ĐỀ CƯƠNG TOÁN 7 kì 2 NGÔI SAO1819

Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ

Đề Cương Tốn 7 THCS Ngơi Sao

Nhóm Tốn THCS

Đề Cương Tốn 7 THCS Ngơi Sao
Dạng 1: Các phép tốn về đơn thức, đa thức.
Bài 1.
Bài 2.

Thu gọn các đơn thức sau: Khơng có đề bài
Cho các đa thức: A  x 2  3xy  y 2  2 x  3 y  1
B  2 x 2  xy  2 y 3  3  5 x  2 y
C  7 y 2  3x 2  4 xy  6 x  4 y  5
Tính A  B  C ; A – B  C ; 2A – B – 3C

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường.

Lời giải :
+) A  B  C
 ( x 2  3xy  y 2  2 x  3 y  1)  (2 x 2  xy  2 y 3  3  5 x  2 y )  (7 y 2  3x 2  4 xy  6 x  4 y  5)
 2 y 3  ( x 2  2x 2  3x 2 )  ( y 2  7 y 2 )  (3xy+xy-4xy )  (2x  5x  6x)
 (3 y  2 y  4 y )  (1  3  5)
A  B  C  2 y 3  2x 2  6 y 2  6xy  9x  3 y  3
+ A BC
 ( x 2  3xy  y 2  2 x  3 y  1)  (2 x 2  xy  2 y 3  3  5 x  2 y )  (7 y 2  3x 2  4 xy  6 x  4 y  5)
 2 y 3  ( x 2  2x 2  3x 2 )  ( y 2  7 y 2 )  (3xy  xy  4xy )  (2x  5x-6x)
 (3 y  2 y  4 y )  (1  3  5)
A  B  C  2 y 3  6x 2  6 y 2  8xy  x  y  8

Có Cơng Mài Sắt Có Ngày Nên Kim.

+ 2 A  B  3C

 2( x 2  3xy  y 2  2 x  3 y  1)  (2 x 2  xy  2 y 3  3  5 x  2 y )
 3(7 y 2  3x 2  4 xy  6 x  4 y  5)
 2 y 3  (2x 2  2 x 2  9x 2 )  (2 y 2  21y 2 )  (6xy  xy  12xy )  (4x  5x  18x)
 (6 y  2 y  12 y )  (2  3  15)
2 A  B  3C  2 y 3  5 x 2  23 y 2  5 xy  27 x  20 y  10 .
Bài 3.

Tính tổng của các đa thức:
A  x 2 y  xy 2  3x 2 và B  x 2 y  xy 2  2x 2  1.
Lời giải :

A  B  ( x 2 y  xy 2  3x 2 )  ( x 2 y  xy 2  2x 2  1)
 ( x 2 y  x 2 y )  (  xy 2  xy 2 )  (3x 2  2x 2 )  1
 2 x2 y  x2  1 .
Bài 4.

Cho P  2x 2 – 3xy  4y 2 ; Q  3 x 2  4xy  y 2 ; R  x 2  2xy  3y 2 .
Tính: P – Q  R.
Lời giải :

Face: />
Trang 1


Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ

Đề Cương Tốn 7 THCS Ngơi Sao

Nhóm Tốn THCS

P – Q  R   2x 2 – 3xy  4y 2  –  3 x 2  4xy  y 2    x 2  2xy  3y 2 

 2x 2 – 3xy  4y 2 – 3 x 2  4xy  y 2  x 2  2xy  3y 2

  2x 2  3x 2  x 2    –3xy  4xy  2xy    4y 2  y 2  3y 2 
 5xy  8y 2
Bài 5.

Cho hai đa thức:
M  3,5x 2 y – 2xy 2  1,5x 2 y  2xy  3xy 2

N  2x 2 y  3, 2xy  xy 2  4xy2 –1, 2xy.
a) Thu gọn các đa thức M và N .

b) Tính M – N .

a) M  3,5x 2 y – 2xy 2  1,5x 2 y  2xy  3xy 2


 3,5x y  1, 5x y 
2

2



 2xy

2

 3xy 2   2xy

 5x 2 y  xy 2  2xy.

N  2x 2 y  3, 2xy  xy 2  4xy 2 – 1, 2xy
  3, 2xy – 1, 2xy  

 xy

2

 4xy 2   2x 2 y

 2xy  3xy 2  2x 2 y.
b) M – N   5x 2 y  xy 2  2xy  –  2xy  3xy 2  2x 2 y 
 5x 2 y  xy 2  2xy – 2xy  3xy 2  2x 2 y

  5x 2 y  2x 2 y    xy 2  3xy 2    2xy – 2xy 

 3x 2 y  4xy 2 .
Bài 6.

Tìm tổng và hiệu của: P  x   3x 2  x  4 ; Q  x    5x 2  x  3.

 3x

P  x  Q  x 

 x  4 

2



Có Cơng Mài Sắt Có Ngày Nên Kim.

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường.

Lời giải

 5x 2  x  3

 3x 2  x – 4  5x 2  x  3


 3x

 5x 2  

2

x

 x 



 4  3

  2x 2  2x – 1.
P  x  Q  x 

 3x

2

 x  4 



 5x 2  x  3 

 3x 2  x – 4  5x 2  x  3


 3x

2

 5x 2  

x

 x 



 4  3

 8x 2 – 7
Bài 7.

Tính tổng các hệ số của tổng hai đa thức:
K  x   x3 – mx  m 2 ; L  x    m  1 x 2  3mx  m 2 .
Lời giải
Tổng hai đa thức là: K  x   L  x    x3  mx  m2    m  1 x 2  3mx  m2 

 x3   m  1 x 2  2mx  2m2
Face: />
Trang 2


Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ

Đề Cương Tốn 7 THCS Ngơi Sao

Bài 8.

