nghiệm trong đoạn



0;30



của phương trình: tanxtan3x (1)

A. 55 . . B. 171 .
2



. C. 45 . . D. 190 .
2



Lời giải

Chọn C

Điều kiện để phương trình (1) có nghĩa cos 0 2

 

*
cos3 0
6 3
x k

x
k
x
x
 
 
  


 
  
   


Khi đó, phương trình (1) 3x

k
x k x 

    so sánh với đk (*)













, 0;30 0;...; 4 0; ; 2 ;....;9
2

x k

x k x

x k

  
 

     
  


Vậy, tổng các nghiệm trong đoạn



0;30



của phương trình (1) là: 45.

Câu 54: Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình
3
sin 3
4 2
x 
 
 
 

</div>
(78)<div class='page_container' data-page=78>

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Chọn C 
3
sin 3
4 2
x 
 
 
 
 
3 2
4 3
2
3 2
4 3
x k
x l

  
  

  

 
   

7 2
36 3
11 2
36 3
k
x
l
x
 
 

 

 
  


; ;k l

TH1: x0; x lớn nhất

Chọn

17
1;
36
13
1;
36
k x
l x



   


    

13
36
x 

   (nhận)

TH2: x0; x nhỏ nhất

Chọn
7
0;
36
11
0;

36
k x
l x



 


  

7
36
x 

  (nhận)

Khi đó tổng cần tìm là: 13 7

36 36 6

  

    .

Câu 55: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos 2xcosx0 trong khoảng



0; 2



bằng T
. Vậy T bằng bao nhiêu?

A. T . B. 7

T   . C. 4

T   . D. T2.

Lời giải

Chọn D

2 2 2

cos 2 cos 0 cos 2 cos 2

2 2 3

3
x k
x x k

x x x x x k

x x k x k


 





 
 
       

   
  .

Với



0; 2



2 ; 4

3 3

x   x  x  .

Vậy 2 4 2

3 3

T      .

Câu 56: Tổng các nghiệm của phương trình sin 2x 3 6sinxcosx trong khoảng 0;5
2



 

 

  là

A. . B. 2



. C. 5



. D. 19



</div>
(79)<div class='page_container' data-page=79>

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Lời giải

Chọn D

5π

6 π

Ta có: sin 2x 3 6sinxcosx2sin cosx xcosx6sinx3
2sin cosx x cosx 6sinx 3

    cosx



2sinx 1

 

3 2sinx1



2sin 1 0
cos 3( )

x
x L

 


  



1
sin

x

 

2
6
5

2
6

x k

 

  


 

  



,k .

Do 0;5
2
x 

  suy ra x 6



 , 5

x  , 13
6
x  .

Suy ra tổng các nghiệm là 19
6



Câu 57: Tổng tất cả các nghiệm thuộc



0;10π



của phương trình 2sin2x5sinx 3 0 là

A. 50. B. 55. C. 45. D. 60.

Lời giải

Chọn B

Ta có:

 





sin 3 2

2sin 5sin 3 0 1

7
sin

2
2

x VN x k

x x k

x

x k

 




    



     

    

 

 Xét 0 2 10 1 61

6 k 12 k 12

  

       mà k nên k



1;2;3;4;5



11 23 35 47 59

; ; ; ;

6 6 6 6 6

x      

  

 .

Xét 0 7 2 10 7 53

6 k 12 k 12

  

</div>
(80)<div class='page_container' data-page=80>

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Câu 58: Tổng các nghiệm trong đoạn



0; 2



của phương trình sin xcos x1 bằng

A. 5

2


. B. 7

2


. C. 2. D. 3

2


Lời giải

Chọn D

3 3

sin xcos x1



sinxcosx



1 sin cos x x



1

 

1 .

Đặt sin cos 2 sin
4
t x x x

 ,  2 t 2.

Có t2 1 2sin cosx x sin cos 1



1 2



x x t

   .

 

1 trở thành: 1 1

 

1 2 1
2

t  t 

 

3 3 2 0

t t

     

 

t 1



t2 t 2



0

 

1
2
t

t L

 
 

 

 2 sin x 4 1

 

   

 

1
sin

4 2

x

 

   

  .

2
4 4

3 2
4 4

x k

x l

     


 

 

    


2 ,
2

x k k l

x l

   



 

   


Có x0;2 nên ta có các nghiệm x ;
2

x.

Vậy tổng các nghiệm x0;2của phương trình đã cho là 3
2


.

Câu 59: Phương trình 6sin2x7 3 sin 2x8cos2x6 có tổng hai nghiệm dương nhỏ nhất bằng

A. 17



. B. 2



. C. 5



. D. 7



Lời giải

Chọn B

Ta có: 2 2 1 cos 2 1 cos 2

6sin 7 3 sin 2 8cos 6 6 7 3 sin 2 8 6

2 2

x x

x x x     x   

    .









3 1 cos 2x 7 3 sin 2x 4 1 cos 2x 6 3 sin 2x cos 2x 1

</div>
(81)<div class='page_container' data-page=81>

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

3 1 1 1

sin 2 cos 2 sin 2 sin 2 sin

2 x 2 x 2 x 6 2 x 6 6

  

   

          

    .

2 2

6 6 6

2 2

6 6 2

x k x k

    

     

      

 

 

       

 





k



+ Trường hợp
6

x  k , do 0 0 1

6 6

x   k    k . Lại có k nên nghiệm dương nhỏ

nhất của phương trình trong trường hợp này là nghiệm
6

x ứng với k0.

+ Trường hợp
2

x  k , do 0 0 1

2 2

x   k    k . Lại có k nên nghiệm dương nhỏ

nhất của phương trình trong trường hợp này là nghiệm
2

x ứng với k0.

Vậy hai nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là:
6
x ;

x và tổng của chúng là 2
3



Câu 60: Gọi S là tổng các nghiệm của phương trình sin 0
cos 1

x

x  trên đoạn



0; 2017



. Tính S .

A. S2035153 . B. S1001000. C. S1017072 . D. S2000200 .

Lời giải

Chọn C

sin 0

sin

0 cos 1 2

cos 1
cos 1

x
x

x x k

x

x 




     

 

  .

Suy ra tập nghiệm là



0; 2 ; 4 ;....2  n,..



Vậy S 



0 2 4 ... 2016   



 2



1 2 ... 1008  



1017072 .

Câu 61: Tìm tổng các nghiệm của phương trình sin 3xcosx0 trên



0;



A. 5



. B.



. C.



. D. 2 .

