Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.31 MB, 5 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
<b>BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM–PROS1–ĐẠISỐTUYẾNTÍNH–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 1</b>
<b>ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH VÀ PHỤ THUỘC TUYẾN </b>
<b>TÍNH (ĐỀ SỐ 01) </b>
<b>*Biên soạn: Thầy Đặng Thành Nam – website: </b>
<b>www.vted.vn</b>
<b>Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại www.vted.vn</b>
<i>Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề) </i>
<b>Mã đề thi </b>
<b>001 </b>
Họ, tên thí sinh:... Trường: ...
• Cho hệ <i> m</i> véctơ <i> n</i> chiều <i><sub> X</sub></i>1<i>, X</i>2<i>,..., Xm</i>. Véctơ <i> X ∈ !</i>
<i>n</i><sub> được biểu diễn tuyến tính qua </sub>
<i> m</i> véctơ
<i> X</i>1<i>, X</i>2<i>,..., Xm</i> nếu tồn tại <i> m</i> số thực <i> α</i>1,<i>α</i>2,...,<i>αm</i> sao cho <i> X = α</i>1<i>X</i>1<i>+ α</i>2<i>X</i>2<i>+...+ αmXm</i>.
• Đẳng thức trên tương đương với: <i><sub> </sub><sub> α</sub></i><sub>1</sub>,<i>α</i><sub>2</sub>,...,<i>α<sub>m</sub></i> là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính gồm <i> n</i>
phương trình và <i><sub> m</sub></i> ẩn <i><sub> </sub><sub> α</sub></i><sub>1</sub>,<i>α</i><sub>2</sub>,...,<i>α<sub>m</sub></i> có ma trận hệ số mở rộng
<i> A= X</i>
véctơ <i><sub> X</sub></i><sub>1</sub><i>, X</i><sub>2</sub><i>,..., X<sub>m</sub>, X</i> được viết dưới dạng cột:
<b>Ví dụ 1: Hãy biểu diễn véctơ </b><i><sub> </sub><sub> X = (7,11,−6)</sub></i> qua các véctơ <i><sub> </sub><sub> X</sub></i><sub>1</sub><i>= (1,3,−2), X</i><sub>2</sub><i>= (3,4,−1), X</i><sub>3</sub>= (5,5,1).
<b>Giải. Giả sử </b><i><sub> </sub><sub> X = α</sub></i><sub>1</sub><i>X</i><sub>1</sub><i>+ α</i><sub>2</sub><i>X</i><sub>2</sub><i>+ α</i><sub>3</sub><i>X</i><sub>3</sub> khi đó <i><sub> α</sub></i><sub>1</sub>,<i>α</i><sub>2</sub>,<i>α</i><sub>3</sub> là nghiệm của hệ phương trình có ma trận hệ số
mở rộng
<i> </i>
<i>A</i>=
1 3 5 7
3 4 5 11
−2 −1 1 −6
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
<i>−3d</i>1<i>+d</i>2
<i>2d</i>1<i>+d</i>2
⎯⎯⎯⎯→
1 3 5 7
0 −5 −10 −10
0 5 11 8
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟⎟⎟
⎟⎟⎟⎟
<i>d</i>2<i>+d</i>3
⎯⎯⎯→
1 3 5 7
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟⎟⎟
⎟⎟⎟⎟.
Vậy
<i> </i>
<i>α</i><sub>1</sub><i>+ 3α</i><sub>2</sub><i>+5α</i><sub>3</sub>= 7
<i>−5α</i><sub>2</sub><i>−10α</i><sub>3</sub>= −10
<i>α</i><sub>3</sub>= −2
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⇔
<i>α</i><sub>1</sub>= −1
<i>α</i><sub>2</sub>= 6
<i>α</i><sub>3</sub>= −2
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
. Vậy <i><sub> </sub><sub> X = −X</sub></i><sub>1</sub><i>+ 6X</i><sub>2</sub><i>−2X</i><sub>3</sub>.
