ĐỀ CƯƠNG TOÁN 8 kì 2 NGÔI SAO1819 đã nén

Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ

Đề Cương Tốn 8 THCS Ngơi Sao

TRƯỜNG LIÊN CẤP THCS, TIỂU HỌC
NGÔI SAO HÀ NỘI
Họ và tên:…………………………………………….

PHIẾU BỔ TRỢ KIẾN THỨC
MÔN ĐẠI SỐ LỚP 8
Ngày......tháng........năm........

Lớp:………………………………...…………………..
TOÁN 8 - HỌC KỲ II
I - BÀI TẬP ĐẠI SỐ - CƠ BẢN
Phần I: Đại số
Dạng 1: Toán rút gọn:
Bài 1.

Cho biểu thức A 

2x  9
x  3 2x 1


x  5x  6 x  2 3  x
2

a) Rút gọn A
b) Tìm x để A 

1
2

c) Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Lời giải
a) ĐKXĐ: x  2, x  3

A

2x  9
x  3 2x  1
2x  9
x  3 2x 1





x  5 x  6 x  2 3  x  x  2  x  3 x  2 x  3
2



2 x  9   x  3 x  3   2 x  1 x  2  2 x  9  x 2  9  2 x 2  3 x  2

 x  2  x  3
 x  2  x  3



 x  1 x  2 
x2  x  2

 x  2  x  3  x  2  x  3



x 1
x 3

b) Ta có: A 



1
ĐKXĐ: x  2, x  3
2

2  x  1   x  3
x 1 1
x 1 1
x 1
 
 0
0
0
x 3 2
x3 2
2  x  3
2  x  3

 x 1  0
 x  1 (TMĐK)
Vậy A 

1
tại x  1
2

c) Ta có: A 

x 1 x  3  4
4

 1
x3
x3
x 3

Face: />
Trang 1


Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ
Để A   thì 1 

x 3
x
KL

Đề Cương Tốn 8 THCS Ngôi Sao

4
4
  , mà 1  
   x  3  Ư  4   1;  2;  4
x 3
x3

4
1
TM

2
1
TM

1
2
Loại

1
4
TM

2
5
TM

4

7
TM

Vậy để A   thì x  1;1; 4; 5; 7
Bài 2.

 2x
x
3x 2  3   2 x  2 

 2
 1
Cho biểu thức: A  
:

 x 3 x 3 x 9   x 3
a) Rút gọn A .
b) Tính giá trị của biểu thức A với x thỏa mãn x  1  2
c) Tìm giá trị của x để A  0 .
Lời giải
a) ĐKXĐ: x  3; x  1
 2x
x
3x 2  3   2 x  2 
A

 2
 1
:


 x 3 x 3 x 9   x 3
 2 x( x  3)
x( x  3)
3x 2  3   2 x  2 x  3 
A



:

 ( x  3)( x  3) ( x  3)( x  3) ( x  3)( x  3)   x  3 x  3 
2 x 2  6 x  x 2  3x  3x 2  3 2 x  2  x  3
A
:
( x  3)( x  3)
x3
3 x  3
x 1
A
:
( x  3)( x  3) x  3
3( x  1) x  3
A
.
( x  3)( x  3) x  1
3
A
x3

Vậy A 

3
x3

b) Ta có x  1  2

 x 1  2

hoặc

x  1  2

x  2 1

x  2  1

x  1 (t/m)

x  3 (loại)

Thay x  1 vào biểu thức A ta được: A 
Vậy A 

3 3

1 3 4

3
khi x  1
4

c) Xét A  0 (ĐK: x  3; x  1 )

Face: />
Trang 2


Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ


Đề Cương Tốn 8 THCS Ngơi Sao

3
0
x3

Mà 3  0

 x3 0
 x  3
Kết hợp ĐK: x  3; x  1
Vậy x  3 thì A  0
Bài 3.

Cho biểu thức

x   x3 x2
x2 

A  1 


 2
:

 x  1   x  2 3  x x  5x  6 

a) Rút gọn A
1
2
c) Tìm giá trị của x để A  1
d) Tìm giá trị ngun của x để A có giá trị là số nguyên dương.
Lời giải
a) ĐK x  1; 2;3

b) Tìm x để A 

x   x3 x2
x2 

A  1 

 2
:

 x  1   x  2 3  x x  5x  6 
x2
=
x 1
1
b) A   x  5

2
x2
3
c) A  1 
1
 0  x  1
x 1
x 1
x2
3
d) A 
 1
x 1
x 1
x 1  1
x  0
 x  1  1
 x  2
Để A  Z  x  1  U 3  

x 1  3
 x  2( L)


 x  1  3
 x  4

Bài 4.

 2x2  1

  1  x3

x
 2
 x
Cho biểu thức A   3
.
 x 1 x  x  1   1  x

a) Rút gọn A .
1
b) Tìm giá trị của A với x 
2

x2
c) Với x  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của B 
A
Lời giải
a) ĐK x  1
 2x2  1
  1  x3

x
A 3
 2
 x
 .
 x 1 x  x  1   1  x

Face: />

Trang 3


Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ

Đề Cương Tốn 8 THCS Ngơi Sao

 x 1
1
3
b) x 
 A
2
2
2
2
x
x
1

 x 1
 2  4 ( bđt Côsi với x  1 )
c) B 
A x 1
x 1
Bmin  4  x  2
Bài 5.

 2  x 4x2
2  x  x 2  3x

 2

Cho biểu thức: A  
: 2
3
 2  x x  4 2  x  2x  x
a) Rút gọn A.
b) Tính giá trị của A biết x  3  5
c) Tìm giá trị nguyên của x để A  4
Lời giải
a) Rút gọn A.

