Bài 2. Bài tập có đáp án chi tiết về quy tắc tính đạo hàm lớp 11 | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện

1

y  5 x 2  x  2  3

Câu 1.

[1D5-2.1-1] (Cẩm Giàng) Đạo hàm của hàm số
là
10 x  1
1
y 
y 
2
2
2
3 3 (5 x  x  2)
3 3 (5 x  x  2)2
A.
.
B.
.
10 x  1
10 x  1
y 
y 
3
(5 x 2  x  2) 2
3 3 5x2  x  2 .
C.
D.
.

Lời giải
Tác giả: Đinh Minh Thắng ; Fb: Win Đinh
Chọn A
u    .u  .u 

Sử dụng công thức tính đạo hàm
.
10 x  1
1
1
1
y  .  5 x 2  x  2  3 .  10 x  1  3 3 (5 x 2  x  2)2
3
Ta có
.

Câu 2.

[1D5-2.1-1] (THPT NINH BÌNH – BẠC LIÊU LẦN 4 NĂM 2019) Tính đạo hàm của hàm
số y  x  1 ln x .
y 

x ln x  2  x  1
2 x x 1

A.

y 
C.

y 
.

B.

x  x 1
x x 1 .

y 
D.

1
2 x x 1 .

3x  2
2 x x 1 .

Lời giải
Tác giả:Nguyễn Thế Quốc; Fb:Quốc Nguyễn
Chọn A

Ta có



y 



ln x

x 1
1
1



ln
x

x

1

x  1 ln x  x  1  ln x  2 x  1
x 2 x 1
x





x ln x  2  x  1
2 x x 1

.
y

Câu 3.

x 3

x2  1
[1D5-2.1-1] (HK2 THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI) Đạo hàm của hàm số
là
1  3x
1  3x
2x2  x  1
1

3
x
x 2  1 x2  1
x2  1 x2  1
x2  1 x2  1
2
A.
.
B.
.
C. x  1 .
D.
.













Lời giải
Tác giả: Trần Văn Minh ; Fb: Trần Văn Minh
Chọn A

y 
Ta có

 x  3 

x 2  1   x  3



x2  1



2



x2  1

 

x 2  1   x  3
x2  1

2x
2 x2  1




x 2  1   x  3 x

x

2



1

x2  1



1  3x

x

2

x2  1



1

.

Bài tập tương tự :
Câu 4.

Đạo hàm của hàm số
A.

y

co s x
cos x  sin x .

y

sin x
sin x  cos x là

1
B. 1  sin 2 x .
y

Câu 5.

Đạo hàm của hàm số

1  3x
A.

x

2



1

x2  1

.

B.

D.

 sin x 

cos x 

2

.

x 3
x 2  1 là
1  3x

x

2



1

y

Ghi nhớ: Đạo hàm của hàm số
Câu 6.

cos x

1
C. 1  sin 2 x .

x2  1

.

u  x
v  x

,

3x  1

3x  1
2
C. x  1 .

v  x  0



y 



x2  1 x2  1
D.
.
u  x  .v  x   u  x  .v  x 
v2  x 

là

.

Ck
[1D5-2.1-1] (KINH MƠN HẢI DƯƠNG 2019) Kí hiệu n là số các tổ hợp chập k của n
phần tử ( 0 k n ). Mệnh đề nào sau đây đúng?
n!
n!
n!
n!
k

Cnk 
Cnk 
Cnk 
C

n
k ! n  k  !
k ! n  k  !
 n  k!.
k!.
A.
.
B.
C.
. D.
Lời giải
Tác giả: Phạm Bình ; Fb: Phạm An Bình
Chọn A
Số các tổ hợp chập k của n phần tử ( 0 k n ) là

Câu 7.

Cnk 

n!
k ! n  k  !

.
2

[1D5-2.1-1] (Sở Hưng Yên Lần1) (Sở Hưng Yên Lần1) Đạo hàm của hàm số y ln x  x là
1
1
1
1 x3
y   x
y   2 x
y   2 x
y  
x
x
x
x 3 .
A.
.
B.
.
C.
.
D.
Lời giải
Tác giả: Trần Lê Hương Ly; Fb: Trần Lê Hương Ly
Chọn B

1
y   2 x
x
Ta có
.
Câu 8.

y

x2
x  1 . Tính y 3 .

[1D5-2.1-1] (HK2 THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI) Cho hàm số
5
3
3
3


A. 2 .
B. 4 .
C. 2 .
D. 4 .
Lời giải

Tác giả: Trần Thơm ; Fb: Kem LY
Chọn B
y
Cách 1: Ta có

x2
3
 y 
2
x 1
 x  1

y 3 
. Vậy

3

 3  1

2



3
4

.


Cách 2: Sử dụng máy tính bỏ túi:

Bài tập tương tự :
Câu 9.

Câu 10.

Cho hàm số
1

A. 2 .
Cho hàm số

1

A. 3 .

y

y

x 2
x  1 . Tính y 1 .
3
B. 2 .

3
C. 4 .

2x 1
x  3 . Tính y 0  .
7

B. 3 .

7
C. 9 .

D.

D.



1
4.



7
9.

Ghi nhớ:

Hàm số

y

ad  bc
ax  b
y 
2
 cx  d  .
cx  d có

Đạo hàm của hàm số

y  f  x

y x0   f  x0 
tại điểm x x0 là
.

