Toán 8 Hình Học chuyên đề Dinh ly Ta let

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (531.28 KB, 33 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Chuyên đề bồi d-ỡng học sinh giỏi 
Tên chuyên đề : Định lý thalès & các bài toỏn

về đoạn thẳng tỷ lệ

A/ Cơ sở lý thuyết các kiến thức cơ bản học sinh cần phải biết :
PhÇn 1

các khái niệm cơ bản liên quan đến Đoạn thẳng tỷ lệ 
1.1 . Tỷ số của hai đoạn thẳng

Tỷ số của hai đoạn thẳng là tỷ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vị đo

Nh- th-ờng lệ , nếu không gây ra sự nhầm lẫn , ta dùng cùng một ký hiệu AB để
chỉ đoạn thẳng AB và độ dài của đoạn thẳng đó .

Ký hiƯu tû sè của hai đoạn thẳng AB và CD là
CD

AB

. Trong ký hiÖu
CD

AB

này , AB
và CD chỉ có nghĩa là độ dài của các đoạn thẳng AB và CD .

Chú ý :

Tỷ số của hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào đơn vị đo .
1.2 . Tỷ lệ thức

Tỷ lệ thức là đẳng thức của hai tỷ số .

NÕu AB , CD , EF , GH là bốn đoạn thẳng mà
CD

AB
=

GH
EF

thỡ ng thức đó là một tỷ
lệ thức của các đoạn thẳng .

1.3 C¸c tÝnh chÊt cđa tû lƯ thøc

NÕu

CD
AB
=
GH
EF

th×

1) AB . GH = CD . EF
2)
EF
AB
=
GH
CD
3)

CD
CD
AB 
=
GH
GH
EF 
4)
CD
AB
=
GH
EF
=
GH
CD
EF
AB


5)
CD
AB
=
GH
EF
=
GH
CD
EF

AB



( NÕu CD kh¸c GH )
1.3 .Trung bình nhân

Đoạn thẳng AB đ-ợc gọi là trung bình nhân của hai đoạn thẳng CD & EF nÕu
CD

AB

= hayAB CDEF
AB

EF

.
2 

VD . NÕu hình vuông ABCD và hình chữ nhật E FGH có diện tích bằng nhau thì
đoạn thẳng AB là trung bình nhân của hai đoạn thẳng E F & FG

1.4 .Trung bình điều hoà

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

VD : Cạnh nhỏ nhất của tam giác Ai Cập là trung bình điều hoà của cạnh góc
vuông còn lại và chiều cao thuộc cạnh huyền .

Tam giác Ai Cập là tam giác vng có độ dài ba cạnh là 3 , 4 , 5 . Nếu đặt AB = 3
AC = 4 thì BC = 5 và chiều cao thuộc cạnh huyền là AH =

BC
AC
AB.

. Do đó

AB
AB
AC
BC
AB
AB
AC
AB
BC
AB
AC
AB
BC
AC
AH
AC
2
4
4
3
.
1
.

1
.
.
1
1
1

(Đpcm)

1.5 . Đoạn thẳng tỷ lệ :

Hai đoạn thẳng AB & CD đ-ợc gọi là tỷ lệ với hai đoạn thẳng A/B/ và C/D/ nÕu cã

tû lÖ thøc : / /
/
/
D
C
B
A

CDAB  .

Chú ý : Hai đoạn thẳng AB & CD tỷ lệ với hai đoạn thẳng A/B/ & C/D/ khi vµ chØ

khi AB.C/ D/ = A/B/ .CD .

Do đó , nếu hai đoạn thẳng AB & CD tỷ lệ với hai đoạn thng A/B/ v C/D/ thỡ ta

cũng có các cặp đoạn thẳng sau đây cũng tỷ lệ với nhau :
- CD & AB tû lƯ víi C/D/ & A/B/

- AB & A/B/ tû lÖ víi CD & C/D/

- C/D/ & CD tû lƯ víi A/B/ & AB

- A/B/ & C/D/ tû lƯ víi AB & CD

- C/D/ & A/B/ tû lƯ víi CD & AB

VD : NÕu AD , BE lµ hai trung tuyến và G là trọng tâm của tam giác ABC thì
Vì

BE
BG
AD

AG

3
2

nên hai đoạn thẳng AG & AD tỷ lệ với hai đoạn thẳng BG & BE
Hai đoạn thẳng AG & BG cũng tỷ lệ với hai đoạn thẳng AD và BE .

1.5 . Điểm chia đoạn thẳng

- Điểm C chia trong đoạn thẳng AB theo tỷ sè k > 0 khi vµ chØ khi C thuéc
đoạn thẳng AB và k

CBCA .

- Điểm D chia ngoài đoạn thẳng AB theo tỷ sè k ( 0 < k ≠ 1 ) khi và chỉ khi D
thuộc đ-ờng thẳng AB nh-ng không thuộc đoạn thẳng AB và k

DBDA

VD : Trọng tâm G của tam giác ABC chia trong trung tuyÕn AD theo tû sè k = 2
vì 2

GD
GA

. Trung điểm D của cạnh BC chia ngoài đoạn thẳng AG theo tỷ số 3
v× 3

DG
DA

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Phần 2 : Định lý thaleS 
2.1 Định lý Thale\s thuận

Ba -ng thẳng song song định ra trên hai cát tuyến bất kỳ những đoạn thẳng
t-ơng ứng tỷ lệ . d d/

a A A/

Giả sử đ-ờng thẳng d cắt ba đ-ờng thẳng
Song song a , b , c tại các điểm t-ơng

ứng A , B , C và đ-ờng thẳng d/ b B B/

cắt ba đ-ờng thẳng a, b , c tại ba điểm
A/ , B/ , C/ . Khi đó ta có :

/
/

C
B

B
A

BCAB  c C C

/

2.2 Định lý Thales đảo

Cho hai đ-ờng thẳng song song a và b định ra trên hai cát tuyến d & d/ các đoạn

th¼ng t-ơng ứng AB và A/B/ .Nếu một đ-ờng thẳng c cắt d và d/ tại hai điểm t-ơng

ng C (khơng trùng với A ) và C/ ở cùng phía i vi -ng thng b m ta cú cỏc

đoạn thẳng t-ơng ứng tỷ lệ / /
/
/

C
B

B
A

BCAB Thì đ-ờng thẳng c song song với a & b
2.3 Định lý Thales trong tam giác :

2.3 .1 Định lý Thuận

Nếu một đ-ờng thẳng song song với một cạnh của tam giác và khơng đi qua đỉnh
đối diện thì nó chia (trong hoặc ngồi ) hai cạnh kia của tam giỏc thnh nhng on

thẳng t-ơng ứng tỷ lệ . A

Tam gi¸c ABC , DE / / BC ( với D thuộc đ-ờng thẳng AB E thuộc đ-ờng thẳng
AC ) th×

AC
EC
AB
DB
EC
AE
DB
AD
AC
AE
AB
AD




 ; ;

D E
a

B C
2.3.2 Hệ quả của định lý Thales

Nếu một đ-ờng thẳng song song với một cạnh của tam giác và không đi qua đỉnh
đối diện thì nó tạo với hai cạnh kia của tam giác một tam giác mới có các cạnh tỷ lệ
với các cạnh của tam giác đã cho .

G/s đ-ờng thẳng a song song với cạnh BC của tam giác ABC nh-ng không đi qua
đỉnh A cắt hai đ-ờng thẳng AB , AC tại hai điểm t-ơng ứng D và E thì tam giác
ADE có ba cạnh tỷ lệ với ba cạnh của tam giác ABC .

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

2.3 .3 Định lý đảo

Nếu một đ-ờng thẳng không đi qua đỉnh của một tam giác và chia (trong hoặc
ngoài ) hai cạnh của tam giác đó thành những đoạn thẳng t-ơng ứng tỷ lệ thì nó
song song với cạnh cịn lại của tam giác đó .

PhÇn 3 : Các bài toán cơ bản áp dụng Định lý thaleS 
3.1 Bài toán thứ nhất :

Cho hai đ-ờng thẳng song song cố định a và b . Hai điểm A và B theo thứ tự di

động trên a và b . Tìm quỹ tích các điểm M sao cho

 k 0

MB
MA

cho tr-íc .

a H A A/

b K B B/

c I M M/

Lêi gi¶i :

Phần thuận :

Chọn một điểm H bất kỳ trên a rồi cho cố định lại ( hình vẽ trên ) qua

H vẽ đ-ờng thẳng vuong góc với b tại K . Khi đó có đúng một điểm I trên đ-ờng
thẳng HK sao cho k

IK

IH  Nếu A và B theo thứ tự trên a và b mà k 0

MB
MA

Thì

IK
IH
MB

MA  Nên theo định lý đảo đ-ờng thẳng IM song song với a và b .
Vậy điểm M nằm trên đ-ờng thẳng đi qua điểm I cố định và song song với a , b .
Ta gọi c là đ-ờng thẳng đi qua I và song song với a , b .

Phần đảo :

Lấy trên c một điểm M/ . Lấy trên a một điểm A/ bất kỳ khi đó đ-ờng

thẳng A/ M/ cắt b tại điểm B/ . áp dụng định lý thuận cho ba đ-ờng thng song

song a, b , c và hai cát tuyÕn HK vµ A/B/ ta cã

k

IK
IH

B
M

A

M  

/
/

. Vậy mọi điểm trên c đều thoả mãn ĐK đã cho đối với điểm M
Vậy quỹ tích cần tìm là -ng thng c .

3.2 Bài toán thứ hai :

Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD . Đ-ờng thẳng đi qua giao điểm I

của hai đ-ờng chéo và song song với hai đáy cắt các cạnh bên AD , BC tại các

điểm t-ơng ứng E , F . Chứng minh rằng I là trung điểm của EF & E F là trung

bình điều hồ của hai đáy .

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

3.3 Bài toán thứ ba :

Cho hình thang ABCD có hai đáy AB , CD mà AB < CD . Đ-ờng thẳng đi qua A
và song song với BC cắt BD tại E . Đ-ờng thẳng đi qua B và song song với AD cắt
AC tại F . Chứng minh rằng E F // CD và tính E F theo các cạnh đáy của hình
thang .

Lêi gi¶i

: ( Xem tµi liƯu TK )

3.4 Bài toán thứ 4 :

Nếu góc BAC của tam giác ABC và gãc B

A

C

cđa tam gi¸c A

B

C

b»ng nhau

hoặc bù nhau thì tỷ số diện tích của hai tam giác đó bằng tỷ số của tích các cạnh kề

góc đó :

/ /. / /
/

/ A B A C

AC
AB
S

S

C
B
A

ABC 



.

Lêi gi¶i

: ( Xem tµi liƯu TK )

3.5 Bài toán thứ năm :

Cho tam giác ABC cố định , các điểm D , E di động trên các cạnh t-ơng ứng AB ,

AC sao cho

EA
CE
DB

AD 

. Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn thẳng DE .

Lời giải

: ( Xem tài liÖu TK )

3.6 Bài toán thứ sáu : ( Dựng đoạn thẳng tỷ lệ thứ t- )

Cho tr-ớc ba đoạn thẳng AB , m , n . Dựng các điểm chia trong và chia ngoài đoạn

thẳng AB theo tỷ sè

n

m

.

Lêi gi¶i

: ( Xem tµi liƯu TK )

3.7 Bài toán thứ bẩy( Định lý về chùm đ-ờng thẳng đồng quy) :
a/ Định lý thuận :

Nếu ba đ-ờng thẳng đồng quy cắt hai đ-ờng thẳng song thì chúng định ra trên

hai đ-ờng thẳng song song ấy các đoạn thẳng t-ơng ứng tỷ lệ

Lêi gi¶i

: ( Xem tµi liƯu TK )

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Cho ba đ-ờng thẳng , trong đó có hai đ-ờng thẳng cắt nhau , định ra trên hai

đ-ờng thẳng song song các đoạn thẳng t-ơng ứng tỷ lệ thì ba đ-ờng thẳng ấy đồng

quy .

