Đề thi chọn HSG Toán lớp 9 Huyện Trực Ninh có đáp án mới nhất năm 2021

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

phòng giáo dục - đào tạo
<b>huyện trực ninh</b>

*****
<b> chớnh thc</b>

<b>Đề thi chọn học sinh giỏi huyện</b>
Năm học 2008 - 2009

<b>Môn Toán 9 </b>

<b>Ngày thi: 10 tháng 12 năm 2008</b>

<i>Thi gian lm bi 120 phỳt khụng k thời gian giao đề</i>
<i><b>Bài 1.(3,0 điểm) </b></i>

a,TÝnh: M 3 5 3 5

2 3 5 2 3 5

− +

= +

+ + − −

b, Không sử dụng bảng số và máy tính hÃy so s¸nh:
A= 2007+ 2009 và B 2 2008=
<i><b>Bài 2.(4,0điểm)</b></i>

Cho biểu thức: P x 2 x 1 : x 1

2

x x 1 x x 1 1 x

 +  −

=_ + + _÷

− + + −

  víi x > 0 vµ x ≠1

a, Rót gän P.

b, Tìm x để P 2
7
=
c, So sánh 2

P víi 2P
<i><b>Bài 3.(3,5 điểm)</b></i>

a, Giải phơng trình: _{x 3}₊ _{5 x}₌_x2_{8x 18}₊

b, Cho x, y là các sè tho¶ m·n:

(

_x2_{+ +}_{3 x}

)(

_y2_{+ +}_{3 y}

)

₌₃

HÃy tính giá trị của biểu thức: _{A x}₌ 2009 ₊_y2009₊₁

<i><b>Bài 4.(7,5 điểm)</b></i>

Cho tam giỏc ABC (AB < AC) ngoi tiếp đờng tròn (O;R). Đờng tròn (O;R) tiếp xúc
với các cạnh BC, AB, AC lần lợt tại các điểm D, N, M. Kẻ đờng kính DI của đờng (O;R).
Qua I kẻ tiếp tuyến của đờng (O;R) nó cắt AB, AC lần lợt tại E, F.

a, BiÕt AB = 8cm, AC = 11cm, BC = 9cm. TÝnh chu vi cđa tam gi¸c AEF.
b, Chøng minh EI. BD = IF.CD = R2_.

c, Gọi P là trung điểm của BC, Q là giao điểm của AI và BC, K là trung ®iĨm cđa AD.
Chøng minh ba ®iĨm K, O, P thẳng hàng và AQ = 2KP.

<i><b>Bài 5.(2,0 điểm)</b></i>

a, Với a, b > 0 chøng minh: ≤ _ + _÷

+ _ _

1 1 1 1

a b 4 a b . Dấu = xảy ra khi nào?

b, Cho x, y, z là 3 số dơng thoả mÃn: 1+ + =1 1 8

x y z

Tìm giá trị lớn nhất của P = _{+ +}1 + ₊ 1 ₊ + _{+ +}1

2x y z x 2y z x y 2z

HÕt

---Họ tên thí sinh:.
Số báo danh :

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>huyện trực ninh</b>
*****

Năm học 2008 - 2009
<b>Môn To¸n 9 </b>

<i>Thời gian làm bài 120 phút khơng kể thi gian giao </i>

<i><b>Bài 1.(3,0 điểm) </b></i>

a,Tính: M 3 5 3 5

2 3 5 2 3 5

− +

= +

+ + − −

Ta cã:

(

)

2

(

)

2

M 3 5 3 5 3 5 3 5

2 ₂ _{6 2 5} ₂ _{6 2 5} ₂ _{5 1} ₂ _{5 1}

− + − +

= + = +

+ + − − ₊ ₊ ₋ ₋ 0,5 2,0 ®

3 5 3 5 3 5 3 5

2 5 1 2 5 1 2 5 1 2 5 1

− + − +

= + = +

+ + − − + + − + =

3 5 3 5

3 5 3 5

− ₊ +

+ − (v× 5 1> )
0,

5

(

) (

)

(

)(

)

2 2

3 5 3 5 _{9 6 5 5 9 6 5 5}

9 5

3 5 3 5

− + + ₋ _{+ + +} ₊
= =
−
+ − =
28
7
4 =
0,
5

M 7 2

= 0,

5

b, Không sử dụng bảng số và máy tính hÃy so sánh: A= 2007+ 2009 vµ B 2 2008=
Ta cã A= 2007+ 2009

(

)

2

2008 1 2008 1 2008 1 2008 1

= − + + = − + + 0,5 1,0 ®

2 2

2.2008 2 2008 1 2.2008 2 2008 2 2008

= + − < + = Vậy A < B. 0,5

Bài 2.(4,0điểm)
<i> a, Rót gän P.</i>

Ta cã

x 2 x 1 x 1

P :

2

x x 1 x x 1 1 x

 ₊  ₋

=_ + + _÷

− + + −

  víi x > 0 vµ x ≠1

( )

(

)(

)

3

x 2 x 1 x 1

:
2

x x 1 x 1

x 1

x 2 x 1 x 1

:
2

x x 1 x 1

x 1 x x 1

 
+ −
 ÷

=_ + − _÷
+ + −
 − ÷
 
 ₊  ₋
 ÷
= + −
 + + + + ữ

0,5 1,5đ

(

) (

)

(

)(

)

(

)(

)

x 2 x x 1 x x 1 _{x 1 x 2 x} _{x x} _{x 1} ₂

: .