Cách 2. Sử dụng máy tính bỏ túi: Ấn phím
Nhập x0 



 Nhập hàm số f ( x) 



.

3
Câu 11. [1D5-2.1-1] (Đồn Thượng) Tính đạo hàm của hàm số y x  2 x  1
2
2
2
2
A. y 3 x  2 x .
B. y 3x  2 .
C. y 3x  2 x  1 .
D. y  x  2 .
Lờigiải
Tácgiả:NguyễnThịHạnh; Fb:Hạnhnguyễn
Chọn B
3
2
Ta có: y x  2 x  1  y 3 x  2

f x  x 1
Câu 12. [1D5-2.1-1] (THPT NÔNG CỐNG 2 LẦN 4 NĂM 2019) Cho hàm số  

. Tính
f  3
giá trị
.
1
1
A. 2 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 4 .

Lời giải
Tác giả: Hải Thương; Fb: Hải Thương
Chọn D

Ta có

f  x  

1
1
 f  3 
2 x 1
4.


Câu 13. [1D5-2.1-1] (Chuyên KHTN) Đạo hàm của hàm số f (x)  ln(lnx) là:

f ( x ) 
A.

f ( x) 
C.

1
x ln x ln  ln x 

f ( x) 
.

B.

1
2 x lnx ln  ln x 

f ( x) 
.

D.

1
2 ln  ln x 
1
lnx ln  ln x 

.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Thu Hương; Fb: Hương Nguyễn
Chọn C

Áp dụng các công thức

 ln u   

u
ln u và

 
u





u

f ( x) 

2 u ta có



1
2 x ln x ln(ln x)

y ln x4  4 x 3  3

Câu 14. [1D5-2.1-2] (Sở Điện Biên) Tính đạo hàm của hàm số
1

1
y  4
y  3
3
x  4x  3 .
4 x  12 x 2 .
A.
B.

y 
C.

4 x 3  12 x 2

x

4

3

 4x  3



.

.

4 x3  12 x2
y  4

x  4x3  3 .
D.

2

.
Lời giải.

Chọn D
Ta có:

 ln u  ' 

u'
u .

4 x 3  12 x2
y ln x  4 x  3  y '  4
x  4 x3  3 .



4

3



y
Câu 15. [1D5-2.1-2] (Sở Lạng Sơn 2019) Đạo hàm của hàm số

x log 2 x  x  1
x ln x  x  1
y 
y 
x log 22 x
x ln x
A.
.
B.
.
y 
C.

x ln x  x  1
x ln x log 2 x .

y 
D.

x 1
,  x  0, x 1
log 2 x
là

x log 2 x   x  1 ln 2
x log 22 x

.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Văn Quang; Fb: Quang Nguyen
Chọn C
Ta có:


y 

 x 1  log 2 x   log 2 x    x 1
log 22 x
x 1
x ln 2  x ln 2.log 2 x  x  1
2
log 2 x
x ln 2.log 2 x.log 2 x

log 2 x 



x ln x  x  1
x ln x.log 2 x

Vậy chọn đáp án C
Câu 16. [1D5-2.1-2]
(Sở
Hưng
Yên
Lần1)
ax  b
1

 3  2 x 
a
, x 

 
4
 4 x  1   4 x  1 4 x  1
. Tính b .
A.  16 .

B.  4 .

(Sở

Hưng

Yên

Lần1)

Cho

C.  1 .
D. 4 .
Lời giải
Tác giả: Lưu Thị Thủy; Fb: thuy.luu.33886

Chọn C

 3  2 x   3  2 x  4 x  1   3  2 x 


 
2
 4x  1 
4x  1





4x  1



Ta có
 2  4 x  1  2  3  2 x 
 4x  4


 4 x  1 4 x  1
 4 x  1 4 x  1



 2 4x  1   3  2x .


2
4x  1

4x  1

.

a
 1
Suy ra a  4 , b 4 . Vậy b
.
Câu 17. [1D5-2.1-2] (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Cho
*
f  x   x  x  1  x  2   x  3 ...  x  n 
f 0
với n   . Tính   .
n  n  1
f  0  
f  0  0
f  0  n
f  0  n !
2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Nga; Fb: Con Meo
Chọn C

Đặt

u  x   x  1  x  2   x  3 ...  x  n 

Ta có:

.

f  x   x.u  x   f  x  u  x   x.u  x   x  1  x  2   x  3 ...  x  n   x.u x 

 f  0  1.2.3.4...n n !

.

.

Câu 18. [1D5-2.1-2] (KIM-LIÊN 11 hk2 -2017-2018) Đạo hàm của hàm số y  2 x  3 là
1
1
2x  3
2x  3
y 
y 
y 
y 
2x  3 .
2 2x  3 .
2 2x  3 .
2 2x  3 .
A.

B.
C.
D.
Lời giải
Tác giả: Hoa Mùi ; Fb: Hoa Mùi
Chọn A


y  2 x  3  y 

Ta có:

 2 x  3 
2 2x  3



2
1

2 2x  3
2x  3 .