Nhóm Tốn THCS

Tổng các hệ số của đa thức K  x   L  x  là: 1   m  1  2m  2m 2  2m 2  3m  2 .
Cho các đa thức: f  x   3x 2  7  5 x  6 x 2  4 x3  8  5 x 5  x3 .
a) Thu gọn các đa thức trên rồi sắp xếp theo luỹ thừa giảm của biến.
b) Tìm bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự do của mỗi đa thức.
c) Tính f  x   g  x  ; 2 f  x   g ( x) .
Lời giải

Cho các đa thức: f  x   3x 2  7  5 x  6 x 2  4 x 3  8  5 x 5  x 3

g  x   4 x 3  2 x 2  2  2 x.  3  x   9 x  2 x 3

f  x   5 x5  (4 x3  x3 )  (3x 2  6 x 2 )  5 x  (7  8)
5

3

2

 5 x  5 x  3 x  5 x  1

b) Tìm bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự do
của mỗi đa thức.
*) Đa thức f  x  có:
- Bậc bằng 5 .
- Hệ số cao nhất bằng 5
- Hệ số tự do bằng 1
*) Đa thức g  x  có:

g  x   4 x 3  2 x 2  2  2 x.  3  x   9 x  2 x 3

- Bậc bằng 3
- Hệ số cao nhất bằng -2
- Hệ số tự do bằng -2

 4 x 3  2 x 2  2  6 x  2 x 2  9 x  2 x 3

  4 x 3  2 x3    2 x 2  2 x 2    6 x  9 x   2

 2 x 3  3 x  2

c) Tính f  x   g  x  ; 2f  x   g( x).

f  x   g  x   (5 x5  5 x3  3x 2  5 x  1)  (2 x3  3x  2)
 5 x 5  5 x 3  3 x 2  5 x  1  2 x 3  3 x  2

Có Cơng Mài Sắt Có Ngày Nên Kim.

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường.

a) Thu gọn các đa thức trên rồi sắp xếp theo luỹ thừa
giảm của biến :

 5 x 5  7 x 3  3 x 2  2 x  1

2 f  x   g  x   2.(5 x 5  5 x 3  3x 2  5 x  1)  (2 x3  3 x  2)
 10 x5  10 x3  6 x 2  10 x  2  2 x 3  3x  2
 10 x5  8 x 3  6 x 2  13 x  4
Bài 9.

Cho các đa thức Cho các đa thức: f  x   3x 3  5 x 2  7 x  4 , g  x   4 x 2  3x  3x3  9 .
a) Tìm đa thức h  x   f  x   g  x  , k  x   f  x   g  x  .
b) Tính h  0  , h  2  , k  2  .
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của h  x  .
Lời giải
a) Tìm đa thức h  x   f  x   g  x  , k  x   f  x   g  x  .
Ta có: h  x   f  x   g  x 

  3 x 3  5 x 2  7 x  4    4 x 2  3 x  3 x 3  9 

 x2  4x  5

Face: />
Trang 3


Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ

Đề Cương Tốn 7 THCS Ngơi Sao

Nhóm Tốn THCS

Và k  x   f  x   g  x 

  3 x 3  5 x 2  7 x  4    4 x 2  3 x  3 x 3  9 
 3x 3  5 x 2  7 x  4  4 x 2  3x  3x3  9
 6 x3  9 x 2  10 x  13

b) Tính h  0  , h  2  , k  2  .

h  0   02  4  0  5  5 .
h  2    2   4  2   5  17 .
2

k  2   6  2   9  2   10  2   13  5 .
3

2

2

Do  x  2   0 với mọi giá trị x  
2

  x  2  1  1
2

 h x 1

với mọi giá trị x  

Dấu "  " xảy ra  x  2  0  x  2 .

Vậy giá trị nhỏ nhất của h  x   1  x  2
Bài 10.

Cho đa thức: f  x   x 4  3  x  1  x 3  2 x  x 2  1  2 x 4
g  x   3 x 2  2 x  x  3  3 x 4  x  3 x 2  5   2

Thu gọn và sắp xếp các đa thức trên theo luỹ thừa giảm dần của biến. Xác định hệ số cao nhất, hệ
số tự do và tìm bậc của mỗi đa thức.

a) Tính h  x   3 f  x   g  x  ; k  x   f ( x)  g ( x)
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của

h  x
.
2

Có Cơng Mài Sắt Có Ngày Nên Kim.

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường.

c) h  x   x 2  4 x  5   x 2  4 x  4   1   x  2   1

Lời giải

Sắp xếp đa thức
f ( x)  x 4  3x  3  x3  2 x  x 2  1  2 x 4
f ( x)   x 4  x 3  x 2  5 x  2
Hệ số cao nhất của đa thức f  x  là 1 ; hệ số tự do là 2 ; bậc của đa thức là 4
g ( x)  3 x 2  2 x 2  6 x  3 x 4  3 x3  5 x  2
g ( x)  3x 4  3x 3  x 2  x  2
Hệ số cao nhất của đa thức g  x  là 3 ; hệ số tự do là 2 ; bậc của đa thức là 4
a) Tính:

h  x   3 f  x   g  x   3   x 4  x3  x 2  5 x  2   3x 4  3x3  x 2  x  2
 3 x 4  3 x 3  3 x 2  15 x  6  3 x 4  3 x 3  x 2  x  2
 2 x 2  14 x  4

Face: />
Trang 4


Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ

Đề Cương Tốn 7 THCS Ngơi Sao

Nhóm Tốn THCS

k  x   f  x   g  x     x 4  x3  x 2  5 x  2    3x 4  3 x3  x 2  x  2 
  x 4  x3  x 2  5 x  2  3x 4  3x3  x 2  x  2
 4 x 4  4 x 3  2 x 2  6 x  4

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của

h  x
.
2

h  x  2 x 2  14 x  4
7
7
49 49

 x2  7 x  2  x2  x  x 

2
2
2
2
2
4
4
2

7 7
7  41 
7  41


 x x     x      x   
2 2
2 4 
2
4

2

2

Dạng 2: Nghiệm của đa thức.
Bài 11.

Xác định các hệ số a để các đa thức sau nhận x = 1 làm một nghiệm.
a) x 2  ax  5
b) ax 3  x  1
c) 7 x 2  ax  1
Lời giải
a) Đa thức x 2  ax  5 nhận x  1 làm nghiệm khi 12  a.1  5  0  a  4  0  a  4.
Vậy a  4 thì đa thức x 2  ax  5 nhận x  1 làm nghiệm.
b) Đa thức ax 3  x  1 nhận x  1 làm nghiệm khi a.13  1  1  0  a  2  0  a  2.
Vậy a  2 thì đa thức ax 3  x  1 nhận x  1 làm nghiệm.
c) Đa thức 7 x 2  ax  1 nhận x  1 làm nghiệm khi 7.12  a.1  1  0  a  6  0  a  6.
Vậy a  6. thì đa thức 7 x 2  ax  1 nhận x  1 làm nghiệm.

