Toán 9 Chương 3 hệ phương trình 26 bài tập hệ phương trình va dap an

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (194.6 KB, 19 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Bài tập và đáp án 
Bài tập 1: Giải các hệ ph-ơng trình sau:

1



=
−
−
=
+
−
16
5
10
3
y
x
y
x

19



−
=
−
=
+

12
3
2
8
2
3
y
x
y
x 37



=
−
+
=
+
0
6
0
2
4
2
y
x
y
x
2




=
+
−
=
+
10
4
7
2
y
x
y
x

20



=
+
=
+
9
7
5
2
y
x

y
x 38



=
−
=
−
1
4
2
2
2
y
x
y
x
3



=
+
−
=
−
5
2
18

5
3
y
x
y
x

21



−
=
−
−
=
+
8
3
7
3
5
y
x
y
x 39



=

−
+
=
−
+
0
4
6
9
0
2
2
3
y
x
y
x
4



=
−
−
=
+
16
5
2
6

3
4
y
x
y
x

22



=
+
−
=
+
−
10
4
3
3
2
y
x
y
x 40



=

−
−
=
−
0
4
2
4
2
2
y
x
y
x
5



=
−
+
+
=
−
9
3
3
3
3
2

y
x
y
x
y
x
)
23



=
+
=
+
6
3
2
y
x
y
x 41



=
+
=
+
18

9
2
4
2
y
x
y
x
6



=
+
−
=
−
1
2
3
4
2
y
x
y
x

24




−
=
+
−
=
−
5
4
3
5
2
y
x
y
x 42



=
+
−
=
+
−
3
3
2
y
x

y
x
7



+
+
=
+
−
−
=
+
5
3
7
)
1
(
2
y
x
y
x
x
y
x 25




=
+
=
−
5
4
12
2
3
y
x
y
x 43



−
=
+
=
−
5
2
0
y
x
y
x
8




−
=
+
+
−
=
+
10
3
6
)
(
5
2
y
y
x
y
x
y
x 26



=
+
=

−
6
2
5
10
2
y
x
y
x 44



=
−
=
+
0
4
0
2
y
x
y
x
9



=

−
−
−
=
+
6
3
9
2
3
y
x
y
x 27



=
−
=
−
6
2
5
10
2
5
y
x
y

x 45



=
+
=
+
−
3
2
3
y
x
y
x
10



−
=
−
=
+
1
3
2
7
5

2
y
x
y
x 28



−
=
−
=
+
12
3
4
8
2
3
y
x
y
x 46



=
−
=
−

9
2
3
2
y
x
y
x
11



−
=
+
−
=
+
−
1
2
10
3
y
x
y
x 29




−
−
=
+
−
−
=
+
12
2
4
20
3
2
y
x
y
x
x
y
x 47



=
+
=
+
3
2

6
2
3
y
x
y
x
12



−
=
−
−
=
+
3
2
3
2
3
2
y
x
y
x 30




=
−
=
−
0
2
10
1
5
y
x
y
x 48



=
−
=
−
12
6
4
6
3
2
y
x
y
x

13



=
+
=
−
7
3
3
2
y
x
y
x 31



−
+
−
=
+
−
=
+
5
3
)

(
5
2
3
y
x
y
x
x
y
x 49



=
−
=
+
4
3
2
6
2
3
y
x
y
x
14




−
=
+
−
=
+
5
2
7
2
y
x
y
x 32



=
−
=
−
2
10
4
1
5
2
y

x
y
x 50



=
−
−
=
+
1
2
2
2
y
x
y
x
15



=
+
−
=
−
1
2

3
5
2
y
x
y
x 33



=
−
=
+
1
5
2
y
x
y
x 51



=
−
=
+
15
3

5
2
y
x
y
x
16



−
=
+
=
−
1
3
4
12
2
3
y
x
y
x 34



+
+

−
=
+
−
−
=
+
−
8
)
(
3
5
)
1
(
4
2
y
x
y
x
x
y
x 52



=
+

=
+
12
2
5
8
2
3
y
x
y
x
17



=
+
=
+
−
22
2
3
22
3
5
y
x
y

x 35



−
=
−
−
=
+
8
2
3
1
y
x
y
x 53



=
+
=
+
1
3
2
5
3

2
y
x
y
x
18



=
+
=
+
5
2
0
3
y
x
y
x 36



−
=
−
=
+
4

2
3
0
y
x
y
x 54

=

=

10
6
4
5
3
2
y
x
y
x

Bài tập 2: Giải các hệ ph-ơng trình sau:

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

1







=
+
=
−
5
4
2
1
1
1
y
x
y
x
5






=
−
−
+
=

−
+
+
1
3
2
3
1
1
y
x
y
x
y
x
y
x
9






=
−
+
=
−
−

1
2
1
3
2
2
2
1
y
x
y
x
2






=
+
+
=
+
+
1
5
1
2
1

3
1
2
y
x
y
x
6






=
+
−
−
=
+
+
−
1
,
0
9
4
1
,
1

6
2
y
x
y
x
y
x
y
x
10






=
+
−
+
=
+
+
+
3
1
2
5
3

y
x
y
x
x
y
x
y
x
x
3






=
−
−
−
=
−
+
−
1
1
3
2
2

2
1
1
2
1
y
x
y
x
7






−
=
+
+
+
=
+
+
+
1
1
3
1
3

1
1
2
y
y
x
x
y
y
x
x 11






=
+
−
−
−
=
+
+
−
−
2
2
10

4
2
2
2
3
y
x
y
x
y
x
y
x
4






=
−
−
−
=
−
+
−
1
1

3
2
2
2
1
2
2
2
y
x
y
x
8






=
+
=
+
15
2
5
1
6
1
4

3
1
1
y
x
y
x
12






=
−
−
=
+
−
2
12
1
12
y
x
x
x
y
x

y
x

Bµi 3: Cho hệ phơng trình:

1
2
mx y
x my
+ =

+ =

a) Giải hệ phơng trình khi m = 2

1 2 (*)

= −


 − = −



y mx

m x m

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

⇔

2 2

1 2

1
2
1

m m m

y

m
m
x

m

 − − +

 −



−
 =

 −

 ⇔

1 2
1

2
1

m
y

m
m
x

m
−
 =
 −

 −

 =

 −

 (m ≠ ±1)

VËy hÖ phơng trình có 1 nghiệm duy nhất (x; y ) = 2 2

2 1 2

;

1 1

m m

− −

 

 − − 

  với m ≠ ±1
- Xét m = 1 => Phơng trình (*) <=> 0x = 1, phơng trình này vơ nghiệm nên
hệ đã cho vô nghiệm

- Xét m = - 1 => Phơng trình (*) <=> 0x = 3, phơng trình này vơ nghiệm
nên hệ đã cho vơ nghiệm

c) §Ĩ hệ phơng trình có nghiệm (x; y) thoả mÃn x - y = 1

⇔ 2 2

2 1 2

1 1

m m

− − − =

− − ⇔

(

)

2− − −m 1 2m = −1 m

⇔ m2+ =m 0 ⇔ m m.

(

+ =1

)

⇔

0
1 0
m
m

=


 + =

 ⇔

0
1
m
m

=

 = −


m = 0 (nhËn), m = - 1 (loại)

Vậy với m = 0 thì hpt trên có nghiệm thoả mÃn điều kiện: x - y = 1
d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.

Xét hệ phơng trình

1
2
mx y
x my

+ =

( )

1
2

Từ phơng trình

( )

1 ⇒ mx= −1 y ⇒

1 y

m
x

−
=

thay

1 y

m
x

−
=

vµo phơng trình

( )

2 ta có phơng trình
1

. 2

y

x y

x

−

 

+  =

 

⇔

2
y y
x

x
−

+ =

⇔ x2+ −y y2 =2x ⇔ x2+ −y y2−2x=0
VËy

2 2

2 0

x + −y y − x= là đẳng thức liên hệ giữa x và y khơng phụ thuộc vào m.

Bµi 4: Cho hệ phơng trình:

(

)

(

)

1 2

m x y m

x m y

− + =




+ − =

 cã nghiÖm duy nhÊt (x ; y) 
a) Giải hệ phơng trình khi m = 3

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.

c) Giải và biện luận hệ theo m, trong trờng hợp hệ có nghiệm duy nhất
tìm giá trị của m thoả mÃn: 2x2 - 7y = 1

d) Tìm các giá trị của m để biu thc

2x 3y
x y

+ nhận giá trị nguyên. 
Giải:

a) Thay m = 3 vào hệ phơng trình

(

)

(

)

1 2

m x y m

x m y

− + =




+ − =

 ta cã hÖ phơng trình trở
thành

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

(

)

(

)

3 1 3

3 1 2
x y

x y

− + =




+ − =

 ⇔

2 3

2 2
x y
x y

+ =


 + =

 ⇔

4 2 6
2 2
x y
x y

+ =


−  + =



⇔

3 4
2 2
x

x y
=


 + =

 ⇔

4
3
4

2 2
3

x

y
 =



 + =

 ⇔

4
3

4
2 2

3
x

y
 =



 = −

 ⇔
4
3
2
2

3
x

y
 =


 =

 ⇔
4

3
1
3
x

y
 =


 =


VËy víi m = 3 thì hệ phơng trình có 1 nghiệm duy nhất ( x ; y) =
4 1

;
3 3



b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.

Xét hệ phơng tr×nh

(

)

(

)

1 2

m x y m

x m y

− + =




+ − =



( )

1
2

Tõ phơng trình

( )

2 x+my− =y 2 ⇒ my= − +2 x y ⇒

2 x y
m

y
− +
=

thay

2 x y
m

y
+
=

vào phơng trình

( )

1 ta có phơng trình:

2 2

x y x y

x y

y y

 − +  − +

− + =

 

  ⇔

2 2

x y y x y

x y

y y

 − + −  − +
+ =

 

 

⇔

2 2

x x y

x y

y y

 −  − +

+ =

 

  ⇔

(

)

(

)(

)

(

)

. 2 1 2 (*)

1 2

− = + −




+ − =



m m x m m

x m y

⇔

(

m
m

m y

m
+
 =


 −

 − =

 ⇔

1
m

x

m
y

m
+
 =


 =


VËy hÖ phơng trình có 1 nghiệm duy nhất (x; y ) =

1 1
;

m
m m

 

 

  (m ≠0,m ≠2)
- Với m = 0 thì phơng trình (*) trở thành 0x = -2 , phơng trình này vơ
nghiệm nên hệ đã cho vô nghiệm

- Với m = 2 thì phơng trình (*) trở thành 0x = 0 , phơng trình này vơ số
nghiệm nên hệ đã cho vô số nghiệm, nghiệm tổng quát của hệ l

(xR; y = 2 x)

+) Để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mÃn 2x2 - 7y = 1

⇔

1 1

2 m 7. 1

m m

  −  =

   

    ⇔

2
2

2 4 2 7

m m

+ + − =

⇔ 2m2+4m+ −2 7m=m2
⇔ m2−3m+ =2 0 ⇔

(

m−2 .