Câu 19. [1D5-2.1-3]
(Thuận
Thành
2
Bắc
Ninh)
Cho

hàm
số
f  x   1  x   1  2 x   1  3x  ...  1  2018 x 
f  0 
. Tính
.
A. 2018 .
B. 1009.2019 .
C. 1009.2018 .
D. 2018.2019 .
Lời giải
Tác giả: Vũ Thành Tín ; Fb: Tin Vu
Chọn B
Ta có

f  x   1  x    1  2 x   1  3x  ...  1  2018 x    1  x   1  2 x    1  3 x  ...(1  2018 x)

...   1  x   1  2 x   1  3 x  ...  1  2018 x  

1.  1  2 x   1  3 x  ...  1  2018 x    1  x  .2.  1  3x  ...  1  2018 x   ...   1  2 x   1  3 x  ...  2018 
 f  0  1  2  3  ...  2018 

2018.(2018  1)
1009.2019.
2


Câu 20. [1D5-2.1-3] (THPT-Gia-Lộc-Hải-Dương-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Cho hai hàm số
f  x
g  x


và
đều
có
đạo
hàm
trên
và
thỏa
mãn:
3
2
2
f  2  x   2 f  2  3 x   x g  x   36 x 0
A 3 f  2   4 f '  2 
với x   . Tính
.
13
10
A. 11 .
B. 14 .
C. .
D. .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Phương Thảo; Fb: Nguyễn Thị Phương Thảo
Chọn D
f 3  2  x   2 f 2  2  3x   x 2 g  x   36 x 0  1
Ta có
  3 f 2  2  x  . f '  2  x   12 f  2  3 x  . f '  2  3 x   2 xg  x   x 2 g '  x   36 0

 2

 f  2  0
f 3  2   2 f 2  2  0  
 f  2  2 .
Thế x 0 vào (1) ta được:
f  2  0
Với
thế x 0 vào (2) ta có: 36 0 ( vơ lí).
f  2  2
Với
thế x 0 vào (2) ta có:
 3 f 2  2  . f '  2   12 f  2  . f '  2   36 0   3.22. f '  2   12.2. f '  2   36 0  f '  2  1
Vậy

A 3 f  2   4 f '  2  3.2  4.1 10

.

.

Câu 21. [1D5-2.1-3] (SỞ NAM ĐỊNH 2018-2019) Cho hàm số
m lớn nhất để f  m   f  2m  2019   0
A.  673 .
B.  674 .
C. 673 .
Lời giải

f  x  2019 x  2019 x

. Tìm số nguyên

D. 674 .

Tác giả: Vũ Thị Thu Huyền; Fb: HuyenVu
Chọn B


f  x  2019 x  2019 x

Hàm số
Ta có:
Mà

xác định trên  .

f   x  2019 x  2019 x   2019 x  2019 x   f  x   f  x 

f  x  2019 x ln 2019  2019  x ln 2019  0, x  

Do vậy:

nên hàm số

là hàm lẻ trên  .

f  x

đồng biến trên  .

f  m   f  2m  2019   0  f  2m  2019    f  m 

 f  2m  2019   f   m   2m  2019   m  m   673
Do đó giá trị m nguyên lớn nhất thỏa mãn là  674 .

f  x
Câu 22. [1D5-2.1-3] (Đặng Thành Nam Đề 3) Cho hàm số
liên tục trên  và có đồ thị như hình
 A ,  B  lần lượt bằng 3 và 7. Tích phân
vẽ bên. Biết rằng diện tích hình phẳng

2

cos xf  5sin x  1 dx
0

4
A. 5 .

bằng

4
C. 5 .

B. 2 .

D.  2 .

Lời giải
Tác giả: Vũ Thị Thu Huyền; Fb: HuyenVu

Chọn A

Từ hình vẽ suy ra

1

4

f  x dx 3

  f  x   dx 7  f ( x)dx  7

1

và

1

Đặt t 5sin x  1  dt 5cos xdx .


x 0  t  1; x   t 4
2
Đổi cận
.

4

1


2

Khi đó

4
1
4

1
1
cos xf  5sin x  1 dx  f  t dt =  f  t dt+ f  t dt 

5 1
5  1
0
1


1


2

4

 1
1
4

=  f  x  dx + f  x  dx   .(3  7)   4
cos xf  5sin x  1 dx  .

5  1
5
1
 5
5 . Vậy 0
Câu 23. [1D5-2.1-3] (KIM LIÊN HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 03) Cho hàm số
y  f  x  22019 x3  3.22018 x 2  2018
có đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có
1
1
1
P


f  x1  f  x2  f  x3 
hoành độ x1 , x2 , x3 . Tính giá trị biểu thức
2018
2019
A. P 3.2 .
B. P  2018 .
C. P 0 .
D. P 2 .
Lời giải
Tác giả: Vũ Thị Thu Huyền; Fb: HuyenVu
Chọn C
Do hàm số

y  f  x  22019 x 3  3.22018 x 2  2018

có đồ thị cắt trục hồnh tại ba điểm phân biệt

2019
f  x  a  x  x1   x  x2   x  x3 
có hồnh độ x1 , x2 , x3 nên
với a 2 .

f  x  a   x  x1   x  x2    x  x1   x  x3    x  x2   x  x3  
.

Suy ra
Ta có

f  x1  a  x1  x2   x1  x3  0

Tương tự

f  x2  0

và

f  x3  0

vì x1 , x2 , x3 phân biệt

.