Bài 12.

Xác định các hệ số a, b của đa thức f  x   x 2  ax  b trong mỗi trường hợp sau :
a) f  0   4 và f  x  nhận x  1 làm một nghiệm của nó.
b) Các nghiệm của đa thức g  x    x  1 x  2  cũng là các nghiệm của f  x  .

Lời giải
a) Ta có f  0   4  02  a.0  b  4  b  4  f  x   x 2  ax  4

Lại có f  x  nhận x  1 làm một nghiệm của nó, suy ra 12  a.1  4  0  a  5  0  a  5
Vậy a  5 , b  4 .
 x 1  0
 x  1

b) Ta có g  x   0   x  1 x  2   0  
x  2  0  x  2
Vì x  1 là nghiệm của f  x    1  a  1  b  0  1  a  b  0  a  1  b
2

Vì x  2 là nghiệm của f  x 

 22  a.2  b  0  2a  b  4  0  2. 1  b   4  0 (vì a  1  b )

 2  2b  4  0  2b  6  0  2b  6  b  3  a  2.
Face: />
Trang 5

Có Cơng Mài Sắt Có Ngày Nên Kim.

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường.

7
7  41
41



Có  x    0   x     
2
2
4
4


h  x
41
7
là  khi x  .
Vậy GTNN của
4
2
2


Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ

Đề Cương Tốn 7 THCS Ngơi Sao

Bài 13.

Nhóm Tốn THCS

Vậy a  2 , b  3 .
Tìm nghiệm của các đa thức sau :
a) f  x   2014 x –1
b) h  x    x – 2014  2015 – x 
c) g  x   x 2 – 81

d) q  x   125 x  x 4 .
Lời giải
a) Ta có:

1
2014

b) Ta có:
 x  2014
h( x)  0   x – 2014  2015 – x   0  
 x  2015
c) Ta có:
g  x   0  x 2 – 81  0  x  9
d) Ta có :
x  0
q  x   0  125 x  x 4  0  x 125  x 3   0  
.
x  5
Bài 14.

Tìm nghiệm các đa thức sau:
a) f  x   x 2  4 x – 5 .
b) h  x   2 x 2  5 x  2 .
c) g  x   –x 2  2x  3 .

Có Cơng Mài Sắt Có Ngày Nên Kim.

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường.

f ( x)  0  2014 x –1  0  x 

Lời giải
a) f  x   x 2  4 x – 5

f  x   x2  4 x – 5  0
x 1
  x  1 x  5   0  
.
 x  5
b) h  x   2 x 2  5 x  2

h  x   2 x 2  5x  2  0
1

x

  2 x  1 x  2   0 
2 .

 x  2
c) g  x   – x 2  2 x  3
 – x2  2x  3  0
 x2  2 x  3  0

 x  1
.
  x  1 x  3   0  
x  3
Face: />
Trang 6

Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ
Tìm giá trị của m để:
a) Đa thức f  x   mx3  x 2  x  1 có nghiệm là 1

Nhóm Tốn THCS

Bài 15.

Đề Cương Tốn 7 THCS Ngôi Sao

b) Đa thức g  x   x 4  m2 x 3  mx 2  mx –1 có nghiệm là 1
Lời giải
a) Ta có : f 1  0
 m.13  12  1  1  0
 m  3

b) Ta có : g 1  0

 14  m 2 .13  m.12  m.1 –1  0
 m.  m  2   0
m  0

 m  2
B-BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 1.

Cho hai đa thức M  6 x 2  3xy  2 y 2 ; N  3 y 2  2 x 2  3xy . Chứng minh rằng không tồn tại giá
trị nào của x và y để hai đa thức cùng có giá trị âm.

Lời giải
Ta có: M  N  6 x 2  3xy  2 y 2  3 y 2  2 x 2  3xy  4 x 2  y 2  0 x, y
Nên luôn tồn tại một đa thức không nhận giá trị âm với mọi x, y .
Vậy không tồn tại giá trị nào của x và y để hai đa thức cùng có giá trị âm.

Bài 2.

Cho đa thức G  x   ax 2  bx  c (a, b, c là các hệ số)

Có Cơng Mài Sắt Có Ngày Nên Kim.

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường.

 m 2  2m  0

a) Hãy tính G  1  biết a  c  b  8
b) Tính a, b, c biết G  0   4; G  1   9; G  2   14 .
Lời giải
2

a) Ta có: G  1   a.  1   b.  1   c  a  b  c
mà a  c  b  8  a  b  c  8  G  1   8
 a.02  b.0  c  4
G  0   4


b) Ta có:  G  1   9   a.12  b.1  c  9 

 a.22  b.2  c  14
 G  2   14



c  4

 a  b  5 (1)

 4a  2b  10 (2)

Từ  1   a  5  b thay vào  2  ta được:
4.  5  b   2b  10  20  4b  2b  10  b  5  a  5  b  0

Vậy a  0; b  5; c  4
Bài 3.

Cho đa thức f ( x)  ax 2  bx  c. Biết f (0) , f (1) , f (2) có giá trị nguyên. Chứng minh:
a) a  b  c, c , 2a, 2b đều là các số nguyên.
b) f (n) là số nguyên với mọi giá trị nguyên của n .

Face: />
Trang 7


Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ

Đề Cương Tốn 7 THCS Ngơi Sao

Nhóm Tốn THCS

Lời giải
a) f  0   c, f 1  a  b  c, f  2   4a  2b  c

Do f  0  , f 1 , f  2  nguyên  c, a  b  c và 4a  2b  c nguyên

 a  b   và 4a  2b  2  a  b   2a  4  a  b   2b nguyên
 2a, 2b nguyên
Vậy a  b  c, c , 2a, 2b đều là các số nguyên.
b) Ta chứng minh: n chẵn và n lẻ thì f  n  ln ngun.Thật vậy,
* n  2k  f (n)  4 ak 2  2bk  c

*n  2 k  1  f (n)  a(2 k  1)2  b(2 k  1)  c
 4 ak 2  4ak  a  2bk  b  c
 4 ak 2  4ak  2bk  a  b  c
Mà 2a, 2b, a  b  c  
 f (n)  
Vậy f (n) là số nguyên với mọi giá trị nguyên của n .
Bài 4.