Lời giải

Chọn D

Ta có:

3 2

2
sin 3 cos 0 sin 3 sin

3
2

3 2

x x k

x x x x

x x l

 



 

   


 

       

     

</div>
(82)<div class='page_container' data-page=82>

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Mà x



0;



nên
0

4
3
0

8 2
k
l

  

    




   



. Do k
l



 

 nên

1
0

k
l
l



 

 


3
4

3 3 3 7

8 4 8 8

7
8

x

x T

x



    



 




      


 


Câu 62: Tìm tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn



0;30 của phương trình



cos3x4cos 2x3cosx 4 0 là

A. 45. B. 121

2  . C.

2 . D. 50.

Lời giải

Chọn D

PT cos3x4cos2x3cosx 4 0





3 2

4 cos x3cos 4 2 cosx x 1 3cosx 4 0

 3 2

4cos x 8cos x 0

     





cos 0
cos 2 (vn)

x
x

+ Với cos 0

x   x  k .Theo giải thiết,



0;30



0 1 30

x k



     1 30 1

2 k  2

     mà



0;1; 2;3; ;9



k  Z k  .

Vậy tổng các nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán là





2 9 5 1 2 9 5 45 50

2 2 2 2

     

      .

Câu 63: Tính tổng S tất cả các nghiệm của phương trình







4 4



2cos 2x5 sin xcos x  3 0 trên
khoảng



0; 2



A. 7

S   . B. 11

S  . C. S4. D. S 5.

Lời giải

Chọn C

Ta có:







4 4









2 2



</div>
(83)<div class='page_container' data-page=83>

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn





2cos 2x 5 cos 2x 3 0 2cos 2x 5cos 2x 3 0

        

cos 2 3

1 2

cos 2 2 2

2 3 3

cos 2
2
x

x x k x k

x
   
 
  

        
 

.

 Với
3

x  k :



0; 2



0 2 1 5, {0;1} ;4

3 3 3 3 3

x     k      k k  k   x  

 .

 Với
3

x  k :



0;2



0 2 1 7,

3 3 3

x    k     k k {1; 2} 2 ;5

3 3

k x   

    

 .

Vậy tổng S 4.

Câu 64: Cho phương trình









2sinx1 3 tanx2sinx  3 4 cos x. Gọi T là tập hợp các 
nghiệm thuộc đoạn



0; 20



của phương trình trên. Tính tổng các phần tử của T .

A. 570

3 . B.

875

3  . C. 
880

3 . D. 
1150

3 .

Lời giải

Chọn B

Điều kiện: ,
2

 

  

x k k Z.

Phương trình đã cho tương đương với









2sinx1 3 tanx2sinx 4sin x1.



2sin 1





3 tan 1



 x x  .

1
sin
2
1
tan
3
 



 

x
x
2
6
5
2
6
6
 
 
 

  



  

  

x k
x k
x k
5
2
6
6
 
 
  

 
  

x k
x k



k



(thỏa mãn điều kiện).

*Trường hợp 1: Với 5 2
6

 

 

x k ,



k



 





0; 20 0 2 20

6


  

    

x k 5 115

12 12



  k . Mà k nên k



0; 1; 2....; 9



 Tổng tất cả các nghiệm thuộc đoạn



0; 20



của họ nghiệm

 

1 là:

9
1
0

5
2
6
 

 
   
 



k

S k 295



 .

*Trường hợp 2: Với
6

 

 

</div>
(84)<div class='page_container' data-page=84>

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

2
0
580
6 3
  

 
   
 



k

S k .

Vậy tổng các phần tử của T là 1 2 875
3
S S  .

Câu 65: Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình

2 3

cos cos 1

cos 2 tan

cos

x x

x

 

  trên đoạn

[1;70]

A. 188. B. 263. C. 363 . D. 365

Lời giải

Chọn D

Ta có điều kiện cos 0 ,
2

x   x  k k .

Phương trình đã cho trở thành:

2 3

2 2

cos cos 1

2cos 1 tan

cos
x x
x x
x
 
   .
2 3

2
2 2

1 cos cos 1

2cos
cos cos
x x
x
x x
 

   4 3 2

2cos x cos x cos x 0

    2 2

cos x(2cos x cosx 1) 0

   
cos 0
cos 1
1
cos
2
x
x
x


 

  





So sánh điều kiện ta có













2 1; 70 0;1; 2;3; 4;5; 6; 7;8;9;10

cos 1

2 1; 70 0;1; 2;3; 4;5; 6; 7;8;9;10
1

3
cos

2 1; 70 1; 2;3; 4;5; 6; 7;8;9;10;11
3

x k k

x

x k k

x

x k k

 
 
 

     
 
 
 
      
  
  
     


Tổng các nghiệm trên đoạn đã cho của họ thứ nhất là:

11( 2.10 )

121
2

S     

Tổng các nghiệm trên đoạn đã cho của họ thứ hai là:

</div>
(85)<div class='page_container' data-page=85>

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Tổng các nghiệm trên đoạn đã cho của họ thứ ba là:

11( 2 2.11 ) 385

3 3

2 3

S

   



 

  

 

Vậy tổng các nghiệm trên đoạn đã cho của phương trình là:

1 2 3 363

SS S S  
.

Câu 66: Tổng các nghiệm của phương trình 4 4 4 5

sin sin sin

4 4 4

x x  x 

    trong khoảng



0; 2



bằng

A. 2 . B. 4 . C.



. D. 3 .

Lời giải

Chọn B

Ta có sin4 sin4 sin4 5

4 4 4

x x x 

   

2 2

2 1 cos 2 1 cos 2

1 cos 2 2 2 5

2 2 2 4

x x

x

 

         

   



       

    

     

   

   



 



1 cos2x 1 sin 2x 1 sin 2x 5

      

2 2

1 2cos2x cos 2x 2 2sin 2x 5

     

2cos2x sin 2x 1

   

2 2

2cos2x 1 sin 2x cos 2x 2cos2x 0

      





cos 2 0

;

cos 2 2 4 2

x k

x k

x

 




    

 

 vô nghiệm .

Theo bài ra ta có 0 2 1 7

4 2 2 2

k

  

       , vì k nên k



0;1; 2;3



Tổng các nghiệm là 3 4

4 4 2 4 4 2

            

Câu 67: Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình
1 tan tan sin cot 4

x

x x x

    

 

  là

A.



 . B.



. C.



. D.



 .

</div>
(86)<div class='page_container' data-page=86>

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

sin sin cos cos

2 2

1 tan tan sin cot 4 sin cot 4

2 cos cos

x x

x

x x x x x

x
x



       

 

 

cos

2 sin cot 4

cos cos
2

x

x x
x

x

   tanxcotx4tan2x4 tanx 1 0

tan 2 3

1
tan 2 3

2 3
x

x

  



    

 



5
12

x k

x l

 

  


 

  


Với hai họ nghiệm trên dễ thấy nghiệm dương nhỏ nhất là
12



; để

được nghiệm âm lớn nhất ta
đều cho k   l 1 được nghiệm âm 7 ; 11

12 12

 

 

khi đó nghiệm âm lớn nhất là 7





Ta có 7

12 12 2

  

   

Câu 68: Tính tổng các nghiệm thuộc



 ;3



của phương trình: sin 2 0
cos 1

x
x  .