Lời giải

: ( Xem tài liệu TK )
c/ Định lý đảo 2 :

Nếu hai đ-ờng thẳng phân biệt bị cắt bởi ba đ-ờng thẳng đồng quy tạo thành các

đoạn thẳng t-ơng ứng tỷ lệ thì chúng song song với nhau.

Lêi gi¶i

: ( Xem tµi liƯu TK )

3.8 Bài tốn thứ tám (bổ đề hình thang ) :

a/ Chứng minh rằng nếu hai cạnh bên của một hình thang cắt nhau thì đ-ờng thẳng

đi qua giao điểm đó và giao điểm hai đ-ờng chéo sẽ đi qua trung điểm của các đáy

của hình thang .

b/ Hãy nêu ra cách dựng chỉ một cái th-ớc (không dùng com pa) để dựng trung

điểm của đoạn thẳng AB cho tr-ớc khi cho một đ-ờng thẳng d song song với AB

Và dựng qua điểm M cho tr-ớc một đ-ờng thẳng song với đoạn thẳng AB cho tr-ớc

mà đã biết trung điểm I của AB .

Lời giải

: ( Xem tài liệu TK )
3.9 Bài toán thứ chín :

Cho góc xOy và đ-ờng thẳng d khơng đi qua O nh-ng cắt cả hai cạnh của góc đó .

Đ-ờng thẳng di động a không đi qua O nh-ng cùng ph-ơng với d , cắt Ox tại A và

cắt Oy tại B . Tìm quỹ tich trung điểm của đoạn thẳng AB .

Lêi gi¶i

: ( Xem tài liệu TK )

3.10 Bài toán thứ m-ời ( chia một đoạn thẳng cho tr-ớc ):

Chia đoạn thẳng AB cho tr-ớc thành ba đoạn thẳng tỷ lệ với các đoạn thẳng a , b ,

c cho tr-íc .

Lêi gi¶i

: ( Xem tµi liƯu TK )

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Cho ba điểm P , Q , R theo thứ tự trên các đ-ờng thẳng chứa các cạnh BC , CA ,

AB của tam giác ABC nh-ng không trùng đỉnh nào của tam giác đó . Điều kiện cần

và đủ để ba điểm P , Q , R thẳng hng l

1
RB
RA

QA
QC

PC
PB

Lời giải : (

Xem tài liệu TK )

3.12 Bài toán thứ m-ời hai ( Một ứng dụng của Định lý Ménélaus ):

Trên hai cạnh AB , AD của hình bình hành ABCD , lấy hai điểm t-ơng ứng M , N .

Gọi P là điểm sao cho AMPN là hình bình hành và Q là giao điểm của BN và MD .

Chøng minh r»ng ba ®iĨm C , P , Q thẳng hàng .

3.13 Bài toán thứ m-ời ba ( Định lý Cé va ):

Cho ba điểm P , Q , R theo thứ tự trên các đ-ờng thẳng chứa các cạnh BC , CA ,

AB của tam giác ABC nh-ng không trùng đỉnh nào của tam giác đó . Điều kiện cần

và đủ để ba đ-ờng thẳng AP , BQ , CR đồng quy hoặc song song là

1


RB
RA

QA
QC

PC
PB

.

Chú ý :

Nếu P , Q , R theo thứ tự nằm trên các cạnh BC , CA , AB của tam giác
ABC nh-ng không trùng đỉnh nào của tam giác đó thì khơng thể xảy ra tr-ờng hợp
ba đ-ờng thẳng AP , BQ , CR song song với nhau . Do đó nếu khơng dùng khái
niệm độ dài đại số thì có thể phát biểu định lý Cé va nh- sau :

Cho ba điểm P , Q , R theo thứ tự trên các đ-ờng thẳng chứa các cạnh BC , CA ,

AB của tam giác ABC nh-ng không trùng đỉnh nào của tam giác đó . Điều kiện cần

và đủ để ba đ-ờng thẳng AP , BQ , CR ng quy l

RB
RA
QA
QC
PC
PB

3.14 Bài toán thứ m-ời bốn ( ứng dụng Định lý Cé va ):

Chng minh rằng các đ-ờng thẳng đi qua đỉnh của tam giác và tiếp điểm của cạnh

đối diện với đ-ờng tròn nội tiếp thì đồng quy (Điểm đó đ-ợc gọi là

điểm Gergonnecủa tam giác)

3.15 Bài toán thứ m-ời năm ( ứng dụng Định lý Cé va ):

Chng minh rằng các đ-ờng thẳng đi qua đỉnh của tam giác và tiếp điểm của cạnh

đối diện với đ-ờng trịn bàng tiếp thì đồng quy (Điểm đó đ-ợc gọi l im Nagel

ca tam giỏc .)

3.16 Bài toán thứ m-ời sáu ( ứng dụng Định lý Cé va ):

Cho tam giác ABC , một điểm D trên cạnh AB , một điểm E trên cạnh AC và trung

điểm M của cạnh BC . Chứng minh rằng DE // BC khi và chỉ khi ba đ-ờng thẳng

AM , BE , CD đồng quy .

Lời giải

các bài toán 12, 13 , 14 ,15 , 16 xem tài liệu TK (Sách bồi d-ỡng th-ờng

xuyên chu kỳ 1997 -2000 cho GV THCS tác giả Trần Văn Vuông )

3.17 Bài toán thứ m-ời bẩy ( Định lý về đ-ờng phân giác ):

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

3.18 Bài toán thứ m-ời tám ( ứng dụng Định lý về đ-ờng phân giác ):

Cho tam giác đều ABC và điểm D sao cho :

3
2


DB
DA

Đ-ờng thẳng CD cắt đ-ờng

tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai là E . Chứng minh rằng :

3
2

EC
EB
EA

.

3.19 Bài toán thứ m-ời chín ( ứng dụng Định lý về đ-ờng phân giác ):

Cho tam giác ABC, có đ-ờng trung tuyến AD . Đ-ờng phân giác của góc ADB và

ADC cắt các cạnh t-ơng ứng AB , AC tại E , F . Chøng minh r»ng EF // BC vµ EF

là trung bình điều hoà của AD , BD .

3.20 Bài toán thứ hai m-ơi ( ứng dụng Định lý về đ-ờng phân giác ):

Cho tam giác ABC không cân tại A . Chứng minh rằng chân đ-ờng phân giác

ngoài của góc A và chân của hai đ-ờng phân giác trong của hai góc B , C là ba

điểm thẳng hàng .

3.21 Bài toán thứ hai m-ơi mốt ( ứng dụng Định lý về đ-ờng phân giác ):

Cho tam giácABC vuông tại A . Chứng minh rằng : Đ-ờng cao AH , đ-ờng trung

tuyến BD , đ-ờng phân giác CE đồng quy khi và chỉ khi AB là trung bình nhân của

BC và CA .

3.22 Bài toán thứ hai m-ơi hai (Định lý đảo của định lý về đ-ờng phân giác )

Đ-ờng thẳng đi qua đỉnh của một tam giác và chia (trong , ngoài ) cạnh đối diện

thành hai đoạn tỷ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy là đ-ờng phân giác( trong, ngoài)

của tam giác ú .

3.23 Bài toán thứ hai m-ơi ba

( Quỹ tích về đ-ờng tròn Apollonius ):

Qu tích các điểm M mà tỷ số các khoảng cách từ M đến hai điểm cố định phân

biệt A & B bằng một hằng số k ( 0< k # 1 ) là một đ-ờng trịn có đ-ờng kính là

đoạn thẳng nối các điểm chia trong và chia ngồi đoạn AB theo tỷ số k .

3.24 Bµi toán thứ hai m-ơi t-

( ứng dụng

Quỹ tích về đ-ờng tròn Apollonius

Cho ba điểm phân biệt thẳng hàng B , C , D . Dựng tam giác vuông ABC mà AD

là đ-ờng phân giác của góc vuông .

Lời giải

các bài toán 17, 18 , 19 ,20 ,21,22,23,24 xem tài liệu TK (Sách bồi d-ỡng

th-ờng xuyên chu kỳ 1997 -2000 cho GV THCS tác giả Trần Văn Vuông )

Phần thứ t-

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

A) Dạng toán thứ nhất : Chứng minh đoạn thẳng tỷ lệ

ĐVĐ : Ng-ời ta th-ờng dùng đ-ờng song , đ-ờng phân giác của một góc hoặc tam
giác đồng dạng để chứng minh các đoạn thẳng tỷ lệ .

Trong tr-ờng hợp cả ba ph-ơng pháp trên đều khơng có hiệu lực , thì ng-ời ta phải
tìm hai đoạn thẳng tỷ lệ thứ ba làm trung gian , để chứng minh các đoạn thẳng khác
tỷ lệ vi nhau .

1) Lợi dụng đ-ờng thẳng song song

VD 1 : Trên cạnh AC của tam giác ABC lấy một điểm D , kéo dài CB đến E, sao

cho BE = AD, ED và AB cắt nhau tại F . Chứng minh rằng :

BC
AC
FDEF 

Suy xét :

Quan sát bốn đoạn thẳng tỷ lệ và
hai đoạn thẳng bằng nhau cho tr-ớc trong hình
vẽ , ta thấy muốn làm cho ba đoạn E F , FD ,
EB có mối liên hệ , thì phải từ D dựng DG //
AB , nh- vậy ba đoạn thẳng trên và BG là
những đoạn thẳng tạo nên bởi một đ-ờng song
song với một cạnh của tam giác EDG và cắt hai
cạnh kia của tam giác đó . Đồng thời bốn đoạn
thẳng AC, BC , AD , BG cũng có mối liên hệ
nh- bốn đoạn thẳng nói trên .

E B G

C
A

Lời giải ( Tóm tắt ) :

Tõ D dùng DG // AB ta cã

BC
AC
BG
AD
BG

EB
FD
EF





2) Lợi dụng đ-ờng phân giác của một góc :

VD 2 : Cho tam giác ABC vuông tại A , đ-ờng cao AD ứng với cạnh huyền BC cắt

đ-ờng phân giác BE tại F ( E thuộc AC ) . Chøng minh r»ng :

EC
AE
FA

DF 

.

Suy xét :

DF và FA là hai đoạn thẳng
tạo nên bởi đ-ờng phân giác của góc B
trong tam giác BAD cắt cạnh đối diện với
góc B nên tỷ số của chúng bằng BD : AB .

T-ơng tự AE và EC cũng vậy , tỷ số của
chúng bằng AB : BC . Vậy muốn có tỷ lệ
thức trong kết luận ta cần chứng minh :
BD : AB = AB : BC là đ-ợc . Ta nhận
thấy DBA  ABC mà BD &BA ;
AB & BC là hai cặp cạnh t-ơng ứng của

hai tam giác nói trên suy ra ĐPCM . D

C
B

3) Lợi dụng tam giác đồng dạng :

Trong ví dụ trên ta đã dùng định lý hai tam giác đồng dạng thì các cạnh t-ơng ứng

của chúng tỷ lệ với nhau để chứng minh các đoạn thẳng tỷ lệ .

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

VD 3 : Từ một điểm A ngồi đ-ờng trịn dựng hai tiếp tuyến AB , AC với đ-ờng

trịn đó ;Trên đ-ờng trịn lấy một điểm P tuỳ ý , dựng PD vng góc với BC , PE

vng góc với AB , PF vng góc với AC . Chứng minh rằng :

PF

PD
PDPE 

.