Cho đa thức f ( x)  ax 2  bx  c trong đó a , b , c là các số nguyên. Biết rằng giá trị của f ( x ) chia
hết cho 3 với mọi giá trị nguyên của x . Chứng minh rằng a , b , c đều chia hết cho 3
Lời giải
Ta có: f (0)  3  c  3

f 1  f  1   a  b  c    a – b  c   2b
Vì f (1) 3 , f(1) 3  2 b  3  b  3 vì  2,3  1
Ta có: f 1 3  a  b c 3
Mà b  3, c  3

 a 3
Vậy a , b , c đều chia hết cho 3 .
Bài 5.

Cho đa thức f  x   x3  x 2  9 x  b .
a) Tìm a và b để đa thức có 2 nghiệm là 1 và 3
b) Với 2 giá trị a và b tìm được của câu a , hãy tìm nghiệm cịn lại của đa thức.
Lời giải
a) Đa thức f ( x)  x3  ax 2  9 x  b có nghiệm là 1 khi f (1)  13  a.12  9.1  b  0  b  a  8 (1)
Đa thức f ( x)  x3  ax 2  9 x  b có nghiệm là 3 khi f (3)  33  a.32  9.3  b  0  9a  b  0 (2)
Thay (1) vào (2) suy ra 9a  (a  8)  0  a  1  b  9
b) với a  1, b  9 đa thức f(x) có dạng f ( x)  x3  x 2  9 x  9
cho
f ( x)  x3  x 2  9 x  9  0  ( x3  x 2 )  (9 x  9)  0  x 2 (x  1)  9(x  1)  0  (x  1)(x 2  9)  0

Face: />
Trang 8

Có Cơng Mài Sắt Có Ngày Nên Kim.

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường.

Mà 2a, 2b, c    f (n)  


Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ

Đề Cương Tốn 7 THCS Ngơi Sao

Nhóm Tốn THCS

 x 1  0
 x 1
 2


 x  9  0  x  3
Vậy nghiệm còn lại là: x  3 .
Bài 6.

Chứng tỏ đa thức f(x) thỏa mãn  x 2  25  . f ( x  1)   x  2  . f ( x  1) có ít nhất 3 nghiệm.
Lời giải
Đặt A   x 2  25  . f ( x  1)   x  2  . f ( x  1)
+ Xét x  5 , thay vào A ta được:
2

 25  . f (5  1)   5  2  . f (5  1)  3. f (4)  0  f (4)  0

 x = 4 là nghiệm của A. (1)
+ Xét x  –5 , thay vào A ta được:

 5

2



 25 . f (5  1)   5  2  . f (5  1)  7. f (6)  0  f (6)  0

 x = – 6 là nghiệm của A.

(2)

+ Xét x = 2, thay vào A ta được:

2

2

 25  . f (2  1)   2  2  . f (2  1)  21. f (3)  0  f (3)  0

 x  3 là nghiệm của A . (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra đa thức f  x  thỏa mãn  x 2  25  . f ( x  1)   x  2  . f ( x  1) có ít nhất 3
nghiệm.
Bài 7.

Chứng minh rằng đa thức f  x  có ít nhất 2 nghiệm nếu:
a) xf  x  2    x  4  f  x  với mọi x .
b)  x  3 f  x    2 x  1 f  x  2  với mọi x .
Lời giải
a) xf  x  2    x  4  f  x  với mọi x .
Chọn x  4 ta có: 4. f  4  2    4  4  . f  4   4. f  2   0. f  4   0  . f  2   0 nên pt có
nghiệm x  2
Chọn x  0 ta có: 0. f  0  2    0  4  . f  0   0. f  2    4  . f  0   0   4  . f  0 
 . f  0   0 nên pt có nghiệm x  0

Vậy đa thức f  x  có ít nhất 2 nghiệm x  2 ; x  0 .
b)  x  3 f  x    2 x  1 f  x  2  với mọi x

Face: />
Trang 9

Có Cơng Mài Sắt Có Ngày Nên Kim.

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường.

5


Đề Cương Tốn 7 THCS Ngơi Sao

Chọn x  3 ta có:  3  3 . f  3   2.3  1 . f  3  2   0. f  3  5. f 1  . f 1  0 nên pt có
nghiệm x  1
Chọn x 

1
1

ta có:   3  . f
2
2 

 5 
  . f
 2 

1
1
1
 3 
   0. f    0  f    0 nên pt có nghiệm x 
2
2
2
 2 

1  1 
    2.  1 . f
2  2 

1
  5 
  2    . f
2
  2 

Vậy đa thức f(x) có ít nhất 2 nghiệm x  1 ; x 

1
:
2

Tìm giá trị lớn nhất của mỗi biểu thức sau:
x2  y 2  3
.
B 2
x  y2  2

A  9  2 | x  3 |.

D

5 x  19
với  x    .
x4

F  xy biết x  y  1 .

C

2
với  x    .
6 x

E   2  x  x  1 .

G  3 xy biết x  2 y  1 .

H  x 1  x  3 .

Lời giải
a) A  9  2 x  3
Ta có: x  3  0 với mọi x  2 x  3  0 x  9  2 x  3  9  0 x hay A  9 dấu “=” xảy
ra khi x  3  0  x  3
Vậy GTLN của A là 9 khi x  3
b) B 

x2  y 2  3
x2  y 2  2

Ta có: B 

x2  y2  3 x2  y2  2  1
1
 2

 1 2
2
2
2
x  y 2
x  y 2
x  y2  2

Vì x 2  0 x; y 2  0 y  x 2  y 2  2  2 x; y 
 1

Có Cơng Mài Sắt Có Ngày Nên Kim.

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường.

Bài 8.