<b>Ví dụ 2: Tìm </b> <i> m</i> để véctơ <i><sub> </sub><sub> X = (3,−1,11,m)</sub></i> biểu diễn tuyến tính qua các véctơ
<i> </i>
<i> X</i>1<i>= (2,1,3,8), X</i>2<i>= (1,3,0,5), X</i>3= (−1,2,2,2).
<b>Giải. Giả sử </b><i><sub> </sub><sub> X = α</sub></i><sub>1</sub><i>X</i><sub>1</sub><i>+ α</i><sub>2</sub><i>X</i><sub>2</sub><i>+ α</i><sub>3</sub><i>X</i><sub>3</sub> khi đó <i><sub> α</sub></i><sub>1</sub>,<i>α</i><sub>2</sub>,<i>α</i><sub>3</sub> là nghiệm của hệ phương trình có ma trận hệ số
mở rộng
<i> </i>
<i>A</i>=
2 1 −1 3
1 3 2 −1
3 0 2 11
8 5 2 <i>m</i>
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟⎟⎟
⎟⎟⎟
⎟⎟⎟
.
<b>2</b> <b>BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM–PROS1–ĐẠISỐTUYẾNTÍNH–DUYNHẤTTẠIVTED.VN</b>
<i> </i>
<i>A</i>=
2 1 −1 3
1 3 2 −1
3 0 2 11
8 5 2 <i>m</i>
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟⎟⎟
⎟⎟⎟
⎟⎟⎟
<i>doichod1&d 2</i>
⎯⎯⎯⎯⎯→
1 3 2 −1
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟⎟⎟
⎟⎟⎟
⎟⎟⎟
<i>−2d</i>1<i>+d</i>2
<i>−3d</i>1<i>+d</i>3
<i>−8d</i>1<i>+d</i>4
⎯⎯⎯⎯→
1 3 2 −1
0 −5 −5 5
0 −9 −4 14
0 <i>−19 −14 m+8</i>
⎛
⎝
⎜⎜
1 3 2 −1
0 1 1 −1
0 −9 −4 14
0 <i>−19 −14 m+8</i>
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟⎟⎟
⎟⎟⎟
<i>9d</i><sub>2</sub><i>+d</i>3
<i>19d</i><sub>2</sub><i>+d</i>4
⎯⎯⎯⎯→
1 3 2 −1
0 1 1 −1
0 0 5 5
<i>0 0 5 m−11</i>
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟⎟⎟
⎟⎟⎟
⎟⎟⎟
<i>−d</i>3<i>+d</i>4
⎯⎯⎯→
1 3 2 −1
0 1 1 −1
0 0 5 5
Vậy điều kiện là hệ có nghiệm <i><sub> </sub><sub> ⇔ m−16 = 0 ⇔ m =16.</sub></i>
<b>2. Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của một hệ véctơ </b>
• Cho <i> m</i> véctơ <i> n</i> chiều <i><sub> X</sub></i>1<i>, X</i>2<i>,..., Xm</i>. Xét đẳng thức: <i> α</i>1<i>X</i>1<i>+ α</i>2<i>X</i>2<i>+...+ αmXm= On</i>(*). Đẳng
thức này tương đương với hệ tuyến tính tổng qt gồm <i> n</i> phương trình và <i> m</i> ẩn <i><sub> </sub><sub> α</sub></i>1,<i>α</i>2,...,<i>αm</i> có
ma trận hệ số là
<i> A= X</i>
• Hệ gồm <i> m</i> véctơ <i> n</i> chiều <i><sub> X</sub></i>1<i>, X</i>2<i>,..., Xm</i> được gọi là độc lập tuyến tính nếu (*) chỉ xảy ra khi
<i> </i>
<i> α</i>1<i>= α</i>2<i>= ...= αm</i>= 0, tức hệ tuyến tính thuần nhất có ma trận hệ số <i> A</i> có nghiệm tầm thường
duy nhất, tức quá trình biến đổi ma trận hệ số <i> A</i> kết thúc dưới dạng tam giác.