Suy xét ( Cách 1

) PE & PD là hai cạnh của tam
giác PED , PD & DF là hai cạnh của tam giác PDF .
Nếu tam giác PED đồng dạng với tam giác PDF thì
bốn cạnh đó tỷ lệ với nhau . Muốn chứng minh hai
tam giác đó đồng dạng với nhau thì phải chứng minh
hai cặp góc t-ơng ứng bằng nhau từng đôi một . Để
chứng minh hai cặp góc bằng nhau từng đơi một thì
phải tìm những cặp góc khác làm trung gian . Từ
những đ-ờng vng góc đã cho trong giả thiết ta thấy
các tứ giác PEBD và PDCF nội tiếp cho nên có thể
tìm đ-ợc những góc nội tiếp bằng nhau . Từ tiếp
tuyến đã cho trong giả thiết ta sẽ suy ra đ-ợc góc
giữa tiếp tuyến và một dây qua tiếp điểm bằng góc
nội tiếp chắn cung mà dây đó căng

F
E

C
D
B

Suy xét (Cách 2 )

: Nếu chỉ nối PC , PB thì từ định lý về góc giữa tiếp tuyến và dây đi qua tiếp điểm

ta biết góc PBE = góc PCD . Ta chứng minh đ-ợc tam giác vuông PEB đồng dạng với tam giác vuông
PDC , và suy ra PE : PD = PB : PC . Với cách đó ta cũng chững minh đ-ợc PD : PF = PB : PC và nh- vậy
qua tỷ số trung gian PB : PC ta chững minh đ-ợc tỷ lệ thức trong kết luận . Cách giải này đơn giản hơn
cách giải 1 .

VD 4 : Ba ®-êng cao AD , BE , CF của tam giác ABC gặp nhau t¹i H . Chøng minh

r»ng : DA.DH = DE.DF .

Suy xét :

Muốn chứng minh DA.DH =
DE . DF ta biến đổi thành tỷ lệ thức DA :
DF = DE : DH , rồi chứng minh tỷ lệ thức
này . DA , DA là hai cạnh của tam giác
DAE . DF , DH là hai cạnh của tam giác
DFH ta phải tìm cách chứng minh hai tam
giác này đồng dạng với nhau . Muốn cho
hai tam giác đồng dạng thì cần phải có hai
góc t-ơng ứng bằng nhau từng đơi một. Vì
tứ giác A F DC nội tiếp nên có góc DAE =
góc A FH và ta có gócADE = góc FDH
nên ta có thể chứng minh hai tam nói trên
đồng dạng đ-ợc .

H
F

Dạng toán thứ hai :

Dựng tỷ lệ thức để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau và chứng minh hai
đ-ờng thẳng song song với nhau .

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

a/ ph-ơng pháp 1 : Chứng minh tỷ số của hai đoạn thẳng bằng tỷ s nghch o ca

chỳng .

Trong các bài tËp dƠ , mn chøng minh a=b , th× ta cã thÓ chøng minh a : b = b: a
VD 5 :

Cho tam gi¸c ABC , từ điểm P trên AB dựng PQ // BC cắt AC tại Q ; từ Q

dựng QR //AB cắt BC tại R ; từ R dựng đ-ờng thẳng song song với AC , đ-ờng này

lại đi qua P . Chứng minh rằng P là trung điểm của AB .

Chøng minh :

AP : PB = AQ : QC ; PB : PA = BR : RC
Nh-ng AQ : QC = BR : RC suy ra
AP : PB = PB : PA suy ra

AP 2 PB2 suy ra AP = PB (®pcm) Q

R
P

B C

b/ Ph-ơng pháp 2 : Chứng minh hai đoạn thẳng tỷ lệ với hai đoạn thẳng bằng nhau

cho tr-ớc .

Muốn chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau ta có thể dựa vào hai đoạn
thẳng bằng nhau cho tr-ớc nào đó rồi chứng minh bốn đoạn thẳng ấy tỷ lệ với nhau
VD muốn chứng minh x =y , mà ta đã biết a = b rồi ta có thể chứng minh a : x = b :
y

VD 6 : Từ một điểm D trên một đ-ờng tròn dựng DE vuông góc với đ-ờng kính

AB ; tiếp tuyến qua A và D cắt nhau tại C; nối CB cắt DE tại F . Chứng minh rằng :

DF = FE .

Suy xét :

Từ giả ta đã biết CD = CA , muốn
chứng minh DF = FE thì ta phải chứng minh CD :
DF = CA : FE (1) Tỷ số của vế phải của (1) bằng
AB : EB . Còn tỷ số ở vế trái rất khó chứng minh
bằng AB : EB , CD và DF là hai cạnh của tam giác
CDF cho nên nếu dựng tiếp tuyến qua B , cắt CD
kéo dài tại G thì sẽ đ-ợc tam giác CGB đồng dạng
với tam giác CDF , nh- vậy tỷ số ở vế trái của (1)
bằng CG : GB , cũng bằng CG : DG . Từ CA // DE//
GB , ta suy ra AB : EB = CG : DG , vậy tỷ số ( 1 )
-c chng minh .

B
E

G
C

c/ Ph-ơng pháp 3 :

Chứng min h hai đoạn thẳng này và một đoạn khác tạo thành một tỷ lệ thức .

Muèn chøng minh x = y mµ trong bài lại không cho các đoạn thẳng bằng nhau , ta
có thể dựa vào một đoạn thẳng a vµ chøng minh

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

VD 7 : Cho một hình thang . Chứng minh rằng giao điểm của các đ-ờng chéo chia

đôi đoạn thẳng nối liền hai cạnh bên đi qua giao điểm và song song với đáy của

hình thang đó .

Suy xét :

Trong hình vẽ khơng
có những đoạn thẳng bằng nhau ,
nh-ng ta thấy đoạn BC có liên
quan với FE và EG , nên có thể
dùng nó để chứng minh FE = EG
Vì FE // BC suy ra

BC : FE = AB : AE . T-ơng tự ta
cũng có BC : EG = DC : DG
Vế phải của hai tỷ lệ thức trên
bằng nhau , vì đấy là những đoạn
thẳng tạo nên bởi ba đ-ờng thẳng
song song cắt hai đ-ờng thẳng

khác , nên những đoạn thẳng t-ơng
ứng tỷ lệ với nhau

C
D

Nhờ đó ta có : BC : FE = BC : EG và ta rút ra đ-ợc FE = EG .

d/ Ph-ơng pháp 4 :

Lợi dụng ph-ơng tích của một điểm đối với một đ-ờng tròn .

Ng-ời ta còn dùng định lý sau đây : Nếu từ một điểm bất kỳ ở ngồi một đ-ờng
trịn , ta kẻ tới đ-ờng trịn đó một cát tuyến và một tiếp tuyến , thì tiếp tuyến là
trung bình nhân giữa toàn cát tuyến và phần cát tuyến ở ngoài đ-ờng tròn .
Để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau .

VD 8 : Kéo dài hai dây cung AB , CD của một đ-ờng tròn , chúng cắt nhau tại một

điểm E ở ngồi đ-ờng trịn đó ; dựng đ-ờng song song với AD và đi qua E cắt CB

kéo dài tại F , từ F dựng tiếp tuyến FG với đ-ờng tròn . Chứng minh rằng FG = FE .

Suy xét : Từ định lý trên ta có :

FG2 = FC . FB .Cho nên nếu chúng ta chứng 
minh đ-ợc FE2 = FC . FB th× FG = FE . Muèn 
cã FE2 = FC . FB thì ta phải chứng minh

FB
FE
FE

FC  để có tỷ lệ thức này ta phải chứng

minh  FCE đồng dạng với  FEB điều đó rất
dễ chứng minh .

G
F

C
A

B
E

2/ Dùng tỷ lệ thức để chứng minh hai đ-ờng thẳng song song

§Ĩ chứng minh hai đ-ờng thẳng song song với nhau ng-ời ta th-ờng dùng hai
ph-ơng pháp sau đây :

a) Ph-ơng pháp thứ nhất :

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

VD 9 : Cho tam gi¸c ABC , AD là đ-ờng trung tuyến của tam giác , dựng các

đ-ờng phân giác của các góc ADB , & ADC cắt AB , AC tại E & F . Chứng minh

r»ng : EF//BC .

Suy xét :

Muốn chứng minh
E F // BC ta có thể chứng minh
AE : EB = A F : FC (1) . Tỷ số ở vế
trái của (1) có các số hạng là hai
đoạn thẳng đ-ợc tạo thành do đ-ờng
phân giác của góc trong tam giác
DAB chia cạnh đối diện cho nên bằng
AD : BD . T-ơng tự nh- trên ta cũng
chứng minh đ-ợc tỷ số ở vế phải của
( 1 ) bằng AD : CD . Mặt khác
vì BD = DC nên AD : BD = AD : CD
do đó tỷ số (1) -c chng minh .

B D C

F
A

b) Ph-ơng pháp thø hai :

Lợi dụng tam giác đồng dạng để chứng minh các góc bằng nhau sau đó áp

dụng các dấu hiệu nhận biết hai đ-ờng thẳng song đã học ở lớp 7 để suy ra hai

đ-ờng thẳng song song .

VD 10 : Từ một điểm P ngoài đ-ờng trịn dựng tiếp tuyến PA với đ-ờng trịn đó ,

từ trung điểm B của PA kẻ một cát tuyến BCD ; PC ; PD cắt đ-ờng tròn tại E và F .

Chứng minh rằng FE//PA .

Suy xét :

Muốn cho FE // PA thì phải có
góc BPC = góc E , vì góc E = góc D do vậy
ta cần chứng minh góc BPC = góc D . Muốn
vậy ta tìm cách chứng minh tam giác BPC
đồng dạng với tam giác BDP . Hai tam giác
này đã có góc PBC chung , muốn cho chúng
đồng dạng cần phải chứng minh thêm :
BC : BP = BP : BD , mà BP = BA cho nên ta
có thể chứng minh BC : BA = BA : BD hay
BA2

= BC . BD , đó chính là hệ thức l-ợng
trong đ-ờng trũn .

C ) Dạng toán thứ ba :

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

1/ Dùng tỷ lệ thức để chứng minh các điểm thẳng hàng :

VD 11 : Chứng minh rằng các trung điểm của hai đáy của một hình thang , giao

điểm của hai đ-ờng chéo và giao điểm của hai cạnh bên kéo dài là bốn điểm thẳng

hàng .

Suy xét :

Tr-ớc hết ta chứng minh E , F G
thẳng hàng , ta biết rằng AGC là một đ-ờng
thẳng , do đó nếu ta chứng minh đ-ợc góc
AGE = góc CGF thì ta có thể suy ra đ-ợc EG
và GF hợp thành một đ-ờng thẳng . Để đạt
đ-ợc mục đích trên ta nghiên cứu xem tam
giác AEG có đồng dạng với tam giác CFG
hay khơng ? Vì đã có góc EAG = góc FCG
cho nên chỉ cần chứng minh thêm tỷ số
AE : CF = AG : CG là đ-ợc . Quan sát hình
vẽ ta thấy tam giác ADG đồng dạng với tam
giác CGB cho nên AD : CB = AG : CG mà
giả thiết đã cho AE = AD CF CB

2
1

1

suy

ra tỷ lệ thức đầu có thể chứng minh đ-ợc . F

C
D

chng minh E , F , H thẳng hàng ta dùng ph-ơng pháp nói trên . Ta có tam giác ADH đồng
dạng với tam giác BCH và ta có AD : BC = AH : BH ta suy ra AE : BF = AH : BH , ta có thêm
góc EAH = góc FBH suy ra hai tam giác đồng dạng suy ra hai góc bằng nhau suy ra (đpcm)

2/ Dùng tỷ lệ thức để chứng minh đa giác nội tiếp :

VD 12 : Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau t¹i E sao cho :

AE . BE = CE . DE Chøng minmh r»ng tø gi¸c ABCD nội tiếp đ-ợc trong đ-ờng

tròn .