1
 3 
   1  1 . f  
2
 2 

Nhóm Tốn THCS

Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ

1
1


x; y
2
x  y 2 2
2

1
3

x; y
2
x  y 2 2
2

 x 2  0
x  0
3
Hay B  x; y dấu “=” xảy ra khi  2

2
y  0
 y  0

Vậy GTLN của B là

x  0
3
là 9 khi 
2
y  0

Face: />
Trang 10


c) C 

Đề Cương Tốn 7 THCS Ngơi Sao

2
ĐK x  6
6 x

Xét với x  6  6  x  0  C  0
Xét với x  6  6  x  0  C  0 mà x  Z  x  5  6  x  6  5  1 
C  2 dấu “=” xảy ra khi x  5

2
2
  2 hay
6 x 1

Vậy GTLN của B là 2 là 9 khi x  5

D

5 x  14
ĐK: x  4
x4

5 x  20  6

6
 5
x4
x4

Xét với x  4  x  4  0 

6
0
x4

Xét với x  4  x  4  0 

6
6
6
 0 mà x  Z  x  5  x  4  5  4  1 
  6 hay
x4
x4 1

6
 6 dấu “=” xảy ra khi x  5
x4

Vậy GTLN của D là 5  6  11 là khi x  5
e) E   2  x  x  1

Có Cơng Mài Sắt Có Ngày Nên Kim.

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường.

d) D 

Nhóm Tốn THCS

Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ

E  2  3 x  x 2

(4).E  4 x 2  12 x  8
(4).E  4 x 2  6 x  6 x  9  1
( 4).E  2 x (2 x  3)  3(2 x  3)  1
( 4).E  (2 x  3)(2 x  3)  1

(4).E  (2 x  3) 2  1

Ta có: (2 x  3) 2  0 x  (2 x  3) 2  1  1

 4  .E  1  E 

1
4

dấu “=” xảy ra khi (2 x  3) 2  0  x 

3
2

Face: />

Trang 11


Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ

1
3
khi x 
4
2

Nhóm Tốn THCS

Vậy GTLN của E là

Đề Cương Tốn 7 THCS Ngôi Sao

f) F = xy biết x + y = 1
Ta có: x + y = 1  ( x  y )2  1  ( x  y )( x  y )  1  x 2  2 xy  y 2  1
 2 xy  1   x 2  y 2  mà x 2  y 2  0 x, y  1   x 2  y 2   1 x, y

1
 2 xy  1 x, y  xy 
x, y
2

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường.

Vậy GTLN của F là

2
x  0
 x  0
dấu “=” xảy ra khi  2

y  0
 y  0

1
khi x  y  0
2

g) G = 3xy biết x + 2y = 1
Ta có: x + 2y = 1  ( x  2 y ) 2  1  ( x  2 y )( x  2 y )  1  x 2  4 xy  4 y 2  1
 4 xy  1   x 2  4 y 2  mà x 2  4 y 2  0 x, y  1   x 2  4 y 2   1 x, y

1
 4 xy  1 x, y  xy 
x, y
4

Vậy GTLN của G là

2
x  0
 x  0
dấu “=” xảy ra khi  2

y  0
 y  0

1
khi x  y  0
4

Xét với x  1 ta có: H  (1  x)   3  x   2
Xét với 1  x  3 ta có: H  (x  1)   3  x   2 x  4
Vì 1  x  3  2  2 x  6  2  4  2 x  4  6  4  2  2 x  4  2 hay 2  H  2
Xét với x  3 ta có: H  (x  1)   x  3  2
Kết hợp cả 3 trường hợp ta thấy 2  H  2 nên GTLT của H là H  2
dấu “=” xảy ra khi x  3
PHẦN II- HÌNH HỌC
I - BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1.

  120 phân giác AD . Từ B kẻ đường thẳng song song với AD cắt
Cho tam giác cân ABC , BAC
tia CA ở E .
a) Chứng minh tam giác ABE là tam giác đều.

Face: />
Trang 12

Có Cơng Mài Sắt Có Ngày Nên Kim.

h) H = x  1  x  3


Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ

Đề Cương Tốn 7 THCS Ngơi Sao

Nhóm Tốn THCS

b) So sánh các cạnh của tam giác BEC .
Lời giải

E

A

C

D

  120 , AD là phân giác của BAC
 (gt)
a) Ta có: ABC cân tại A (gt) có: BAC
  DAC
  60
 BAD
  BAD
  60 (2 góc so le trong)
Vì EB // AD (gt)  EBA
  BAC
  180 (2 góc kề bù)  EBA
  60
Mặt khác: EBA
  EAB
  60 (cmt)  EBA đều.

Xét EBA ta có: EBA
 (gt)  AD đồng thời là
b) Xét ABC cân tại A (gt) có AD là đường phân giác ứng với BAC
đường cao

 AD  BC . Mà EB // AD (gt)  EB  BC (từ vuông góc đến song song)
  90, BEC
  60  EBC
  BEC
  BCE
  CE  BC  BE (quan hệ giữa
Xét EBC có EBC
cạnh và góc đối diện trong tam giác)
Bài 2.

Cho tam giác ABC vuông ở A , phân giác BD . Kẻ DE  C ( E  C ) . Trên tia đối của tia AB lấy
điểm F sao cho AF  CE . Chứng minh rằng:
a) BD là đường trung trực của AE .
b) AD  DC .
c) Ba điểm E , D , F thẳng hàng.
Lời giải
F

A
D

B

E

Face: />
C

Trang 13

Có Cơng Mài Sắt Có Ngày Nên Kim.

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường.

B


Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ

Đề Cương Tốn 7 THCS Ngơi Sao

Nhóm Tốn THCS

  BED
  900 (gt)
a) Xét ABD và EBD có: BAD

BD : cạnh huyền chung

 (Vì BD là tia phân giác của 
ABD  EBD
ABC )

 ABD  EBD (cạnh huyền – góc nhọn)
 BA  BE , DA  DE (các cặp cạnh tương ứng)

Do BA  BE  B thuộc trung trực của AE. (1)
Do DA  DE  D thuộc trung trực của AE. (2)

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường.

