Đề thi đề xuất tuyển sinh L10 chuyên Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TỈNH BÀ RỊA VŨNG TÀU Năm học 2010 - 2011
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT MÔN THI TOÁN
Ngày thi:……tháng……năm 2010
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
(Đề thi có 01 trang)
Bài 1: (2,5 điểm)
Cho biểu thức K =
3 9 3 1 2
2 2 1
x x x x
x x x x
+ − + −
− +
+ − + −

( )
0; 1x x≥ ≠
a/ Rút gọn K (1,5 điểm)
b/ Tìm x nguyên dương để K nhận giá trị nguyên (1 điểm)
Bài 2 : (2 điểm)
a/ (0,5 điểm) Phân tích thành nhân tử:
x
4
+ 5x
2
+ 4
b/ (1,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A biết:
4 2
2
5 8

1
x x
A
x
+ +
=
+
Bài 3: (2 điểm)
Xác định các hệ số a, b, c, d của đa thức:
( )
dcxbxaxxf
+++=
23
biết rằng:
( ) ( ) ( ) ( )
13;42;121;100
====
ffff
Bài 4: (1,5 điểm)
AB và CD là 2 dây cung vuông góc nhau tại E bên trong đường tròn (O, R)
Gọi M là trung điểm của AC; chứng minh EM vuông góc với BD
Bài 5: (2 điểm)
Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Một đường
thẳng d quay quanh A cắt (O) tại M và (O’) tại M’.
a/ (1 điểm) Chứng tỏ rằng các đường thẳng vuông góc với d tại M và M’ đi qua các điểm
N và N’ cố định và thẳng hàng với B
b/ (1 điểm) Chứng tỏ rằng trung điểm I của N, N’ là tâm của đường tròn tiếp xúc với (O)
và (O’)
….……………..………………………………..HẾT…………………………………………
(Đề chuyên Toán – GV ra đề: Nguyễn Văn Thế - THCS Trần Nguyên Hãn- Long Điền)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TỈNH BÀ RỊA VŨNG TÀU Năm học 2010 - 2011
MÔN THI TOÁN
HƯỚNG DẪN CHẤM (ĐỀ THI ĐỀ XUẤT )
Bài 1: (2,5 điểm)
Cho biểu thức K =
3 9 3 1 2
2 2 1
x x x x
x x x x
+ − + −
− +
+ − + −

( )
0; 1x x≥ ≠
a/ Rút gọn K (1,5 điểm)
b/ Tìm x nguyên dương để K nhận giá trị nguyên (1 điểm)
Giải bài 1:
a/ K =
3 9 3 1 2
2 2 1
x x x x
x x x x
+ − + −
− +
+ − + −
=
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )

3 3 3 1 1 2 2
2 1
x x x x x x
x x
+ − − + − − − +
+ −
(0,5 điểm)
=
( ) ( )
3 2
2 1
x x
x x
+ +
+ −
=
( ) ( )
( ) ( )
2 1
2 1
x x
x x
+ +
+ −
=
1
1
x
x
+

−
(1 điểm)
b/ K =
1
1
x
x
+
−
= 1 +
2
1x −
(0,25 điểm)
K nguyên khi 2
( )
1x −M

1x⇔ − ∈
Ư(2) =
{ }
1; 2± ±
(0,25điểm)
Giải ra x = 0; 4; 9 Vì x nguyên dương nên ta nhận x
1
= 4 và x
2
= 9 (0,5điểm)
Bài 2 : (2 điểm)
a/ (0,5 điểm) Phân tích thành nhân tử:
x

4
+ 5x
2
+ 4
b/ (1,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A biết:
4 2
2
5 8
1
x x
A
x
+ +
=
+

Giải bài 2:
a/ x
4
+ 5x
2
+ 4 = x
4
+ 4x
2
+ (x
2
+ 4) = x
2
(x

2
+ 4) + (x
2
+ 4) = (x
2
+ 4) (x
2
+ 1) (0,5 điểm)
b/ Ta có:
4 2 2 2
2
2 2 2
5 8 ( 1)( 4) 4 4
1 3
1 1 1
x x x x
A x
x x x
+ + + + +
= = = + + +
+ + +
(0,25 điểm)
Áp dụng Bất đẳng thức Cô –si cho hai biểu thức dương là
2
1x +
và
2
4
1x +

ta có
2
1x +
+
2
4
1x +
≥4 => Giá trị bé nhất của A là 7 (0,5 điểm)
Khi đó
2
1x +
=
2
4
1x +
<=> x
4
+ 2x
2
– 3 = 0 . Giải phương trình trùng phương ra được 2 nghiệm x
1

