Toán 11 Chương 1 cách giải lượng giác va Bài tập

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (554.36 KB, 96 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Ch-ơng

I: Ph-ơng trình l-ợng giác cơ bản

và một số ph-ơng trình l-ợng giác th-ờng gặp

Để giải 1 PTLG , nói chung ta tiến hành theo c¸c b-íc
sau:

B-ớc 1: Đặt điều kiện để ph-ơng trình có nghĩa. Các điều 
kiện ấy bao hàm các điều kiện để căn có nghĩa,phân số có
nghĩa, biểu thức log arit có nghĩa. Ngồi ra trong các PTLG có
chứa các biểu thức chứa tan x va cot gx thì cần điều kiện để

tan x vµ cot gx cã nghÜa.

B-ớc 2: Bằng ph-ơng pháp thích hợp đ-a các ph-ơng trình đã 
cho về một trong các ph-ơng trình cơ bản .

B-ớc 3: Nghiệm tìm đ-ợc phải đối chiếu với điều kiện đã đặt 
ra. Những nghiệm nào khơng thoả mãn điều kiện ấy thì bị
loại.

1.1-Ph-ơng trình l-ợng giác cơ bản

1.1.1- Định nghĩa: Ph-ơng trình l-ợng giác là ph-ơng trình 
chứa một hay nhiều hàm số l-ợng giác .

1.1.2- Các ph-ơng trình l-ợng giác cơ bản. 
a) Giải và biện luận ph-ơng trình sin x= (1) m

Do sinx∈ −

[

1;1

]

nên để giải ph-ơng trình (1) ta đi biện luận
theo các b-ớc sau

B-íc1: Nếu |m|>1 ph-ơng trình vô nghiệm 
B-ớc 2: Nếu |m|<1 ,ta xét 2 khả năng

-Kh nng 1: Nu m đ-ợc biểu diễn qua sin của góc đặc biệt 
,giả sử

α

khi đó ph-ơng trình sẽ có dạng đặc biệt.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

sin sin 2 ,
2

x k

α

π

α

π α

π

= +


= ⇔ = − + ∈

 ¢

-Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn đ-ợc qua sin của góc đặc 
biệt khi đó đặt m=sin

α

. Ta có:sin sin 2 ,

x k

α

π

α

π α

π

= +


= ⇔ = − + ∈

 ¢

Nh- vậy ta có thể kết luận ph-ơng trình có 2 họ nghiệm
Đặc biệt ta cần phải nhớ đ-ợc các giá trị của các cung đặc
biệt nh- ; ; ; ; ;2

6 4 2 3

π π π π π π

 

 

  vì sau khi biến đổi các bài toán

th-ơng đ-a về các cung đặc biệt.
Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình

sin 1
4

x=

Gi¶i: 
Ta nhËn thÊy 1

4 khơng là giá trị của cung đặc biệt nào nên
ta đặt 1

4 =sin

α

Khi đó ta có: sin sin 2 ,

x k

α

π

α

π α

π

= +


= ⇔ = − +

Vậy ph-ơng trình có 2 họ ngiệm
Ví dụ 2: Giải ph-ơng trình

3
sin(3 )

4 2

x+

Giải:

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Do sin 3
3 2

π

=

nªn

sin(3 ) sin(3 ) sin

4 2 4 3

3 2 3 2

4 3 4 3 24 3

5 2

3 2 3 2

4 3 3 4 24 3

x x

x k x k x k

k

x k x k x k

π

π π

π

π π

π

π

π

π

π

π π

π

π

+ = ⇔ + =

 + = +  = − + +  = +

  

⇔ ⇔ ⇔ ∈

 + = − +  = − + = +

Vậy ph-ơng trình có hai họ nghiệm .

b) Giải và biện luận ph-ơng trình l-ợng giác cosx=m ( )b

Ta cũng đi biƯn ln (b) theo m

B-íc 1: NÕu m >1ph-ơng trình vô nghiệm .
B-ớc 2: Nếu m 1 ta xét 2 khả năng:

-Kh nng 1: Nếu m đ-ợc biểu diễn qua cos của góc đặc biệt,
giả sử góc

α

. Khi đó ph-ơng trình có dạng

cos cos ,

2
= +


= ⇔  = − + ∈

 ¢

x k

α

π

α

π

-Khả năng 2: Nếu m khơng biểu diễn đ-ợc qua cos của góc đặc
biệt khi đó

đặt m = cos

α

.Ta có: cos cos 2 ,

= +


= ⇔ = − + ∈

 ¢

x k

α

π

α

π

Nh- vËy ta cã thể kết luận ph-ơng trình có 2 họ nghiệm
Ví Dụ Minh Hoạ.

Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình sau: 
1

cos

x=
Giải:

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Do cos( ) cos2 1

3 3 2

π

− = = − nªn

1 2

cos cos cos 2 ( )

2 3 3

x= − ⇔ x=

π

⇔ = +x

k

kÂ

Vậy ph-ơng trình có 2 họ nghiệm
Ví dụ 2: Giải ph-ơng trình:

3cos(2 ) 1
6

x+

π

Gi¶i:

1
3cos(2 ) 1 cos(2 )

6 6 3

x+

π

= ⇔ x+

π

V× 1

[

1;1

]

3∈ − vµ
1

3 khơng là giá trị của cung đặc biệt
nên tồn tại góc

α

∈

[

π

]

sao cho cos 1

α

Ta cã: cos(2 ) cos 2 2

6 6

x+

π

α

⇔ x+ = ± +

π

α

k

π

2 2 ( )

6 12 2

⇔ x = − ± +

π

α

k

π

⇔ = −x

π

± +

α

k

π

kÂ
Vậy ph-ơng trình có hai họ nghiệm .

c) Giải và biện luận ph-ơng trình l-ợng giác

tan

x

=

m

( )

c

Ta cũng biện luận ph-ơng trình (c) theo các b-ớc sau:

B-ớc 1: Đặt điều kiện cos 0 ,

≠ ⇔ ≠ + ∈¢

x x

π

k

B-ớc 2: Xét 2 khả năng

-Kh nng 1: Nếu m đ-ợc biểu diễn qua tan của góc đặc biệt

, giả sử

α

khi đó ph-ơng trình có dạng
tanx=tan

α

⇔ = +x

α

k

π

,k∈Â

-Khả năng 2: Nếu m khơng biểu diễn đ-ợc qua tan của góc đặc

biệt , khi đó đặt m =tan

α

ta đ-ợc

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

tanx=tan

α

⇔ = +x

α

k

π

,k∈¢

NhËn xÐt: Nh- vËy víi mọi giá trị của tham số ph-ơng trình
luôn có nghiƯm

VÝ Dơ Minh Ho¹:

VÝ dơ 1: Giải ph-ơng trình 
tanx= 3

Giải : 
Do 3 tan

= nªn ta cã: tan 3 tan tan

6 6

x= x=

= +x

k

kÂ

Vậy ph-ơng trình có 1 họ nghiệm.

Ví dụ 2: Giải ph-ơng trình 
tan( ) 2

5 x

=

Giải:

Điều kiÖn: cos( ) 0

5 x 5 x 2 k

π

− ≠ ⇔ − ≠ +

π

π

Do 2 khơng thể biểu diễn đ-ợc qua tan của góc đặc biệt nên
ta đặt tan

α

=2.

Từ đó ta có

tan( ) 2 tan( ) tan ( )

5 x 5 x 5 x k x 5 k k

π

− = ⇔

π

− =

α

⇔ − = +

π

α

π

⇔ = − −

π

α

π

∈¢

Vậy
ph-ơng trình có một họ nghiệm.

d) Giải và biện luận ph-ơng trình l-ợng giác

cot

x

=

m

( )

d

Ta cịng ®i biƯn ln theo m

B-ớc1: Đặt điều kiện sinx 0 x k

π

k∈¢

B-íc 2: XÐt 2 khả năng

-Kh nng 1: Nu m -c biu diễn qua cot của góc đặc biệt

, giả sử

α

khi đó ph-ơng trình có dạng

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

cotx=cot

α

⇔ = +x

α

k

π

,k∈¢

-Khả năng 2: Nếu m khơng biểu diễn đ-ợc qua cot của góc đặc
biệt , khi đó đặt m=cot

α

ta đ-ợc

cotx=cot

α

⇔ = +x

α

k

π

,k∈¢

NhËn xÐt: Nh- vậy với mọi giá trị của tham số ph-ơng trình
(d) luôn có nghiệm.

Ví Dụ Minh Hoạ: 
Ví dụ 1:

Giải ph-ơng trình sau: cot( ) 1
4 x 3

=

(1)
Giải:

Điều kiện cos( ) 0
4 −x ≠

π

4 x k x 4 k k

π

π

π

π

⇔ − ≠ ⇔ ≠ − ∈¢ (*)
Ta cã:

(1)⇔ cot( ) cot

4 x 3 4 x 3 k x 12 k k

π

− =

π

⇔ − = +

π

π

⇔ = −

π

−

π

∈¢

Hä nghiƯm trên thoả mÃn điều kiện (*)

Vậy ph-ơng trình có 1 họ nghiệm.
Ví dụ 2: Giải ph-ơng trình

cot(4x+35 )o = −1
Gi¶i:

Ta nhËn thÊy cot( 45 )− o = −1 nªn ta cã
cot(4x+35 )o = − ⇔1 cot(4x+35 )o =cot( 45 )− o

4x+35o = −45o +k180o 4x= 80o +k180ox= 20o +k45 (o kÂ)
Vậy ph-ơng trình có 1 hä nghiƯm .

L-u ý: Khơng đ-ợc ghi hai loại đơn vị ( radian hoặc độ )
trong cùng mt cụng thc.

1.2- Một số ph-ơng trình l-ợng giác th-êng gỈp.

1.2.1- Ph-ơng trình bậc hai đối với một hàm số l-ợng giác

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

D¹ng 1: asin2x+bsinx+ =c 0 (a≠0; , ,a b c∈¡ ) (1)
Cách giải: Đặt t =sinx , điều kiện | |t 1

Đ-a ph-ơng trình (1) về ph-ơng trình bậc hai theo t , giải
tìm t chú ý kết hợp với điều kiện rồi giải tìm x

D¹ng 2: acos2x+bcosx+ =c 0 (a≠0; , ,a b c∈¡ ) (2)

Cách giải: Đặt t =cosx ®iỊu kiƯn | |t ≤ ta cịng ®-a ph-ơng 1
trình (2) về ph-ơng trình bậc hai theo t, giải tìm t rồi
tìm x

Dạng 3: atan2x+btanx+ =c 0 (a≠0; , ,a b c∈¡ ) (3)

Cách giải: Điều kiện cos 0 ,

x +x

k

kÂ

Đặt t =tanx

(

tĂ

)

ta đ-a ph-ơng trình (3) về ph-ơng trình bậc
hai theo t, chú ý khi tìm đ-ợc nghiệm x cần thay vào điều
kiện xem thoả mÃn hay không

Dạng 4: acot2 x+bcotx+ =c 0 (a0; , ,a b c∈¡ ) (4)
Cách giải: Điều kiện sinx 0 x k

kÂ

Đặt t =cotx (tĂ ). Ta cũng đ-a ph-ơng trình (4) về ph-ơng
trình bậc hai theo ẩn t.

Ví Dụ Minh Hoạ:

Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình 2cos2x3cosx+ =1 0 (1)

Giải:

Ph-ơng trình (1)

2
cos 1

,
1

2
cos

3
2

x k
x

k

x k

x

π

π

= 






⇔ ⇔ ∈



 = = +

Vậy ph-ơng trình có 3 họ nghiệm.

Ví dụ 2: Giải ph-ơng trình: cot tan 4sin 2 2
sin 2

x x x

x

− + = (2)

Giải:

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Điều kiƯn sin 2 0 ,
2

≠ ⇔ ≠ k ∈¢

x x

π

k

Ta cã:

( )

2 2

cos sin 2

(2) 4sin 2

sin cos sin 2

cos sin 2

4sin 2

sin .cos sin 2

2cos 2 2

4sin 2 cos 2 2sin 2 1
sin 2 sin 2

cos 2 1

2cos 2 cos 2 1 0 1 *

cos 2

x x

x

x x x

x x

x

x x x

x

x x x

x x

x

x x

x

⇔ − + =

−

⇔ + =

⇔ + = ⇔ + =

=




⇔ − − = ⇔

 = −


Ta thấy cos 2x=1 không thoả mãn điều kiện. Do đó
(*)⇔ cos 2 1 2 2 2

2 3 3

x= − ⇔ x=

π

+k

π

= +x

k

kÂ

Vậy ph-ơng trình có 2 họ nghiệm.
Bài tập:

Bài 1: Giải ph-ơng trình: 5sin2x4sinx =1 0
Bài 2 Giải ph-ơng trình: cos 2x3cosx =4 0
Bài 3: Giải ph-ơng trình: 3tan 2 3tan 5 0

x x =

Bài 4: Giải ph-ơng trình: cos(4x+2)+3sin(2x+ =1) 2
Bài 5: Giải ph-ơng trình: tan 34 x3tan 3x+ =1 0
 Bài 6: Giải ph-ơng trình: cos 24 6cos 22 25

x+ x=

Bài 7: Giải ph-ơng trình:

2 2

sin 2

tan 6

2cos 2sin

x

Bài 8: Giải ph-ơng trình

1 2sin 3 2 sin sin 2
1
2sin .cos 1

x x x

x x

+ − + =

−

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Bài 9: Giải ph-ơng trình 4

cot 2 25

sin 2

x

+ =

1.2.2- Ph-ơng trình bậc nhất đối với

sin ,cos

x

a)Định nghĩa: Ph-ơng trình asinx+bcosx=c (1) trong đó a, b,
c∈Ă và a2 +b2 >0 đ-ợc gọi là ph-ơng trình bậc nhất đối với

sin ,cosx x

b) Cách giải.

Ta có thể lựa chọn 1 trong 2 c¸ch sau:
C¸ch 1: Thùc hiƯn theo c¸c b-íc

B-ớc 1:Kiểm tra

-Nếu a2 +b2<c2 ph-ơng trình v« nghiƯm

-Nếu a2 +b2 ≥c2 khi đó để tìm nghiệm của ph-ơng trình ta
thực hiện tiếp b-c 2

B-ớc 2: Chia cả 2 vế ph-ơng trình (1) cho a2 +b2 , ta đ-ợc

2 2 sin 2 2 cos 2 2

a b c

x x

a b a b a b

+ =

+ + +

V× 2 2

2 2 2 2

( a ) ( b ) 1

a b a b

+ =

+ + nên tồn tại góc

sao cho

2 2 cos , 2 2 sin

a b

a b a b

α

= =

+ +

Khi đó ph-ơng trình (1) có
dạng

2 2 2 2

sin .cosx sin .cosx c sin(x ) c

a b a b

α

= ⇔ +

α

+ +

Đây là ph-ơng trình cơ bản của sin mà ta đã biết cách giải
Cách 2: Thực hiện theo các b-ớc

B-íc 1: Víi cos 0 2 ( )

x

π

k

π

k

= ⇔ = + ∈¢ thử vào ph-ơng trình (1)

xem có là nghiệm hay kh«ng?

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

B-íc 2: Víi cos 0 2 ( )
2

x

π

k

π

k Z

≠ ⇔ ≠ +

Đặt tan
2

x

t = suy ra

2 2

2 1

sin , cos

1 1

t t

x x

t t

−

= =

+ +

Khi đó ph-ơng trình (1) có dạng

2 2

2 1

( ) 2 0 (2)

1 1

t t

a b c c b t at c b

t t

−

+ = ⇔ + − + − =

+ +

B-ớc 3: Giải ph-ơng trình (2) theo t , sau đó giải tìm x. 
* Dạng đặc biệt:

. sin cos 0 ( )

x+ x= ⇔ = − +x

π

k

π

k∈¢

. sin cos 0 ( )

x− x = ⇔ = +x

k

kÂ .
Chú ý: Từ cách 1 ta cã kÕt qu¶ sau

2 2 2 2

sin cos

a b a x b x a b

− + ≤ + ≤ + từ kết quả đó ta có thể áp dng

tìm GTLN và GTNN của các hàm số có d¹ng
sin cos

y=a x+b x, sin cos

sin cos

a x b x

y

c x d x

+
=

+ và ph-ơng pháp đánh giá cho một
số ph-ơng trình l-ợng giác .

VÝ Dơ Minh Hoạ:

Ví Dụ 1: Giải ph-ơng trình: sin 2x−3cos 2x= (1) 3
Giải :

Cách 1: Chia cả hai vế ph-ơng trình (1) cho 12 +32 = 10 ta
đ-ợc

1 sin 2 3 cos 2 3
10 x 10 x= 10
Đặt 3 sin , 1 cos

10 =

α

10 =

α

. Lúc đó ph-ơng trình (1) viết đ-ợc

d-íi d¹ng

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

cos sin 2 sin cos 2 sin sin(2 ) sin

2 2

x x x x

x k

x k x k

α

π

α α

π

α π α

π

− = ⇔ − =

= +


− = +

 

⇔ ⇔



− = − + = +

 

kÂ

Vậy ph-ơng trình có 2 nghiệm

Cách 2:-Ta nhận thấy cosx=0 là nghiệm của ph-ơng trình

-Với cos 0 ,

x ≠ +x

π

k

π

k∈Â . Đặt t=tanx ,lúc đó

2 2

2 1

sin 2 , cos 2

1 1

t t

x x

t t

= =

+ +

Ph-ơng trình (1) sẽ có dạng

2 2

2 1

3 3 2 3(1 ) 3(1 ) 3

1 1

t t

t t t t

t t

−

− = ⇔ − − = + ⇔ =

+ +

Hay tanx= =3 tan

α

⇔ = +x

α

k

π

,k∈¢

Vậy ph-ơng trình có 2 họ nghiệm
Cách 3: Biến đổi ph-ơng trình về dạng

sin 2 3(1 cos 2 ) 2sin .cos 6cos

cos 0 tan 3 tan

(sin 3cos ) cos 0

sin 3cos 0 cos 0

x x x x x

x x

x x x

α

= + ⇔ =

= = =

 

⇔ − = ⇔ ⇔

− = =

 

x k

k

x k

α

π

π

= +




⇔ ∈

 = +

Vậy ph-ơng trình có hai hä nghiƯm

Chú ý: Khi làm bài tốn dạng này chúng ta nên kiểm tra điều 
kiện tr-ớc khi bắt tay vào giải ph-ơng trình bởi có một số
bài tốn đã cố tình tạo ra những ph-ơng trình khơng thoả
mãn điều kiện. Ta xét ví dụ sau:

Ví Dụ 2: Giải ph-ơng trình 2 2(sinx+cos ) cosx x= +3 cos 2x

( )

2
 Gi¶i:

Ta biến đổi ph-ơng trình (2)

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Ta cã:

2 2 2

2 2

2 sin 2 2(1 cos 2 ) 3 cos 2
2 sin 2 ( 2 1) cos 2 3 2

2 ; 2 1 ; 3 2
2 ( 2 1) 5 2 2
(3 2) 11 6 2

x x x

x x

a b c

a b

c

⇔ + + = +

⇔ + − = −

= = − = −

+ = + − = −

= − = −

Suy ra a2 +b2<c2

Vậy ph-ơng trình đã cho vơ nghiệm .