Qua hai điểm phân biệt xác định duy nhất đường thẳng (3)
Từ (1), (2), (3)  BD là đường trung trực của AE.
b) Xét DEC vuông tại E (gt)  cạnh huyền DC lớn nhất

 DE  DC
Mà AD  DE (ý a)

 AD  DC (đpcm)
c) Ta có: BA  BE (cm ý a); AF  EC (gt)

 BA  AF  BE  EC hay BF  BC
 BCF cân tại B

  900 ) hay CA  BF  CA là đường cao ứng với cạnh BF . (2’)
Lại có CA  AB (do BAC
Mặt khác CA  BD  D (3’)
Từ (1’), (2’), (3’)  D là trực tâm của BCF

 FD  BC
Mà DE  BC (gt)

 FD  DE (có 1 và chỉ 1 đườngthẳng đi qua 1 điểm và vng góc với đường thẳng cho trước)
Vậy ba điểm E , D, F thẳng hàng.
Bài 3.

  120 ). Vẽ ra phía ngồi của tam giác ABC các tam giác đều
Cho tam giác ABC cân ở A ( A
ABD và ACE . Gọi O là điểm giao của BE và CD . Chứng minh rằng:
a) BE  CD .
b) OB  OC
c) D và E cách đều đường thẳng BC .
Lời giải

Face: />
Trang 14

Có Cơng Mài Sắt Có Ngày Nên Kim.

  BD là đường cao ứng với cạnh CF . (1’)
Mà BD là phân giác của 
ABC hay CBF


Đề Cương Tốn 7 THCS Ngơi Sao

Nhóm Tốn THCS

Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường.

a) Vì ABD và ACE đều có: AB  AC ( ABC cân)

 AD  DB  AB  AC  AE  EC

ABC  
ACB ( ABC cân ở A )
Ta có: 
  ECB

ABD  
ACE  60  
ABC  
ABD  
ACB  
ACE hay DBC
Mà 
Xét DBC và ECB có:
DB  EC


DBC  ECB (cmt )   DBC  ECB (c.g .c)  BE=CD (2 cạnh tương ứng)

BC chung

 
b) Vì DBC  ECB nên BCD  CBE

  ECB


DBC

  DBH
  180  DBH

  ECK
 (cùng bù với ECB
)
Vì DBC

  ECK
  180 
ECB

Xét DBH và EKC có:
DHB  EKC   90  

DB  EC (cmt )
  DHB  EKC (ch-gn)  DH  EK  D, E cách đều BC.
  ECK
 (cmt) 
DBH

Bài 4.

 cắt BC ở E . Kẻ
Cho tam giác ABC vng ở C có 
A  60 . Tia phân giác của BAC

EK  AB  K  AB  , kẻ BD  AE  D  AE  . Chứng minh:

a)
b)
c)
d)

AE là trung trực của đoạn thẳng CK .
KA  KB .
EB  AC .
3 đường thẳng AC ; BD ; KE đồng qui.
Lời giải

Face: />
Trang 15

Có Cơng Mài Sắt Có Ngày Nên Kim.

 
Xét BOC có BCD  CBE nên BOC cân tại O  OB  OC .
c) Vẽ DH  BC , EK  BC lần lượt tại H, K  DH, EK là khoảng cách từ D và E đến BC.


Đề Cương Tốn 7 THCS Ngơi Sao

Nhóm Tốn THCS

Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường.

a) Xét ACE và AKE có:


ACE  
AKE   90  





CAE  KAE
  ACE  AKE (ch  gn)  AC = AK, CE = KE (2 cạnh tương ứng)

AE chung

 AE là trung trực của CK
  EBA
 (=300)  EB = AE (1)
b) AEB có: EAB
ACE vng tại C, AE là cạnh huyền  AE > AC (2)

Từ (1) và (2)  EB > AC.
c) AEB cân tại E

Có Cơng Mài Sắt Có Ngày Nên Kim.

EK là đường cao đồng thời là trung tuyến nên KA = KB
d) gọi AC giao BD tại S
Xét tam giác ASB có:



BC  AS
  E là trực tâm của tam giác ASB  SE  AB
AD  BC   E
AD  BS

Mà EK  AB nên S, E, K thẳng hàng.
Bài 5.

Cho tam giác ABC có AB < AC; hai đường cao AD; BE cắt nhau tại H và có AD=BE.
 CAD
 . Chứng minh đường thẳng CH là trung trực của AB.
a) So sánh BAD
b) Chứng minh DE // BA.
c) Chứng minh: CH đi qua trung điểm O của đoạn thẳng EH.
Lời giải

Face: />
Trang 16


A

Đề Cương Tốn 7 THCS Ngơi Sao

E
H

B

C

D

a) Xét ABC có: AB  AC  

ACB  
ABC (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác)

Nhóm Tốn THCS

Nhóm Toán THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường.

  ABC
  90
Có: BAD

DAC
ACB  90
  DAB

 DAC
Chứng minh BEC  ADC (c.h  g .n)
 CA  CB (2 cạnh tương ứng)
ABC cân tại C.
Xét ABC có: AD, BE là đường cao cắt nhau tại H nên H là trực tâm tam giác

 CH là đường cao
 CH là đường trung trực của AB

Có: BEC  ADC  CE  CD  CED cân tại C.

  EDC
  180  C

 DEC
2


ABC  EDC

Mà 2 góc ở vị trí đồng vị  DE // AB (dấu hiệu nhận biết)
c) Do DE // AB mà CH  AB ( do CH đường cao của ABC ) nên CH  DE . Vậy CH là
đường cao của tam giác CDE

CDE cân tại C nên CH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên CD đi qua O là trung
điểm của DE .
Bài 6.

Cho tam giác ABC vuông ở A, phân giác CD. Gọi H là hình chiếu của điểm B trên đường thẳng
CD. Trên CD lấy điểm E sao cho H là trung điểm của DE. Gọi F là giao điểm của BH và CA. Chứng
minh rằng:

 
a) CEB
ADC ; EBH
ACD
b) BE vng góc với BC
c) DF song song với BE.

Lời giải

Face: />
Trang 17

Có Cơng Mài Sắt Có Ngày Nên Kim.


  180  C
b) Có ABC cân tại C  
ABC  BAC
2


Đề Cương Tốn 7 THCS Ngơi Sao

Nhóm Tốn THCS

Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ


ADC
a) c/m CEB

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường.