• Hệ gồm <i> m</i> véctơ <i> n</i> chiều <i><sub> X</sub></i>1<i>, X</i>2<i>,..., Xm</i> được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại <i> m</i> số thực
<i> </i>
<i> α</i>1,<i>α</i>2,...,<i>αm</i><b> không đồng thời bằng 0 sao cho đẳng thức (*) xảy ra, tức hệ tuyến tính thuần nhất </b>
có ma trận hệ số <i> A</i> có vơ số nghiệm, tức quá trình biến đổi ma trận hệ số <i> A</i> kết thúc dưới dạng
hình thang.
<b>Ví dụ 1: Xét sự phụ thuộc tuyến tính của hệ véctơ </b><i><sub> </sub><sub> X</sub></i><sub>1</sub><i>= (2,1,−1), X</i><sub>2</sub><i>= (1,5,−2), X</i><sub>3</sub>= (3,−7,2).
<b>Giải. Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có ma trận hệ số: </b>
<i> </i>
<i>A</i>=
2 1 3
1 5 −7
−1 −2 2
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
−1 −2 2
1 5 −7
2 1 3
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟⎟⎟
⎟⎟⎟⎟
<i>d</i>1<i>+d</i>2
<i>2d</i>1<i>+d</i>3
⎯⎯⎯→
−1 −2 2
<i>d</i>2<i>+d</i>3
⎯⎯⎯→
−1 −2 2
0 3 −5
0 0 2
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟⎟⎟
<b>Ví dụ 2: Tìm </b><i> m</i> để hệ véctơ <i><sub> </sub><sub> X</sub></i>1<i>= (−1,3,2), X</i>2<i>= (2,4,−3), X</i>3<i>= (5,5,m)</i> độc lập tuyến tính.
<b>Giải. Có </b>
<i> </i>
<i>A</i>=
−1 2 5
3 4 5
2 <i>−3 m</i>
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟⎟⎟
⎟⎟⎟⎟
<i>3d</i>1<i>+d</i>2
<i>2d</i>1<i>+d</i>3
⎯⎯⎯→
−1 2 5
0 10 20
0 1 <i>m</i>+10
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟⎟⎟
⎟⎟⎟⎟
−1
10<i>d</i>2<i>+d</i>3
⎯⎯⎯⎯→
<b>BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM–PROS1–ĐẠISỐTUYẾNTÍNH–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 3</b>
<b>Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu hệ véctơ </b>
<i> </i>
diễn tuyến tính qua các véctơ <i><sub> </sub><sub> X</sub></i><sub>1</sub><i>, X</i><sub>2</sub><i>,..., X<sub>m</sub></i><sub>−1</sub> thì hệ véctơ
<i> </i>
<i> </i>
thời bằng 0 sao cho <i><sub> </sub><sub> α</sub></i><sub>1</sub><i>X</i><sub>1</sub><i>+ α</i><sub>2</sub><i>X</i><sub>2</sub><i>+...+ α<sub>m</sub>X<sub>m</sub>= O<sub>n</sub></i>.
Do <i><sub> X</sub><sub>m</sub></i><b> khơng biểu diễn tuyến tính qua các véctơ </b><i><sub> </sub><sub> X</sub></i><sub>1</sub><i>, X</i><sub>2</sub><i>,..., X<sub>m</sub></i><sub>−1</sub> nên <i><sub> </sub><sub> α</sub><sub>m</sub></i>= 0.
Vậy <i><sub> </sub><sub> α</sub></i><sub>1</sub><i>X</i><sub>1</sub><i>+ α</i><sub>2</sub><i>X</i><sub>2</sub><i>+...+ α<sub>m</sub></i><sub>−1</sub><i>X<sub>m</sub></i><sub>−1</sub><i>= O<sub>n</sub></i>.
Mặt khác <i><sub> </sub><sub> m−1</sub></i> số thực <i><sub> </sub><sub> α</sub></i><sub>1</sub>,<i>α</i><sub>2</sub>,...,<i>α<sub>m</sub></i><sub>−1</sub><b> không đồng thời bằng 0 nên hệ véctơ </b>
<i> </i>
<b>3. Các định lí về độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính </b>
<b>Định lí 1: Một hệ véctơ </b><i><sub> n</sub></i> chiều có số véctơ lớn hơn hoặc bằng hai. Hệ véctơ đó phụ thuộc tuyến tính
khi và chỉ khi có một véctơ trong hệ được biểu diễn tuyến qua các véctơ còn lại.