Suy xÐt :

Tõ gi¶ thiÕt cã thĨ suy ra ®-ỵc

AE : DE = CE : BE , bốn đoạn thẳng trong tỷ
lệ thức là các cạnh t-ơng ứng của tam giác
ACE và tam giác DBE , các cạnh ấy lại kề với
các góc AEC = góc DEB (đ đ) do đó hai tam
giác đó đồng dạng suy ra góc A = góc D suy ra
tứ giác ABCD nội tiếp đ-ợc trong mt -ng
trũn

B
D
A

D ) Dạng toán thứ t- :

Chøng minh c¸c quan hƯ vỊ tỉng ( hiƯu ) hai tû sè

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

VD 13 : Cho tam gi¸c ABC ; G là trọng tâm của tam giác , đ-ờng thẳng qua G cắt

các cạnh AB & AC tại M & N . Chøng minh r»ng :

AN
AC
AM

AB

Suy xét :

Đặt vế trái của hệ thức cần chứng minh là f =

AN
AC

AMAB  . Ta thấy hai
đoạn thẳng thuộc hai tỷ số từng đôi một thuộc hai đ-ờng thẳng khác nhau đó là
đ-ờng thẳng AB & đ-ờng thẳng AC . Do đó chúng ta đứng tr-ớc một sự lựa chọn
thứ nhất đó là : Đi về đâu ? Đ-a về cùng một đ-ờng thẳng nào ? Nói cách khác là
chiếu lên đ-ờng thẳng nào ?

Cách 1

: Đ-a về đ-ờng thẳng AC ( chiếu lên đ-ờng thẳng AC ) !

Qua B kẻ một đ-ờng
thẳngBP // MN cắt AC
tại P , áp dụng định lý
Ta Lét trong tam giác
ABP ta có

AB : AM = AP : AN
Khi đó f =

AN
AC
AP 

đến đây ta nhận thấy
cần phải chứng minh
(AP+AC) = 3AN
Số 3 liên t-ởng đến tỷ
số 2/3 , có sự liên quan
đến tính chất của trọng
tâm trong tam giác .
Gọi I là trung điểm của

I
E

Q
P

C
B

BC , J là giao điểm của BP với AG , qua I kẻ IQ// BP , qua C kẻ CE // BP . Xét tam giác CBP có
đ-ờng thẳng IQ đi qua trung điểm I của CB lại song song với BP suy ra Q cũng là trung điểm của
CP do đó ta có AP = AQ – PQ ; AC = AQ + QC , mà PQ = QC suy ra AP + AC = 2AQ do đó
f =

AN
AQ

, áp dụng tính chất của trọng tâm và định lý Ta Lét vào tam giác AIQ có GN // IQ

suy ra 3

2
3
.
2
2

2
3







AN
AQ
AN

AQ
AG

AI

Tøc lµ f = 3 (ĐPCM)

Cách 2

: Đ-a về đ-ờng thẳng AB ( chiếu lên đ-ờng thẳng AB ) !

Làm t-ơng tự nh- cách 1

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Ta có AB : AM = A J : AG
AC : AN = AE : AG Do đó
f =

AG
AE
AJ 

Vì I là trung điểm
của BC suy ra I cũng là trung
điểm của JE suy ra I J = I E
mµ ta cã ( A J + AE ) =
( A I – I J + AI + IE ) = 2AI

Do đó f = 3

2
3
2

2  

AG
AI

(đpcm)

Lời bàn

E
I
B

C
A

Trong tr-ng hc , chúng ta luôn đ-ợc cảnh báo rằng sai lầm là việc sấu , nếu ta
phạm sai lầm sẽ bị trừng phạt . Nh-ng nếu ta xem xét ph-ơng pháp học tập của loài
ng-ời sẽ thấy rõ rằng ; lồi ng-ời ln học tập trong q trình phạm sai lầm . Trẻ
con phải ngã mới học đ-ợc cách đi , nếu chúng không bao giờ ngã cũng sẽ chẳng
bao giờ học đ-ợc cách đi . Cách giải thứ 3 là sự hồn hảo song khơng phải tự nhiên
mà có , nó đ-ợc hình thành do quá trình lao động ở cách 1 hoặc cách 2 .

Vì vậy , nếu khơng tự mình làm theo cách 1 và cách 2 dài dòng , cồng kềnh thì sẽ
khơng thể có cái gì đẻ cải tiến trở thành cách giải thứ 3 ngắn gọn nhất , và hay nhất
đ-ợc . Do đó trên cơ sở của sự vấp ngã thì con ng-ời đã lớn lên đ-ợc , hoàn hảo
đ-ợc là thế .

b) Khai thác bài toán

*/ Mnh đảo của bài toán VD 13 :

Cho tam giác ABC , M & N là hai điểm chuyển động trên các các cạnh AB & AC

t-ơng ứng sao cho

AB AC 3

AM  AN 

Chứng minh rằng : Đ-ờng thẳng MN luôn đi qua

một điểm cố định .

Lời giải : Là nội dung chính của VD 13 :

Gọi I là trung điểm của BC , nối AI cắt đ-ờng
thẳng MN tại G , Kẻ BJ // MN ( J thuộc AI ) Kẻ CE // MN ( E thuộc đ-ờng thẳng AI ) . sau đó
trình bày giống VD 13 đến chỗ : f = 2 3 3

AI AI

G

AG AG chính là trọng tâm cđa tam gi¸c

ABC , tức là đ-ờng thẳng MN luôn đi qua trọng tâm G của tam giác ABC , Nghĩa là đ-ờng thẳng
MN luôn đi qua điểm cố định G đó .

*/ Mệnh đề tổng quát của bài toán VD 13

Cho tam giác ABC , M & N là hai điểm chuyển động trên các các cạnh AB & AC

t-ơng ứng sao cho

AB AC 2012

AM  AN 

. Chứng minh rằng : Tập hợp các đ-ờng thẳng

MN đồng quy .

L-u ý : Thông th-ờng ng-ời ta hay chọn mệnh đề tổng quát để ra đề thi HSG các cấp

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Bài 1 : Cho tam giác ABC , kẻ trung tuyến AD . Gọi G là trọng tâm của tam giác .
Một đ-ờng thẳng quay quanh G cắt AB & AC lần l-ợt tại M & N .

Chøng minh r»ng : BM CN 1

AM  AN  .

Bµi 2 : Cho tam gi¸c ABC , trung tuyÕn AD ; Gọi M là một điểm bất kỳ trên BC ;
qua M vẽ một đ-ờng thẳng song song với AD cắt đ-ờng thẳng AB & AC lần l-ợt
tại E & F . Chøng minh r»ng : ME + MF = 2 AD .

Bµi 3 : Qua điểm O bất kỳ trong tam giác ABC ta kẻ đ-ờng thẳng song song với
AB cắt AC & BC tại E & F , kẻ đ-ờng thẳng song song với AC cắt AB & BC tại F
& K , kẻ đ-ờng thẳng song song với BC cắt AB & AC tại M & N .

Chøng minh r»ng :
a/ AF BE CN 1

AB BC  CA  .

b/ Gäi diƯn tÝch c¸c tam gi¸c O FM ; OEK ; ODN ; ABC lần l-ợt là S1 ;S2 ;S3 và S .

CMR : S = ( 2

1 2 3)

s  s  s .

c/ AM BK CD 2

AB  BC CA 

d/ ( MN + FK + ED ) không phụ thuộc vào vị trÝ cđa ®iĨm O .

e/ Gọi độ dài các cạnh của tam giác ABC là a , b , c . Giả sử ba đoạn thẳng MN ,
DE , FK cùng có độ dài là y hãy tính giá trị của y theo a , b , c .

Bµi 4 : Cho tam giác ABC , trung tuyến BM cắt phân giác CD t¹i P . Chøng minh
r»ng : PC AC 1

PDBC  .

Bµi 5 : Cho hình bình hành ABCD một đ-ờng thẳng qua B , cắt các đ-ờng thẳng
AC , DC , AD lần l-ợt tại I , M , N . Chứng minh r»ng :

1 1 1

BI  BM  BN .

Bµi 6 : Cho tam giác ABC vuông tại A , kẻ đ-ờng phân gi¸c AD ; Chøng minh
r»ng : 2 1 1

AD  AB AC .

Bài 7 : Trên cung nhỏ BC của đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC lấy điểm
M tuỳ ý , các đoạn thẳng AM & BC cắt nhau tại N . CMR :

1 1 1

MN MBMC .

Chú ý : Có hai cách giải kinh điển cho bài toán 7 :

Cỏch th nht là : Tìm các cặp tam giác đồng dạng sau đó quy đồng mẫu số chung
, để suy ra đpcm ( xem lời giải trong TLTK )

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

( xem lêi gi¶i trong TLTK )

2/ Chøng minh tỉng ( hiƯu) hai tû sè b»ng mét tû sè ; tæng hai tÝch b»ng tÝch thø ba

a c m

b d n , ab + cd = xy , x

2 = ab + cd ; x2 = a2 + cd ; x2 = a2 + c2 ; .và các dạng

t-ng tự mà một vế của đẳng thức hình học cần chứng minh là một tổng hoặc một
hiệu hai tích , hai tỷ số .

1/ Nguån gèc của dạng toán là :

Để chứng minh một đoạn thẳng bằng tổng của hai đoạn thẳng khác :

AB = CD + EF , ta tìm cách phân chia đoạn AB thành hai đoạn bởi điểm M
AB = AM + MB sao cho AM = CD , cơng việc cịn lại là chứng minh MB = EF
 ý t-ởng trên đ-ợc sử dụng để chứng minh dạng toán ab + cd = xy theo ba b-ớc sau 
:

B-ớc 1 : Chia đoạn thẳng có độ dài x thành hai đoạn bởi điểm chia M để có :
x=x1 + x2 sao cho x1y = ab (1)

B-íc 2 : Chøng minh hƯ thøc : x2y = cd (2)

B-íc 3 : Céng tõng vÕ cđa (1) và (2) đ-ợc điều phải chứng minh :
x1y + x2y = ab + cd

2/ C¸c VÝ Dơ :

VD 14 : Chứng minh định lý Pitago : Tam giác ABC có góc A vuông , chứng minh

rằng : BC

= AB

+ AC

.

Phân tích( có chủ ý
tỡm cỏch v thờm -c

hình phụ một cách
thích hợp trong việc
tìm kiếm lời giải bài

toán ) :

Lấy điểm M thuộc cạnh
BC sao cho BM . BC =
AB2

BM AB

AB BC

BMA BAC

BMA v

  

 

 

từ đó M chính là chân
đ-ờng cao hạ từ A xuống
BC

B C

Lời giải

: Hạ AM  BC . Vì các góc B , C đều nhọn cho nên M thuộc đoạn BC . Ta có
2

( ) BM AB .

BMA BAC g g AB BM BC

AB BC

       (1) . T-¬ng tù

CMA CAB AC CM BC

    (2) . Céng tõng vÕ c¸c hƯ thøc (1) , (2) ta đ-ợc
AB2

+ AC2

= BC ( BM + CM ) = BC2

(®pcm)

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Chøng minh r»ng : AC

= AB .AE + AD . AF .

Phân tích : Lấy điểm M
thuộc đoạn AC sao cho
AM . AC = AB . AE suy ra

AM AE

ABM ACE

AB AC

BM AC

 

Vậy điểm M cần tìm là chân
đ-ờng vuông góc hạ từ B
xuống AC .

Lời giải : - Gọi M là chân
đ-ờng vng góc hạ từ B
xuống AC ( do các góc A và C
đều nhọn cho nên M thuộc
đoạn AC )

Hay AC = AM + CM .
- DÔ thÊy

( )

. .

ABM ACE g g

AM AC AB AE

  

 

- L¹i cã

( )

. .

ACF CBM g g

CM AC BC AF

  

 

F
D

C
B

Từ đó với chú ý rằng : BC = AD ta có AB.AE + AD . A F = AM . AC + CM . AC = AC2 (đpcm)

VD 16 (Định lý Ptơlêmê ) :

Tø gi¸c ABCD nội tiếp đ-ờng tròn tâm O . Chứng minh rằng :

AC.BD = AB .CD + AD . BC .