Xét BHD và BHE có:

DH  HE ( gt )

  BHE
  90  BHD  BHE (c  g  c)  BDE
  BED

BHD



BH chung

 (2 góc đối đỉnh) nên 

ADC  BDE
ADC  BED
Mà 

Hay CEB
ADC .
 
ACD
+) c/m EBH
  EBH
  90
Xét BHE vuông tại H có: HEB
ACD  
ADC  90
ACD vng tại A có: 

Mà HEB
ADC (cmt)
 
ACD .
Do đó EBH

Theo câu a ta có: ACD vng tại A có: 
ACD  

ADC  90
 
Mà BCE
ACD (Vì CD là tia phân giác của 
ACB )

CEB
ADC (c/m câu a)
  BCE
  90 . Vậy BEC vng tại B hay BE  BC
Do đó CEB
Vậy BE vng góc với BC.
c) DF song song với BE.
Xét BCF có CH vừa là đường cao, vừa là đường phân giác nên BCF cân tại C nên CH đồng thời
là đường trung tuyến  BH = FH
DH  HE ( gt ) 
  EHB
   DFH  EHB (c  g  c)
DHF

Xét DHF và EHB có:
FH  FB (cmt ) 

  DFB

 EBF
Mà 2 góc này ở vị trí sole trong nên DF song song với BE.

Bài 7.

Cho tam giác cân ABC, 
A 120 phân giác AD. Kẻ DE  AB, DF  AC. Trên các đoạn EB và FC
lấy 2 điểm I và K sao cho EI = FK.
a) Chứng minh ∆DEF đều

b) Chứng minh ∆DIK là tam giác cân.

Face: />
Trang 18

Có Cơng Mài Sắt Có Ngày Nên Kim.

b) BE vng góc với BC


Đề Cương Tốn 7 THCS Ngơi Sao

c) Từ C kẻ đường thẳng song song với AD cắt tia BA ở M. Chứng minh MAC là tam giác đều.
d) Tính AD biết CM = a.
Lời giải
M

A
F

E

Nhóm Tốn THCS

Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ

C
B

D


  BAD
  CAD
  BAC  120  60
a) ABC cân tại A có AD là tia phân giác của BAC
2

2

Xét AED và AFD có:

  AFD
  90
AED
AD chung

  CAD(cmt)

BAD
 AED  AFD (cạnh huyền – góc nhọn)
 ED  FD  DEF cân tại D (1)

Có Cơng Mài Sắt Có Ngày Nên Kim.

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường.

K

I

  ADE
  90  ADE
  30
AED có: EAD
  ADF
  90  ADF
  30
AFD có: FAD

  EDA
  FDA
  30  30  60 (2)
EDF
Từ (1) và (2)  DEF là tam giác đều
b) Xét DEI và DFK có

  DFK
  90
DEI
DE  DF(cmt)
DI  FK(gt)

 DEI  DFK(cgc)
 DI  DK  DIK cân tại I

  AD  BC tại D
c) ABC cân tại A có AD là tia phân giác của BAC
Mà AD // CM
Face: />
Trang 19


Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ

Đề Cương Tốn 7 THCS Ngơi Sao

Nhóm Tốn THCS

  90o
 CM  BC tại C  BCM
  120o  BCA
  30 o
ABC cân tại A có BAC
  60o
 ACM
  CAM
  180o  CAM
  60o
Có: BAC
  ACM
  60o  ACM là tam giác đều.
CAM có: CAM
  D là trung điểm của BC
d) ABC cân tại A có AD là tia phân giác của BAC

ABC cân tại A  AB  AC
 BM  2a
 BC2  CM 2  BM 2
BC 2  BM 2  CM 2

  90o
BCM có: BCM

BC 2  4a 2  a 2  3a 2
 BC  a 3

Vì D là trung điểm của BC  DB 

a 3
2

  90o
Xét BDA có BDA

 AD2  BD2  AB2 (ĐL pytago)
3a 2 a 2
a
AD  a 
  AD  .
4
4
4
2

Bài 8.

2

Cho ABC , O là giao điểm của các đường phân giác AD và BE. Từ A kẻ đường vng góc với BE
cắt BC tại P.
  APC
.
b) AOC

a) Chứng minh ABP cân.

Lời giải
A

E
O

B

C
D

P

Face: />
Trang 20

Có Cơng Mài Sắt Có Ngày Nên Kim.

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường.

CAM đều  CA  CM  AC  a


Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ

Đề Cương Tốn 7 THCS Ngơi Sao

Nhóm Tốn THCS

a) Xét ABP có:

BE  AP


BE là tia phân giác của ABP

 ABP cân tại B
b) Gọi I là giao điểm của AP và BE.
Xét tam giác BIP ta có:

  900 (1)

  IBP
  BIP
 (góc ngồi tam giác)  1 B
APC  IPC
2

 











1  1  1  1   1  
  1 1800  B
  900  1 B
 (2)
 B
 A   B  C   B  AC  B
2  2
2 
2
2
2
2

Từ (1) và (2) suy ra 
APC  
AOC .
Bài 9.

Cho  ABC cân tại A ( 

A  90 ) Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H, tia AH cắt BC tại I.
a) Chứng minh rằng: ABD  ACE .
b) Chứng minh I là trung điểm của BC .
c) Từ C kẻ đường thẳng d vng góc với AC , d cắt đường thẳng AH tại F . CMR: CB là tia
.
phân giác của FCH
  60 và AB  4 cm . Tính khoảng cách từ B đến đường thẳng CF .
d) Giả sử BAC
Lời giải

Có Cơng Mài Sắt Có Ngày Nên Kim.

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường.




 
  OBC
  OCB
 (góc ngồi tam giác)
AOC  
AOE  EOC
ABO  BAO

a) Xét ABD vuông tại D và ACE vng tại E có:
AB = AC ( vì ABC cân tại A )
Face: />
Trang 21

Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ

Đề Cương Tốn 7 THCS Ngơi Sao

Nhóm Tốn THCS

 chung
A

 ABD  ACE (cạnh huyền – góc nhọn)
b) ABC có BD và CE là các đường cao, BD cắt CE tại H nên H là trực tâm.
 AI là đường cao. Mà ABC cân tại A nên AI cũng là đường trung tuyến
 I là trung điểm của BC .
c) Ta có ABD  ACE  
ABD  
ACE
Ta có


DBC
ABC  
ABD

ECB
ACB  
ACE

  ECB
 (1)

 DBC
  BCF
 (2 góc so le trong) (2)
Ta có BH  AC ; FC  AC  BH //FC  DBC
  BCF
  CB là tia phân giác của FCH
.
Từ (1) và (2)  ECB
d) Kẻ BG  CF tại G  BG là khoảng cách từ B đến CF .
  60  ABC đều  AB  AD  4 cm .
Giả sử BAC

ABC đều có BD là đường cao  BD là đường trung tuyến  CD 

BC
 4 cm
2

  BCF
  BCD  CBG  CD  BG
Xét BCD và CBG có BD cạnh chung, DBC
Mà CD  4 cm  BG  4 cm .

