Đề thi số 1 môn toán cao cấp A1 doc

Đề 1
Câu 1:
' ( 3 1) ' 3
x
y y
P e y= + + =
3
' (3 ) ' 3
x x
P y y= − =
' '
y x
P P⇒ = ⇒
pt vi phân toàn phần
Nghiệm tổng quát:
( )
,u x y C=
( )
0 0
3
0 0
4
0
0
4
( , ) ( , ) ( , )
( 3 1)
(3 1)
4
(3 1) 1
4

y
x
y
x
x
y
x
x
x
u x y P x y dx Q x y dy
e y dx y dy
y
e y x
y
e y x
= +
= + + + −
= + + −
= + + − −
∫ ∫
∫ ∫
Kết luận:nghiệm của pt là
4
(3 1) 1
4
x
y
e y x C+ + − − =
Câu 2:
* Cách 1:

Khử
2
x
từ hệ
2 1 1
' 4 ' 10 4
t
x x x t e− = − + −
(*)
Đạo hàm 2 vế pt (1)
1 1 2
2 1 1
" 3 ' '
' " 3 '
t
t
x x x e
x x x e
= + +
⇒ = − −
Thế vào (*)
(*)
1 1 1
" 7 ' 10 3
t
x x x t e⇔ − + = −
pt đặc trưng :
2
7 10 0 2 5k k k k− + = ⇒ = ∨ =
(0) 2 5

1 1 2
. .
t t
x C e C e⇒ = +
( ) ( ) ( )
1 2
1 1 1
r r r
x x x= +
1
( )
1
r
x
là nghiệm của pt
1 1 1
" 7 ' 10x x x t− + =
(1)
( )
1
( )
0
1
. .
r
S t
x t e At B⇒ = +
0
α
=

không là nghiệm pt đặc trưng
0S
⇒ =
( )
1
( )
1
( )
1
( )
1
1
'
" 0
1
10 1
10
(1)
7 10 0 7
100
1 7
10 100
r
r
r
r
x At B
x A
x
A

A
A B
B
x t
⇒ = +
⇒ =
⇒ =

=

=


⇔ ⇔
 
− + =


=


⇒ = +
2
( )
1
r
x
là nghiệm của pt
1 1 1
" 7 ' 10 3

t
x x x e− + = −
(2)
2
( )
1
. .
r
S t
x t e A⇒ =
1
α
=
không là nghiệm pt đặc trưng
0S⇒ =
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
1 2
( )
1
( )
1
( )
1
1
1 1 1
0
2 5

1 1 1 1 2
.
' .
" .
3
(2)
4
3
4
1 7 3
10 100 4
1 7 3
. .
10 100 4
r t
r t
r t
r
t
r r r
t
r
t t t
x A e
x A e
x Ae
A
x e
x x x t e
x x x C e C e t e

⇒ =
⇒ =
⇒ =
⇔ = −
⇒ = −
= + = + −
= + = + + + −
Thay vào pt (1) của hệ
2 1 1
2 5 2 5
1 2 1 2
5 2
1 2
' 3
1 3 1 7 3
2 . 5 . 3 . .
10 4 10 100 4
3 3 1
2
2 10 10
t
t t t t t t t
t t t t
x x x e
C e C e e C e C e t e te
C e C e te e t
⇒ = − −
   
= + + − − + + + − −
 ÷  ÷

   
= − + − + − +
Kết luận:
2 5
1 1 2
5 2
2 1 2
1 7 3
. .
10 100 4
3 3 1
2
2 10 10
t t t
t t t t
x C e C e t e
x C e C e te e t

= + + + −




= − + − + − +


* Cách 2:
2
1
2

3 1
2 4
3 1
0 0
2 4
(3 )(4 ) 2 0
7 10 0
2
5
1 1
2 : 0
2 2
A
A I
x
X
x
λ
λ
λ
λ λ
λ λ
λ
λ
α
λ
α
 
=
 ÷

 
−
− = ⇔ =
−
⇔ − − − =
⇔ − + =
=

⇔

=

 
   