Ph©n tích : Giải sử điểm M thuộc đoạn AC
sao cho AM . BD = AB . CD suy ra

 ABM đồng dạng với  DBC nên

ABMDBC , nh- vậy điểm M đ-ợc xác định
là giao điểm của tia Bx với AC , trong đó tia Bx
hợp với BA một góc ABxDBC .

Lời giải : Nếu ABDDBC , chứng minh
đơn giản , điểm M chính là giao điểm của AC
và BD .

NÕu ABDDBC th× trong đoạn AC sẽ tồn tại
điểm M sao cho

( )

ABMDBC ABM DBC gg 

D
C
B

AM . BD = AB . CD . DÔ thÊy BMC BAD g( g) MC . BD = AD . BC

Cộng theo từng vế các đẳng thức trên ta đ-ợc AC.BD = AB .CD + AD . BC (pcm) .

VD 17 (Bài toán có nội dung sè häc ) :

Cho tam giác ABC , gọi a , b , c lần l-ợt là độ dài các cạnh BC , CA , AB của tam

giác , biết rằng :

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

a/ Chøng minh r»ng : a

+ bc = c

( BC

+ AC . AB = AB

)

b/ HÃy tính các giá trị của a , b , c ?BiÕt r»ng a , b , c là ba số nguyên liên tiếp

Phân tích : Giả sử điểm
M thuéc c¹nh AB sao cho
BM . AB = BC2

suy ra

BM BC

BC  AB , xÐt hai tam

giác BMC và tam giác BCA
ta thấy có chung góc B và
có tỷ lệ thức trên cho nên
chúng đồng dạng với nhau

2 1

2
1
1

M
C

B
A

Suy ra : BCM BCA .

Mặt khác theo giả thiết 3A2B1800

=

A B C C 2A B C1C2 mà theo chứng
minh trên C1  A C2   A B 1800C vayC, 2 1800C .

Mặt khác nữa M1C1   B A B 1800C . Vậy góc M1 C2  ACMcân tại A , đáy là
CM . Vậy điểm M đ-ợc hoàn toàn xác định trên AB sao cho AC = AM .

Lêi gi¶i :

a/ Theo gi¶ thiÕt 3A2B1800

=

A B C   C 2A B C1C2 suy ra gãc C lµ gãc lín
nhÊt trong tam gi¸c suy ra AB > AC , suy ra trên cạnh AB tồn tại điểm M sao cho

AC = AM hay tam giác ACM cân tại A , đáy là CM suy ra

AMCACD Tøc lµ M1C2(1) Ta sÏ chøng minh C1 A . TvËy : Ta cã

2 1

2 2

C C C

C A B C A B C

 

      (2)

. Mặt khác theo định lý về góc ngồi của một tam giác ta có
M1C1B (3) . Thay (2) & (3 ) vào (1) ta đ-ợc :

1 2 1 2 1 2 1 ( )

C  B A B C   C  AC   A BCM BAC gg suy ra

BM . BA = BC 2

suy ra (AB-AC) . AB = BC2

suy ra AB2
= BC2

+ AB . AC (®pcm) .

b/ Theo chøng minh ë phÇn a/ ta cã a2 + bc – c2 = 0 (*) , và c là cạnh lớn nhất trong tam giác 
ABC . Suy ra c là số nguyên lớn nhÊt trong ba sè nguyªn liªn tiÕp a, b , c . Xảy ra hai
tr-ờng hợp a> b hc a<b .

*/ Nếu a>b thì c>a>b suy ra ba số nguyên liên tiếp đó sẽ có dạng :
c = a+1 ; b = a – 1 thay vào (*) và rút gọn ta đ-ợc : a2

- 2a – 2 = 0 , đây là một ph-ơng trình
bậc hai ẩn số là a có biệt thức  = 12 khơng phải là số chính ph-ơng cho nên ph-ơng trình
khơng thể có nghiệm ngun đ-ợc . Do đó TH này sẽ bị loại .

*/ Nếu a b>a khi đó ba số nguyên liên tiếp đó sẽ có dạng : c = b + 1 ; a = b – 1
Thay vào (*) và rút gọn ta đ-ợc b2

- 3b = 0 suy ra b = 0(loại ) hoặc b = 3 ta chän b = 3
suy ra c= 4 , a = 2 . Thoả mÃn BĐT tam gi¸c : 3 + 2 > 4 > 3 - 2

Đáp số : Vậy độ dài các cạnh của tam giác là 2 , 3 , 4

VD 18 : Cho tam giác ABC nội tiếp trong đ-ờng tròn . D là một điểm trên cung

BC không chứa đỉnh A . Gọi I , H và K lần l-ợt là hình chiếu của D trên các đ-ờng

thẳng BC , AB , và AC . Chứng minh rằng :

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Phân tích : Giả sử M thuéc c¹nh BC sao cho

BM AB

DI  DK lại có tứ giác BKDI nội tiếp đ-ợc

trong đ-ờng trßn suy ra ABM KDI suy ra
 DKI  BAM (c/c-g) BAM DKI

Mµ ( 1 )

DKI DBI  sd DI DBI BAM (1 )
Kéo dài AM cho cắt đ-ờng tròn tại điểm N ,
Trong đ-ờng trịn này các góc ở đẳng thức (1) đều
là các góc nội tiếp chắn các cung t-ơng ứng là BN
và CD suy ra BNCDBDCNDN/ /BC

Vậy ta xác định đ-ợc điểm N và suy ra xác định
đ-ợc điểm M .

M
I

D N

C
B

Lời giải : Qua D kẻ đ-ờng thẳng song song với BC , đ-ờng thẳng này cắt đ-ờng tròn tại ®iĨm
thø hai lµ N (N cã thĨ trïng víi D ) . Gọi M là giao điểm của AN víi BC . DƠ thÊy :

-  DKI  BAM BM AB

DI DK

  .

- L¹i thÊy ACM HDI g( g) CM AC

DI DH

    

- Cộng từng vế các đẳng thức trên ta đ-ợc ĐPCM

Lời bàn : */Trong mỗi bài tốn nêu trên cịn có những cách giải khác và có thể có
nhứng cách giải hay hơn .Tuy nhiên ở đây muốn trình bày lời giải một cách tự
nhiên hơn bằng cách phân tích có ý thức , có chủ ý để tìm cách vẽ thêm đ-ợc hình
phụ thích hợp cho mỗi bài tốn . Đồng thời đây chính là những cơ hội rất lớn đối
với các em học sinh muốn rèn luyện suy nghĩ , t-u duy và ý thức của con ng-ịi
thơng qua hoạt động giải Tốn . Các em sẽ thấy đ-ợc tại sao ng-ời ta lại vẽ đ-ợc
những đ-ờng phụ nh- thế . Tại sao SGK Toán 9 khi chứng minh định lý Pitago
ng-ời ta lại dựa vào chân đ-ờng cao ứng với cạnh huyền , … .

*/ Học giải Toán là học cách suy nghĩ , cách t-u duy để tìm kiếm lời giải , chứ
khơng đơn thuần chỉ là biết lời giải của một bài Tốn đó . Hầu hết các sách TK ,
nâng cao hiện nay bán trên thị tr-ờng sách đều chỉ cung cấp lời giải của các bài
Toán . Rất hiếm sách TK cung cấp cho ng-ời đọc biết đ-ợc sự phân tích chu đáo ,
cẩn thận q trình suy nghĩ tìm kiếm lời giải bài tốn .

*/ Học sinh cần phải phân biệt sự khác nhau giữa bản nháp và bản trình bày lời giải
chính thức . Bản nháp chính là bản dự thảo , phác thảo của lời giải chính thức vì vậy
khơng cần phải chi tiết , tỷ mỷ . Nh-ng lời giải chính thức chính là một văn bản
mang tính KH , nên nó địi hỏi HS pghải trình bày theo đúng những quy định của
một văn bản KH , từ các KH của hình vẽ , cho đến các thủ tục , hình thức trình bày

, dấu chấm , dấu phảy , lỗi chính tả ….đều phải đ-ợc quan tâm một cáh chu đáo cẩn
thận . Nếu khơng thì Bút xa Gà chết , mặc dù hứng giải đúng nh-ng khơng có KQ
nh- mong đợi (khơng đạt giải , Tài – Tử là thế , Tài mà chết sớm , tài mà tai)

Mét sè bài toán t-ơng tự của dang toán

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Bài 2 : Cho tam giác ABC cã gãc A b»ng 300 , gãc B b»ng 500 . Chøng minh r»ng

độ dài các cạnh của tam giác liên hệ với nhau bởi hệ thức :





2 2
c b
a

b



 .

Bµi 3 : Cho tam gi¸c ABC cã 0

20 ; ;

BAC ABACb BCa . Chøng minh r»ng :
a3 + b3 = 3ab2 .

Bài 4 : Cho tam giác ABC . Kẻ đ-ờng phân giác AD . Chứng minh rằng :

AD2 = AB . AC – BD . DC . Từ đó suy ra cơng thức tính đ-ờng phân giác của

mét tam gi¸c theo c¸c cạnh của tam giác :

a

bc

l p p a

b c

 

 Trong đó p = 2

a b c

. Hoàn toàn t-ơng tự ta cũng tính đ-ợc :

2 2

;

b c

ca ab

l p p b l p p c

c a a b

   

  trong đó lb , lc là độ dài đ-ờng phân giác góc

B vµ góc C của tam giác .

Bài 5 : Cho tam giác ABC . Biết rằng đ-ờng phân giác ngoài của góc A cắt cạnh
BC kéo dài tại E . Chøng minh r»ng : AE2 = EB . EC – AB . AC .

Phần thứ năm

S dng cõu thn chỳ : (( hãy chăm lo tốt phần gốc sẽ t-ơi tốt phần ngọn )) để tìm kiếm

lời giải các bài tốn khó 
I/ Đặt vấn đề :

Lời giải một bài tốn nào đó dù khó đến đâu đi nữa cũng chỉ là phần ngọn mà thơi.
Đằng sau nó là một phần rất quan trọng đó là là phần gốc của lời giải đó . Phần
gốc này bao gồm nhiều góc độ khác nhau nh- : Kiến thức , kỹ năng , ph-ơng pháp
suy nghĩ , ph-ơng pháp giải …v…v…

Giống nh- một cái cây , phần gốc của nó khơng chỉ là phần thân cây ở trên mặt đất
mà cịn có một phần rất quan trọng nằm d-ới mặt đất mà ng-ời ta gọi là rễ .Vì vậy
khi nói chăm lo phần gốc thì chúng ta phải chăm lo một cách toàn diện cả gốc lẫn
rễ ( Sâu rễ bền gốc) thì phần ngọn của cây mới đ-ợc t-oi tốt , đơm hoa kết trái đ-ợc
Chúng ta bắt đầu từ bài toán sau õy :

II /

Bài toán gốc

Cho tam giác ABC với AM là đ-ờng trung tuyến xuất phát từ A , I là một điểm bất

kỳ trên đoạn thẳng AM( điểm I không trùng với hai điểm A và M ) , nối BI , CI

kéo dài lần l-ợt cắt AC & AB t¹i E & F . Chøng minh r»ng : EF // BC

Nhận xét : Đây là một bài toán rất quen thuộc đối với HS giỏi Tốn , tuy nhiên có
thể là do cách tiếp cận với bài Toán của mỗi ng-ời khác nhau , hơn nữa có thể lâu
khơng động đến thì phần lớn chúng ta sẽ quên cả cách chứng minh của nó , chứ
ch-a nói đến những chuyện khác về BT đó .

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

ĐVĐ : Khi học xong ch-ơng trình hình học lớp 7 chúng ta đã có những cơng cụ
nào để chứng minh hai đ-ờng thẳng song song ?