) (

m− =1

)

⇔

2 0
1 0
m
m

− =


 − =

 ⇔
=

 =


2 (lo¹ i)
1
m

m <=> m = 1

VËy víi m = 1 thì hệ phơng trình trên có nghiệm thoả mÃn ®iỊu kiƯn:
2x2 - 7y = 1

d) Thay

m
x

m

+
=

;
1

y
m

vµo biĨu thøc A =

2x 3y
x y

−

+ ta đợc biểu thức

A =

1 1

2. 3.

1 1
m

m m

m

m m

+
  −

 

 

+ +

2 2 3

1 1
m

m
m

m
+ −

+ +

2 1 2

m m

− +

2 1

m
m

−

+ =

(

)

2 2 5

2
m

m
+ −

(

)

2 2 5

2 2

m

m m

+
−

+ + =

5
2

m

−
+

§Ĩ biĨu thøc A =

2x 3y
x y

+ nhận giá trị nguyên

5
2

m

+ nhận giá trị nguyên
5

m+ nhận giá trị nguyên
5M

(

m+2

)

(m+2) là ớc của 5. Mà Ư(5) =

{

±1; 5

}

⇔

2 1
2 1
2 5
2 5
m

m
m
m

+ =


 + = −


 + =
 + = −

 ⇔

1 2
1 2
5 2

5 2
m

m
m
m

= −


 = − −


 = −
 = − −

 ⇔

1
3
3

7
m
m
m
m

= −

 = −

 =
 =

Kết hợp với điều kiện m0; m Vậy với các giá trị 2 m

{

7; 3; 1;3

}

thì

giá trị của biểu thức

2x 3y
x y

+ nhận giá trị nguyên.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Bµi 5 Cho hƯ pt:

+ =


 − =



mx y 2

2x y 1 . Gi¶i vµ biƯn ln hƯ theo m.

Bµi lµm:

2x y 1

mx y 2

− =


 + =



⇔

(2 m)x 3 (1)

2x y 1 (2)

+ =

+ Xét phơng trình (1) (2 + m)x = 3

- NÕu 2 + m = 0

⇔

m = - 2 thì phơng trình (1) có dạng 0x = 3 (3)
Do phơng trình (3) vô nghiƯm

⇒

hƯ v« nghiƯm.

- NÕu 2 + m

- 2.

Thì phơng trình (1) cã nghiÖm duy nhÊt x =

3

2 +

m

+ Thay x =

3

2 +

m

vào phơng trình (2) ta có:y = 2x 1 =

6

2 +

m

- 1 =

4 m

2 m

−

+

VËy víi m

≠

- 2 th× hƯ cã nghiƯm duy nhÊt

3 x

2 m

4 m

y

2 m

 =



+



−

 =



+

Tãm l¹i:

+) Víi m = - 2 thì hệ phơng trình vô nghiệm

+) Víi m

≠

- 2 th× hƯ cã nghiƯm duy nhÊt

3
x

2 m

4 m

2 m

 =

 +



−
 =

 + .

Bài 6 Tìm giá trị của m và p để hệ phơng trình

x

7 y

mx

2y

p

= −





=

+



a) Cã mét nghiÖm duy nhÊt
b) Cã vô số nghiệm

c) Vô nghiệm
Giải:

Thay x = 7 y vào phơng trình thứ hai, ta cã:

m(7 - y) = 2y + p <=> (m + 2)y = 7m - p (1)

a) Nếu m + 2 ≠0 <=> m ≠ −2 => Phơng trình (1) có nghiệm duy nhất nên hệ
đã cho có nghiệm duy nhất.

Tõ (1) => y =

7m p

m 2

−

+ , thay vµo x = 7 – y => x = 7 -

7m p

m 2

−

+ =

14 p

m 2

+
+

Vậy khi m 2 thì hệ phơng tr×nh cã nghiƯm duy nhÊt (

14 p

m 2

+ ;

7m p

m 2

−

+ )

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

HƯ v« sè nghiƯm khi: -14 – p = 0 <=> p = - 14
VËy khi m = - 2 vµ p = - 14 thì hệ vô số nghiệm

c) Nếu m = - 2 và p 14 thì phơng trình(1) vô nghiệm nên hệ vô nghiệm
*) Cách kh¸c:

Hệ phơng trình đã cho <=>

mx

2y

p

x

y

7 −

=



 + =



a) HÖ cã nghiÖm duy nhÊt <=>

m

2 m

2

1 −

≠

<=>

≠ −

b) HÖ v« sè nghiƯm <=>

p

m

2

1

7 −

=

=> m = - 2, p = - 14

c) HÖ v« nghiƯm <=>

p

m

2

1

7 −

=

≠

=> m = - 2, p

14

Bài 7 : Phơng pháp:

Cho hệ phơng trình :

+ =

+ ′ = ′



ax by c (1)

a x b y c (2)

Tìm giá trị tham số để hệ phơng trình có nghiệm

x

y

=





=



C¸ch 1:

Thay x = x0; y = y0 lần lợt vào (1) và giải.

