Tài liệu Chủ đề hàm số lượn giác doc

Chủ đề HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.
Bài 1. Tìm tập xác định của hàm số.
a. .
y=f(x)=x.Cos3x
b.
1+Cosx
y=f(x)=
Cosx
.
c.
1+Cosx
y=f(x)=
1-Cosx
.
d.
2
1+Cos x
y=f(x)=
1+Cosx
.
Bài giải.
a. f(x) có nghĩa với mọi x thuộc R. Nên tập xác định D=R.
b. f(x) có nghĩa khi Cosx ≠0, suy ra
π
x+k2π, k Z
2
≠ ∈
. Nên tập xác định là
π
D=R\ +k2π,k Z
2

⎧⎫
∈
⎨⎬
⎩⎭
.
c. f(x) có nghĩa khi 1-Cosx≠0
osx 1 x k2 , CkZ
π
⇔ ≠⇔ ≠ ∈
. Nên tập xác định
là
{ }
D=R\ k2π,k Z∈
.
d. f(x) có nghĩa khi 1+Cosx≠0
osx 1 x k2 , CkZ
π π
⇔ ≠− ⇔ ≠ + ∈
. Nên tập xác
định là
{}
D=R\ +k2π,k Z
π
∈
.
Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
- Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y=f(x) trên D
00
,()
,()

x Dfx M
x Dfx M
∀∈ ≤
⎧
⇔
⎨
∃∈ =
⎩
.
- Số m dược gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x) trên D
00
,()
,()
x Dfx m
x Dfx m
∀∈ ≥
⎧
⇔
⎨
∃∈ =
⎩

a. y=f(x)=2+3Cosx.
b. y=f(x)=3-4Sin
2
x.Cos
2
x.
c. y=f(x)=2.Sin
2

x-2Cos2x.
Bài giải.
Trang 1


a. .
1 osx 1 3 3. osx 3 1 2 3. osx 5CC C−≤ ≤ ⇒−≤ ≤ ⇔−≤ + ≤
k
+
23.osx 1 2Cx
π π
+=−⇔=+
. Suy ra
() ( 2) 1
R
Min f x f k
π π
= +=−
k
.
+
23.osx5 2Cx
π
+=⇔=
. Suy ra
ax ( ) ( 2 ) 5
R
Mfx fk
π
= =

.
b. y=f(x)=3-Sin
2
2x.
22
0210 21332Sinx Sinx Sinx≤≤⇔≥−≥−⇔≥−
2
2≥
.
+
2
322
42
Sin x x k
π π
−=⇔=+
. Suy ra
() 2
42
R
Min f x f k
ππ
⎛⎞
= +=
⎜⎟
⎝⎠

+
2
323

2
Sin x x k
π
−=⇔=
. Suy ra
ax ( ) 3
2
R
Mfx fk
π
⎛⎞
= =
⎜⎟
⎝⎠
.

c. y=f(x)=1-3Cos2x
1 os2x 1 3 3. os2x -3 4 1 3. os2x -2CC C−≤ ≤⇔ ≥− ≥ ⇔ ≥− ≥
.
+
13.os2x=-2 x=kC
π
−⇔
. Suy ra
( )
() 2
R
Min f x f k
π
= =−

.
+
13.os2x=4 x= +k
2
C
π
π
−⇔
. Suy ra
ax ( ) 4
2
R
Mfx f k
π
π
⎛⎞
= +=
⎜⎟
⎝⎠
.

Chủ đề PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
* Dạng cơ bản.
-
Sinx=
x= +k2
Sin
x= - +k2
α π
⎡

α⇔
⎢
π απ
⎣

-
x= +k2
Cosx=Cos
x=- +k2
απ
⎡
α⇔
⎢
απ
⎣
-
Tanx=Tan x= +kα⇔ α π
-
Cotx=Cot x= +kα⇔ α π
Bài 1. Giải các phương trình
a.
3
Sinx=-
2
.
b. Sin2x = -1.
c.
2
1
Sin x=

4
.
Bài giải.
2
3
3
Sinx=Sin
4
23 3
22
33
xk
Sin
Trang 2

a.
x kk
π
π
ππ
ππ
π ππ
⎡
=− +
⎢
⎛⎞ ⎛⎞
−= −⇒ −⇒
⎢
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠

⎢
=+ + = +
⎢
⎣

b.
3
33
4
1Sin2x=Sin
22
4
x k
Sin
x k
π
π
ππ
π
π
⎡
=+
⎢
⎛⎞ ⎛⎞
−= ⇒ ⇒
⎢
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎢
=− +

⎢
⎣

c.
2
1
inx=
1
6
2
Sin x=
15
4
inx=-
26
x k
S
Sx
π
k
π
π
π
⎡
⎡
=+
⎢
⎢
⇔⇔
⎢

⎢
⎢
⎢
=+
⎢
⎢
⎣
⎣

Bài 2. Giải các phương trình:
a.
Sinx
=0
Cosx-1
.
b. Cos3x-Sin2x=0.
Bài giải.
a. Điều kiện
xk2π≠

Sinx
=0 Sinx=0 x=k
Cosx-1
π
⇔⇔
.
Mà nên nghiệm là
xk2π≠ x= +k2π
π
.

b.
2
10 5
os3x=Sin2x=Cos 2
2
2
2
xk
Cx
x k
π π
π
π
π
⎡
=+
⎢
⎛⎞
−⇔
⎢
⎜⎟
⎝⎠
⎢
=− +
⎢
⎣
.
Bài 3. Giải các phương trình.
a. Sin 3x + Sin5x =0.
b. tanx.tan2x=-1 .