1) Nhắc lại các dấu hiệu nhận biết hai đ-ờng thẳng song song ở hình học lớp 7

a/ Nếu đ-ờng thẳng c cắt hai đ-ờng thẳng a và b trong các góc tạo thành có cặp
góc so le trong bằng nhau ( hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau ) thì a và b song
song với nhau .

b/ Hai đ-ờng thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đ-ờng thẳng thứ ba thì
chúng song song với nhau .

c/ Hai đ-ờng thẳng phân biệt cùng song song với một đ-ờng thẳng thứ ba th× chóng

song song víi nhau .

Những cơng cụ đó có phải là vạn năng hay khơng ? các cơng cụ này có phát huy
tác dụng với bài Tốn này hay khơng ? Rõ ràng trong bài tốn này chúng ta khơng
thể bói đâu ra cặp góc so le trong hay cặp góc đồng vị bằng nhau đ-ợc , chúng ta
càng không thể tìm đ-ợc một đ-ờng thẳng thứ ba cùng vng góc hoặc cùng song
song với BC & FE đ-ợc . Chúng ta sẽ thấy nếu chỉ dùng các công cụ nói trên thì sẽ
bó tay chấm com ! chịu chết khơng làm gì đ-ợc . Nh-ng trời phán rằng : Đã có Ta
Lét thế là tấ cả lại bừng sáng ! Vậy sức mạnh của Định lý Ta lét là cái gì ?
Em nào nói đ-ợc ? Trả lời :

- Sử dụng sự song song của các đ-ờng thẳng để thiết lập tỷ lệ thức .
- Sử dụng tỷ lệ thức để chứng minh sự song song .

Cách giải thứ nhất : Ta sẽ sử dụng cả hai sức mạnh đó để giải bài toán . Tr-ớc hết
ta phải kẻ thêm các đ-ờng thẳng song song để thiết lập tỷ lệ thức mà đang cần .
Sau đó khi có tỷ lệ thức thì suy sa sự song song .

Có nhiều cách cách kẻ thêm đ-ờng thẳng song song , ở đây thầy giáo sẽ trình bày
hai cách điển hình sau

Cách 1 : Kẻ thêm hai đ-ờng thẳng song

Qua A k -ng thng song song với CF cắt đ-ờng thẳng BE kéo dài tại D . Qua B kẻ một
đ-ờng thẳng song song với CF cắt đ-ờng thẳng AM tại K , áp dụng định lý Ta lét trong tam
giác EIC có AD//CI

Ta cã AE AD

EC  IC (1)

Mặt khác , vì M là trung ®iĨm cđa BC
suy ra CI = BK

K
D

F E

C
B

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Suy ra AD AD

IC  BK (2) Lại áp dụng định lý Ta lét trong tam giác IBK có AD//BK suy ra ta có
AD AI

BK  IK (3) Lại áp dụng định lý trong tam giác ABK có FI // BK suy ra ta có

AI AF
IK  FB (4)

Từ các đẳng thức 1-4 ta suy ra AE AF EF/ /BC

EC  FB  .

Cách 2 : Kẻ thêm một ®-êng th¼ng song song :

Qua A kẻ đ-ờng thẳng song song với BC cắt BE và CF kéo dài lần l-ợt tại P & Q . theo định lý
Thales ta suy ra AP = AQ , sau đó lại sử dựng định lý 2 lần nữa suy ra AE AF EF/ /BC

EB  FC 

M
I

E
F

P Q

C
B

Ngoài cách giải khai thác sự song song nh- trên( có thể kẻ thêm một hoặc hai
đ-ờng thẳng song song ) Ta có thể sử dụng diện tích để chứng minh . Chẳng hạn ta
có thể sử dụng kết quả sau đây của chuyên đề diện tích để chứng minh FE//BC .

KÕt qu¶

: Cho tam giác ABC , M là một điểm bất kỳ trên cạnh BC , I là một ®iĨm

bất kỳ trên AM khi đó ta ln có :

ABI

ACI

S BM

S  MC 

Ta cã F thuéc AB , vµ I thuéc CF suy ra ta cã :

(1)

(2); 1 (3)

AIC
BIC

AIB AIB

AIB AIC

BIC AIC

S AF

S BF

S AE S BM

S S

S EC S CM



    

Tõ (1) , (2) , (3) suy ra ®pcm .

Lêi bµn :

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

, của tri thức nhân loại thì cuộc đời của các em sẽ cả thèm chóng chán . Các em sẽ
chán tr-ờng , chán lớp , chán thầy , chán cô , chán học(mặc dù suốt ngày đi học
thêm) , rồi bỏ học lúc nào khơng hề hay biết . Đó chính là một trong số nhiều con
đ-ờng dẫn HS tới tệ nạn xã hội , để rồi đ-a con ng-ời tới địa ngục lúc nào không
hay biết . Gây ra bao nhiêu đớn đau cho nhiều GĐ VN hiện nay .

Các dấu hiệu nhận biết hai đ-ờng thẳng song song của hình học lớp 8

a) Dấu hiệu thứ nhất( Định lý Ta Lét đảo ) :

Nếu một đ-ờng thẳng không đi qua đỉnh của một tam giác và chia (trong hoặc
ngồi) hai cạnh của tam giác đó thành những đoạn thẳng t-ơng ứng tỷ lệ thì nó
song song với cạnh cịn lại của tam giác đó .

b) DÊu hiÖu thø hai ( TÝnh chất của đ-ờng trung tuyến trong tam giác )

Cho tam giác ABC với AM là đ-ờng trung tuyến xuất phát từ A , I là một điểm

bất kỳ trên đoạn thẳng AM( điểm I không trùng với hai điểm A và M ) , nối BI , CI

kéo dài lần l-ợt cắt AC & AB tại E & F . Khi đó ta ln có : EF // BC

Chú ý : Nhờ có dấu hiệu thứ nhất mà chúng ta có dấu hiệu thứ hai & và một khi
đã có rồi ( C/m hẳn hoi rồi ) thì nó lại trở thành một cơng cụ mới để giải Tốn
Sau đây là một số bài thi HSG cấp Tỉnh và cấp quốc gia có sử dụng dấu hiệu thứ

hai .

5/ Mét sè øng dông của dấu hiệu thứ hai vào giải Toán :
a) Bài toán tầm cỡ thi HSG cấp TØnh :

VD 19 :

Cho nửa đ-ờng trịn đ-ờng kính AD . Trên nửa đ-ờng tròn ta lấy một điểm B ,

trên đ-ờng kính AD ta lấy một điểm C sao cho AB = CD . Chứng minh rằng :

Trong tam giác ABC có phân giác kẻ từ A , trung tuyến kẻ từ B và đ-ờng cao kẻ từ

C đồng quy tại một điểm .

1/ Suy xÐt :

Đây là một bài toán thi HSG năm học 1997-1998 của tỉnh Bắc Ninh , khơng khó
lắm tuy nhiên với tinh thần chăm lo tốt phần gốc , sẽ tốt t-ơi phần ngọn , tôi sẽ làm
bài bản một chút theo các b-ớc tìm kiếm lời giải một bài Tốn mà Pơ li a đã nêu ra

a/ B-ớc 1- Lựa chọn ph-ơng pháp giải

Tr-c hết chúng ta phải đọc thật kỹ văn bản đầu bài , vẽ hình , ghi GT + KL , theo
đúng nội dung của đầu bài . Tiếp đến chúng ta sẽ suy nghĩ đến việc lục lọi các
ph-ơng pháp chứng minh các đ-ờng thẳng đồng quy một điểm mà chúng ta đã
biết để lựa chọn xem ph-ơng pháp nào có khả năng giải đ-ợc bài tốn này . Tất cả
có 5 ph-ơng pháp cơ bản để chứng minh các đ-ờng thẳng đồng quy mà chúng ta
đã rất quen thuộc đó là :

- Chøng minh giao điểm của hai đ-ờng thẳng nằm trên đ-ờng thứ ba .

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

- Qua giao điểm của hai đ-ờng thẳng cho tr-ớc dựng hai đ-ờng thẳng khác ,
rồi chứng minh hai đ-ờng thẳng này hợp thành đ-ờng thẳng thứ ba .
- Chứng minh các đ-ờng thẳng đều đi qua một điểm cố định .

- Lợi dụng các định lý về các đ-ờng đồng quy trong tam giác .

Chúng ta hãy để ý đến ph-ơng pháp thứ hai đó là : Dựng đ-ờng thẳng đi qua giao
điểm của hai đ-ờng thẳng cho tr-ớc , rồi chứng minh đ-ờng thẳng này trùng với
đ-ờng thẳng thứ ba .

b/ B-ớc 2 - Xây dựng kế hoạch giải bài to¸n :

Để chứng minh ba đ-ờng thẳng đồng quy thì ta phải gọi tên giao điểm của 2 trong
ba đ-ờng thẳng cần chứng minh . Tr-ớc khi gọi tên giao điểm của chúng , ta phải
gọi tên hai trong ba đ-ờng thẳng cần chứng minh đồng quy , trong đó nhất thiết
phải có đ-ờng trung tuyến ( vì ta muốn vận dụng dấu hiệu thứ 2 – tính chất của
đ-ờng trung tuyến ) Vì vậy hình thành kế hoạch giải bài toán nh- sau

*/ Gọi tên hai trong ba đ-ờng thẳng cần chứng minh , trong đó nhất thiết phải có
đ-ờng trung tuyến . Sau đó gọi tên giao điểm của của chúng

*/ Dựng đ-ờng thẳng đi qua đỉnh còn lại của tam giác và giao điểm nói trên
*/ Chứng minh đ-ờng thẳng mới dựng này trùng với đ-ờng thẳng thứ ba .
c/ B-ớc 3 - Thực hiện kế hoạch đã đề ra – Thực hiện lời giải bi toỏn

Lời giải : */ ĐVĐ: Gọi BM là đ-ờng trung
tuyến , AE là đ-ờng phân giác của tam giác
ABC , gọi I là giao điểm của AE với BM nối
CI kéo dài cho cắt AB tại H ta sẽ chứng minh
CH chính là đ-ờng cao kẻ từ C của tam giác

ABC .

TvËy : Theo dÊu hiÖu thø hai ta cã HE // AC

AH CE

HB EB

  . MỈt khác vì AE là phân giác

nên ta có :
;

CE AC AC AC

AB CD

BE  AB   AB  CD

VËy ta cã :

/ /

AH AC

CH BD

HB CD  ( 1 )

H E

M C D

Mặt khác ta có ABD là góc nội tiếp chắn nửa đ-ờng tròn suy ra ABD900BDAB (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra CH tức là CH chính là một đ-ờng cao của tam giác ABC .

Lời bàn :

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

*/Muốn có đ-ợc lời giải nh- trên địi hỏi HS phải có một phần gốc rất vững chắc
đó là :

- 5 ph-ơng pháp chứng minh ba đ-ờng thẳng đồng quy , sau đó lựa chọn cách
ĐVĐ cho phù hợp .

- Hai dấu hiệu nhận biết hai đ-ờng thẳng song của hình học lớp 8 nói trên .
- Một tính chất liên hệ giữa song song và vng góc của hình học lớp 7 .
- Hệ quả của định lý về góc nội tiếp .

Trong kỳ thi năm đó có rất nhiều HS dự thi đã khơng làm đ-ợc bài Tốn này vì
phần gốc của những em đó khơng cú nhng vn núi trờn .

*/ Ngoài cách §V§ nh- trªn chóng ta cã thĨ §V§ nh- sau : Gọi CH là đ-ờng cao
kẻ từ C , BM là đ-ờng trung tuyến kẻ từ B , gọi I là giao điểm của CH với BM .
CMR : AD là phân giác của góc A .

*/ Một số bài tập t-ơng tự với VD 19

Bài 1 : Cho tam giác ABC nhọn , có trung tuyến BM , phân giác CD , và đ-ờng cao 
AH đồng quy tại điểm O . Chứng minh rằng : 0

BAC  .