= = ⇔ =
 ÷
 ÷  ÷
−
   
 
Chọn vectơ riêng là
1
1
X
 
=
 ÷
 
1
2

2 1
5: 0
2 1 2
x
X
x
α
λ
α
−
 
   
= = ⇔ =
 ÷
 ÷  ÷
−
   
 
Chọn vectơ riêng là
1
2
X
 
=
 ÷
 
1
1 1
1 2
2 1

1 1
2 0
0 5
P
P
D
−
 
⇒ =
 ÷
 
−
 
⇒ =
 ÷
−
 
 
=
 ÷
 
Hệ
1
' . . .X P D P X F
−
⇔ = +

1 1
' . . .P X P D P X F
− −

⇔ = +
Đặt
1
.Y P X
−
=
( )
( )
( )
( )
1
1 1
2 2
1 1
2 2
2 2
1 1
5 5
2 1
' . .
'
2 0 2 1
'
0 5 1 1
' 2 2
' 5
2 .
.
t
t

t
dt dt
t
dt dt
t
Y D Y P F
y y
e
y y
t
y y e t
y y e t
y e e t e dt C
y e e t e dt C
−
−
−
⇔ = +
−
 
   
   
⇔ = +
 ÷
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
   
   
 


= + −

⇔

= + − +



 
∫ ∫
= − +
 ÷

  
⇔

 
∫ ∫

= − + +
 ÷

 

∫
∫
_ Giải
1
y

( )
5 2 5
1 1
5
1
1
(8 3 2).
16
t t
t
y e t t e dt C
e I C
−
−
 
= − − +
 ÷
 
= +
∫
.Giải I
2
5
5
5
2
1 3
(8 3 2)
16 16
5

1 3
(8 3 2).
16 5 16 5
t
t
t t
u t t du t dt
e
dv e dt v
e e
I t t t dt
 
= − − ⇒ = −
 ÷
 
= ⇒ =
 
= − − − −
 ÷
 
∫
Kết luận:nghiệm của hệ X=P.Y
1 1
2 2
1 1 2
2 1 2
1 1
1 2
2
x y

x y
x y y
x y y
   
 
⇔ =
 ÷  ÷
 ÷
 
   
= +

⇔

= +

Câu 3:
Tử
1
1
5 4
(1 3 ) .(1 2 ) 1x x= + + −

3 1
1 ( ) . 1 .2 ( ) 1
5 4
1 3
. ( )
2 5
11

( )
10
x o x x o x
x o x
x o x
   
= + + + + −
 ÷  ÷
   
 
= + +
 ÷
 
= +
Mẫu
2
2 2
(2 )
. 1 ( )
2
x
x o x x
 
= − + −
 ÷
 

( )x o x= +
11
10

I⇒ =
Câu 4:
Đặt
3sin 3cosx t dx tdt= → =
3
2
2
0
(3sin ) .3cos
9 (3sin )
t tdt
I
t
=
−
∫

2
2
0
2
2
0
2
0
2
0
9.sin .3cos
3cos
9sin

1 cos2
9( )
2
1 1 sin 2
9. . 9. .
2 2 2
1 1 sin( ) 1 1 sin 0
9. . 9. . 9. .0 9. .
2 2 2 2 2 2 2
9
4
t tdt
t
tdt
t
dt
t
t
π
π
π
π
π π
π
=
=
−
=
 
= −

 ÷
 
 
= − − −
 ÷
 
=
∫
∫
∫
Câu 5:
2 2
0
1
( 1)( 2) 2 1
1 1 1
, ,
3 3 3
1
3 2
A Bx C
x x x x x x
A B C
dx
I
x
+∞
+
= +
+ + + + + +

⇒ = = − =
=
+
∫

2 2
0 0 0
2
2
0
0
2
0
3
1 1 2 1 1
3 2 6 1 2 1
1 1 1
ln 2 ln 1
3 6 2
1 3
2 4
1
1 2 1 1
2
ln . .arctan
3 2
3 3
1
2 2
1 1