Bài giải.
a.
4
Sin3x=-Sin5x=Sin(-5x)
2
xk
x k
π
π
π
⎡
=
⎢
⇔
⎢
⎢
=− +
⎢
⎣
.
b. Điều kiện
2
42
x k
x k
π
π
π π
⎧
≠+

⎪
⎪
⎨
⎪
≠+
⎪
⎩


-1
tanx.tan2x=-1 tanx= 2
tan2x 2
Cot x x k
π
π
⇔=−⇔=+
.
Mà
2
x k
π
π
≠+
nên phương trình vô nghiệm.
* Dạng: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a. Sinx+Cos
2
x=1.
b.

1
4.Sinx=
Sinx
.
Bài giải.
Trang 3

a.
()
2
inx=0
inx+Cos 1 inx 1-Sinx 0
Sinx=1
2
2
xk
S
SxS
k
π
π
x
π
=
⎡
⎡
⎢
=⇔ = ⇔ ⇔
⎢
⎢

=+
⎣
⎣
.
b. Điều kiện
0Sinx x k
π
≠ ⇔≠
.
2
1
inx=
11
6
2
4.Sinx= Sin x=
15
Sinx 4
inx=-
26
x k
S
Sx
π
k
π
π
π
⎡
⎡

=+
⎢
⎢
⇔⇔ ⇔
⎢
⎢
⎢
⎢
=+
⎢
⎢
⎣
⎣
.
Bài 2. Giải các phương trình sau:
a. 2.Sin
2
x-5Sinx+3=0.
b. 2.Sin
2
x-3Cosx=0
Bài giải.
a. Đặt
t=sinx, t 1.≤

Ta có phương trình theo t: 2t
2
-5t+3=0
1
2

t=1
3
t=
2
⎡
⎢
⇒
⎢
⎣
.
t
2
loại, với t
1
=1 ta có
2
2
x k
π
π
=+
.
b. 2.Sin
2
x-3.Cosx=0 ta suy ra 2Cos
2
x+3Cosx-2=0.
Đặt t=Cosx, điều kiện |t|≤1. ta có phương trình theo t là: 2.t
2
+3t-2=0. Giải ra được

t=-2
1
t=
2
⎡
⎢
⎢
⎣
.
Ta nhận
2
1
3
2
2
3
xk
t
x k
π
π
π
π
⎡
=+
⎢
=⇒
⎢
⎢
=− +

⎢
⎣

* Dạng: Phương trình bậc nhất đối với sin và cos.
- Cách giải:
Trang 4

22 22 22
bc
.sinx+bcosx=c .sinx+ cosx=
a
a
ab ab ab
⇔
+++
.
Đặt
22 22
os ;
ab
CSin
ab ab
α α
==
++
.
Ta có phương trình cơ bản
22
c
sinx.cos +cosx.sin =

ab
αα
+
⇔
()
22
Sin x+ =
c
ab
α
+
.
- Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a.
3.Sin2x-Cos2x=1
.
b.
Cos2x- 3Sin2x= 2
.
c.
Cos2x-Sin2x= 2
.
d.
Cos2x- 3Sin2x=1
.
e.
3Cosx+3Sinx=3

Bài giải.
a.

22
a= 3;b=1;c=1
a+b=2
31
Sin2x- Cos2x=
22
1
2

π
x= +kπ
π 1 π
6
Sin 2x- = =Sin
π
62 6
x= +kπ
2
⎡
⎢
⎛⎞ ⎛⎞
⇔
⎢
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎢
⎢
⎣
.
b.

22
a=1;b= 3;c= 2
a+b=2
13
Cos2x- Sin2x=
22
3
2

π
x=- -kπ
π 2 π
24
Sin -2x = =Sin
7π
624
x=- -kπ
24
⎡
⎢
⎛⎞ ⎛⎞
⇔
⎢
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎢
⎢
⎣

c.

22
a=1;-b=1;c= 2
a+b= 2
11
Cos2x- Sin2x=1
22

ππ
Sin -2x =1=Sin x= +kπ
42
⎛⎞ ⎛⎞
⇔
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
π
8

d.
22
a=1;b= 3;c=1
a+b=2
13
Cos2x- Sin2x=
22
1
2

x=kπ
π 1 π
Sin -2x = =Sin

626
x=-
3
k
π
π
⎡
⎛⎞ ⎛⎞
⎢
⇔
⎜⎟ ⎜⎟
⎢
+
⎝⎠ ⎝⎠
⎣

e.
Đưa về dạng
Cosx+ 3Sinx= 3

22
a=1;b= 3;c= 3
a+b=2
13
Cos2x+ Sin2x=
22
3
2

Trang 5

x= +k2π
π 3 π
6
Sin +x = =Sin
62 3
x= k2
2
π
π
π
⎡
⎢
⎛⎞ ⎛⎞
⇔
⎢
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎢
+
⎢
⎣

Chú ý.
Các phương trình sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tổng thành tích, tích thành
tổng và hạ bậc công thức biến đổi tổng thành tích, tích thàng tổng, hạ bậc
•

•

•

•

•

•

•

•

•

Áp dụng các công thức ở trên giải các phương trình sau đây:
a.
pt

( vì )




b.
pt

c.