A. 8 . B. 9. C. 10. D. 3



Lời giải

Chọn A

ĐK: cosx  1 0 cosx  1 x k2, k .

PT  sin 2 0 2

k

x  xk  x  , k .

Kết hợp với ĐK ta được
2

x  k, x  k2 , k .

Với
2

x  k, mà





 

1 5

;3 2 k 2 k 2 1; 2

x k

k k



  

        

    

   

 

suy ra 3 ;5
2 2
x  

</div>
(87)<div class='page_container' data-page=87>

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Với x  k2, mà





 

2 3 0

;3 k k 2 0;1

x k

k

   

        

    



  

suy ra x



 ;3



Vậy tổng các nghiệm bằng 8 .

Câu 69: Tính tổng T các nghiệm của phương trình 2

cos xsin cosx x2sinxcosx2 trên
khoảng ;5 .

 

 

 

 

A. 15

T   . B. 21

T   . C. T 7. D. 3 .
4

T  

Lời giải

Chọn C

cos xsin cosx x2sinxcosx2

sin x 2sinx 3 cosx sin cosx x 0

      



1 sinx



sinx 3



cosx



1 sinx



     



1 sinx



sinx cosx 3



    

 

sin 1 1

sin cos 3 0 2

x

x x



 

  

 .

 

1 2





x  k  k

   

Vì ;5
2

x 

  nên phương trình có các nghiệm: 1

5
2

x   và 2

9
.
2

x  

 

2 sinxcosx 3 vơ nghiệm vì 2 2

 

1   1 3 .

Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình là: 1 2

5 9
7
2 2

T  x x      .

Câu 70: Tính tổng các nghiệm trên



4 ; 4



của phương trình sin3x3 3sin3 x  2 2 0

A. . B. 2. C. 



. D. 0.

Lời giải
Chọn B

 

3 3

sin x3 3sinx  2 2 0 1

3 3

sin 3sin 3sin 2 3 3sin 2

 x x x  x

Đặt t  33sinx2

, phương trình trở thành sin3x t3 3 sin



x t









2 2



sinx t sin x t.sinx t 3 0

</div>
(88)<div class='page_container' data-page=88>

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

sin 1
sin 2 ( )

x
x L


   

sin 1

 x





,
2
2

x  k  k

Ta có:

4  2 4

   k    7

4
9

4 k
 

Vậy tổng các nghiệm trên



4 ; 4



của

 

1
2
2 2
2
k
k
  

   
 
 



Câu 71: Phương trình 1 1 1

cosxsin 2x sin 4x có tổng các nghiệm trên(0; ) là:

A.



. B.



. C. 2



. D. 

Lời giải

Chọn D

Điều kiện:

cos 0 cos 0 cos 0 sin 1

sin 2 0 sin 0 sin 0 sin 0

sin 4 0 cos 2 0 2 2

sin sin

2 2

x x x x

x x
x x
 
 
    
   
       
   
     
       
 
 

 

2 2
2
2

1 1 1

cos 2 sin cos 4 sin cos cos 2
2 sin cos 2 cos 2 1 0

2 sin (1 2 sin ) 1 2 sin 1 0

2 sin (1 2 sin sin ) 0

sin 1 2

sin 0 6

5
sin

1 2 sin sin 0 2

Pt

x x x x x x

x x x

x l x k

x l

k
x

x x x k

 
 
  
   
     
   

 
   
  
   

  
 
   


Suy ra phương trình có 2 nghiệm trên (0; ) là
6

x và 5
6

x 

Vậy tổng các nghiệm trên(0; ) là: 5
6 6

   

</div>
(89)<div class='page_container' data-page=89>

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Câu 72: Phương trình sin 2 2 cos sin 1 0

tan 3

x x x

x

   

 có bao nhiêu nghiệm trên(0;3 ) ?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4

Lời giải

Chọn B

Điều kiện: cos 0 2

tan 3
3
x k
x
x
x k
 
 
  


 

 
 
    

.





sin 2 2 cos sin 1 0 2sin cos sin 2 cos 1 0

sin 1 2

2
(2 cos 1)(sin 1) 0 1

cos

2
2

Pt x x x x x x x

x x k

x
x k
 

 
         

    
 

      
    
 

Kết hợp điều kiện xác định ta được nghiệm của phương trình là 2
3
x  k 

Vậy phương trình có hai nghiệm thuộc (0;3 ) là
3

x và 7
3
x  .

Câu 73: Gọi S là tổng tất cả các nghiệm thuộc



0; 20



của phương trình 2

2cos xsinx 1 0.
Khi đó giá trị của S bằng:

A. S570 . B. S295 . C. S590 . D. 200

3
S  .

Lời giải

Chọn B

2cos xsinx 1 0 2sin2xsinx 1 0

sin 1
1
sin
2
x
x
 



 

1
2
3
2
2
2
6
5
2

6
x k
x k
x k
 
 
 
   



  

  




k k k1, 2, 3



Do x



0; 20



nên:

0 2 20

6
5

0 2 20

6
k
k
k
  
  
  
    


   


   

1
2
3
1 41
4 4
1 119
12 12
5 115

12 12
k
k
k
  



   

  














1
2
3
1; 2;3;...;10
0;1; 2;...;9
0;1; 2;...;9
k
k
k



 
 


</div>
(90)<div class='page_container' data-page=90>

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold



0; 2



A. 7

T   . B. 21

T   . C. 11

T   . D. 3

4
T   .

Lời giải

Chọn C

Ta có 2 2

cos sin 2 2 cos
2

x x   x

  

2 2

cos xsin 2x 2 sin x

 cos 2xsin 2x 2  cos 2 1
4

x 

  

 

   2x 4 k2

 

  , k



x   k, k

Vì 0 x 2  0 2
8 k

  

     1 17

8 k 8
Vì k nên k

 

1; 2  1 2

7 15

;

8 8

x   x  

Vậy 1 2

11
4

x x   .

Câu 75: Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình 3 cosxsinx1 trên



0; 2



A. 5



. B. 11



. C.



. D. 3



Lời giải

Chọn A

Ta có 3 cos sin 1 cos 1

6 2

x x  x 

 





2
6

2
2

x k

k

x k

 

  


 

   


Do đó các nghiệm trên



0; 2



của phương trình là
6

x , 3
2
x  .

Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình trên



0; 2



bằng 3 5
6 2 3

    

Câu 76: Gọi S là tập hợp các nghiệm thuộc khoảng



0;100



của phương trình

sin cos 3 cos 3

2 2

x x

x

    

 

</div>
(91)<div class='page_container' data-page=91>

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

A. 7400



. B. 7525



. C. 7375



. D. 7550



Lời giải

Chọn C

Ta có

sin cos 3 cos 3

2 2

x x

x

    

 

   1 sinx 3 cosx3sinx 3 cosx2

1 3

sin cos 1

2 x 2 x

   sin 1

x 

 

   

  x 6 k2 ,k

 

    .