Hệ quả: Hệ gồm hai véctơ <i><sub> X ,Y</sub></i> phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi <i><sub> X ,Y</sub></i> tỷ lệ và ngược lại <i><sub> X ,Y</sub></i> độc
lập tuyến tính khi và chỉ khi <i><sub> X ,Y</sub></i><b> khơng tỷ lệ. </b>
<b>Định lí 2: Cho hai hệ véctơ </b><i><sub> n</sub></i> chiều
<i> </i>
Nếu <i><sub> m > k</sub></i> và mọi véctơ <i><sub> </sub><sub> X</sub><sub>i</sub>(i=1,2,...,m)</i> được biểu diễn tuyến tính qua hệ véctơ
<i> </i>
véctơ
<i> </i>
<b>Hệ quả: Mọi hệ véctơ </b><i> n</i> chiều có số véctơ lớn hơn số chiều (lớn hơn <i> n</i>) thì hệ véctơ đó phụ thuộc
tuyến tính.
<b>Ví dụ 1: Chứng minh rằng nếu hệ véctơ </b>
<i> </i>
<i>n</i><sub> độc lập tuyến tính và tồn tại véctơ </sub>
<i> X ∈ !n</i><b> khơng biểu diễn tuyến tính qua hệ véctơ </b><i><sub> </sub></i>
<b>Giải. Giả sử </b><i><sub> </sub><sub> m > n−1</sub></i> suy ra hệ véctơ <i><sub> X</sub></i><sub>1</sub><i>, X</i><sub>2</sub><i>,..., X<sub>m</sub>, X</i> có số véctơ là <i><sub> </sub><sub> m+1> n</sub></i> lớn hơn số chiều của
!<i>n</i> nên phụ thuộc tuyến tính. Vì vậy tồn tại <i> m+1</i> số thực <i><sub> </sub><sub> α</sub></i>1,<i>α</i>2,...,<i>αm</i>,<i>α</i><b> không đồng thời bằng 0 sao </b>
cho
<i> </i>
<i> α</i>1<i>X</i>1<i>+ α</i>2<i>X</i>2<i>+...+ αmXm+ αX = On</i>.
Do <i> X</i> <b> không biểu diễn tuyến tính qua hệ véctơ </b><i><sub> </sub></i>
Vậy <i><sub> </sub><sub> α</sub></i><sub>1</sub><i>X</i><sub>1</sub><i>+ α</i><sub>2</sub><i>X</i><sub>2</sub><i>+...+ α<sub>m</sub>X<sub>m</sub>= O<sub>n</sub>⇔ α</i><sub>1</sub><i>= α</i><sub>2</sub><i>= ...= α<sub>m</sub></i>= 0 (do hệ véctơ
<i> </i>
<i>n</i><sub> độc lập </sub>
tuyến tính). Vậy <i><sub> </sub><sub> α</sub></i><sub>1</sub><i>= α</i><sub>2</sub><i>= ...= α<sub>m</sub>= α = 0</i> (mâu thuẫn với <i><sub> </sub><sub> m+1</sub></i> số thực <i><sub> </sub><sub> α</sub></i><sub>1</sub>,<i>α</i><sub>2</sub>,...,<i>α<sub>m</sub></i>,<i>α</i><b> khơng đồng </b>
thời bằng 0). Vậy ta có điều phải chứng minh.
<b>Câu </b> <b>1.</b> Hãy biểu diễn tuyến tính véctơ <i><sub> </sub><sub> X = (16,7,−1)</sub></i> qua các véctơ
<i> </i>
<i> X</i>1<i>= (1,−1,3), X</i>2<i>= (2,1,1), X</i>3= (5,3,−1).