0 .ln 2
3 2 6
3
1
ln
2 3 3
dx x dx
dx
x x x x x
dx
x x x
x
x
x
x x
π π
π
+∞ +∞ +∞
+∞
+∞
+∞
+
= − +
+ + + + +
 
= + − + + +
 ÷
 
 
+ +

 ÷
 
+
 
+
= +
 ÷
 ÷
+ +
 
 
= − + −
 ÷
 
 
= +
 ÷
 
∫ ∫ ∫
∫
Câu 6:
3
.
x
y x e
−
=
TXĐ:
¡
2 3

' 3 . .
x x
y x e e x
− −
= −

2 3
2
.(3 )
. .(3 )
x
x
e x x
e x x
−
−
= −
= −
3
' 0 0 3
lim lim . 0
x
x x
y x x
y x e
−
→+∞ →+∞
= ⇔ = ∨ =
+ = =

3
lim lim .
x
x x
y x e
−
→−∞ →−∞
= = −∞

0y⇒ =
là TCN bên phải
+
2
lim lim .
x
x x
y
a x e
x
−
→−∞ →−∞
= = = +∞

⇒
không TCX
Bảng biến thiên:
x -∞ 0 3 +∞
y' + | + 0 -
y
-∞

0
3
27
e
0
Điểm đặc biệt:
x 0 1 -1
y 0
1
e
e−
Câu 7:
pt hoành độ giao điểm của
2
y x= −
và
2
2 4y x x= − −
là
2 2 2
2 4 2 0x x x x− = − − ⇔ − − =

2 1x x⇔ = ∨ = −
2
2 2
1
( 2 4)
D
S x x x dx
−

= − − − −
∫
Vì y=-x
2
và y=x
2
-2x-4 không cắt nhau trong (-1,2)
2
2
1
( 2 2 4)
D
S x x dx
−
⇒ = − − −
∫
3
2
2
1
2
4
3
x
x x
−
= − − −
21= −
21=
ĐỀ 2

Câu 1:
Nghiệm tổng quát:
( )
2 2
3 3
3 3
2 5
2 5
(3 3 ).
(3 3 ).
x dx x dx
x x
y e x x e dx C
e x x e dx C
−
−
 
∫ ∫
= + +
 ÷
 
= + +
∫
∫
Đặt
3 2
3t x dt x dx= → =
( )
3
3

3 3
3
(1 ).
( )
( . )
x t
x t
x x
y e t e dt C
e te C
e x e C
−
−
−
= + +
= +
= +
∫
Câu 2:
pt đặc trưng:
2
3 2 0 1, 2k k k k+ + = ⇒ = − = −
2
0 1 2
. .
x x
y C e C e
− −
⇒ = +
1 2

r r r
y y y= +
+
1
r
y
là nghiệm của pt y"+3y'+2y=(2x+3)e
0x
(1)
0
. ( )
S x
r
y x e Ax B= +
0
α
=
không là nghiệm của pt đặc trưng
0S
→ =
1
1
1
'
" 0
(1) 0 3 2( ) 2 3
r
r
r
y Ax B

y A
y
A Ax B x
= +
=
=
⇔ + + + = +

1
0
A
B
=

⇒

=

1
r
y x⇒ =
+
2
r
y
là nghiệm của pt y"+3y'+2y=6e
x
(1)
2
. .

S x
r
y x e A⇒ =
1
α
=
không là nghiệm của pt đặc trưng
0S→ =
1
1
1
'
"
(2) 3 2 6
x
r
x
r
x
r
x x x x
y Ae
y Ae
y Ae
Ae Ae Ae e
=
=
=
⇔ + + =

1A
⇒ =
Vậy
1 2
0tq r r
y y y y= + +

2
1 2
. .
x x x
C e C e x e
− −
= + + +
Câu 3:
I =
0
1 1
lim
arctan
x
x x
→
 
 ÷
 
−
=
0
arctan

lim
.arctan
x
x x
x x
→
−
 
 ÷
 
=
3
3
2
0
( )
3
lim
x
x
x x o x
x
→
 
− − +
 ÷
 
=
3
3

2
0
( )
3
lim
x
x
o x
x
→
+
= 0
Câu 4 :
Đặt
2
1 1
t dt dx
x x
= ⇒ = −
1
1
1
1
.
.
( 1).
1
2. lim
2
t

t
t
t
t
I t e dt
t e dt
t e
t
e
e
e
−∞
−
−
−∞
−
−∞
−
−
→−∞
⇒ = −
=
= −
−
= − −
= −
∫
∫
Câu 5:
0