 2  x 4 x2
2  x  x2  3x
A
 2

: 2 3
 2  x x  4 2  x  2x  x
 2 x
4x2
2  x  x 2  3x



: 2
2
3
2


x
4

x
2

x

 2x  x
  2  x 2  4 x 2   2  x  2  x 2  2  x 

.

 x  x  3
2

x
2

x





2
x 2  x
8x  4 x

.

 2  x  2  x  x  3


4x  2  x x  2  x
.
 2  x  2  x  x  3



4 x2
x 3

Vậy A 

4 x2
, x  2, x  0, x  3
x3

b) Tính giá trị của A biết x  3  5
 x  8 TM 
* x3  5  
 x  2  KTM 

4.82 4.64 256


83
5
5
c) Tìm giá trị nguyên của x để A  4

*Thay x=8 cho A 

*A

Bài 6.

4x2
x2
 4.
 A 4, x  2, x  0, x  3 .
x3
x3

4
1  x2  2x  1
 x
Cho biểu thức: P  2


:
x  2 x  1  x 2  1 x3  x 
x3  x
a) Rút gọn P.
d) So sánh P với -2

Face: />
Trang 4


Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ

Đề Cương Tốn 8 THCS Ngơi Sao
e) Tìm GTNN của P

b) Tính giá trị của P biết x  1  2
c) Tìm x để P = -1
Lời giải
a) Rút gọn P.
4
1  x2  2 x  1
 x
P 2


:
x  2 x  1  x 2  1 x3  x 
x3  x

 x
 x  x 2  1
1
.

 2

2
2
 x  1  x  1 x  x 2  1   x  1
 x 2  1  x  x 2  1
4

.


2
2
 x  1  x  x 2  1   x  1
4




4

 x  1

2

x


2

 1

 x  1

2

3  x2

 x  1

Vậy P 

2

3  x2

 x  1

2

, x  1, x  0

b) Tính giá trị của P biết x  1  2
 x  3 TM 
* x 1  2  
 x  1 KTM 
* Thay x  3 cho P 

3  x2

 x  1

2



6 3


4
2

c) Tìm x để P = -1, x  1, x  0


3  x2

 x  1

2

 1

 3  x 2    x  1

2

 3  x2   x2  2 x  1
 x  2 TM 

d) Tìm x để P  1 , x  1, x  0


3  x2

 x  1

2

 1

 3  x 2    x  1

2

 3  x2   x2  2 x  1
 x  2 TM 

e) So sánh P với -2.

Face: />
Trang 5


Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ
*Xét: P  2 

3  x2

 x  1

2

2

2

x2  4 x  5

 x  1

2

Đề Cương Toán 8 THCS Ngôi Sao
2

 x  2 1

2
 x  1

2

*Ta có:  x  2   0,  x  1  0,  x nên P+2>0 hay P  2, x  1, x  0
f) Tìm GTNN của P.
*Giả sử Pmin   a
2

a  2a  3

a  1  x 

 
2
3 x
a 1 
a 1

a 

* Xét P  a 
2
2
 x  1
 x  1
*Để Pmin  a  P  a  0, x  2a  3  0  a 

3
2

2

 x  3  0
3
 P 
2 2.  x  12
3
 x  3 TMDK 
2
3
*Vậy Pmin    x  3 .
2
P

Dạng 2: Giải phương trình
Bài 7.

Giải phương trình
a) 3  3x  1  2  5 1  2 x   1
2

b)  2 x  3 2 x  3  4  x  5   9 1  5 x 
2x  5
5x  3 6 x  7
x2

x
6
3
4
x  2001 x  1999 x  1997 x  1995
d)



 4
5
7
9
11
x  5 x  10 x  25
e)


60
45
30
25
Lời giải

c)

a) 3  3x  1  2  5 1  2 x   1
 9 x  3  2  5  10 x  1
 9 x  10 x  4  3  2
 19 x  5
5
x
19
Vậy nghiệm của phương trình là x 

5
19

2

b)  2 x  3 2 x  3  4  x  5   9 1  5 x 

Face: />
Trang 6


Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ

Đề Cương Tốn 8 THCS Ngơi Sao

 4 x 2  9  4.  x 2  10 x  25  9  45 x
 4 x 2  9  4 x 2  40 x  100  9  45 x
 40 x  45 x  9  9  100
 5 x  100

 x  20
Vậy nghiệm của phương trình là x  20
2x  5
5x  3 6 x  7
c)
x2

x
6
3
4
4 x  10 12 x 24 20 x  12 18 x  21 12 x






12
12 12
12
12
12
4 x  10  12 x  24 20 x  12  18 x  21  12 x


12
12
 8 x  14  14 x  9
 8 x  14 x  14  9

 22 x  5
5
 x
22
5
Vậy nghiệm của phương trình là x 
22
x  2001 x  1999 x  1997 x  1995
d)



 4
5
7
9
11
 x  2001   x  1999   x  1997   x  1995 

 1  
 1  
 1  
 1   4  4
5
7
9

 
 
  11


x  2006 x  2006 x  2006 x  2006




0
5
7
9
11
1 1 1 1 
  x  2006        0
 5 7 9 11 
 x  2006  0

Bài 8.

 x  2006
Vậy nghiệm của phương trình là x  2006
x  5 x  10 x  25
e)


60
45
30
25
 x  5   x  10
  x  25



 1  
 2  
 3  6  6  0
 45
  30
  25

x  50 x  50 x  50



0
45
30
25
1
1 
 1
  x  50       0
 45 30 25 
 x  50  0
 x  50
Vậy nghiệm của phương trình là x  50
Giải phương trình
x  5 1 2x  3
a)
 
3x  6 2 2 x  4

Face: />
Trang 7


Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ

Đề Cương Tốn 8 THCS Ngơi Sao

12
1  3x 1  3x


2
1 9x
1  3x 3x  1
1
1
1
1
1
c) 2
 2
 2
 2

x  5 x  6 x  7 x  12 x  9 x  20 x  11x  30 8
Lời giải
x  5 1 2x  3
a)