Khi đó:

1
1
1


f  x1  f  x2  f  x3 


1
1
1
1
 



a   x1  x2   x1  x3   x2  x1   x2  x3   x3  x2   x3  x1  

1 x  x   x1  x3   x1  x2
 . 2 3
0
a  x1  x2   x1  x3   x2  x3 

.

f  x  mx 4  nx 3  px 2  qx  r  m 0 
Câu 24. [1D5-2.1-4] (Sở Ninh Bình Lần1) Cho hàm số
. Chia
f  x
f  x 

cho x  2 được phần dư bằng 2019 , chia
cho x  2 được phần dư bằng 2018.
2
g  x
f  x
g   1
x  2
Gọi
là phần dư khi chia
cho 
. Giá trị của
là

4033

4035

4039
A.
.
B.
.
C.
.
D.  4037 .
Lời giải
Tác giả : Trần Luật, FB: Trần Luật
Chọn B

h x

Gọi

là thương và

g  x

2

f  x  h  x   x  2   g  x 

. Do

f  x

là phần dư khi chia

f  x

 x  2

cho

2

tức là

h x
là hàm số bậc 4 nên

là một hàm số bậc 2 và

g  x

g  x
g  x  ax  b
là hàm số có bậc nhỏ hơn 2 . Suy ra hàm số
có dạng
.

Ta có

f  x  h x  .  x  2   2h  x  .  x  2   a

2

Theo giả thiết khi chia

f  x

.

f  x 
cho x  2 được phần dư bằng 2019 , chia
cho x  2 được

 f  2  2019
2a  b 2019
a 2018




f  2  2018 a 2018
b  2017 .
phần dư bằng 2018 nên ta có 
g  x  2018 x  2017
g   1 2018.   1  2017  4035
Suy ra
. Vậy
.
f  x   1  3 x  x 6 

Câu 25. [1D5-2.1-4]
(THTT
số
3)
Cho
hàm
số
 n
f  0  f  0  f  0 
f  0
S


 ... 
0!
1!
2!
n ! trong đó n 6 2018 .

A. 16054 .
B. Đáp số khác.
C.  1 .

2018

.

Tính

D. 1 .

Lời giải
Tác giả: Phan Minh Quốc Vinh ; Fb: Vinh Phan.
Chọn D
f  x   1  3 x  x 6 

Giả sử

2018

a0  a1 x  a2 x 2  ...  an x n

với n 6 2018 .

Ta có


f  x  a1  2a2 x  3a3 x 2  ...   n  1 an  1x n  2  nan x n 1



f  x  2a2  2.3.a3 x  ...   n  2   n  1 an  1 x n  3   n  1 nan x n  2



f  3  x  2.3.a3  ...   n  3  n  2   n  1 an  1 x n  4   n  2   n  1 nan x n  3



.
.
.

…

f  0  a0
f  0  a1
f  0  2a2
f  3  0  2.3.a3
 a0
 a1

a2

a3
0!
1!
2
3!

3!
Suy ra 0!
, 1!
, 2!
,
, ...

Do đó

S

2018
f  0  f  0  f  0 
f  n  0 


 ... 
a0  a1  ...  an  1  3.1  16 
1
0!
1!
2!
n!
.

Câu 26. [1D5-2.2-1] (Yên Phong 1) Cho hàm số

f  x  log 2  x 2  1

của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hồnh độ x0 1 .

1
1
A. 1 .
B. 2 .
C. 2 ln 2 .
Lời giải
Chọn D
f  x  
Ta có

2x
 x 1 ln 2
2

.

. Tính hệ số góc của tiếp tuyến
1
D. ln 2 .


Do đó

f  1 

1
ln 2 .

1
Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hồnh độ x0 1 là ln 2 .

y

x 1
2 x  3 có đồ thị  C  . Phương

Câu 27. [1D5-2.2-1] (Thanh Chương Nghệ An Lần 2) Cho hàm số
 C  tại tiếp điểm có hồnh độ bằng 1 là:
trình tiếp tuyến của đồ thị
A. y  5 x  7 .
B. y 5 x  3 .
C. y  5 x  3 .

D. y 5 x  3 .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Ngọc Duy; Fb: Ngọc Duy
Chọn C
3
x 1
D  \  
2 .
2 x  3 . Tập xác định
Đặt
M  x0 ; y0 
Gọi
là tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm.
x 1
y0  0
 2
M  C 

x

1
2
x

3
0
0
Theo đề bài ta có
. Vì
nên
.
f  x 

f  x  
Ta có

5

 2 x  3

2

 f  1  5
.

 C  tại điểm M là:
Do đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị
y  f  1 .  x  1  y0  5  x  1  2  5 x  3

.
2 x 2 1
y
x
Câu 28. [1D5-2.2-1] (Sở Đà Nẵng 2019) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tại
x

1
điểm có hồnh độ
là
y

x

2
A.
.
B. y x  2 .
C. y x  3 .
D. y 3x  3 .
Lời giải
Tác giả:Lê Công Hùng
Chọn A
Lý thuyết: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
thị hàm số

y  f  x

có dạng:

y  f  x

y  f  x0   x  x0   y0

.

tại điểm

M  x0 ; y0 

thuộc đồ

 1

2.12  1
y  1 
3
M  1;3
1
Ta có
. Do đó tọa độ tiếp điểm là
.
2
2x  1
y x   2  y 1 1
x
Mặt khác
.
Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm

y  y 1  x  1  3  x  2

M  1;3

là

.

