Đề tuyển sinh lớp 10 chuyên THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng khóa ngày 21/06/2008 (chuyên Toán - hệ số 2) và đáp án

SỞ GIÁO DỤC VÀ DÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN
THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG Khóa ngày 21 tháng 6 năm 2008
……………….. ………………………..
MÔN THI:TOÁN (hệ số 2)
Thời gian: 150 phút( không tính thời gian giao đề)
ĐÈ CHÍNH THỨC
Bài 1.(2 điểm).
a) Chứng minh đẳng thức (2a
2
+a + 102 – 4a(2a + 1) = ( 2a
2
+ a- 1)2
b) Tìm điều kiện đối với tham số a để phương trình
(2a+1)x
2
– (2a
2
+a +1)x + a = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1.
Bài 2.(2 điểm).
a) Giải hệ phương trình





=+−−
=−+−
4y5x5xy3x3
4yxxyx
2
2

b) Giải phương trình x
2
– 5x + 4 =
1x2
−
Bài 3.(2 điểm).
a) Gọi x
1
và x
2
là hai nghiệm phân biệt của phương trình x
2
- x - 10 = 0. Không giải
phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức P =
577)x2x3(9)x7x2(
2
21
2
21
−−++
b) Cho biểu thức P = 21x - 6
xy
+2008y - 9
x
+10. Tìm điều kiện đối với các biến số x
và y để biểu thức P có nghĩa.Biểu thứ P có giá trị nhỏ nhất không? Tại sao?
Bài 4.(1,5 điểm).Ước chung lớn nhất của các số nguyên x và y (x và y không đồng thời
bằng 0) được ký hiệu là (x, y).
a) Cho 4 số nguyên a, b, c, d thỏa: b > 0, d > 0, (a, b) = (c, d) = 1. Chứng minh rằng
nếu

d
c
b
a
+
là một số nguyên thì b = d.
b) Tìm tất cả các số nguyên dương a, b, c sao cho
c
1
b
1
a
1
++
là một số nguyên và
(a, b) = (b, c) = 1
Bài 5.(1,0 điểm). Cho H là hình vuông tâm O và có độ dài cạnh bằng 1.
Tìm số thực dương r để đường tròn (O; r) cắt tất cả các cạnh của H và các giao điểm tạo
thành các đỉnh của một hình bát giác đều.
Bài 6.(1,5 điểm).Cho đường tròn (O; R) và hai điểm B, C cố định trên (O; R) thỏa BOC =
120
0
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
MC
1
MA
1
+
khi M di động trên cung nhỏ BC của
đường tròn (O; R) với M

≠
B và M
≠
C
……HẾT…..
Họ và tên thí sinh Phòng thi số Số báo danh
SỞ GIÁO DỤC VÀ DÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN
THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG Khóa ngày 21 tháng 6 năm 2008
……………….. ………………………..
HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN
(Chuyên Toán - Hệ số 2)
Bản hướng dẫn gồm có 02 trang
I. HƯỚNG DẪN CHUNG
Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần
như hướng dẫn quy định.
Điểm toàn bài là tổng số điểm các bài toán và không làm tròn số.
II. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
BÀI ĐÁP ÁN ĐIỂM
Bài 1
(2,00 điểm)
a. (0,75 điểm)
 (2a
2
+ a + 1)
2
- (2a
2
+ a - 1)
2
= 2(4a

2
+ 2a) 0,25
= 4a((2a + 1) 0,25
 Kết luận 0,25
b. (1,25 điểm)
 Khi 2a + 1 = 0: Phương trình chỉ có một nghiệm 0,25
 Khi 2a + 1 ≠ 0: ∆ = (2a
2
+ a + 1)
2
- 4a(2a + 1) = (2a
2
+ a - 1)
2

0,25
 Phương trình có hai nghiệm phân biệt khác 1 khi và chỉ khi:





≠+++−+
>∆
0a)1aa2(1a2
0
2
0,25
⇔






≠−
≠−+
0a2a2
01aa2
2
2
0,25
 Kết luận: a ≠ 0; a ≠
2
1
±
; a ≠ ±1
0,25
Bài 2
(2,00 điểm)
a. (1,00 điểm)