0
cos2 2sin 2
.cos2 2 .sin 2
x x
x x
u x du xdx
dv e dx v e
I e x e xdx
− −
+∞
+∞
− −
= → = −
= → = −
= − −
∫

0 1 2
1 2
J
J
= + −
= −
+ Giải J
0
0
sin 2 2cos 2
sin 2 2 .cos2
x x
x x

u x du x
dv e dx v e
J e x e xdx
− −
+∞
+∞
− −
= → =
= → = −
= − +
∫

0 0 2
2
I
I
= + +
=
1 4
1
5
I I
I
⇒ = −
⇒ =
Câu 6:
1
2
.
x

y x e=
TXĐ:
0x ≠
1 1
2
2
1
' 2 . . .
x x
y x e x e
x
= −

1
(2 1)
x
e x= −
1
' 0
2
y x= ⇔ =
+
1
2
2
0
lim . lim
t
x
t

x
e
x e
t
+
→+∞
→
= = +∞
(
1
t
x
=
)

1
2
2
0
lim . lim 0
t
x
t
x
e
x e
t
−
→−∞
→

= =
0x
⇒ =
là TCĐ về bên phải
+
1
2
lim .
x
x
x e
→+∞
= +∞

1
2
lim .
x
x
x e
→−∞
= +∞
⇒
không TCN
+
1
lim lim .
x
x x
y

a x e
x
→∞ →∞
= = = ∞
⇒
không TCX
Bảng biến thiên:
x -∞ 0
1
2
+∞
y' - - 0 +
y +∞ +∞

0
2
4
e
+∞
Điểm đặc biệt:
x 1 2
y
e
4 2
Câu 7:
pt hoành hộ giao điểm giữa
3
1
x
y

x
=
+
và y=0 là
3
0 0
1
x
x
x
= ⇒ =
+
3
1
3
0
[0,1]; 0
1
1
D
x
x y
x
x
S dx
x
∀ ∈ = ≥
+
=
+

∫
Đặt
2
2t x x t dx tdt= ⇒ = ⇒ =
1
6
0
.2
1
D
t tdt
S
t
=
+
∫

1
3
3 2
0
1
3
0
2 ( )
3 1 ( )
2
.arctan
3
2

.
3 6
9
d t
t
t
π
π
=
+
=
=
=
∫
Đề 16
Câu 1:
Chia 2 vế cho ydy
( )
2
6
0
2
3
' .
2
dx y x
dy y
y
x y x
y

 
−
+ =
 ÷
 
⇒ − = −
x
'
+p(y)x=q(y) là pt vi phân tuyến tính với x là hàm, y là biến
Nghiệm tổng quát:
( )
( )
3 3
3ln 3ln
3
3
3
( ). .
. .
2
. .
2
1
. .
2
1
2
1 1
(1) 1 1 1( )
2 2

p y dy q y dy
dy dy
y y
y y
x e q y e dy C
y
x e e dy C
y
e e dy C
y
y dy C
y
y C
y
y C C
−
−
−
 
∫ ∫
= +
 ÷
 
 
∫ ∫
⇒ = +
 ÷
 ÷
 
 

= − +
 ÷
 
 
= − +
 ÷
 
 
= +
 ÷
 
= ⇒ = + ⇒ =
∫
∫
∫
∫
Kết luận:nghiệm của pt là
2 3
2 2
y y
x = +
Câu 2:
* Cách 1:
Khử
2
x
từ hệ
2
1 2 1
4 ' ' 20 4 3 2x x x t t+ = + + +