Bµi 2 : Cho tam gi¸c ABC cã gãc A = 900 , trung tuyến BM , phân giác AD , vµ

đ-ờng cao CH đồng quy tại điểm . Chứng minh rằng :
SinB = 5 1

2


. Từ đó suy ra cách dựng một tam giác có tính chất nêu trên .
Bài 3 : Cho tam giác ABC . AM , AD thứ tự là trung tuyến và phân giác của góc
A , qua C kẻ đ-ờng thẳng vng góc với AD cắt AD , AK thứ tự tại H , K . Chứng
minh rằng MH // AB & MH đi qua trung điểm của KD .

Tr-ớc khi chuyển sang bài toán khó hơn ( TÇm cì thi qc gia ) chóng ta h·y
quay trở lại chăm lo bài toán gốc một chút nh- sau :

B/ Chăm lo bài toán gốc :

- Nhiều khi chúng ta cho rằng bài toán gốc , cũng nh- các định lý trong lý thuyết
chẳng có gì phải quan tâm, suy nghĩ cả . Đó là một quan niệm hết sức sai lầm , mà

chúng ta sẽ phải trả giá khi tham dự thi HSG các cấp .

- ở bài tốn gốc nói trên chúng ta hãy khảo sát các vị trí khác nhau của điểm I trên
cả đ-ờng thẳng AM xem khi đó kết luận của bài tốn cịn đúng hay khơng ?
Tr-ờng hợp thứ nhất điểm I nằm trong đoạn AM (điểm I không trùng với A & M)
chúng ta đã làm trong bài toán gốc . Bây giờ chúng ta khảo sát tr-ờng hợp thứ hai :
Điểm M nằm ngoi on AM .

Tr-ờng hợp thứ hai : Điểm I nằm ngoài đoạn AM
Xét hai khả năng sau :

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Trong tr-ờng hợp này ta xét tam giác
IBC có IM là đ-ờng trung tuyến ,
điểm A thuộc IM . áp dụng kết quả đã
chứng minh trong tr-ờng hợp thứ
nhất đối với tam giác IBC và đ-ờng
trung tuyến IM ta suy ra FE // BC

E F

C
B

Khả năng thứ hai : Điểm I nằm trên tia đối của tia MA , thì lại đựợc phân chia

thành hai tr-ờng hợp sau :

Tr-ờng hợp thứ nhất

:

Điểm I thuộc tia đối của tia MA sao cho MI = MA . Khi đó
tứ giác ABIC là hình bình hành ( hai đ-ờng chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi
đ-ờng ) Vì vậy BI // AC , cho nên khơng cắt AC , tức là điểm E không tồn tại ,
t-ơng tự điểm F cũng không tồn tại . Do vậy , kết luận của bài toán là FE // BC
cũng sẽ không tồn tại .

Tr-ờng hợp thứ hai : Điểm I thuộc tia đối của tia MA sao cho MI ≠ MA . Ta sẽ
chứng minh đ-ợc kết luận của bài Toán nh- sau :

ThËt vËy :

Gọi P ; Q lần l-ợt là trung điểm của BF và CE , khi đó MP & MQ lần l-ợt là đ-ờng trung bình
của tam giác BFC & tam giác CBE , khi đó MP// FC & MQ // BE suy ra

;

AP AM AQ AM AP AQ AP PF AQ QE

PF MI QE MI PF QE PF QE

AP BP AQ CQ

PF BP QE CQ

PF QE

 

     

 

   

Hay / /

1 1

2 2

AB AC AB AC AB AC

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

E
F

Q
P

M C

C/ Bài Toán tầm cỡ thi quốc gia

:

VD 20 :

Cho tam giác ABC vuông ở A ; có AM là đ-ờng trung tuyến & AH là đ-ờng cao

kẻ từ đỉnh A . Trên tia đối của tia AM ta lấy một điểm K , đ-ờng thẳng qua H và

vng góc với AB cắt KB tại E .Đ-ờng thẳng qua H & vng góc với AC cắt KC

tại điểm F . Chứng minh rằng : KM và FE vng góc với nhau .

1/ Suy xÐt :

Đây là một bài tốn khó tầm cỡ thi HSG Quốc gia , khơng dễ gì cơng phá đ-ợc .
Tuy nhiên dù khó khăn đến mấy cũng phải ((

Quyết chí ắt làm nên

))

A) B-íc 1- Lùa chän ph-¬ng pháp giải

Tr-c ht chỳng ta phi c tht kỹ văn bản đầu bài , vẽ hình theo đúng nội dung
của đầu bài . Tiếp đến chúng ta sẽ suy nghĩ đến việc lục lọi các ph-ơng pháp
chứng minh hai đ-ờng thẳng vng góc với nhau mà chúng ta đã biết để lựa chọn
xem ph-ơng pháp nào có khả năng giải đ-ợc bài tốn này . Trong bốn ph-ơng
pháp cơ bản để chứng minh hai đ-ờng thẳng vng góc mà chúng ta đã rất quen
thuộc đó là :

Lợi dụng các góc kề bằng nhau .

- Lợi dụng các góc vuông cho tr-ớc , hoặc các góc phụ nhau .
- Lợi dụng tam giác cân .

- Dùng đoạn thẳng thứ ba làm trung gian .

Chỳng ta hãy để ý đến ph-ơng pháp thứ 4 đó là dùng đoạn thẳng thứ ba làm trung
gian , cụ thể là chúng ta sẽ chứng minh một trong hai đ-ờng thẳng KM và FE
vng góc với một đ-ờng thẳng (d ) nào đó , cịn đ-ờng thẳng kia thì song song với
đ-ờng thẳng ( d) đó .

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Vấn đề ở chỗ là đoạn thẳng trung gian (d) mà chúng ta cần tìm kiếm là đ-ờng
thẳng nào trong hình vẽ này . Bằng kinh nghiệm giải Tốn sẵn có trong đầu , qua
thực tế đã giải nhiều bài toán chúng ta thấy nếu gọi I là giao điểm của EH với AB ;
J là giao điểm HF với AC thì sẽ xuất hiện đoạn thẳng I J , mà chúng ta đã khá quen
thuộc với bài toán chứng minh I J  AM ( Đ-ờng thẳng AM cũng chính là đ-ờng
thẳng KM ) . Đến đây đ-ơng nhiên chúng ta phải chứng minh I J // E F . Vậy là
chúng ta đã hình thành đ-ợc kế hoạch giải bài toán nh- sau :

- Chøng minh AM  I J
- Chøng minh I J // FE ;
- KÕt luËn KM  FE .

C) B-ớc 3 - Thực hiện kế hoạch đã đề ra – Thực hiện lời giải bài toán .

B-ớc 1 : Chứng minh AM  I J để suy ra KM  I J . ( Cho HS làm – GV uốn
nắn sau , đây chính là một bài tốn cơ bản của HH lớp 8 )

LG -Tãm t¾t : Ta cã
1 6 ( do tam giác AMC
cân tại M )

6 ( cïng phơ víi gãc 4
HAC )

4 ( AIH J lµ hình chữ 3
nhật )

Vậy 1 3 Mà 3 2 900
( do tam giác A I J vuông
tại A ) suy ra

1 2 90 suy ra AM  I J
Suy ra KM  I J

6
5

4
3

2
1

H M

B-íc 2 : Chøng minh I J // FE . Muèn vËy ta ph¶i chøng minh HI HJ

EI  FJ ( Dạng
toán thứ hai , ph-ơng pháp thứ hai , dùng tỷ lệ thức để chứng minh hai đ-ờng thẳng
song song .

§Ĩ chøng minh hai tû sè bằng nhau chúng ta lại phải lợi dụng một tỷ số thứ ba làm
trung gian ( Ph-ơng pháp thứ 4 , trong dạng toán thứ nhất )

T.vậy : */ Kéo dài BA cho cắt KC tại
Q , kéo dài CA cho cắt KB tại P .
*/ Vì có HE // CP theo tính chất của
chùm đ-ờng thẳng đồng quy ta có :

(1)

HI EI HI AC

AC  AP  EI  AP

T-ơng tự vì có H F // BQ suy ra
(2)

H J AB

JF AQ . Đến đây ta thấy rõ

ràng phải chứng minh AC AB

AP  AQ (3)

điều này chỉ có thể có đ-ợc là do PQ //
BC , đó chính là dấu hiệu thứ hai đ-ợc
áp dụng vào tam giác KBC với KM là
đ-ờng trung tuyến , và điểm A € KM ,

E
I

H M

C
B

Q
P

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

mét lần nữa chứng tỏ sức mạnh rất lớn
của dÊu hiƯu thø hai gióp chóng ta tho¸t
khái sù bế tắc này .

Từ (1) , ( 2 ) , (3) suy ra HI HJ

EI  FJ theo dÊu hiÖu thø nhÊt suy ra I J // FE
B-íc 3 : KÕt luËn

Tãm l¹i ta cã KM  J
Mµ I J // FE
Suy ra KM  FE ( ®pcm) .

Lêi bµn

: */ So với hai bài toán trên , rõ ràng là muốn giải đ-ợc bài toán này

thỡ trong u úc của ng-ời giải toán nhất thiết phải diễn ra sự lựa chọn ph-ơng pháp
giải và sự lập trình các b-ớc giải bài Tốn sau đó mới hy vọng thực hiện thành cơng
đ-ợc lời giải . Đó chính là sự khác biệt của đề thi cấp Q.gia với đề thi cấp Tỉnh ,
cấp huyện , nó địi hỏi HS phải có t-u duy cao cấp , tự mình khám phá ra những bài
Tốn ẩn mình trong đề thi , mà ng-ời ra đề đã cố ý dấu diếm đi .

*/ Về mặt kiến thức , nếu trong đầu óc của ng-ời giải tốn nếu khơng có sẵn việc
nghiên cứu , chăm lo bài tốn gốc thì khơng thể nghĩ đến việc kéo dài BA cho cắt
KC tại Q , kéo dài CA cho cắt KB tại P , để rồi nhận ra sự kiện quan trọng của lời
giải đó là PQ // BC từ đó chúng ta mới có tỷ lệ thức trung gian AC AB

AP  AQ xuất hiện
đúng lúc chúng ta cần nó nhất . Nh- vậy từng thao tác kéo dài các đoạn thẳng , từng
thói quen ký hiệu tên các giao điểm đều do việc chúng ta biết chăm lo tốt phần gốc
mà có đ-ợc .

*/ Về mặt kỹ năng giải Toán , việc chứng minh I J // FE chính là dạng tốn cơ bản

thứ hai (ph-ơng pháp thứ hai , dùng tỷ lệ thức để chứng minh hai đ-ờng thẳng song
song ) . Muốn chứng minh đ-ợc tỷ lệ thức đó lại là dạng tốn thứ nhất - ph-ơng
pháp 4 , lợi dụng một tỷ số thứ ba làm trung gian . Nghĩa là học sinh phải thành
thạo dạng tốn thứ nhất thì mới hy vọng thành thạo dạng tốn thứ hai , có b-ớc đi
thứ nhất thì mới có b-ớc đi thứ hai . ở đây do ĐK thời gian thầy giáo không làm lại
phần gốc cho các em đ-ợc , thầy rất mong các em tự mình chăm lo phần gốc cho
tốt thì mới hy vọng giải đ-ợc các bài tốn khó , đó chỉ là phần ngọn mà thơi !
*/ Giải xong một bài tốn ch-a phải là xong một cách tuyệt đối , mà nên dành thời
gian để tiếp tục nghiên cứu sâu thêm về bài Tốn ở tất cả các góc độ nh- : Suy
nghĩ tìm tịi lời giải , trau rồi các kiến thức , kỹ năng cần thiết , thậm chí cả việc
thay đổi , mở rộng đầu bài . VD ở đây , t-ơng tự nh- phần chăm lo bài toán gốc
,chúng ta có thể nghĩ đến việc khảo sát các vị trí khác nhau của điểm K trên cả
đ-ờng thẳng AM , chứ không phải chỉ là trên tia đối của tia AM , thì kết luận của
bài tốn cịn đúng hay khơng ? Có thể phân chia thành sáu tr-ờng hợp cần khảo sát
, nghiên cứu nh- sau :

1/ Điểm K thuộc tia đối của tia MA với MK > MA .
2/ Điểm K thuộc tia đối của tia MA với MK = MA .
3/ Điểm K thuộc tia đối của tia MA với MK < MA .
4/ Điểm K trùng với điểm M .

