Tải bản đầy đủ (.doc) (5 trang)

CHUYEN DE DSTH SO PHUC

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (948.89 KB, 5 trang )

Chuyên đề
SỐ PHỨC−ĐẠI SỐ TỔ HỢP
I. SỐ PHỨC
A. LÝ THUYẾT
I. Dạng đại số ( vẫn còn nhớ )
II. Dạng lượng giác của số phức
( )
cos sinz r i
ϕ ϕ
= +
(r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (a, b ∈ R, z ≠ 0)
*
2 2
r a b= +
là môđun của z.
*
ϕ
là một acgumen của z thỏa
cos
sin
a
r
b
r
ϕ
ϕ

=





=


1. Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác. Nếu
( )
cos sinz r i
ϕ ϕ
= +
,
( )
' ' cos ' sin 'z r i
ϕ ϕ
= +
thì:
*
( ) ( )
. ' . ' cos ' sin 'z z r r i
ϕ ϕ ϕ ϕ
 
= + + +
 
*
( ) ( )
cos ' sin '
' '
z r
i
z r
ϕ ϕ ϕ ϕ

 
= − + −
 
2. Công thức Moivre:
*n N∈
thì
( ) ( )
cos sin cos sin
n
n
r i r n i n
ϕ ϕ ϕ ϕ
 
+ = +
 
3. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác
Căn bậc hai của số phức
( )
cos sinz r i
ϕ ϕ
= +
(r > 0) là
cos sin
2 2
r i
ϕ ϕ
 
+
 ÷
 


cos sin
2 2
r i
ϕ ϕ
 
− +
 ÷
 
B. BÀI TẬP
1. (ĐH_Khối A 2009)
Gọi z
1
, z
2
là hai nghiệm của phương trình z
2
+2z+10=0. Tính giá trị biểu thức
2
2
2
1
zzA
+=
.
ĐS: A=20
2. Cho z
1
, z
2

là các nghiệm phức của phương trình
2
2 4 11 0z z− + =
. Tính giá trị của biểu thức
( )
2 2
1 2
2
1 2
z z
A
z z
+
=
+
.
ĐS: A=11/4
3. (CĐ_Khối A 2009)
a. Số phức z thỏa mãn (1+i)
2
(2−i)z=8+i+(1+2i)z. Tìm phần thực, phần ảo của z.
b. Giải phương trình sau trên tập số phức:
iz
iz
iz
2
734
−=

−−

.
ĐS: a. a=2, b=−3
b. z=1+2i, z=3+i
4. Tìm số phức z thoả mãn:
2 2z i− + =
. Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị.
ĐS:
( ) ( )
2 2 1 2 , 2 2 1 2z i z i= − − + = + − −
.
5. (ĐH_Khối B 2009)
Tìm số phức z thỏa mãn
( )
102
=+−
iz

25.
=
zz
.
ĐS: z=3+4i hoặc z=5
6. Tìm số phức z thỏa mãn:
( )
( )
1
1 1
3
1 2
z

z i
z i
z i


=






=

+

.
HD: Gọi z=x+yi; (1)⇒x=y, (2)⇒y=1.
ĐS: z=1+i.
Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC
1
7. Giải phương trình:
4
1
z i
z i
+
 
=
 ÷


 
.
ĐS: z∈{0;1;−1}
8. Giải phương trình:
2
0z z+ =
.
HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình ⇒ x, y ⇒ z.
ĐS: z∈{0;i;−i}
9. Giải phương trình:
2
0z z+ =
.
HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình ⇒ x, y ⇒ z.
ĐS: z=0, z=−1,
1 3
2 2
z i= ±
10. Giải phương trình:
2
4 3
1 0
2
z
z z z− + + + =
.
HD: Chia hai vế phương trình cho z
2
.