(*)
Đạo hàm 2 vế pt (1)
1 1 2
2 1 1
" 3 ' ' 2
' " 3 ' 2
x x x t
x x x t
= + +
⇒ = − −
Thế vào (*)
(*)
2
1 1 1
" ' 20 4 5 2x x x t t⇔ + − = + +
pt đặc trưng :
2
20 0 5 4k k k k+ − = ⇒ = − ∨ =
(0) 5 4
1 1 2
. .
t t
x C e C e
−
⇒ = +
( )
1
r
x
là nghiệm của pt

2
1 1 1
" ' 20 4 5 2x x x t t+ − = + +
(1)
( ) 0 2
1
. .( )
r S t
x t e At Bt C⇒ = + +
0
α
=
không là nghiệm pt đặc trưng
0S⇒ =
( )
( ) ( )
( ) 2
1
( )
1
( )
1
2
1
2
0
5 4
1 1 1 1 2
' 2
" 2

1
5
20 4
27
(1) 2 20. 5
100
2 20. 2
267
2000
27 267
5 100 2000
27 267
. .
5 100 2000
r
r
r
r
r
t t
x At Bt C
x At B
x A
A
A
A B B
A B C
C
t
x t

t
x x x C e C e t
−
⇒ = + +
⇒ = +
⇒ =

= −

− =


 
⇔ − = ⇔ = −
 
 
+ − =


= −


⇒ = − − −
= + = + − − −
Thay vào pt (1) của hệ
2
2 1 1
2
5 4 5 4 2
1 2 1 2

5 4 2
1 2
' 3
2 27 27 267
5. . 4. . 3 . .
5 100 5 100 2000
2 41 261
8
5 100 2000
t t t t
t t
x x x t
t
C e C e t C e C e t t
C e C e t t
− −
−
⇒ = − −
 
 
= − + − − − + − − − −
 ÷
 ÷
 
 
= − + − + +
Kết luận:
2
5 4
1 1 2

5 4 2
2 1 2
27 267
. .
5 100 2000
2 41 261
8
5 100 2000
t t
t t
t
x C e C e t
x C e C e t t
−
−

= + − − −




= − + − + +


2
1
2
3 1
8 4
3 1

0 0
8 4
(3 )( 4 ) 8 0
20 0
5
4
8 1
5: 0
8 1 8
A
A I
x
X
x
λ
λ
λ
λ λ
λ λ
λ
λ
α
λ
α
 
=
 ÷
−
 
−

− = ⇔ =
− −
⇔ − − − − =
⇔ + − =
= −

⇔

=

 
   
= − = ⇔ =
 ÷
 ÷  ÷
−
   
 
Chọn vectơ riêng là
1
8
X
 
=
 ÷
−
 
1
2
8 1

5: 0
8 1 8
x
X
x
α
λ
α
−
 
   
= − = ⇔ =
 ÷
 ÷  ÷
−
   
 
Chọn vectơ riêng là
1
8
X
 
=
 ÷
 
1
1 1
8 8
8 1
1

8 1
16
5 0
0 4
P
P
D
−
 
⇒ =
 ÷
−
 
−
 
⇒ =
 ÷
 
−
 
=
 ÷
 
Hệ
1
' . . .X P D P X F
−
⇔ = +

1 1

' . . .P X P D P X F
− −
⇔ = +
Đặt
1
.Y P X
−
=
( )
( )
1
2
1 1
2 2
2
1 1
2
2 2
5 5
2
1 1
4 4
2
2 1
' . .
'
5 0 8 1
1
'
0 4 8 1

16
3 2
1
' 5 8 (3 2)
16
1
' 4 8 3 2
16
1
(8 3 2).
16
1
(8 3 2).
16
dt dt
dt dt
Y D Y P F
y y
t
y y
t
y y t t
y y t t
y e t t e dt C
y e t t e dt C
−
−
−
⇔ = +
− −

 
   
   
⇔ = +
 ÷
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+
   
   
 

= − + − +


⇔


= + + +


 
∫ ∫
= − − +
 ÷
 
⇔

∫ ∫
= + + +

∫
∫






 ÷

 

