Các bài toán về dãy số

Bài tập bồi dưỡng MTBT
MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ
Bài 1:
Cho dãy số a1 = 3; a
n + 1
=
3
3
1
n n
n
a a
a
+
+
.
a) Lập quy trình bấm phím tính a
n + 1

b) Tính a
n
với n = 2, 3, 4, ..., 10
Bài 2:
Cho dãy số x
1
=
1
2
;
3
1

1
3
n
n
x
x
+
+
=
.
a) Hãy lập quy trình bấm phím tính x
n + 1
b) Tính x
30
; x
31
; x
32
Bài 3: Cho dãy số
1
4
1
n
n
n
x
x
x
+
+

=
+
(n ≥ 1)
a) Lập quy trình bấm phím tính x
n + 1
với x
1
= 1 và tính x
100
.
b) Lập quy trình bấm phím tính x
n + 1
với x
1
= -2 và tính x
100
.
Bài 4: Cho dãy số
2
1
2
4 5
1
n
n
n
x
x
x
+

+
=
+
(n ≥ 1)
a) Cho x
1
= 0,25. Viết quy trình ấn phím liên tục để tính các giá trị của x
n + 1
b) Tính x
100
Bài 5: Cho dãy số
( ) ( )
5 7 5 7
2 7
n n
n
U
+ − −
=
với n = 0; 1; 2; 3; ...
a) Tính 5 số hạng đầu tiên U
0
, U
1
, U
2
, U
3
, U
4

b) Chứng minh rằng U
n + 2
= 10U
n + 1
– 18U
n
.
c) Lập quy trình bấm phím liên tục tính U
n + 2
theo U
n + 1
và U
n
.
HD giải:
a) Thay n = 0; 1; 2; 3; 4 vào công thức ta được
U
0
= 0, U
1
= 1, U
2
= 10, U
3
= 82, U
4
= 640
b) Chứng minh: Giả sử U
n + 2
= aU

n + 1
+ bU
n
+ c. Thay n = 0; 1; 2 và công thức ta được hệ phương trình:

2 1 0
3 2 1
4 3 2
10
10 82
82 10 640
U aU bU c
a c
U aU bU c a b c
a b c
U aU bU c
= + +
+ =


 
= + + ⇔ + + =
 
 
+ + =
= + +


Giải hệ này ta được a = 10, b = -18, c = 0
c) Quy trình bấm phím liên tục tính U

n + 2
trên máy Casio 570MS , Casio 570ES
Đưa U
1
vào A, tính U
2
rồi đưa U
2
vào B
1 SHIFT STO A x 10 – 18 x 0 SHIFT STO B,
lặp lại dãy phím sau để tính liên tiếp U
n + 2
với n = 2, 3, ...
x 10 – 18 ALPHA A SHFT STO A (được U
3
)
x 10 – 18 ALPHA B SHFT STO B (được U
4
)
Bài 6: Cho dãy số
3 5 3 5
2
2 2
n n
n
U
   
+ −
= + −
 ÷  ÷

 ÷  ÷
   
với n = 1; 2; 3; ...
a) Tính 5 số hạng đầu tiên U
1
, U
2
, U
3
, U
4
, U
5
b) Lập công thức truy hồi tính U
n + 1
theo U
n
và U
n – 1
.
GV: Vũ Minh Sơn 1 Mobile: 0988720186
Bài tập bồi dưỡng MTBT
c) Lập quy trình bấm phím liên tục tính U
n + 1
trên máy Casio
Bài 7:
Cho dãy số với số hạng tổng quát được cho bởi công thức

32
)313()313(

nn
n
U
−−+
=
với n = 1 , 2 , 3 , . . . k , . . .
a) Tính
87654321
,,,,,,, UUUUUUUU
b) Lập công thức truy hồi tính
1
+
n
U
theo
n
U
và
1
−
n
U
c) Lập quy trình ấn phím liên tục tính
1
+
n
U
theo
n
U

và
1
−
n
U
Bài 8:
Cho dãy số
{ }
n
U
được tạo thành theo quy tắc sau: Mỗi số sau bằng tích của hai số trước cộng với 1, bắt đầu từ
U
0
= U
1
= 1.
a) Lập một quy trình tính u
n
.
b) Tính các giá trị của U
n
với n = 1; 2; 3; ...; 9
c) Có hay không số hạng của dãy chia hết cho 4? Nếu có cho ví dụ. Nếu không hãy chứng minh.
Hướng dẫn giải:
a) Dãy số có dạng: U
0
= U
1
= 1, U
n + 2