2 x 1

x 1 x x 1 x 1 x x 1

+ + − − + + ₋ _{+ + −} _{− −} ₋

= =

−

− + + − + + 0,5

(

x 1 xx 2 x 1

)(

x 1

)

. x 12 x 2x 1

− +

= =

− + +

− + + . VËy

2
P

x x 1

=

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

b, Tìm x để P 2
7
=

Ta cã P 2

x x 1

=

+ + ( víi x > 0; x ≠1)

Nªn P 2 2 2 x x 1 7 x x 6 0

7 x x 1 7

= ⇔ = ⇔ + + = ⇔ + − =

+ +

0,5 1,25®

(

x 2

)(

x 3

)

0

⇔ − + = _⇔ _{x 2 0}_{− =} ( v× x 3 0+ > víi mäi x > 0)

⇔ =x 4( t/m ®k). 0,5
VËy víi x = 4 th× P 2

7

= 0,25

c, So s¸nh 2

P víi 2P

Ta cã P 2

x x 1

=

+ + ( víi x > 0; x ≠1)

Mµ

2

1 3

x x 1 x 0

2 4

 

+ + =_ + _÷ + >

  víi mäi x > 0,

nªn P 2 0

x x 1

= >

+ + víi mọi x > 0

0,5 1,25đ

Ta lại có x+ x >0víi mäi x > 0

⇒ x x 1 1 1 1 P 2 2

x x 1 x x 1

+ + > ⇒ < ⇒ = <

+ + + +

0,5

V× P > 0 và P < 2 nên P(P - 2) < 0⇒P2_{- 2P < 0}_⇒_P2_{< 2P. VËy P}2_{< 2P} _0,25

<i><b>Bài 3.(3,5 điểm) a, Giải phơng trình: </b></i> _{x 3}_{− +} _{5 x}_{− =}_x2 ₋_{8x 18}₊

§KX§: 3 x 5 (*) 0,25 1,75đ

áp dụng bđt Bunhiakôpski ta cã: x 3− + 5 x− ≤ 2. x 3 5 x

(

− + −

)

= 4 2= .

DÊu “=” x¶y ra ⇔x-3 = 5 – x ⇔x = 4 0,5
Ta l¹i cã x2_{– 8x + 18 =(x – 4)}2_{+ 2}≥_{0 víi}_∀_{x.DÊu “=” x¶y ra}⇔_{x= 4} _0,5

Suy ra _{x 3}_{− +} _{5 x}_{− =}_x2₋_{8x 18}₊ ⇔_{x = 4}

Víi x = 4 thoả mÃn ĐK (*), vậy nghiệm của phơng trình là x = 4 0,5
b, Cho x, y là các số tho¶ m·n:

(

x2+ +3 x

)(

y2+ +3 y

)

=3(*)

H·y tính giá trị của biểu thức: _{A x}₌ 2009 ₊_y2009₊₁

Từ _(*)_⇒

(

_x2_{+ +}_{3 x}

)(

_x2_{+ −}_{3 x}

)(

_y2_{+ +}_{3 y}

) (

₌₃ _x2_{+ −}_{3 x}

)

(

_x2 _{3 x}2

)

(

_y2 _{3 y}

) (

₃ _x2 _{3 x}

) (

₃ _y2 _{3 y}

) (

₃ _x2 _{3 x}

)

⇒ + − + + = + − ⇒ + + = + −

2 2

y 3 y x 3 x

⇒ + + = + (1)

0,75 1,75đ

Tơng tự ta cã _x2_{+ + =}_{3 x} _y2_{+ −}_{3 y}₍₂₎

LÊy (1) céng víi (2) ta cã : x = -y 0,5

Suy ra 2009 2009 2009 2009

A x= +y + =1 x −x + =1 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

D P Q
M

N

o
f
e

k
i

c
b

a

<b>Bài 4.(7,5 điểm)</b>

a,Biết AB = 8cm, AC = 11cm, BC = 9cm. TÝnh chu vi cđa tam gi¸c AEF.