= 1 và x
2
= -1 (0,5 điểm)
Vậy A
min
= 7 khi
1x = ±
. (0,25 điểm)

Bài 3: (2 điểm)
Xác định các hệ số a, b, c, d của đa thức:
( )
dcxbxaxxf
+++=
23
biết rằng:
( ) ( ) ( ) ( )
13;42;121;100
====
ffff
Giải bài 3:
Theo đề bài ta có
( )
( )
( )
( )















=+++
=+++
=+++
=
⇔
=
=
=
=
13927
4248
12
10
13
42
121
100
dcba
dcba
dcba
d
f
f
f
f
(0,5điểm)
5
10 10 10
2

2 2 2 25
(0,25 ) (0,25 ) (0,5 ) (0,5 )
2
8 4 2 6 4 2 3 3 5
12
27 9 3 9 9 3 3 5 0
10
a
d d d
a b c a b c c a b
b
d d d d
a b c a b c a b
c
a b c a b c a b
d


=


 = = =





+ + = + + = = − − −
   
=

⇔ ⇔ ⇔ ⇔
   
+ + = − + + = − + = −
   
=
   
+ + = − + + = − + =


 
=


Bài 4: (1,5 điểm)
AB và CD là 2 dây cung vuông góc nhau tại E bên trong đường tròn (O, R)
Gọi M là trung điểm của AC; chứng minh EM vuông góc với BD
Giải bài 4:
Theo định lý trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông AEC, ta có ∆AME cân tại E
=> ∠E
3
= ∠A ; mà ∠A = ∠D (cùng chắn cung BC) ⇒ ∠D = ∠E
3

(0,5 điểm)
và ∠E
1
= ∠E
2
(đđ) => ∠D + ∠E
1

= ∠E
3
+ ∠E
2
mà ∠E
3
+ ∠E
2
= 1 vuông ⇒ ∠D + ∠E
1
= 1 vuông ⇒ ĐPCM (1 điểm)
Bài 5: (2 điểm)
Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Một đường
thẳng d quay quanh A cắt (O) tại M và (O’) tại M’.
a/ (1 điểm) Chứng tỏ rằng các đường thẳng vuông góc với d tại M và M’ đi qua các điểm
N và N’ cố định và thẳng hàng với B
b/ (1 điểm) Chứng tỏ rằng trung điểm I của N, N’ là tâm của đường tròn tiếp xúc với (O)
và (O’)
Giải bài 5 (2 điểm)
a/ Chứng minh N, N’ cố định và N, B, N’ thẳng hàng
Đường thẳng qua M vuông góc với d cắt (O) tại N .
Vì
ˆ
NMA
= 90
0
nên AN là đường kính của đường tròn (O)
⇒
N cố định (0,25điểm)
Đường thẳng qua M’ vuông góc với d cắt (O’) tại N’

Vì
ˆ
' 'N M A
= 90
0
nên AN’ là đường kính của đường tròn (O’)
⇒
N’ cố định (0,25điểm)
B thuộc đường tròn đường kính AN nên
ˆ
ABN
= 90
0

B thuộc đường tròn đường kính AN’ nên
ˆ
'ABN
= 90
0
(0,25điểm)
⇒
ˆ
'NBN
=
ˆ
ABN
+
ˆ
'ABN
= 180

0

=> N, B, N’ thẳng hàng (0,25điểm)
b/ Chứng minh trung điểm I của N, N’ là tâm của đường tròn tiếp xúc với (O) và (O’)
OI đi qua trung điểm của NA và NN’ nên OI là đường trung bình của
∆
ANN’
⇒
OI = O’A = R’ (0,25điểm)
Gọi r là bán kính của đường tròn (I) vẽ (I; r) và (O; R) tiếp xúc trong, nên OI = R – r
Mà OI = R’ (cmt) nên R’ = R – r
⇔
R’ + r = R (0,25điểm)
Lại có IO’ đi qua trung điểm của N’N và AN’ nên OI là đường trung bình của
∆
ANN’
⇒
O’I = OA = R mà R’ + r = R nên O’I = R’ + r
⇒
(I; r) tiếp xúc ngoài với (O’; R’) (0,25điểm)
Vậy trung điểm I của NN’ là tâm của đường tròn tiếp xúc với đường tròn (O) và (O’) (0,25điểm)
O
O'
A
M
M'
N
N'
I B
Học sinh làm các cách khác; nếu đúng vẫn tròn điểm