Ngồi ra chúng ta cần l-u ý rằng việc biến đổi l-ợng giác
cho phù hợp với từng bài toán sẽ biểu diễn chẵn các họ
nghiệm . Ta xét ví dụ sau

VÝ Dụ 3: Giải ph-ơng trình (1+ 3)sinx+ (1 3) cosx=2 (3)
Gi¶i :

Cách 1:Thực hiện phép biến đổi 
(3)⇔ (1 3)sin (1 3) cos 2 1

2 2 x 2 2 x 2 2 2

+ + − = =

Đặt 1 3 cos ; 1 3 sin

2 2 x 2 2 x

+ = − =

Ph-ơng trình (3) sẽ đ-ợc viết thành
1

sin .cos sin .cos sin( ) sin
4
2

x

α

x= ⇔ x+

α

π

2 2

4 4

,
3

2 2

4 4

x k x k

k

x k x k

π

α

π

α

π

α π

π

α

π

 + = +  = − +

 

⇔ ⇔ ∈

 + = − +  = − +

 

 

Vậy ph-ơng trình có hai họ nghiệm
Cách 2: Biến đổi ph-ơng trình về dạng

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

(sin cos ) 3(sin cos ) 2 2 sin( ) 6 cos( ) 2

4 4

1 3 1

sin( ) cos( )

2 4 2 4 2

1
sin( ) cos cos( )sin

4 3 4 3 2

sin( ) sin

4 3 4

3
12 4

2 2

12 4 6

x x x x x x

x x

x

x k

k

x k x k

π

π π

π

π

π

π

π

π

π

π

+ + − = ⇔ + − + =

⇔ + − + =

⇔ + − =



 − = + = +




⇔ ⇔ ∈



 − = − + = +

 



Vậy ph-ơng trình có hai họ nghiệm

Qua hai cách giải ở bài trên ta nhận thấy bằng cách 2 ta
thu đ-ợc nghiệm ph-ơng trình chẵn.

Bi trờn cng có thể sử dụng cách đặt tan
2

x

t= vµ ta cũng thu
đ-ợc nghiệm chẵn

*Chú ý: Đối với ph-ơng trình dạng 
sin ( ) cos ( ) sin ( ) cos ( ) (*)

a P x +b Q x =c Q x +d P x trong đó a, b, c, d∈Ă
thoả mãn a2 +b2 =c2 +d2>0 và P(x) ,Q(x) không đồng thời là các
hàm hằng số . Bằng phép chia cho a2 +b2 ta có

(*)⇔sin

[

P x( )+

α

]

=sin

[

Q x( )+

β

]

(*)⇔cos

[

P x( )+

α

]

=cos

[

Q x( )+

β

]

trong đó

α β

, là các góc phụ
thích hợp. Ta xét ví dụ sau:

VÝ Dụ 4: Giải ph-ơng trình: cos 7xsin 5x= 3(cos5x−sin 7 ) (4)x

Gi¶i:

(4)⇔ cos 7x+ 3 sin 7x= 3 cos5x+sin 5x

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

1cos 7 3sin 7 3cos5 1sin 5

2 x 2 x 2 x 2 x

⇔ + = +

cos cos 7 sin sin 7 cos cos5 sin sin 5

3 x 3 x 6 x 6 x

π

⇔ + = +

cos(7 ) cos(5 )

3 6

x

π

x

π

⇔ − = −

7 5 2

3 6

7 (5 ) 2

3 6

x x k

π

π

π

π

π

π

 − = − +


⇔ 

 − = − − +


2 2

6 12

12 2

8 6
2

x k x k

k Z

k
x

x k

π

π

π

π

π

π

 = +  = +

 

⇔  ⇔ ∈

 = + = +

Vậy ph-ơng trình có hai họ nghiệm.
Bài tập: Giải các ph-ơng trình sau : 
1. 3 sinx+cosx= 3

2. 10cosx−24sin 2x=13

3. sin2x+ 6 cosx=3cos2x+ 2 sinx

4. 4cos3x− 3 sin 3x= +1 3cosx

5. sin4x−cos4x = +1 2 2 sin .cosx x

6. 2( 3 sinx−cos )x = 7 sin 2x+3(cos4 x−sin4x)
7. 8sin 3 1

cos sin

x

x x

= +

8. 2 2(sinx+cos ) cosx x= +3 cos 2x

9. cosx+2cos 2x=2 2+cos3x

10. 2 cos( ) 6 sin( ) 2sin( 2 ) 2sin(3 )

5 12 5 12 5 3 5 6

x −

π

− x −

π

= x +

π

− x +

π

1.2.3- Ph-ơng trình thuần nhất bậc hai đối với

sin x

và

cos x

. 
a) Định nghĩa: Ph-ơng trình thuần nhất bậc hai đối với sin x 
,cos x là ph-ơng trình.

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

asin2x+bsin .cosx x+ccos2x=d (1) trong đó a, b, c,
d ∈Ă

b) C¸ch giải :

Chia từng vế của ph-ơng trình (1) cho một trong ba hạng
tử sin2x,cos2 x hoặc sin .cosx x . Chẳng hạn nếu chia cho cos x2 ta
làm theo các b-ớc sau:

B-ớc 1: Kiểm tra:

cos 0 ,

x= ⇔ = +x

π

k

π

k∈¢ xem nó có phải là nghiệm của ph-ơng
trình(1) hay không?

B-ớc 2: Với cosx≠0 chia cả hai vế cho cos x2 lúc đó ph-ơng

trình (1) trở thành

2 2

tan tan (1 tan )

( ) tan tan 0

a x b x c d x

a d x b x c d

+ + = +

⇔ − + + − =

Đây là ph-ơng trình bậc hai theo tan ta đã bit cỏch
gii.

Cách 2: Dùng công thức hạ bậc

2 1 cos 2 2 1 cos 2 sin 2

sin ; cos ; sin .cos

2 2 2

x x x

x= − x= + x x=

đ-a ph-ơng trình đã cho về ph-ơng trình
bsin 2x+ −(c a) cos 2x= − −d c a

Đây là ph-ơng trình bậc nhất đối với sin và cos ta đã biết
cách giải

*Chú ý: Đối với ph-ơng trình đẳng cấp bậc n (n≥3) với dạng
tổng quát

(sinn ,cosn ,sink cosh ) 0

A x x x x = trong đó k + =h n k h n; , , ∈Ơ
Khi đó ta cũng làm theo 2 b-ớc :

B-íc 1: KiĨm tra xem cosx= cã phải là nghiệm của ph-ơng 0
trình hay không?

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

B-íc 2: NÕu cosx≠0.Chia c¶ hai vÕ cđa ph-ơng trình trên
cho cosn x ta sẽ đ-ợc ph-ơng trình bậc n theo tan. Giải
ph-ơng trình này ta đ-ợc nghiệm của ph-ơng trình ban đầu.
Ví Dụ Minh Hoạ:

Ví Dụ 1: Giải ph-ơng trình : 2 3 cos2x+6sin .cosx x= +3 3 (1)
Gi¶i:

Cách 1: Ph-ơng trình

(1) 3(1 cos 2 )+ x +3sin 2x= +3 3⇔cos 2x+ 3 sin 2x = 3
1cos 2 3sin 2 3 cos(2 ) 3

2 x 2 x 2 x 3 2

π

⇔ + = ⇔ − =

2 2 2

3 6 4

2 2

3 6 12

 − = +  = +

 

⇔ ⇔ ∈

 − = − +  = +


 



x k x k

k

x k x k

π π

π

π

π

π

π

π

π

Vậy ph-ơng trình có hai họ nghiệm.
Cách 2: +) Thư víi cos 0 2

x= ⇔ = +x

k

kÂ vào ph-ơng trình

(1) ta cã 0= +3 3 ⇒v« lÝ.

VËy 2

x= +

k

kÂ không là nghiệm của ph-ơngtrình.

+)Với cosx Chia cả hai vế của ph-ơng trình cho 0 cos x2
ta ®-ỵc

2 3+6 tanx = +(3 3)(1 tan+ 2x)⇔ +(3 3) tan2x−6 tanx+ −3 3=0

tan 1

4
3 3

tan tan

3 3
=

  = +

 

⇔ − ⇔ ∈



= = = +

 +

x

x k

k
x

x k

Vậy ph-ơng trình có hai họ nghiệm

* Chú ý: Không phải ph-ơng trình nào cũng ở dạng thuần nhất 
ta ph¶i thùc hiƯn

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

một số phép biến i thớch hp

Ví Dụ 2: Giải ph-ơng trình: sin (3 ) 2 sin
4

x−

π

= x (2)
Gi¶i :

Ta nhËn thÊy sin( )
4

x

có thể biểu diễn đ-ợc qua sinx−cosx.
Luü thõa bËc ba biÓu thøc sinx−cosx

ta sẽ đ-a ph-ơng trình về dạng thuần nhất đã biết cách
gii

Ph-ơng trình (2)

3
3

2 2 sin ( ) 4sin 2 sin( ) 4sin

4 4

x

π

x  x

π

 x

⇔ − = ⇔ −  =

 

⇔(sinx−cos )x 3 =4sinx

+) XÐt víi cos 0 2

x= ⇔ = +x

π

k

π

k∈Â . Khi đó ph-ơng trình có

d¹ng

sin ( ) 4sin( )

2 k 2 k

π

π

π

π

⇔ + = + mâu thuẫn

Vậy ph-ơng trình không nhận 2
2

x= +

k

làm nghiệm

+) Với cosx0. Chia cả hai vế của ph-ơng trình (2) cho cos x3
ta đ-ợc :

(tanx−1)3 =4(1 tan+ 2x) tanx⇔3tan3x+3tan2 x+tanx− =1 0.
Đặt t =tanx ph-ơng trình có đ-ợc đ-a về dạng:

3 2 2

3 3 1 0 ( 1)(3 1) 0

t t t t t

t x

π

k

π

k

+ + − = ⇔ + + =

= = + Â

Họ nghiệm trên thoả mÃn điều kiện của ph-ơng trình .
Vậy ph-ơng tr×nh cã duy nhÊt 1 hä nghiƯm

*Chú ý: Ngồi ph-ơng pháp giải ph-ơng trình thuần nhất đã 
nêu ở trên có những ph-ơng trình có thể giải bằng ph-ơng

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

pháp khác tuỳ thuộc vào từng bài toán để giải sao cho cách
giải nhanh nhất ,khoa hc nht.

Ví Dụ 3: Giải ph-ơng trình: 1 tan 1 sin 2
1 tan

x

x
x

− = +

+ (3)

Giải :

Điều kiện cos 0 2

tan 1
4
x k
x
k
x
x k

π

π

π

π

 ≠ +

≠
 ⇔ ∈
 = − 
  ≠ − +

¢

Cách 1: Biến đổi ph-ơng trình về dạng :

(

)

(

)

3
cos sin
cos sin
cos sin

cos sin cos sin

x x

x x x x

− = +

= +

Chia cả hai vế của ph-ơng trình (3) cho cos3x0 ta đ-ợc
:

(

)

(

)

(

)

3
2 2
3 2
2

1 tan 1 tan tan 1 tan
tan tan 2 tan 0

tan tan 2 tan 0 (*)

x x x x

x x x

+ − + = +

⇔ + + =

(dotan2x+tanx+ =2 0 vô nghiệm) nên:
Ph-ơng trình (*) tanx= ⇔ =0 x k

π

(

k ∈Z

)

Vậy ph-ơng trình có một họ nghiệm
Cách 2: Biến đổi ph-ơng trình về dạng

(

)

2
2
cos sin
cos sin

cos sin
cos
2
4

2sin cot( )

4 4 1 cot ( )

sin
4
4
x x
x x
x x
x
x x
x
x

π

− = +
+
 + 
   
 
⇔ =  + ⇔ + =
+ + +

Đặt cot( )
4

t = x+

ta đ-ợc :

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

(

)

(

)

3 2

2 0 1 2 0 1

cot( ) 1 ( )

4 4 4

t t t t t t t

t

hay x

π

x

π π

k

π

x k

π

k

= ⇔ + − = ⇔ − + + = ⇔ =

+ = ⇔ + = + ⇔ = Â

Vậy ph-ơng trình có một họ nghiệm

Bài tập :

Giải các ph-ơng trình sau :
1) 3sinx−4sin .cosx x+cos2 x=0

2) 2cos3x+sin3x−11sin2x−3cosx=0
3) 4sin 6cos 1

cos

x x

x

+ =

4) sin 3x=2sin3x

5) sin3x−5sin2xcosx+7sin cosx 2x−2cos3x=0
6) sin 2 sinx x+sin 3x =6cos3x

7) 8cos 3 1

sin cos

x

x x

= +

8) (sin2x−4cos )(sinx 2x−2sin .cos )x x =2cos x4

9) cos3x−sin3x=sinx−cosx

1.2.4-Ph-ơng trình đối xứng đối với

sin x

và

cos x

.

a) Định nghĩa: Ph-ơng trình đối xứng đối với sin x và cos x là 
ph-ơng trình dạng

a(sinx+cos )x +bsin cosx x+ =c 0 trong đó a b c, , ∈Ă (1)
b) Cách giải:

Cách 1: Do a(sinx+cosx)2 = +1 sin cosx x nên ta đặt
sin cos 2 sin( ) 2 cos( )

4 4

t = x+ x= x+

π

−x . §iỊu kiƯn | |t ≤ 2

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Suy ra

1
sin cos

t

x x= − và ph-ơng trình (1) đ-ợc viết lại:

2 ( 2 ) 0

bt + at− +b c =

Đó là ph-ơng trình bậc hai đã biết cách giải
Cách 2: Đặt

t = −

π

x th× sin cos 2 cos( ) 2 cos
4

x+ x=

π

−x = t

1 1 1 1

sin cos sin 2 cos( 2 ) cos 2 cos

2 2 2 2 2

x x= x =

π

− x = t = t− nªn ph-ơng trình (1)

trở thành

cos 2 cos 0

b

b x+ x− + =c . Đây là ph-ơng trình bậc hai ó bit
cỏch gii

*Chú ý: Hai cách giải trên có thể áp dụng cho ph-ơng trình 
(sin cos ) sin cos 0

a x− x +b x x+ =c bằng cách đặt t=sinx−cosx và lúc đó

1
sin cos

t

x x=

Ví Dụ Minh Hoạ :

Ví Dụ 1: Giải ph-ơng trình sinx+cosx2sin cosx x+ =1 0 (1)
Giải:

Cỏch 1: Đặt sinx+cosx= điều kiện t | |t ≤ 2. Lúc đó

1
sin cos

t

x x= −

Khi đó ph-ơng trình (1) sẽ có dạng

2( ) 1 0

t

t− − + =

2 2 0 1 (*)

t

t t

t

= −


⇔ − − = ⇔  =

Với t= không thoả mÃn điều kiện nªn 2

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

(*)⇔ = −t 1⇔sinx+cosx = −1

2
1

2 sin( ) 1 sin( ) 2

4 4 2

x k

x x k

x k

π

π

π

 = − +

⇔ + = + =

= +

Â

Cách 2: Đặt 
4

z= . Khi ú ph-ng trỡnh có dạng

π

x

2 cos( ) sin 2 1 0

4 x x

π

− − + =

⇔ 2 cos sin 2( ) 1 0
4

z−

π

− + =z ⇔ 2 cos sin( ) 1 0
2

z−

π

− + = z

⇔ 2 cosz−cos 2z+ =2 0 ⇔ 2 cosz−(2cos2z− + =1) 1 0

⇔ 2

2cos z 2 cosz 1 0

− + + =
cos 2
2
cos
2
z
z
 =

⇔  = −

(*)

Ta thấy cosz = 2không thoả mÃn

Do đó (*’)

3
2
2 4
cos
3
2
2
4
z k
z
z k

π

π

π

π

 = − +

⇔ = − ⇔ 
 = +

3
2
4 4
3
2
4 4
x k
x k

π

π

π

π

 − = +

⇔ 
 − = +

2
2
2
x k
k
x k

π

π

π

=

= 

Â

Vậy ph-ơng tr×nh cã hai hä nghiƯm

*Chú ý: Ta có thể đ-a một số dạng ph-ơng trình về dạng 
ph-ơng trình i xng ó xột trờn

Bài toán 1: Giải ph-ơng trình

2 2

tan + cot = ( sin cos ) (1) ≠0

a x b x c a x b x a b

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Cách giải: Ph-ơng trình (1) cã thÓ viÕt

2 2 2 2

sin cos

( sin cos )
sin .cos

−

= ±

a x b x

c a x b x

x x

⇔ ( sina x−bcos )( sinx a x+bcos )x =c a( sinx±bcos )x

⇔ ( sina x

[ ]

± bcos ) ( sinx  a x

[ ]

mbcos )x −csin .cosx x=0

[ ]

sin cos 0

sin cos sin .cos 0

 ± =

⇔ 

− =

 m

a x b x

a x b x c x x

*Quy -íc: Khi cã nhiỊu dÊu

[ ]

± trong mét biĨu thøc hay mét
hƯ hiĨu lµ cùng lấy dòng trên hoặc cùng lấy dòng d-ới
Ví Dụ 2: Giải ph-ơng trình tanx3cotx=4(sinx+ 3 cos ) (2)x

Giải:

Điều kiện: sin .cos 0

k

x x ≠x

π

k∈¢

Ta cã (2) 1 (sin2 3cos2 ) 4(sin 3 cos )

sin .cosx x x x x x

⇔ − = +

⇔(sinx− 3 cos )(sinx x+ 3 cos )x =4(sinx+ 3 cos )sin .cosx x x

⇔(sinx+ 3 cos ). (sinx  x− 3 cos )sin 2x x =0

sin 3 cos 0 (4)

sin 3 cos sin 2 0 (3)

x x

x x x

 + =

⇔ 

− − =



Ta cã (3) tan 3 (5)

x x

π

k

π

⇔ = − ⇔ = − +

(4) 1sin 3cos sin 2

2 x 2 x x

⇔ − = cos sin sin cos sin 2

3 x 3 x x

π

⇔ − =

2 2

3
sin( ) sin 2

2 2

x x l

x x

x x l

π

π

π

 = − +


⇔ − = ⇔ 

 = − + +


2
3
4

2
3

x l

l

x l

π

π

π

π

 = − +


⇔ ∈

 = +


¢ (6)

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Các gía trị của x trong (5) và (6) đều thoả mãn điều kiện
của ph-ơng trỡnh

Vậy theo ph-ơng trình có hai họ nghiệm.
Bài toán 2: Giải ph-ơng trình:

[ ]

(tan ± sin )+ (cot ± cos )±( + )=0

a x x b x x a b víi a b c d, , , ∈¡ (1)
Cách giải:

Ta có:

[ ]

(tan sin 1) (cot cos 1) 0

(sin sin .cos cos ) (sin sin .cos cos ) 0

cos sin

( )(sin sin .cos cos ) 0

cos sin

± ± + ± ± =

⇔ ± + + ± + =

⇔ + ± + =

a x x b x x

a b

x x x x x x x x

x x

a b

x x x x

x x

[ ]

0 tan

cos sin

sin sin cos cos 0 sin sin cos cos 0

 + =  = −

 

⇔ ⇔

± + = ± + =

 

 

a b b

x

x x a

x x x x x x x x

Đến đây chúng ta đã bit cỏch gii

T-ơng tự cho ph-ơng trình a(tanx

[ ]

± sin )x +b(cotx

[ ]

± cos )x − + =a b 0
Ví Dụ 3: Giải ph-ơng trình

tanx− 3 cotx−sinx+ 3 cosx+ −1 3=0 (3)
Giải:

Điều kiện sin 2 0

k

x≠ ⇔ ≠x

π

k∈¢

(3)⇔tanx−sinx− 3(cotx−cos ) 1x + − 3= 0

1 (sin sin cos cos ) 3 (sin sin .cos cos ) 0

cosx x x x x sinx x x x x

⇔ − + − − + =

( 1 3 )(sin sin .cos cos ) 0

cosx sinx x x x x

⇔ − − + =

( )

1 3

0 (4)

cos sin

sin sin .cos cos 0 5

x x

x x x x



− =


⇔ 

 − + =



</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Gi¶i (4) tan 3

x x

k

= = + Â

Giải (5): Đặt sin cos 2 cos( ) | | 2
4

t = x+ x=

π

−x t ≤ (*)

Suy ra

1
sin . cos

t

x x = .