Thay x = x0; y = y0 lần lợt vào (2) và giải.

Cách 2: Thay x = x0; y = y0 vào cả hai phơng trình và giải hệ phơng trình

chứa ẩn là tham số

Bài8 : Cho hệ phơng trình

=

+

−

=

−



3x

2y

7 (1)

(5n 1)x

(n 2)y

n

4n 3

(2)

Tìm n để hệ có nghiệm (x; y) = (1; - 2)
Giải: Thay (x; y) = (2; 1) vào (1) ta có:

3 – 2.(- 2) = 7

⇔

3 + 4 = 7 (luôn đúng với mọi n)
Vậy (2; 1) là nghiệm của (1).

Thay (x; y) = (1; -2) vµo (2) ta cã:
(5n + 1) + 2.(n - 2) = n2 – 4n – 3

⇔

7n – 3 = n2 – 4n – 3

⇔

n(n –11) = 0

⇔

=

 =


n 0

n 11

Vậy với n = 0 hoặc n = 11 thì hệ đã cho có nghiệm (x; y) = (1; - 2)

Bµi 9 Cho hệ phơng trình

2
1

5m(m 1)x my (1 2m) (1)

4mx 2y m 3m 6 (2)

 − + = −




 + = + +



+ − =



 + + =



2mx (n 2)y 9

(m 3)x 2ny 5

Tìm m; n để hệ có nghiệm (x = 3; y = - 1)

Gi¶i: Thay x = 3; y = - 1 vµo hƯ pt ta cã:

(m 3).3 2n.( 1) 5

6m (n 2).( 1) 9

+ + − =



 + − − =



⇔

3m 2n 4

12m 2n 14

− = −



 − =



⇔

m 2
n 5

=

 =


VËy víi m = 2 và n = 5 thì hệ có nghiệm (x = 3; y = - 1).

Bµi 11 Cho hệ phơng trình

+ =

+ + = − +



3x 2y 8 (1)

3mx (m 5)y (m 1)(m 1) (2) (I) 
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn :

4x – 2y = - 6 (3)
Gi¶i:

Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất:

3(m + 5) + 6m

≠

⇔

≠

5

3 −

Do (x; y) là nghiệm của hệ phơng trình (I) và thoả mÃn (3)

⇒

(x; y) lµ nghiƯm cđa (1), (2), (3)

Kết hợp (1) và (3) ta có:

3x 2y 8
4x 2y 6
+ = −


 − = −



⇔

x 2
y 1
= −

 = −


Thay x = - 2, y = -1 vào phơng trình (2) ta đợc:
6m – (m +5) = m2 - 1

⇔

m2 – 5m + 4 = 0

⇔

m 1

m 4

=

 =

 (tháa m·n m

≠

5

3 −

)

Vậy m = 1 hoặc m = 4 thì hệ (I) cã nghiƯm tho¶ m·n 4x – 2y = - 6

Bµi 12 Cho hệ phơng trình

mx y 5 (1)
2mx 3y 6 (2)

+ =


 + =

 (I)

Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn:

(2m – 1)x + (m + 1)y = m (3)
Gi¶i:

Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất: m.3

≠

2.m

⇒

≠

0.
Từ (1)

⇒

y = 5 – mx. Thay vào (2) ta có:

2mx + 3(5 - mx) = 6

⇔

x =

9

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Thay x =

9 m

vµo y = 5 – mx ta cã: y = 5 -

9m

m

= - 4

VËy víi m

≠

0 hƯ (I) cã nghiÖm x =

9 m

; y = - 4

Thay x =

9 m

; y = - 4 vào phơng trình (3) ta đợc:

m

1

9 m

5 =





 =



(tho¶ m·n m

≠

VËy víi m = 1 hoặc m =

9

5

thì hệ (I) có nghiệm duy nhÊt tho¶ m·n (2m –
1)x + (m + 1)y = m

Bµi 13 Cho hƯ pt:

+ + =



 − =


(m 2)x 2y 5

mx y 1

Tìm m

∈

Z để hệ có nghiệm duy nhất là các số nguyên 
Giải:

Từ (2) ta có: y = mx – 1. Thay vào (1) ta đợc:
(m + 2)x + 2(mx - 1) = 5

⇔

3mx + 2x = 7

⇔

x.(3m + 2) = 7 (m

≠

2

3 −

)

⇔

x = +

3m 2.