Tới đây biết giải rồi chứ? cos6x = 0 hoặc
d.
gép cos3x + cos7x và sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích. Đặt nhân tử chung
sau khi xuất hiện nhân tử.
e.
Trang 6
Dùng công thức biến đổi tích thành tổng.


f.
Đây là bài toán mà các số hạng đều là bậc hai nên ta sẽ hạ bậc nó.
lưu ý:
pt
( bỏ mẫu)

Trang 7



pt
( biến tổng thành tích)

BÀI TẬP TỔNG HỢP VÀ NÂNG CAO
1.
Giải phương trình: .
Phương trình

.
2.
Giải phương trình lượng giác


Đáp số:

3.
Giải phương trình:
Phương trình đã cho tương đương với



*

*
.

Giải khác.

4.
Giải phương trình lượng giác sau:













5.
Giải phương trình:
.
Từ
phương trình đã cho ta có :


Trang 8

6.
Giải phương trình : .

















7. Giải phương trình :
Phương trình đã cho



8.
Giải phương trình:

Trang 9



9.
Giải phương trình :

<=>
<=>
<=>
<=>
<=>

<=>

<=>

10.
Giải phương trình






11. Giải phương trình lượng giác sau:
Trang 10

12. Giải phương trình :

<=>
<=>
<=>
<=>
13.
Giải phương trình lượng giác:
Phương trình đã cho tương đương với





Đáp số :

14.
Giải phương trình :


Trang 11

Các nghiệm số là

Chủ đề: QUY TẮC ĐÊM-HOÁN VỊ-CHỈNH HỢP-TỔ HỢP
1. Hoán vị
a. Hoán vị là gì?
Ví dụ: Ba vận động viên An, Bình và Châu chạy thi. Nếu không kể trường hợp có hai
hay ba vận động viên cùng về đích một lúc thì mọi khả năng đều có khả năng xảy ra.
Kết quả cuộc thi là một danh sách gồm 3 người xếp theo thứ tự nhất, nhì, ba. Danh sách
này là một
hoán vị của tập hợp {An, Bình, Châu}. Nếu kí hiệu tập hợp {An, Bình,
Châu} là {a,b,c} thì
tập hợp này có tất cả 6 hoán vị là
(a,b,c),(a,c,b),(b,a,c),(b,c,a),(c,a,b),(c,b,a).
Một cách tổng quát ta có:
Cho tập hợp A có n phần tử (n >0). Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta
được 1
hoán vị các phần tử của tập A.
b. Số các hoán vị
Định lí 1: Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử là:
Ví dụ: Một đoàn khách du lịch dự định đến tham quan 7 điểm du lịch A,B,C,D,E,G và
H ở Hà Nội. Họ đi tham quan theo thứ tự nào đó, chẳng hạn
. Như vậy mỗi cách họ chọn thứ tự tham quan
là một
hoán vị của tập {A,B,C,D,E,G,H}. Do vậy đoàn khách có tất cả cách
chọn.

2. Chỉnh hợp
a. Chỉnh hợp là gì
Ví dụ: Trong trận chung kết bóng đá phải phân định thắng thua bằng đá luân lưu 11m.
Huấn luyện viên của mỗi đội cần trình với trọng tài một danh sách sắp thứ tự 5 cầu thủ
trong số 11 cầu thủ của đội để tham gia đá.
Mỗi danh sách có xếp thứ tự 5 cầu thủ được gọi là một chỉnh hợp chập 5 của 11 cầu
thủ
Trang 12

Một cách tổng quát:
Cho tập A gồm n phần tử và số nguyên k, [1\le k \le n[/ct]. Khi lấy ra k phần tử của A
và sắp xếp chúng theo một thứ tự ta được một
chỉnh hợp chập k của n phần tử của
A.
Chú ý: Hai chỉnh hợp khác nhau khi và chỉ khi hoặc có ít nhất một phần tử của chỉnh
hợp này không là phần tử của chỉnh hợp kia hoặc các phần tử của 2 chỉnh hợp giống
nhau nhưng được sắp xếp theo thứ tự khác nhau.
b. Số các chỉnh hợp
Xét ví dụ trên, ta tính xem có bao nhiều cách huấn luyện viên lập danh sách 5 cầu thủ?
Giải: Ta có thể chọn 1 trong 11 cầu thủ để đá quả đầu tiên. Tiếp theo có 10 cách chọn
cầu thủ đá quả thứ hai, rồi 9 cách chọn cầu thủ đá quả thứ ba, 8 cách chọn cầu thủ đá
quả thứ tư và cuối cùng có 7 cách chọn cầu thủ đá quả thứ năm. Theo
quy tắc nhân, mỗi
đội sẽ có: 11.10.9.8.7 =55440 cách chọn.
Định lí:
Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử ( ) là:
(*)
Ta quy ước:
, do đó công thức (*) đúng với mọi số nguyên k thỏa mãn

