Đề thi và lời giải chi tiết kì thi chọn học sinh giỏi lớp 12 vòng 1 và vòng 2 Môn Toán năm học 2018 - 2019 thành phố Hà Nội
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.61 MB, 4 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1></div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>
<b>Câu II) </b>
1) Giải phương trình <i><sub> </sub><sub> cos x =1− x</sub></i>2<sub>.</sub><sub> </sub>
2) Giải hệ phương trình
<i> </i>
<i>x</i>2<i><sub>+ 3y</sub></i>2<i><sub>+ 2xy −6x −2y + 3= 0</sub></i>
<i>x</i>2<i><sub>− y +5 = 2x y + 3</sub></i>
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪ .
<b>Giải </b>
1) Xét hàm số <i><sub> </sub><sub> f (x) = x</sub></i>2<i><sub>+ cos x −1</sub></i><sub> có </sub>
<i> </i>
′<i>f (x)= 2x −sin x; ′′f (x)= 2−cos x > 0,∀x</i> do đó phương trình
<i> </i>
′<i>f (x)</i>= 0 có tối đa một nghiệm, tức <i> </i> ′<i>f (x)= 0 ⇔ x = 0.</i>
Bảng biến thiên:
Quan sát bảng biến ta có phương trình <i><sub> </sub><sub> f (x) = 0 ⇔ cos x =1− x</sub></i>2<sub> có nghiệm duy nhất </sub>
<i> </i>
<i> x = 0.</i>
2) Từ phương trình thứ nhất của hệ nhóm lại thành phương trình bậc hai ẩn <i> x</i> có
<i> </i>
<i> x</i>2<i>+ 2x( y −3)+ 3y</i>2<i>−2y + 3= 0.</i>
Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi
<i>x</i> <sub>−∞</sub> <sub> 0</sub> <sub>+∞</sub>
<i>y′ </i> – <sub>0</sub> +
<i>y</i> +∞
0
</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>
<i> </i>Δ′<i>x= ( y −3)</i>
2<i><sub>−(3y</sub></i>2<i><sub>−2y + 3) ≥ 0 ⇔ y</sub></i>2<i><sub>+ 2y −3≤ 0 ⇔ −3≤ y ≤1.</sub></i>
Khi đó viết lại phương trình thứ hai của hệ có: <i><sub> </sub><sub> (x − y + 3)</sub></i>2<i><sub>= 2y −2.</sub></i><sub> </sub>
Nhận thấy
<i> </i>
<i>VT≥ 0;VP ≤ 0 ⇒VT =VP = 0 ⇔</i> <i>x− y + 3 = 0</i>
<i>2 y</i>−2 = 0
⎧
⎨
⎪⎪
⎩⎪⎪
⇔ <i>x</i>= 2
<i>y</i>=1
⎧
⎨
⎪⎪
⎩⎪⎪ .
Vậy hệ có nghiệm duy nhất <i><sub> </sub><sub> (x; y) = (2;1).</sub></i>
<b>Câu III) </b>
Cho dãy số <i><sub> (a</sub><sub>n</sub></i>) thoả mãn
<i> a</i>1=
1
2 và <i><sub> </sub>an+1</i>=
<i>a<sub>n</sub></i>2
<i>a<sub>n</sub></i>2<i><sub>− a</sub></i>
<i>n</i>+1
<i>,n</i>=1,2,...
1) Chứng minh rằng dãy số <i><sub> (a</sub><sub>n</sub></i>) là dãy số giảm.
2) Với mỗi số nguyên dương <i><sub> n,</sub></i> đặt <i><sub> </sub><sub> b</sub><sub>n</sub>= a</i><sub>1</sub><i>+ a</i><sub>2</sub><i>+...+ a<sub>n</sub></i>. Tính
<i> n→+∞</i>lim <i>bn</i>.
<b>Giải. Rõ ràng </b><i><sub> </sub><sub> a</sub><sub>n</sub></i>> 0 với mọi <i><sub> </sub><sub> n =1,2,...</sub></i> và
<i> </i>
<i>a<sub>n+1</sub></i>
<i>a<sub>n</sub></i> =
<i>a<sub>n</sub></i>
<i>a<sub>n</sub></i>2<i><sub>− a</sub></i>
<i>n</i>+1
= 1
<i>a<sub>n</sub></i>+ 1
<i>a<sub>n</sub></i>−1
≤ 1
<i>2 a<sub>n</sub></i>. 1
<i>a<sub>n</sub></i> −1
= 1
2−1=1.
Điều đó chứng tỏ dãy số <i><sub> (a</sub><sub>n</sub></i>) là dãy số giảm.
Ta có biến đổi đưa về sai phân:
<i> </i>
<i>a<sub>k+1</sub></i>= <i>ak</i>
2
<i>a<sub>k</sub></i>2<i><sub>− a</sub></i>
<i>k</i>+1
<i>⇔ a<sub>k+1</sub></i>−1= <i>ak</i>−1
<i>a<sub>k</sub></i>2<i><sub>− a</sub></i>
<i>k</i>+1
⇔ 1
<i>a<sub>k+1</sub></i>−1<i>= ak</i>+
1
<i>a<sub>k</sub></i>−1<i>⇔ ak</i>=
1
<i>a<sub>k+1</sub></i>−1−
1
<i>a<sub>k</sub></i>−1.