Thay vµo y = mx – 1

⇒

y = +

3m 2.m – 1

⇒

y =
−
+
4m 2
3m 2

§Ĩ x

∈

⇔

+
7

3m 2

∈

⇔

3m + 2

∈

¦(7) =

{

7; 7;1; 1− −

}

+) 3m + 2 = - 7

⇔

m = - 3

+) 3m + 2 = 7

⇔

m =

5

3

∉Z (lo¹i)

+) 3m + 2 = 1

⇔

m =

1

3 −

∉ (lo¹i)
+) 3m + 2 = -1

⇔

m = - 1

Thay m = - 3 vµo y =
−
+
4m 2

3m 2

⇒

y = 2 (t/m)

Thay m = - 1 vµo y =
−
+
4m 2

3m 2

⇒

y = 6 (t/m)

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Kết luận: m

∈

Z để hệ có nghiệm nguyên là m = -3 hoặc m = -1

Bµi 14 Cho hệ phơng trình :

(m 3)x y 2
mx 2y 8

− + =


 + =



Tìm m để hệ có nghiệm ngun.
Giải:

Tõ (1) ta cã y = 2 – (m – 3).x

⇔

y = 2 – mx + 3x

Thay vµo (2) ta cã: mx + 2.(2 – mx + 3x) = 8

⇔

- mx + 6x = 4

⇔

x.(6- m) = 4 (m

≠

⇔

x =

4 6 m

−

. Thay vµo y = 2 – (m – 3).x ta cã: y =

24 6m
6 m

−
−

§Ĩ x

∈

⇔

m = 7
+) 6 – m = 2

⇔

m = 4
+) 6 – m = - 2

⇔

Thay m = 10 vµo y =

24 6m

6 m

−

⇒

y = 9 (t/m)

KÕt luận: Để hệ có nghiệm nguyên thì m

{

5;7;4;8;2;10

}

Bài 15 Cho hệ phơng trình :

mx y m

2x my m 2m 2

 − =




+ = + +



a) Chứng minh rằng hệ phơng trình ln có nghiệm duy nhất với mọi m

b) Tìm m để biểu thức: x2 + 3y + 4 nhận GTNN. Tìm giá trị đó.

Gi¶i:

a) XÐt hai trêng hỵp

Trêng hỵp 1: m = 0 => HƯ phơng trình có nghiệm duy nhất là
(x ; y) = (1 ; 0)

Trêng hỵp 2: m ≠ 0, hệ phơng trình có nghiệm duy nhất

(1

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

<=>

a b

a ' ≠ b ' hay ab '≠a ' b <=> m.m ≠ −( 1).2 <=> m2 + 2

≠

0

Do m2

≥

0

víi mäi m

⇒

m2 + 2 > 0 víi mäi m.

Hay m2 + 2

≠

0 víi mäi m

VËy hệ phơng trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi m
b) Rót y tõ (1) ta cã: y = mx – m2 (3)

Thế vào (2) ta đợc

x = m + 1

Thay vµo (3)

⇒

y = m.(m + 1) – m2 = m

Thay x = m + 1; y = m vào x2 + 3y + 4 ta đợc:

x2 + 3y + 4 = (m + 1)2 + 3m + 4 = m2 + 5m + 5

= (m2 + 2.

5 25 5

m )

2 + 4 −4

5 5 5

(m )

2 4 4

−

+ − ≥

5 (m

)

0

2 +

≥

VËy Min(x2 + 3y + 4) =

5
4
−

khi m =
5
2

Bài 16 Cho hệ phơng trình :

3mx y 6m m 2 (1)

5x my m 12m (2)

 − = − −




+ = +



Tìm m để biểu thức: A = 2y2 – x2 nhận GTLN. Tìm giá trị đó

Gi¶i:

Tõ (1) ta cã: y = 3mx - 6m2 + m + 2. Thay vµo (2) ta cã:

5x + m.( 3mx - 6m2 + m + 2) = m2 +12m

⇔

x.(5 + 3m2) = 6m3 + 10m (5 + 3m2

≠

0 víi mäi m)

⇔

6m 10m

x 2m

3m 5

= =

Thay x = 2m vào y = 3mx - 6m2 + m + 2 ta đợc y = m + 2

Thay x = 2m ; y = m + 2 vào A ta đợc:
A = 2(m + 2)2 – (2m)2 = -2(m2 – 4m – 4)

A = - 2(m2 – 4m + 4 – 8)

= - 2(m2 – 4m + 4) +16

= −2(m−2)2 +16≤16 Do −2(m 2)− 2 ≤0

( )

∀m
VËy MaxA = 16 khi m = 2

Bµi 17 BiÕt cặp số (x ; y) là nghiệm của hệ phơng tr×nh

2 2 2

x y m

x y m 6

+ =




+ = − +



Hãy tìm giá trị của tham số m để biểu thức P = xy + 2(x + y) đạt giá trị
nhỏ nhất.

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Hớng dẫn: Biến đổi hệ phơng trình trên trở thành:

x y m

xy m 3

+ =

Hệ phơng trình có nghiệm

<=>

2 2 2

m ≥4(m −3)<=>3m ≤12<=> − ≤2 m ≤2

Khi đó P =

(m+1) − ≥ −4 4

VËy MinP = - 4 <=> m = - 1 (tháa m·n 2 m 2)
Bài 18 Giả sử (x ; y) là nghiệm của hệ phơng trình

2 2 2

x y 2a 1

x y a 2a 3

+ = −




+ = + −



Xác định giá trị của tham số a để hệ thỏa mãn tích xy đạt giá trị nhỏ
nhất; lớn nhất ?