Câu 29. [1D5-2.2-1] (Chuyên Quốc Học Huế Lần1) Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3  4x
7
y
y 
x  2 tại điểm có tung độ
3.
9
5
5

A. 5 .
B. 9 .
C. 9 .
D.  10 .


Lời giải
Tác giả: Nguyễn Trần Tuấn Minh; Fb: Tuấn Minh
Chọn C

y 

7
3  4x
7

  x  1
3
x 2
3
.
y 

Ta có:

5

 x  2

2

.

Vậy hệ số góc cần tìm là

y  1 

5
9.

3
 C  . Tính hệ
Câu 30. [1D5-2.2-1] (Cụm 8 trường chuyên lần1) Cho hàm số y x  2 x  1 có đồ thị
 C  tại điểm có hồnh độ bằng 1 .
số góc k của tiếp tuyến với
A. k 25 .
B. k  5 .
C. k 10 .
D. k 1 .

Lời giải
Tác giả: Trần Thị Thơm; Fb: Tranthom
Chọn D
2

Ta có : y 3 x  2 .

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hồnh độ bằng 1 là

k  y 1 1

.

x 3
x  2 có đồ thị  H  . Gọi đường
Câu 31. [1D5-2.2-1] (SỞ BÌNH THUẬN 2019) Cho hàm số
   : y ax  b là tiếp tuyến của  H  tại giao điểm của  H  với trục Ox . Khi đó a  b
thẳng
bằng
10

2

A. 49 .
B. 49 .
C.  4 .
D. 2 .
y

Lời giải
Tác giả: Hoàng Vũ ; Fb: Hoàng Vũ
GV phản biện: Nguyễn Thu Hương ; Fb: Hương Nguyễn
Chọn C
y  f  x 

TXĐ:
Gọi

x 3
x2

D  \   2

M   3; 0 

f  x  

PTTT:

là giao điểm của

1

 x  2

2

H

với trục Ox .

 f   3  1
.

y  f  x0   x  x0   y0  y  x  3
a  b  1    3  4
. Vậy


y

x 3
x  2 tại điểm có

Câu 32. [1D5-2.2-1] (Lý Nhân Tơng) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
hoành độ bằng  1 là
5
5
5
y  x 2
y  x

9
9
9.
A. y 5 x  1 .
B.
.
C.
D. y 5 x  9 .
Lời giải
Chọn A.

Ta có

y   1  4,

y' 

5

 x  2

2

Vậy phương trình tiếp tuyến là:

 y '   1 5.

y 5  x  1  4  y 5 x  1.

Câu 33. [1D5-2.2-1] (Hùng Vương Bình Phước) Phương trình tiếp tuyến của đường cong

y  x3  3x 2  2 tại điểm có hồnh độ x0 1 là
A. y 9 x  7 .

B. y  9 x  7 .

C. y  9 x  7 .
Lời giải

D. y 9 x  7 .
Tác giả & Fb: Lý Văn Nhân

Chọn D
3
2
2
Xét hàm y  f ( x)  x  3x  2  f '( x) 3x  6 x  f '(1) 9.

Ta có

x0 1  y0 2  M 0  1; 2 

Phương trình tiếp tuyến tại điểm

.

M 0  1; 2 

có dạng:

y  y0  f '( x0 )  x  x0   y  2 9  x  1  y 9 x  7

.

Câu 34. [1D5-2.2-2] (THPT-Tồn-Thắng-Hải-Phịng) Phương trình tiếp tuyến của đường cong
y  x3  3x 2  2 tại điểm có hồnh độ x0 1 là
A. y 9 x  7 .

B. y 9 x  7 .

C. y  9 x  7 .

D. y  9 x  7 .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Trần Đức ; Fb: Nguyen Tran Duc
Chọn A
Ta có

y0 1  3  2 2 ; y 3 x 2  6 x  y( x0 ) 9 .

3
2
x 1 là
Phương trình tiếp tuyến của y  x  3x  2 tại điểm có hồnh độ 0

y  y '( x0 )( x  x0 )  y0  y 9( x  1)  2  y 9 x  7 .

Câu 35. [1D5-2.2-2] (HK2 THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị
x4
y

x  2 tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là
hàm số
1
2
3
3
3
y  x  .
y  x  2.
y  x  2.
y  x  2.
6
3
2
2
2
A.
B.
C.
D.
Lời giải


Tác giả:Tạ Thị Bích Phượng ; Fb: Bích Phượng
Chọn B
 x 0
 x 0

.
x4  


y

2
y



x 2
Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là nghiệm của hệ 
y' 
Ta có

6

 x  2

2

.
Suy ra

y'  0 

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3
y  y'  0  x  0  2  x  2
2
tung là
.

y

6 3
 .
4
2

x4
x  2 tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục

Bài tập tương tự
Câu 36.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tung là
3
1
3
1
y  x .
y  x  .
4
2
4
2
A.
B.

y

x 1
x  2 tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục

3
1
y  x .
4
2
C.