Chú ý: Một hoán vị của một tập n phần tử chính là một chỉnh hợp chập n của tập đó
nên:

3. Tổ hợp
a. Tổ hợp là gì?
Cho tập A có n phần tử và số nguyên k với . Mỗi tập con của A có k phần tử
gọi là một
tổ hợp chập k của n phần tử của A ( gọi tắt là tổ hợp chập k của A)
Như vậy, lập một tổ hợp chập k của A chính là lấy ra k phần tử của A mà không quan
tâm đến thứ tự
b. Số các tổ hợp
Định lí: Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử ( ) là:
(**)
Với quy ước:
thì (**) cũng sẽ đúng với mọi số nguyên k thỏa mãn
Ví dụ: Trong 1 lớp học có 20 HS nam và 15 HS nữ. Thầy giáo cần 4HS nam và 3 HS
nữ đi tham gia chiến dịch
"Mùa hè xanh"
của Đoàn. Hỏi có bao nhiêu cách?
Giải: Ta có
cách chọn 4 HS nam trong số 20 HS nam và có
cách chọn 3 HS nữ trong số 15 HS nữ. Theo quy tắc nhân, số
cách chọn cần tìm là: 4845.455=2204475 cách chọn
4. Hai tính chất cơ bản của số
Trang 13

TC1: Cho các số nguyên n,k thỏa mãn . Khi đó:


TC2: Cho các

số nguyên n,k thỏa mãn . Khi đó:


1. Cho 7 chữ số 1,2,3,4,5,6,7 có bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau được viết từ
các chữ số đã cho.
Gọi
là số cần lập
Ta có
7 cách chọn

6 cách chọn

5 cách chọn

4 cách chọn

Vậy ta có:
số .
2. Cho các số 1,2,5,7,8 có bao nhiêu cách lập ra một số gồm 3 chữ số khác nhau từ
5 chữ số trên sao cho số tạo thành là 1 số chẵn
Gọi
là số cần lập

Vì
chẵn nên chẵn, nên ta có

2 cách chọn

4 cách chọn

3 cách chọn


Trường hợp này ta có :
số chẵn.
3. Với các chữ số 0,1,2,3,4,5 ta có thể thành lập bao nhiêu số chẵn, mỗi số gồm 5
chữ số khác nhau.
Trang 14

Gọi
là số tự nhiên chẵn cần lập
Vì
chẵn nên số tận cùng
• Nếu
thì có :
1 cách chọn

5 cách chọn

4 cách chọn

3 cách chọn

2 cách chọn

Vậy trong trường hợp này ta có :
số chẵn
• Nếu
thì ta có :
2 cách chọn

(vì )
4 cách chọn
(vì )
4 cách chọn

3 cách chọn

2 cách chọn

Vậy trong trường hợp này ta có :
số chẵn
Do đó: có tất cả
số chẵn.

Giải khác
Gọi
số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau là abcde(a khác 0)
Chọn lần lượt các chữ số a,b,c,d,e ta có lần lượt 5,5,4,3,2 cách chọn.Vậy có tất cả 600
số tự nhiên được lập
Số các số lẻ được lập ra:là 288 số.Vì :
•
Chọn e có 3 cách
•
Chọn a có 4 cách
•
Chọn b có 4 cách
•
Chọn c có 3 cách
•
Chọn d có 2 cách

Vậy số các số chẵn lập được:600-288=312 số
4. Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu
số tự nhiên chẵn gồm 5
chữ số khác nhau.
Gọi
là số tự nhiên cần lập
Vì
chẵn nên số tận cùng
• Nếu
thì có :
6 cách chọn

5 cách chọn

4 cách chọn

3 cách chọn

Vậy trong trường hợp này ta có :
số
• Nếu
thì ta có :
3 cách chọn
(vì )
5 cách chọn

5 cách chọn

4 cách chọn

3 cách chọn

Vậy trong trường hợp này ta có :
số
Do đó: có tất cả
số chẵn.
Giải khác
Gọi công thức số có 5 chữ số là:


Vì là số chẵn nên e
{0,2,4,6}; a {1,2,3,4,5,6}; b,c,d {0,1,2,3,4,5,6};

* Nếu e=0: a có 6 cách chọn thì
b có 5 cách chọn
c có 4 cách chọn
d có 3 cách chọn
Vậy có: 6 x 5 x 4 x 3 = 360 (số)
Trang 15


* Nếu e=2: a có 5 cách chọn thì
b có 5 cách chọn
c có 4 cách chọn
d có 3 cách chọn
Vậy có: 5 x 5 x 4 x 3 = 300 (số)

Tương tự e=4 và e=6 cũng có 300

Cuối cùng có tất cả: 360 + 300 x 3 = 1260 (số)

