Chia Số Phức - ôn tập THPT Quốc gia 2020 Môn Toán - Sách Toán - Học toán

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

§3

<b>PHÉP CHIA SỐ PHỨC</b>

<b>A</b>

<b>LÝ THUYẾT CƠ BẢN</b>

Tính chất 1. Tổng của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng hai lần phần thực của số phức

đó.

Tính chất 2. Tích của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng bình phương mơđun của số

phức đó.

Định nghĩa. Nếu c + di = (a + bi)z thì số phức z được gọi là thương của phép chia c + di cho a + bi

khác 0.

!

Để tính thương c + di = (a + bi)z ta nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của a + bi.

<b>B</b>

<b>CÁC DẠNG BÀI TẬP</b>

<b>| Dạng 1. Phép chia số phức đơn giản</b>

Cho hai số phức z1 = a + bi, z2 = c + di trong đó z2 6= 0. Khi đó thương của phép chia z1 cho z2
được xác định như sau:

z1
z2

= a + bi
c + di =

(a + bi)(c − di)
c2_{+ d}2 =

(ac + bd) − (ad + bc)i
c2_{+ d}2 .

<b>ccc BÀI TẬP DẠNG 1 ccc</b>

Ví dụ 1. Tìm nghịch đảo 1

z của số phức z = 2 − 3i.

Lời giải.

Ta có 1
z =

1
2 − 3i =

2 + 3i
22_{+ (−3)}2 =

2
13 +

3

13i. 

Ví dụ 2. Thực hiện phép chia 2 + i cho 1 + 2i.

Lời giải.

Ta có z = 2 + i
1 + 2i =

(2 + i)(1 − 2i)
12_{+ (−2)}2 =

4 − i
5 =

4
5−

1

5i. 

Ví dụ 3. Thực hiện phép chia√2 + 2i cho √2 − 2i.

Lời giải.

Ta có
√

2 + 2i
√

2 − 2i =

(√2 + 2i)(√2 + 2i)

(√22) + 22 =
−1

3 +
2√2

3 i. 

Ví dụ 4. Tìm số phức z thỏa mãn (2 − i)z = 4 + 3i.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Ta có z = 4 + 3i
2 − i =

(4 + 3i)(2 + i)

22_{+ 1}2 = 1 +
9

5i. 

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Tìm nghịch đảo 1

z của số phức z biết:

a) z = 2 − 4i. b) z = 3i. c) z = −3 + 5i. d) z = −3 − 2i.

Lời giải.

a) 1
z =

1
10+

1

5i. b)
1
z = −

1

3i. c)

1
z = −

3
34−

5

34i. d)
1

z = −

2
13+

2
13i.



Bài 2. Thực hiện phép chia sau:

a) 3 − 2i

2 − 3i. b)

2 − 5i

i . c)

√
3 + i
√

2 + i.

d) 2 + 6i
−1 − i.

Lời giải.

a) 3 − 2i
2 − 3i =

12
13+

5
13i.

b) 2 − 5i

i = −5 − 2i.

c)
√

3 + i
√

2 + i =

1 +√6

3 +

−√3 +√2
3 i.

d) 2 + 6i

−1 − i = −4 − 2i.



Bài 3. Tìm số phức z thỏa mãn:

a) iz = 1 + i.

b) (2 − i)z = −2 − i.

c) (−2 + i)z = 3 + 2i.
d) (√2 +√2i)z = 1 − i.

Lời giải.

a) z = 1 + i

i = 1 − i.
b) z = −2 − i

2 − i = −
3
5 −

4
5i.

c) z = 3 + 2i
−2 + i = −

4
5−

7
5i.

d) z = √1 − i

2 +√2i = −
√

2
2 i.



<b>| Dạng 2. Các bài tốn tìm phần thực và phần ảo của số phức</b>

Để tìm phần thực và phần ảo của số phức z, ta cần đưa z về dạng z = x + iy với x, y ∈ R. Khi
đó phần thực của z là x và phần ảo của z là y. Để thực hiện được ta cần nắm vững một số kiến

thức cơ bản đã học:

1) z1
z2

= z1· z2
|z2|2

với z1, z2 ∈ C.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

3) Công thức Nhị thức Newton: Cho z = a + bi ∈ C với a, b ∈ R và n ∈ N. Khi đó ta có:

zn = (a + bi)n =
n
X

k=0

Ck_nan−k(bi)k =
n
X

k=0

Ck_nan−kbkik

Để viết được kết quả dưới dạng đại số thơng thường, chỉ cịn phải áp dụng các công thức:

i2 = −1, i3 = −i, i4 = 1. Từ đó, một cách tổng quát ta có:

in =















1 nếu n = 4k

i nếu n = 4k + 1

−1 nếu n = 4k + 2

−i nếu n = 4k + 3

(k ∈ N)

<b>ccc BÀI TẬP DẠNG 2 ccc</b>

Ví dụ 1. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z =
√

3 − i
1 + i −

√
2 − i

i .