D.

y 

3
1
x .
4
2

3
 C  . Phương trình tiếp tuyến của  C  tại giao điểm với
Câu 37. Cho hàm số y  x  3 x  2 có đồ thị
trục tung là
A. y  2 x  1.
B. y 3 x  2.
C. y 2 x  1.
D. y  3 x  2.
y  f  x

 C  . Phương trình tiếp tuyến với  C  tại tiếp điểm
Ghi nhớ: Cho hàm số
có đồ thị
M  x0 , y0 
y  y0  f '  x0   x  x0  .
là

y

2x  1
x  1 . Tiếp tuyến

Câu 38. [1D5-2.2-2] (CHUYÊN HUỲNH MẪN ĐẠT 2019 lần 1) Cho hàm số
của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 2 là:
1
1
1
1
1
1
y  x
y  x
y x
y  x 1
3
3.
3
3.
3 .
3

A.
B.
C.
D.
.
Lời giải
Chọn B

A  2;1
Gọi A là điểm thuộc đồ thị hàm số có hồnh độ bằng 2 , khi đó
.
3
1
y 
2
y 2  
x  1

3.
Vì
nên
1
1
1
y  1   x  2  y  x 
3
3
3.
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là
Câu 39. [1D5-2.2-2] (HK2 THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI) Đường thẳng y ax  b tiếp xúc

3
2
M  1;0 
với đồ thị hàm số y  x  2 x  x  2 tại điểm
. Tích ab có giá trị là
A. ab  36 .

B. ab  5 .

C. ab 36 .

D. ab  6 .

Lời giải
Tác giả: Hoàng thị Kim Liên ; Fb: Kim Liên


Chọn C
Ta có :

y x 3  2 x 2  x  2  y  3x 2  4 x  1  y '  1 6

.

3
2
M  1;0 
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x  2 x  x  2 tại điểm
là
a 6

y 6( x  1)  y 6 x  6  
 ab 36
b 6

Bài tập tương tự :
Câu 40.

4
2
M   1; 0  .
Đường thẳng y ax  b tiếp xúc với đồ thị hàm số y  x  4 x  3 tại điểm
Hiệu
a  b là

A.  8 .
Câu 41.

B. 8 .

C. 0 .

D. 16 .

3
2
Đường thẳng y ax  b tiếp xúc với đồ thị hàm số y x  3 x  3 x  2 tại điểm là giao điểm
của đồ thị với trục hồnh. Khi đó, 2a  b là
A.  12 .
B. 12 .
C. 6 .

D. 0 .
M  x 0 ; y0 
C : y  f  x
Ghi nhớ:Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  
tại điểm
có
y  f '  x0   x  x0   f  x0 
dạng:

Câu 42. [1D5-2.2-2] (Hậu Lộc Thanh Hóa) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tại giao điểm của đồ thị với trục tung?
A. y  x  2 .
B. y  x  2 .
C. y  x .
D. y  x .

y

x2
x 1

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thành Đô; Fb: Thành Đô Nguyễn
Chọn B
Giao điểm của đồ thị với trục tung là
1
y x  
 y 0   1.
2
 x  1

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại

M  0; 2  .

M  0; 2 

là y  x  2.

Câu 43. [1D5-2.2-2] (ĐOÀN THƯỢNG-HẢI DƯƠNG LẦN 2 NĂM 2019) Phương trình tiếp tuyến
x2
y
x  2 tại điểm có hồnh độ bằng 1 là:
của đồ thị hàm số
A. y 4 x  7 .
B. y  4 x  1 .
C. y 4 x  1 .
D. y  4 x  7 .
Lời giải
Tác giả: Đinh Minh Thắng ; Fb: Win Đinh
Chọn B
4
x2
f  x  
2
f  x 
x  2

x

2

Đặt
, ta có
.
1 2
f  x0  
 3
A  1;  3
1 2
Với x0 1 ta có
. Vậy tiếp điểm là
.
4
f  x0  
 4
2
1  2

Hệ số góc của tiếp tuyến là:
.


A  1;  3
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm
là:
y  f  x0  .  x  x0   f  x0   y  4.  x  1    3  y  4 x  1
.
y

4
x


1
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là
.
3
Câu 44. [1D5-2.2-2] (Lê Xoay lần1) (Lê Xoay lần1)
Cho hàm số y  x  3x  1 có đồ thị
 C  tại giao điểm của  C  với trục tung có phương trình là
Tiếp tuyến với
A. y  3x  1 .
B. y 3x  1 .
C. y 3x  1 .
D. y  3 x  1 .

C .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Ngọc Diệp, FB: Nguyễn Ngọc Diệp
Chọn A

 C  với trục tung: x 0  y 1 .
TXĐ: D  . Tọa độ giao điểm của
Vậy đồ thị

 C

cắt trục tung tại điểm

A  0;1

.

y  x3  3x  1  y 3x 2  3  y (0)  3 .
Phương trình tiếp tuyến của

C

tại

A  0;1

: y  1  3x  y  3x  1.
4
2
C
Cho hàm số y  x  3 x  4 có đồ thị   .

Câu 45. [1D5-2.2-2] (KIM-LIÊN 11 hk2 -2017-2018)
Viết phương trình tiếp tuyến của
A. y 2 x  4

C

tại điểm

M  1; 2 

B. y  2 x

C. y  2 x  2

D. y 4  2 x

Lời giải
Tác giả:Phạm Thanh Huế; Fb:Phạm Thanh Huế
Chọn D
3
Ta có: y ' 4 x  6 x .