<b>Câu 2. Hãy biểu diễn véctơ </b><i><sub> </sub><sub> X = (7,11,−6)</sub></i> qua các véctơ <i><sub> </sub><sub> X</sub></i><sub>1</sub><i>= (1,3,−2), X</i><sub>2</sub><i>= (3,4,−1), X</i><sub>3</sub>= (5,5,1).
<b>Câu 3. Tìm </b> <i> m</i> để véctơ <i><sub> </sub><sub> X = (3,−1,11,m)</sub></i> biểu diễn tuyến tính qua các véctơ
<i> </i>
<i> X</i>1<i>= (2,1,3,8), X</i>2<i>= (1,3,0,5), X</i>3= (−1,2,2,2).
<b>Câu </b> <b>4.</b> Hãy biểu diễn tuyến tính véctơ <i><sub> </sub><sub> X = (−3,1,−20,25)</sub></i> qua các véctơ
<i> </i>
<i> X</i>1<i>= (1,2,3,4), X</i>2<i>= (−1,5,6,1), X</i>3= (−2,3,−2,5).
<b>Câu </b> <b>5.</b> Hãy biểu diễn tuyến tính véctơ <i><sub> </sub><sub> X = (7,26,−7,−28)</sub></i> qua các véctơ
<i> </i>
<b>4</b> <b>BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM–PROS1–ĐẠISỐTUYẾNTÍNH–DUYNHẤTTẠIVTED.VN</b>
<b>Câu </b> <b>6.</b> Hãy biểu diễn tuyến tính véctơ <i><sub> </sub><sub> X = (3,−5,−10,15)</sub></i> qua các véctơ
<i> </i>
<i> X</i>1<i>= (3,−2,4,5), X</i>2<i>= (1,1,7,−3), X</i>3= (0,2,3,−4).
<b>Câu </b> <b>7.</b> Hãy biểu diễn tuyến tính véctơ <i><sub> </sub><sub> X = (1,−2,0,7)</sub></i> qua các véctơ
<i> </i>
<i> X</i>1<i>= (1,3,4,5), X</i>2<i>= (2,2,−1,3), X</i>3<i>= (3,5,1,−2), X</i>4= (−4,7,2,4).
<b>Câu 8. Xét sự phụ thuộc tuyến tính của hệ véctơ </b><i><sub> </sub><sub> X</sub></i><sub>1</sub><i>= (2,1,−1), X</i><sub>2</sub><i>= (1,5,−2), X</i><sub>3</sub>= (3,−7,2).
<b>Câu 9. Tìm </b><i><sub> m</sub></i> để hệ véctơ <i><sub> </sub><sub> X</sub></i><sub>1</sub><i>= (−1,3,2), X</i><sub>2</sub><i>= (2,4,−3), X</i><sub>3</sub><i>= (5,5,m)</i> độc lập tuyến tính.
<b>Câu 10. Xét sự phụ thuộc tuyến tính của các hệ véctơ sau: </b>
a)
<i> </i>
<i>X</i><sub>1</sub>= (2,1,−1)
<i>X</i><sub>2</sub>= (1,5,−2)
<i>X</i><sub>3</sub>= (3,−7,2)
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
. b)
<i> </i>
<i>X</i><sub>1</sub>= (1,1,−1,−1)
<i>X</i><sub>2</sub>= (2,6,3,2)
<i>X</i><sub>3</sub>= (5,9,0,−1)
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
. c)
<i> </i>
<i>X</i><sub>1</sub>= (1,−2,1,−1)
<i>X</i><sub>2</sub>= (3,3,5,−2)
<i>X</i><sub>3</sub>= (0,−9,−2,1)
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
. d)
<i> </i>
<i>X</i><sub>1</sub>= (−1,3,2)
<i>X</i><sub>2</sub>= (2,4,−3)
<i>X</i><sub>3</sub><i>= (5,5,m)</i>
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
.
e)
<i> </i>
<i>X</i><sub>1</sub>= (4,3,−1,2)
<i>X</i><sub>2</sub>= (2,−2,4,5)
<i>X</i><sub>3</sub>= (−2,9,−13,−13)
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
.