_ Giải
1
y
( )
5 2 5
1 1
5
1
1
(8 3 2).
16
t t
t
y e t t e dt C
e I C
−
−
 

= − − +
 ÷
 
= +
∫
.Giải I
2
5
5
5
2
1 3
(8 3 2)
16 16
5
1 3
(8 3 2).
16 5 16 5
t
t
t t
u t t du t dt
e
dv e dt v
e e
I t t t dt
 
= − − ⇒ = −
 ÷
 

= ⇒ =
 
= − − − −
 ÷
 
∫
Kết luận:nghiệm của hệ X=P.Y
1 1
2 2
1 1 2
2 1 2
1 1
8 8
8 8
x y
x y
x y y
x y y
   
 
⇔ =
 ÷  ÷
 ÷
−
 
   
= +

⇔


= −

Câu 3:
2 2
2
0
2
2
0
2
2
0
2
(3 ) 3
lim
ln(1 (cos 1)) sin
12
lim
cos 1 sin
12
lim
2
24
x
x
x
x x
I
x x
x

x x
x
x
x
→
→
→
+
=
+ − +
=
− +
=
− +
=
Câu 4:
1
5 5
0 1
ln(1 ) ln(1 )x x
I dx dx
x x x x
+∞
+ +
= +
+ +
∫ ∫
+ Xét
1
5

1
0
ln(1 )x
I dx
x x
+
=
+
∫
0
2
1 sinh 1
.sinh
x
x
f
x x x
→
−
= :
phân kỳ
+ Xét
5
1
1
ln(1 )x
I dx
x x
+∞
+

=
+
∫
1 sinh
.sinh
1
2
.
2
2
. .
x x
x x
x x
x x
x
f
x x
e e
e e
x
e e
x e x e
−
−
−
−
−
=
−

−
=
−
− +
=
−
1
.
x
x
x
e
x e x
−
→+∞
−
= −:
phân kỳ
Câu 5:*
Đặt
2
1 1
1
1
dt
t x dx
x t t
= → = + → = −
−
0

2
1
2
2 1
1
2 1
2
0
2
1
2 1
2
0
2
2
1
2 1
2
0
1
2 1
2
0
2 2
2 1
2
1
1 1
. 1 1 . 1 2
1 1

. . 2
1 2 1
. .
2 1
( 1) 2
2
dt
I
t
t t
dt
t
t
t t
dt
t t
t
t t
dt
t t
dt
t
du
u
−
−
−
−
−
−

−
−
= −
   
+ − + −
 ÷  ÷
   
=
+
 
−
 ÷
 
=
− + +
=
− + +
=
− − +
=
− +
∫
∫
∫
∫
∫
∫
(
1u t du dt= − ⇒ =
)

Câu 6:
TXĐ:
R
'
2
'
1
2 1
0 1
x
y
x x
y x
+
=
+ +
= ⇔ = −
lim
x
y
→±∞
+ = +∞ ⇒
không TCN
2
2 2
lim lim 1
x x
y x x
a
x x

→∞ →∞
+ +
+ = = = ±
.Xét
:x → +∞
(
)
2
2
1
lim 2 2
2 2
lim
2 2
1
x
x
a
b x x x
x
x x x
→+∞
→+∞
=
= + + −
+
=
+ + +
=
1y x⇒ = +

là TCX về bên phải
.Xét
:x → −∞
(
)
2
2
1
lim 2 2
2 2
lim
2 2
1
x
x
a
b x x x
x
x x x
→+∞
→+∞
= −
= + + +
+
=
+ + −
= −
1y x⇒ = − −
là TCX về bên trái
Bảng biến thiên:

x -∞ -1 +∞
y' - 0 +
y +∞
1
+∞
Điểm đặc biệt:
x -2 -1 0
y
2
1
2
Câu 7:
2
0 1
( 1)
x
y x
x
= > ∀ ≥
+
2
( 1)
x
y
x
⇒ =
+
nằm trên Ox
2
1