=−−
=+−
⇔




=−−−
=−+−
4)5x3)(yx(
4)1x)(yx(
4)yx(5)yx(x3
4)yx()yx(x
0,25
 Khi x = y thì hệ vô nghiệm 0,25
 Khi x ≠ y thì ta có: x + 1 = 3a - 5 ⇔ x = 3
0,25
 Kết luận: Nghiệm (3; 2) 0,25
b. (1,00 điểm)
 (x - 1)(x - 4) = 2
1x
−
0,25
 Đặt t =
1x
−
≥ 0 ta có pt: t[t(t
2
- 3) - 2] = 0
0,25
 t
3
- 3t - 2 = 0 hoặc t = 0 ⇔ t = -1 (loại) hoặc t = 2 hoặc t = 0
0,25
 Kết luận: x
1
= 1 và x

2
= 5 0,25
Bài 3 a. (1,00 điểm)
 P = 85(
2
2
2
1
xx
+
) - 80x
1
x
2
- 577 0,25
 P = 85(x
1
+ x
2
) - 250x
1
x
2
- 577 0,25
 x
1
+ x
2
= 1 và x
1

x
2
= -10 0,25
 Kết luận: P = 2008 0,25
b. (1,00 điểm)
 xy ≥ 0 và x ≥ 0
0,25
 (x > 0 và y ≥ 0) hoặc (x = 0 và y tùy ý)
0,25
 Khi x = 0 thì P = 2008y + 10 có thể nhỏ tùy ý 0,25
 Kết luận: P không có giá trị nhỏ nhất 0,25
Bài 4
(1,50 điểm)
a. (0,75 điểm)

d
c
b
a
+
= k ∈ Z ⇒ ad = b(ka - c)

b
0,25
 ⇒ d

b (vì (a; b) = 1)
0,25
 Tương tự b


d ⇒ đpcm
0,25
b. (0,75điểm) 0,25

b
1
n
m
b
1
c.a
ca
c
1
b
1
a
1
+=+
+
=++
với m, n ∈ N*, n ac và (m, n)
= 1
 Theo câu a ta có: b = n ⇒ b ac ⇒ b = 1 vì (b, a.c) = 1
0,25

c
1
a
1

+
nguyên ⇔ a = c = 1 hoặc a = c = 2
0,25
Bài 5
(1,00 điểm)
Gọi ABCD là hình vuông đã cho và I là
trung điểm của AB
(O; r) cắt 4 cạnh của H tại 8 điểm phân biệt
(M, N, P, Q, R, S, T, U như hình vẽ) khi và
chỉ khi
OI < r < OA
⇔
2
2
r
2
1
<
0,25
 Khi đó MN = PQ = RS = TU = 2
1r4OIOM
222
−=−
 và NP = QR = ST = UM = AM
2
=
2
MN1
−
0,25

MNPQRSTU là bát giác đều ⇔
2
MN1
−
=MN ⇔ MN =
2
- 1
0,25
 ⇔
1r4
2
−
=
2
- 1 ⇔ r =
2
2
1
−
0,25
Bài 6
(1,50 điểm)
Gọi A là điểm chính giữa của cung lớn
BC. Trên đoạn MA lấy điểm I sao cho
MI = MB. tam giác MBI cân tại M và có
∧
BMI
= 60
o
nên là tam giác đều

∧∧∧
=−=
23
o
1
BB60B
⇒ ∆CBM = ∆ABI (c.g.c)
 ⇒ MC = IA ⇒ MB + MC = MA
0,25

;
R
2
R2
4
MA
4
2
MCMB
MCMB
MC.MB
MCMB
MC
1
MB
1
2
=≥=







+
+
≥
+
=+
0,50
 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M là điểm chính giữa cung nhỏ BC 0,25
D
S
R
C
Q
P
B
N
I
M
A
U
T
O
A
B
C
M
O

.
I
2
3
1
 Kết luận: min
R
2
MC
1
MB
1
=






+
0,25