Ph-ơng trình (5) trở thành

0 1 0

t

t− − = ⇔ − − =t t 1 2

1 2

t
t

= +

Kết hợp với điều kiện (*) thì t = +1 2 bị loại

Với t = −1 2 ta cã 2 cos( ) 1 2 cos( ) 1 2 cos

4 x 4 x 2

π

− = − ⇔

π

− = − =

α

2 2

4 x l x 4 l

π

α

π

π

α

π

⇔ − = ± + ⇔ = − ± +

, l

α

∈¡ ∈¢

Các nghiệm của ph-ơng trình (4) và (5) đều thoả mãn điều
kiện của ph-ơng trình

VËy ph-¬ng tr×nh cã ba hä nghiƯm

Chú ý: Ta có thể áp dụng ph-ơng pháp đối với ph-ơng trình 
hỗn hợp chứa các biểu thức đối xứng đối với sin x và cos x với
bậc lớn hơn 2.

VÝ dụ 4: Giải ph-ơng trình: cos4 sin4 sin 2 (1)

2 2

x x

x

− =

Gi¶i :

Ta cã: cos4 sin4 (cos2 sin2 )(cos2 sin2 ) cos

2 2 2 2 2 2

x x x x x x

x

− = − + =

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Ph-ơng trình (1) có dạng
cos sin 2 cos 2sin .cos

2
6
1

sin 2 5

cos (1 2sin ) 0 2 2

6
cos 0

2
2

x x x x x

x k

x

x x x k k

x

x k

π

π

π

π

π

π

= ⇔ =

 = +




 =




⇔ − = ⇔ ⇔ = + ∈



 

 = +


VËy ph-ơng trình có 3 họ nghiệm

Ví Dụ 5: Giải ph-ơng trình:

6 6

2 2

sin cos

8 tan cot

sin 2

+ = +

x x

x

(2)

Giải:

Điều kiện: sin 2x0

Ph-ơng trình (2)

2 2

3 sin cos

8(1 sin 2 ) 2sin 2 ( )

4 cos sin

x x

⇔ − = +

2
2

1
1 sin 2

2
8 6sin 2 4sin 2 .

sin 2

x

x x

x

−

⇔ − =

⇔ 2 2

(8 6sin 2 )sin 2− x x= −4 2sin 2x

⇔ 3 2

3sin 2x−sin 2x−4sin 2x+ =2 0

⇔ 2

(sin 2x−1)(3sin 2x+2sin 2x−2)=0
⇔ sin 22 1 0

3sin 2 2sin 2 2 0

x

x x

− =


 + − =



</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

⇔

sin 2 1

1 7
sin 2

3
7 1
sin 2 sin

x
x

x

α



 =



− −

 =




−

 = =



(lo¹i)

x k

x k k

x k

π

π

α

π

π α

π

 = +




⇔  = + ∈

 = − +




Các nghiệm đều thoả mãn điều kiện sin 2x≠0

Vậy ph-ơng trỡnh cú 3 h nghim

Bài tập:

Giải các ph-ơng trình sau:

1. 20 ( tan1 1 ) cos 2 9

sin 2x−2(sinx−cos )x = 2 x+sinx+cosx x−

2. 2(tanx−sin )x +3(cotx−cos )x + =5 0
3. 1 cos+ 3x−sin3x=sin 2x

4. sinx+cosx=( 3 1) cos 2− x

5. 2cos2 (1 sin ) cos2 0
2

x

x x

− + =

6. sin3x+cos3x =sin 2x+sinx+cosx

7. 4(sin4 x+cos4 x)+ 3 sin 4x=2
8. sin8 cos8 17

x+ x=

9. sin3 .cos 1cos 24 sin .cos3 1sin 24 2

4 4 8

x x+ x = x x+ x+

10. sin3x+cos3x=2(sin5x+cos5x)

11. sin8 cos8 (sin10 cos10 ) 5cos 2
4

x+ x= x+ x + x

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

1.2.5- PTLG hỗn hợp chứa các biểu thức đối xng

tan x

v

cotx

.

* Ph-ơng trình có dạng

(tan cot ) (tan cot ) 0 ( 0; 2)
n

k k k

k
k

p x

α

x q x

α

x r

α

k

+ + ± + = > ≥

∑

• Cách giải:

B-ớc 1: Đặt ẩn phụ tan cot | | 2 2
tan cot

t x x t

α

 = + ≤



= − ∈

 ¡

đ-a ph-ơng trình đã cho về dạng đại số F t( )=0

B-íc 2: Gi¶i ph-ơng trình F t( )=0 loại những nghiệm không
thoả mÃn điều kiện của bài toán

B-c 3: Vi nghiệm t tìm đ-ợc ở b-ớc 2 thế vào b-ớc 1 để 
tìm x

VÝ dơ Minh Ho¹:

VÝ Dụ 1: Giải ph-ơng trình

3 3 2 2

tan x−cot x−3(tan x+cot x) 3(tan− x−cot ) 10x + =0 (1)
Giải:

Ph-ơng trình (1)

3 3 2 2

tan x cot x 3tan .cot (x x tanx cotx) 3(tan x cot x 2) 4 0

⇔ − − − − + − + =

(tanx cot )x 3(tanx cot )x 4 0 (2)

+ =

Đặt t =tanxcotx , ph-ơng trình (2) trở thành

3 2

3 4 0 ( 1)( 4 4) 0

t − + = ⇔ +t t t − +t =

2 1

( 1)( 2) 0

t

t t

t

= −


⇔ + − = ⇔  =

 hay

tan cot 1

tan cot 2

x x

− = −



 − =



</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

1 2 2

cot 2 cot 2 2

cot 2 1 4

8 2

x k x k

x

k

x k

x x k

π

α

π

α

π

π



= + = +

 = =  

 

⇔ ⇔ ⇔ ∈

= − + 

= = +

Vậy ph-ơng trình có hai họ nghiệm
Ví Dụ 2: Giải ph-ơng trình:

tan3x+tan2x+tanx+cot3x+cot2x+cotx=6
(2)

Giải:

Điều kiện sin .cos 0

x x x k

Ta có: Ph-ơng trình (2)

3 3

2 2

tan cot 3tan .cot (tan cot )

tan cot 2 tan .cot 2(tan cot ) 8 0

x x x x x x

 

⇔ + + + +

+ + − + − =

3 2

(tanx cot )x (tanx cot )x 2(tanx cot ) 8x 0

⇔ + + + − + − = (3)

Đặt t =tanx+cotx | | 2t , ph-ơng trình (3) có dạng
t3+ = ⇔t2 2t 8 0 t3 − + −8 t2 2t=0

(t 2)(t 2t 4) t t( 2) 0

⇔ − + + − − = 2 2

(t 2)(t 2t 4 t) 0 (t 2)(t t 4) 0

⇔ − + + − = ⇔ − + + =

Víi

| | 2

t

≥

thì t2 + + >t 4 0 nên (4) ⇔ − = ⇔ =t 2 0 t 2
Suy ra tan cot 2 sin 2 1

x+ x= ⇔ x = ⇔ = +x

π

k

π

( tho¶ m·n ®iỊu

kiƯn(2)).

VËy
4

x= +

π

k

π

là họ nghiệm duy nhất của ph-ơng trình đã
cho

Bµi tập:Giải các ph-ơng trình sau: 
1. 2(tanx+cot )x =tan7x+cot7 x

2 tan3x+tan2x+cot2x+cot3x− =4 0

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

3. 5(tanx+cot ) 3(tanx − 2x+cot2x) 8− =0
4. 2

11 1
tan 2(tan cot )

3 sin

− + = −

x x x

x

5. 2

tan cot 2 tan 8
sin x + x+ x+ x=

6. sinx+cosx=tanx+cotx

7. 8(tan4x+cot4x)=9(tanx+cot )x 2 −10

1.3- Vấn đề loại nghiệm khơng thích hợp của PTLG.

Với nhiều PTLG ta cần đặt điều kiện cho ẩn. Khi đó,
tr-ớc khi kết luận nghiệm ta cần kiểm tra xem các nghiệm
tìm đ-ợc có thoả mãn điều kiện đã đặt ra hay khơng, để ta
có thể loại những nghiệm khơng thớch hp.

Chúng ta có thể xét ba ph-ơng pháp sau:
1.3.1 Ph-ơng pháp loại nghiệm trực tiếp.

Gi sử ta cần tìm nghiệm của ph-ơng trình (1) thoả mãn
điều kiện (*) nào đó Tr-ớc hết ta giải ph-ơng trình (1)
sau đó thay nghiệm của ph-ơng trình (1) tìm đ-ợc vào (*) để
loại nghiệm khơng thớch hp.

Ví Dụ: Giải ph-ơng trình 1 sin 0
sin 4

x
x

+ =

(1)
Giải:

Điều kiện sin 4x (*) 0

Khi đó (1) 1 sin 0 sin 1 2 ,

x x x

π

k

π

k

⇔ + = ⇔ = − ⇔ = − + ∈¢

Thay 2

x= +

k

vào (*) xem có thoả m·n hay kh«ng ?

sin 4( 2 ) sin( 2 2 ) ( 2 ) 0

2 k k sin

π

π

 − + = − + = − =

 

 

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Suy ra 2
2

x= − +

k

không thoả mÃn (*) .

Vậy ph-ơng trình (1) vô nghiệm .

1.3.2- Ph-ng pháp hình học (dùng đ-ờng trịn l-ợng giác). 
Giả sử ta cần tìm nghiệm của ph-ơng trình (1) thoả mãn điều
kiện (*) nào đó .Gọi L là tập các cung không thoả mãn các
điều kiện (*), N là tập nghiệm của phg trình (1).Ta biểu
diễn điểm cuối của các cung thuộc hai tập L và N lên trên
cùng một đ-ờng tròn l-ợng giác. Chẳng hạn điểm cuối của các
cung thuộc L ta đánh dấu (x), điểm cuối của các cung thuộc
N ta đánh dấu (.). Khi đó những cung có điểm cuối đ-ợc đánh 
dấu (.) mà không bị đánh dấu (x) l nghim ca ph-ng 
trỡnh.

Ví Dụ: Giải ph-ơng trình: cos .cot 2x x=sinx (1)
Giải:

§iỊu kiƯn sin 2 0 2 ( ) (*)

≠ ⇔ ≠ ⇔ = ∈¢

x x n

π

x n

π

n

Khi đó ph-ơng trình (1) cos cos 2 sin
sin 2

x

x x

x

⇔ =

⇔ cos cos 2x x=sin sin 2x x ⇔cos cos 2x x−sin sin 2x x =0

cos3 0 3 (**)

2 6 3

x x

π

k

π

x

π

k

π

k

⇔ = ⇔ = + = + Â

Biểu diễn các họ nghiệm (*) và (** ) lên trên cùng một
đ-ờng tròn l-ợng giác.

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

T ú ta cú nghiệm của ph-ơng trình (1) là

6
6

x k

k

x k

π

π

π

π

 = +


∈


 = − +


sin

cos

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

1.3.3- Ph-ơng pháp đại số.

Ph-ơng pháp này ta kiểm tra nghiệm bằng cách chuyển
về ph-ơng trình (th-ờng là ph-ơng trình nghiệm nguyên)
hoặc bất ph-ơng trình đại số.

* VÝ Dơ: Gi¶i ph-ơng trình: cos8 0 (1)
sin 4

x
x =

Giải:

Điều kiện sin 4x 0 4x n

(nÂ)

Khi ú (1) cos8 0 8 ,

2 16 8

x x

π

k

π

x

π

k

π

k

⇔ = ⇔ = + ⇔ = + Â

Gía trị này là nghiệm của (1) nếu 1 2 4

16 k 8 n4 k n

π

+

π

≠

π

⇔ + ≠

Điều này đúng vì 1 2k+ là số lẻ còn 4n là số chẵn

Vậy nghiệm của ph-ơng trình là ,

16 8

x=

+k

kÂ

Bài tập:

Bài 1: Tìm các nghiệm thuộc ;3
2

của ph-ơng trình
sin(2 5 ) 3cos( 7 ) 1 2sin

2 2

x+

π

− x−

π

= + x

Bài 2: Giải ph-ơng trình: sin .cot 5 1
cot 9

x x

x =

Bài 3: Giải ph-ơng trình:

cos 2sin .cos

3
2cos sin 1

x x x

x x

=

Bài 4: Giải ph-ơng trình: sin 5 1
5sin

x
x =

Bài 5: Giải ph-ơng trình:

1 cos 2

1 cot 2

sin 2

x
x

x

+ =

Bài 6: Giải ph-ơng trình: sin 3x=cos .cos 2 (tanx x 2x+tan 2 )x

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

Ch-ơng II: Hệ thống một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình 
l-ợng giác

ng tr-c mt PTLG lạ, điều mà làm ta băn khoăn là làm
thế nào để giải nó, vấn đề nảy sinh trong mỗi chúng ta là
phải đ-a ph-ơng trình về ph-ơng trình mà ta đã biết cách
giải. Và để giải mỗi ph-ơng trình ta phải thực hiện các
phép biến đổi theo h-ớng

-Nếu ph-ơng trình chứa nhiều hàm l-ợng giác khác nhau
thì biến đổi t-ơng đ-ơng về ph-ơng trình chỉ chứa một hàm
-Nếu ph-ơng trình chứa hàm l-ợnggiác của nhiều cung
khác nhau thì biến đổi t-ơng đ-ơng về ph-ơng trình chỉ

chứa một cung.

D-ới đây là một số ph-ơng pháp biến đổi tuỳ thuộc vào
từng bài toán khác nhau mà ta lựa chọn ph-ơng pháp cho
phù hợp.

2.1 - Ph-ơng pháp biến đổi t-ơng đ-ơng

Ph-ơng pháp: Sử dụng công thức l-ợng giác đã học thực 
hiện các phép biến đổi đại số và l-ợng giác đ-a ph-ơng
trình về dạng quen thuộc đã biết cách giải.

Chú ý : Ta phải chú ý đến mối liên hệ giữa các cung của 
các hàm l-ợng giác Vì mối liên hệ này sẽ chỉ
đ-ờng cho cách biến đổi ph-ơng trình .

VÝ dơ Minh Ho¹:

VÝ dơ 1: Giải ph-ơng trình

3sin 3x 3 cos9(

+x) 1 4sin 3= + x (1)
Gi¶i:

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Nhận xét: Ta nhận thấy trong bài toán cã 2 sè h¹ng

3sin 3 , 4sin 3x x ta có thể sử dụng đ-ợc công thức góc nhân ba

Ta cã (1)⇔3sin 3x−4sin 33 x− 3 cos9x=1

1 3 1

sin 9 3 cos9 1 sin 9 cos9

2 2 2

sin sin 9 cos cos9 cos( ) cos

6 6 2 6 3

x x x x

x x x

π

⇔ − = ⇔ − =

⇔ − = ⇔ + =

2 2

6 3 6

( )

2 2

6 3 2

x k x k

k

x k x k

π π

π

π

π

π

π

π

π

 + = +  = +

 

⇔  ⇔  ∈

 + = − +  = +

Vậy ph-ơngtrình có 2 họ nghiệm

Ví dụ 2: Giải ph-ơng trình sin3x.cos3x+sin 3 .cosx 3x=sin 43 x

Gi¶i: 
Ta cã:

2 3 3 2

cos3x=cos (4cosx x− ⇒3) sin x.cos3x=sin x.cos (4cosx x−3)

2 2 2 1 2 2

sin .cos (4sin .cos 3sin ) sin 2 (sin 2 3sin ) (1)
2

x x x x x x x x

= − = −

T-¬ng tù ta còng cã cos3 sin 3 1sin 2 (3cos2 sin 2 ) (2)2
2

x x= x x− x

Céng vÕ víi vÕ của (1) và (2) ta đ-ợc

(

)

3 3

2 2 2 2

2 2

sin cos3 cos sin 3
1

sin 2 (sin 2 3sin 3cos sin 2 )
2

3 3 3

sin 2 cos sin sin 2 cos 2 sin 4

2 2 4

x x x x

x x x x x

x x x x x x

= − + −

= − = =

Từ đó ta có : 3sin 4 sin 43 3sin 4 sin 43 0
4 x = x ⇔ x− x=

sin12 0 12 ( )

k

x x k

π

x

π

k

⇔ = ⇔ = ⇔ = ∈¢

VËy ph-ơng trình có một họ nghiệm .

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

Ví dụ 3: Giải ph-ơng trình 2 cosx +sinx =1 (1)
Gi¶i :

Ta cã :(1)⇔ 2 cosx = −1 sinx ⇔4cos2x= −(1 sin )x 2

⇔5sin2x−2sinx− =3 0
2

sin 1 2

2 ( )

sin sin

( ) 2

5
 = +

=
 

⇔ ⇔ = + ∈
 = − =
 = − +



¢
x k
x

x k k

x

x k

Vậy ph-ơng trình có 3 họ nghiệm.
Ví dụ 4: Giải ph-ơng trình:

2 2

6 6

10 10

log (sin 3 sin ) log sin 2 (1)
x x− x+ x = x x− x
Gi¶i:

Ta cã :

0 1

0 6

(1) sin 2 0 sin 2 0

sin 3 sin sin 2 2sin 2 cos sin 2

x x

x

x x

x x x x x x

 < − ≠

  < <

 

⇔ > ⇔  >

 + =  =




0 6

sin 2 0
1
cos (*)
2
x

x
x


 < <


⇔ >


 =



Gi¶i (*): ta cã

2
3
(*)
2
3
x k
x k

π

π

π

π

 = +

⇔ 
 = − +


Víi 2

x= − +

π

k

π

lo¹i do sin 2x< 0

Víi 2

x= +

π

k

π

xÐt víi ®iỊu kiƯn 0

x

π

< <

Ta xÐt 0 2 6

3 k

π

π

< + < ta thÊy có 1 giá trị k = là thoả mÃn 0

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

Vậy ph-ơng trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất
3

x=

π

Nhận xét : Ph-ơng pháp biến đổi t-ơng đ-ơng địi hỏi phải sử 
dụng nhiều cơng thức l-ợng giác vì vậy việc nắm chắc các
cơng thức và vận dụng linh hoạt vào từng bài toán là hết
sức cần thiết .