<b>Câu 11. Tìm </b> <i> m</i> để véctơ <i><sub> </sub><sub> X = (−3,−2,1,m)</sub></i> biểu diễn tuyến tính qua các véctơ
<i> </i>
<i> X</i>1<i>= (2,1,m,−1), X</i>2<i>= (1,3,−1,2), X</i>3= (2,−1,−3,−1).
<b>Câu 12. Chứng minh rằng với mọi </b><i> m</i> hệ véctơ <i><sub> </sub><sub> X</sub></i>1<i>= (2,3,4,−1), X</i>2<i>= (−1,2,−2,1), X</i>3<i>= (3,m,4,2)</i> độc
lập tuyến tính.
<b>Câu 13. Chứng minh rằng với mọi </b><i><sub> m</sub></i> véctơ <i><sub> </sub><sub> X = (−m,2,m)</sub></i> luôn biểu diễn tuyến tính qua các véctơ
<i> </i>
<i> X</i>1<i>= (1,3,m), X</i>2<i>= (−2,−1,1), X</i>3= (4,2,−3).
<b>Câu 14. Chứng minh </b><i><sub> </sub><sub> X</sub></i><sub>1</sub><i>= (1,1,1), X</i><sub>2</sub><i>= (1,1,2), X</i><sub>3</sub>= (1,2,3) độc lập tuyến tính và hãy biểu diễn véctơ
<i> </i>
<i> X = (6,9,14)</i> qua các véctơ <i> X</i>1<i>, X</i>2<i>, X</i>3.
<b>Câu 15. </b>Chứng minh rằng nếu hệ véctơ
<i> </i>
diễn tuyến tính qua các véctơ <i><sub> </sub><sub> X</sub></i><sub>1</sub><i>, X</i><sub>2</sub><i>,..., X<sub>m</sub></i><sub>−1</sub> thì hệ véctơ
<i> </i>
<b>Câu 16. Chứng minh rằng nếu hệ véctơ </b>
<i> </i>
<i>n</i><sub> độc lập tuyến tính và tồn tại véctơ </sub>
<i> X ∈ !n</i><b> khơng biểu diễn tuyến tính qua hệ véctơ </b><i><sub> </sub></i>
<b>Câu 17. Tìm </b><i> m</i> để hệ véctơ <i><sub> </sub><sub> X</sub></i>1<i>= (−1,3,2,1), X</i>2<i>= (2,4,−3,−1), X</i>3<i>= (1,2,3,4), X</i>4<i>= (5,5,5,m)</i> độc lập
tuyến tính.
<b>Câu 18. Chứng minh rằng nếu hệ véctơ </b>
<i> </i>
<i>n</i><sub> độc lập tuyến tính và khi thêm vào véctơ </sub>
<i> X ∈ !n</i> ta được hệ véctơ <i><sub> </sub></i>
tính một cách duy nhất qua các véctơ <i><sub> X</sub></i><sub>1</sub><i>, X</i><sub>2</sub><i>,..., X<sub>m</sub></i>.
<b>Câu 19. Tìm </b> <i> m</i> để véctơ <i><sub> </sub><sub> X = (1,2,3,m)</sub></i> biểu diễn tuyến tính qua các véctơ
<i> </i>
<i> X</i>1<i>= (−1,2,−3,5), X</i>2<i>= (2,1,4,6), X</i>3= (−3,2,5,7).
<b>Câu 20. Tìm </b> <i> m</i> để véctơ <i><sub> </sub><sub> X = (1,2,3,4,m)</sub></i> biểu diễn tuyến tính qua các véctơ
<i> </i>
<i> X</i>1<i>= (−1,2,−3,5,1), X</i>2<i>= (2,1,4,6,3), X</i>3<i>= (−3,2,5,7,−1), X</i>4= (−2,3,−1,4,5).<b> </b>
<b>BIÊNSOẠN:THẦYĐẶNGTHÀNHNAM–PROS1–ĐẠISỐTUYẾNTÍNH–DUYNHẤTTẠIVTED.VN 5</b>