Hớng dẫn: Biến đổi hệ phơng trình trên trở thành:

x y 2a 1

3a 6a 4

+ =

+

Hệ phơng trình có nghiệm <=>

(

)

2 3a2 6a 4 2 2 2

2a 1 4. 2a 8a 7 0 2 a 2

2 2 2

− +

− ≥ <=> − + ≤ <=> − ≤ ≤ +

Ta cã xy =

3 (a 1) 1

2 − + 2

Víi

(

)

2 2

2 2 2 3

a 2 a 1 1 a 1 1 2

2 2 2 2

 

≥ − => − ≥ − => − ≥ −  = −

 

=> xy

(

)

3 2

3 3 2 1 11

2 2 2 4 2

≥ − + = −

Víi

(

)

2 2

2 2 2 3

a 2 a 1 1 a 1 1 2

2 2 2 2

 

≤ + => − ≤ + => − ≤ +  = +

 

=> xy

(

)

3 2

3 3 2 1 11

2 2 2 4 2

≤ + + = +

Do đó

3 2 3 2

11 xy 11

4 − 2 ≤ ≤ 4 + 2

VËy Min(xy) =

3 2

4 − 2 <=> a =

2
2

−

vµ Max(xy) =

3 2

4 + 2 <=> a =

2
2

2
+

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

(m 1)x y m 1

x (m 1)y 2

+ − = +



 + − =

 có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện x + y đạt giá trị
nhỏ nhất

Hớng dẫn: Tìm đợc với m ≠0 thì hệ có nghiệm duy nhất là

2 2

m 1 m 1

x ; y

m m

 + + 

= =

 

 

Ta cã x + y =

2 2

2 7 7

m 1 m 1 ( 1 )

m 2 2 8 8

m m

+ + + = + + ≥

Min (x + y) =

7 1 0

8 <=> m + 2 2 =

<=> m = - 4 (tháa m·n m ≠0)
C¸ch kh¸c:

2
2

m m 2

x y S (1 S)m m 2 0 (* )

+ +

+ = = <=> − + + =

Ta cần tìm S để phơng trình (*) có nghiệm m
- Xét hai trờng hợp

*) Trêng hỵp 1: S = 1 => m = - 2 (tháa m·n m ≠0)

*) Trờng hợp 2: S ≠1, để phơng trình có nghiệm thì ∆ ≥0

<=>

7
S

8
≥

VËy Min S =

8 khi đó m =

b
2a
−

1 1 4

2(1 S) 2(1 7 )

8
−

− = = −

− −

Min (x + y) =

8 <=> m = - 4

Bµi 20 Cho hệ phơng trình:

1
2
mx y
x my

+ =

a) Giải hệ phơng trình khi m = 2

b) Giải hệ phơng trình theo tham số m

c) Tỡm m để hệ phơng trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x - y = 1
d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.

Giải:

a) Thay m = 2 vào hệ phơng trình

1
2
mx y
x my

+ =


 + =

 ta có hệ phơng trình trở
thành

2 1

2 2
x y

x y

+ =


 + =

 ⇔

(

)

1 2

2. 1 2 2

y x

x x

= −


 + − =

 ⇔

1 2
2 4 2

y x

x x

= −


 + − =



⇔

1 2
3 0

y x

x
= −

− =

 ⇔

1 2.0
0
y
x

= −

 =

 ⇔
1
0
y
x

=

=

Vậy với m = 2 thì hệ phơng trình có một nghiệm duy nhất là
( x ; y) = ( 0 ; 1)

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

b) Giải hệ phơng trình theo tham số m

Ta có hệ phơng trình

1
2
mx y
x my

+ =

 ⇔

(

)

. 1 2

y mx
x m mx

= −


 + − =



⇔ 2

y mx

x m m x
= −



+ − =

 ⇔

(

)

1 2 (*)

= −


 − = −



y mx

m x m

- Trêng hỵp 1: m2 = 1 <=> m = 1

+) Nếu m = 1, thay vào hệ phơng tr×nh ta cã:

x y 1

x y 2

+ =


 + =

hệ phơng trình

này vô nghiệm vì

1 1 1

1 = 1 ≠ 2

+) NÕu m = -1, thay vào hệ phơng trình ta có:

x y 1

x y 2

− + =


 − =


<=>

x y 1

x y 2

− = −


 − =

 hƯ nµy cịng vô nghiệm vì

1

2 =

- Trêng hỵp 2: m2

≠

1 <=> m

≠

1

Hệ phơng trình

(

)

1 2 (*)

= −



y mx

m x m ⇔ 2

1
2
1

y mx
m
x

m

= −



−
 =

 −

 ⇔

1 .

1
2
1

m

y m

m
m
x

m

  − 

= −  

  − 



−
 =

 −



⇔

2
2

2
1

1
2
1

m m
y

m
m
x

m
 = − −

 −



−

 =

 −

 ⇔

2 2

1 2

1
2
1

m m m

y

m
m
x

m

 = − − +

 −



−
 =

 −

 ⇔

1 2
1

2
1

m
y

m
m
x

m
−

 =
 −

 −

 =

 −



Vậy với m

1 thì hệ phơng trình có mét nghiÖm duy nhÊt

(x; y ) = 2 2

2 1 2

;

1 1

m m

− −

 

 −

Tóm lại:

Nếu m = 1 thì hệ phơng trình vô nghiệm

Nếu m

1 thì hệ phơng trình có một nghiệm duy nhất

(x; y ) = 2 2

2 1 2

;

1 1

m m

−

c) Để hệ phơng trình cã nghiƯm (x; y) tho¶ m·n x - y = 1

⇔ 2 2

2 1 2

1 1

m m

− − − =

− − ⇔ 2− − −m

(

1 2m

)

= −1 m2 ⇔ 2

m + =m ⇔ m m.