5. Từ các chữ số 0 ; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 có thể lập được bao nhiêu
số tự nhiên chẵn có
năm chữ số khác nhau .
6. Giả sử số: abcde
xét e=0 khi đó có:7A4 số
xét e= 2 hoặc 4 hoặc 6 ; a khác 0,khác e thì có : 3.6A3 số
vậy có 7A4+3.6A3= 1200 số
Trang 16


MỘT SÔ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI

1.
Một tập thể gồm 14 người gồm 6 nam và 8 nữ trong đó có An và Bình , người ta
muốn chọn 1 tổ công tác gồm 6 người.

Tìm số cách chọn tổ sao cho có 1 tổ trưởng , 5 tổ viên trong đó An và Bình
không đồng thời có mặt
Số cách lập tổ công tác không có mặt cả An và Bình là
(do một trong 6 người bất
kỳ đều có thể làm tổ trưởng)

Số cách lập tổ công tác có mặt đúng 1 trong hai người là
(do một trong 6
người bất kỳ đều có thể làm tổ trưởng)

Vậy số cách lập tổ công tác thoả mãn yêu cầu bài toán là:
cách

Giải khác.
-Số cách chọn 6 bạn bất kì trong 14 bạn và một bạn làm tổ trưởng trong 6 bạn đó
là:

-Số cách chọn 6 bạn bất kì trong 14 bạn và một bạn làm tổ trưởng trong 6 bạn đó mà
luôn có mặt An và Bình là:

-Số cách thỏa mãn bài toán là:
=15048
2.
Một tập thể gồm 14 người gồm 6 nam và 8 nữ, người ta muốn chọn 1 tổ công tác
gồm 6 người.
Tìm số cách chọn sao cho trong tổ phải có cả nam và nữ
Số cách lập 1 tổ công tác một cách tuỳ ý là :


Số cách lập tổ công tác toàn nam là


Số cách lập tổ công tác toàn nữ là


Vậy số cách lập tổ công tác gồm có cả nam và nữ là
cách

Giải khác
Trong tổ có cả nam và nữ có nghĩa là trong tổ có ít nhất 1 nam:
Nếu trong tổ có 1 nam tức có 5 nữ thì có:
. = 336 cách chọn
Trang 17

Nếu trong tổ có 2 nam tức có 4 nữ thì có: . = 1050 cách chọn
Nếu trong tổ có 3 nam tức có 3 nữ thì có:
. = 1120 cách chọn
Nếu trong tổ có 4 nam tức có 5 nữ thì có:
. = 420 cách chọn
Nếu trong tổ có 5 nam tức có 1 nữ thì có:
. = 48 cách chọn
Vậy có tất cả 336 + 1050 + 1120 + 420 + 48 =2974 cách chọn tất cả.
3. Cho A là một tập hợp có phần tử:
a) Có bao nhiêu
tập hợp con của A
b) Có bao nhiêu
tập hợp con khác rỗng của A mà có số phần tử là số chẵn
a) Số tập con của A là:

b) Ta có:

Suy ra số tập con khác rỗng của A có số
phần tử chẵn là:

4.
Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 9 em , trong đó có 4 học sinh khôi
12, 3 học sinh khối 11 và 2 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 5 học
sinh của đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất 1 em được chọn.
TH 1: khối 12 có 3hs, khối 11 có 1 hs, khối 10 có1 hs. thì có 4C3.3.2=24 cách chọn ở
TH 2: khối 12 có 2hs, khối 11 có 2hs, khối 10 có 1 hs. thì có 4C2.3C2.2=36 cách chọn
TH 3: khối 12 có 2 hs, khối 11 có 1 hs , khối 10 có 2 hs. thì có 4C2.3.2C2=18 cách
chọn
TH 4: khối 12 có 1 hs, khối 11 có 3hs, khối 10 có 1 hs. thì có 4.1.2=8 cách chọn

TH 5: khối 12 có 1 hs, khối 11 có 2 hs, khối 10 có 2 hs. thì có 4.3C2.1=12 cách chọn
Vậy tổng cộng có: 24+36+18+8+12=98 cách chọn
Giải khác
Chọn tuỳ ý 5 em học sinh trong 9 em có
cách chọn
Nếu không chọn học sinh khối 10 có
cách chọn
Nếu không chọn học sinh khối 11 có cách chọn
Nếu không chọn học sinh khối 12 có
cách chọn
5.
Vậy có - - - = 98 cách chọn thoả mãn đề bài.
Có một hộp đựng 2 viên bi đỏ, 3 viên bi trắng, 5 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên
4 viên bi lấy từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong đó số viên bi lấy ra
không đủ ba màu.
Tổng số bi trong hộp là: 2 + 3 + 5 = 10 viên
Số cách chọn 4 viên trong 10 viên là
= 210(cách)
Trang 18

Số cách lấy ra 4 viên bi đủ cả 3 màu:
Trường hợp 1: 2 đỏ, 1 trắng, 1 vàng. Có 1 x 3 x 5 = 15 (cách)
Trường hợp 2: 1 đỏ, 2 trắng, 1 vàng. Có 2 x
x 5 = 2 x 3 x 5 = 30(câch)
Trường hợp 3: 1 đỏ, 1trắng, 2 vàng. Có 2 x 3 x
= 2 x 3 x 10 = 60 (cách)
Số cách lấy 4 viên bi đủ cả 3 màu là: 15 + 30 + 60 =105(cách)
Vậy số cách lấy 4 viên bi không đủ 3 màu là: 210 - 105 =105 (cách)

6.