2.1- Ph-ơng pháp đặt ẩn phụ. 
Ph-ơng pháp :

Có 2 loại đặt ẩn phụ

(1) Đặt ẩn phụ , đ-a ph-ơng trình đã cho về ph-ơng
trình mới dễ giải hơn

(2) Đặt ẩn phụ đ-a ph-ơng trình đã cho về hệ ph-ơng
trình đại số

Phụ thuộc vào mỗi ph-ơng trình mà ta phải biết đặt ẩn phụ
một cách khéo léo để có đ-ợc một ph-ơng trình mới đơn giản
hơn dễ giải hơn

Thơng th-ờng trong ph-ơng pháp đặt ẩn phụ để giải PTLG ta
th-ờng gặp 2 loại đặt ẩn phụ sau:

+) Đổi biến d-ới hàm l-ợng giác

+) Đặt cả biểu thức l-ợng giác làm ẩn phụ
2.1.1- Đổi biến d-ới hàm l-ợng giác

Ph-ơng pháp:

Khi cỏc biu thức d-ới hàm l-ợng giác có mối liên hệ đặc
biệt : bù nhau, hơn kém nhau

k

π

, biểu thức này gấp hai, ba
lần biểu thức kia th-ờng giải bằng ph-ơng pháp đổi biến
Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình cos4 cos2

x

= (1)

Gi¶i:

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

Ta cã cos4 1 cos 2

3 2

x + x

Đặt 2 3

3 2

x t

t = ⇒ =x . Lúc đó ta có cos 2 1 cos3
2

t

t= +

3 2 3

2 3

2cos 2 1 4cos 3cos 2(2cos 1) 1 4cos 3cos
4cos 2 4cos 3cos 1 0

t t t t t t

t t t

⇔ = + − ⇔ − = + −

⇔ − − + − =

(cos 1)( cos 3) 0

cos 1 2

( ) (*)
3
cos
4 2
2
t t

t t k

k
t k
t

π

⇔ − − =
=
  =
 
⇔ ⇔ ∈
 = ± +
= ±


Â

Thế trở lại ẩn x ta có

(*)

3
2

3 ( )

2 4 2

3 3

x

x k
k

k

x x k

k

π

π

 =  =

 
⇔  ⇔  = ± + ∈
 = + 

Â

Vậy ph-ơng trình có 2 họ nghiệm

Ví dụ 2: Giải ph-ơng trình sin(3 ) 1sin ( 3 )
10 2 2 10 2

x x

π

− =

π

+

(1)

Ta nhËn thÊy sin ( 3 )
10 2

x

π

+

cã thĨ biĨu diƠn

3 3

sin ( ) sin 3( )

10 2 10 2

x x

π

 − −  = −
 
 

Nh- vậy ph-ơng trình đã đ-ợc đ-a về ph-ơng trình chứa các
hàm l-ợng giác chỉ chứa 1 cung. Từ đây ta sử công thức
nhân ba để biến đổi

Gi¶i:

Ta cã: sin( 3 ) sin 3 sin 3(3 )

10 2 10 2 10 2

x x x

π

+ = 

π

−

π

− =

Đặt (3 ) 3 2

10 2 5

x

t =

π

− ⇒ =x

π

− t ph-ơng trình (2) sẽ trở thành

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

sin (4sin 1) 0 sin .(2cos 2 1) 0
2 2
sin 0

2 2 2 2

cos 2

3 3

t t t t

t k t k

t

t k t k

t

π

π

π

π

⇔ − = ⇔ − =

= =

=  



 



⇔ ⇔ ⇔

 

 = = ± + = ± +

  

3 3

2 2

5 5

3 3

2 2

5 5 3

t k

π

π

π

π π

π

 − = −


⇔ 

 − = ± −


hay

2
5

2 ( )

5
14

2
5

x k

x k k

x k

π

π

π

π

π

π

 = −




 = − ∈



 = −



VËy ph-ơng trình có 3 họ nghiệm.

2.1.2- Đặt một biểu thức l-ợng giác làm ẩn phụ.

Chỳ ý mt số ph-ơng pháp đặt ẩn phụ của ph-ơng pháp i s
sau õy

+Ph-ơng trình trùng ph-ơng ax4 +bx2 + =c 0 (a0)
Đặt t =x2 t 0

+Ph-ơng trình bậc bốn (x+a)4 +(x+b)4 =c

Đặt

a b

t = +x +

+ Ph-ơng trình bậc bốn

(x+a x)( +b x)( +c x)( +d)=k vớia+ = + b c d

Đặt t =(x+a x)( +b)

+ Ph-ơng trình bậc bốn đối xứng ax4 +bx3 ±cx2 bx+ =a 0
Chia c hai v cho x2 (x0)

Đặt t x 1
x

Ví dụ Minh Hoạ

Ví dụ1: Giải ph-ơng tr×nh

tan2x−3tanx−9cotx+9cot2x+ =2 0 (1)

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

Gi¶i :

§iỊu kiƯn sin 0 sin 2 0

cos 0 2

x

x x k k

x

π

≠


⇔ ≠ ⇔ ≠ ∈

 ≠

 ¢

Ta cã: (1) 2

9 3

(tan ) 3(tan ) 2 0

tan tan

x x

⇔ + − + + =

Đặt tan 3 2 3

tan

t x t

x

= + (*)

Do đó 2 tan2 92 6 2 6 tan2 92

tan tan

t x t x

x x

= + + ⇔ − = +

Ph-¬ng trình (1) trở thành 2 3 4 0 1
4
t
t t

t
= −

− − = ⇔  =

 (2)
Do (*) nên ta có (2) ⇔ =t 4. Lúc đó ta có

tan 4 tan 4 tan 3 0
tan

+ = ⇔ − + =

x x x

x

tan 1

( )

4
tan 3 tan



= = +

 

⇔ ⇔ ∈


= =

  = + ¢

x x k

k
x

x k

Vậy ph-ơng trình có 2 hä nghiƯm

Chú ý: Một số ph-ơng trình có cách đặt ẩn phụ khơng tồn 
phần ,nghĩa là sau khi đặt ẩn phụ cả ẩn cũ và ẩn mới cung
tồn tại trong ph-ơng trình. Bộ phận cũ cịn lại ấy đ-ợc xem
là tham số của ph-ơng trình

Ví dụ 2: Giải ph-ơng trình

4 2

(sin 3)sin (sin 3)sin 1 0

2 2

x x

x+ − x+ + = (1)

Giải:

Cách 1: Đặt sin2 0 1
2

x

t t

= ph-ơng trình (1) trë thµnh

(

sinx+3

)

t2 −(sinx+3)t+ =1 0 (*)

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

Do sinx+ >3 0 nên ph-ơng trình (*) là ph-ơng trình bậc
hai đối với t

(sin 3) 4(sin 3)
(sin 1)(sin 3)

x

x x

∆ = + − +

∆ = − +

Do sinx ≤ ⇒ ∆ ≤ ∀¡1 0

Do vËy (*)

0 sin 1 sin 1
1 1 cos 2 1
sin

2 2 2 2 2

x x

b x x

t

a

∆ = = =

  

  

⇔ ⇔ ⇔ −

=− = =

  


sin 1

sin 1 2

cos 0 2

x

x x k

x

π

π

=


⇔ ⇔ = = +

(kÂ)

Vậy ph-ơng trình có 1 họ nghiệm
C¸ch 2:

(2) (sin 3)sin2 (sin2 1) 1 0

2 2

x x

x

⇔ + − + =

1 (sin 3)sin2 cos2 0

2 2

x x

x

⇔ − + =

3 2 2

4 (sin 3)sin 0

sin 3sin 4 0 (sin 1)(sin 2) 0

sin 1 2 ( )

x x

x x x x

x x

π

k

π

k

⇔ − + =

⇔ + − = ⇔ − + =

⇔ = ⇔ = + ∈¢

VËy ph-ơng trình có một họ nghiệm

Ví dụ 3: Giải ph-ơng trình cosx+ 2+cosx =2 (1)
Giải:

Đặt u= 2+cosx điều kiện 1≤ ≤u 3 khi đó ta có

2 cos (*)

u = + x .

Tõ (*) vµ (1) ta cã hƯ

2
2

2 cos
cos 2

u x

x u

 = +




= −


Ta cã u2 =cos2x+ +u cosx

⇔cos2x+cosx−u2 + =u 0

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

(

)

(cos )(cos ) cos 0
cos
cos (cos 1) 0

cos 1

x u x u x u

x u

x u x u

x u
⇔ − + + + =
= −

⇔ + − + = ⇔ 
= −


-Víi u= −cosx thÕ vµo (*) ta đ-ợc

cos2 cos 2 0 cos 1 2 ( )

cos 2 ( )

x

x x x k k

x vn

π

= −


− − = ⇔  ⇔ = +

-Với u=cosx+1thế vào (*) ta đ-ợc

cos cos 1 0
1 5

cos ( )

2 ( )
5 1

cos cos

x x

x vn

x k k

x

α

π

α

+ − =
 − −
=


⇔ = +

= =

Â

Vậy ph-ơng trình có 2 hä nghiƯm .

VÝ dơ 4: Gi¶i ph-ơng trình 16sin x2 +16cos x2 =10
Giải:

Cách 1: Viết lại ph-ơng trình

16 2 161 2 10 16 2 162 10
16

sin x sin x sin x

sin x
−

+ = ⇔ + =

Đặt t=16sin x2 , điều kiện 1≤ ≤t 16 vì 0≤sin x2 ≤1 nên 16o ≤16sin x2 ≤161
Khi đó ph-ơng trình có dạng

2 8 16 8

10 10 16 0

2 16 2

sin x
sin x

t t t

t t

= =

+ = ⇔ − + = ⇔  = ⇔ 
  =
2
2
2
4 3
2
4
2
3 1
2

2 2 4 2 1

2
4

1 1

2 2 2

4 2

sin x

sin x cos x

cos x
sin x cos x

 =  = −
 =  
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ =
 =  
 = =
 
 

(

)

1 2

4 4 2

2 3 6 2

cos x x π k x π kπ k

⇔ = − ⇔ = + = + Â
Vậy ph-ơng trình cã hai hä nghiƯm

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

C¸ch 2: 
Đặt
2
2

16
1 16
16
sin x
cos x
u
u, v
v
=
 

=

Khi đó: uv=16sin x2 16cos x2 =16sin x cos x2 + 2 =16
Ph-ơng trình t-ơng đ-ơng với 10

16
u v
uv
+ =

 =


Khi đó u, v là nghiệm của ph-ơng trình:

10 16 0

t − t+ = 2
8
t
t
=

⇔  =

2
2
2
2
2
2 2
2
2
2
1
4
16 2

2 3 1 1

8 16 8 4 4 2

3 1

8 16 8 3

2
4 2
4
2
16 2
1
4
sin x
cos x
sin x
cos x
sin x
u

cos x sin x cos x

v
u

sin x cos x

sin x
v
cos x
 =

 = 
 =    

 =
 =  =   =  =
  

⇔ ⇔  ⇔ ⇔  ⇔
=
  =  =  =  = −
 =    

  = 

 =




2 1 1 2

2 4 4 2

4 2 3 6 2

cos x cos x x π k x π kπ ( k )

⇔ = ⇔ = − ⇔ = ± + = + Â

Vậy ph-ơng trình có hai hä nghiÖm .

Chú ý: Để phá dấu giá trị tuyệt đối ta cũng có thể sử dụng 
ph-ơng phỏp t n ph

Ví dụ 5: Giải ph-ơng tr×nh

2 sin cos sin cos 6

sin 2 2 sin cos

x x x x

x x x

+ + + =

+ + (1)

Giải:

Đặt t =sin cosx x+ sinx+cosx , suy ra 2t =sin 2x+2 sinx+cosx

Ph-ơng trình (1) trở thành 2 6 2 2 3 0 1
3

t

t t t

t
t


+ = ⇔ + − = ⇔  = −

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

-Víi t =1 ta cã: sin cosx x+2 sinx+cosx =1

sinx+cosx = −1 sin cosx x ( )a

Do 1 sin cos− x x>0 nªn (a) ⇔(sinx+cos )x 2 = −(1 sin cos )x x 2

1 2sin cos 1 2sin cos (sin cos )
sin cos (sin cos 4) 0

sin cos 0 sin 2 0 2 ( )

x x x x x x

x x x x

x x x x k

π

x k

π

k

⇔ + = − +

⇔ − =

⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ∈¢

-Víi t = −3 ta cã sin cosx x+ sinx+cosx = −3

⇔ sinx+cosx = − −3 sin cosx x ( )b

Ta nhËn thÊy − −3 sin cosx x< − < <2 0 sinx+cosx , suy ra ph-ơng trình
(b) vô nghiệm.

Vậy ph-ơng trình có một họ nghiệm
Ví dụ 6: Giải ph-ơng tr×nh

2 2 2

sin sin

9 3

2(cos 2 2) 4cos 3 0
81 x + x− 9 x + x− =

(1)
Gi¶i:

§Ỉt 2 2 1 2 sin2 cos 2

sin sin

3 3

0 3 3

9 9

x x

x t t x

−

= > = = =

1 2 sin cos 2 cos 2 2 2
sin

9 9 (3 )

x x x

x t

−

⇒ = = = =

Ph-ơng trình (1) trở thành t2+2(cos 2x2)t+4cos2x =3 0
⇔t2 +2(cos 2x−2)t+2cos 2x− =5 0
1

5 2cos 2

t

t x

= −


⇔  = −
-Víi t = − < lo¹i 1 0

-Víi t = −5 2cos 2x ta cã 3cos 2x = −5 2cos 2x ⇔ 3cos 2x +2cos 2x=5 (*)
Đặt y =cos 2x , y 1ph-ơng trình (*) trở thành 3y +2y=5

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

Đặt f x( )=3y +2y .Rõ ràng f y( ) là hàm đồng biến trên

Ă

.
Mặt khác ta có f(1)=5 suy ra y =1 là nghiệmduy nhất của
ph-ơng trình (*)

Víi y=1ta có cos 2x= 1 2x=k2

=x k

(kÂ)
Vậy ph-ơng tr×nh cã duy nhÊt 1 hä nghiƯm
NhËn xÐt:

Dùng ph-ơng pháp đặt ẩn phụ để giải ph-ơng trình l-ợng giác
đ-ợc vận dụng khá linh hoạt ,ta phải khéo léo biến đổi biểu

thức đã cho về một số dạng ph-ơng trình l-ợng giác mà ta
đã biết cách giải .Với ẩn phụ đã đặt ta nhất thiết phải tìm
điều kiện của nó và l-u ý ta phải thử lại xem các nghiệm có
thoả mãn điều kiện của ph-ơng trình hay khơng

2.3- Giải ph-ơng trình l-ợng giác sử dụng công thức hạ 
bậc

Ph-ơng pháp: Ta thực hiện theo các b-ớc sau:

B-ớc 1:Đặt điều kiện để ph-ơng trình có nghĩa.

B-íc 2: Thực hiện việc hạ bậc của ph-ơng trình bằng các 
công thức

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

*H bc n:

(

)

(

)

(

)

(

)

2 3

2 2

1 1

1. sin 1 cos 2 5. sin 3sin sin 3

2 4

1 1

2. cos 1 cos 2 6. cos 3cos cos3

2 4

sin 1 cos 2 3sin sin 3

3. tan 7. tan

cos 1 cos 2 3cos cos3

cos 1 cos 2 3sin sin 3

4. cot 8. cot

sin 1 cos 2 3cos cos

x x x x x

x x x x

x x

x x x x

x x

x x x

= − = −

= + = +

− −

= = =

+ +

= = =

3x

* Hạ bậc toàn cục

4 4

6 6

6 6 3

3 1

sin cos cos 4

4 4
sin cos cos 2

5 3

sin cos cos 4

8 8

1 3

sin cos cos 2 cos 2

4 4

x x x

x x x x

+ = −

− =−

+ = +

− = +

* Hạ bậc đối xứng: Giả sử cần biến đổi biểu thức dạng :
A=sin3x.cos3x+sin 3 .cosx 3x

Ta cã thĨ lùa chän theo hai c¸ch sau:
C¸ch 1: Ta cã :

(

)

(

)

3 3

2 2

sin .cos3 sin 3 .cos

1 cos sin .cos3 1 sin sin 3 .cos

sin .cos3 sin 3 .cos (cos .cos3 sin .sin 3 )sin .cos

1 1 3

sin 4 cos 2 .sin 2 sin 4 sin 4 sin 4

2 4 4

A x x x x

x x x x x x

x x x x x x x x x x

x x x x x x

= +

= − + −

= + − +

= − = − =

C¸ch 2: Ta cã :

1 1

(3sin sin 3 ) cos3 (3cos cos3 )sin 3

4 4

3 3

(sin .cos3 .sin 3 sin 4

4 4

A x x x x x x

x x consx x x

= − + +

= + =

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

Chú ý: (+) Tuỳ thuộc bậc từng bài toán ta lựa chọn việc hạ 
bậc cho phù hợp . Chẳng hạn đối với ph-ơng trình bậc lẻ các
nhân tử bậc cao (giả sử bằng 3) thông th-ờng ta không đi hạ
bậc tất cả các nhân tử đó mà chỉ chọn ra hai nhân t h
bc.

(+) Với các nhân tử bậc cao hơn 3 ta phải hạ bậc dần
dần.

Ví Dụ Minh Hoạ:

Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình: sin2x=cos2 x+cos 32 x

Gi¶i.

Ph-ơng trình đ-ợc biến đổi d-ới dạng

2 2

1 cos 2 1 cos 2

cos 3 2cos 3 (cos 4 os 2 )

2 2

2cos 3 2cos3 .cos 0 (cos3 os5 ) cos3 0
2cos 2 .cos .cos3 0

x x

x x x c x

x x x x c x x

x x x

− +

= + ⇔ + +

⇔ + = ⇔ + =

⇔ =

cos 2 0 2

cos 2 0 2 4 2

cos 0

cos3 0

3
cos3 0

6 3
2




  = +  = +

=




⇔ = ⇔ ⇔  ⇔  ∈

  = +  = +

 =

  

x x k x k

x

x k

x

x k

x

π

π

π

π

VËy ph-ơng trình có 2 họ nghiệm

Ví dụ 2: Giải ph-ơng trình sin4 sin (4 ) sin (4 ) 9

4 4 8

x+ x+

π

+ x−

π

= (1)
Gi¶i.