ĐS: z=1±i,
1 1
2 2
z i= − ±
.
11. Giải phương trình: z
5
+ z
4
+ z
3
+ z
2
+ z + 1 =0.
HD: Đặt thừa số chung
ĐS:
1 3 1 3
1, ,
2 2 2 2
z z i z i= − = ± = − ±
.
12. Cho phương trình: (z + i)(z
2
−2mz+m
2
−2m)=0. Hãy xác định điều kiện của tham số m sao cho phương
trình:
a. Chỉ có đúng 1 nghiệm phức. b. Chỉ có đúng 1 nghiệm thực.c. Có ba nghiệm phức.
13. Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận
α

làm nghiệm biết:
a.
α
= 2−5i b.
α
= −2−i
3
c.
α
=
3 - 2i
14. Giải phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo:
a. z
3
−iz
2
−2iz−2 = 0. b. z
3
+(i−3)z
2
+(4−4i)z−7+4i = 0.
15. (ĐH_Khối D 2009)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thõa mãn điều kiện
( )
243
=−−
iz
.
ĐS: (x−3)
2

+(y+4)
2
=4
16. Xác định tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức:
2 2z i z z i− = − +
.
ĐS:
2
4
x
y =
.
17. Trong các số phức thỏa mãn
3
2 3
2
z i− + =
. Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.
HD: *Gọi z=x+yi.
3
2 3
2
z i− + =
⇒ … ⇒
( ) ( )
2 2
9
2 3
4
x y− + + =

.
* Vẽ hình ⇒|z|
min
⇒z.
ĐS:
26 3 13 78 9 13
13 26
z i
− −
= +
.
18. Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau:
a.
( )
10
9
(1 i)
3 i
+
+
. b.
( )
7
5
cos sin 1 3
3 3
i i i
π π
 
− +

 ÷
 
.
HD: Sử dụng công thức Moivre.
ĐS: a. Phần thực
1
16

, phần ảo bằng 0, b. Phần thực 0, phần ảo bằng 128.
19. Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: 1+(1+i)+(1+i)
2
+(1+i)
3
+ … + (1+i)
20
.
Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC
2
HD: Áp dụng công thức tính tổng của CSN.
ĐS: phần thực −2
10
, phần ảo: 2
10
+1.
II. ĐẠI SỐ TỔ HỢP
A. LÝ THUYẾT
1. Giai thừa: n!= n.(n−1)!=n.(n−1).(n−2). … .3.2.1, n≥0.
2. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:
( )
!

!
kn
n
A
k
n

=
, n≥k>0.
3. Số tổ hợp chập k của n phần tử:
( )
!!
!
knk
n
C
k
n

=
, n≥k≥0.
4. Quy ước n!=0!=1.
5. Nhị thức Newton
( )
nn
n
nn
n
nn
n

n
n
n
n
n
n
n
bCabCbaCbaCbaCaCba
++++++=+
−−−−−−
11222222110

.
Công thức số hạng tổng quát:
kknk
nk
baCT

+
=
1
, 0≤k≤n.
B. BÀI TẬP
1. (CĐ_Khối D 2008)
Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của
18
5
1
2









+
x
x
, (x>0).
ĐS: 6528
2. (ĐH_Khối D 2004)
Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của
7
4
3
1








+
x
x
với x>0.

ĐS: 35
3. (ĐH_Khối A 2003)
Tìm số hạng chứa x
8
trong khai triển nhị thức Newton của
n
x
x






+
5
3
1
, biết rằng
( )
37
3
1
4
+=−
+
+
+
nCC
n

n
n
n
, (n
nguyên dương, x>0, (
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
ĐS: 495
4. (ĐH_Khối D 2005)
Tính giá trị biểu thức
( )
!1
3
34
1
+
+
=
+
n
AA
M
nn
, biết rằng
14922
2
4
2

3
2
2
2
1
=+++
++++
nnnn
CCCC
(n là số nguyên dương,
k
n
A
là số chỉnh hợp chập k của n phần tử và
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử)
ĐS:
4
3
=
M
5. (ĐH_Khối A 2006)
Tìm số hạng chứa x
26
trong khai triển nhị thức Newton của
n
x
x







+
7
4
1
, biết rằng
12
20
12
2
12
1
12
−=+++
+++
n
nnn
CCC 
, (n nguyên dương và
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
ĐS: 210
6. (ĐH_Khối D 2008)

Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức
2048
12
2
3
2
1
2
=+++
−n
nnn
CCC 
. (
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n
phần tử).
ĐS: n=6
7. (ĐH_Khối D 2007)
Tìm hệ số của x
5
trong khai triển thành đa thức của x(1−2x)
5
+x
2
(1+3x)
10
.
ĐS: 3320