( 1)
D
xdx
S
x
+∞
=
+
∫
Đặt
2
2t x x t dx tdt= ⇔ = ⇒ =
2 2
1
.2
( 1)
D
t tdt
S
t
+∞
=
+
∫
Đặt
2
tan
cos
du
t u dt

u
= ⇒ =
( )
2
2
2
4
4
2
2
4
2
4
2
4
2 tan
.
1
cos
cos
2 sin
2 1 cos 2
2
2
1
4 2
D
u du
S
u

u
udu
u du
sin u
u
π
π
π
π
π
π
π
π
π
=
=
= −
 
= −
 ÷
 
= +
∫
∫
∫
Đề 17
Câu 1:
Nghiệm tổng quát:
( )
( )

( )
cos cos
sin
sin sin sin
sin
sin
.
.
xdx xdx
x
x x x
x
x
y e e e dx C
e e e dx C
e dx C
e x C
−
−
− −
−
−
 
∫ ∫
= +
 ÷
 
= +
= +
= +

∫
∫
∫
Câu 2:
* Cách 1:
Khử
1
x
từ hệ
6 5
1 2 2
' 5 ' 30 5
t t
x x x e e
−
+ = + +
(*)
Đạo hàm 2 vế pt (1)
6
2 1 2
6
1 2 2
" ' 4 ' 6
' " 4 ' 6
t
t
x x x e
x x x e
−
−

= + −
⇒ = − +
Thế vào (*)
(*)
5 6
2 2 2
" ' 30
t t
x x x e e
−
⇔ + − = −
pt đặc trưng :
2
30 0 5 6k k k k+ − = ⇒ = ∨ = −
(0) 5 6
2 1 2
. .
t t
x C e C e
−
⇒ = +
1 2
( ) ( )
( )
2 2 2
r r
r
x x x= +
1
( )

2
r
x
là nghiệm của pt
5
1 1 1
" ' 30
t
x x x e+ − =
(1)
1
( )
5
2
. .
r
S t
x t e A⇒ =
5
α
=
là nghiệm pt đặc trưng
1S⇒ =
( )
1
1
1
1
( )
5

2
( )
5 5
2
( )
5 5 5
2
5
2
. .
' ( 5. . )
" (5 5( 5. . ))
1
(1) 11 1
11
1
.
11
r
t
r
t t
r
t t t
r
t
x t e A
x A e t e
x A e e t e
A A

x t e
⇒ =
⇒ = +
⇒ = + +
⇔ = ⇔ =
⇒ =
2
( )
2
r
x
là nghiệm của pt
6
1 1 1
" ' 30
t
x x x e
−
+ − = −
(2)
2
( )
6
2
. .
r
S t
x t e A
−
⇒ =

6
α
= −
là nghiệm pt đặc trưng
1S
⇒ =
( )
( ) ( )
1
1
1
2
1 2
( )
6
2
( )
6 6
2
( )
6 6 6
2
6
2
( ) ( )
( ) 5 6
2 2 2
0
5 6 5 6
1 1 1 1 2

. .
' ( 6. . )
" ( 6 6( 6. . ))
1
(1) 11 1
11
1
. .
11
1 1
. . .
11 11
1 1
. . . . .
11 11
r
t
r
t t
r
t t t
r
t
r r
r t t
r
t t t t
x t e A
x A e t e
x A e e t e

A A
x t e
x x x t e t e
x x x C e C e t e t e
−
− −
− − −
−
−
− −
⇒ =
⇒ = −
⇒ = − − −
⇔ − = − ⇔ =
⇒ =
⇒ = + = +
= + = + + +
Thay vào pt (1) của hệ
( )
5
2 1 1
5 6 5 5 6 6 5 6 5 6 5
1 2 1 2
5 6 5 6
1 2
1
' 5
10
1 1 1 1 1
5 . 6 . ( 5. . ) .( 6. . ) 5 . . . . .