Theo đề bài cho ta có 0 x 100 0 2 100
6 k

  

    1 599

12 k 12

   

Mà k  k



0;1;2;3;4,....;48;49



Vậy 2 2 2 ... 49 2

6 6 6 6

S               50 2



1 2 3 4 ... 49



 

      





49 49 1

50 7375

6 2 3

   

   .

Câu 77: Gọi S là tập hợp tất cả các nghiệm thuộc khoảng



0; 2018



của phương trình sau:









3 1 cos 2 x sin 2x4 cosx 8 4 3 1 sin x. Tính tổng tất cả các phần tử của S.

A. 103255. B. 310408

3


. C. 312341

3


. D. 102827.

Lời giải

Chọn B

Ta có 3 1 cos 2



 x



sin 2x4 cosx 8 4



3 1 sin



x

2 3 sin x 2sin cosx x 4cosx 4 3 sinx 4sinx 8 0

      



 



2sinx 3 sinx cosx 2 4 3 sinx cosx 2 0

      









2 sinx 2 3 sinx cosx 2 0

    

3 sinx cosx 2 0

    sin π 1

x

 

   

  x 3 k2

 

   , k .

Vì x



0; 2018



nên 0 2 2018
3 k

 

   1 1009 1

6 k π 6

      k 



0;1; 2;...;321



Suy ra ; 2 ; 2.2 ;...; 321.2

3 3 3 3

S          

 

Vậy tổng tất cả các phần tử của S là 322. 2



1 2 3 ... 321



T         310408



</div>
(92)<div class='page_container' data-page=92>

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Lời giải

Chọn D

Ta có sin 2x4sinx2cosx  4 0 2sin cosx x4sinx2cosx 4 0



 









2sin cos 2 2 cos 2 0 cos 2 sin 1 0

 x x  x   x x 

 





sin 1

2 .

cos 2 2

 




    

 


x

x k k

x VN

Cách 1: Trong đoạn



0;100



, phương trình có các nghiệm

; 2 ; 4 ; 6 ;...; 98

2 2 2 2 2

            

Tổng các nghiệm bằng





2 4 6 ... 98 50. 2 4 6 ... 98 .

2 2 2 2 2 2

          

               

S



2 98 .49



25 . 2475

   

  

S .

Cách 2: Tìm k thỏa mãn 0 2 100 0 49

2 k k

  

     

Bấm máy

49
0

2 2475

2
k

S  k  



 

   

 



Câu 79: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos sin



x



1 trên



0; 2



bằng

A. 0. B. . C. 2 . D. 3 .

Lời giải

Chọn B

Ta có x



0; 2



sinx 



1;1



Khi đó: cos sin



x



 1 sinxk2



k



với 1 k2   1 k 0.

Phương trình trở thành sinx 0 x m x 0
x






    







m



Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos sin



x



1 trên



0; 2



bằng .

Câu 80: Tính tổng S các nghiệm của phương trình







4 4



</div>
(93)<div class='page_container' data-page=93>

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

A. 11

S  . B. S4. C. S 5. D. 7

6
S   .

Lời giải

Chọn B

Ta có:







4 4









2 2



2cos 2x5 sin xcos x   3 0 2cos 2x5 sin xcos x  3 0





2 1

2 cos 2 5 cos 2 3 0 2 cos (2 ) 5cos 2 3 0 cos 2
2

x x x x x

            .





1 5 7 11

cos 2 ; ; ;

2 6 6 6 6 6

x    x  k k  x    

 .

Do đó: 5 7 11 4 .

6 6 6 6

S          .

Câu 81: Cho phương trình 2018 2018



2020 2020



sin xcos x2 sin xcos x . Tính tổng các nghiệm của
phương trình trong khoảng



0; 2018



A.

1285

4 

 

 

  . B.





643  . C.



642



2 . D.

1285

2 

 

 

  .

Lời giải

Chọn D





2018 2018 2020 2020

sin xcos x2 sin xcos x sin2018x



1 2sin 2x



cos2018x



1 2cos 2x



0

2018 2018

sin x.cos 2x cos xcos 2x 0

   cos 22018 0 2018

sin cos
x

x x




  

 .

+ cos 2x0 2
2
x  k

  





4 2
k
x   k

   

 

+ sin2018xcos2018x tan2018x1 (
2

x  k không là nghiệm) tanx 1





x  k k

    

 

2 . Từ

 

1 và

 

2 ta có





4 2
k

x   k là nghiệm của pt.

Do x



0; 2018



0 2018
4 2

k

 

      0 k 1284,k .

Vậy tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng



0; 2018



bằng





.1285 1 2 ... 1284

4 2

      1284.1285

.1285

4 4

 

 

1285

2 

 

   .

</div>
(94)<div class='page_container' data-page=94>

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Ta có cos3xcos 2x9sinx 4 0

3 2

4cos x 3cosx 2sin x 9sinx 5 0

     











cosx 1 4sin x 2sinx 1 sinx 5 0

     



2sinx 1



cosx 2sin cosx x sinx 5



      

 

2sin 1 0 1

sin cos 2sin cos 5 0 2
x

x x x x

 


     



Giải

 

1 , ta có

 

1 6

1 sin

5
2

2
6

x k

x

x k

 

  


   

  



Với x



0;3



nên

 

1 có các nghiệm thoả bài tốn là:
6

x , 13
6

x  , 5
6

x  , 17
6
x  .

Giải

 

2 , đặt sin cos 2 sin
4

t x x x 

  với t  2.
Khi đó t2 1 2sin cosx x2sin cosx x 1 t2;

Phương trình

 

2 trở thành t       1 t2 5 0 t2 t 4 0 phương trình vơ nghiệm.

Vậy tổng các nghiệm là: 13 5 17 6

6 6 6 6

        

DẠNG 6. TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ m ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

CHO TRƯỚC CĨ NGHIỆM.

Câu 83: Tính tổng S tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình
2 cos 2 5

x  m

   

 

  có nghiệm thuộc khoảng

3
;
6 4

 

 

 

 .

A. S  25. B. S  22. C. S 22. D. S 25.

Lời giải

Chọn C

Theo giả thiết, ta có ;3 2 0;7

6 4 3 6

x   x    

   .

Phương trình 2 cos 2 5 cos 2 5

3 3 2

m

x  m x  

       

   

</div>
(95)<div class='page_container' data-page=95>

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Với 2 0;7 1 cos 2 1

3 6 3

x        x 

   

1 1 2 5 2

2
m

m



        

7 m 3 3 m 7

         .