+ c/m cho chu vi cđa tam giác AEF là PAEF = 2AN 0,75 2,0đ

+ c/m cho 2AN = AB + AC – BC = 8 + 11 – 9 = 10 cm 0,75

+ suy ra PAEF = 2AN = 10 cm 0,5

b,Chøng minh EI. BD = IF.CD = R2_.

+ c/m cho tam giác EOB vuông t¹i O

⇒EN.BN = ON2_{= R}2_{( theo hƯ thøc lợng trong tam giác vuông)}

Mà EI = EN, BD = BN ( t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau tại 1 ®iĨm) ⇒ EI. BD = R2_. 1,25 2,5®

+ T¬ng tù ta cã: IF.DC = R2 _0,75

+ Suy ra EI. BD = IF.CD = R2_. _0,5

c, Gọi P là trung điểm của BC, Q là giao điểm của AI và BC, K là trung điểm của AD. Chứng
minh ba điểm K, O, P thẳng hàng và AQ = 2KP.

ỏp dụng hệ qủa định lý Talet trong các tam giác AQC và tam giác ABC ta có

IF AF AF FE

;

QC = AC AC = BC

IF FE

QC BC

⇒ = (1) 0,75 3,0đ

Theo câu b ta có: EI.BD IF.CD IF IE IE IF EF

BD CD BD CD BC

+

= ⇒ = = =

+ (2) 0,75

Tõ (1) vµ (2) suy ra IF IF QC BD

QC = BD⇒ = 0,5

+Vì P là trung điểm của BC (gt), QC = BD ( cmt) ⇒ P là trung điểm của DQ
Mà O là trung điểm của ID suy ra OP là đờng trung bình của tam giác DIQ ⇒

OP // IQ hay OP // AQ (3)

+ Vì K là trung điểm của AD, O là trung điểm của ID suy ra KO là đờng
trung bình của tam giác ADI ⇒KO // AI hay KO // AQ (4)

+ Tõ (3) vµ (4) K, O, P thẳng hàng.

0,75

Do K l trung điểm của AD, P là trung điểm của DQ suy ra KP là đờng trung
bình của tam giác DAQ suy ra AQ = 2KP.

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<i><b>Bµi 5.(2,0 ®iĨm)</b></i>

a, Víi a, b > 0 chøng minh: ≤ _ + _÷

+ _ _

1 1 1 1

a b 4 a b . Dấu = xảy ra khi nào?

Với a, b > 0 ta cã : (a – b)2 _≥₀⇒_a2 _{+ b}2 _≥_2ab⇒_4ab

≤

_{( a + b )}2 _0,25 _0,75®

⇒ ≤ +

+

1 a b

a b 4ab 0,25

 

⇒ ≤ _ + _÷

+ _ _

1 1 1 1

a b 4 a b . DÊu “ = ” x¶y ra

⇔

a = b. 0,25

b, Cho x, y, z là 3 số dơng thoả mÃn: 1+ + =1 1 8

x y z

Tìm giá trị lớn nhất của = + +

+ + + + + +

1 1 1

P

2x y z x 2y z x y 2z

Vì x, y, z là các số dơng, áp dụng bất đẳng thức ở câu a ta có :

     

= ≤ _ + _÷≤ _ + + + _= _ + + _÷

+ + + + + _ + + _ _ _ _ _

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1

2x y z x y x z 4 x y x z 16 x y x z 16 x y z (1)

Dấu = xảy ra

x = y = z =
8
3

0,75đ 1,25đ

=  + _ữ _ + + + _= _ + + _÷

+ + + + + _ + + _ _ _ _ _

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1

x 2y z x y y z 4 x y y z 16 x y y z 16 x y z (2)

DÊu “=” x¶y ra

⇔

x = y = z =
8
3

     

= ≤ _ + _÷≤ _ + + + _= _ + + _÷

+ + + + + _ + + _ _ _ _ _

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2

x y 2z x z y z 4 x z y z 16 x z y z 16 x y z (3)

DÊu “=” x¶y ra

⇔

x = y = z =
8
3

Tõ(1); (2); (3) suy ra

 

= + + ≤ _ + + _÷= =

+ + + + + + _ _

1 1 1 1 1 1 1 1

P .8 2

2x y z x 2y z x y 2z 4 x y z 4

( v× 1+ + =1 1 8

x y z ) DÊu “=” x¶y ra

⇔

x = y = z = 8
3

VËy max

3

P 2 x y z

8
= ⇔ = = =

0,5®

<b>Lu ý:</b>

<i>1) Nếu thí sinh làm bài không nh cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng </i>
<i>phần nh hớng dẫn.</i>

<i>2) Việc chi tiết hố thang điểm (nếu có ) so với thang điểm trong hớng dẫn chấm phải đảm </i>
<i>bảo không sai lệch với hớng dẫn chấm, không chia nhỏ dới 0,25.</i>

<i>3) Điểm toàn bài không làm tròn.</i>

</div>

<!--links-->