Điểm

M  1;2   (C )

. Suy ra

Phương trình tiếp tuyến của

 xo 1

 yo  f  xo   f  1 2
 f '( x )  f '(1)  2
o


C

tại điểm

M  1; 2 

Câu 46. [1D5-2.2-3] (HSG Bắc Ninh) Cho hàm số
2

3

.

là: y  2 x  4 .

y  f  x

xác định và có đạo hàm trên  thỏa mãn

 f  1  2 x    x   f  1  x  
với mọi x   . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y  f  x
tại điểm có hoành độ bằng 1 .
6
1
8
1
6
1
8
y  x  .
y  x  .
y  x  .
y  x .
7
7

7
7
7
7
7
A.
B.
C.
D.
Lời giải


FB: dacphienkhao
Chọn C
2

3

 f  1  2 x   x   f  1  x   , x  
Lấy đạo hàm hai vế 
ta được

4 f  1  2 x  . f  1  2 x  1  3 f  1  x  .  f  1  x  

2

.

 f  1  1
2

3
 f  1 0  f  1



1
2
 4 f  1 . f  1 1  3 f  1 . f  1
 f  1 
7.

Với x 0 , ta có:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hồnh độ bằng 1 là
1
6
y  f  1  x  1  f  1  y  7 x  7
.

y  f  x
Câu 47. [1D5-2.2-3] (GIA LỘC TỈNH HẢI DƯƠNG 2019 lần 2) Cho hàm số
có đạo hàm
y  f  x
tại x 1 . Gọi d1 , d 2 lần lượt là tiếp tuyến của đồ thị hàm số
và
y  g  x   x. f  2 x  1
tại điểm có hồnh độ x 1. Biết rằng hai đường thẳng d1 , d 2 vng góc
với nhau. Khẳng định nào dưới đây đúng.
f  1  2.
2  f  1 2 2.
2  f  1 2.

f  1 2 2.
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Tác giả: Thái Lê Minh Lý; Fb: Lý Thái Lê Minh
Chọn D

y  f  x
Gọi k1 , k2 lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số
và
g  x  x. f  2 x  1

tại điểm có hồnh độ x 1.


k1  f (1)
 

k2  g (1)  f  1  2 f  1

k1.k 2  1  f  1 .  f  1  2 f  1   1

1
 2 f  1 .
f  1

 f  1 

Theo đề bài ta có:
f  1 

1
1
 2 f  1 
 2 f  1 2 2
f  1
f  1

Ta có:

vì

1
f  1

và

f  1

cùng dấu.

1
 
f  1  .

2
2
 2  f  1  1  

 f  1  1 .
  
2 . Vậy f  1 2 2.
Dấu “=” xảy ra

Câu 48. [1D5-2.2-3] (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) Cho hàm số y x ln x
 C  . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của đồ thị với đường
có đồ thị
thẳng d : x  1 0 là
A. x  y  1 0 .
B. x  y  1 0 .
C. x  y 0 .
D. x  y  1  0 .
Lời giải


Tác giả: Tạ Trung Kiên; Fb: TrungKienTa
Chọn D

y  x ln x  y ln x  1 .
M  1;0 
Đồ thị hàm số y x ln x cắt đường thẳng d : x  1 0 tại điểm
.
Phương trình tiếp tuyến tại

M  1; 0 

là:

y  f  1  x  1  0  y x  1  x  y  1 0

.

y  f  x
 C  , biết tiếp tuyến
Câu 49. [1D5-2.2-4] (Lương Thế Vinh Lần 3) Cho hàm số
có đồ thị
 C  tại điểm có hồnh độ x 0 là đường thẳng y 3x  3 . Giá trị của
của đồ thị
3x
lim
x 0 f  3x   5 f  4 x   4 f  7 x 
bằng ?
1
3
3
1
A. 10 .
B. 31 .
C. 25 .
D. 11 .
Lời giải
Tác giả: Lê Quang Việt; Fb:Viêt lê quang
Chọn D

 f  0  3

C

y


3
x

3
 f  0   3 .
x

0
Vì phương trình tiếp tuyến của
tại điểm có hoành độ
là
nên 
f  x   f  0
f  ax   f  0 
f  0  lim
3
lim
3a
x 0
x 0
x
Ta có
suy ra x  0
với a 0 .
Khi đó



x

x 0

lim
Ta có

f  3x   f  0 

lim

x 0

9 lim
, x 0

f  4x   f  0
x

lim

3x
x 0
f  3x   5 f  4 x   4 f  7 x  

12

và

lim

f  7 x   f  0
x

x 0

21

.

3
f  3x   f  0 
f  4x   f  0
f  7 x   f  0
5
4
x
x
x

3
1

9  60  84 11 .
y

2 x 1
x  1 . Phương trình tiếp tuyến tại điểm

Câu 50. [1D5-2.3-2] (Văn Giang Hưng Yên) Cho hàm số
M  2;5 

của đồ thị hàm số trên là
y

3
x
 11 .
A.
B. y  3 x  11 .
C. y  3 x  11 .

D. y 3 x  11 .

Lời giải
Tác giả: Trần Văn Tân; Fb: Trần Văn Tân.
Chọn B.
Tập xác định:
y 

D R \  1

.

3

 x  1

2

.

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm

M  2;5

là

k  y 2   3

.


Tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm

M  2;5 

có phương trình là

y  3  x  2   5  y  3x  11
.
Câu 51. [1D5-2.3-2] (THPT LÝ THƯỜNG KIỆT – HÀ NỘI) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
A  2;3
tại điểm
có phương trình là y ax  b. Tính a  b.
A. 5.
B. 9.
C. 1.
D.  1.

y

x 1
x 1

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Minh Nguyệt; Fb: Nguyen Nguyet
Chọn A
2

y 

 x  1

2

 y  2   2.