ĐKXĐ x  2
 
3x  6 2 2 x  4
x5
1
2x  3

 
3 x  2 2 2  x  2

b)



2 x  10 3  x  2 
6x  9


6  x  2 6  x  2 6  x  2



2 x  10  3 x  6
6x  9

6  x  2
6  x  2

  x  16  6 x  9
 7 x  25

25
x
7

Vậy nghiệm của phương trình là x 
b)

12
1  3x 1  3x


2
1 9x
1  3x 3x  1

25
7

ĐKXĐ x  

1
3

2

1  3 x  3x  1  1  3x 
12


 3x  1 3x  1  3x  1 3 x  1  3x  1 3x  1



12
6 x  1  9 x2  1  6 x  9 x2

 3x  1 3x  1
 3x  1 3 x  1

 12  12x
 x  1
Vậy nghiệm của phương trình là x  1
1
1
1
1
1
c) 2
 2
 2
 2

x  5 x  6 x  7 x  12 x  9 x  20 x  11x  30 8
x  2; x  3; x  4;
x  5; x  6


ĐKXĐ

1
1

1
1
1




( x  3)( x  2) ( x  4)( x  3) ( x  5)( x  4) ( x  5)( x  6) 8

1
1
1
1
1
1
1
1
1








x 3 x  2 x 4 x 3 x 5 x  4 x 6 x 5 8
1
1
1




x2 x6 8
x  6  x  2 1


( x  2)( x  6) 8


4
1

x  8 x  12 8
 x 2  8 x  12  32


2

Face: />
Trang 8


Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ

Đề Cương Tốn 8 THCS Ngơi Sao

 x 2  8 x  20  0
 ( x  10)( x  2)  0

Bài 9.

 x  10 (TM )

 x  2 (TM )
Vậy nghiệm của phương trình là x  10 và x  2 .
Giải các phương trình:
a) 2 x  3  4
b) x  4  3 x  5
c) 2  x  1 x  4  0
d) x  2  4  6
e) 7  3x  4  5 x
f) x  3  2 x  5  3
Lời giải

7

x

2 x  3  4
2 x  7
2


a) 2 x  3  4  
 2 x  3  4
 2 x  1  x   1

2
7

2

1
2

Vậy tập nghiệm của phương trình là S   ;  

b) x  4  3 x  5  x  4  5  3 x (ĐK: x 

5
)
3

9

x

(l )

 x  4  5  3x
4x  9
4



 x  4  5  3x
2x  1
 x  1 ( n)

2

1 
2

Vậy tập nghiệm của phương trình là S   

x 1  0
 x  1

x  4
 x4 0

c) 2  x  1 x  4  0  

Vậy tập nghiệm của phương trình là S  4; 1

Face: />
Trang 9


Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ

Đề Cương Tốn 8 THCS Ngơi Sao

d)

x2 46
 x2 2
x  2  2
x  0
x2 4 6 


 x2 2 

 x  2  2
 x  4
 x  2  4  6
 x  2  10
Vậy tập nghiệm của phương trình là S  4;0

3

x

7  3x  4  5 x
 2 x  3
2


e) 7  3x  4  5 x  
7  3x  4  5 x
8 x  11
 x  11

8
 3 11 
; 
2 8

Vậy tập nghiệm của phương trình là S  
f) x  3  2 x  5  3 (1)

Trường hợp 1: x 

5
2

x  3  2 x  5  3  3  x  2 x  5  3  3x  5  x 

Trường hợp 2:

5
(l )
3

5
 x3
2

x  3  2 x  5  3  3  x  2 x  5  3  x  5 (l )
Trường hợp 2: 3  x

x  3  2 x  5  3  x  3  2 x  5  3  3x  1  x 

1
(l )
3

Vậy tập nghiệm của phương trình là S   .
Bài 10.

Giải và biện luận các phương trình sau: ( m là tham số)

a) 4( x  1)  m(mx  1)  2
b)

x  4m x  4 x  4m  3


m 1 m 1
m2  1
Lời giải
2



2



a) 4( x  1)  m( mx  1)  2  4 x  4  m x  m  2  m  4 x  m  2  0

  m  2  (m  2) x  (m  2) (1)
+ Nếu m  2 , thay vào (1) ta được  2  2  (2  2) x  (2  2)  0 x  4  x  
+ Nếu m  2 , thay vào (1) ta được  2  2  (2  2) x  (2  2)  0 x  0  x  
Face: />
Trang 10


Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ
+ Nếu m  2 , (1)  x  

Đề Cương Tốn 8 THCS Ngơi Sao

1
.
m2

Vậy nếu m  2 , phương trình đã cho vơ nghiệm
Nếu m  2 , phương trình đã cho có vơ số nghiệm
Nếu m  2 , phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 

b)

x  4m x  4 x  4m  3


(điều kiện: m  1 )
m 1 m 1
m2  1



 x  4m  m  1   x  4  m  1  x  4m  3

1
.
m2

m2  1
m2  1
m2  1
  x  4m  m  1   x  4  m  1  x  4m  3

  m  1 x  4m 2  4m   m  1 x  4m  4  x  4m  3  0
  2m  1 x  4m 2  4m  1  0
  2m  1 x   2m  1

2

(1)

1
+ Nếu m  , thay vào (1) ta được
2
+ Nếu m 

1
, (1)  x  2m  1 .
2

Vậy nếu m 

Nếu m 

2

 1 
 1 
 2.  1 x   2.  1  0 x  0  x  
 2 
 2 

1
, m  1 thì phương trình có vơ số nghiệm.
2

1
, m  1 thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x  2m  1 .
2

Dạng 3: Giải bất phương trình
Bài 11.