Xét 3 bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 viên bi xanh giống nhau vào 1 dãy 7 ô
trống.
1. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp khác nhau.
2. Có bao nhiêu cách sắp xếp khác nhau sao cho 3 viên bi đỏ xếp cạnh nhau và
3 viên bi xanh xếp cạnh nhau.
1. Trước hết xếp 3 bi đỏ
vào 7 ô trống. Ta có cách xếp.
Rồi xếp 3 bi xanh vào 4 ô còn lại. Ta có
(vì bi xanh giống nhau).
Vậy ta có:
cách xếp.
2. Trước hết ta cần căn chú ý về màu, để đỏ đứng cạnh nhau, xanh đứng cạnh nhau có
6 cách xếp.
Sau đó trong mỗi cách xếp đó, ta lại
hoán vị các bi đỏ với nhau, các bi xanh với nhau.
Do các bi đỏ khác nhau nên ta được số
hoán vị là .
Vậy số cách xếp khac nhau để các bi đỏ đứng cạnh nhau, các bi xanh đứng cạnh nhau là
.
7.
Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách cứ
3 người đi dự hội nghị SV của trường sao cho trong 3 người có ít nhất 1 cán bộ
lớp?
Số cách cử 1CBL+2HS là

Số cách cử 2CBL+1HS là
.
Vậy ta có tất cả:
cách cử.
8. Một đội văn nghệ có 20 người, trong đó 10 nam, 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách

chọn ra 5 người sao cho.
1. Có đúng 2 nam trong 5 người đó.
2. Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó.
1. Chọn 2 nam, 3 nữ có:
cách.
2. Có 2 nam, 3 nữ: Có 5400 cách.
Có 3 nam và 2 nữ: Có
cách
Có 4 nam và 1 nữ: Có
cách
Tổng cộng có:
cách.
Trang 19

9. Một lớp học có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Có 6 học sinh được chọn ra
để lập một tốp ca. Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau.
1. Nếu phải có ít nhất là 2 nữ.
2. Nếu phải chọn tuỳ ý.
1. Để có ít nhất 2 nữ thì ta phải chọn hoặc là 2 nữ, hoặc là 3 nữ 4 nam, 3 nam hoặc 4
nữ, 2 nam hoặc 5 nữ, 1 nam hoặc 6 nữ.
Vậy số cách chọn cho trường hợp này là:
.

2.Nếu chọn tuỳ ý thì số cách là:
.
Giải khác
1. Có tất cả
cách chọn tùy ý 1 tốp ca 6 người.
2. Để chọn ra 1 tốp ca 6 người với toàn nam có:
cách chọn.

Có
cách chọn tốp ca gồm 5 nam,1 nữ
Vậy có
cách chọn tốp ca 6 người có ít nhất 2
nữ
10.
Có 6 học sinh sẽ được sắp xếp ngồi vào 6 chỗ đã được ghi số thứ tự trên 1 bàn
dài.
1. Tìm số cách sắp xếp 6 học sinh này ngồi vào bàn.
2. Tìm số cách sắp xếp 6 học sinh này ngồi vào bàn sao cho 2 học sinh A và B
không ngồi cạnh nhau.
1. Mỗi cách sắp xếp 6 học sinh ngồi vào 6 chỗ có thứ tự là một
hoán vị 6 phần tử.
Nên ta có số cách sắp xếp là:
cách.
2. Nếu A và B theo thứ tự đó, ngồi cạnh nhau, ta có
cách sắp xếp.
Nếu B và A theo thứ tự đó, ngồi cạnh nhau, ta có
cách sắp xếp.
Vậy só cách sắp xếp cần tìm là:
cách.
11.
Một tổ học sinh gồm 7 nam và 4 nữ. Giáo viênmuốn chọn 3 học sinh xếp bàn
ghế của lớp, trong đó có ít nhất 1 nam sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.
Chọn 3 học sinh trong số 11 học sinh, ta có
cách.
Chọn 3 nữ sinh trong 4 nữ sinh ta có
cách.
Vậy số cách chọn cần tìm là:
cách.

12.
Một hội nghị y khoa có 40 bác sĩ tham dự. Người ta muốn lập một nhóm bác sĩ
thực hành một ca phẫu thuật để minh hoạ. Hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm
có:
1. Một bác sĩ chính và 1 phụ tá.
2. Một bác sĩ chính và 4 phụ tá.
1. Số cách lập một nhóm 2 bác sĩ : Một chính, 1 phụ tá là:
.
2. Số cách chọn 1 bác sĩ chính là
và cách chọn phụ tá
Vậy có
cách chọn 1 nhóm gồm 1 bác sĩ chính và 4 bác sĩ phụ tá.
Trang 20