10 11 11 11 11
1 1 1 10 6
10 1 . .
10 11 11 11 11
t
t t t t t t t t t t t
t t t t
x x x e
C e C e e t e e t e C e C e t e t e e
C e e C t e t e
− − − − −
−
⇒ = + −
 
   
= − + + + − + + + + −
 ÷  ÷
 ÷
   
 
     
= + − + − + + + −
 ÷  ÷  ÷
     
5 6 5 6
2
1
5
11
1 1 10 1

. . . .
11 10 110 11 11
t t t t
C
C e e t e t e
−
 
 
+
 ÷
 ÷
 
 
  
= − + − + + −
 ÷
 ÷
   
Kết luận:
5 6 5 6
1 1 2
5 6 5 6
2
2 1
1 1
. . . . .
11 11
1 1 10 1
. . . .
11 10 110 11 11

t t t t
t t t t
x C e C e t e t e
C
x C e e t e t e
− −
−

= + + +



  

= − + − + + −
 ÷  ÷

   

* Cách 2:
2
1
2
5 10
1 4
5 10
0 0
1 4
( 5 )(4 ) 10 0
30 0

5
6
10 10
5: 0
1 1
A
A I
x
X
x
λ
λ
λ
λ λ
λ λ
λ
λ
α
λ
α
−
 
=
 ÷
 
− −
− = ⇔ =
−
⇔ − − − − =
⇔ + − =

=

⇔

= −

−
 
   
= − = ⇔ =
 ÷
 ÷  ÷
−
   
 
Chọn vectơ riêng là
1
1
X
 
=
 ÷
 
1
2
1 10 10
5: 0
1 10
x
X

x
α
λ
α
 
   
= − = ⇔ =
 ÷
 ÷  ÷
−
   
 
Chọn vectơ riêng là
10
1
X
 
=
 ÷
−
 
1
1 10
1 1
1 10
1
1 1
11
5 0
0 6

P
P
D
−
 
⇒ =
 ÷
−
 
− −
 
⇒ = −
 ÷
−
 
 
=
 ÷
−
 
Hệ
1
' . . .X P D P X F
−
⇔ = +

1 1
' . . .P X P D P X F
− −
⇔ = +

Đặt
1
.Y P X
−
=
( )
( )
1
5
1 1
6
2 2
5 6
1 1
5 6
2 2
5 5
2
1 1
4 4
2
2
' . .
'
5 0 1 10
1
'
0 6 1 1
11
1

' 5 10
11
1
' 6
11
1
(8 3 2).
16
1
(8 3 2).
16
t
t
t t
t t
dt dt
dt dt
Y D Y P F
y y
e
y y
e
y y e e
y y e e
y e t t e dt C
y e t t e d
−
−
−
−

−
−
⇔ = +
− −
 
   
   
⇔ = −
 ÷
 ÷  ÷
 ÷  ÷
− −
   
   
 

= − − −


⇔


= − − − +


 
∫ ∫
= − − +
 ÷
 

⇔
∫ ∫
= + +
∫
1
t C




 

+
 ÷

 

∫
_ Giải
1
y
( )
5 2 5
1 1
5
1
1
(8 3 2).
16
t t

t
y e t t e dt C
e I C
−
−
 
= − − +
 ÷
 
= +
∫
.Giải I
2
5
5
5
2
1 3
(8 3 2)
16 16
5
1 3
(8 3 2).
16 5 16 5
t
t
t t
u t t du t dt
e
dv e dt v

e e
I t t t dt
 
= − − ⇒ = −
 ÷
 
= ⇒ =
 
= − − − −
 ÷
 
∫
Kết luận:nghiệm của hệ X=P.Y
1 1
2 2
1 1 2
2 1 2
1 10
1 1
10
x y
x y
x y y
x y y
   
 
⇔ =
 ÷  ÷
 ÷
−

 
   
= +

⇔

= −

Câu 3:
0
3 1
.2
5
2 2
lim
2 4
x
x x
I
x
→
+
= =
Câu 4:
2 2 2 2
2 2
1 5 1 5
1
0 1
1 5

2 2 2
1 5 3
1 1
x x x x
x
x x
I e e dx e e dx
f e e
x x x
− − − −
+∞
− −
→+∞
   
= − + −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
 
= − + − − − − =
 ÷
 
∫ ∫
:
⇒
hội u5
Câu 5: