TỔNG HỢP ÔN TẬP K12

Tài liệu ơn tập dành cho khối 12
BÀI TẬP: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 12
PHẦN I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ
HÀM SỐ
I. ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN
1. Cho hàm số
3 1
1
x
y
x
+
=
−
có đồ thị
( )
C
. CMR hàm số đồng biến trên
khoảng xác định.
2. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
2
2y x x= −
.
3. CMR hàm số
2
2y x x= −
đồng biến trên khoảng
( )
0;1
và nghịch biến
trên khoảng

( )
1;2
.
4. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
2
2y x x= −
.
5. Cho hµm sè y=x
3
-3(2m+1)x
2
+(12m+5)x+2. T×m m ®Ĩ hµm sè lu«n ®ång
biÕn.
6. Cho hµm sè y=mx
3
-(2m-1)x
2
+(m-2)x-2. T×m m ®Ĩ hµm sè lu«n ®ång biÕn.
7. Chứng minh rằng với x > 0, ta có:
3
sin
6
x
x x− <
8. Cho hàm số
( )
2sin tan 3f x x x x= + −
a. CMR hàm số đồng biến trên
0;
2

π
 
÷

 
b. CMR
2sin tan 3 , 0;
2
x x x x
π
 
+ > ∀ ∈
÷

 
II. CỰC TRỊ
Câu 1: Chứng minh hàm số
( )
3 2
1
2 3 9
3
y x mx m x= − − + +
ln có cực trị
với mọi giá trị của tham số m.
Câu 2: Xác định tham số m để hàm số
( )
3 2 2
3 1 2y x mx m x= − + − +
đạt

cực đại tại điểm
2x
=
.
Câu 3: Cho hàm số
2
2 4
2
x mx m
y
x
+ − −
=
+
, m là tham số , có đồ thị là
( )
m
C
Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
Câu 4: Cho hàm số
2
2 4
2
x mx m
y
x
+ − −
=
+
, m là tham số , có đồ thị là

( )
m
C
Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
Câu 5: Tìm a để hàm số
2
2 2x ax
y
x a
− +
=
−
đạt cực tiểu khi x=2.
Câu 6: Tìm m để hàm số
( )
4 2
2 2 5y mx m x m= − + − + −
có một cực đại
tại
1
2
x =
.
Câu 7: Tìm m để hàm số sau đây đạt cực trị
1)
3 2
2 2 3y x x mx= − + +
2)
( )
2

1 2
1
x m x
y
x
+ − +
=
+
3)
2
2
2 2
2
x x m
y
x
+ + +
=
+
Câu 8: Tính giá trị cực trị của hàm số
2
2 1
3
x x
y
x
− −
=
+
Viết pt đường thẳng

đi qua 2 điểm cực trị.
Câu 9: Tính giá trị cực trị của hàm số
3 2
2 1y x x x x= − − +
.Viết pt đường
thẳng đi qua 2 điểm cực trị.
Câu 10: Tìm m để hàm số
( )
3 2
2 3 5y m x x mx= + + + −
có cực đại, cực
tiểu.
1
Tài liệu ôn tập dành cho khối 12
Câu 12: Chứng minh với mọi m, hàm số
( )
2 2 4
1 1x m m x m
y
x m
+ − − +
=
−
luôn có cực đại, cực tiểu. Tìm m để cực đại thuộc góc phần tư thứ nhất.
III. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
1. Tìm GTNN, GTLN của hàm số:
( )
2
2 4y x x= + −
2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số

2
3 10y x x= + −
.
3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
( )
4y x x= −
.
4. Tìm GTLN và GTNN của hàm số
( )
4 2
2 1f x x x= − +
trên đoạn
[ ]
0; 2
.
5. Tìm GTLN và GTNN của hàm số
( )
2 osxf x x c= +
trên đoạn
0;
2
π
 
 
 
.
6. Tìm GTLN, GTNN của hàm số:
( )
9
f x x

x
= +
trên đoạn
[ ]
2;4
7. Tìm GTLN và GTNN của hàm số
( )
4
1
2
f x x
x
= − + −
+
trên đoạn
[ ]
1;2−
.
8. Tìm GTLN và GTNN của hàm số
( )
3 2
2 6 1f x x x= − +
trên đoạn
[ ]
1;1−
.
9. Tìm GTLN và GTNN của hàm số
( )
2 1
3

x
f x
x
−
=
−
trên đoạn
[ ]
0;2
.
Bài tập
Bài 1:Tìm GTLN –GTNN của hàm số sau :
a)
[ ]
3 2
y 2x 3x 36x 10 trên -5;4= − − +
b)
4 2
y x 2x 5 trên ;
2 2
π π
 
= − + −
 
 
c) y=(1+sinx)cosx trên đoạn
[ ]
0;2
π
d) y=

1xcos3xsin2
1xsin3xcos2
24
24
++
−+
e) y=
xcosxsin
xcosxsin
44
66
+
+
f) y=
xsin3xcos2
xcos3xsin2
+
−
trên [
2
;0
π
]
g) y=sin2x(sinx+cosx) trên [
2
;0
π
].
IV. TIỆM CẬN
Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị mỗi hàm số sau:

a)
2 1
2
x
y
x
−
=
+
b)
( )
2
2
2
1
x x
y
x
− −
=
−
c)
2
2
3
4
x x
y
x
+

=
−
d)
2
2
4 3
x
y
x x
−
=
− +
e)
2
1
3
x
y
x
+
=
+
f)
2
5
3
x
y
x
−

=
+
g)
2
2 4
3
x x
y
x
− +
=
−
h)
2
5
2
x
y
x
+
=
−
V.KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ:
Bài 1: Khảo sát và vẽ các đồ thị sau:
1) y = 4x
3
– 2x
2
– 3x + 1; 2) y = x
3

– 3x
2
– 4x + 12; 3) y = x
3
– 3x
2
+ 6x – 8
4) y = x
3
+ 15x
2
+68x - 96 ; 5) y = x
3
-4x + 3 ; 6) y = x
3
+ 6x
2
+9x - 4
7) y = -x
3
– 3x
2
+ 4 8) y = -2x
3
+ 3x
2
- 4 ; 9) y = x
3
- 3x
2

+5x -2
10) y = -
3
3
x
+ 2x
2
– 3x -1 ; 11) y = 4x
3
– 3x ; 12) y = x
3
-3x
13) y = x
3
– 3x
2
+ 2x ; 14) y = - 2x
2
+ 1 ; 15) y = x
3 _
1
16) y = - x
3
– 2x
2 ;
17) y = -x
3
+ 3x
2
+ 9x -1 ; 18) y = - x

3
– 2x
2
+ x
19) y = x
3
– 4x
2
+ 4x ; 20) y = -
1
3
x
2
– 2x
2
– 3x + 1;
21) y = x
3
– 3x
2
+ 2x 22) y = x
3
– 3x
2
+ 3x + 1 ; 23) y = x
3
– 6x
2
+9x – 1
24) y = - x

3
– 3x
2
– 4 25) y = x
3
– 7x + 6 ; 26) y = x
3
+ 1
Bài 2: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau.
1) y = x
4
– 2x
2
+ 1 ; 2) y = - x
4
– 2x
2
; 3) y = x
4
– 3x
2
+ 2
4) y = x
4
– 4x
2
+ 3 ; 5) y = x
4
– 5x
2

+ 4 ; 6) y = x
4
– 4x
2

7) y = -x
4
+ 2 ; 8) y = -x
4
+ 3 ; 9) y = x
4
– 2x
2

Bài 3: Khảo sát và vẽ các đồ thị sau:
1) y =
1
1
x
x
+
−
; 2) y =
3
3
x
x
+
−
; 3) y =

5 6
6
x
x
+
+
; 4) y =
2 3
3
x
x
+
+
2
Tài liệu ơn tập dành cho khối 12
5) y =
4 2
2
x
x
−
+
; 6) y =
6 1
3 1
x
x
−
+
7) y =

5 2
2 3
x
x
−
+
; 8) y =
3
3
x
x
+
−
9) y =
2
2
x
x
−
+
; 10) y =
5
3
x
x
−
+
11) y =
2 6
3

x
x
+
−
12) y =
4 2
5
x
x
−
+
13) y =
3 4
1
x
x
−
+
14) y =
5
2
x
x
+
−
15) y =
3
1
x
x

+
−
16) y =
4 2
7
x
x
−
+

Bài 4: Cho hàm số
3
3 2 ( )y x x C= − −
IV. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C).
V. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại
( )
2; 4
o
M − −
VI. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với
đường thẳng
24 2008 ( )y x d= +
VII. Viết phương trình tt với (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường
thẳng:
1
2008 ( ')
3
y x d= −
VIII. Viết phương trình tt với (C) tại giao điểm của đồ thị với trục tung.
IX. Biện luận số nghiệm của phương trình:

3
3 6 3 0x x m− + − =
theo m
X. Biện luận số nghiệm của phương trình:
3
| 3 2 |x x m− − =
theo m
Bài 5: Cho hàm số
4 2
1 5
2 ( )
2 2
y x x C= − +
1. Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số (C).
2. Viết pt tt với đồ thò (C) tại điểm
5
2;
2
M
 
 ÷
 
3. Biện luận số nghiệm của pt:
4 2
1 5
2 0
2 2
m
x x
−

− + =
Bài 6:1. Khảo sát và vẽ đồ thị
( )
C
của hàm số
3 2
3y x x= − +
.
2. Dựa vào đồ thị
( )
C
, biện luận theo
m
số nghiệm của phương
trình:
3 2
3 0x x m− + − =
Bài 7: Cho hàm số
3 2
2 3 1y x x= + −
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
2. Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình
3 2
2 3 1x x m+ − =
Bài 8: Cho hàm số
4 2
2 3y x x= − + +
có đồ thị
( )

C
1. Khảo sát hàm số
2. Dựa vào
( )
C
, tìm m để phương trình:
4 2
2 0x x m− + =
có 4 nghiệm
phân biệt.
Bài 9: Cho hàm số
4 2
2 1y x x= − +
, gọi đồ thị của hàm số là
( )
C
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
( )
C
tại điểm cực đại của
( )
C
.
Bài 10: Cho hàm số:
3
1
3
4

y x x= −
có đồ thị
( )
C
1. Khảo sát hàm số
2. Cho điểm
( )
M C∈
có hồnh độ là
2 3x =
. Viết phương trình
đường thẳng d đi qua M và là tiếp tuyến của
( )
C
.
Bài 11: Cho hàm số
3 2 3
3 4y x mx m= − +
có đồ thị
( )
m
C
, m là tham số.
1. Khảo sát và vẽ đồ
( )
1
C
của hàm số khi m=1.
3
Tài liệu ơn tập dành cho khối 12

2. Viết PTTT của đồ thị
( )
1
C
tại điểm có hồnh độ
1x
=
.
Bài 12: 1. Khảo sát và vẽ đồ thị
( )
C
của hàm số
3 2
6 9 .y x x x= − +
2. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị
( )
C
.
3. Với giá trị nào của tham số m, đường thẳng
2
y x m m= + −
đi qua
trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị
( )
C
.
Bài 13. Cho hàm số
2
2 4
( )

2
x x
y C
x
− +
=
−
a. Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số (C).
b. Tìm m để (d): y = mx + 2 -2m cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
Bài 14: (ĐH -KA –2002) ( C )
3 2 2 3 2
3 3(1 )y x mx m x m m= − + + − + −
a-khảo sát và vẽ đồ thò hàm số ( C ) khi m =1.
b- Tìm k để pt :
3 2 3
3 0x x k− + + =
Có 3 nghiệm phân biệt .
Bài 15: Cho hs : ( C )
3
3 2y x x= − + −
a-Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số ( C ) .
b. Viết PTTT ( C) qua A ( -2;0)
c. Biện luận SNPT : x
3
- 3x+3 + 2m=0
Bài 15: Cho (C) : y = f(x) = x
4
- 2x
2
.

a) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số (C).
b) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) > 0.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :
1. Tại điểm có hoành độ bằng
2
.
2. Tại điểm có tung độ bằng 3.
3. Biết tiếp tuyến song song với d
1
: y = 24x+2007
4. Biết tiếp tuyến vuông góc với d
2
: y =
10x
24
1
−
.
Bài 16: Cho hs : ( C )
2 4
1
x
y
x
+
=
+
a-KS-( C ) .
b-CMR: đthẳng y =2x+m cắt đồ thò ( C ) tại hai điểm phân biệt
A;B với mọi m . Xác đònh m để AB ngắn nhất.

Bài 17: - Cho hs : ( C )
2
1
x
y
x
+
=
+
a-KSHS.
b-Tìm m đth y= mx+m+3 cắt đồ thò (C) tại hai điểm phân biệt.
c- Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của đồ thò hàm
số với trục tung.
d- Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của đồ thò hàm
số với trục hoành.
e- Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại biết tiếp tuyến song song
với đường thẳng
1
2007
4
y x= − +
.
Bài 18: Cho HS ( C ) y = x
3
- 6x
2
+9x-1
a- Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số trên.
b- (d) qua A(2;1) có hệ số góc m. Tìm m để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân
biệt .

Bài 19: Cho hàm số
4 2
2 1y x x= − +
, gọi đồ thò là (C).
a) Khảo sát và vẽ đồ thò của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò (C) tại điểm cực đại
của (C).
Bài 20: Cho hàm số
2 1
( )
1
x
y C
x
+
=
+
a. Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tt song song với đường
thẳng y = 4x -2.
c. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tt vuông góc với đường
phân giác góc phần tư thứ nhất.
Bài 21: Cho hàm số
3
3 ( )y x x C= −
a. Khảo sát và vẽ đồ thò (C).
b. Tìm k để đường thẳng
2y kx k= + +
tiếp xúc với (C).
Bài 22: (ĐH – KB – 2008) Cho hàm số

3 2
4 6 1 ( )y x x C= − +
a. Khảo sát và vẽ đồ thò (C).
b. Viết pttt biết tiếp tuyến đi qua điểm M(-1; -9).
Bài 23: Cho hàm số
( )
1
x
y C
x
=
+
. Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số (C).
4
Tài liệu ôn tập dành cho khối 12
I)BÀI TẬP NÂNG CAO
a) Bài toán tiếp tuyến .
1) Tìm tiếp tuyến của đồ thị
x3x2x
3
1
y
23
+−=
biết tiếp tuyến song song
với đường thẳng
3
8
x8y +=
.

2)Tìm các tiếp tuyến của đồ thị y= -x
3
+3x-2 kẻ từ điểm A(2;4).
3)Tìm những điểm trên trục hoành kẻ được đúng 3 tiếp tuyến đến đồ thị hàm
số y=x
3
-3x-2.
4)Tìm những điểm trên đường thẳng y=-1 kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến đồ
thị hàm số y=x
3
-3x
2
+3.
5)Tìm những điểm trên đường thẳng y=1 kẻ được đúng tiếp tuyến đến đồ thị
hàm số y=3x-4x
3
.
6)Tìm những điểm trên đường thẳng y=x-3 kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc
đến đồ thị y=-2x
3
+x-3.
7)Tìm những điểm trên đường thẳng y=-1 kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc
đến đồ thị y=4x
3
-3x.
8)Tìm các tiếp tuyến của đồ thị y=
2x 1
x 1
−
+

có khoảng cách đến I(-1;2) lớn
nhất.
9) Tìm những điểm trên Ox kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị y=(x-2)
2
(x+2)
2
b) Bài toán cực trị .
1) Tìm m để hàm số y=(m-1)x
3
-3(m+2)x
2
+3(m-3)x+2m-1 có cực trị. Hãy chỉ
rõ những giá trị m mà hàm số có cực đại và cực tiểu.
2) Tìm a,b,c để hàm số y=x
3
+ax
2
+bx+c đạt cực trị tại x=0 và x=2 đồng thời
điểm uốn có tung độ bằng 1.
3)Tính khoảng cách hai điểm cực trị của đồ thị hàm số sau đây theo m:
y=x
3
-3(2m+1)x
2
+9(m
2
+m+1)x+m
5) Tìm m để hai điểm cực trị của đồ thị y=x
3
-3mx

2
-3x+2m thẳng hàng với
điểm C(1;-3).
6) Tìm m để hình chiếu vuông góc của hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
y= -x
3
+3mx
2
+3x-2m lên đường thẳng y=
4
1
−
x+3 trùng nhau.
7) Tìm k để tồn tại m sao cho đường thẳng nối 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số
y= x
3
-3mx
2
-3x+2m song song với đường thẳng y=kx.
8)Tìm m để hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y=(m
2
-9)x
3
-3x
2
+3(m
2
+2m-3)x-
m nằm về hai phía của trục tung.
9) Tìm m để 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số y=(m

2
-4)x
3
-3(m+2)x
2
-
12mx+2m nằm về hai phía đường thẳng x=1.
10) Tìm m để 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số y=(m-1)x
3
-3(m+2)x
2
+3(m-3)x-
m nằm bên phải của trục tung.
11) Tìm m để hai điểm cực trị của đồ thị y=x
3
-3x
2
+m
2
-3m nằm hai phía trục
hoành.
12)Tìm m để hai điểm cực trị của đồ thị y=-x
3
+3mx
2
+3(1-m
2
)x+m
3
-m nằm

về hai phía đường thẳng y=1.
13) Cho hàm số y=(m
2
-9)x
4
-(m
2
+2m-3)x
2
+m-1 (1)
a) Tìm m để hàm số chỉ có cực đại, không có cực tiểu.
b) Tìm m để hàm số có cả cực đại lẫn cực tiểu.
14) Tìm m để 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số y=x
4
-2(m-1)x
2
+2m-1 là 3 điểm
của một tam giác vuông (cân hoặc có 1 góc 120
0
).
c) Bài toán tương giao
1)Tìm k để đồ thị y=x
3
+x
2
-2x+2k và y=x
2
+(k+1)x+2 cắt nhau tại 3 điểm.
2)Tìm m để đồ thị y=x
3

-3x+2m (1) cắt đường thẳng y=x tại 3 điểm mà trong
đó tại 2 trong 3 giao điểm đó các tiếp tuyến của (1) song song với nhau.
3)Tìm k để đường thẳng y=
kx
2
1
+
cắt đồ thị y=x
3
-3x
2
+2 tại 3 điểm mà
trong đó có một điểm là trung điểm của đoạn nối 2 điểm kia.
4)Tìm a để đồ thị y=-x
3
+3x+2a (1) cắt trục hoành tại 3 điểm mà tại 2 trong 3
điểm đó các tiếp tuyến của (1) vuông góc với nhau.
5)Tìm đường thẳng song song với đường phân giác góc phần tư thứ hai cắt đồ
thị y=-4x
3
+3x tại 3 điểm theo thứ tự A,B,C (x
A
<x
B
<x
C
) và AB=2BC.
6)Cho hàm số y=(m
2
-9)x

4
-(m
2
+2m-3)x
2
+m-1 (1)
a) Tìm m để hàm số chỉ có cực đại, không có cực tiểu.
b) Tìm m để hàm số có cả cực đại lẫn cực tiểu.
7) Tìm m để 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số y=x
4
-2(m-1)x
2
+2m-1 là 3 điểm
của một tam giác vuông (cân hoặc có 1 góc 120
0
).
8) Tìm m để đường thẳng y=-2x+m cắt đồ thị hàm số
1x
1x
y
+
−
=
tại 2 điểm
có khoảng cách ngắn nhất.
d)Bài toán về điểm trên đồ thị:
1) Tìm trên đồ thị hàm số
1x
1x2
y

+
−
=
(1) điểm A có khoảng cách đến điểm
I(-1;2) nhỏ nhất. Chứng tỏ rằng khi đó tiếp tuyến của đồ thị (1) tại A vuông
góc với IA.
5
Tài liệu ôn tập dành cho khối 12
2) Tìm trên đồ thị hàm số
1x2
1x
y
+
−
=
(1) điểm A có khoảng cách đến đường
thẳng
2
3
x2y +=
(D) ngắn nhất. Chứng tỏ rằng khi đó tiếp tuyến của đồ thị
(1) tại A song song với (D).
3) Chứng minh rằng điểm uốn của đồ thị y=2x
3
-3x
2
+x-4 là tâm đối xứng của
nó.
4) Tìm tập hợp các điểm uốn của đồ thị y=x
3

-6mx
2
-3mx+6m
3
+2 (C
m
).
5) Tìm m để trên đồ thị hàm số y= y=x
3
-3x
2
+m có hai điểm phân biệt đố xứng
nhau qua điểm I(-1;-5).
6)Tìm tập hợp trung điểm của hai điểm cực trị của đồ thị hàm số :
y=x
3
-3(2m+1)x
2
+3(m
2
+m+1)x+2m (1)
7) Tìm điểm M∈(C):
1x2
1x
y
+
−
=
có tọa độ x,y nguyên
II)BÀI TẬP TỔNG HỢP

Bài 1:Cho hàm số
x
y
x 1
=
−
có đồ thị ( C) .
1)Khảo sát hàm số .
2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) tiệm cận xiên và các
đường thẳng x=2,x=4 .
3) Viết PTTT của (C) qua giao điểm hai tiệm cận .
Bài 2: Cho hàm số
2
(3m 1)x m m
y
x m
+ − +
=
+
Có đồ thị (Cm) (m ≠ 0)
1)Khảo sát hàm số khi m= -1 (C
-1

)
2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C
-1

) tiếp tuyến của (C
-1

) tại
A(-1;0) và trục tung .
3)Cmr (C
m
) luôn tiếp xúc với đường thẳng d cố định song song với đường
phân giác của góc phần tư thứ nhất .Lập phương trình của đường thẳng d.
Bài 3 : Cho hàm số
3
y x 3x 2= − + −
có đồ thị (C ).
1) Khảo sát hàm số .
2) Cho( D) là đường thẳng qua điểm uốn của ( C) với hệ số góc k .Biện
luận theo k vị trí tương đối của (D) và (C).
3) Biện luận theo m số nghiệm dương của phương trình
3
x 3x m 1 0− + + =
Bài 4 : Cho hàm số
4 2
y x mx (m 1)= + − +
có đồ thị (C
m
)
1) Khảo sát hàm số khi m=-2 (C
-2
)
2)CMR khi m thay đổi (C
m
) luôn đi qua 2 điểm M(-1;0), N(1;0) .Tìm m
để tiếp tuyến với (C
m

) tại M, N vuông góc với nhau .
3)Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi (C
-2
) và trục hoành . Tính thể tích vật
thể tròn xoay khi (H) quay quanh trục hoành .
Bài 5 : Cho hàm số
3
y x kx (k 1)= + + +

1)Khảo sát hàm số khi k=-3.
2)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C
-3
) và trục hoành .
3) Tìm các giá trị k để (C
k
) tiếp xúc với đ.thẳng (d) có phương trình y=x+1.
Bài 6 (Tnpt00-01) Cho hàm số
3
1
y x 3x
4
= −
(C).
1)Khảo sát hàm số.
2)Cho điểm M thuộc đồ thị (C) có hoành độ
x 2 3=
. Viết phương trình
đường thẳng d qua M và là tiếp tuyến của (C).
3)Tính diện tích hình giới hạn bởi (C), và tiếp tuyến của nó tại M.
Bài 7 (Tnpt01-02) Cho hàm số y=-x

4
+2x
2
+3 (C)
1/ Khảo sát hàm số:
2/ Định m để phương trình x
4
-2x
2
+m=0 có 4 nghiệm phân biệt
Bài 8 (Tnpt03-04): Cho hàm số
3 2
1
y x x
3
= −

1/ Khảo sát hàm số.
2/ Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) đi qua A(3;0)
3/ Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi (C), y=0, x=0,
x=3 quay quanh trục Ox.
Bài 9 (Tnpt04-05) Cho hàm số
2x 1
y
x 1
+
=
+
có đồ thị (C)
1)Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số .

2)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục tung, trục hoành và đồ thị ( C)
3) Viết pttt của đồ thị ( C) biết tiếp tuyến đi qua A(-1;3)
Bài 10(Tnpt05-06)
1)Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số
3
y x 6x 9x= − +
.
2)Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị (C).
3)Với giá trị nào của m , đường thẳng y=x+m
2
–m đi qua trung điểm của đoạn
thẳng nối hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị (C).
6
Tài liệu ơn tập dành cho khối 12
Bài 11(ĐHA-02) Cho hàm số y=-x
3
+3mx
2
+3(1-m
2
)x+m
3
-m
2
(1)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=1.
2. Tìm k để phương trình -x
3
+3x
2

+k
3
-3k
2
=0 có 3 nghiệm phân biệt.
3. Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của hàm số (1)
Bài 12(Đ HB-02) Cho hàm số y=mx
4
+(m
2
-9)x
2
+10 (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=1
2. Tìm m để hàm số (1) có 3 cực trị.
Bài 13(Đ HD-02) Cho hàm số
2
(2m 1)x m
y
x 1
− −
=
−
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=-1
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và hai trục tọa độ.
3. Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc đường thẳng y=x.
Bài 14(Đ HB-04) Cho
3 2
1

y x 2x 3x
3
= − +
(1) có đồ thị là (C)
a. Khảo sát hàm số (1)
b. Viết phương trình tiếp tuyến (D) của (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng
(D) là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc bé nhất.
Bài 15(Đ HD-05) Gọi (C
m
) là đồ thị của hàm số
3 2
1 m 1
y x x
3 2 3
= − +
(m là
tham số )
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m=2
2) Gọi M là điểm thuộc (C
m
)có hồnh độ bằng -1 tìm m để tiếp tuyến của
(C
m
) tại M song song với đường thẳng 5x-y=0.
Bài 16(Đ HA-06) .
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
3 2
y 2x 9x 12x 4.= − + −
2. Tìm m để p.trình sau có 6 nghiệm phân biệt
3

2
2 x 9x 12 x m− + =
Bài 17(Đ HD-06) Cho hàm số
3
y x 3x 2= − +
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.
2) Gọi d là đường thẳng qua A(3;20) và có hệ số góc là m .tìm m để
đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt .
PHẦN 2: HÀM LUỸ THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
Bài 1: LUỸ THỪA
Vấn đề 1: Tính Giá trò biểu thức
Bài 1: Tính a) A =
1
5 1
3 7 1 1
2
3 32 4 4 2
3 5 : 2 : 16 : (5 .2 .3
−
   
   
   

b)
1 2 2 3 3
1 4 5 2
(0,25) ( ) 25 ( ) : ( ) : ( )
4 3 4 3
− − −
 

+
 
 
Bài 2: a) Cho a =
1
(2 3)
−
+
và b =
1
(2 3)
−
−
.
Tính A= (a +1)
-1
+ (b + 1)
-1
b) cho a =
4 10 2 5+ +
và b =
4 10 2 5− +
. Tính A= a + b
Bài 3: Tính
a) A =
5
3
2 2 2
b) B =
3

3
2 3 2
3 2 3
c) C =
3
3 9 27 3
Vấn đề 2: Đơn giản một biểu thức
Bài 4: Giản ước biểu thức sau
a) A =
4
( 5)a −
b) B =
4 2
81a b
với b ≤ 0
c) C =
3 3
25 5
( )a
(a > 0)
d) E =
2
1 1 1
2 2 2
1 1 1
2 2 2
( )
2
( )
x y x y x y

xy
x y x y
−
 
+ + −
 ÷
− −
 ÷
 ÷
+ +
 
với x > 0, y > 0
e ) F =
2
2
2 1
1
a x
x x
−
+ −
với x =
1
2
a b
b a
 
+
 ÷
 ÷

 
và a > 0 , b > 0
f) G =
a x a x
a x a x
+ − −
+ + −
Với x =
2
2
1
ab
b +
và a > 0 , b > 0
g) J =
2
1 1
1 1 1 1
2 2 2 2
4 9 4 3
2 3
a a a a
a a a a
− −
−
 
− − +
 
+
 

− −
 
với 0 < a ≠ 1, 3/2
7
Tài liệu ơn tập dành cho khối 12
h)
3 3 3 3
a b a b
a b a b
− +
−
− +
i)
1
4
4
3 1
4 2
1
. . 1
1
a a a
a
a
a a
− +
+
+
+
j)

( ) ( )
5
2 2
4 4 4 4
3
3
. .
a b a b
a a a
a ab
 
+ + −
 
 
+
 
 
k)
( )
2
3 3
3
3
2 2
2
2
3
.
:
x x y

x y
x x y y
x xy
−
−
+
−
−
Vấn đề 3: Chứng minh một đẳng thức
Bài 5 chứng minh :
2 1 2 1 2x x x x+ − + − − =
với 1≤ x ≤ 2
Bài 6 chứng minh :
3 3 3 32 4 2 2 2 4 2 2 3
( )a a b b a b a b+ + − = +
Bài 7: chứng minh:
2
3 3 1 1
1
2 2 2 2
2
1 1
2 2
( ) 1
x a x a
ax
x a
x a
  
− −

 ÷
 
+ =
 ÷
 
−
 ÷
−
 
  
với 0 < a < x
Bài 8 chứng minh:
1
4 3 3 4 2 2
2
1
2 2 1
3 ( )
( ) : ( ) 1
2 ( )
x x y xy y y x y
x y x y
x xy y x x y
−
−
 
+ + + −
+ + + =
 ÷
+ + −

 

Với x > 0 , y > 0, x ≠ y , x ≠ - y
Bài 9: Chứng minh rằng
3 3
9 80 9 80 3+ + − =
Bài 3: LOGARIT
Vấn đề 1: các phép tính cơ bản của logarit
Bài 10 Tính logarit của một số
A = log
2
4 B= log
1/4
4 C =
5
1
log
25
D = log
27
9
E =
4
4
log 8
F =
3
1
3
log 9

G =
3
1
5
2
4
log
2 8
 
 ÷
 ÷
 
H=
1
3
27
3 3
log
3
 
 ÷
 ÷
 

I =
3
16
log (2 2)
J=
2

0,5
log (4)
K =
3
log
a
a
L =
52 3
1
log ( )
a
a a
Bài 11 : Tính luỹ thừa của logarit của một số
A =
2
log 3
4
B =
9
log 3
27
C =
3
log 2
9
D =
3
2
2log 5

3
2
 
 ÷
 
E =
2
1
log 10
2
8
F =
2
1 log 70
2
+
G =
8
3 4log 3
2
−
H =
3 3
log 2 3log 5
9
+
I =
log 1
(2 )
a

a
J =
3 3
log 2 3log 5
27
−
Vấn đề 2: Rút gọn biểu thức
Bài 12: Rút gọn biểu thức
A =
4
3
log 8log 81
B =
1
5
3
log 25log 9
C =
3
2 25
1
log log 2
5
D =
3 8 6
log 6log 9log 2
E =
3 4 5 6 8
log 2.log 3.log 4.log 5.log 7
F =

2
4
log 30
log 30
G =
5
625
log 3
log 3
H =
2 2
96 12
log 24 log 192
log 2 log 2
−

I =
1 9
3
3
log 7 2log 49 log 27+ −
Vấn đề 3: Chứng minh đẳng thức logarit
Bai 13: Chứng minh ( giả sử các biểu thức sau đã cho có nghóa)
a)
log log
log ( )
1 log
a a
ax
a

b x
bx
x
+
=
+
b)
1 2 .
1 1 1 ( 1)
...
log log log 2log
n
a
a a a
n n
x x x x
+
+ + + =
c) cho x, y > 0 và x
2
+ 4y
2
= 12xy
Chứng minh: lg(x+2y) – 2 lg2 = (lgx + lg y) / 2
d) cho 0 < a ≠ 1, x > 0
Chứng minh: log
a
x .
2
2

1
log (log )
2
a
a
x x=
8
Tài liệu ơn tập dành cho khối 12
Từ đó giải phương trình log
3
x.log
9
x = 2
e) cho a, b > 0 và a
2
+ b
2
= 7ab chứng minh:
2 2 2
1
log (log log )
3 2
a b
a b
+
= +
Bài 4: HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LOGARIT
Vấn đề 1: tìm tập xác đònh của hàm số
Bài 14: tìm tập xác đònh của các hàm số sau
a) y =

2
3
log
10 x−
b) y = log
3
(2 – x)
2
c) y =
2
1
log
1
x
x
−
+
d) y = log
3
|x – 2| e)y =
5
2 3
log ( 2)
x
x
−
−
f) y =
1
2

2
log
1
x
x −
g) y =
2
1
2
log 4 5x x− + −
h) y =
2
1
log 1x −
i) y= lg( x
2
+3x +2)
Vấn đề 2: Tìm đạo hàm các hàm số
Bài 15: tính đạo hàm của các hàm số mũ
a) y = x.e
x
b) y = x
7
.e
x
c) y = (x – 3)e
x
d) y = e
x
.sin3x

e) y = (2x
2
-3x – 4)e
x
f) y = sin(e
x
) g) y = cos(
2
2 1x x
e
+
) h) y = 4
4x – 1
i) y = 3
2x + 5
. e
-x
+
1
3
x
j) y= 2
x
e
x -1
+ 5
x
.sin2x k) y =
2
1

4
x
x −
Bài 16 . Tìm đạo hàm của các hàm số logarit
a) y = x.lnx b) y = x
2
lnx -
2
2
x
c) ln(
2
1x x+ +
) d) y = log
3
(x
2
- 1)
e) y = ln
2
(2x – 1) f) y = x.sinx.lnx g) y = lnx.lgx – lna.log
a
(x
2
+ 2x + 3)
Bài 5: PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Vấn đề 1: Phương trình mũ
Dạng 1. Đưa về cùng cơ số
Bài 17 : Giải ác phương trình sau
a)

4
3
2 4
x−
=
b)
2
5
6
2
2 16 2
x x− −
=
c)
2
2 3 3 5
3 9
x x x− + −
=
d)
2
8 1 3
2 4
x x x− + −
=
e) 5
2x + 1
– 3. 5
2x -1
= 110 f)

5 17
7 3
1
32 128
4
x x
x x
+ +
− −
=
f) 2
x

+ 2
x -1
+ 2
x – 2
= 3
x
– 3
x – 1
+ 3
x - 2
g) (1,25)
1 – x
=
2(1 )
(0,64)
x+

Dạng 2. đặt ẩn phụ
Bài 18 : Giải các phương trình
a) 2
2x + 5
+ 2
2x + 3
= 12 b) 9
2x +4
- 4.3
2x + 5
+ 27 = 0
c) 5
2x + 4
– 110.5
x + 1
– 75 = 0 d)
1
5 2 8
2 0
2 5 5
x x+
   
− + =
 ÷  ÷
   
e)
3
5 5 20
x x−
− =

f)
( ) ( )
4 15 4 15 2
x x
− + + =
g)
(
)
(
)
5 2 6 5 2 6 10
x x
+ + − =
2 1
)3 9.3 6 0
x x
h
+
− + =

i)
1
7 2.7 9 0
x x−
+ − =
(TN – 2007) j)
2 2
2 9.2 2 0
x x+
− + =

Dạng 3. Logarit hóạ
Bài 19 Giải các phương trình
a) 2
x - 2
= 3 b) 3
x + 1
= 5
x – 2
c) 3
x – 3
=
2
7 12
5
x x− +
d)
2
2 5 6
2 5
x x x− − +
=
e)
1
5 .8 500
x
x
x
−
=

f) 5
2x + 1
- 7
x + 1
= 5
2x
+ 7
x
Dạng 4. sử dụng tính đơn điệu
Bài 20: giải các phương trình
a) 3
x
+ 4
x
= 5
x
b) 3
x
– 12
x
= 4
x
c) 1 + 3
x/2
= 2
x
Vấn đề 2: Phương trình logarit
Dạng 1. Đưa về cùng cơ số
Bài 21: giải các phương trình
a) log

4
(x + 2) – log
4
(x -2) = 2 log
4
6 b) lg(x + 1) – lg( 1 – x) = lg(2x + 3)
c) log
4
x + log
2
x + 2log
16
x = 5 d) log
4
(x +3) – log
4
(x
2
– 1) = 0
e) log
3
x = log
9
(4x + 5) + ½ f) log
4
x.log
3
x = log
2
x + log

3
x – 2
g) log
2
(9
x – 2
+7) – 2 = log
2
( 3
x – 2
+ 1)
h)
( ) ( )
3 3 3
log 2 log 2 log 5x x+ + − =
Dạng 2. đặt ẩn phụ
Bài 22: giải phương trình
a)
1 2
1
4 ln 2 lnx x
+ =
− +
b) log
x
2 + log
2
x = 5/2
c) log
x + 1

7 + log
9x
7 = 0 d) log
2
x +
2
10log 6 9x + =
e) log
1/3
x + 5/2 = log
x
3 f) 3log
x
16 – 4 log
16
x = 2log
2
x
g)
2
2 1
2
2
log 3log log 2x x x+ + =
h)
2
2
lg 16 l g 64 3
x
x

o+ =
9
Tài liệu ơn tập dành cho khối 12
Dạng 3 mũ hóa
Bài 23: giải các phương trình
a) 2 – x + 3log
5
2 = log
5
(3
x
– 5
2 - x
) b) log
3
(3
x
– 8) = 2 – x
Bài 6: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
LOGARIT
Vấn đề 1: Bất Phương trình mũ
Bài 24: Giải các bất phương trình
a) 16
x – 4
≥ 8 b)
2 5
1
9
3
x+

 
<
 ÷
 
c)
6
2
9 3
x
x+
≤
d)
2
6
4 1
x x− +
>
e)
2
4 15 4
3 4
1
2 2
2
x x
x
− +
−
 
<

 ÷
 
f) 5
2x
+ 2 > 3. 5
x
Bài 25: Giải các bất phương trình
a) 2
2x + 6
+ 2
x + 7
> 17 b) 5
2x – 3
– 2.5
x -2
≤ 3 c)
1 1
1 2
4 2 3
x x
− −
> +
d) 5.4
x

+2.25
x
≤ 7.10
x
e) 2. 16

x
– 2
4x
– 4
2x – 2
≤ 15
f) 4
x +1
-16
x
≥ 2log
4
8 g) 9.4
-1/x
+ 5.6
-1/x
< 4.9
-1/x

Bài 26: Giải các bất phương trình
a) 3
x +1
> 5 b) (1/2)
2x - 3
≤ 3 c) 5
x
– 3
x+1
> 2(5
x -1

- 3
x – 2
)
Vấn đề 2: Bất Phương trình logarit
Bài 27: Giải các bất phương trình
a) log
4
(x + 7) > log
4
(1 – x) b) log
2
( x + 5) ≤ log
2
(3 – 2x) – 4
c) log
2
( x
2
– 4x – 5) < 4 d) log
1/2
(log
3
x) ≥ 0
e) 2log
8
( x- 2) – log
8
( x- 3) > 2/3 f) log
2x
(x

2
-5x + 6) < 1
g)
1
3
3 1
log 1
2
x
x
−
>
+
Bài 28: Giải các bất phương trình
a) log
2
2
+ log
2
x ≤ 0 b) log
1/3
x > log
x
3 – 5/2
c) log
2
x + log
2x
8 ≤ 4 d)
1 1

1
1 log logx x
+ >
−
e)
16
2
1
log 2.log 2
log 6
x x
x
>
−
f)
4 1
4
3 1 3
log (3 1).log ( )
16 4
x
x
−
− ≤
Bài 29. Giải các bất phương trình
a) log
3
(x + 2) ≥ 2 – x b) log
5
(2

x
+ 1) < 5 – 2x
c) log
2(
5 – x) > x + 1 d) log
2
(2
x
+ 1) + log
3
(4
x
+ 2) ≤ 2
Bài tập:
Bài 1: Giải các phương trình sau .
1/
1
25 125
x−
=
. 2/
3 3
3. log log 3 1 0x x− − =
.
3/
1 1
3 3
log 3 log 2 0x x− + =
4/
( )

2
3 3
2(log ) 5log 9 3 0x x− + =

5/
2 2
lg 3lg lg 4x x x− = −
6)
2 8
1
log (5 ) 2log 3 1
3
x x− + − =
7/
3 3
2( log 2) log 2
3 2 3
x x+ +
− =
8/
2 2 3 3
2 .5 2 .5
x x x x+ +
=
9/
6.2 2 1
x x−
= +
Bài2 : Giải các phương trình sau :
1/

1 2
9 10.3 1 0
− −
− + =
2 2
x +x x +x
2/
9 9 3
log log log 27
4 6.2 2 0
x x
− + =