8. (ĐH_Khối D 2003)
Với n là số nguyên dương, gọi a
3n

3
là hệ số của x
3n

3
trong khai triển thành đa thức của (x
2
+1)
n
(x+2)
n
. Tìm
n để a
3n

3
=26n.
ĐS: n=5
9. (ĐH_Khối D 2002)
Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC
3
Tìm số nguyên dương n sao cho
0 1 2
2 4 2 243
n n
n n n n

C C C C+ + + + =L
.
ĐS: n=5
10. (ĐH_Khối B 2008)
Chứng minh rằng
k
n
k
n
k
n
CCC
n
n 111
2
1
1
11
=








+
+
+

+
++
(n, k là các số nguyên dương, k≤n,
k
n
C
là số tổ hợp chập k của
n phần tử).
11. (ĐH_Khối B 2007)
Tìm hệ số của số hạng chứa x
10
trong khai triển nhị thức Newton của (2+x)
n
, biết:
3
n
C
n
0
−3
n

1
C
n
1
+3
n

2

C
n
2
−3
n

3
C
n
3
+ … +(−1)
n
C
n
n
=2048 (n là số nguyên dương,
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n
phần tử).
ĐS: 22
12. (ĐH_Khối B 2006)
Cho tập A gồm n phần tử (n≥4). Biết rằng, số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2
phần tử của A. Tìm k∈{1,2,…,n} sao cho số tập con gồm k phần tử cua A lớn nhất.
ĐS: k=9
13. (ĐH_Khối B 2003)
Cho n là số nguyên dương. Tính tổng
n
n

n
nnn
C
n
CCC
1
12
3
12
2
12
1
2
3
1
2
0
+

++

+

+
+

, (
k
n
C

là số tổ hợp chập k
của n phần tử).
ĐS:
1
23
11
+

++
n
nn
14. (ĐH_Khối B 2002)
Cho đa giác đều A
1
A
2
…A
n
(n≥2, n nguyên) nội tiếp đường tròn tâm (O). Biết rằng số tam giác có các đỉnh là
3 trong 2n điểm A
1
A
2
…A
n
nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A
1
A
2
…A

n
, tìm
n.
ĐS: n=8
15. (ĐH_Khối A 2008)
Cho khai triển (1+2x)
n
=a
0
+a
1
x+ … +a
n
x
n
, trong đó n∈N* và các hệ số a
0
, a
1
,…a
n
thỏa mãn hệ thức
4096
2
2
1
0
=+++
n
n

a
a
a 
. Tìm số lớn nhất trong các số a
0
, a
1
,…a
n
.
ĐS: a
8
=126720
16. (ĐH_Khối A 2007)
Chứng minh rằng
2
1 3 5 2 1
2 2 2 2
1 1 1 1 2 1
2 4 6 2 2 1
n
n
n n n n
C C C C
n n


+ + + + =
+
L

, (
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần
tử).
17. (ĐH_Khối A 2005)
Tìm số nguyên dương n sao cho
( )
20052.122.42.32.2
12
12
24
12
33
12
22
12
1
12
=+++−+−
+
+++++
n
n
n
nnnn
CnCCCC 
, (
k

n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
ĐS: n=1002
18. (ĐH_Khối A 2004)
Tìm hệ số của x
8
trong khai triển thành đa thức của [1+x
2
(1−x)]
8
.
ĐS: 238
19. (ĐH_Khối A 2002)
Cho khai triển nhị thức
n
x
n
n
n
x
x
n
n
x
n
x
n
n
x

n
n
x
x
CCCC








+

















++
















+








=









+







−−


3
1
3
2
1
1
3
1
2
1
1
2
1
0

3
2
1
22222222 
(n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó
13
5
nn
CC
=
và số hạng thứ 4 bằng 20n, tìm n và x.
Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC
4
ĐS: n=7, x=4
20. Cho số phức z=1+i.
a. Viết khai triển nhị thức Newton của nhị thức (1+i)
n
.
b. Tính các tổng S
1
=1−C
n
2
+C
n
4
−C
n
6
+… S

2
=C
n
1
−C
n
3
+C
n
5
−…
21. Chứng minh rằng C
100
0
–C
100
2
+C
100
4
–C
100
6
+ … –C
100
98
+C
100
100
=–2

50
.
−o0o−
Chuyên đề: ĐẠI SỐ TỔ HỢP_SỐ PHỨC
5

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay
×