Giải các bất phương trình sau:

x 1 x  5 x  4 x  9



.
991 995
994 999

a) 3  4 x  1  2  5 x  2   8 x  2 .

c)

b)  x  2  x  3   34   x  5  3  x  .

d) 16 x  5 x 2  3  0 .
Lời giải

a) 3  4 x  1  2  5 x  2   8 x  2

 12 x  3  10 x  4  8 x  2
 12 x  10 x  8 x  2  3  4
 6 x  1  x 

1
6

Face: />
Trang 11


Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S   x / x 


Đề Cương Tốn 8 THCS Ngơi Sao
1
.
6

b)  x  2  x  3   34   x  5  3  x 

 x2  3x  2 x  6  34  (3x  x 2  15  5 x)
 x 2  3x  2 x  6  34  3x  x 2  15  5 x
 x 2  3x  2 x  6  34  3x  x 2  15  5 x  0
  x  25  0  x  25
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S   x / x  25 .

c)

x 1 x  5 x  4 x  9



991 995
994 999



x 1
x5
x4
x9
1 
1 
1 
1
991
995
994
999



x  990 x  990 x  990 x  990




991
995
994
999

1
1
1 
 1
 (x  990) 



0
 991 995 994 999 

 x  990  0 (Do

1
1
1
1



 0)
991 995 994 999

 x  990
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S   x / x  990 .

d) 16 x  5 x 2  3  0

 15 x  5 x 2  x  3  0
 5x(3  x)  (3  x)  0
 (3  x)(5 x  1)  0
3  x
3  x  0

TH1: 

1  x3
5 x  1  0
 x  5
x  3
3  x  0
1

TH2: 

1x
5
5 x  1  0
 x  5

Vậy x  3 hoặc x 

1
.
5

Face: />
Trang 12


Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ

Đề Cương Tốn 8 THCS Ngơi Sao

e)

2x  5
 1 (ĐK: x  24 )
x  24



2x  5
2 x  5  x  24
x  29
1  0 
0
0
x  24
x  24
x  24

 x  29  0
 x  29
TH1: 


(khơng có giá trị nào của x thỏa mãn)
 x  24  0
 x  24
 x  29  0
 x  29
TH2: 

 29  x  24
 x  24  0
 x  24
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S   x /  29  x  24 .
f)

x 3 x 5

2
x 5 x3



( x  3) 2
( x  5) 2
2( x  3)( x  5)


0
( x  3)( x  5) ( x  3)( x  5) ( x  3)( x  5)



x 2  6 x  9  x 2  10 x  25  2(x 2  2 x  15)
0
( x  3)( x  5)



x 2  6 x  9  x 2  10 x  25  2 x 2  4 x  30
0
( x  3)( x  5)



64
 0  ( x  3)( x  5)  0 (Do 64  0 )
( x  3)( x  5)

x  3  0
x  3
TH1: 

 5  x  3
x  5  0
 x  5
x  3  0
x  3
TH2: 

(khơng có giá trị nào của x thỏa mãn)
x  5  0
 x  5

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S   x /  5  x  3 .
Bài 12.

Giải các bất phương trình sau:
a) x  5  2 .

c) 4 x  5  3 x  7 .

b) 2 x  1  3 .

d) 5 x  4  9  2 x .
Lời giải

a) x  5  2
 2  x  5  2
 3 x7
Vậy phương trình có nghiệm 3  x  7 .
b) 2 x  1  3
Face: />
Trang 13


Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ

Đề Cương Tốn 8 THCS Ngơi Sao

2 x  1  3
2 x  4
x  2




 2 x  1  3
 2 x  2
 x  1
Vậy phương trình có nghiệm  x  2    x  1 .
c) 4 x  5  3 x  7 .
4 x  5  3x  7

 4 x  5  3 x  7

 x  12
 x  12

7 x  2   x  2

7


2

Vậy phương trình có nghiệm  x  12    x   .
7


d) 5 x  4  9  2 x

x 
5 x  4  9  2 x
7 x  5




 5 x  4  9  2 x
 3 x  13
x 


5
7
13
3

5 
13 

Vậy phương trình có nghiệm  x     x 
.
7 
3 


Bài 13.

Giải và biện luận các bất phương trình sau: ( m là tham số)
a) m  2 x  m   2  x  m   1
Có: m  2 x  m   2  x  m   1
2

 2mx  m 2  2 x  2m  1  2mx  2 x  m 2  2m  1  2  m  1 x   m  1 1

TH1: m  1 .Ta có 0  0 (ln đúng). Vậy bpt có nghiệm với mọi m
TH2: m  1 1  2 x  m  1  x 

m 1
2

TH3: m  1 1  2 x  m  1  x 

m 1
2

b) 4  x  1  m  mx  1  2  4 x  4  m 2 x  m  2  4 x  m 2 x  m  2  x  4  m 2   m  2
0  4
TH1: 4  m 2  0  m  2 .Khi đó: 
(ln đúng)
0  0
Phương trình có nghiệm với mọi m .
TH2: 4  m 2  0  2  m  2 .

=> x 

1
2m

m  2
1
TH3: 4  m 2  0  
=> x 
.

2m
 m  2
Face: />
Trang 14


Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ

Đề Cương Tốn 8 THCS Ngơi Sao

Dạng 4: Giải bài tốn bằng cách lập phương trình
Tốn về quan hệ giữa các số:
Bài 14.

Tìm một số có 2 chữ số biết rằng tổng các chữ số của nó bằng 10 và nếu số đó viết theo thứ tự
ngược lại thì số đó giảm đi 36 .
Lời Giải
Gọi chữ số hàng chục là x (ĐK: x  N * ; x  10 )
Chữ số hàng đơn vị là 10  x
Số đã cho là x(10  x)
Nếu số đó viết theo thứ tự ngược lại ta có số mới là: (10  x ) x
Theo bài toán khi viết theo thứ tự ngược lại thì số đó giảm đi 36 nên ta có phương trình:

x(10  x)  (10  x) x  36  10 x  (10  x)  10.(10  x)  x   36
 10 x  10  x  100  10 x  x  36  18 x  90  36 

18 x  126  x  7 (TMDK )

Do đó chữ số hàng chục là 7
Chữ số hàng đơn vị là 10  7  3

Vậy số có 2 chữ số phải tìm là 73 .
Bài 15.

5
số này và 2,5 số kia bằng 21 . Tìm hai số đó.
6
Lời giải
Gọi hai số cần tìm là x ; 321  x .
5
Theo đề bài ta có : x  2,5.(321  x )  21
6
 5x  4815  15x  126
 10x  4689
 x  468, 9
Vậy hai số cần tìm là: 468,9 và  147,9 .

Tổng 2 số là 321 . Tổng của

Tốn có nội dung hình học:
Bài 16.

Một hình chữ nhật có chu vi 372m. Nếu tăng chiều dài 21m và tăng chiều rộng 10m thì diện
tích tăng 2862m2. Tính kích thước của hình chữ nhật lúc đầu.
Lời giải
Nửa chu vi là 372 : 2  186
Gọi chiều dài hcn là x  m  .
Chiều rộng là 186 – x  m 
Diện tích của hcn lúc đầu là x.(186  x ) (m2)
Chiều dài của hcn sau khi tăng thêm 21m là x  21 (m),
Chiều rộng của hcn sau khi tăng thêm 10 m là 186  x  10  196  x (m),

Diện tích mới của hcn là ( x  21)(196  x ) (m2)

Face: />
Trang 15


Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ

Đề Cương Tốn 8 THCS Ngơi Sao

Sau khi tăng thêm chiều dài và chiều rộng thì diện tích tăng 2862 m 2 nên ta có phương trình:
( x  21)(196  x )  x.(186  x )  2862
 196 x  x 2  4116  21x-186x  x 2  2862
 11x  1254

 x  114
Vậy chiều dài của hcn là 114( m) , chiều rộng của hcn là 72 ( m) .
Tốn chuyển động:
Bài 17.

Hai ơ tô khởi hành cùng một lúc để đi từ Huế vào Đà Nẵng. Vận tốc xe thứ nhất là 40 km/h,
vận tốc xe thứ hai là 60 km/h. Xe thứ hai đến Đà Nẵng nghỉ nửa giờ rồi quay lại Huế thì gặp xe
thứ nhất ở cách Đà Nẵng 10 km. Tính quãng đường Huế - Đà Nẵng.
Lời giải
Gọi quãng đường Huế – Đà Nẵng dài x (km) (đk: x  0 )
Thời gian xe thứ nhất đi (kể từ lúc xuất phát đến lúc gặp xe thứ hai tại điểm cách Đà Nẵng 10
km) là:

x  10
(giờ)

40
Thời gian xe thứ hai đi (kể từ lúc xuất phát đến lúc gặp xe thứ nhất tại điểm cách Đà Nẵng 10
x  10 1 x  40
 
km, kể cả thời gian nghỉ) là:
(giờ)
60
2
60
Vì thời gian của hai xe bằng nhau nên ta có phương trình:
x  10 x  40

40
60
 3 x  30  2 x  80

 x  110 (TMĐK)
Vậy quãng đường Huế - Đà Nẵng dài 110 km.
Bài 18.

Một người đi từ thành phố Thanh Hóa vào thành phố Vinh. Nếu chạy với vận tốc 25 km/h thì
sẽ muộn so với dự định là 2 giờ. Nếu chạy với vận tốc 30 km/h và giữa đường nghỉ 1 giờ thì
cũng muộn mất 2 giờ. Để đến nơi đúng giờ mà dọc đường khơng nghỉ thì xe phải chạy mỗi giờ
bao nhiêu km?
Lời giải
Gọi độ dài quãng đường từ thành phố Thanh Hóa vào Vinh là x (km) (đk: x  30 )
Thời gian xe đi với vận tốc 25 km/h là:

x
(giờ)

25

 Thời gian dự định đi hết quãng đường là:
Thời gian xe đi với vận tốc 30 km/h là:

x
x  50
2
25
25

x
(giờ)
30

Do xe nghỉ 1 giờ ở giữa quãng đường nên đến Vinh muộn 2 giờ so với dự định nên ta có
phương trình:
Face: />
Trang 16


Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ

Đề Cương Tốn 8 THCS Ngơi Sao

x
x  50
1 
2
30

25


x x  50
x x  25

1 

30
25
30
25

 5 x  6 x  150  x  150 (TMĐK)
 Quãng đường từ thành phố Thanh Hóa và Vinh dài 150 km.

150
6
25

Khi đó thời gian người đó đi từ thành phố Thanh Hóa vào Vinh với vận tốc 25 km là:
(giờ)
Thời gian dự định đi là: 6 – 2 = 4 (giờ)
Vận tốc dự định đi từ thành phố Thanh Hóa vào Vinh là:

150
 37,5 (km/h)
4

Vậy để đến nơi đúng giờ mà dọc đường khơng nghỉ thì xe phải chạy mỗi giờ 37,5 km.

Bài 19.

Bài 19: Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 25 km/h, lúc về đi với vận tốc 30 km/h
nên thời gian về ít hơn thời gian đi 20 phút. Tính quãng đường AB.
Lời giải
Gọi chiều dài quãng đường AB là x (km, x  0 )
Thời gian người đó đi từ A đến B là
Thời gian người đó đi từ B về A là

x
(h)
25

x
(h)
30

1
Vì thời gian về ít hơn thời gian đi 20'  h nên ta có phương trình:
3
x
x 1


25 30 3
Giải phương trình được x  50(TM )
Vậy quãng đường AB dài 50 km.
Bài 20.