= U
n + 1
. U
n
+ 1, (n =1; 2; ...)
Quy trình tính U
n
trên máy tính Casio 500MS trở lên:
1 SHIFT STO A x 1 + 1 SIHFT STO B. Lặp lại dãy phím
x ALPHA A + 1 SHIFT STO A x ALPHA B + 1 SHIFT STO B
b) Ta có các giá trị của U
n
với n = 1; 2; 3; ...; 9 trong bảng sau:
U
0
= 1 U
1
= 1 U
2
= 2 U
3
= 3 U
4
= 7
U
5
= 22 U
6
= 155 U
7

= 3411 U
8
= 528706 U
9
= 1803416167
Bài 9:
Cho dãy số U
1
= 1, U
2
= 2, U
n + 1
= 3U
n
+ U
n – 1
. (n ≥ 2)
a) Hãy lập một quy trình tính U
n + 1
bằng máy tính Casio
b) Tính các giá trị của U
n
với n = 18, 19, 20
Bài 11:
Cho dãy số U
1
= 1, U
2
= 1, U
n + 1

= U
n
+ U
n – 1
. (n ≥ 2)
c) Hãy lập một quy trình tính U
n + 1
bằng máy tính Casio
d) Tính các giá trị của U
n
với n = 12, 48, 49, 50
ĐS câu b)
U
12
= 144, U
48
= 4807526976, U
49
= 7778742049 , U
49
= 12586269025
Bài 12:
Cho dãy số sắp thứ tự với U
1
= 2, U
2
= 20 và từ U
3
trở đi được tính theo công thức U
n + 1

= 2U
n
+ U
n + 1
(n ≥ 2).
a) Tính giá trị của U
3
, U
4
, U
5
, U
6
, U
7
, U
8
b) Viết quy trình bấm phím liên tục tính U
n
c) Sử dụng quy trình trên tính giá trị của U
n
với n = 22; 23, 24, 25
Bài 1. Cho dãy số sắp thứ tự
1 2, 3 1
, ,..., , ,...
n n
u u u u u
+
biết:
1 2 3 1 2 3

1, 2, 3; 2 3 ( 4)
n n n n
u u u u u u u n
− − −
= = = = + + ≥
1.1 Tính
4 5 6 7
, , , .u u u u
1.2 Viết qui trình bấm phím liên tục để tính giá trị của
n
u
với
4n ≥
.
GV: Vũ Minh Sơn 2 Mobile: 0988720186
Bài tập bồi dưỡng MTBT
1.3 Sử dụng qui trình trên, tính giá trị của
20 22 25 28
, , , .u u u u
Bài 2.
Cho dãy số sắp thứ tự
1 2, 3 1
, ,..., , ,...
n n
u u u u u
+
, biết
5 6
588 , 1084u u= =
và

1 1
3 2
n n n
u u u
+ −
= −
.
Tính
1 2 25
, ,u u u
.
Bài 3: Cho
2 2 2 2
1 2 3 1
1 ... .
2 3 4
n
n
u i
n
−
= − + − + +
(
1i
=
nếu n lẻ,
1i
= −
nếu n chẵn, n là số nguyên
1n ≥

).
3.1 Tính chính xác dưới dạng phân số các giá trị:
4 5 6
, ,u u u
.
3.2 Tính giá trị gần đúng các giá trị:
20 25 30
, ,u u u
.
3.3 Nêu qui trình bấm phím để tính giá trị của
n
u
Bài 4: Cho dãy số
n
u
xác định bởi:
+
+
+
+

= = =

+

1
1 2 2
1
2 3
1; 2;

3 2
n n
n
n n
u u
u u u
u u
4.1 Qui trình bấm phím để tính u
n
và S
n
:
4.2 Tính giá trị của
10 15 21
, ,u u u
4.3 Gọi
n
S
là tổng của
n
số hạng đầu tiên của dãy số
( )
n
u
. Tính
10 15 20
, ,S S S
.
Bài 5 : Cho dãy số
{ }

n
u
với
n
n
n
n
u






+=
cos
1

a) Hãy chứng tỏ rằng , với N = 1000 , có thể tìm cặp hai chỉ số 1 , m lớn hơn N sao cho
2
1
≥−
uu
m

b) Với N = 1 000 000 điều nói trên còn đúng không ?
c) Với các kết quả tính toán như trên , Em có dự đoán gì về giới hạn của dãy số đã cho
( khi
∞→
n