Ta có
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm

A  2;3

là

y  2  x  2   3  y  2 x  7.

Vậy ta có a  2, b 7  a  b 5.
Câu 52. [1D5-2.3-2] (HK2 THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI) Gọi (C ) là đồ thị của hàm số
y  x 4  2 x 2 . Phương trình tiếp tuyến của (C ) song song với trục hoành là
A. y 1 .

B. y 0 .

C. y  1 .

D. y 1 .

Lời giải
Tác giả:Hồng Kiên ; Fb: Hoang kiên.
Chọn C
Vì tiếp tuyến song song với trục hoành nên hoành độ tiếp điểm ( nếu có ) là nghiệm của phương
trình y ' 0 .
3
Ta có y  4 x  4 x

 x 1  y  1
y 0  4 x  4 x 0   x 0  y 0
 x  1  y  1
3

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y  1 , suy ra đáp án đúng là đáp án C.
Bài tập tương tự :
Câu 53.

4
2
Cho hàm số y 3x  6 x  1 (C ). Phương trình tiếp tuyến của (C ) song song với đường
thẳng y 1 là

A. y 3 .
Câu 54.

B. y  3 .

C. y 2 .

D. y  2 .

3
2
Cho hàm số y x  3x (C ). Phương trình tiếp tuyến của (C ) song song với trục hoành là
A. y  1 .
B. y 5 .
C. y 3 .
D. y  4 .


2x  5
x  2 có đồ thị  C  . Viết
Câu 55. [1D5-2.3-2] (KIM-LIÊN 11 hk2 -2017-2018) 1) Cho hàm số
 C  , biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng x  y  2 0
phương trình tiếp tuyến của
y

x3
f  x    mx 2   m  2  x  3.
3
Câu 56. [1D5-2.1-3] (KIM-LIÊN 11 hk2 -2017-2018) 2) Cho hàm số
f '  x  0
Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m để
với mọi x   .

Lời giải
Tác giả: Trần Văn Tú; Fb: Trần Văn Tú

y' 
1) Ta có

9

 x  2 2

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y  x  2 nên k 1
 x  5
9
2
1   x  2  9  
2
 x 1
x  2
Suy ra 
Với x  5  y  1  PTTT: y  x  2 (loại)
Với x  5  y 5  PTTT: y  x  10 (thỏa mãn)
f ' x  x 2  2mx  m  2
2) Ta có  
f '  x  0 x  

 x 2  2mx  m  2 0 x  
 a 1  0

 m2  m  2 0   1 m 2
  ' 0

m    1;0;1; 2
Vì m nguyên nên
.
Câu 57. [1D5-2.3-2] (THPT PHỤ DỰC – THÁI BÌNH) Tìm điểm M trên đồ thị hàm số

 C  , biết tiếp tuyến của đồ thị  C 
M  0;  3

hoặc

M   2;5 

x 3
x 1

tại M song song với đường thẳng y 4 x  3 .

A. Không tồn tại M .
C.

y

.

B.

M  0;  3

.

D.

M   2;5 

.

Lời giải
Tác giả: Lê Văn Nguyên; Fb: Lê Văn Nguyên
Chọn D
TXĐ:

y

Gọi

D  \   1

.

x 3
4
 y'
2
x 1
 x  1

M  x0 ; y0 

.

là tiếp điểm

 x0  1 .

Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y 4 x  3 nên


y '  x0  4



4

 x0  1

2

4

 x0 0

  x0  1 1
 x0  2 (thỏa).
2

M  0;  3
+ Với x0 0  y0  3 , phương trình tiếp tuyến tại 1
là y 4 x  3 (không thỏa).
M   2;5 
+ Với x0  2  y0 5 , phương trình tiếp tuyến tại 2

là y 4 x  13 (thỏa).
Vậy

M   2;5 

.

Câu 58. [1D5-2.3-2] (Chuyên Hùng Vương Gia Lai) Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số
x3
(C ) : y   2 x 2  3 x  1
3
song song với đường thẳng d : y 8 x  2 ?
A. 3 .
B. 1 .
C. 0 .
D. 2 .
Lời giải
Tác giả: Ngô Thị Thơ; Fb: Ngô Thị Thơ
Chọn D
Tập xác định của hàm số D  .
2
Ta có y  x  4 x  3 .

C
Gọi d  là tiếp tuyến của đồ thị   và song song với đường thẳng d .

Gọi

M  x0 ; y0 

là tọa độ tiếp điểm của

C

và đường thẳng d  .

23

 x0 5  y0  3
 
 x  1  y  13
2
0

 0
3
Vì d  song song d nên f ( x0 ) 8  x0  4 x0  3 8

Với

x0 5; y0 

23
; f  x0  8
3

Phương trình tiếp tuyến

Với

x0  1; y0 

y 8( x  5) 

23
97
 y 8 x 
3
3 (nhận).

13
; f  x0  8
3

Phương trình tiếp tuyến

y 8( x  1) 

13
11
 y 8 x 
3
3 (nhận).

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến.
Câu 59. [1D5-2.4-2] (Chun Hạ Long lần 2-2019) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y  x 3  2 x 2  1 tại điểm M (1;0) .
A. y 2 x  3 .

B. y  x  1 .

C. y  2 x  3 .
Lời giải

D. y 3x  2 .