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

Sáu tr-ờng hợp này tôi cũng đã nghiên cứu rất cẩn thận , chu đáo trong giáo án viết
tay của mình , khơng có ĐK , thời gian trình bày ở đây , rất mong các HS về nhà tự
mày mị , tự nghiên cứu thêm , có nh- thế sau này các em mới có hy vọng thành
Ngô Bảo Châu đ-ợc . Chúc các em thành công !!!

*/ Có một câu chuyện rất thực tế nh- sau : Năm học đó , ở ĐT tốn 9 của tơi có
một em học sinh tên là : Vũ Giáp Danh , quê ở Cẩm Bình , Hải D-ơng giáp với xã
Phú L-ơng của huyện L-ơng Tài , nhà ở gần thị trấn Thứa có ĐK sang tr-òng LVT
Gia L-ơng học , em này là một trong những học sinh giỏi suất sắc nhất nhì của ĐT

Tốn 9 . Khi tham dự kỳ thi chọn ĐT quốc gia của Tỉnh BN , em này đã không đọc
kỹ đầu bài , cho nên đã làm tr-ờng hợp điểm K nằm trên tia đối của tia MA ( trong
khi đầu bài là điểm K nằm trên tia đối của tia AM ) , vì rất giỏi về hình học cho
nên anh ta đã làm rất tốt một khả năng của tr-ờng hợp đó : Điểm K thuộc tia đối
của tia MA với MK < MA . Thế là mắc tội lạc đề cho nên lời giải bài tốn đó

khơng đ-ợc điểm , dẫn đến là không đ-ợc tuyển chọn vào ĐT QG của Tỉnh , anh ta
rất buồn , rất chán đời , thậm trí muốn đi tự tử . Hồi đó , quả thực là tơi cũng ch-a
có ĐK nghiên cứu kỹ nguyên nhân sâu sa của sự nhầm lẫn đáng tiếc đó , chỉ đổ cho
một nguyên nhân duy nhất là anh ta đã không đọc kỹ đầu bài . Nh-ng khoảng 10-
15 năm sau khi đã từng trải nhiều trong nhiều năm cơng tác của nghề dạy học thì
tơi mới phát hiện ra rằng nguyên nhân sâu xa nhất của sự nhầm lẫn đó chính là do
ng-ời thầy giáo đã không biết chăm lo chu đáo bài tốn gốc nh- đã trình bày ở
trên .Tất nhiên không đọc kỹ đầu bài cũng cũng thuộc phần gốc của nhân cách của
con ng-òi .Nh-ng, nếu khi dạy bài toán gốc ng-ời thầy giáo cũng khảo sát vị trí
của điểm I trên cả đ-ờng thẳng AM nh- trên thì chắc chắn lúc đi thi HS khơng thể
có sự nhầm lẫn đáng tiếc nh- thế đ-ợc . Nhiều năm sau đó khi có dịp gặp lại HS
này tôi đã thành thật xin lỗi em HS đó , tơi đã nói rằng : Hồi đó thầy giáo đã khơng
dạy kỹ bài tốn gốc cho nên dẫn đến sự nhầm lẫn đáng tiếc của em . Thầy giáo
thành thật xin lỗi em . Và từ đó trở đi tơi ln tâm niệm một điều là : Mình phải
giáo dục cho HS giỏi ý thức chăm lo một cách chu đáo phần gốc của các lời giải
của các bài Tốn ( nó bao gồm cả cái gốc nhân cách cẩn thận của con ng-ời học
sinh nữa ) thì mới hy vọng phần ngọn t-ơi tốt , đơm hoa kết trái đ-ợc nh- mong
mun ca con ng-i .

Một số mô hình song song khác xung quanh đ-ờng trung truyến của tam giác có nhiều 
ứng dụng trong giải toán .

Năm học 2000-2001 , khi dạy bồi d-ỡng HSG cấp Tỉnh mơn Tốn 9 của huyện
Gia L-ơng cũ , tôi đã phát động phong trào tập d-ợt nghiên cứu Toán học trong

học sinh đội tuyển Toán 9 . Khi nghiên cứu tr-ờng hợp điểm K thuộc tia đối của tia
MA sao cho MA ≠ MK , thì em học sinh Nguyễn Kim Sơn đã phát hiện ra một mơ
hình song song rất thú vị sau đây liên quan đến đ-ờng trung tuyến của tam giác :
Mơ hình song song thứ hai liên quan đến đ-ờng trung tuyến :

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

Năm học đó , tơi th-ờng gọi mơ hình
này là Định lý Nguyễn Kịm Sơn , HS
s-ớng lắm , khi động vào bản chất
của con ng-ời : Sự khao khát đ-ợc
là ng-ời quan trọng , thì đã có một
tác dụng rất lớn kích thích sự say mê
học tập nghiên cứu TH của em Sơn ,
kết quả là em Nguyễn Kim Sơn năm
lớp 11 , đã dành đ-ợc huy ch-ơng
Vàng trong kỳ thi Toán Q Tế ở A
Ten – Hy Lạp . Trong số các em
học sinh giỏi có rất nhiều thiên tài ,
nếu chúng ta biết khơi dạy thì rất là
kỳ diệu , đem lại những kết quả
khơng ngờ .

K
M

F
E

C
B

Mơ hình song song thứ ba liên quan đến đ-ờng trung tuyến

:

Cho tam giác ABC có đ-ờng trung tuyến AD . Đ-ờng phân giác của các góc ADB

& ADC cắt các cạnh t-ơng ứng AB , AC t¹i E , F .

Chøng minh r»ng ; FE // BC

Bài toán áp dụng rất thó vÞ nh- sau :

Cho hình thang ABCD (AB // CD , CD < AB ) Hai đ-ờng chéo AC & BD cắt nhau

tại G . Gọi M là trung điểm của cạnh đáy AB . Tia phân giác của góc AMG cắt các

tia AC & AD tại I và E t-ơng ứng . Tia phân giác của góc BMG cắt các tia BD &

BC tại các điểm t-ơng ứng K & F . Chứng minh rằng :

1)

Chứng minh rằng các đ-ờng thẳng AD , BC và MG đồng quy tại một điểm

2)

Giả sử rằng AI = AE ; CMR khi đó ta có BK = BF .

</div>

Toán 8 Hình Học chuyên đề Dinh ly Ta let

Tỷ số của hai đoạn thẳng là tỷ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vị đo

Chú ý :

Tỷ lệ thức là đẳng thức của hai tỷ số .

NÕu

th×

Cho hai đ-ờng thẳng song song cố định a và b . Hai điểm A và B theo thứ tự di

động trên a và b . Tìm quỹ tích các điểm M sao cho

cho tr-íc .

Lêi gi¶i :

Phần thuận :

Phần đảo :

Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD . Đ-ờng thẳng đi qua giao điểm I

của hai đ-ờng chéo và song song với hai đáy cắt các cạnh bên AD , BC tại các

điểm t-ơng ứng E , F . Chứng minh rằng I là trung điểm của EF & E F là trung

bình điều hồ của hai đáy .

Lêi gi¶i

Nếu góc BAC của tam giác ABC và gãc B

<sub> A</sub>

<sub> C</sub>

<sub> cđa tam gi¸c A</sub>

<sub>B</sub>

<sub>C</sub>

<sub> b»ng nhau </sub>

hoặc bù nhau thì tỷ số diện tích của hai tam giác đó bằng tỷ số của tích các cạnh kề

góc đó :

<sub> . </sub>

Lêi gi¶i

Cho tam giác ABC cố định , các điểm D , E di động trên các cạnh t-ơng ứng AB ,

AC sao cho

. Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn thẳng DE .

Lời giải

Cho tr-ớc ba đoạn thẳng AB , m , n . Dựng các điểm chia trong và chia ngoài đoạn

thẳng AB theo tỷ sè

.

Lêi gi¶i

Nếu ba đ-ờng thẳng đồng quy cắt hai đ-ờng thẳng song thì chúng định ra trên

hai đ-ờng thẳng song song ấy các đoạn thẳng t-ơng ứng tỷ lệ

Lêi gi¶i

Cho ba đ-ờng thẳng , trong đó có hai đ-ờng thẳng cắt nhau , định ra trên hai

đ-ờng thẳng song song các đoạn thẳng t-ơng ứng tỷ lệ thì ba đ-ờng thẳng ấy đồng

quy .

Lời giải

Nếu hai đ-ờng thẳng phân biệt bị cắt bởi ba đ-ờng thẳng đồng quy tạo thành các

đoạn thẳng t-ơng ứng tỷ lệ thì chúng song song với nhau.

Lêi gi¶i

a/ Chứng minh rằng nếu hai cạnh bên của một hình thang cắt nhau thì đ-ờng thẳng

đi qua giao điểm đó và giao điểm hai đ-ờng chéo sẽ đi qua trung điểm của các đáy

của hình thang .

b/ Hãy nêu ra cách dựng chỉ một cái th-ớc (không dùng com pa) để dựng trung

điểm của đoạn thẳng AB cho tr-ớc khi cho một đ-ờng thẳng d song song với AB

Và dựng qua điểm M cho tr-ớc một đ-ờng thẳng song với đoạn thẳng AB cho tr-ớc

mà đã biết trung điểm I của AB .

Lời giải

Cho góc xOy và đ-ờng thẳng d khơng đi qua O nh-ng cắt cả hai cạnh của góc đó .

Đ-ờng thẳng di động a không đi qua O nh-ng cùng ph-ơng với d , cắt Ox tại A và

cắt Oy tại B . Tìm quỹ tich trung điểm của đoạn thẳng AB .

Lêi gi¶i

Chia đoạn thẳng AB cho tr-ớc thành ba đoạn thẳng tỷ lệ với các đoạn thẳng a , b ,

c cho tr-íc .

Lêi gi¶i

Cho ba điểm P , Q , R theo thứ tự trên các đ-ờng thẳng chứa các cạnh BC , CA ,

AB của tam giác ABC nh-ng không trùng đỉnh nào của tam giác đó . Điều kiện cần

và đủ để ba điểm P , Q , R thẳng hng l

Lời giải : (

Trên hai cạnh AB , AD của hình bình hành ABCD , lấy hai điểm t-ơng ứng M , N .

Gọi P là điểm sao cho AMPN là hình bình hành và Q là giao điểm của BN và MD .

Chøng minh r»ng ba ®iĨm C , P , Q thẳng hàng .

Cho ba điểm P , Q , R theo thứ tự trên các đ-ờng thẳng chứa các cạnh BC , CA ,

AB của tam giác ABC nh-ng không trùng đỉnh nào của tam giác đó . Điều kiện cần

và đủ để ba đ-ờng thẳng AP , BQ , CR đồng quy hoặc song song là

.

Chú ý :

Cho ba điểm P , Q , R theo thứ tự trên các đ-ờng thẳng chứa các cạnh BC , CA ,

AB của tam giác ABC nh-ng không trùng đỉnh nào của tam giác đó . Điều kiện cần

và đủ để ba đ-ờng thẳng AP , BQ , CR ng quy l

Chng minh rằng các đ-ờng thẳng đi qua đỉnh của tam giác và tiếp điểm của cạnh

đối diện với đ-ờng tròn nội tiếp thì đồng quy (Điểm đó đ-ợc gọi là

điểm Gergonnecủa tam giác)

Chng minh rằng các đ-ờng thẳng đi qua đỉnh của tam giác và tiếp điểm của cạnh