De thi hsg k7

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÙ ĐĂNG
TRƯỜNG THCS PHAN BỘI CHÂU
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 7
Thời gian: 120 phút
Câu 1.(3 điểm) Chứng minh rằng :
a.
5 4 3
5 5 5− +
chia hết cho 7
b.
2 2
3 2 3 2
n n n n+ +
− + −
chia hết cho 10 với mọi n nguyên dương.
Câu 2 .(2 điểm) Một số học sinh xếp hàng 12 thì thừa 5 học sinh, còn xếp hàng 15 cũng thừa 5
học sinh và ít hơn trước là 4 hàng. Tính số học sinh.
Câu 3. (2 điểm) Tìm các số x, y, z biết:
1 2 3
2 3 4
x y z− − −
= =
(1) và x - 2y + 3z = 14 (2)
Câu 4. (3 điểm) Cho hình vẽ và a // b hãy tính:
µ µ
µ
A B C+ +
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÙ ĐĂNG
TRƯỜNG THCS PHAN BỘI CHÂU
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 7
Đáp án và Biểu điểm chấm môn toán khối 7

Câu Gợi ý chấm điểm Điểm
1
a.
5 4 3
5 5 5− +
chia hết cho 7
Ta có:
5 4 3 3 2 3
5 5 5 5 (5 5 1) 5 .21 7− + = − + = M
b.
2 2 2 2
3 2 3 2 3 (3 1) 2 (2 1) 3 .10 2 .5
n n n n n n n n+ +
− + − = + − + = −
Rõ ràng số bị trừ và số trừ đều chia hết cho 10 .
Do đó:
2 2
3 2 3 2
n n n n+ +
− + −
chia hết cho 10 với mọi n nguyên dương
1,5
1,5
2 Giả sử khi xếp 15 học sinh một hàng cũng được số hàng như khi xếp 12
học sinh một hàng thì cần 4 hàng nữa, tức là thêm:
15.4= 60 ( học sinh)
Số học sinh ở mỗi hàng chênh lệch trong hai trường hợp:
15-12 = 3( học sinh)
Số hàng khi xếp hàng 12:
60: 3= 20 ( hàng)

Vậy số học sinh cần tìm là:
20. 12 + 5 = 245 ( học sinh)
0,5
0,5
0,5
0,5
3
Đặt
1 2 3
,
2 3 4
x y z
k k
− − −
= = = ∈Ζ
suy ra:
x = 2k+ 1; y = 3k + 2; z = 4k + 3 thay vào (2) ta được:
2k+ 1- 2(3k + 2) + 3(4k + 3)= 14

⇒
8k + 6 = 14
⇒
k = 1
Vậy x = 3; y = 5; z = 7
0,5
1
0,5
4 Qua C kẻ đường thẳng c song song với đường thẳng a. 0,5
Khi đó:
µ

·
0
180B BCc+ =
( hai góc trong cùng phía)

µ
·
0
180A ACc+ =
( hai góc trong cùng phía)
Vậy
µ µ
µ
µ
·
µ
·
0
360A B C A ACc B BCc+ + = + + + =
0,5
0,5
0,5
1
SỞ GD& ĐT BÌNH PHƯỚC
TRƯỜNG PHỔ THÔNG CẤP 2-3 THỐNG NHẤT
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8
Thời gian: 120 phút
Câu 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a.
2

6x x− −
b. xy(x + y ) - yz( y + z ) + xz( x - z )
c.
4
4x +
Câu 2. a. Thực hiện phép chia:
4 3 2 2
(3 2 2 4 8) : ( 2)x x x x x− − + − −
b. Xác định các hằng số a và b sao cho:
3 2
5 50ax bx x+ + −
chia hết cho
2
3 10x x+ −
Câu 3. Cho x + y = a và xy = b. Tính các giá trị của các biểu thức sau theo a và b :
a.
2 2
x y+
b.
4 4
1 1
x y
+
Câu 4. Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H, M là trung điểm của BC. Qua H kẻ đường thẳng
vuông góc với HM, cắt AB và AC theo thứ tự ở E và F.
a. Trên tia đối của tia HC, lấy điểm D sao cho HD = HC. Chứng minh rằng E là trực
tâm của tam giác DBH.
b. Chứng minh HE = HF
SỞ GD& ĐT BÌNH PHƯỚC
TRƯỜNG PHỔ THÔNG CẤP 2-3 THỐNG NHẤT

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8
Đáp án và Biểu điểm chấm môn toán khối 7
Câu Hướng dẫn chấm Điểm
1
a.
2
6 ( 3)( 2)x x x x− − = − +
b.
xy(x + y ) - yz( y + z ) + xz( x - z )=(x+y)(y+z)(x-z)
c.
4 4 2 2 2 2 2 2 2
4 4 4 4 ( 2) 4 ( 2 2 )( 2 2 )x x x x x x x x x x+ = + + − = + − = + − + +
1
1
1
2 a. Đặt tính chia:
4 3 2 2 2
(3 2 2 4 8) : ( 2) 3 2 4x x x x x x x− − + − − = − +
b. Đặt tính chia:
3 2
5 50ax bx x+ + −
=
2
( 3 10)( 3 ) (19 3 5) ( 30 10 50)x x ax b a a b x a b+ − + − + − + + − + −
Để
3 2
5 50ax bx x+ + −
chia hết cho
2
3 10x x+ −

khi và chỉ khi
19 3 5 0 1
30 10 50 0 8
a b a
a b b
− + = =
 
⇔
 
− + − = =
 
1
0,5
1
3
a. Ta có:
2 2 2
( ) 2x y x y xy+ = + −
Thay x + y = a và xy = b vào biểu thức trên ta được:
2
2a b−
b. Ta có:
4 4 2 2 2 2
4 4 4 4 4 4
1 1 [( ) 2 ] 2
. .
x y x y xy x y
x y x y x y
+ + − −
+ = =

Thay x + y = a và xy = b vào biểu thức trên ta được:
2 2 2
4
[ 2 ] 2a b b
b
− −
0,5
0,5
0,5
0,5
4
A
B
C
H
M
E
F
D
K
G
a. MH là đường trung bình của
∆
BCD nên MH//BD.
Do MH
⊥
EF nên BD
⊥
EF.
Ta lại có: BA

⊥
HD(gt). Do đó: E là trực tâm của tam giác BHD.
b. Gọi G là giao điểm của DE và BH, K là giao điểm của BH và AC.
Khi đó:
∆
DHG =
∆
CHK ( cạnh huyền - góc nhọn)
⇒
HG = HK.

∆
HGE =
∆
HKF (g.c.g)
⇒
HE = HF
0,5
0,5
0,5
0,5
1
1
Thống nhất, ngày 18 tháng 10 năm 2010
Người ra đề
Lê Tâm