Ta cã:

(1)

2 2

2 1 cos(2 ) 1 cos(2 )

1 cos 2 4 4 9

2 2 2 8

x x

x

π

 − +   − − 

   

−

 

⇔   +  +  =

     

   

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

2 2 2

2 2

9
(1 cos 2 ) (1 sin 2 ) (1 sin 2 )

2
9
1 2cos 2 cos 2 2(1 sin 2 )

2cos 2 4cos 2 1 0

x x x

x x

⇔ − + + + − =

⇔ − + + + =

⇔ + − =

6
cos 2 1

2
6

cos 2 1 ( )
2

cos 2 1 cos 2 2 2 2 ( )

x

x loai

x

α

x

α

k

π

x

α

k

π

k



= −



⇔



= +


⇔ = − = ⇔ = + = + Â

Vậy ph-ơng trình có một họ nghiệm.
Ví dụ 3: Giải ph-ơng trình:

3 3 3 3

sin x+cos x+sin x.cotx+cos x.tanx= 2sin 2x (2)
Gi¶i

Ta cã: (2) ⇔ sin3x+cos3x+sin2x.cosx+cos2x si x. n = 2sin 2x

2 2

sin (sin cos ) s (cos n ) 2sin 2
(sin s )(sin cos ) 2sin 2

sin cos 2sin 2 (3)

x x x co x x si x x

x co x x x x

x x x

⇔ + + + =

⇔ + + =

⇔ + =

§iỊu kiÖn sin cos 0 sin cos 0 sin 0 (*)

sin 2 0 sin .cos 0 cos 0

x x x x x

x x x x

+ ≥ + ≥ ≥

  

⇔

Bình ph-ơng hai vế của ph-ơng trình (3) ta có:

(sinx+cos )x =2sin 2x

1 2sin cos sin 2 2sin 2 sin 2 1

2 2

2 4

x x x x x

x

π

k

π

x

π

k

π

k

⇔ + = ⇔ ⇔ =

= + = + Â

Các giá trị

x= +

k

thỏa mÃn điều kiện (*) khi và chỉ khi
2

k = m

Vậy ph-ơng trình đã cho có 1 họ nghiệm duy nht.

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

Ví Dụ 4: Giải ph-ơng tr×nh:

sin7 cos5 1(sin5 cos3 )sin 2 sin cos
2

x+ x+ x+ x x= x+ x (4)

Gi¶i:

Ta cã (4)⇔sin7 x+cos5x+(sin5x+cos3x)sin cosx x=sinx+cosx

⇔sin7 x+cos5x+sin6xcosx+sin cosx 4x=sinx+cosx

7 6 5 4

6 4

(sin sin cos ) (cos sin cos ) sin cos
sin (sin cos ) cos (sin cos ) sin cos

sin cos 0 (5)
(sin cos )(sin cos 1) 0

sin cos 1 (6)

x x x x x x x x

x x

x x x x

x x

⇔ + + + = +

+ =



+ + − = ⇔ 

+ =


Ta cã (5) tan 1

x x

π

k

π

k

⇔ = − ⇔ = + Â

Lại có:

6 2

6 4 2 2

4 2

cos cos

cos sin sin cos 1
sin sin

x x

x x x x

x x

 ≤

 ⇒ + ≤ + =



≤


Dâú đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi sinx=0 hoặc cosx =0
Bởi thế (6) sin 0

cos 0 2

x

x k k

x

π

=


⇔ ⇔ = ∈

 ¢

Vậy ph-ơng trình có hai họ nghiệm

Ví Dụ 5: Giải ph-ơng trình :

4 4

sin cos 1 sin

2 2 tan sin tan

1 sin 2

x x

x

x x x

x

+ +

− = +

−

(7)

Giải:

Điều kiện: cosx≠ 0

Ta cã: sin4 cos4 (sin2 cos2 )2 2sin2 cos2

2 2 2 2 2 2

x + x = x + x − x x =

2
2

1 1 cos

1 sin

2 2

x

x +

= − =

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

4 4

sin cos 1 cos

2 2

1 sin 2(1 sin )

x x
x
x x
+ +
⇒ =
− − .

Thay vào (7) ta thu đ-ợc

2 2

1 cos 1 sin

tan sin tan

2(1 sin ) 2

1 cos 1 sin

(1 sin ) tan
2(1 sin ) 2

x x

x x x

x
x x
x x
x
+ +
⇔ − = +
−
+ +
⇔ = + +
−

2 2
2 2
2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 cos (1 sin )(1 2 tan )

2(1 sin ) 2

1 cos (1 sin )(1 sin )(1 2 tan )
2(1 sin ) 2(1 sin )

1 cos (1 sin )(1 sin )(1 2 tan )
1 cos (1 sin )(1 2 tan )

1 cos cos (1 2 tan ) 1 cos cos 2sin )

x x x

x

x x x x

x x

x x x x

x x x

x x x x x x

+ + +
⇔ =
−
+ + − +
⇔ =
− −

⇔ + = + − +
⇔ + = − +
⇔ + = + ⇔ + = +
⇔ 2

1 2sin cos 2 0 2

2 4 2

x x x

π

k

π

x

π

k

π

k

= ⇔ = ⇔ = + = + Â

Vậy ph-ơng trình có 1 họ nghiệm
Ví Dụ 6: Giải ph-ơng trình: 3 3

6 8

tan 2 cot 2

sin 2 sin 4

x x

+ + = (8)

Gi¶i: Ta cã:

3 3 3

8 8 1

(tan 2 cot 2 )
sin 4x =(2sin 2 cos 2 )x x =(sin 2 cos 2 )x x = x+ x

3 3

tan 2 cot 2 3tan 2 cot 2 (tan 2 cot 2 )
3
tan 2 cot 2

sin 2

x x x x x x

x x

x

= + + +

= + +

Do vËy (8) ⇔ tan 23 cot 23 6 tan 23 cot 23 3

sin 2 sin 2

x x x x

x x

+ + = + +

0
sin 2x

⇔ = (v« nghiƯm ).

Vậy ph-ơng trình đã cho vô nghiệm

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>

Nh ận xét: Việc sử dụng công thức hạ bậc tỏ ra rất hữu hiệu 
đối với có chứa các hạng tử bậc cao, khó giải .Vì vậy để có
thể sử dụng tốt ph-ơng pháp này đòi hỏi học sinh cần nắm
vững các công thức hạ bậc đã nêu ở trên, đồng thời phải sử
dụng hằng đẳng thức một cách linh hoạt.

2.4- Biến đổi ph-ơng trình l-ợng giác thành ph-ơng trình 
tích

Có rất nhiều cách đ-a ph-ơng trình l-ợng giác về ph-ơng

trình tích ta có thể sử dụng các phép biến đổi các dạng nh-
sau:

Dạng 1: Biến đổi tổng hiệu thành tích 
Dạng 2: Biến đổi tích thành tổng

Dạng 3: Lựa chọn phép biến đổi cho cos x2
Dạng 4: Ph-ơng pháp tách h s

Dạng 5 : Ph-ơng pháp hằng số biến thiên 
 Dạng 6: Ph-ơng pháp nhân

Dng 7: S dng cỏc phộp bin đổi hỗn hợp 
Ta đ-a ph-ơng trình cần giải về dạng

1
1

( ) 0
( )... ( ) 0 ...

( ) 0
n

n

f x

f x f x

f x

=



= ⇔ 

 =



trong đó các ph-ơng trình: f x( ),...., (1 f x l cỏc ph-ng trỡnh n)
cú dng chun

Sau đây ta xÐt tõng d¹ng

2.4.1- Ph-ơng pháp biến đổi tổng , hiệu thành tích: 
Ví Dụ 1: Giải ph-ơng trình: 1 cos+ x+cos 2x+cos3x= (1) 0

Gi¶i:

Cách 1: Biến đổi tổng thành tích:

</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

Ta cã: (1)⇔ +(1 cos 2 ) cos3x

(

x+cosx

)

= ⇔0 2cos2x+2cos 2 .cosx x=0
3

(cos cos 2 ) cos 0 2cos cos cos 0
2 2

x x

x x x x

⇔ + = ⇔ =

cos 0

2
2

cos 0 3

2
3

2 cos 0

3 2 2 3 3

cos 0
2

x

x x k x k

x
k
x
k
x
x
k
x

π

π

π

π


 =  
= = + = +

  


⇔ = ⇔  ⇔ ⇔  ∈
 =  = +  = +

  
=


¢

VËy ph-ơng trình có hai họ nghiệm .

Cỏch 2: Biến đổi ph-ơng trình chứa một hàm l-ợng giác 
(1)⇔ +1 cosx+2cos2x− +1 4cos3x−3cosx=0

3 2 2

4cos 2cos 2cos 0 (2cos cos 1) cos 1

cos 0 2

cos 1 2

2
1

cos 2 3 3

2 3

x x x x x x

x k

x x k

x x k k

k
x

x x k

π

π

π

π

π

π

⇔ + − = ⇔ + − =

 = +


 = = +



⇔ = − ⇔ = + ⇔ ∈


  = +
=  = +

Â

Ví Dụ 2: Giải ph-ơng trình: 1 sin+ x+cos3x=cosx+sin 2x+cos 2x

(2)

Gi¶i:

Ta cã (2)⇔ (1 cos 2 )− x +sinx+(cos3x−cos ) sin 2x − x=0

2sin sin 2sin 2 sin 2sin cos 0
(2sin 1 4sin cos 2cos )sin 0
(2sin 1)(1 2cos )sin 0

x x x x x x

x x x x x

x x x

⇔ + − − =
⇔ + − − =
⇔ + − =
2
1 3
cos
2
sin 0
2
1 6
sin
7

2
2
6
x k
x
x k
x k
x k
x
x k

π

π

π

π

π

π

 = ± +

 = 
  =
 
⇔ = ⇔ ∈
= − +

 
= −
 
 = +

¢

</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>

Vậy ph-ơng trình có 5 họ nghiệm .

Ví Dụ 3: Giải ph-ơng trình

2 3 4 2 3 4

sinx+sin x+sin x+sin x=cosx+cos x+cos x+cos x (3)
Gi¶i:

(3)⇔ (sinx−cos )x +(sin2x−cos2 x)+(sin3x−cos3x)+(sin4x−cos4 x)=0

(

) (

)

(

)

(

)

(sin cos ) 1 sin cos 1 sin cos sin cos 0
sin cos 2 2 sin cos sin cos 0

x x x x x x x x

x x x x x x

⇔ −  + + + + + + =

⇔ −  + + + =

(

)

sin cos 0 (1)

2 2 sin cos sin cos 0 (2)

x x

x x x x

− =



⇔  + + + =

Giải (1) ta đ-ợc sin cos tan 1

x= x⇔ x = ⇔ = +x

π

k

π

kÂ

Giải (2): Đặt sinx+cosx=t | |t 2 (*) suy ra

1
sin cos

t

x x= −

Khi đó ph-ơng trình có dạng

2 1

2 2 0 4 3 0

3
2

t
t

t t t

t

= −

−

+ + = ⇔ + + = =

Kết hợp với điều kiện (*) ph-ơng trình trên t-ơng đ-ơng với

sin cos 1 2 sin( ) 1 sin( ) 1

4 4 2

x+ x= − ⇔ x+

π

= − ⇔ x+

π

= −

4 4

2
5

2
2

3 4

x k

k

x k

π

π

π

π

 + = − + 

  = − +

⇔ ⇔ ∈

 + = + = +

Vậy ph-ơng trình có 2 hä nghiƯm .

2.4.2- Ph-ơng pháp biến đổi tích thnh tng.

Ví Dụ 1: Giải ph-ơng trình: sin .sin 3x x+sin 4 sin 8x x=0 (1)
Gi¶i:

Ta cã (1)⇔cos 4x−cos 2x+cos12x−cos 4x= 0

</div>
(53)<div class='page_container' data-page=53>

cos12 cos 2 12 2 2 5

12 2 2

k
x

x x k

x x k k

x

π

 =

= +



⇔ = ⇔ ⇔

= +

=

Vậy ph-ơng trình có hai họ nghiệm
Ví Dụ 2: Giảiph-ơngtrình:

cos 2x+cos 4x+cos 6x =cos cos 2 cos3x x x+2 (2)
Gi¶i:

Ta cã:

(

)

4cos cos 2 cos3 2cos 2 2(cos cos3 ) 2cos 2 cos 2 cos 4
2cos 2 2cos 2 cos 4 1 cos 4 cos 2 cos 6

x x x x x x x x x

x x x x x x

= = +

= + = + + +

Do vËy (2) cos 2 cos 4 cos 6 1(1 cos 4 cos 2 cos 6 ) 2
4

x x x x x x

⇔ + + = + + + +

cos 2x cos 4x cos 6x 3

⇔ + + =

cos 2 1

cos 4 1 cos 2 1
cos 6 1

x

x x x k k

x

π

=




⇔ = ⇔ = ⇔ = ∈

 =



Vậy ph-ơng trình có 1 họ nghiệm .
2.4.3- Lựa chọn phép bin i cho cos x.

Ví Dụ 1: Giải ph-ơng tr×nh : 2cos3x+cos 2x+sinx=0 (1)

</div>
(54)<div class='page_container' data-page=54>

Gi¶i:

[

]

[

]

3 2 2

(1) 2cos 2cos 1 sin 0 2(cos 1) cos sin 1 0
2(cos 1)(1 sin ) sin 1 0

(1 sin ) 2(cos 1)(1 sin ) 1 0

(1 sin ) 1 2sin cos 2(sin cos ) 0
(1 sin ) (sin cos ) 2(sin cos ) 0
(1 sin )(sin co

⇔ + − + = ⇔ + + − =

⇔ + − + − =

⇔ − + + − =

⇔ − + + + =

 

⇔ −  + + + =

⇔ − +

x x x x x x

x x x

x x x x x

x x s )(sin cos 2) 0

1 sin 0 sin 1

sin cos 0

sin( ) 0

sin cos 2 0 ( ) 4

2 2

4 4

+ + =

− =

  =

 

⇔  + = ⇔

 + =

 + + = 



 = +  = +

 

⇔  ⇔ ∈

 + =  = − +

 

 

x x x

x x

x x

x

x x vn

x k x k

k

x k x k

π

Vậy ph-ơng trình có hai hä nghiÖm .

Nhận xét: Trong lời giải trên sở dĩ chúng ta lựa chọn phép 
biến đổi cos 2x=2cos2x−1 bởi hai nhân tử còn lại là 2cos x3 (cos
có hệ số là 2) và sin x(sincó hệ số là 1),thực hiện phép biến
đổi để nhóm nhân tử chung đ-a về ph-ơng trình dạng tích.

Nh- vậy trong tr-ờng hợp trái lại ta sẽ lựa chọn phép biến
đổi

cos 2x= −1 2sin2x

</div>
(55)<div class='page_container' data-page=55>

Cơ thĨ ta xÐt vÝ dụ sau:

Ví Dụ 2: Giải ph-ơng trình 2sin3xcos 2x+cosx=0 (2)
Gi¶i:

Ta cã:

[

]

3 2 2

(2) 2sin 1 2sin cos 0 2( 1) 1 0
2(sin 1)(1 cos ) cos 1 0 2( 1)( 1) 1 0

(1 cos ) (sin cos ) 2(sin cos )

(1 cos )(sin cos )(sin cos 2) 0
1 cos 0

sin cos 0
sin cos

⇔ − + + = ⇔ + + − =

⇔ + − + − = ⇔ + + − =

 

⇔ −  + + + 

⇔ − + + + =

− =

+ =

x x x sinx sin x cosx

x x x sinx cosx

x x x x x

x

x x

x

cos 1 2

sin( ) 0

2 0 ( ) 4 4

  =  =

 ⇔ ⇔ ∈

  + =  = − +

 + =  



x x k

k

x x k

x vn

π

Vậy ph-ơng trình có 2 họ nghiƯm.

Nhận xét: Nh- vậy chúng ta đã có đ-ợcph-ơng pháp suy luận 
trong việc lựa chọn 2 h-ớng biến đổi cos 2x

Cuối cùng trong tr-ờng hợp hệ số đối xứng ta lựa chọn
phép biến đổi

cos 2x=cos2x−sin2 x

Cơ thĨ ta xét ví dụ sau:

Ví Dụ 3: Giải ph-ơng trình: sin3x+cos3x=cos 2x (1)
Gi¶i:

Ph-ơng trình (1)sin3x+cos3x=cos2xsin2x

(cosx sin )(1 cos sinx x x cosx sin )x 0

⇔ + − + − =

cos sin 0 (2)

1 cos sin cos sin 0 (3)

+ =



⇔  − + − =

x x

x x x x

Giải (2): Ta đ-ợc
sin cos tan 1

x= − x⇔ x= − ⇔ = − +x

π

k

π

k∈¢

</div>
(56)<div class='page_container' data-page=56>

Giải (3): Ta đặt sinx−cosx=t | |t ≤ 2, suy ra

1
sin cos

t

x x= −

</div>
(57)<div class='page_container' data-page=57>

Khi đó (3) có dạng:

1 0 2 1 0

2
−

− t + = ⇔ + + =t t t

( 1) 0 1 sin cos 1 2 sin( ) 1
4

2
1

sin( ) 2

4 2
2
⇔ + = ⇔ = − ⇔ − = − ⇔ + = −
 = − +

⇔ + = − ⇔ ∈

= +

¢

t t x x x

x k
x k
x k

Vậy ph-ơng trình có hai họ nghiệm.
2.4.4- Ph-ơng pháp tách hệ số.

Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình: cosx+cos3x+2cos5x=0 (1)
Gi¶i.

( )

(

)

3
2
2

1 cos5 cos (cos3 cos5 ) 0
2cos3 .cos 2 2cos 4 .cos 0

(4cos 3cos ).cos 2 cos 4 cos3 0
[(4cos 3) cos 2 cos 4 ]. os 0

{[2(1 cos 2 ) 3]cos 2 2cos 2 1}.cos 0
(cos 2 cos 2 1) cos 0

cos 0
1 17
cos 2
⇔ + + + =
⇔ + =
⇔ − + − =
⇔ − + =
⇔ + − + − =
⇔ − − =
=
+
⇔ =

x x x x

x x x x x

x x x c x

x x x x

x x x

x
x 1
1 1
2
2
2
2
2

cos 2 2 2

8 2

2 2

1 17

cos 2 cos 2

2
8
  = +

 = + 


 

 = ⇔ = + ⇔  = + ∈

 

  = + 
−
 = =   = +

 

¢
x k
x k

x k x k k

x k
x k
x

π

π

π

α

π

α

π

α

π

α

VËy ph-¬ng trình có 3 họ nghiệm.
Ví dụ 2: Giải ph-ơng tr×nh: sin 3 sin 5

3 5

x= x

Giải. Biến đổi ph-ơng trình về dạng

5sin 3 3sin 5 2sin 2 3(sin 5 in 3 )
2(3sin 4sin ) 6cos 4 .sin

x x x x s x

x x x x

= ⇔ = −

⇔ − =

</div>
(58)<div class='page_container' data-page=58>

(

)

(

)

(

)

(3 sin 3cos 4 )sin 0

3 2 1 cos 2 3 cos 2 1 sin 0
3cos 2 cos 2 2 sin 0

x x x

⇔ − − =

 

⇔ − − − −  =

⇔ − − =

cos 2 1

cos 2 cos 2
2

cos 2 3

sin 0
cos 2 0

2 2 2

( )

=




 = − =




⇔ =− ⇔



 =



 =



=± + =± +

 

⇔  ⇔  ∈

= =

  ¢

x

x
x

x k x k

k

x k x k

Vậy ph-ơng trình có 3 hä nghiƯm.

Chó ý:Ta cịng cã thĨ gi¶i b»ng ph-ơng pháp tách dần.

sin 3 3sin 4sin

sin 5 sin( 4 ) sin .cos 4 sin 4 .cos

sin .cos 4 2cos .sin 2 .cos 2 sin .cos 4 4cos .sin .cos 2

= −

= + = +

x x x

x x x x x x x

x x x x x x x x x x

2.4.5- Ph-ơng pháp hằng số biến thiên.

Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình:

(

sin 3 sin

)

(

sin 3 sin

)

2 1 0

2 2

x x

x+ − x+ + = (1)

Gi¶i.