Một xe ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc 48 km/h. Sau khi đi được 1h thì xe bị hỏng phải
dừng lại để sửa 15 phút. Do đó để đến B đúng giờ người đó phải tăng vận tốc thêm 6 km/h.
Tính quãng đường AB.
Lời giải
Gọi chiều dài quãng đường AB là x (km, x  0 )
Thời gian dự định của ô tô là

x
( h)
48

Quãng đường ô tô đi được trong 1 giờ là 48(km)
Qng đường cịn lại ơ tơ phải đi là x  48 (km)
Face: />
Trang 17


Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ

Đề Cương Tốn 8 THCS Ngơi Sao

Vận tốc ơ tơ đi trên quãng đường còn lại 48  6  54 (km/h)
Thời gian ơ tơ đi qng đường cịn lại
Đổi 15' 

x  48
(h)
54

1

h
4

Theo đề bài ta có phương trình:
x
1 x  48
 1 
48
4
54
x x  48 5



48
54
4
 9 x  8 x  384  540
 x  156
Vậy quãng đường AB dài 156 km.
Bài 21.

Một ca nô xuôi dòng từ A đến B hết 1giờ 20 phút, và ngược dòng hết 2 giờ. Biết vận tốc
của dòng nước là 3km/h. Tính vận tốc riêng của ca nơ?
Lời giải
Đổi 1 giờ 20 phút 

4
giờ.
3

Gọi vận tốc của ca nô là x km/h, x  3
Vận tốc ca nô xuôi dịng là: x  3 km/h.
Qng đường ca nơ xi dòng là:

4
.  x  3  km.
3

Vận tốc ca nơ ngược dịng là: x  3 km/h.
Qng đường ca nơ ngược là: 2.  x  3  km.
Vì qng đường ca nơ xi dịng bằng qng đường ca nơ ngược dịng nên ta có phương
trình:
4
.  x  3   2.  x  3   x  15 (tmđk)
3

Vậy vận tốc riêng của ca nô là: 15 km/h.
Tốn năng suất - cơng suất
Bài 22.

Hai phân xưởng có tổng cộng 220 cơng nhân. Sau khi chuyển 10 công nhân ở phân xưởng I
sang phân xưởng II thì

2
4
số cơng nhân phân xưởng I bằng số cơng nhân phân xưởng II.
3
5

Tính số cơng nhân mỗi phân xưởng lúc đầu?
Lời giải
Gọi số công nhân của phân xưởng thứ I t là x người, x  * ; x  220
Face: />
Trang 18


Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ

Đề Cương Tốn 8 THCS Ngơi Sao

Số cơng nhân ở phân xưởng thứ II là: 220  x người.
Chuyển 10 công nhân ở phân xưởng I thì phân xưởng I cịn lại: x  10 người.
Phân xưởng II có 220  x  10  230  x người.
Vì

2
4
số cơng nhân ở phân xưởng I bằng số công nhân phân xưởng II nên ta có phương
3
5

trình:
2
4
 x  10    230  x   x  130 ( tmđk)
3
5

Vậy phân xưởng I có 130 người.

Phân xưởng II có 90 người.
Bài 23.

Một công nhân phải làm một số sản phẩm trong 18 ngày. Do đã vượt mức mỗi ngày 5 sản
phẩm nên sau 16 ngày anh đã làm xong và làm thêm 20 sản phẩm nữa ngoài kế hoạch. Tính
xem mỗi ngày anh đã làm được bao nhiêu sản phẩm?
Lời giải
Gọi số sản phẩm phải làm trong một ngày của cơng nhân đó là x (sản phẩm) ĐK: x  N*
Số sản phẩm phải làm là: 18x (sản phẩm)
Số sản phẩm làm trong một ngày theo thực tế là: x + 5 (sản phẩm)
Số sản phẩm đã làm theo thực tế là: 16(x + 5) (sản phẩm)
Do đã vượt mức mỗi ngày 5 sản phẩm nên sau 16 ngày anh đã làm xong và làm thêm 20 sản
phẩm nữa ngồi kế hoạch nên ta có phương trình:
16(x + 5) - 18x = 20
  2x =  50
 x = 25 (Thỏa mãn)
Vậy sản phẩm làm trong một ngày của cơng nhân đó là 25 sản phẩm

Bài 24.

Hai vịi nước chảy vào một bể thì bể sẽ đầy trong 3 giờ 20 phút. Người ta cho vòi I chảy 3 giờ,
vịi II chảy 2 giờ thì cả hai vịi chảy bể. Tính thời gian mỗi vịi chảy một mình đầy bể?
Lời giải
Đổi: 3 giờ 20 phút =

10
giờ
3

Gọi x (giờ) là thời giản chảy một mình đầy bể của vịi thứ nhất. ĐK:

Trong 1 giờ vòi thứ nhất chảy được:

1
(bể)
x

Trong 1 giờ cả hai vòi chảy được 1:

10
3
=
(bể)
3
10

Trong 1 giờ vòi thứ hai chảy được:

10
>x>0
3

3 1
- (bể)
10 x

Face: />
Trang 19


Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ

Thời giản chảy một mình đầy bể của vịi thứ hai là: 1: (

Đề Cương Tốn 8 THCS Ngơi Sao

3
1
 ) (giờ)
10
x

Người ta cho vòi I chảy 3 giờ, vòi II chảy 2 giờ thì cả hai vịi chảy

4
bể nên ta có phương
5

trình:
3.

1
3
1
4
 )=
+ 2(
x
10
x
5



3
3
2
4

+
=
x
5
x
5



1
1
=
x
5

 x = 5 (Thỏa mãn)
Vậy vịi thứ nhất chảy đầy bể sau 5 (giờ)
Vòi thứ hai chảy đầy bể sau 1: (

3 1
 ) = 10 (giờ)
10 5
Tốn phần trăm

Bài 25.