Lời giải.

Ta có

z =
√

3 − i
1 + i −

√
2 − i

i =

(√3 − i)(1 − i)
(1 + i)(1 − i) −

(√2 − i)2i
2i2
=

√

3 − i√3 − i + i2

2 +

2 + 2i√2

2 =

√

3 + 1 + i(2√2 −√3 − 1)
2

=
√

3 + 1
2 + i

2√2 −√3 − 1

2 .

Vậy số phức z có phần thực là
√

3 + 1

2 và phần ảo là

2√2 −√3 − 1

2 . 

Ví dụ 2. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z nếu như ta có

(1 + i)2(2 − i)z = 8 + i + (1 + 2i)z

Lời giải.

Ta có

(1 + i)2(2 − i)z = 8 + i + (1 + 2i)z ⇔ 2i(2 − i)z = 8 + i + (1 + 2i)z
⇔2(1 + 2i)z = 8 + i + (1 + 2i)z ⇔ (1 + 2i)z = 8 + i

⇔z = 8 + i
1 + 2i =

(8 + i)(1 − 2i)
(1 + 2i)(1 − 2i) =

10 − 15i

5 = 2 − 3i.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Ví dụ 3. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z =
Ç

1 + i√3
1 + i

å3

.

Lời giải.

Ta có

z =
Ç

1 + i√3
1 + i

å3

= 1 + 3
√

3i + 3(√3i)2_{+ (}√_3i)3
2i(1 + i)

= 1 + 3
√

3i − 9 − 3√3i
−2 + 2i =

−8
−2 + 2i =

−8(−2 − 2i)

8 = 2 + 2i.

Vậy số phức z có phần thực bằng 2 và phần ảo bằng 2. _

Ví dụ 4. Tính tổng của phần thực và phần ảo của số phức z =Å 1 − i
1 + i

ã2018
.

Lời giải.

Vì z = Å 1 − i
1 + i

ã2018

= ñÅ 1 − i
1 + i

ã2ơ1009

= ï (1 − i)
2
(1 + i)2

ị1009
=

Å_−2i

2i
ã1009

= (−1)1009 _{= −1 nên tổng của}

phần thực và phần ảo của z bằng −1. 

Ví dụ 5. Cho số phức z thỏa z = (1 − 2i)
5

2 + i . Viết z dưới dạng z = a + ib với a, b ∈ R. Tính
S = a + 2b.

Lời giải.

Ta có

z = 1 + 5 · (−2i) + 10 · (−2i)

2_{+ 10 · (−2i)}3 _{+ 5 · (−2i)}4_{+ (−2i)}5
2 + i

= 1 − 10i + 40i

2_{− 80i}3_{+ 80i}4_{− 32i}5

2 + i =

1 − 10i − 40 + 80i + 80 − 32i
2 + i

= 41 + 38i
2 + i =

(41 + 38i)(2 − i)
(2 + i)(2 − i) =

120 + 35i

5 = 24 + 7i.

⇒ z = 24 − 7i ⇒ S = a + 2b = 24 + 2 · (−7) = 24 − 14 = 10.



BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1.

a) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z biết z = 5

1 − 2i − 3i.

b) Tìm số phức z biết z − 5 + i
√

3

z − 1 = 0.

Lời giải.

a) Ta có z = 5

1 − 2i − 3i =

5(1 + 2i)

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

b) Giả sử z = z + iy với x, y ∈ R. Ta có

z − 5 + i
√

3

z − 1 = 0 ⇔ |z|

2_{− 5 + i}√_{3 − z = 0}
⇔x2_{+ y}2_{− 5 + i}√_{3 − x − iy = 0}

⇔ x2_{+ y}2<sub>− x − 5
+ i</sub>Ä√

3 − yä = 0

⇔
(

x2+ y2− x − 5 = 0
√

3 − y = 0

⇔
(

x2− x − 2 = 0
y =√3

⇔









"

x = −1

x = 2

y =√3
.