Vì m nên m



4;5;6;7



. Khi đó S    4 5 6 7 22.

Câu 84: Tìm m để phương trình



3cosx4 3cos



x 1 3m



0 có số nghiệm trên đoạn 0;3
2



 

 

 

là lớn nhất.

A. 2 1

3 m 3

   . B. 2 4

3 m 3

   . C. 2 1

3 m 3

   . D. 2 1

3 m 3

   .

Lời giải

Chọn D

Ta có:







 

cos

3
3cos 4 3cos 1 3 0

3 1

cos *

3
x

x x m

m

x
  

     

 




k



Vì phương trình cos 4
3

x  vơ nghiệm nên thỏa mãn u cầu bài tốn khi

 

* có số nghiệm trên
đoạn 0;3



 

 

  nhiều nhất.

Khi đó 1 3 1 0
3
m

   3 3 1 0 2 1

3 3

m  m

        .

Câu 85: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình 2









sin x2 m1 sinx3m m2 0 có
nghiệm
A. 
1 1
2 2
1 2
m
m
  


 


. B.

1 1
3 3
1 3
m

m
  


 


. C. 2 1

0 1
m
m
   

  

 . D.

1 1
3 4
m
m
  

  
 .
Lời giải
Chọn B

Đặt tsinx,   1 t 1.

Phương trình trở thành 2









2 1 3 2 0

t  m t m m  3
2
t m
t m
 

   
 .

Phương trình có nghiệm 1 3 1

1 2 1

m
m
   

    

1 1
3 3
1 3
m
m
  




 

.

Câu 86: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình cos2x



2m1



cosx  m 1 0 có đúng
hai nghiệm trên đoạn ;

2 2

 

 

 

</div>
(96)<div class='page_container' data-page=96>

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Ta có cos2x



2m1



cosx  m 1 02cos2x



2m1 cos



x m 0

1
cos

2
cos

x
x m

  









Với ;
2 2

x   

  thì 0cosx1.

Suy ra cos 1
2

x  khơng thỏa bài tốn.

Phương trình đã cho có 2 nghiệm trên đoạn ;
2 2

 

 

 

   0 cosx1  0 m 1.

Câu 87: Cho phương trình 2









2sin x m1 sin 2x m6 cos x1. Có bao nhiêu giá trị ngun
của tham số m để phương trình vơ nghiệm?

A. 4. B. 6. C. 5. D. 2.

Lời giải

Chọn A

















2 2 1 cos 2

2sin 1 sin 2 6 cos 1 1 cos 2 1 sin 2 6 1

2
x

x m x m x   x m x m  











2 2cos 2x 2 m 1 sin 2x m 6 1 cos 2x 2

       



m 4 cos 2



x 2



m 1 sin 2



x



m 6



       .

Phương trình vơ nghiệm







 



2 2





4 4 1 6 4 12 16 0 1; 4

m m m m m m

             .

Vậy có 4 giá trị nguyên của tham số m để phương trình vơ nghiệm.

Câu 88: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2

2cos x4 sin cosm x xm có
nghiệm:

A. 2

m  . B. 2

m  hoặc m 0.

C. 2 0
3 m

   . D. m0.

Lời giải

Chọn B

Ta có

</div>
(97)<div class='page_container' data-page=97>

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Phương trình cos 2x 2 sin 2m x m 1 có nghiệm 2





1 4m m 1

    2 2

3 2 0

m m m

     

hoặcm0.

Câu 89: Số các giá trị nguyên m để phương trình
4m4.sin .cosx x m2.cos 2x 3m9 có nghiệm là

A. 7. B. 6. C. 5. D. 4

Lời giải

Chọn D

Điều kiện xác định:

4 4 0 1

2 0 2 3.

3 9 0 3

  

 

      

 

    

 

m m

m m m

m m

4m4.sin .cosx x m2.cos 2x 3m9





1. 2sin .cos 2.cos 2 3 9

m x x m x m

     

1.sin 2 2.cos 2 3 9

m x m x m

     

Phương trình có nghiệm khi



m1

 

2 m2

 

2 3m9



2     m 1 m 2 3m9 m 6.
Kết hợp điều kiện ta được 3 m 6.

Mà m nên m



3; 4;5;6



Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 90: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3 cosx m  1 0 có
nghiệm?

A. 1.. B. 2.. C. 3.. D. Vơ số.

Lời giải

Chọn C

Ta có 3 cos 1 0 cos 1

m

x   m x  .

Phương trình có nghiệm 1 1 1
3

m


     1 3  m 1 3.

Vì m nên m



0;1; 2 .



Vậy có tất cả 3 giá trị nguyên của tham số m.

Câu 91: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình



m1 sin



x  2 m 0 có nghiệm.

A. m 1.. B. 1.
2

m . C. 1 1.
2

m

   . D. m 1.

</div>
(98)<div class='page_container' data-page=98>

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Để phương trình có nghiệm 1 2 1
1
m
m

   

2
0 1
1
2

1 0
1
m
m
m
m

  
 
  
  
 

2 1
0
1
3
0
1
m
m
m

 
 
 
 
 

2

1
1
m
m
m
 


   


  

1
2
m
 
.

Câu 92: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3 cosx m  1 0 có
nghiệm?

A. 1.. B. 2.. C. 3.. D. Vô số.

Lời giải

Chọn C

Ta có 3 cos 1 0 cos 1
3

m

x   m x  .

Phương trình có nghiệm 1 1 1
3

m


     1 3  m 1 3.

Vì m nên m



0;1; 2 .



Vậy có tất cả 3 giá trị nguyên của tham số m.

Câu 93: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình



m1 sin



x  2 m 0 có nghiệm.

A. m 1.. B. 1.
2

m . C. 1 1.
2

m

   . D. m 1.

Lời giải

Chọn B

Phương trình



m1 sin



x  2 m 0



m1 sin



x m 2 sin 2.
1
m
x
m

 


Để phương trình có nghiệm 1 2 1
1
m
m

   

2
0 1
1
2
1 0
1
m
m
m
m

  
 

  
  
 

2 1
0
1
3
0
1
m
m
m

 
 
 
 
 

1
2
1
1
m
m
m
 



   


  

1
2
m
 
.

DẠNG 7. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

7.1. Tìm GTLN, GTNN sử dụng điều kiện  1 sin ,cosx x1.

Câu 94: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sin sin 2
3

A x x 

 

A. 1. B. 0. C. 2. D. 3

</div>
(99)<div class='page_container' data-page=99>

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Lời giải

Chọn A

Ta có sin sin 2 2sin cos sin

3 3 3 3

A x x   x    x

     

1 sin 1 1 1,

x  A x



          

 

Vậy min 1 khi sin 1 5 2 ,

3 6

x x x k k

  






          

  .

Câu 95: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 4 4

sin cos

A x x

A. 1. B. 0. C. 2. D. 1

2 .

Lời giải

Chọn A

Ta có 4 4 1 2

sin cos 1 sin 2

A x x  x

2 1 1 2

0 sin 2 1 1 sin 2 1,

2 2

x x x

       

Vậy 2

max 1 khi sin 1 cos 0 ,

x x x x k k

 

         .

Câu 96: Tập giá trị của hàm số ysin 2x 3 cos 2x1 là đoạn

 

a b; . Tính tổng T  a b.

A. T1. B. T2. C. T 0. D. T 1.

Lời giải

Chọn B

Cách 1: ysin 2x 3 cos 2x 1 sin 2x 3 cos 2x y 1

Để phương trình trên có nghiệm thì 2

 





2 2

1  3  y1  y 2y     3 0 1 y 3.

Suy ra y 



1;3



. Vậy T   1 3 2.

Cách 2: sin 2 3 cos 2 1 2sin 2 1
3

y x x   x

 

Do sin 2



1;1



x 

   

 

  nên 2sin 2x 3 1



1;3



 

    

 

  .

Vậy   1 y 3.( Ta thấy y 1 khi sin 2 1

x  

   

 

  ,y3 khi sin 2x 3 1



  

 

</div>
(100)<div class='page_container' data-page=100>

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

A. t 22 h

 

. B. t 15 h

 

. C. t 14 h

 

. D. t 10 h

 

Lời giải

Chọn D

Ta có: 1 cos 1
6t 3

  



    

    9 h 15. Do đó mực nước cao nhất của kênh là 15m đạt được khi

cos 1

6t 3

 

  

 

  6t 3 k2

  

      t 2 12k

Vì t0   2 12k0 1

k

  . Chọn số k nguyên dương nhỏ nhất thoả 1
6

k là k   1 t 10.

Câu 98: Gọi M và N lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số





1 2cos 2 3 sin cos

y   x  x x trên . Biểu thức M N 2 có giá trị bằng

A. 0. B. 4 2 3. C. 2. D. 2 32.

Lời giải

Chọn C

Ta có y  1 2cosx



2 3 sin



xcosx  1 2 2



 3 sin cos



x x2cos2x









2 3 sin 2x 2cos x 1

    



2 3 sin 2



xcos 2x





6 2 1

6 2 sin 2 cos 2

4 x 6 2 x

  

    



  



6 2 sin 2x









(với 6 2 cos

4 



 ; 1 sin

6 2  )

Suy ra  6 2  y 6 2. Do đó maxy 6 2M ; miny  6 2 N .
Vậy M  N 2 2.

Câu 99: Số giờ có ánh sáng của một thành phố X ở vĩ độ 40 bắc trong ngày thứ t của một năm
không nhuận được cho bởi hàm số:

 

3sin





182

d t    t 

  , t và 0 t 365.
Vào ngày nào trong năm thì thành phố X có nhiều giờ ánh sáng nhất?

A. 262. B. 353. C. 80. D. 171.

</div>
(101)<div class='page_container' data-page=101>

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Ta có:

 

3sin





12
182

d t    t 

   3 12 15
Dấu bằng xảy ra khi sin





182 t



  

 

  182



t 80



2 k2



k



  

    

t k

   .

Mặt khác t



0;365



nên    k 365 171 194
364 k 364

    .

Mà k nên k 0.
Vậy t171.

Câu 100: Hàm số y2cos3x3sin3x2 có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?

A. 7. B. 3. C. 5. D. 6.

Lời giải
Chọn A

TXD: D

2cos3 3sin3 2

y x x 13 2 cos3 3 sin 3 2

13 x 13 x




   

 

3
13 sin 3 arccos 2

y  x 

    

 

Để hàm số y có giá trị nguyên 13 sin 3 arccos 3
13

x 



   

  nguyên

+ sin 3 arccos 3

13 13
n

x 



   

  (với n là một số nguyên)

Mà: sin 3 arccos 3



1;1



x 

   

 

  1 13 1 13 13

n

       

Mà: n  n



0; 1; 2  3



 y có 7 giá trị nguyên.

Câu 101: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau 2 2

2sin cos 2
y x x.

A. maxy4,min 3
4

y . B. maxy3,miny2.

C. maxy4,miny2. D. maxy3,min 3
4
y .

Lời giải

Chọn D

Đặt tsin2x, 0  t 1 cos2x 1 2t.





2 2 1 2 3

2 1 2 4 2 1 2

2 4

y t t t t  t 

          

</div>
(102)<div class='page_container' data-page=102>

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Ta có: y

 

0 1; 1 3

4 4

y 

  ; y

 

1 3.

Vậy maxy3 đạt được khi
2

x  k .

3
min

y đạt được khi 2 1 1 cos 2 1 1

sin cos 2

4 2 4 2

x

x     x 2 2

x  k 

   

x  k

    .

Câu 102: Gọi M và m lần lượt là GTLN và GTNN của hàm số ysin4xcos4xsin 2x. Tổng
Mmlà

A. 3

2


. B. 1

 . C. 3

2 . D. 1.

Lời giải

Chọn D

Ta có: 4 4 1 2 1 2

sin cos sin 2 1 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 1

2 2

y x x x  x x  x x

Đặt tsin 2x



  1 t 1



1
2

y  t  t



  1 t 1



là parabol có đỉnh ;
2a 2a

b b

I y 

 

 .





1; 1 1;1

I  t

     

 

 

1
2

y    ;

 

1 3

y  . Suy ra 3; 1

2 2

M  m  .
Vậy M m 1.

7.2. Tìm GTLN, GTNN dạng yasinxbcosxc.

Câu 103: Cho hàm số sin 2cos

sin cos 3

x x

y

x x




  . Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
của hàm số đã cho. Tính 7m5M bằng?

A. 10. B. 1. C. 0. D. 10.

Lời giải

Chọn D

TXĐ: D

Ta có: sin 2cos

sin cos 3

x x

y

x x




   



1 y



sinx



y2 cos



x3y

 

1
Phương trình

 

1 có nghiệm



 



2 2

1 y y 2 9y

</div>
(103)<div class='page_container' data-page=103>

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

2 5 5

7 2 5 0 1 ; 1

7 7

y y y m M

           

Vậy 7m5M     5 5 10.

Câu 104: Hàm số





4 4

3sin 4 4 sin cos
2cos 2 sin 4 2

x x x

y

x x

 



  có giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m. Khi

đó tổng Mm bằng?

A. 0. B. 5

 . C. 10

 . D. 3

Lời giải

Chọn C

TXĐ: D

Ta có:



4 4





2 2



3sin 4x4 sin xcos x 3sin 4x4 1 2sin xcos x 2sin 2x3sin 4x4

3sin 4x cos4x 3

   .

Xét mẫu thưc: 2

2cos 2xsin 4x 2 cos4xsin 4x3

Suy ra





4 4

3sin 4 4 sin cos 3sin 4x cos 4x 3
2cos 2 sin 4 2 cos 4 sin 4x 3

x x x

y

x x x

   

 

   



3 y



sinx



y 1 cos



x 3y 3 2

 

     

Phương trình

 

2 có nghiệm 



3 y

 

2  y1

 

2  3y3



2 5 4 2 5 4 2

7 10 1 0

7 7

y y   y  

       10

m M

    .

Câu 105: Giá trị lớn nhất M , giá trị nhỏ nhất m của hàm số: 2

2cos 2 3sin cos 1

y x x x là

A. M 4;m0. B. M 3;m0. C. M 3;m1. D. M4;m1.

Lời giải

Chọn A

Tập xác định D .

Ta có 2

2cos 2 3sin cos 1

y x x x cos 2x 3sin 2x2 *

 

2 1cos 2 3sin 2 2

2 x 2 x




   

 

2cos 2 2

x  


   

  .

Mặt khác 0 2cos 2 2 4,
3

x  x


      

      0 y 4, x .

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là M 4 khi
6

</div>
(104)<div class='page_container' data-page=104>

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

của hàm số. Tổng Mm bằng

A. 1. B. 2. C. 1. D. 2.

Lời giải

Chọn C

Tập xác định D (do sinxcosx 2 0;  x ).
Xét phương trình: sin 2 cos 1

sin cos 2

x x

y

x x

 



   



1 y



sinx



2 y



cosx 1 2y0 *

 

Phương trình

 

* có nghiệm  



1 y

 

2  2y

 

2  1 2y



2 y2      y 2 0 2 y 1.
Vậy M 1;m  2 M  m 1.

Câu 107: Giá trị lớn nhất của hàm số cos 2sin 3
2cos sin 4

x x

y

x x

 



  là

A. 3 2 3 . B. 2. C. 1. D. 0.

Lời giải

Chọn B

Xét phương trình: 2cosxsinx 4 0

 

* .
Ta có : 2

 

2 2

2  1 4 nên phương trình

 

* vơ nghiệm, hay 2cosxsinx   4 0, x .

Do đó, hàm số đã cho có tập xác định D .
cos 2sin 3

2cos sin 4

x x

y

x x

 



  



2y1 cos



x



y2 sin



x 3 4y

 

* * .

Để tồn tại giá trị lớn nhất của hàm số ban đầu thì phương trình

 

* * phải có nghiệm



 



2 2 2

2 1 2 4 3 11 24 4 0 2

y y y y y y

             .

Vậy GTLN của hàm số đã cho là 2.

Câu 108: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số sin 1

cos 2

m x
y

x




nhỏ hơn 2.

A. 4. B. 6. C. 5. D. 3.

Lời giải

Chọn C

</div>
(105)<div class='page_container' data-page=105>

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

Ta có sin 1 cos 2 sin 1 sin cos 2 1

cos 2

m x

y y x y m x m x y x y

x


        



 

* có nghiệm khi 2 2





2 2 2

2 1 3 4 1 0

m y  y  y  y m 

2 2

2 1 3 2 1 3

3 3

m m

y

   

   2 2 2

max

2 1 3

2 1 3 4 5

3
m

y   m m

       

Do m    m



2; 1;0;2;1



. Vậy có 5 giá trị của m thỏa ycbt.

Câu 109: Giả sử M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số sin 2cos 1

sin cos 2

x x

y

x x

 



 

trên . Tìm 2M3m

A. 1 2. B. 0. C. 1. D. 8

Lời giải

Chọn D

Ta có: sin cos 0 2 sin 2 n
4

2 si 2

x x

x x          

   

  (vơ nghiệm).

Do đó, hàm số đã cho có tập xác định D .

Ta có sin 2cos 1

sin cos 2

x x

y

x x

 



  



y1 sin



x



y2 cos



x 1 2y

 

* .

Hàm số đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất khi

 

* có nghiệm  



1 2y

 

2  y1

 

2 y2



2y 2y 4 0

       2 y 1. Do đó m 2, M 1. Vậy 2M3m8.

Câu 110: Gọi M, m tương ứng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2sin 2
cos 2

x
y

x




 .

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. 3mM 8. B. 3mM  8. C. 3mM 0. D. 3 8
3

mM  

Lời giải
Chọn B

Dễ thấy cosx  2, x nên hàm số có tập xác định là D

Ta có 2sin 2 .cos 2sin 2 2
cos 2

x

y y x x y

x


    



 

* .

Để tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ban đầu thì phương trình

 

* phải có

nghiệm 2





2 2 8

4 2 2 3 8 0 0

y y y y y

           . Do đó

M

m




  

 .

Vậy 3mM  8.

Câu 111: Tập giá trị của hàm số ysin 2x 3 cos 2x1 là đoạn  a b; . Tính tổng T  a b.

</div>
(106)<div class='page_container' data-page=106>

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Để tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ban đầu thì phương trình

 

* phải có
nghiệm thì 2

 





2 2

1  3  y1  y 2y     3 0 1 y 3.

Suy ra y 



1;3



. Vậy T   1 3 2.

Cách 2: Ta có y 1 sin 2x 3 cos 2 .x Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopskii ta có





2













2 2

1 sin 2 3 os2 1 3 sin 2 os 2 4 2 1 2 1 3.

y  x c x   xc x          y y

Vậy T    1 3 2.

Cách 3: sin 2 3 cos 2 1 2sin 2 1
3

y x x   x

 

Do sin 2



1;1



x 

   

 

  nên 2sin 2x 3 1



1;3



 

    

 

  .

Vậy   1 y 3.

Câu 112: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y3sinx4cosx1.

A. maxy6, miny 4. B. maxy8, miny 6.

C. maxy4, miny 6. D. maxy6, miny 8.

Lời giải

Chọn C

Ta có y3sinx4cosx 1 3sinx4cosx y 1

 

Ta coi

 

* như là phương trình cổ điển với a3, b4, c y 1.
Phương trình

 

* có nghiệm khi và chỉ khi 2 2 2





9 16 1 6 4

a b c    y    y .

Vậy maxy4, miny 6.
Chú ý:

Ta có thể áp dụng bất đẳng thức BCS như sau:



2 2



2 2



1 3sin 4cos 3 4 sin cos 5

y  x x   x x  .

7.3. Tìm GTLN, GTNN sử dụng bất đẳng thức cổ điển.

Câu 113: Cho hàm số 2 2

1 2sin 1 2cos 1.