Ta cã thĨ lựa chọn 1 trong 2 cách sau
Cách 1: Ph-ơng pháp hằng số biến thiên. 
Đặt sin2

x

t= ®iỊu kiƯn 0≤ ≤ t 1

Khi đó (1) có dạng

(

sinx+3

) (

t2− sinx+3

)

t+ = 1 0

Ta có ∆ =

(

sinx+3

)

2−4 sin

(

x+ =3

) (

sinx+3 sin

)(

x− ≤1

)

0( do sinx ≤1)
Do đó ph-ơng trình đ-ợc chuyển thành

</div>
(59)<div class='page_container' data-page=59>

0 sin 1 0

sin 1
1

1 cos 1
sin

2 2 2

sin 1 ( )

x

b x

x
t

a

x x

π

k

π

k

∆ = − =

   =

 ⇔  ⇔

   − =

=− =

= = + Â

Cách 2: Ph-ơng pháp ph©n tÝch

( )

(

)

1 sin 1 sin 3 sin 1 0

2 2

x x

x

 

⇔  −  + + =

 

(

)

2 2

sin 3 sin cos 1 0

2 2

(sin 1)(sin 4sin 4) 0

(sin 1)(sin 2) 0 sin 1 2 ( )
2

x x

x

x x x

x x x x

π

k

π

k

⇔ − + + =

⇔ − + = ⇔ = ⇔ = + ∈¢

VÝ dụ 2: Giải ph-ơng trình: 32 sinx3+

(

3sinx10 3

)

sinx2+ 3 sinx=0
Giải.

Đặt t=3sinx2 ,t >0

Khi ú ph-ng trỡnh t-ơng đ-ơng với 3t2+

(

3sinx−10

)

t+ −3 sinx=0

(

)

(

) (

)

3sin 10 4.3 3 sin 3sin 8 3

3 sin

t

x x x

t x

 =


∆ = − − − = −

-Với 1
3

t= ta đ-ợc

(

)

sin 2 1

3 sin 2 1 sin 1 2

3 2

x

x x x

π

k

π

k

− = ⇔ − =− ⇔ = ⇔ = + ∈¢

-Víi t= −3 sinx ta đ-ợc 3sinx2= 3 sinx

Ta đoán đ-ợc nghiệm sinx=2vµ30= −3 2

Vì VT là hàm đồng biến còn VP là hàm nghịch biến, do vậy
sinx=2 là nghiệm duy nhất của ph-ơng trình. Nh-ng ph-ơng
trỡnh sinx=2 vụ nghim.

Vậy ph-ơng trình có 1 họ nghiệm.

</div>
(60)<div class='page_container' data-page=60></div>
(61)<div class='page_container' data-page=61>

2.4.6- Ph-ơng pháp nhân.

Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình:

2cos 2 8cos 7 1

( )

1
cos

x x

x

+ =

Giải.

Điều kiện: cosx0 . Nhân cả hai vế của ph-ơng trình (1)
với cosx0 ta có

2cos 2 .cosx x−8cos2x+7 cosx=1

2 2

2cos (2cos 1) 8cos 7 cos 1

⇔ x x− − x + x=

3 2

4cos 8cos 5cos 1 0
(cos 1)(4cos 4cos 1) 0

⇔ − + − =

⇔ − − + =

x x x

2
cos 1

(cos 1)(2cos 1) 0 1 ( )

2
cos

3
2

= 






⇔ − − = ⇔ ⇔ ∈



 = =± +

 

x k
x

x x k

x k

x

π

π

C¸c hä nghiệm trên thỏa mÃn điều kiện.
 Vậy ph-ơng trình có hai họ nghiệm.

Ví dụ 2: Giải ph-ơng trình

sin5 5cos3 .sin

( )

2 2

x x

x

=
Gi¶i.

+) Víi cos 0
2

x = ta đ-ợc 2

cos 2cos 1 1
2

x

x= − =− vµ sin 1 5

x

VP

=± ⇒ =±

Khi đó ph-ơng trình (2) có dạng: sin5 5

2x =± v« nghiƯm.

+)Víi cos 0 2

(

)

2 2 2

x x

k x k k

π

π

≠ ⇔ ≠ + ⇔ ≠ + ∈¢ (*)

Nhân cả hai vế của ph-ơng trình (2) với 2cos 0
2

x ta đ-ợc

</div>
(62)<div class='page_container' data-page=62>

2sin .cos 10cos .sin .cos

2 2 2 2

x x x x

x
=
3
3 3
3 3
2 3
3 2

sin 3 sin 2 5cos .sin

3sin 4sin 2sin .cos 5cos .sin
3sin 4sin 2sin .cos 5cos .sin
(3 4sin cos 5cos )sin 0
(5cos 4cos 2cos 1)sin 0

x x x x

x x x x x x

x x x x

⇔ + =

⇔ − + =
⇔ − + =
⇔ − + − =
⇔ − − + =
2
2

5cos cos 1 0
(5cos cos 1)(cos 1)sin 0 cos 1 0

sin 0

x x

x x x x x

x
 + − =

⇔ + − − = ⇔  − =
 =

( )

(

)

*
1 21
cos cos
10
2
1 21

cos cos 2

10
sin 0
2
2
2
 −
= =

  =± +
 + 
⇔ = = ⇔  =± +
  =
=



=± +

 =± + ∈

 =


⇔

¢
x
x k

x x k

x k
x

x k

x k k

x k

α

π

β

π

α

π

β

π

2.4.7- Sử dụng các phép biến đổi. 
Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình:

2 3

cos10x+2cos 4x+6cos3 .cosx x=cosx+8cos .cosx x.
Gi¶i.

Biến đổi ph-ơng trình về dạng

(

)

cos10 1 cos8 cos 2(4cos 3cos3 ) cos
2cos9 .cos 1 cos 2cos9 .cos

cos 1

x x x x x x

x x x x x

x x k

π

k

+ + = + −

⇔ + = +

⇔ = ⇔ = Â

</div>
(63)<div class='page_container' data-page=63>

Vậy ph-ơng trình có một họ nghiệm.

</div>
(64)<div class='page_container' data-page=64>

Ví dụ 2: Giải ph-ơng trình: cos2x+sin3x+cosx=0

( )

2
Gi¶i.

( )

(

)

2 2 2

2 cos cos sin .sin 0 (cos 1)(1 cos )sin 0

(cos 1)[cos 1 cos sin ] 0

x x x x x x x

x x x x

⇔ + + = ⇔ + − =

⇔ + + − =

( )

cos 1 1

sin cos sin .cos 1 2

x

x x x x

=


⇔ 

+ =

Giải (1): Ta đ-ợc x= +

k2 ,

kÂ

Giải (2): Đặt

1
sin cos , 2 sin .cos

t

x+ x t t= ≤ ⇒ x x= −

( )

(

)

(

)

2 0 2 1 0

1 2

sin cos 1 2

1 2

2 sin 1 2 sin sin

4 4 2

2 2

4 4

2 2

4 4

t

t t t

t

x x

t loai

x x

x k x k

k

x k x k

π

α

π

α

π

α

π

π

π

π α

π

π

α

π

−

⇔ − = ⇔ − − =

 = −

⇔  ⇔ + = −

= +


−

   

⇔  + = − ⇒  + = =

   

 + = +  = − +

 

⇔  ⇔  ∈

 + = − +  = − +



Vậy ph-ơng trình có hai họ nghiệm.

Ví dụ 3: Giải ph-ơng trình: cos3x+sin3x=cosx+sin 2x+sinx (3)
Gi¶i.

( )

3 ⇔ (cosx+sin )(1 cos .sin ) cosx − x x = x+sin 2x+sinx

(

)

(cos sin )sin 2 sin 2 (cos sin 2)sin 2 0
2

sin 2 0 2

⇔ + = ⇔ + − =

⇔ = ⇔ = ⇔ = ∈¢

x x x x x x x

x x k

x k

k

Vậy ph-ơng trình có 1 họ nghiệm .

</div>
(65)<div class='page_container' data-page=65>

2.5- Biến đổi ph-ơng trình l-ợng giác thành tổng các đại 
l-ợng không âm.

Ph-ơng pháp: Ta cần nhớ các đại l-ợng không âm trong l-ợng 
giác, bao gồmA2, B, 1 cos , 1 sin± x ± x do đó để sử dụng ph-ơng pháp
này giải PTLG ta thực hiện theo các b-ớc sau.

B-ớc 1: Biến đổi phh-ơng trình ban đầu về dạng 
A1+ + +A2 ... An=0

( )

B-íc 2: Dïng lËp luËn Ai ≥ ∀ =0, i 1,n

B-ớc 3: Khi đó

( )

1
2
.

0
0
1

:
0
n

A
A

I
A

=

 =

⇔ 

 =


B-íc 4: Gi¶i hƯ

( )

I

VÝ Dơ Minh Häa:

Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình: cos 42 x+cos 82 x=sin 122 x+sin 162 x+2

( )

1
Gi¶i.

( )

(

)

2 2 2 2

1 1 sin 4 1 sin 8 2 sin 12 sin 16 2
sin 4 sin 8 sin 12 sin 16 0

sin 4 0
sin 8 0

sin 4 0 4

sin12 0 4

sin16 0

x x x x

x
x

x x k x k k

x
x

π

⇔ − + − + = + +

⇔ + + + =

=


 =



⇔ ⇔ = = =

=

Vậy ph-ơng trình cã mét hä nghiƯm.

</div>
(66)<div class='page_container' data-page=66>

VÝ dơ 2: Giải ph-ơng trình:

( )

cos 2xcos 6x+4(3sinx4sin x+ =1) 0 2
Gi¶i. Ta cã:

( )

2 3 2 2

2 cos 2 cos 6 4sin 3 4 0

(1 cos 2 ) (1 cos 6 ) 4sin 3 2 0

2cos 2sin 3 4sin 3 2 0 cos (sin 3 1) 0

x x x

x x x x x

⇔ − + + =

⇔ + + − + + =

⇔ + + + = ⇔ + + =

(

)

cos 0 2

sin 3 1 3 2

x k

x

x k k

x

x k

π

π

π

π

π

π

 = +


 

⇔ ⇔  ⇔ = + ∈

 = +

Vậy ph-ơng trình có một họ nghiệm.
Ví dụ 3: Giải ph-ơng trình:

( )

2 2

4cos x+3tan x−4 3 cosx+2 3 tanx+ =4 0 3
Gi¶i.

NhËn xét: Ta nhận thấy ph-ơng trình trên có 4 hạng tö

cos , cosx x, tan ,x tan x2 vậy thì ta có thể biến đổi ph-ơng trình về
dạng tổng bình ph-ơng của hai biểu thức.

Gi¶i. 
Ta cã:

( )

(

) (

)

(

)

2 2

3 (4cos 4 3 cos 3) (3tan 2 3 tan 1) 0

2cos 3 3 tan 1 0

3
cos

2cos 3 0 2

1
3 tan 1 0 3 tan

2
6
6

⇔ − + + + + =

⇔ − + + =



=


 − =

 

⇔ ⇔ 

+ =

 

 = −



 =± +



⇔  ⇔ =− + ∈

 =− +


x x x x

x x

x
x

x x

x k

x k k

x k

π

π

π

</div>
(67)<div class='page_container' data-page=67>

Vậy ph-ơng trình có một họ nghiệm.
Ví dụ 4: Giải ph-ơng trình

tan 1 cot 1 1

( )

4
sin 2

x x

x

+ =
Giải.

Điều kiện:

tan 1
cot 1
sin 2 0

x
x
x

>


 >


 ≠


C¸ch 1:

( )

(

)

2 2

4 tan 1 cot 1 tan cot
2

[(tan 1) 2 tan 1 1] [(cot 1) 2 cot 1 1 ] 0
( tan 1 1) ( cot 1 1) 0

tan 1 1 0

tan cot 2
cot 1 1 0

x x x x

x x

x

x x

x

⇔ − + − = +

⇔ − − − + + − − − + =

⇔ − − + − − =

 − − =


⇔  ⇔ = =

− − =


tan .cotx x 4

⇒ = (mâu thuẫn)

Vậy ph-ơng trình vô nghiệm.

Cỏch 2: S dụng bất đẳng thức Cô si ta đ-ợc 
1 tan 1 tan

1(tan 1)

2 2

1 t 1 t

1(cot 1)

2 2

1 1

tan 1 cot 1 (tan cot )

2 sin 2

x x

x

co x co x

x

x x x x

x

+ −

 − ≤ =



 + −

 − ≤ =



⇒ − + − ≤ + =

Do vËy

( )

4 tan 1 1 tan cot 2
cot 1 1

x

x x

x

 − =



⇔  ⇔ = =

− =

 (mâu thuẫn).

Vậy ph-ơng trình vô nghiệm.
Ví dụ 5: Giải ph-ơng trình

</div>
(68)<div class='page_container' data-page=68>

( )

2 2 2

tan x+tan y+cot (x y+ =) 1 5
Gi¶i.Ta cã

( )

1 tan .tan

cot( )

tan tan

(tan tan ) cot( ) 1 tan .tan

tan .tan tan .cot( ) tan .cot( ) 1 *

x y

x y

x y

x y x y x y

x y x x y y x y

−
+ =
+
⇒ + + = −
⇔ + + + + =
Do vËy

( )

(

)

(

)

(

)

( )

2 2 2

5 tan tan cot

tan .tan tan .cot( ) tan .cot( )
1

[(tan tan ) (tan cot ) (tan cot( )) ] 0
2

tan tan cot 6

x y x y

x y x x y y x y

x y x y

⇔ + + +

= + + + +

⇔ + + − + + − + =

⇔ = = +

Tõ (5) vµ (6) ta cã: tan tan cot

(

)

1
3

x= y= x+y =±

6
6
x k
y k

π

π

π

π

 =− +


 = − +


hc 6

6
x k
y k

π

π

π

π

 = +

= +

Vậy ph-ơng trình có 2 hä nghiƯm .

Chó ý: Víi mäi x y, lµm tan , tan , tanx y

(

x y+

)

cã nghÜa ta lu«n cã

(

)

(

)

tan .tanx y+tan .cotx x y+ +tan .coty x y+ =1
VÝ dụ 6: Giải ph-ơng trình

4sinx −21 sin+ x.cos

( )

xy +2y = (6) 0
Gi¶i.

( )

(

)

(

)

2
sin sin
2
sin

sin

6 2 2.2 .cos . 1 1 2 0
2 1 (2 1) 0

2 1 sin 0

0 0
2 1
y
x x
y
x
x
y
x y

x x k

k
y y

π

⇔ − + − + =
⇔ − + − =
 =  =  =

⇔ ⇔  ⇔ 
= =
=
Â

</div>
(69)<div class='page_container' data-page=69>

Vậy ph-ơng trình cã mét hä nghiÖm.

Nhận xét: Để giải ph-ơng trình l-ợng giác bằng ph-ơng pháp 
này địi hỏi ở học sinh phải có t- duy, nhận xét qua từng
bài tốn xem có thể đ-a về hằng đẳng thức hoặc số hạng nào
đó khơng âm. Với ph-ơng pháp này có tác dụng tích cực tới
t- duy sáng tạo cho học sinh.

2.6- Giải ph-ơng trình l-ợng giác bng ph-ng phỏp ỏnh 
giỏ.

Ph-ơng pháp: Xét ph-ơng trình f x

( ) ( )

=g x x D∈ (1)

Nếu ∀ ∈x D f x,

( )

≥k và g x

( )

≤k k, là một số nào ú thỡ ph-ng

trình trên t-ơng đ-ơng với h ệ

( )

f x k

g x k

=






Nh- vậy ta quy -ớc việc giải PTLG (1) về giải hệ PTLG
(2). Để đánh giá ph-ơng trình ta dựa trên các dạng sau:

D¹ng 1: TÝnh chÊt cđa hàm số l-ợng giác và biểu thức 
l-ợng giác.

D¹ng 2: PTLG d¹ng Pitago

Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức Côsi.

Dạng 4: Sử dụng bất đẳng thức Bunhicôpski. 
Sau đây ta đi xét từng dạng.

2.6.1- TÝnh chất của hàm số l-ợng giác và biểu thức l-ợng 
giác.

Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình

(

sinx+ 3 cosx

)

sin 3x= (1) 2
Gi¶i.

Ta cã nhËn xÐt | sin 3 cos | 2 (sin 3 cos )sin 3 2
sin 3 1

x x

x x x

x

 + ≤

 ⇒ + ≤



≤


Do đó ph-ơng trình (1) t-ơng d-ơng với

</div>
(70)<div class='page_container' data-page=70>

sin( ) 1

sin 3 cos 2 3

sin 3 1 sin 3 1

sin 3 cos 2 sin( ) 1
3
sin 3 1

sin 3 1

x

x x

x x x

x
x

π

 + =

 + = 
 
= =

 ⇔ 
 
+ = −

  + =−
 =− 
 
= −



2
6
sin 3 1

2
6

sin 3 1

x k
x
x k
x

π

π

π

π

 = +

 =

⇔ 
 =− +

 =−


(

)

2
6
5 6
2
6
x k

x k k

x k

π

π

π

π

π

π

 = +

= +
= +

Â

Vậy ph-ơng trình có một họ nghiệm.
 Ví dụ 2: Giải ph-ơng tr×nh:

sin8 cos8 2(sin10 cos10 ) 5cos 2
4

x+ x= x+ x + x (2)

Gi¶i.

( )

2 8 2 8 5

2 (1 2sin )sin ( 2cos 1) cos cos 2
4

x x x x x

⇔ − − − =

cos 2 .sin8 cos 2 .cos8 5cos 2
4

x x x x x

⇔ − =

( )

8 8
8 8

cos 2 0 3

(sin cos ) os 2 cos 2 5

4 sin cos 4

x

x x c x x

x x
=


⇔ − = 
=

Giải (3) ta đ-ợc 2

(

)

2 4 2

x= +

k

= +x

k

kÂ

Giải (4): Ta cã nhËn xÐt

VT =sin8xcos8xsin8x1

( )

2 vô nghiệm
Vậy ph-ơng tr×nh cã mét hä nghiƯm.

Nhận xét: Hầu hết các ph-ơng trình l-ợng giác ở dạng ban 
đầu chúng ta ch-a thể khẳng định đ-ợc nó có thuộc loại đánh

</div>
(71)<div class='page_container' data-page=71>

giá hay không. Tất cả chỉ đ-ợc khẳng định sau những biến
đổi l-ợng giác mà chỳng ta ó bit.

Ví dụ 3: Giải ph-ơng tr×nh

3
2

log sin 1

2 2

3.sin x−2 x+ =log (sin x+ −1) log sinx (3)

Giải.