Vậy
<i> </i>
<i>b<sub>n</sub></i>= <i>a<sub>k</sub></i>
<i>k=1</i>
<i>n</i>
∑
= 1<i>a<sub>k+1</sub></i>−1−
1
<i>a<sub>k</sub></i>−1
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟⎟
<i>k=1</i>
<i>n</i>
∑
= 1<i>a<sub>n+1</sub></i>−1−
1
<i>a</i><sub>1</sub>−1=
1
<i>a<sub>n+1</sub></i>−1+ 2.
Vậy
<i> </i>
lim
<i>n→+∞bn</i>= lim<i>n→+∞</i>
1
<i>a<sub>n+1</sub></i>−1+ 2
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟⎟= lim 1
<i>n→+∞an+1</i>−1
+ 2 = 1
0−1+ 2 =1. Chú ý <i> n→+∞</i>lim <i>an</i>= 0.
<b>Câu IV) </b>
Theo quy tắc hình hộp có
<i> </i>
<i>A ′C</i>
! "!!
<i>= AB</i>! "!!<i>+ AD</i>! "!!<i>+ A ′</i>! "!!<i>A</i>
⇔ <i>A ′C</i>
<i>AQ</i> <i>AQ</i>
! "!!
= <i>AB</i>
<i>AM</i> <i>AM</i>
! "!!
+ <i>AD</i>
<i>AN</i> <i>AN</i>
! "!!
+ <i>A ′A</i>
<i>AP</i> <i>AP</i>
! "!!
⇔ 3
<i>AQAQ</i>
! "!!
= 1
<i>AM</i> <i>AM</i>
! "!!
+ 1
<i>AN</i> <i>AN</i>
! "!!
+ 1
<i>APAP</i>
! "!!
.
Mặt khác do bốn điểm <i><sub> M , N , P,Q</sub></i> đồng phẳng nên
<i> </i>
3
<i>AQ</i>=
1
<i>AM</i> +
1
<i>AN</i>+
1
<i>AP</i>.
Mặt khác
<i> </i>
1
<i>AM</i>+
1
<i>AN</i>+
1
<i>AP</i>=
1
<i>AM</i>+
1
<i>AN</i> +
1
<i>AP</i>
⎛
⎝
⎜⎜
⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟
2
> 1
<i>AM</i>2+
1
<i>AN</i>2+
1
<i>AP</i>2 =
1
<i>AH</i>2 =
</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>
Do đó
<i> </i>
3
<i>AQ</i>>
1
<i>AH</i> <i>⇔ AQ < 3AH.</i>
Chú ý khối tứ diện vng <i><sub> AMNP</sub></i> có
<i> </i>
1
<i>AH</i>2 =
1
<i>AM</i>2+
1
<i>AN</i>2+
1
<i>AP</i>2.
<b>Câu V) </b>
Cho các số thực không âm <i><sub> a,b,c</sub></i> thoả mãn <i><sub> </sub><sub> a</sub></i>2<i><sub>+ b</sub></i>2<i><sub>+ c</sub></i>2<sub>=1.</sub><sub> Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức </sub>
<i> </i>
<i> P = a + b+ c−4abc.</i>
<b>Giải. </b> Vì tính đối xứng của <i><sub> a,b,c</sub></i> nên ta có thể giả sử
<i> </i>
<i>c= max a,b,c</i>
{
}
<i>⇒1= a</i>2<i><sub>+ b</sub></i>2<i><sub>+ c</sub></i>2<i><sub>≤ 3c</sub></i>2<i><sub>⇒ c ∈</sub></i> 13;1
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥.
Khi đó sử dụng bất đẳng thức Cauchy –Schwarz có:
<i> </i>
<i>P= a + b+ c−4abc = c(1−4ab)+ a + b</i>
<i>≤ c</i>
(
2<i><sub>+ (a + b)</sub></i>2)
(
<sub>(1−4ab)</sub>2<sub>+1</sub>2)
<i><sub>= (1+ 2ab)(16a</sub></i>2<i><sub>b</sub></i>2<i><sub>−8ab+ 2)</sub></i>Đặt
<i> t= ab ≤</i>
<i>a</i>2<i><sub>+ b</sub></i>2
2 =
1−c2
2 ≤
1−1
3
2 =
1
3<i>⇒ 0 ≤ t ≤</i>
1
3.
Khi đó
<i> </i>
<i>P≤ f (t) = (1+ 2t)(16t</i>2<i><sub>−8t + 2) ≤ max</sub></i>
0;1
3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
<i>f (t)= f (0) = 2.</i> Vậy giá trị lớn nhất bằng <sub> 2.</sub> Dấu
bằng đạt tại chẳng hạn
<i> </i>
</div>
<!--links-->