</div>
(107)<div class='page_container' data-page=107>

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

A. 32 2. B. 3 2 1 . C. 32 2 1 . D.  33 2 1 .

Lời giải

Chọn C

Đặt t 1 2sin 2x  1 2cos 2x



 









2 2 2 2 2 2

1 2sin 1 2cos 2 1 2sin 1 2cos 4 2 3 sin 2

t x x x x x

          

4 2 3 sin 2 4 2 3 1 3

t x

       

2 2

1 2sin 1 2cos 1 3

y x x

       .

Dấu '''' xảy ra khi sin 2 0

2
k

x  x  . Khi đó m 3.

Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta có







2 2 2 2 2 2

1 2sin x 1 2cos x  1 1 1 2sin x 1 2cos x 2 2

2 2

1 2sin 1 2cos 1 2 2 1.

y x x

       

Dấu '''' xảy ra khi 2 2 4

sin cos

x k

x x k

x k

 

   


  

  


. Khi đó M 2 2 1 .

Vậy M m 32 2 1 .

Câu 114: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 2sin 3cos 1

sin cos 2

x x

y

x x

 



 

A. 3 33

2


. B. 3 33

2


. C. 3. D. 1

2 .

Lời giải

Chọn A

Ta có 2sin 3cos 1



2 sin





3 cos



1 2

sin cos 2

x x

y y x y x y

x x

 

      

  .















 





2 2



1 2 y  y2 sinx y3 cosx  y2  y3  sin xcos x

2y 6y 12 0

   

3 33 3 33

2 y 2

 

   .

Câu 115: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số

 

2018 2018

sin cos

f x  x x lần lượt là

A. 10081

2 và 2. B. 1009
1

2 và 1. C. 0 và 1. D. 1008
1

</div>
(108)<div class='page_container' data-page=108>

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

2018 2018 2 2

sin xcos xsin xcos x1. Dấu "" xảy ra .
2

x k
 

1009

1009 1009

2018 2018

1008

sin cos 2. 2 .

2 2 2

a b a b

x x       

 

  Dấu "" xảy ra x 4 k 2.

 

  

Vậy giá trị nhỏ nhất bằng 10081 ;

2 giá trị lớn nhất bằng 1.

Câu 116: Cho x, y là các số thực thỏa mãn cos2xcos 2y1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2

tan tan

P x y bằng

A. 1

3. B.

3 . D.

3. C. 3.

Lời giải

Chọn B

Ta có 12 1 12 1 2 1 1 2.

cos cos 1 cos 2 1 cos 2
P

x y x y

 

 




        

 

     

Áp dụng BĐT cộng mẫu, ta được





1 1 4 2

2 2 2. 2 .

2 cos 2 cos 2 2 1 3

P

x y



 

     

  

  .

Câu 117: Cho hai số thực x y, thuộc 0;
2

 


 

  và thỏa mãn cos 2xcos 2y2sin



x y



2. Giá trị

nhỏ nhất của

4 4

cos x cos y
P

y x

 

bằng

A. 2

3 . B.

 . C.

 . D.

 .

Lời giải

Chọn C

Ta có





2 2





cos 2xcos 2y2sin xy  2 sin xsin ysin xy .

Suy ra .

2
x y 

Áp dụng BĐT cộng mẫu





2 2

,
a b
a b

m n m n



 

</div>
(109)<div class='page_container' data-page=109>

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn





2 2 2

2 2 2

2 2 cos cos

cos sin

cos cos 2 2

x x

x y

P

x y x y x y



    
 
    
     
   
  

Dấu '''' xảy ra .
4

x y 
  

Nhận xét. Việc suy ra

x y  được chứng minh như sau:

Với , 0;
2

x y  

  suy ra 2 x, 2 y

   

cùng thuộc 0; .
2

 


 

 

Trên đoạn 0; ,
2



 

 

  hàm ysinx đồng biến.

Nếu

sin sin cos

2 2

sin sin cos

2 2

x y x y y

x y

y x y x x

 

 
       
 
  
   


       
  






2 2

sin x sin y sin .sinx x sin .siny y sin .cosx y sin .cosy x sin x y :

        mâu thuẫn.

Tương tự cho .
2

x y 

Trường hợp :
2

x y  thỏa mãn.

Câu 118: Cho , , a b c là các số thực thỏa mãn 2 2 2

a b c  Tìm giá trị lớn nhất M trong tất cả
các hàm số y a b sinx c cosx với 0; .

x 

 

A. M  1 2. B. M  1 2. C. M 2 1 2 . D. M 2 1



 2 .



Lời giải

Chọn C

Ta có







2 2 2







sin cos 1 sin cos

ab x c x  a b c  x x





4 1 2 sin 4 1 2 .
4
x 
  
      
 
 

Suy ra ab sinxc cosx 2 1 2 .

Dấu '''' xảy ra 2 2 2

sin cos
4

sin 1, 0;

4 4

b c

a

x x

a b c

x  x 

  


   
    
     
    

4

2 2 2

;

2 2 2 2 .

a b c

</div>
(110)<div class='page_container' data-page=110>

h

ttp

s://

lu

ye

n

th

it

ra

cn

gh

ie

m.vn

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

Chọn B

Ta có y 1 sin 2x 3 cos 2 .x Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopskii ta có





2













2 2

1 sin 2 3 os2 1 3 sin 2 os 2 4 2 1 2 1 3

y  x c x   xc x          y y .

</div>

Tài liệu tự học hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

<b>h</b>

<b>ttp</b>

<b>s://</b>

<b>lu</b>

<b>ye</b>

<b>n</b>

<b>th</b>

<b>it</b>

<b>ra</b>

<b>cn</b>

<b>gh</b>

<b>ie</b>

<b>m.vn</b>

MỤC LỤC

<b>PHẦN 1 – ĐỀ BÀI ... 2 </b>

<b>PHẦN 2: BẢNG ĐÁP ÁN ... 50</b>

<b>PHẦN 3: ĐÁP ÁN CHI TIẾT ... 51</b>

<b>h</b>

<b>ttp</b>

<b>s://</b>

<b>lu</b>

<b>ye</b>

<b>n</b>

<b>th</b>

<b>it</b>

<b>ra</b>

<b>cn</b>

<b>gh</b>

<b>ie</b>

<b>m.vn</b>

ht

tps://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

http

s://www

.fa

ceboo

k.com

/viet

gold

<b>h</b>

<b>ttp</b>

<b>s://</b>

<b>lu</b>

<b>ye</b>

<b>n</b>

<b>th</b>

<b>it</b>

<b>ra</b>

<b>cn</b>

<b>gh</b>

<b>ie</b>

<b>m.vn</b>

<b>PHẦN 1 – ĐỀ BÀI </b>

 

<b>h</b>

<b>ttp</b>

<b>s://</b>

<b>lu</b>

<b>ye</b>

<b>n</b>

<b>th</b>

<b>it</b>

<b>ra</b>

<b>cn</b>

<b>gh</b>

<b>ie</b>

<b>m.vn</b>

ht