(

+ =1

)

⇔

0
1 0
m
m

=


 + =

 ⇔

0
1
=

=

m
m

Với m = - 1 (loại) và m = 0 (nhËn)

VËy víi m = 0 th× hƯ phơng trình trên có nghiệm thoả mÃn điều kiện:
x - y = 1

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

XÐt hệ phơng trình

1
2
mx y
x my

+ =

( )

1
2

Từ phơng trình

( )

1 ⇒ mx= −1 y ⇒

1 y

m
x

−
=

Thay

1 y

m
x

−
=

vµo phơng trình

( )

2 ta có phơng trình
1

. 2

y

x y

x

−

 

+  =

  ⇔

2
y y
x

x
−

+ =

⇔ x2+ −y y2 =2x
⇔ 2 2

2 0

x + −y y − x= , đây là đẳng thức liên hệ giữa x và y khơng phụ thuộc 
vào m.

Bµi 21 Cho hƯ phơng trình:

(

)

(

)

1 2

m x y m

x m y

− + =




+ − =

 cã nghiÖm duy nhất (x ; y)

a) Giải hệ phơng trình khi m = 3

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.

c) Giải và biện luận hệ theo m, trong trờng hợp hệ có nghiệm duy nhất
tìm giá trị của m tho¶ m·n: 2x2 - 7y = 1

d) Tìm các giá trị của m để biểu thức

2x 3y
x y

+ nhận giá trị nguyên. 
(Đề thi tuyển sinh THPT Năm học : 2004 2005)

Giải:

a) Thay m = 3 vào hệ phơng trình

(

)

(

)

1 2

m x y m

x m y

− + =




+ − =

ta có hệ phơng trình trë
thµnh

(

)

(

)

3 1 3

3 1 2
x y

x y

− + =




+ − =

 ⇔

2 3

2 2
x y
x y

+ =


 + =

 ⇔

4 2 6
2 2
x y
x y

+ =


−  + =

 ⇔

3 4
2 2
x

x y
=


 + =



⇔
4
3
4

2 2
3

x

y
 =



 + =

 ⇔

4
3

4
2 2

3
x

y
 =



 = −

 ⇔
4
3
2
2

3
x

y
 =


 =

 ⇔
4

3
1
3
x

y
 =


 =

VËy víi m = 3 thì hệ phơng trình có một nghiệm duy nhÊt

( x ; y) =

4 1
;
3 3

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.

Xét hệ phơng trình

(

)

(

x y y x y

x y

y y

 − + −  − +
+ =

 

 

⇔

2 2

x x y

x y

y y

 −  − +

+ =

 

)

(

)(

)

(

)

. 2 1 2 (*)

1 2

− = + −




+ − =



m m x m m

x m y

- XÐt hai trêng hỵp:

*) Trờng hợp 1: m 0 và m 2 , hệ phơng trình trên

(

m
x

m
m

m y

m
+
 =


 −

 − =



m
x

m
y

m
+
=

=

Vậy hệ phơng trình có 1 nghiÖm duy nhÊt (x; y ) =

1 1
;

m
m m

 

 

  (m ≠0,m ≠2)
*) Trêng hỵp 2: m = 0 hc m = 2

- Với m = 0 thì phơng trình (*) trở thành 0x = -2 , phơng trình này vơ
nghiệm nên hệ đã cho vô nghiệm

- Với m = 2 thì phơng trình (*) trở thành 0x = 0 , phơng trình này vơ số
nghiệm nên hệ đã cho vô số nghiệm, nghiệm tổng quát của hệ là:

(xR; y = 2 x )

+) Để hệ phơng trình cã nghiƯm duy nhÊt (x; y) tho¶ m·n 2x2 - 7y = 1

⇔

1 1

2 m 7. 1

m m

  −  =

   

    ⇔

2 4 2 7

m m

+ +

− =

⇔ 2m2+4m+ −2 7m=m2
⇔ m2−3m+ =2 0 ⇔

(

m−2 .

) (

m− =1

)

⇔

2 0
1 0
m
m

− =


 − =

 ⇔

=

 =


2 (lo¹ i)
1
m

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Vậy với m = 1 thì hệ phơng trình trên có nghiệm thoả mÃn điều kiện:
2x2 - 7y = 1

d) Thay

m
x

m

+
=

;
1

y
m

vµo biÓu thøc A =

2x 3y
x y

−

+ ta đợc biểu thức

A =

1 1

2. 3.

1 1
m

m m

m

m m

+
  −

 

 

+ +

2 2 3

1 1
m

m
m

m
+ −

+ +

2 1 2

m m

− +

=
2 1

m
m

−

+ =

(

)

2 2 5

2
m

m
+ −

(

)

2 2 5

2 2

m

m m

+
−

+ + =

5
2

m

−
+

§Ĩ biĨu thøc A =

2x 3y
x y

−

+ nhận giá trị nguyên 2m5+2 nhận giá trị

nguyên
5

m+ nhận giá trị nguyên

(

m+2

)

⇔ (m+2) lµ íc cđa 5. Mà Ư(5) =

{

1; 5

}

2 1
2 1
2 5
2 5
m

m
m
m

+ =


 + = −


 + =

 + = −

 ⇔

1 2
1 2
5 2

5 2
m

m
m
m

= −


 = − −


 = −
 = − −

 ⇔

1
3
3

7
m
m
m
m

= −

 = −

 =
 = −



Kết hợp với điều kiện m≠0; m≠ ta thấy các giá trị m trên đều thỏa mãn 2

VËy víi m ∈ − −

{

7; 3; 1;3

}

thì giá trị của biểu thức

2x 3y
x y

+ nhận giá trị 
nguyên.