Điều kiện sinx>0

Ta thấy 2log sin2 3x+1=2.2log sin2 3x =2sin3x

Ta cã

( )

2 3

2
log sin 1

sin 1

3 3.sin 2 log

sin

x x

x

+ +

⇔ − = (4)

Víi ∀sinx>0 ta cã

( )

2 2

sin 1 sin 1

sin 1 2sin 2 log 1 5

sin sin

x x

+ +

+ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥

DÊu = xảy ra khi và chỉ khi

6 6

10 10

2 2

1 sin cos

(sin cos ) (1)

4 sin 2 4cos 2

x x

+ =

sin x+ =1 2sinx

( )

(sinx 1) 0 sinx 1 *

⇔ − = ⇔ =

Từ (4) và (5) ⇒ 3sin2x−2sin3x≥ ⇔1 2sin3x−3sin2x+ ≤1 0
⇔(sinx−1) (2sin2 x+ ≤1) 0 (6)
Do sinx≥ ⇒0 2sinx+ ≥ do đó (6)1 1 ⇔(sinx−1)2 ≤0

sin 1 2 ( ) (**)
2

x= ⇔ = +x

π

k

π

k∈¢

Tõ (*) vµ (**) ta suy ra 2 ( )

x= +

π

k

π

k∈Â là họ nghiệm của
ph-ơng trình ó cho.

2.6.2 Ph-ơng trình l-ợng giác dạng Pitago.

</div>
(72)<div class='page_container' data-page=72>

2.6.3 Ví dụ 1: Giải ph-ơng tr×nh

6 6

10 10

2 2

sin cos

sin cos (1)

sin 2 4cos 2

x x
x x
x x
+
+ =
+
 Gi¶i:

Ta cã nhËn xÐt :

VP=

(

)

3 2 2

2 2 2

1 sin 2
(sin cos ) 3sin .cos 4 1

4 3sin 2 4
4 sin 2 cos 2 3sin 2

x

x x x x

x

x x x

+ = =

+
Mặt khác:
10 2

10 10 2 2

10 2

cos cos 1 1 1

(sin cos ) (sin cos )

4 4 4

sin sin

x x

VT x x x x

x x
 ≤
 ⇒ = + ≤ + =

≤


Do đó: (1)

10 2
10 2
cos 0
cos 1
cos cos
1

4 sin sin sin 0
sin 1
x
x
x x
VT
x

x x
x
 =
 =±
 =
 
⇔ = ⇔ ⇔
=
= 
 

 =±

cos 0

sin 2 0 2 ( )

sin 0 2

x

x x k x k k

x

π

=

⇔ ⇔ = ⇔ = ⇔ = ∈
=

 ¢

Nh- vËy b»ng nhËn xÐt cosn x≤cos2x , sinnx ≤sin2x n( 2, n Ơ) và
ta có thể giải bài toán một cách dễ dàng .

Ví dụ 2: Giải ph-ơng trình:

sin2007x +cos2008 x=1
Gi¶i: Ta cã:

2 3 2 5 2

2007 2

sin 1 sin sin 1 sin sin 1

... sin sin ( )

x x x x x

x x a

Mặt khác ta còng cã:

2 4 2 6 2

2008 2

cos 1 cos cos 1 cos cos 1
... cos cos ( )

x x x x x

x x b

≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤

⇒ ≤

</div>
(73)<div class='page_container' data-page=73>

Tõ (a) vµ (b) ⇒sin2007 x + cos2008x≤sin2x+cos2x=1
DÊu “=” x¶y ra

3 2

sin 0
sin 1

sin sin sin 0

sin 1
cos 0

cos cos

2
cos 1

x

x k
x

x x x

k

x x k

x

x x

x

π

π

 =

 =  =

 =  =

  

⇔  ⇔  ⇔  ⇔ ∈



= = +

= 

 

  



 =


2.6.3 Sử dụng bất đẳng thức Cosi:

VÝ dơ 1: Gi¶i ph-ơng trình: sin 28 cos 28 1 (1)
8

x + x =

Gi¶i:

Cách 1: Sử dụng giải PTLG hỗn hợp chứa các biểu thức đối 
xứng đối với sin ,cosx x

Ta cã:

8 8 4 4 2 4 4

2 2 2 2 2 4 4

2 2 4 4 4

sin 2 cos 2 (sin 2 cos 2 ) 2sin 2 . cos 2
(sin 2 cos 2 ) 2sin 2 . cos 2 2sin 2 . cos 2

1 1 1

(1 sin 4 ) sin 4 sin 4 sin 4 1

2 8 8

x x x x x x

x x x x

+ = + −

 

= + −  −

= − − = − +

Lúc đó (1) 1sin 44 sin 44 1 1 sin 44 8sin 42 7 0

8 x x 8 x x

⇔ − + = ⇔ − + =

(

)

2
2

sin 4 1

cos 4 0
sin 4 7 ( )

2 8 4

x

x vn

x

π

k

π

x

π

k

π

k

 =

⇔ =



=


⇔ = + ⇔ = + ∈¢

Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Cosi 
Ta có nhận xét

8 4 4 4 2

1 1 1 1

cos 2 ( ) ( ) ( ) cos 2

2 2 2 2

1 1 1 1

sin ( ) ( ) ( ) sin 2

2 2 2 2

x x

 + + + ≥




 + + + ≥



</div>
(74)<div class='page_container' data-page=74>

Céng vÕ víi vÕ sin 28 cos 28 6 ( )1 4 1 (sin 22 cos 2 )2

2 2

x x x x

⇒ + + ≥ +

8 8 1

sin 2 cos 2
8

x x

⇔ + ≥

Do đó: (1)

8 4

2 2

8 4

1
cos 2 ( )

2 sin 2 cos 2 cos 4 0

1 2

sin 2 ( )
2

x

x x x

x

 =



⇔  ⇔ = = ⇔ =

 =



4 ( )

2 8 4

x

π

k

π

x

π

k

π

k

⇔ = + ⇔ = + Â

Ví dụ 2: Giải ph-ơng trình:

(tan 1cot ) sin cos 2, (2)
4

n n n

x + x = x + x n nƠ

Giải:

Điều kiện: cos 0 sin 2 0 2 ,

sin 0 2

x

x x k x k k

x

π

≠


⇔ ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ∈

 ≠

 ¢

+) Với n=2 ph-ơng trình đã cho trở thành
(tan 1cot )2 sin2 cos2 1

x + x = x + x =

Ta cã: (tan cot )2 tan2 1 cot2 1 1

6 2

x + x = x + x + ≥

DÊu “=’’ x¶y ra:

2 1 2

tan cot
6

tan tan ( )

x x

x

α

x

α

k

π

k

⇔ =

⇔ = ± = ± ⇔ = ± + ∈¢

+) Víi n≥2 ta cã | tan 1 cot | (| tan | 1 | cot |) 1

4 4

n n

x + x = x + x ≥

(Theo bÊt d¼ng thøc Cosi)

Mặt khác: >n 2 thì

2
2

|sin | sin

|sin | | cos | 1
| cos | cos

n

n n

n

x x

 ≤

 ⇒ + ≤



≤


</div>
(75)<div class='page_container' data-page=75>

Do đó:

|sin cos | |sin | | cos | 1 | tan 1cot |
4

n n n n n

x + x ≤ x + x ≤ ≤ x+ x

DÊu “=” x¶y ra

2
2

| sin | sin

| cos | cos 2

1 1

| tan | | cot | | tan | | cot |

4 4

n

x k

x x

x k

x x

x x x x

π

π

 =




= 





 = +

⇔  = ⇔ 

 

 =  =

Hệ này vô nghiệm

Vy ph-ng trình đã cho có hai họ nghiệm
2.6.3 Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski 
 Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình

sinx + 2−sin2x +sinx 2−sin2 x = (1) 3
 Gi¶i:

Ta cã:

(

)

2 2 2 2

(1.sin 2 sin sin 2 sin )

(1 2 sin sin ) sin 1 2 sin 9 3

VT x x x x

x x x x VT

= + − + − ≤

≤ + + + + =

Vậy ph-ơng trình cã nghiÖm sin 1 ( )

x x

π

k

π

k

⇔ = ⇔ = + ∈ ¢

Ví dụ 2: Giải ph-ơng trình :

tanx + tan 22 x + cot 32 x =1
Giải:

Điều kiện

cos 0 sin 4 0

cos 2 0 1

cos3

sin 3 0 2

x x

x

x
x

≠

  ≠

 ≠ ⇔

  ≠ −

 ≠ 



Ta cã:

</div>
(76)<div class='page_container' data-page=76>

tan 2 tan 1
tan (2 )

1 tan 2 .tan cot 3

tan 2 .tan tan 2 .cot 3 cot 3 .tan 1

x x

x x

x x x

x x x x x x

+ = =

−

⇔ + + =

Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có

2 2 2

1=tan 2 .tanx x + tan 2 .cot 3x x +cot 3 .tanx x ≤tan x+ tan 2x +cot 3x

DÊu “=” x¶y ra ⇔ tanx =tan 2x =cot 3x

2 tan

tan

tan 2 tan

1 tan
cot 3 tan

cot 3 tan
tan 0

cot 3 0 cot 3 0

x

x x

x

x x

x x k

x x

π

 =

  −

⇔  ⇔ 

  =



= =

 

⇔  ⇔ 

= =

 

Hệ ph-ơng trình trên vơ nghiệm . Vậy ph-ơng trình đã cho
vơ nghiệm.

2.7- Dïng ph-¬ng pháp khảo sát hàm số

Ph-ng phỏp ny ta dùng tính chất biến thiên ( đồng
biến hay nghịch biến) và cực trị của hàm số để tìm nghiệm
của ph-ơng trình. Để hiểu rõ hơn về vấn đề này ta xét một

số ví dụ cụ thể.

VÝ dụ 1: Giải ph-ơng trình:

1 cos (1) 0

2 2

x

x x

π

− = ≤ ≤

Ph-ơng trình đã cho t-ơng đ-ơng với

1 cos 0

x

− − =

XÐt hµm sè

( ) 1 cos ( ) sin
2

x

f x = − − x ⇒ f x =− +x x

( ) 1 cos 0 0 ;
2

f x x x 

π



⇒ = − + ≤ ∀ ∈  

 

B¶ng biÕn thiªn

x 0

</div>
(77)<div class='page_container' data-page=77>

π

( ) '

f x
−

( ) ''

f x 0
1

π

−

( )

f x 0

1
8

π

−

Dùa vào bảng biến thiên ta suy ra ( ) 0 0 ;
2

f x ≤ ∀ ∈ x 

π



 

DÊu “=” x¶y ra ⇔ =x 0

Vậy ph-ơng trình đã cho có nghiệm duy nhất x=0
Ví dụ 2: Giải ph-ơng trình: 1 sin2 .2cos 2 1 sin 22 cos 2

x

x x x

= + + (2)

Gi¶i:

Ta cã : (2) ⇔ 2sin2 x.2cos 2x + sin 22 x −2(1 cos 2 )− x =2

cos 2 2

cos 2
cos 2

cos 2

(1 cos 2 )( 2 (1 cos 2 ) 2(1 cos 2 ) 0
(1 cos 2 ) 2 (1 cos 2 ) 2 0

(1 cos 2 )(2 cos 2 1) 0
1 cos 2 0 (2)

2 cos 2 1 0 (3)
x

x

x x x

x x

x
x

⇔ − + − − − =

 

⇔ −  + + −  =

⇔ − + − =

− =



⇔  + − =



Ta cã: (2) ⇔cos 2x = ⇔1 2x=k2

π

⇔ =x k

π

(

k∈¢

)

(4)

Đặt cos 2x =t t ≤ 1 ph-ơng trình (3) trở thành f t( ) = + − =2t t 1 0
Rõ ràng f t( ) là 1 hàm số đồng biến trên Ă . Lại có

(0) 0 0

f = ⇒ =t lµ nghiƯm duy nhÊt cđa (3) trªn

[

−1; 1

]

</div>
(78)<div class='page_container' data-page=78>

Víi t =0 ta suy ra cos 2 0 2 ( ) (5)

2 4 2

x= ⇔ x=

π

+k

π

⇔ =x

π

+ k

π

k∈ ¢

Từ (4) và (5) suy ra ph-ơng trình đã cho có hai tập nghiệm
Ví dụ 3: Giải ph-ơng trình :

log2 sin+ x(4+sin )x =log 53 (1)
Gi¶i:

Ta cã:

3 5 3 5

log (4 sin )

(1) log 5 log (4 sin ) log 5.log (2 sin )
log (2 sin )

x

x x

x

⇔ = ⇔ + = +

(

)

log 4 sinx log (2 sin )x

+ = +

Đặt

(

)

3

log 4+sinx =log (2+sin )x =t

Lúc đó ta có: 2 sin 3
4 sin 5
t

t

x
x

 + =




+ =

 (2)

1 3

2 5 3 2( ) ( ) 1 (3)

5 5

t t t t

⇒ = − ⇔ + =

XÐt hµm sè ( ) 2( )1 ( )3

5 5

t t

f t = + . Ta thÊy r»ng f t( ) là hàm nghịch
biến trên Ă và f(1) = ⇒ =0 t 1 lµ nghiƯm duy nhÊt của ph-ơng
trình (3)

Với t =1 thế vào (2) ta cã sin 1 2 ( )
2

x= ⇔ =x

+ k

k Â

Vậy ph-ơng tr×nh cã 1 hä nghiƯm duy nhÊt .

Nhận xét: Ph-ơng trình

f x

( )

=

m

trong đó

f x

( )

là một hàm
đồng biến (hoặc nghịch biến ) trên miền xác định của ph-ơng
trình , nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.

Ph-ơng trình

f x

( )

=

g x

( )

trong đó trên miền xác định của
ph-ơng trình ,2 hàm số

f x

( )

và

g x

( )

có tính đồng biến và

</div>
(79)<div class='page_container' data-page=79>

nghịch biến trái ng-ợc nhau ,nếu có nghiệm thì nghiệm đó
là duy nhất.

VÝ dơ 4: Giải ph-ơng trình :

sin cos 2
n
nx n x n

+ = víi 0 , 2

x

π

n

≤ ≤ >
Gi¶i:

XÐt hµm sè

( ) sin cos 2
n

n n n

f x x x

−

= + = víi 0 , 2

x

π

n

≤ ≤ >
Ta cã

1 1 2 2

( ) ' sinn . cos sin . cosn sin .cos (sinn cosn )

f x =n − x x −n x − x =n x x − x− − x

2 2

( ) ' 0 sin cos 0

n n

f x = ⇔ − x− − x = ⇔ = x

Bảng biến thiên:

x 0

π

( ) '

f x −
+

( )

f x 1
1

2
2

2
n

Dựa vào bảng biến thiên

2
2

( ) ( ) 2
4

n

f x f

π

−

⇒ ≥ =

Từ đó ta có

2
2

( ) 2

4
n

f x x

π

−

= ⇔ = 0;

π

 

∈ 

Vậy ph-ơng trình chỉ có 1 nghiệm duy nhất là:
4

x=

π

</div>
(80)<div class='page_container' data-page=80>

Nhận xét : Với ph-ơng pháp khảo sát hàm số ta th-ờng áp dụng 
để chứng minh nghiệm duy nhất hoặc ta có thể nhẩm nghiệm hoặc
là dựa vào bảng biến thiên để suy ra nghiệm của ph-ơng trình.
Do vậy địi hỏi học sinh cần tinh ý xem bài toán nào nên áp
dụng ph-ơng pháp này. Đặc biệt ph-ơng pháp này th-ờng đ-ợc áp
dụng để tìm nghiệm PTLG dạng đại số.

2.8- Biện luận ph-ơng trình l-ợng giác chứa tham số 
Cũng nh- đối với ph-ơng trình có chứa tham số khác
,việc giải và biện luận PTLG có chứa tham số cũng rất quan
trọng trong ch-ơng trình tốn phổ thơng cũng nh- trong các
đề thi Đại Học.Th-ờng thì các bài tốn l-ợng giác chứa tham
số yêu cầu tìm điều kiện của tham số để ph-ơng trình có
nghiệm hoặc tìm điều kiện của tham số để ph-ơng trình có

n nghiệm thuộc 1 khoảng D nào đó .Để có cái nhìn tổng quan
về ph-ơng pháp giải ph-ơng trình này ta sẽ xét từng dạng
Dạng 1: Tìm điều kiện để ph-ng trỡnh cú nghimx D

Cho ph-ơng trình Q m x( , ) =0 (1) phơ thc vµo tham sè m , x∈D

Tìm m để ph-ơng trình có nghiệm
Cách 1: Ph-ơng pháp đạo hàm

B-ớc 1: Đặt ẩn phụ t =h x( ) trong đó h x( ) là 1 biểu thức
thích hợp trong ph-ơng trỡnh (1)

B-ớc 2: Tìm miền giá trị (điều kiện) của t trên tập

xỏc nh D. Gọi miền giá trị của t là D 1

B-ớc 3: Đ-a ph-ơng trình (1) về ph-ơng tr×nh f m t( , ) =0
B-íc 4: LËp bảng biến thiên của hàm số f m t( , ) trªn
miỊn D1

B-ớc 5: Căn cứ vào bảng biến thiên và kết quả của b-ớc 
4 mà các định giá trị của m

</div>
(81)<div class='page_container' data-page=81>

Cách 2: Ph-ơng pháp tam thức bậc hai

( áp dụng khi đ-a Q m x( , ) về dạng tam thức bậc hai )
B-ớc 1: Đặt ẩn phụ t =h x( ) trong đó h x( ) là 1 biểu thức
thích hợp trong ph-ơng trình (1)

B-ớc 2: Tìm miền giá trị (điều kiện) của t trên tập
xác định D .Gọi miền giá trị của t là D1

B-íc 3: §-a ph-ơng trình (1) về ph-ơng trình

( , ) 0

f m t =a t +bt+ =c

B-ớc 4: Giải tìm điều kiện để tam thức f m t( , ) có
nghiệm t∈U

B-íc 5: KÕt ln

Ví dụ 1: Tìm m để ph-ơng trình có nghiệm 0;
4

x∈

π



 
mcos2x −4sin .cosx x+ − =m 2 0 (1)

Gi¶i: 
Víi 0;

x∈

π



 cosx 0.