13. Có bao nhiêu cách phát 10 phần thưởng giống nhau cho 6 học sinh sao cho mỗi
học sinh có ít nhất 1 phần thưởng.
Đầu tiên phát cho mỗi học sinh 1 phần thưởng.
Như vậy là có 1 cách. Còn lại 4 phần thưởng phát cho 6 học sinh ta có:
cách.
14. Có bao nhiêu số điện thoại có 6 chữ số? Trong đó có bao nhiêu số điện thoại có
6 chữ số khác nhau.
1. Số điện thoại có 6 chữ số là một
chỉnh hợp có lặp lại của 10 phần tử chập 6. Nên ta
có
số điện thoại.
2. Số điện thoại có 6 chữ số khac nhau là 1
chỉnh hợp chập 6 của 10 phần tử. Do đó ta
có
số.
15. Để viết chữ đăng ký xe hơi người ta dùng 3 chữ (30 chữ cái được dùng) và 1 số

có 4 chữ số (10 chữ số được dùng). Hỏi số tối đa xe hơi có thể đăng ký cho biết
không có hai xe hơi nào có số đăng ký giống nhau?
Gọi
là một biển số đăng ký.
Có 30 cách chọn

30 cách chọn

30 cách chọn

Có 10 cách chọn

10 cách chọn

10 cách chọn

10 cách chọn

Vậy ta có tối đa
triệu chiếc xe hơi có thể đăng ký.
16.
Xếp 3 quyển sách văn, 4 sách sử, 2 sách địa và 5 quyển công dân vào một hệ
thống theo từng môn. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp.
Có 4 bộ môn, do đó có 4 cách sắp xếp theo bộ môn. Trong đó có:
cách sắp xếp sách
văn.

cách sắp xếp sách sử

cách sắp xếp sách địa

cách sắp xếp sách công dân
Vậy số cách sắp xếp lên kệ là
cách (đây là hoán vị có lặp lại).
17.
Cho tập . Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số
khác nhau từ
mà chia hết cho 5?
Gọi
là số cần tìm
Vì
chia hết cho 5 nên hoặc bằng 0 hoặc bằng 5
TH1:
là chỉnh hợp 9 chập 4 phần tử nên ta có: số.
TH2:
thì có: 8 cách chọn (vì )
Và
cách chọn
Vậy ta có
số.
Tổng cộng ta có:
số.
Trang 21

Gọi (abcde) là số có 5 chữ số theo yêu cầu bài toán.
Vì (abcde) là số chia hết cho 5, nên: e = {0;5}
Khi e = 0 => Có 1 cách chọn e
9 cách chọn a
8 cách chọn b
7 cách chọn c

6 cách chọn d
=> Có 9*8*7*6*1=3024 cách chọn khi e= 0
Khi e = 5 => Có 1 cách chọn e
8 cách chọn a
8 cách chọn b
7 cách chọn c
6 cách chọn d
=> Có 8*8*7*6*1=2688 cách chọn khi e= 5
Vậy ta có 2688 + 3024 = 5712 cách chọn thoả yêu cầu bài toán.
18.
Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 ta có thể thành lập bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số
khác nhau và trong đó có chữ số 4.
Gọi
là số cần lập
Có 2 trường hợp
• Nếu
thì có :
1 cách chọn

6 cách chọn

5 cách chọn

4 cách chọn

3 cách chọn

Vậy trong trường hợp này ta có :
số
• Nếu

Có 4 vị trí chữ số 4 trong

ứng với 1 vị trí của 4 ta có(chẳng hạn
)
5 cách chọn
(vì )
1 cách chọn
( theo ví dụ)
5 cách chọn

4 cách chọn

3 cách chọn

Nên trường hợp này ta có
số
Tổng cộng hai trường hợp ta có :
số .
19. Từ các chữ số 1,2,3,4,5 ta có thể thành lập bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số
khác nhau. Trong đó có 2 chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau.
Trang 22

Gọi là số cần lập
• Ta có số các số gồm 5 chữ số được lấy từ 1,2,3,4,5 là số
hoán vị của 5 chữ số đã cho
nên ta có
số.
• Ta xét xem có bao nhiêu cách chọn vị trí cho cặp (1,2) đứng cạnh nhau:
Nếu (1,2) ta có 4 cách chọn vị trí cho cặp {1,2}trong

.
Do đó ta có 8 cách chọn cho cặp {1,2} (không kể thứ tự của 1 ,2 ) đứng gần nhau, ứng
với mỗi cách chọn cặp {1,2} như thế ta có
cách chọn 3 chứ số còn lại của .
Vậy ta có
số gồm 5 chữ số khác nhau trong đó 2 chữ số 1,2 đứng cạnh nhau
• Tóm lại số các số
cần lập là số .
20.
Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số ,trong đó
chữ số 1 có mặt 3 lần còn mỗi số khác có mặt đúng 1 lần.
Gọi
là số cần lập. Ta có:
7 cách chọn
7 cách chọn

6 cách chọn

5 cách chọn

4 cách chọn

3 cách chọn

2 cách chọn

1 cách chọn

Vậy ta có :