Vậy có 2 số phức z thỏa yêu cầu bài toán là z = −1 + i√3 hoặc z = 2 + i√3.



Bài 2. Chứng tỏ z = −3 + 2i
√

3
√

2 + 3i +

−3 + 2i√3
√

2 − 3i là một số thực.

Lời giải.

Ta có

z = −3 + 2i
√

3
√

2 + 3i +

−3 + 2i√3
√

2 − 3i =

−(3 + 2i√3)(√2 − 3i)
(√2 + 3i)(√2 − 3i) +

(−3 + 2i√3)(√2 + 3i)
(√2 − 3i)(√2 + 3i)

= −3
√

2 + 9i − 2√6i − 6√3 − 3√2 − 9i + 2√6i − 6√3
11

= −6
√

2 − 12√3
11 ∈ R.



Bài 3. Tìm phần thực và phần ảo của số phức

z =Å 1 + i
1 − i

ã67

+ (1 − i)21+ (3 + 2i)(3 − 2i) + 1
i

Lời giải.

Ta có:

• Å 1 + i
1 − i

ã67

=ï (1 + i)(1 + i)
(1 − i)(1 + i)

ò67

=Å 2i
2

ã67

= i67= (i4)16· i2_{· i = −i.}

• (1 − i)21_{= [(1 − i)}2_]10_{· i = (−2i)}20_{· i = (−2)}20_{· i}20_{· i = 2}20_{· (i}4₎5_{· i = 2}20_i.
• (3 + 2i)(3 − 2i) = 11.

• 1
i =

−i

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

⇒ z = −i + 220_{i + 11 − i = 11 + (2}20_{− 2) i.}

Vậy số phức z có phần thực bằng 11 và phần ảo bằng 220− 2. _

Bài 4. Cho số phức z thỏa mãn 5 (z + i)

z + 1 = 2−i. Tìm phần thực và phần ảo của số phức w = z

2_+z+1.

Lời giải.

Giả sử z = x + iy với x, y ∈ R. Khi đó ta có:

5 (z + i)

z + 1 = 2 − i

⇔5(x − iy + i) = (x + 1 + iy)(2 − i)

⇔5x + i(5 − 5y) = (2x + 2 + y) + i(2y − x − 1)

⇔
(

2x + 2 + y = 5x

2y − x − 1 = 5 − 5y
⇔

(

3x − y = 2

x − 7y = −6
⇔

(
x = 1

y = 1
.

⇒ z = 1 + i ⇒ w = z2_{+ z + 1 = (1 + i)}2_{+ (1 + i) + 1 = 2i + 1 + i + 1 = 2 + 3i. Vậy số phức w có phần}

thực bằng 2 và phần ảo bằng 3. _

Bài 5. Tìm phần thực và phần ảo của số phức

z = i

2009_{+ i}2010_{+ i}2011_{+ i}2012 _{+ i}2013
i2014_{+ i}2015_{+ i}2016_{+ i}2017 _{+ i}2018

Lời giải.

Ta có

z = i

2009_{(1 + i + i}2_{+ i}3_{+ i}4₎
i2014_{(1 + i + i}2_{+ i}3_{+ i}4₎ =

i2009
i2014 =

1
i5 =

1
i4_{· i} =

1
i = −i.

Vậy số phức z có phần thực bằng 0 và phần ảo bằng −1. _

<b>| Dạng 3. Một số bài tốn xác định mơđun của số phức</b>

Mơđun số phức z được kí hiệu là |z|

1) Mơđun số phức z = a + bi (a, b ∈ R) là |z| =√a2_{+ b}2
2) |z| ≥ 0, |z| = 0 ⇔ z = 0

3) |z| = |z|

4) |z1z2| = |z1| |z2|,

z1
z2

= |z1|
|z2|

với z1, z2 _{∈ C}

<b>ccc BÀI TẬP DẠNG 3 ccc</b>

Ví dụ 1. Tìm mơđun của số phức z biết z = √ 1
3 + i.

Lời giải.

Ta có |z| =

1
√

3 + i

=
|1|

√

3 + i

= √ 1
3 + 1 =

1

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Ví dụ 2. Tìm mơđun của số phức z biết z = 2 + i
3 − 5i.

Lời giải.

Ta có |z| =