3/
3 3 3
log log log 9
4 5.2 2 0
x x
− + =

Bài 3: Giải các phương trình sau :
1/
2 3
2
0,125.4
8
x
x
−
−

 
=
 ÷
 ÷
 
. 2/
3 9 27
log log log 11x x x+ + =

3/
3
5
log log 3
2
x
x + =
4/
2
5
1
2 9
4
x
x
−
−
 
= +
 ÷
 

5/
2
2
9 10 4
2 4
x
x−
+
=
6/
( )
2
3
2. 0,3 3
100
x
x
x
= +

7/
8 18 2.27
x x x
+ =
8/
5.25 3.10 2.4
x x x
+ =

9/
6.9 13.6 6.4 0
x x x
− + =
10/
1 1 1
9.4 5.6 4.9
x x x
+ =
.
Bài 4: Giải các phương trình sau :
1/
2
2
log 64 log 16 3
x
x
+ =
. 2/
2
4
3
2
4lo x - log x +2=0
2
2
DẠNG 3 : Bất phương trình mũ cơ bản :
10
Tài liệu ôn tập dành cho khối 12
1/

2
4 15 13 4 3
1 1
2 2
x x x− + −
   
<
 ÷  ÷
   
2/
2
7 12
5 1
x x− +
>
3/
1
1
2
16
x
x−
 
>
 ÷
 
4/
1 2
4 2 3
x x− −

− <
5/
2 2 2
3 4.3 27 0
x x+ +
− + >

6/
2 1
5 26.5 5 0
x x+
− + >
7/
( )
5
log (26 3 ) 2 , 26 3 0
x x
− > − >
8/
( )
3
log (13 4 ) 2 , 13 4 0
x x
− > − >
9/
3 9 27
log log log 11x x x+ + >

10/
( )

2
3 3
2(log ) 5log 9 3 0x x− + <
Bài 2 : Giải các bất phương trình :
1/
2 2 2
3 4.3 27 0
x x+ +
− + <
3/
3 4
1 3
3
3
log log log (3 ) 3x x x+ + >

3/ /
2 2 3 3
2 .5 2 .5
x x x x+ +
≤
4/
1
25 125
x−
≥
. 5/
4 1
4 3
x−

≥
.
PHẦN 3: NGUYÊN HÀM
I. Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất
Tìm nguyên hàm của các hàm số.
1. f(x) = x
2
– 3x +
x
1
2. f(x) =
2
4
32
x
x
+

3. f(x) =
2
1
x
x
−
4. f(x) =
2
22
)1(
x
x

−

5. f(x) =
4
3
xxx
++
6. f(x) =
3
21
xx
−

7. f(x) =
x
x
2
)1(
−
8. f(x) =
3
1
x
x
−

9. f(x) =
2
sin2
2

x
10. f(x) = tan
2
x
11. f(x) = cos
2
x 12. f(x) = (tanx – cotx)
2

13. f(x) =
xx
22
cos.sin
1
14. f(x) =
xx
x
22
cos.sin
2cos

15. f(x) = sin3x 16. f(x) = 2sin3xcos2x
17. f(x) = e
x
(e
x
– 1) 18. f(x) = e
x
(2 +
)

cos
2
x
e
x
−

19. f(x) = 2a
x
+ 3
x
20. f(x) = e
3x+1

2/ Tìm hàm số f(x) biết rằng
1. f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5 2. f’(x) = 2 – x
2
và f(2) = 7/3
3. f’(x) = 4
xx
−
và f(4) = 0 4. f’(x) = x -
2
1
2
+
x
và f(1) = 2
5. f’(x) = 4x
3

– 3x
2
+ 2 và f(-1) = 3
6. f’(x) = ax +
2)1(,4)1(,0)1(',
2
=−==
fff
x
b

II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
1.Phương pháp đổi biến số.
1.
∫
−
dxx )15(
2.
∫
−
5
)23( x
dx
3.
dxx
∫
−
25
4.
∫

−
12x
dx
5.
∫
+
xdxx
72
)12(
6.
∫
+
dxxx
243
)5(
7.
xdxx .1
2
∫
+

8.
∫
+
dx
x
x
5
2
9.

∫
+
dx
x
x
3
2
25
3
10.
∫
+
2
)1( xx
dx

11.
dx
x
x
∫
3
ln
12.
∫
+
dxex
x 1
2
.

13.
∫
xdxxcossin
4

14.
∫
dx
x
x
5
cos
sin
15.
∫
gxdxcot
16.
∫
x
tgxdx
2
cos
17.
∫
x
dx
sin
18.
∫
x

dx
cos
19.
∫
tgxdx
20.
∫
dx
x
e
x
21.
∫
−
3
x
x
e
dxe
22.
∫
dx
x
e
tgx
2
cos
23.
∫
−

dxx .1
2

24.
∫
−
2
4 x
dx
25.
∫
−
dxxx .1
22
26.
∫
+
2
1 x
dx

27.
∫
−
2
2
1 x
dxx
28. .
∫

xdxx
23
sincos
30.
dxxx .1
∫
−

31.
∫
+
1
x
e
dx
32.
dxxx .1
23
∫
+
2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.
11
Tài liệu ôn tập dành cho khối 12
1.
∫
xdxx sin.
2.
∫
xdxx cos
3.

∫
+
xdxx sin)5(
2

4
∫
++
xdxxx cos)32(
2
5.
∫
xdxx 2sin
6.
∫
xdxx 2cos

7.
∫
dxex
x
.
8.
∫
xdxln
9.
∫
xdxx ln

10.

dxx
∫
2
ln
11.
∫
x
xdxln
2.
∫
dxe
x
13.
∫
dx
x
x
2
cos
14.
∫
xdxxtg
2
15.
∫
dxxsin

16.
∫
xdxe

x
cos.
18.
∫
dxex
x
2
3
19.
∫
+
dxxx )1ln(
2

20.
∫
xdx
x
2
21.
∫
xdxx lg
22.
∫
+
dxxx )1ln(2

23.
∫
+

dx
x
x
2
)1ln(
24.
∫
xdxx 2cos
2
TÍCH PHÂN
I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ
NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:
1.
1
3
0
( 1)x x dx+ +
∫
2.
2
2
1
1 1
( )
e
x x dx
x x
+ + +
∫

2.
3
1
2x dx−
∫
3.
2
1
1x dx+
∫

4.
2
3
(2sin 3 )x cosx x dx
π
π
+ +
∫
5.
1
0
( )
x
e x dx+
∫

6.
1
3

0
( )x x x dx+
∫
7.
2
1
( 1)( 1)x x x dx+ − +
∫

8.
2
3
1
(3sin 2 )x cosx dx
x
π
π
+ +
∫
9.
1
2
0
( 1)
x
e x dx+ +
∫

10.
2

2
3
1
( )x x x x dx+ +
∫
11.
2
1
( 1)( 1)x x x dx− + +
∫

12.
3
3
1
x 1 dx( ).
−
+
∫
13.
2
∫
+
2
x.dx
2
-1
x
14.
2

e
7x 2 x 5
dx
x
1
− −
∫

15.
x 2
∫
+ + −
5
dx
2 x 2
16.
2
x 1 dx
2
1
x x x
+
∫
+
( ).
ln
17.
3
2
x dx

3
x
6
π
∫
π
cos .
sin
18.
4
tgx dx
2
0
x
π
∫
.
cos
19.
x x
1
e e
x x
e e
0
−
−
∫
−
+

dx
20.
x
1
e dx
x x
0
e e
∫
−
+
.
21.
2
dx
2
1
4x 8x
∫
+
22.
3
dx
x x
e e
0
∫
−
+
ln