Bài 22 Cho hệ phơng trình :

+ =



− + =



2mx 3y 5

x 3my 4

a) Chøng minh r»ng hệ luôn có nghiệm duy nhất

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m
Giải:

a) Xét hai trờng hợp

Trờng hợp 1: m = 0 => Hệ phơng trình có nghiệm duy nhất lµ

(x ; y) = (- 4 ;

5
3 )

Trờng hợp 2: m

0, hệ phơng trình có nghiÖm duy nhÊt

<=>

a b

a ' ≠ b ' hay ab '≠a ' b

- §Ĩ hƯ cã nghiƯm duy nhÊt ta xÐt hiÖu:
2m.3m – 3.(-1) = 6m2 + 3 > 0 víi mäi m

- VËy 6m2 + 3

≠

0 víi mäi m. Hay hƯ lu«n cã nghiƯm duy nhÊt víi mäi m

b) Rút m từ (1) ta đợc m =

5 3y
2x
−

thay vµo (2) ta cã:

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

-x + 3.

5 3y
2x
−

= 4

⇔

2x2 + 8x -15y + 9y2 = 0.

Đây chính là hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m.

Bài 23 Cho hệ phơng trình :

3mx y 3m 2m 1

x my 2m

 − = − +




+ =



T×m hƯ thøc liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m.
Híng dÉn :

3mx y 3m 2m 1

x my 2m

 − = − +




+ =



⇔

6mx 2y 6m 4m 2

3x 3my 6m

 − = − +




+ =



⇔

6mx 3x 2y 3my 4m 2

x my 2m

− − − = − +




+ =

 <=>

− + = + +




+ =

 2

6mx 3my 4m 3x 2y 2

x my 2m

Rút m từ (1) ta đợc:

3x

2y

2 m

6x

3y

4 +

=

−

+

. Thay vµo (2) ta cã:

3x 2y 2 3x 2y 2

x .y 2.( )

6x 3y 4 6x 3y 4

+ + + +

+ =

+ + . Đây chính là hệ thức liên hệ giữa x, y

không phụ thuộc vào m.

Bµi 24 Cho hệ phương trình ẩn x, y sau:

2

1 mx

y

m

x

my

m

+ =



 + = +



a. Xác định giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất

b.Giả sử (x ; y) là nghiệm duy nhất của hệ. Tìm hệ thức liên hệ giữa
x, y độc lập với m.

c. Tìm m ∈ Z để x, y ∈ Z

d. Chứng tỏ (x ; y) luôn nằm trên một đường thẳng cố định (với (x ; y)
là nghiệm của hệ phương trình)

Hướng dẫn:

2 2

2 (1)

1 (2)

( 1) 2 1 (3)

+ =



 + = +



→ − = − −

mx y m

x my m

m x m m

Với m

≠

± 1 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất

b/ Rút m từ phương trình thứ nhất và thế vào phương trình thứ hai ta
được hệ thức

y(y – 1) = (x – 1)(x – 2), đó là hệ thức độc lập với m

2 1 1

2 (4)

1 1

m
x

m m

= = −

+ +

1 (5)

1 1

m
y

m m

= = −

+ + . Vì x, y ∈ Z
1

1 z

m

→ ∈

m = 0 ⇒ (x = 1; y = 0)

m = - 2 ⇒ (x = 3; y = 2)

d/ Từ (4) và (5) suy ra x – y = 1 ⇒ y = x – 1

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Bài 25 : Cho hai hệ phơng trình

x y a ax 2y 6

( I ) vµ (I I )

x y 4 x y 1

+ = − =

 

 + =  − =

 

a) Với a = 2, chứng tỏ hai hệ phơng trình tơng đơng

b) Với a = 5, chứng tỏ hai hệ phơng trình khơng tơng đơng

Híng dÉn:

a) Thay a = 2 vào hai hệ ta nhận đợc tập nghiệm của chúng : S = S’ = ∅
=> Hai hệ phơng trình tơng đơng

b) Thay a = 5 vµo hƯ (I) => S = ∅

Thay a = 5 vµo hƯ (II), hƯ cã nghiÖm duy nhÊt => S’ =

{

(

)

}

4 ; 1

3 3

Vậy S ≠ S’ , nên hai hệ phơng trình trên khơng tơng đơng

Bài 26: Tìm giá trị của m, n để hai hệ phơng trình sau tơng đơng

x 2y 1 mx ny 6

( I ) vµ (I I )

4x 5y 17 3mx 2ny 10

− = + =

 

 + =  + =

 

Híng dÉn:

Trớc hết giải hệ (I) đợc kết quả nghiệm duy nhất (x = 3 ; y = 1)

Hai hệ phơng trình trên tơng đơng khi hệ (II) cũng có nghiệm duy nhất

(x = 3 ; y = 1). Để tìm m, n ta thay x = 3 ; y = 1 vào hệ (II)

KÕt qu¶ m =

2 ,n 8
3

− =

</div>