Một xí nghiệp dệt thảm được giao làm một số thảm xuất khẩu trong 20 ngày. Xí nghiệp đã
tăng năng suất lên 20% nên sau 18 ngày không những đã làm xong số thảm được giao mà cịn
làm thêm được 24 chiếc nữa. Tính số thảm mà xí nghiệp đã làm trong 18 ngày.
Lời giải
Gọi số thảm xí nghiệp dự định làm trong mỗi ngày là x (thảm, x  N * )
Số thảm xí nghiệp dự định làm là 20x (thảm)
Thực tế, do tăng năng suất lên 20% nên số thảm xí nghiệp dệt được trong mỗi ngày là x +
20%x = 120%x = 1,2x (thảm)
Nên số thảm dệt được là 1,2x.18 = 21,6x (thảm)
Vì dệt thêm được 24 thảm nên ta có phương trình:
20 x  24  21, 6 x
 21, 6 x  20 x  24
 1, 6 x  24
 x  15 TM 
Vậy số thảm xí nghiệp dệt được trong 18 ngày là 21,6.15 = 324 thảm.

Bài 26.

Trong tháng giêng hai tổ công nhân may được 800 chiếc áo. Tháng 2 tổ 1 vượt mức 15%, tổ 2
vượt mức 20% do đó cả 2 tổ sản xuất được 945 cái áo. Tính xem trong tháng đầu mỗi tổ may
được bao nhiêu chiếc áo.
Lời giải
Trong tháng đầu, gọi số áo tổ 1 may được là x (áo, x  N * , x  800 )
Số áo tổ 2 may được là 800 - x (áo)

Face: />
Trang 20

Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ

Đề Cương Tốn 8 THCS Ngơi Sao

Trong tháng 2, tổ 1 vượt mức 15% nên số áo tăng lên là 15%x = 0,15x (áo)
Tổ 2 vượt mức 20% nên số áo tăng lên là 20%(800 - x) = 160 - 0,2x (áo)
Do tăng năng suất nên số áo tăng lên là 945 - 800 = 145 (áo), ta có phương trình:
0,15 x  160  0, 2 x  145
 0, 05 x  15
 x  300 TM 
Vậy trong tháng đầu, số áo tổ 1 may được là 300 áo, số áo tổ 2 may được là 800 - 300 = 500 áo.
II - BÀI TẬP ĐẠI SỐ - NÂNG CAO
Bài 1.

Giải các phương trình:
2

a)  x 2  3 x   8  x 2  3 x   48
2

  x 2  3 x   8  x 2  3 x   48  0
2

  x 2  3 x   8  x 2  3 x   16  64  0
2

  x 2  3 x  4   82  0

  x 2  3x  4  8 x 2  3x  4  8  0
  x 2  3x  4  x 2  3x  12   0
2

9 39 
3  39
x  
0)
( Vì x  3x  12  x  3x  
4 4 
2
4
2

2

 ( x 2  3 x  4)  0
 ( x  1)( x  4)  0
 x – 1 = 0 hoặc x +4 =0
x  1 hoặc x  –4 Vậy S   –4;1 .
b) 4 x 3  4 x 2  15 x  18  0
 4 x3  12 x 2  8 x 2  9 x  24 x  18  0
 (4 x 3  12 x 2  9 x)  (8 x 2  24 x  18)  0
 x(4 x 2  12 x  9)  2(4 x 2  12 x  9)  0
 (4 x 2  12 x  9)( x  2)  0
 (2 x  3)2 .( x  2)  0
 (2 x  3) 2  0 hoặc x  2  0
 2x – 3  0
x  –2
3

 x=
2
 3
Vậy S  2;  .
 2
c) x  x – 1 x  1 x  2   24
 x  x  1 x –1 x  2   24

  x 2  x  x 2  x – 2   24
Đặt t  x 2  x
Face: />
Trang 21


Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ

Đề Cương Tốn 8 THCS Ngơi Sao

 t  t – 2   24

 t 2 – 2t  24
 t 2 – 2t – 24  0
  t  4  t – 6   0
 t  4  0 hoặc t – 6  0
 t  –4 hoặc t  6 .
* Với t  –4  x 2  x  –4
 x2  x  4  0
1 15
Vì x 2  x  4  x 2  x  
4 4

2

1  15

x   0
2
4

Nên phương trình x 2  x  4  0 Vô Nghiệm
Với t  6  x 2  x  6
 x2  x – 6  0
 ( x  2)( x  3)  0
 x – 2  0 hoặc x  3  0
x  2 hoặc x  –3 .
Vậy S  –3; 2 .
d) ( x 2  3 x  4)( x 2  x  6)  24
  x  4  x –1 x  3  x  2   24
  x  1 x  3 x  4  x – 2   24


 x





 x 2  x x 2  x – 2  24
2

 2 x  3 x 2  2 x – 8  24

Đặt t  x 2  2 x
  t – 3 t – 8   24
 t 2 –11t  24  24
 t 2 –11t  0
 t  t –11  0

 t  0 hoặc t –11  0
 t  0 hoặc t  11
* Với t  0  x 2  2 x  0
 x  x  2  0

 x  0 hoặc x  2  0
 x  0 hoặc x  –2
Với t  11  x 2  2 x  11
 x 2  2 x –11  0







 x 1 2 3 x 1 2 3  0
 x  1  2 3  0 hoặc x  1  2  0
 x  1  2 3 hoặc x  1  2 3





Vậy S  2; 0; 1  2 3; 1  2 3 .
Face: />
Trang 22


Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ
Bài 2.