Có Cơng Mài Sắt Có Ngày Nên Kim.

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường.

ABD  
ACE và 
ABC  

ACB
Mà 

II - BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 1.

Xét tam giác ABC có ba đường trung tuyến AM , BD, CE và G là trọng tâm.
Gọi F sao cho N là trung điểm của BF .

A

Xét ABN và CFN có:

AN  CN (giả thiết)

E

F
G

N


 (đối đỉnh)
ANB  CNF

B

BN  FN (cách vẽ)

M

C

Do đó ABN  CFN (cạnh – góc – cạnh)

 AB  CF (hai cạnh tương ứng)
Xét BCF có CF  BC  BF (bất đẳng thức tam giác)
Hay AB  BC  2 BN

(1)

Face: />
Trang 22


Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ

Đề Cương Tốn 7 THCS Ngơi Sao

AB  AC  2 AM

(2)

AC  BC  2CE

(3)

Nhóm Tốn THCS

Chứng minh tương tự ta có:

Từ (1), (2) và (3) ta có:
2.( AB  AC  BC )  2.( AM  BN  CE )

(*)

Hay AB  AC  BC  AM  BN  CE

Xét ABG có GA  GB  AB (bất đẳng thức tam giác)

2
2
AM  BN  AB
3
3

 AM  BN 

3
AB
2

(4)

Chứng minh tương tự ta có:

AM  CE 

3

AC
2

(5)

BN  CE 

3
BC
2

(6)

Từ (4), (5), (6) ta có:

3
2.( AM  BN  CE )  ( AB  AC  BC )
2
3
Hay AM  BN  CE  ( AB  AC  BC )
4

(* *)

Từ (*) và (* *) suy ra tổng độ dài ba trung tuyến của một tam giác thì lớn hơn
và nhỏ hơn chu vi tam giác.

3
chu vi tam giác
4

Bài 2.
A1

A
E

F
O
B

D

C

C1

B1

a) Chứng minh AE  AF , BD  BF , CD  CE
Face: />
Trang 23

Có Cơng Mài Sắt Có Ngày Nên Kim.

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường.

Hay

Đề Cương Tốn 7 THCS Ngơi Sao

Xét hai tam giác vng AEO và AFO có cạnh OA chung, OE  OF (Tính chất đường phân giác)
 AEO  AFO (ch – cgv)  AE  AF (hai cạnh tương ứng).
Chứng minh tương tự ta cũng có:
BDO  BFO  BD  BF (hai cạnh tương ứng).
CDO  CEO  CD  CE (hai cạnh tương ứng).

b) Chứng minh EA1  FB1  DC1

 EA1  AE  AA1  AE  BC

Ta có  FB1  BF  BB1  BF  AC  BF  AE  CE  AE  BD  CD  AE  BC
 DC  CD  CC  CD  AB  CD  AF  BF  AE  CD  BD  AE  BC
1
 1

Nhóm Tốn THCS

Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ

c) Chứng minh O là giao điểm các đường trung trực của tam giác A1 B1C1
Xét hai tam giác vng OEA1 và OFB1 có: OE  OF (Tính chất đường phân giác), EA1  FB1
(cmt)  OEA1  OFB1  OA1  OB1 (1) (hai cạnh tương ứng).
Chứng minh tương tự ta cũng có:
OFB1  ODC1  OB1  OC1 (2) (hai cạnh tương ứng).
Từ (1) và (2)  OA1  OB1  OC1  O nằm trên ba đường trung trực của tam giác A1 B1C1 hay O
là giao điểm các đường trung trực của tam giác A1 B1C1 .
Bài 3.

Cho ABC  AB  AC  . Gọi D là điểm nằm giữa A và B , E là điểm nằm giữa A và C và

BD  CE . Gọi M , N , I lần lượt là trung điểm của BC , DE , BE .
d) Chứng minh MNI cân.
e) Đường thẳng MN cắt đường thẳng AB ở P , cắt đường thẳng AC ở Q . Chứng minh tam giác
APQ cân.

f) Kẻ phân giác AF của tam giác ABC . Chứng minh MN // AF .
Lời giải
a) Ta chứng minh bài toán sau:
‘‘Cho ABC . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB, AC . Chứng minh

MN 

1
BC; MN // BC ’’
2
A

M

E

N

B

Face: />
C

Trang 24

Có Cơng Mài Sắt Có Ngày Nên Kim.

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường.

 EA1  FB1  DC1 .


Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ

Đề Cương Tốn 7 THCS Ngơi Sao

Nhóm Tốn THCS

Trên tia đối của tia NM lấy điểm E sao cho NM  NE . Ta có
AMN  CEN (c.g.c)
 AM  CE (2 cạnh tương ứng)

Mà AM  MB . Dó đó, CE  MB

Vì AMN  CEN  
AMN  NCE
Mà 2 góc này ở vị trí so le trong

 AB // CE

MC là cạnh chung
  ECM
 (so le trong, AB // CE )

BMC

BM  CE (cmt)
 BMC  ECM (c.g .c)

 ME  BC Mà MN 

1
1
ME  MN  BC (2)
2
2

  CME

Vì BMC  ECM  BCM
Mà 2 góc này ở vị trí so le trong  MN // BC
Vậy MN 

1
BC và MN // BC
2

Có Cơng Mài Sắt Có Ngày Nên Kim.

Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường.

Xét BMC và ECM ta có:

Áp dụng bài tốn trên :

Trong BED có

N là trung điểm của DE
I là trung điểm của BE

Face: />
Trang 25