Chia cả hai vế của ph-ơng trình cho cos2x 0 ta đ-ợc

2
2

4 tan ( 2) (1 tan ) 0

( 2) tan 4 tan 2 2 0 (2)

m x m x

m x x m

− + − + =

+ =

Đặt t =tanx vì 0;
4

x

nên t

(

0; 1

)

ta đ-ợc

( )

(m−2) t −4 t+2m− =2 0 3

Khi đó (1) có nghiệm 0;
4

x∈

π



  khi vµ chØ khi (3) cã nghiÖm

(

0; 1

)

t∈

</div>
(82)<div class='page_container' data-page=82>

Ta cã thĨ lùa chän mét trong hai c¸ch sau

</div>
(83)<div class='page_container' data-page=83>

Cách 1: +) Với m− = ⇔2 0 m =2, khi đó (3) có dạng
4 2 0 1

(

0 ; 1

)

t t

− + = ⇔ = ∈
Vậy m=2 thỏa mãn đề bài

+)Với m− ≠ ⇔2 0 m ≠2 khi đó (3) có nghiệm t∈

(

0; 1

)

⇔(3) cã 1 nghiƯm ∈

(

0; 1

)

hc (3) cã 2 nghiƯm ∈

(

0; 1

)

(3 8)(2 2) 0
(1). (2) 0

' 0 2 6 0

8
(1) 0 (3 8)( 2) 0

3
(0) 0 ( 2)(2 2) 0

0 1 0 1

2 2

m m

f f

m m

af m m

m

af m m

S

m

− − <
< 


 ∆ ≥ − + ≥
 


 >  − − >

⇔ ⇔ ⇔ < <

 >  − − >

 



 

< <  < <

 

Vậy với 1 8
3

m

< < ph-ơng trình có nghiệm 0;
4

x

Cách 2: Viết lại ph-ơng trình d-ới dạng :

2
2

2 4 2
2
t t
m
t
+ + =

Ph-ơng trình có nghiệm 0;
4

x



⇔đ-ờng thẳng y =m cắt đồ thị hàm số

2
2

2 4 2
2
t t
y
t
+ +
=

+ trên

( )

0 ;1

Xét hàm sè (C)

2
2

2 4 2
2
t t
y
t
+ +
=

+ trªn

( )

0 ;1

Đạo hàm

( )

2 2 2 2

4 4 8 4( 1)( 2)

' 0 0;1

( 2) ( 2)

t t t t

y t

t t

− + + − + −

= = > ∀ ∈

+ +

tức là hàm số đồng biến trên

( )

0 ;1

Do đó đ-ờng thẳng y = cắt đồ thị hàm số(C) trên khoảng m

( )

0 ;1

8
(0) (1) 1

y m y m

⇒ < < ⇔ < <

</div>
(84)<div class='page_container' data-page=84>

VËy víi 1 8
3

m

< < ph-ơng trình có nghiệm 0;
4

x

Vớ d 2: Tìm m để ph-ơng trình sau có nghiệm

4(sin4x+cos4x)−4(sin6 x+cos6 x) sin 4− 2 x =m (1)
Gi¶i:

Ta đã có:

6 6 2

4 4 2

2 2 4

3
sin cos 1 sin 2

4
1
sin cos 1 sin 2

sin 4 4sin 2 4sin 2

x x x

+ = −

= −

Do đó ph-ơng trình đ-ợc biến đổi về dạng

(

)

2 2 2 4

4 2

3 1

4(1 sin 4 ) 4(1 sin 2 ) 4sin 2 4sin 2

4 2

4sin 2 3 sin 2

x x x x m

x x m

− − − − − =

⇔ − =

Đặt t=sin2x 0≤ ≤t 1. Khi đó ph-ơng trình có dạng 4t2 =3t m
(2)

Cách 1: ph-ơng trình (1) cã nghiÖm ⇔ (2) cã nghiÖm ∈

[ ]

0 ; 1
⇔ (2) cã 1 nghiƯm hc (2) cã 2 nghiÖm ∈

[ ]

0 ; 1

(0). (1) 0

(1 ) 0
' 0

9 16 0 0 1

9
(0) 0

0 9 1

16
0

(1) 0

1 0 16

0 1

f f

m m

m m

af

m m

m
af

m
S


≤

 − − ≤

∆ ≥ 

  + ≥  ≤ ≤

 ≥  

⇔ ⇔ − ≥ ⇔ ⇔ − ≤ ≤



 − ≤ ≤

 ≥

  − ≥ 

 

 ≤ ≤

  ≤ ≤

 

VËy víi 9 1

16 m

− ≤ thì ph-ơng trình trên có nghiệm

Cách 2: Ph-ơng trình (1) có nghiệm đ-ờng thẳng y= c¾t m

đồ thị hàm số y=4t2 −3t trên đoạn

[ ]

0;1

</div>
(85)<div class='page_container' data-page=85>

XÐt hµm sè y =4t2 −3t trên đoạn

[ ]

0;1
Đạo hàm ' 8 3 , ' 0 3

y = −t y = ⇔ =t

B¶ng biÕn thiªn

t −∞

0 3

8
1 +∞

y −

y 0

Dựa vào bảng biến thiên ta đ-ợc điều kiện 9 1
16 m
− ≤ ≤

VËy víi 9 1

16 m

− thì ph-ơng trình có nghiệm

Vớ dụ 3: Cho ph-ơng trình cos 2x =m 1 tan+ x cos2x (1)
Tìm m để ph-ơng trình có nghiệm thuộc 0;

π

 

 

 

Gi¶i:

§iỊu kiƯn cos 0 (*)

tan 1

x

≠


 ≥

Đặt t =tanx thì

2
2

1
cos 2

t
x

t

+ và

1
cos

x

t

=
+

Khi ú ph-ng trình có dạng

2 2

1 1

1 1 1

1 1

t

m t t m t

t t

− = + ⇔ − = +

+ +

</div>
(86)<div class='page_container' data-page=86>

V× 0;
3

x∈

π



  suy ra t 0 ; 3

Do 1+ >t 0 nên ph-ơng trình đ-ợc viết lại d-ới dạng
(1t) 1+ =t m

Để ph-ơng trình (1) có nghiệm 0;
3

x

thì ph-ơng tr×nh (3)
cã nghiƯm

</div>
(87)<div class='page_container' data-page=87>

0 ; 3

t ∈  , suy ra đ-ờng thẳng y =m cắt đồ thị hàm số
(1 ) 1

y= t +t trên đoạn 0 ; 3

Xét hàm số y = (1 t) 1+t trên D= 0 ; 3
Đạo hàm

1 2(1 ) 1 3 1

' 1 0

2 1 2 1 2 1

t t t t

y t t D

t t t

− − + + − − −

= − + + = = < ∀

+ + +

Hàm số nghịch biến

Do ú iu kiện là f( 3)≤ ≤m f(0)⇔ −(1 3) 1+ 3 ≤ ≤ m 1

Vậy với (1− 3) 1+ 3 ≤ ≤m 1 thoả mãn điều kiện đề bài
Nhận xét: Với những bài toán dạng này chúng ta cần phải 
nhớ rằng khi đặt ẩn phụ, ta nên nhớ đặt điều kiện cho ẩn
phụ rồi từ đó ta xét điều kiện cho ẩn ban đầu.

Dạng 2: Tìm điều kiện để ph-ơng trình có k nghiệm thuộc D
Cho ph-ơng trìnhQ m x( , ) =0 (1) phụ thuộc vào tham số m

, x∈D

Tìm m để ph-ơng trình có k k( ≥1) nghiệm thuộc D
Cách giải:

Cách 1: Ph-ơng pháp đạo hàm

B-ớc 1: Đặt ẩn phụ t =h x( ) trong đó h x( ) là 1 biểu thức
thích hợp trong ph-ơng trình

B-ớc 2: Tìm miền giá trị (điều kiện) của t trên tập
xác định D .Gọi miền giá tr ca t l U

B-ớc 3: Đ-a ph-ơng trình (1) về ph-ơng trình f m t( , ) =0
B-ớc 4: Tìm mối t-ơng quan về số l-ợng tU và xD

trong ph-ơng trình t =h x( ). Hay nói cụ thể hơn là xét xem
với mỗi to ph-ơng trình U to =h x( ) có bao nhiêu nghiệm xD

B-ớc 5: Lập bảng biến thiên của hàm số f m t( , ) trªn miỊn
U

</div>
(88)<div class='page_container' data-page=88>

B-ớc 6: Căn cứ vào bảng biến thiên và kết quả của b-ớc 
4 m xỏc nh giỏ tr ca m

Cách 2: Ph-ơng ph¸p tam thøc bËc hai

B-ớc 1: Đặt ẩn phụ t =h x( ) trong đó h x( ) là 1 biểu thức
thích hợp trong ph-ơng trình

B-ớc 2: Tìm miền giá trị (điều kiện) của t trên tập
xác định D .Gọi miền giá trị của t là U

B-íc 3: Đ-a ph-ơng trình về ph-ơng trình bậc hai theo

t

B-ớc 4: Tìm t-ơng quan về số l-ợng tU và xD trong
ph-ơng trình t =h x( ) Hay nói cụ thể hơn là xét xem với mỗi

o

t U ph-ơng trình to =h x( ) có bao nhiªu nghiƯm x∈D

B-ớc 5: Giải bài tốn tìm điều kiện để tam thức f m t( , )
có đủ nghiệm t U∈ gây nên k nghiệm xD

Chú ý: Gọi k là số nghiệm của ph-ơng trình Q x( ) trên D, m

là số nghiệm của ph-ơng trình t =h x( ) trên D, n là số nghiệm
của ph-ơng trình f t( ) trên U thì k =m n.

Ví dụ 1: Cho ph-ơng trình

cos3x−sin3x =m (1)

Xác định m để ph-ơng trình có đúng hai nghiệm phân biệt

;
4 4

x∈ −

π π



 

Gi¶i:

Ta cã : (1)⇔(cosx−sin )(1 cos sin )x + x x =m

Đặt cos sin 2 cos( ) sin 2 1 2
4

t = x− x= x+

π

⇒ x= − t

Víi 0 0 cos( ) 1 0 2

4 x 4 x 4 2 x 4 t

π

π π

π

− < < ⇒ < + < ⇒ < + < ⇒ < <

</div>
(89)<div class='page_container' data-page=89>

Khi đó ph-ơng trình (1) trở thành 1 1(1 2) 3 3 2
2

t + −t = ⇔ − =m t t m

 

Ta nhận thấy với mỗi một giá trị của t

(

0; 2

)

thì ph-ơng

trình 2 cos( )
4

t= x+

có đúng 1 nghiệm ;
4 4

x∈ −

π π



 

Do đó (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt ;
4 4

x∈ −

π π



  thì (2) có
đúng 2 nghiệm t∈

(

0; 2

)

XÐt hµm sè f t( )= −3t t3 víi t∈

(

0; 2

)

f t( ) '= −3 3t2 f t( ) '= ⇔ = ±0 t 1

B¶ng biÕn thiªn

t 0 1
2

( ) '

f t

+
−

( )

f t

0
2

Dựa vào bảng biến thiên suy ra (2) có đúng 2 nghiệm

(

0; 2

)

t∈ 2 2 2 2 1

m m

⇔ < < ⇔ < <

Vậy các giá trị của m cần tìm là 2 1

2 < < m
VÝ dụ 2: Cho ph-ơng trình

(3+2 2)tanx + −(3 2 2)tanx = 1

</div>
(90)<div class='page_container' data-page=90>

Tìm m để ph-ơng trình có đúng 2 nghiệm ;
2 2

π π

 

∈ − 

 

Gi¶i : 
§iỊu kiƯn cos 0

x≠ ⇔ ≠ +x

π

k

π

k∈¢

Ta thÊy (3+2 2)tanx.(3 2 2)− tanx =1

Do đó nếu đặt t = +(3 2 2)tanx t >0 thì (3 2 2)tanx 1

t

− =

Khi đó ph-ơng trình có dạng t 1 m t2 mt 1 0

t

+ = ⇔ − + =

Cách 1: Để ph-ơng trình có đúng 2 nghiệm ( ; )
2 2

π

(2)

có 2 nghiệm d-ơng phân biệt

⇔

0 4 0

(0) 0 1 0 2

/ 2 0 / 2 0

m

af m

S m



∆ > − >




 > ⇔ > ⇔ >

 

 >  >

 

Vậy với m>2 thì thoả mãn điều kiện đầu bài.
Cách 2: Để ph-ơng trình có đúng 2 nghiệm ( ; )

2 2

π π

∈ −

⇔đ-ờng thẳng y =m cắt đồ thị hàm s y t 1
t

= + trên (0;+)
tại 2 điểm phân biệt

Xét hàm y t 1
t

= + trên D=(0;+)

Đạo hàm y' 1 12 y' 0 1 12 0 t 1

t t

= − ⇒ = ⇔ − = =
Bảng biến thiên :

t 0

1 +∞
'

y

</div>
(91)<div class='page_container' data-page=91>

− +

y −∞

+∞

Dùa vµo bảng biến thiên ta thấy m>2 thoả mÃn điều kiện
bài toán .

Ví dụ 3: Biện luận theo m số nghiệm 0;3
2

của ph-ơng
trình

msinx+cosx=2m (1)
Gi¶i:

Biến đổi ph-ơng trình (1) về dạng cos (2 sin ) cos
2 sin

x

m x m

x

= =

Số nghiệm của ph-ơng trình bằng số giao điểm của đ-ờng
thẳng y =m

Vi th hm số cos
2 sin

x
y

x

− trªn

3
0;

D= 

π



 
XÐt hµm sè cos

2 sin

x
y

x

− . Miền xác định

3
0;

D=

Đạo hàm

2 2

sin (2 sin ) cos .cos 1 2sin
'

(2 sin ) (2 sin )

x x x x x

y

x x

− − + −

= =

− −

1
' 0 1 2sin 0 sin

y = ⇔ − x= ⇔ x= víi x D∈ ta cã 6

5
6

x

π

 =

=

Bảng biến thiên:

x

0
6

π

</div>
(92)<div class='page_container' data-page=92>

5
6

π

3
2

π

y +
− 0 +

y

1
3

2
1

−

KÕt luËn:Víi 1
3

m > ph-ơng trình vô nghiệm

Víi 1
3

m= ± hc 0 1
2

m

< < ph-ơng trình có 1

nghiệm D

Víi 1 0

3 m

− < ≤ hc 1 1
2 <m 3

ph-ơng trình có 2

nghiệm D

Nhn xét chung: Khơng có một ph-ơng pháp giải cụ thể nào 
cho một bài tốn l-ợng giác. Vì vậy việc nắm chắc ph-ơng
trình l-ợng giác cơ bản và một số ph-ơng trình l-ợng giác
th-ờng gặp là điều cần thiết, đồng thời ta cũng phải nắm
vững ph-ơng pháp giải một số ph-ơng trình l-ợng giác
khơng mẫu mực để có những h-ớng đi đúng đắn cho từng bài
tốn.

Bµi tập củng cố: 
 Giải các ph-ơng trình sau

</div>
(93)<div class='page_container' data-page=93>

1. sin (2 ) 3 sin 3 1 2 0

2 x x

π

+ + − + =

2. 8cos (3 ) cos3
3

x+

π

= x

3. cot tan 1
sin

x x

x

= +

4.

1 1

sin( ).

tan 2 4 cos

1 2 x 3.4 x x

π−

+ =

5. 2

4 2

sin sin

log x.log x = 4

6. 2 2

3sin 2 2 sin

( )

2
sin 2 .cos

7 7

log log

x x
x x

x x

−

− = −

7. sin 2 5sin cos3

3 6

x

π

x

π

x

 − =  − +

   

   

8. 32sin6 sin 6 1
4

x

π

x

 + − =

 

 

9. sin 3 sin 2 .sin

4 4

x

π

x x

π

 − =  + 

   

   

10. 2

1 2

18cos 5(3cos ) 5 0

cos cos

x x

+ + + + =

11. 2 cosx+ 3 4cos− 2x +3 2 cosx 3 4cos− 2x =5
12. sinx−cosx +4sin 2x=1

13. tan2 1 cos

1 sin

x
x

x

−
=

−

14.

(

) (

)

sin sin

7 4 3 7 4 3 4

x x

+ + − =

15. 2log3cotx =logcos2 x
16. log(3sin2 2x−2) =3cos2x

17.

( 2 cos 1)
3

log

2 x+ =2cosx

18. cos 2x−cos 6x+4(3sinx−4sin3x+ =1) 0

</div>
(94)<div class='page_container' data-page=94>

19. 3sinx − −2sin2x−4cosx+ =6 0
20. 4sin2x+sin 33 x=4sin .sin 3x 2 x

21. x2 −2 cosx xy−2sinxy+ =2 0

22. sinx+siny+sinz+ =6 2

(

1 sin+ x + 1 sin+ y + 1 sin+ z

)

23. sin sin 2 sin 3 5
2

x+ x+ x=

24. cot 3 cot 2 1 0

sin 3 .sin 2 .sin

x x

x x x

+ + =

25. cosx− 3 sin 2x− 3 sinx−cosx+ =4 0
26. x2 −2 sinx xy+ =1 0

27. 4 4

4 4

1 1 sin

sin cos 8

sin cos 2

y

x x

+ + + = +

28. sin3 sin 3 cos3 cos 3 81cos2

2 2 2 2 4

x x x x

x

− −

 +  + + =

   

   

29. 2 cosx+ 3 4cos− 2x +3 2 cosx 3 4cos− 2x =5
30. sinx+cosx + 3 sin+ x+2cos2 x =2

31. 8cos 3 1
sin cos

x

x x

= +

32. 1 1 1 tan tan 3

cos cos 2 cos 2 cos3 sin

x x

x x x x x

+ =

−

33.

6 6

2008 2008

4 2

sin cos
sin cos

3cos cos cos 2

x x

x x x

+ =

− −

34. sin cos sin cos 1 ln3 sin cos
4 sin cos

x x

x x x x

x x

+ +

+ − = −

+
35. sinx+3logsin2 x =(sin )x log52

37. Cho ph-¬ng tr×nh mcosx−2cosx−cos 4x= 1

Xác định m để ph-ơng trình có nghiệm ;
3 2

x∈ −

π π



 .

</div>
(95)<div class='page_container' data-page=95>

38. Cho ph-ơng trình 4(cosxsin )x +sin 2x=m

Tìm mđể ph-ơng trình vơ nghiệm.
39. Cho ph-ơng trình

3 2 2 3

sin (3 4)sin cos (3 7)sin cos ( 3) cos 0

m x+ m− x x+ m− x x+ m− x=

Xác định m để ph-ơng trình có 3 nghiệm phân biệt
thuộc ;0

40. Cho ph-ơng trình 
sin ( 1) cos

cos

m

m x m x

x

+ + =

a. Xác định m để ph-ơng trỡnh cú nghim

b. Giả sử mlà giả thiết làm cho ph-ơng trình có nghiệm

1, 2

x x thoả m·n 1 2
2

x +x ≠ +

π

k

π

TÝnh cos 2(x1+x2) theo m

41. Cho ph-ơng trình (cosx2)4 + (1 cos )x 4 =m

Xác định m để ph-ơng trình có nghiệm
42. Cho ph-ơng trình sin 4x=mtanx

Xác định m để ph-ơng trình có nghiệm x≠k

π

(k∈Â)
43. Cho ph-ơng trình sin 3x−mcos 2x−(m+1)sinx+ =m 0(1)

Xác định m để ph-ơng trình (1) có đúng 8 nghiệm 0;
2

x∈

π



 
44. Cho ph-ơng trình ( 1) tan2 2 2 0

cos

m x m

x

− − + =

Xác định các giải thiết của m để ph-ơng trình có nhiều

h¬n 1 nghiƯm 0;
2

x

45. Cho ph-ơng trình cos 2 2( 1)sin2 3 2 0
2

x

x− m− + m− =

</div>
(96)<div class='page_container' data-page=96>

Xác định m để ph-ơng trình có đúng 3 nghiệm ;
3 3

x∈ −

π π



 

Xin chân thành cám ơn thầy Trần Anh Tuấn đã hỗ trợ

</div>

Toán 11 Chương 1 cách giải lượng giác va Bài tập

<b>Ch-ơng</b>

<b> I: Ph-ơng trình l-ợng giác cơ bản </b>

<b>và một số ph-ơng trình l-ợng giác th-ờng gặp</b>

[

]

α

α

π

α

π α

π

α

α

π

α

π α

π

π π π π π π

α

α

π

α

π α

π

π

π

π

π

π π

<sub>π</sub>

π π

<sub>π</sub>

π

π

π

<sub>π</sub>

π

<sub>π</sub>

<sub>π</sub>

π π

<sub>π</sub>

π

π

α

α

π

α

α

π

α

α

π

α

α

π

π

π

π

π

π

π

π

[

]

α

[

π

]

α

π

α

π

α

π

π

α

π

π

α