Nhưng cách lập như thế bị lập lại
(ví dụ khi ta hoán vị 3 phần tử 1 cho nhau thì
không đổi).
Do đó số các số
cần lập là số
21.
Cho tập . Hỏi có bao nhiêu tập con của chứa chữ số 9
Số tập con của
của chỉ chứa là
Vậy số tập con của
có chứa số 9 là số các tập
Vậy số tập con của
có chứa số 9 là tập con
Giải khác
Số tập con của E có:
1
phần tử: tập
2
phần tử: tập
3
phần tử: tập
........
10
phần tử: tập
Trong đó
E\9
+ + ..... + = = = 512 tập
22. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số trong đó có 2 số kề nhau phải khác nhau.
Trang 23

Ta có :
9 cách chọn chữ số thứ nhất (vì )
9 cách chọn chữ số thứ hai (trừ chữ số đã chọn vì chữ số thứ hai phải khác chữ số
thứ nhất đã được chọn)
9 cách chọn chữ số thứ ba (trừ chữ số thứ hai vì chữ số thứ ba phải khác chữ số
thứ hai đã được chọn)
9 cách chọn chữ số thứ tư (trừ chữ số thứ ba vì chữ số thứ tư phải khác chữ số thứ
ba đã được chọn )
9 cách chọn chữ số thứ năm (trừ chữ số thứ tư vì chữ số thứ năm phải khác chữ
số thứ tư đã được chọn )
(Chú ý rằng có tổng cộng 10 chữ số : 0,1,2,....9, và chữ số thứ 5 có thể bằng chữ số thứ
3 và thứ hai)
Vậy ta có
số thoả mãn đề bài.
23.
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số trong đó có 2 số kề nhau phải khác nhau.
Ta có :
9 cách chọn chữ số thứ nhất (vì
)
9 cách chọn chữ số thứ hai (trừ chữ số đã chọn vì chữ số thứ hai phải khác chữ số
thứ nhất đã được chọn)
9 cách chọn chữ số thứ ba (trừ chữ số thứ hai vì chữ số thứ ba phải khác chữ số
thứ hai đã được chọn)
9 cách chọn chữ số thứ tư (trừ chữ số thứ ba vì chữ số thứ tư phải khác chữ số thứ
ba đã được chọn )
9 cách chọn chữ số thứ năm (trừ chữ số thứ tư vì chữ số thứ năm phải khác chữ
số thứ tư đã được chọn )
(Chú ý rằng có tổng cộng 10 chữ số : 0,1,2,....9, và chữ số thứ 5 có thể bằng chữ số thứ
3 và thứ hai)
Vậy ta có

số thoả mãn đề bài.
24. Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau, thành lập từ các chữ số 1,2,3,4,5.
Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số bắt đầu bởi 23
Hai chữ số đầu là 23. Vậy chỉ còn chọn 3 chữ số 4,5,1 cho 3 số sau. Như thế có
số .
Gọi số tự nhiên có 5 chữ số có dạng là : (23abc)
a có 3 cách chọn
b có 2 cách chọn
c có 1 cách chon
Vậy có tất cả : 1*2*3 = 3! = 6
số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau cần lập
25.
Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau, thành lập từ các chữ số 1,2,3,4,5.
Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số không bắt đầu bởi chữ số 1
Gọi

Có :
Trang 24

4 cách chọn
4 cách chọn

3 cách chọn

2 cách chọn

1 cách chọn

Vậy có
số .

Giải khác
Số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau có: 5*4*3*2*1 = 120 số
số mà bắt đầu =1 có: 4! = 24 số
=> số không bắt đầu bởi số 1 là: 120 - 24 = 96
Giải khác
gọi
số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau cần lập là a1a2a3a4a5
ta có : a1 có 5 cách chọn
a2 có 4 cách chọn
a3 có 3 cách chọn
a2 có 2 cách chọn
a1 có 1 cách chọn
vậy từ 5 số 1,2,3,4,5 ta lập đc 5! = 120 sô tự nhiên có 5 chữ số khác nhau
gọi
số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau bắt đầu từ 1 có dạng 1abcd
ta có a có 4 cách chọn
b có 3 cách chọn
c có 2 cách chọn
và d có 1 cách chọn
suy ra ta sẽ lập đc 4! = 24
số tự nhiên khác nhau có 5 chữ số bắt đầu bởi chữ số 1
vậy sẽ có 120 - 24 = 96
số tự nhiên có 5 chữ số khac nhau không bắt đầu bởi chữ số 1
từ các chữ số 1,2,3,4,5
Giải khác
Số chữ số có 5 chữ số khác nhau lập được từ 1,2,3,4,5 là :5!=120
Số chữ số có 5 chữ số khác nhau bắt đầu từ chữ số 1 là : 4!=24
=>Số chữ số có 5 chữ số khác nhau ko bắt đầu từ chữ số 1 là : 5! - 4! =96
26.
Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau, thành lập từ các chữ số 1,2,3,4,5.

Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số bắt đầu bởi chữ số 5.
Chữ số đầu là 5: nên 4 chữ số còn lại là
hoán vị của 4 chữ số 1,2,3,4. Do đó các số tự
nhiên
này là
27.
Cho 7 chữ số 1,2,3,4,5,6,7 có bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và luôn có
mặt chữ số 7 được viết từ các chữ số đã cho
Trang 25