.
22.
2
dx
1 x
0
π
∫
+ sin
24.
∫
−
++
1
1
2
)12( dxxx
25.
∫
−−
2
0
3
)
3
2
2( dxxx

26.
∫

−
−
2
2
)3( dxxx
27.
∫
−
−
4
3
2
)4( dxx
28.
dx
xx
∫






+
2
1
32
11
29.
∫

−
2
1
3
2
2
dx
x
xx

30.
∫
e
e
x
dx
1
1
31.
∫
16
1
.dxx
32.
dx
x
xx
e
∫
−+

2
1
752
33.
dx
x
x
∫








−
8
1
3 2
3
1
4
12
Tài liệu ôn tập dành cho khối 12
II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
1.
2
3 2
3

sin xcos xdx
π
π
∫
2.
2
2 3
3
sin xcos xdx
π
π
∫
3.
2
0
sin
1 3
x
dx
cosx
π
+
∫
3.
4
0
tgxdx
π
∫

4.
4
6
cot gxdx
π
π
∫
5.
6
0
1 4sin xcosxdx
π
+
∫
6.
1
2
0
1x x dx+
∫
7.
1
2
0
1x x dx−
∫

8.
1
3 2

0
1x x dx+
∫
9.
1
2
3
0
1
x
dx
x +
∫

10.
1
3 2
0
1x x dx−
∫
11.
2
3
1
1
1
dx
x x +
∫
12.

1
2
0
1
1
dx
x+
∫
13.
1
2
1
1
2 2
dx
x x
−
+ +
∫

14.
1
2
0
1
1
dx
x +
∫
15.

1
2 2
0
1
(1 3 )
dx
x+
∫
16.
2
sin
4
x
e cosxdx
π
π
∫
17.
2
4
sin
cosx
e xdx
π
π
∫

18.
2
1

2
0
x
e xdx
+
∫
19.
2
3 2
3
sin xcos xdx
π
π
∫

20.
2
sin
4
x
e cosxdx
π
π
∫
21.
2
4
sin
cosx
e xdx

π
π
∫

22.
2
1
2
0
x
e xdx
+
∫
23.
2
3 2
3
sin xcos xdx
π
π
∫

24.
2
2 3
3
sin xcos xdx
π
π
∫

25.
2
0
sin
1 3
x
dx
cosx
π
+
∫

26.
4
0
tgxdx
π
∫
27.
4
6
cot gxdx
π
π
∫

28.
6
0
1 4sin xcosxdx

π
+
∫
29.
1
2
0
1x x dx+
∫
30.
1
2
0
1x x dx−
∫
31.
1
3 2
0
1x x dx+
∫
32.
1
2
3
0
1
x
dx
x +

∫
33.
1
3 2
0
1x x dx−
∫
34.
2
3
1
1
1
dx
x x +
∫
35.
1
1 ln
e
x
dx
x
+
∫
36.
3
1
sin(ln )
e

x
dx
x
π
∫
37.
1
1 3ln ln
e
x x
dx
x
+
∫
38.
2ln 1
1
e
x
e
dx
x
+
∫
39.
2
2
1 ln
ln
e

e
x
dx
x x
+
∫

40.
2
2
1
(1 ln )
e
e
dx
cos x+
∫
41.
2
1
1 1
x
dx
x+ −
∫
13
Tài liệu ôn tập dành cho khối 12
42.
1
0

2 1
x
dx
x +
∫
43.
1
0
1x x dx+
∫
44.
1
0
1
1
dx
x x+ +
∫
45.
1
0
1
1
dx
x x+ −
∫
46.
3
1
1x

dx
x
+
∫
46.
1
1 ln
e
x
dx
x
+
∫

47.
1
sin(ln )
e
x
dx
x
∫
48.
1
1 3ln ln
e
x x
dx
x
+

∫
49.
2ln 1
1
e
x
e
dx
x
+
∫
50.
2
2
1 ln
ln
e
e
x
dx
x x
+
∫

51.
2
2
1
(1 ln )
e

e
dx
cos x+
∫
52.
1
2 3
5
0
+
∫
x x dx
53.
( )
2
4
sin 1 cos
0
+
∫
x xdx
π
54.
4
2
4
0
−
∫
x dx

55.
4
2
4
0
−
∫
x dx
56.
1
2
0
1
∫
+
dx
x

57.
dxe
x
∫
−
+
0
1
32
58.
∫
−

1
0
dxe
x
59.
1
3
0
x
dx
(2x 1)+
∫
60.
1
0
x
dx
2x 1+
∫

61.
1
0
x 1 xdx−
∫
62.
1
2
0
4x 11

dx
x 5x 6
+
+ +
∫

63.
1
2
0
2x 5
dx
x 4x 4
−
− +
∫
64.
3
3
2
0
x
dx
x 2x 1+ +
∫

65.
6
6 6
0

(sin x cos x)dx
π
+
∫
66.
3
2
0
4sin x
dx
1 cosx
π
+
∫

67.
4
2
0
1 sin 2x
dx
cos x
π
+
∫
68.
2
4
0
cos 2xdx

π
∫

69.
2
6
1 sin 2x cos2x
dx
sin x cosx
π
π
+ +
+
∫
70.
1
x
0
1
dx
e 1+
∫
.
71.
dxxx )sin(cos
4
0
44
∫
−

π
72.
∫
+
4
0
2sin21
2cos
π
dx
x
x

73.
∫
+
2
0
13cos2
3sin
π
dx
x
x
74.
∫
−
2
0
sin25

cos
π
dx
x
x

75.
∫
−
−+
+
0
2
2
32
22
dx
xx
x
76.
∫
++
−
1
1
2
52xx
dx

77.

2
3 2
0
cos xsin xdx
π
∫
78.
2
5
0
cos xdx
π
∫
79.
4
2
0
sin 4x
dx
1 cos x
π
+
∫
80.
1
3 2
0
x 1 x dx−
∫
81.

2
2 3
0
sin2x(1 sin x) dx
π
+
∫
82.
4
4
0
1
dx
cos x
π
∫

83.
e
1
1 ln x
dx
x
+
∫
84.
4
0
1
dx

cosx
π
∫
85.
e
2
1
1 ln x
dx
x
+
∫
86.
1
5 3 6
0
x (1 x ) dx−
∫

II. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
14