)
Bài 6. Cho dãy số
1 2, 3 1
, ,..., , ,...
n n
u u u u u
+
biết:
1 2 3 1 2 3
1, 2, 3; 2 3 ( 4)
n n n n
u u u u u u u n
− − −
= = = = + + ≥
6.1 Tính
4 5 6 7
, , , .u u u u
6.2 Viết qui trình bấm phím liên tục để tính giá trị của
n
u
với
4n
≥
.
6.3 Sử dụng qui trình trên, tính giá trị của
22 25 28
, , .u u u
.
Bài 7. Cho dãy số U
1

=
3
3
;
( )
3
3
1
−
=
nn
UU
, n là số tự nhiên và n
2
≥

7.1 Viết quy trình bấm phím để tính U
n
.
7.2 Tính 5 số hạng đầu tên của dãy số trên
2) Cho
( )
n
n
S 1...4321
−+−+−=
. Tính S
2004
+ S
2005

+ S
2006
+ S
2007

Bài 8. Cho 1 dãy số
1110
10,10,2
−+
−===
nnn
UUUUU
, n = 1, 2, 3...
Hãy tính giá trị của số hạng
105
,UU
Bài 9. Cho
( ) ( )
1 2 3
2 3 3 4 4 5 1 2
n
n
S
n n
= + + +×××+
× × × + +
, n là số tự nhiên.
a) Tính
10
S

và cho kết quả chính xác là một phân số hoặc hỗn số.
b) Tính giá trị gần đúng với 6 chữ số thập phân của
15
S
Bài 10. Cho dãy số a
n
được xác định như sau:

1 2 2 1
1 1
1, 2,
3 2
n n n
a a a a a
+ +
= = = +
với mọi
, 3n n∈ ≥¥
GV: Vũ Minh Sơn 3 Mobile: 0988720186
u
1
= u
2
= u
25
=
, nếu n lẻ
, nếu n chẵn
Bài tập bồi dưỡng MTBT
Tính chính xác dưới dạng phân số tổng của 10 số hạng đầu tiên của dãy số đó.

Bài 11. Cho dãy số u
n
được xác định như sau:

1 2 2 1
1, 2, 3 2
n n n
u u u a a
+ +
= = = +
với mọi
, 3n n∈ ≥¥
11.1 Qui trình bấm phím để tính u
n
11.2 Tính giá trị của
6 12 15
, ,u u u
Bài 12. Cho dãy số u
n
được xác định như sau:

1 2 2 1
1
2, 3, 3
2
n n n
u u u a a
+ +
= = − = +
với mọi

, 3n n∈ ≥¥
12.1 Qui trình bấm phím để tính u
n,
S
n
12.2 Tính giá trị của
15 15
,u S
Bài 15. Cho
2 3
1 1 1 1
...
3 3 3 3
n
n
S = + + + +
với
*
n∈ ¥
15.1 Lập quy trình bấm phím để tính S
n
15.2 Tính giá trị gần đúng với 6 chữ số thập phân của S
15
15.3 Tính giới hạn
lim
n
n
S
→∞
Bài 16. Cho

2
0 1
2008, , ,0 1003
1
n
n
n
a a n n
a
+
= = ∈ ≤ ≤
+
¥
. Hãy tính gần đúng với 5 chữ số thập phân giá
trị bé nhất của a
n.
Bài 17. Cho dãy số
( ) ( )
3 2 3 2
2 2
n n
n
u
+ − −
=
với n = 1, 2, 3, …
17.1 Tính 5 số hạng đầu tiên của dãy số u
1
, u
2

, u
3
, u
4
, u
5
.
17.2 Chứng minh rằng
2n
u
+
= 6u
n+1
– 7u
n
17.3 Lập quy trình bấm phí liên tục để tính u
n+2
.
-------------------------------------------
GV: Vũ Minh Sơn 4 Mobile: 0988720186
a