Đề Cương Tốn 8 THCS Ngơi Sao

CMR với 3 số a , b , c ta đều có:
a)  a  1 a  3 a  4  a  6   9  0
  a  1 a  6  a  3 a  4   9  0
  a 2  7 a  6  a 2  7 a  12   0
Đặt t  a 2  7 a  6 , ta có
t.  t  6   9  0
 t 2  6t  9  0
2

  t  3  0 (Luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra  t  3
 a 2  7 a  6  3
 a 2  7a  9  0

7  13
7  13
hay a 
.
2

2
b) 4a (a  b)(a  1)(a  b  1)  b 2  0
 a

VT  4a(a  b)(a  1)(a  b  1)  (a  b  a) 2
 4a (a  b)[a(a  b)  a  a  b  1)  (a  b  a ) 2  4a (a  b)
 4a (a  b)[a(a  b)  2a  b  1  1)  (2a  b) 2
 4a 2 (a  b) 2 +4a(a  b)(2a  b)  (2a  b) 2
 [2a (a  b)  2a  b]2  0 (đpcm)
c) a 2  b 2  1  ab  a  b
 2a 2  2b 2  2  2ab  2a  2b
  a 2  2ab  b 2    a 2  2a  1   b 2  2b  1  0
 (a  b) 2  (a  1) 2  (b  1) 2  0 ( luôn đúng)
d) a 2  b 2  c 2  3  2(a  b  c)

Bài 3.

 a 2  2a  1  b 2  2b  1  c 2  2c  1  0
 (a  1) 2  (b  1) 2  (c  1) 2  0 (luôn đúng)
Chứng minh rằng không có số dương a , b , c nào thỏa mãn đồng thời cả 3 bất đẳng thức:

a) a 

1
 2.
b

1
b) b   2 .
c

c) c 

1
 2.
a

Lời giải
Nếu a, b, c  0 thỏa mãn đồng thời cả 3 bất đẳng thức đề bài cho thì a, b, c thỏa mãn:

1 
1 
1

a    b    c    6
a 
b 
c

1
1
1

 
 

  a   2  b   2  c   2  0
a
b
c


 
 




a 2  2a  1 b 2  2b  1 c 2  2c  1


0
a
b
c

 a  1
a

2



 b  1
b

2



 c  1

c

2

0

1

Face: />
Trang 23


Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ
2

2

Đề Cương Tốn 8 THCS Ngơi Sao
2

Do a, b, c  0;  a  1  0;  b  1  0;  c  1  0 nên

 a  1

2

a

 b  1
 0;

2

a

 a  1

a

2

 b  1

b

 c  1
 0;

2

0

a

2

 c  1

c

2

0

 2

Từ 1 và  2  suy ra khơng có số dương a, b, c nào thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Bài 4.

a) Tìm min: A  x 2  2 xy  6 y 2  12 x  2 y  45
b) Tìm max: B   x 2  4 y 2  2 xy  2 x  10 y  3
Lời giải

4
2

A   x 2  y 2  62  2 xy  2.6.x  2.6. y    5 y 2  10 y  9    x  y  6   5  y 2  2 y  1  
5

4
2
2

a)   x  y  6   5   y  1  
5

2

2

  x  y  6   5  y  1  4
x  y  6
x  7
 A  4 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 

y 1
y 1
Vậy min A  4 khi x  7, y  6 .
b) B   x 2  4 y 2  2 xy  2 x  10 y  3
B    x 2  y 2  1  2 xy  2 x  2 y   3 y 2  12 y  2    ( x  y  1)2  3  y 2  4 y  4   10 
2

 10   x  y  1  3  y  2 

2

x  y  1
 x  3; y  2 .
 B  10 . Dấu "  " xảy ra  
y  2
Vậy max B  10 khi x  3, y  2.
Bài 5.
a) Cách 1: với a ≠ 0, ta có:
2

a 2  2a  2009 a 2  2.2009a  20092  2008a 2  a  2009  2008 2008
A





a2
2009a 2
2009a 2
2009 2009
Do đó: Ann 

2008
 a  2009
2009

Cách 2: với a ≠ 0, ta có: A 

a 2  2a  2009
2 2009
 1  2
2
a
a
a

Face: />
Trang 24


Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ
Đặt

Đề Cương Tốn 8 THCS Ngơi Sao

1
2
 t thì A  1  2t  2009t 2  2009 A   2009t  1  2008  2008
a

Do đó Ann 

2008
1
t 
 a  2009
2009
2009
2

x 2  x  1 x 2  1  x 2  2 x  1 1  x  1
1
b) Ta có B 

 

2
2
2
x 1
2 2  x  1 2
2  x  1
Do đó: Bnn 

1

 x  1
2

Bài 6.
2

3  4x x2  4x  4  x2 1  x  2
a) Ta có: A  2

 2
 1  1
x 1
x2  1
x 1
Nên Ann  1  x  2
2

 2 x  1  4
3  4x 4x2  4  4x2  4x  1
Lại có: A  2

 4 2
2
x 1
x 1
x 1
Nên Aln  4  x  

1
2

2

8 x  3 4 x 2  8 x  4  4 x 2  1 4  x  1
b) Ta có: B  2


 1  1
4x 1
4 x2  1
4x2 1
Nên Bnn  1  x  1
2

 4 x  1  4
8 x  3 16 x 2  4  16 x 2  8 x  1
Lại có: B  2


4

4x 1
4 x2  1
4x2  1
Nên Bln  4  x 
Bài 7.

1
.
4

1 
1 

Cho x, y  0 và x  y  1 . Tìm min: M  1  2  1  2 
 x  y 
Lời giải
 1
1 
1
M  1  2  2   2 2
y  x y
x
Ta có
 1
1 
1 
1 
1
x2  y 2
1

P  1  2  1  2   1   2  2   2 2  1  2 2  2 2
y  x y
x y
x y
 x  y 
x
(x  y )2  2 xy
1
1  2 xy

1
1
2
1
 1
 2 2 1 2 2  2 2  1 2 2   2 2
2 2
x y
x y
x y
x y
x y
xy x y
2
2
 1
 1
9
2
xy
 x y


 2 

Face: />
Trang 25